3.3.1和2指数函数的概念
高考数学 指数函数、对数函数 讲解
logbN= loga N (a,b均大于0且不等于1,N>0)
logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
条件
a>0且a≠1,M>0,N>0
结论
loga(MN)=logaM+logaN
M
loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R)
1
1
+m=-
2
1 x
1
+m+1,因为函数y=2x+1为R上的
增函数,所以y=- 1 为R上的增函数,所以f(x)在R上单调递减是不正确
2x 1
的,所以C不正确;
对于D,当m=0时,f(x)= 2x =1- 1 ,
2x 1 2x 1
由2x+1>1,可得-1<- 1 <0,所以1- 1 ∈(0,1),即函数f(x)的值域为(0,1),
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域 性质
过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数
(0,+∞) R
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
故a的取值范围为[36,+∞).
expotional function运算
Expotential Function运算一、概述Expotential Function（指数函数）是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将从指数函数的定义、性质、运算及其应用方面进行详细介绍。
二、指数函数的定义1.1 指数函数的概念指数函数是以常数e为底的幂函数，通常表示为y = e^x，其中e ≈ 2.xxx。
指数函数在实际问题中有着重要的应用，在自然增长、放射性衰变等问题中，指数函数都能够很好地描述现象。
1.2 指数函数的图像通过绘制指数函数的图像，我们可以直观地了解指数函数的特点。
指数函数在x轴的左侧是递减的，在x轴的右侧是递增的，呈现出一种特殊的形态。
指数函数的图像对于理解指数函数的性质有着重要的作用。
三、指数函数的性质2.1 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域是实数集R，值域是正实数集(0, +∞)。
这说明指数函数在整个实数轴上都有定义，且始终大于0。
2.2 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：（1）指数函数的导数等于其本身，即 d/dx(e^x) = e^x。
（2）指数函数是增函数，即当x1 < x2时，有e^x1 < e^x2。
（3）指数函数的性质决定了其在实际中的广泛应用，特别是在增长和衰减等过程中的描述。
四、指数函数的运算3.1 指数函数的加法指数函数的加法规则为e^(x+y) = e^x * e^y。
这个规则说明了指数函数在相加的时候，其底数相同的情况下可以进行简化运算，大大方便了计算。
3.2 指数函数的减法指数函数的减法规则为e^(x-y) = e^x / e^y。
指数函数的减法规则也是同样适用的，同样可以通过简化公式来实现指数函数的减法运算。
3.3 指数函数的乘法指数函数的乘法规则为(e^x)^(y) = e^(x*y)。
指数函数的乘法规则也是指数幂的运算规则，方便了复杂指数函数的乘法运算。
3.4 指数函数的除法指数函数的除法规则为(e^x)/(e^y) = e^(x-y)。
【高中数学】指数函数
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A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
1 4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝ 2 xx2 的单调递增区间是( )
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指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数． 形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函 数． 2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
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(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．
1 [解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 3 －x2－4x＋3 ，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1 而 y＝ 3 t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
研究.
二、常用结论
指数函数图象的特点 －1，1
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)， a ，依据这三点的坐标可得到指数函数 的大致图象．
1 (2)函数 y＝ax 与 y＝ a x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图 象“上升”；当 0<a<1 时，指数函数的图象“下降”．
指数知识点归纳总结
指数知识点归纳总结一、基本概念1.1 指数的定义指数是数学中的一种运算符号，表示几个相同的数相乘的乘方运算，其中一个数是底数，另一个数是指数。
一般写作a^n，其中a为底数，n为指数。
1.2 指数的性质（1）相同底数的指数相加等于它们的乘积，即a^m * a^n = a^(m+n)；（2）相同底数的指数相减等于它们的商，即a^m / a^n = a^(m-n)；（3）指数的乘方等于底数的乘方再次乘方，即(a^m)^n = a^(m*n)；（4）指数的除法等于底数的除法再对指数取商，即(a/b)^n = a^n / b^n；（5）底数为0且指数为正数时，结果为0；（6）底数为0且指数为负数时，结果为无穷大。
1.3 指数函数指数函数是以底数为常数的指数运算构成的函数，一般写作f(x) = a^x。
指数函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的特征。
二、指数运算2.1 正整数指数运算若指数为正整数，则乘方运算表示为多个底数相乘，如a^3 = a * a * a。
2.2 零指数运算任何非零数的零次幂等于1，即a^0 = 1。
2.3 负整数指数运算若指数为负整数，则乘方运算表示为底数的倒数相乘，如a^(-n) = 1 / (a^n)。
2.4 分数指数运算若指数为分数，则乘方运算可以表示为开方，即a^(1/n) = n√a。
三、指数的化简3.1 合并同底数的指数当指数相同的底数相乘或相除时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^m = a^(m+n)。
3.2 底数相同指数相加当底数相同的指数相加时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^n = a^(m+n)。
3.3 底数为分数的指数当底数为分数的指数运算时，可以先化为开方形式，再进行运算。
四、常见指数函数4.1 自然指数函数自然指数函数是以常数e为底数的指数函数，其中e≈2.71828，一般写作f(x) = e^x。
4.2 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般写作y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为指数。
指数函数的性质与计算
指数函数的性质与计算指数函数是数学中一类重要的函数，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍指数函数的定义、性质以及常见的计算方法。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数，一般表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
底数a必须为正数且不等于1，指数x可以是任意实数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集。
2. 指数函数的性质2.1 单调性当底数a大于1时，指数函数随着指数x的增大而增大，表现为单调递增的特点；当底数a在区间(0,1)内时，指数函数随着指数x的增大而减小，表现为单调递减的特点。
2.2 对称性指数函数在x轴上存在一个对称中心，即函数图像关于x轴对称。
2.3 渐近线指数函数在x趋近于无穷大时，函数值趋近于正无穷；在x趋近于负无穷大时，函数值趋近于0。
因此，指数函数的图像与x轴和y轴均有渐近线。
2.4 特殊值当x为0时，指数函数等于1，即f(0) = a^0 = 1；当底数a为0时，指数函数在x大于0时等于0，在x小于0时无定义。
3. 指数函数的计算方法3.1 指数函数的乘法与除法指数函数具有乘法和除法的运算性质。
当指数相同的两个指数函数相乘时，底数相乘，指数不变，即a^x * a^y = a^(x+y)；当指数相同的两个指数函数相除时，底数相除，指数不变，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
3.2 指数函数的幂运算指数函数可以进行幂运算。
当指数为整数时，可以直接进行计算，例如a^2 = a * a，a^3 = a * a * a；当指数为分数时，可以通过化简为根式进行计算，例如a^(1/2) = √a，a^(1/3) = ∛a。
3.3 指数函数的对数运算对数是指数函数的逆运算，可以将指数函数的幂运算转化为对数运算。
对数以底数为常数，幂为自变量的函数，通常表示为loga(x)，其中a为底数，x为幂。
底数a必须为正数且不等于1，幂x可以是任意实数。
2013年秋北师大版必修1示范教案3.3.1指数函数的概念
§3 指数函数整体设计教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图像以及研究指数函数的性质．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用． 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用． 课时安排 3课时教学过程3．1 指数函数的概念3．2 指数函数y ＝2x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x的图像和性质 导入新课思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式，它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的164，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫作指数函数，引出本节课题． 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2－2，1416，2327，1249-.再提问怎样画函数的图像，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，14，2,9，17，先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是__________．(y ＝0.84x)2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的关系式是__________．(y ＝2x)提出问题1你能说出函数y ＝0.84x 与函数y ＝2x的共同特征吗？2你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？ 3为什么指数函数的概念中明确规定a >0，a ≠1？ 4为什么指数函数的定义域是实数集？5如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值． 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量． 问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．问题(4)在(3)的规定下，我们可以把a x看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义． 问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y .(2)对于两个解析式y ＝0.84x 和y ＝2x，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义：一般地，函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)叫作指数函数，其中x 叫作自变量，函数的定义域是实数集R .(3)a ＝0时，x ＞0时，a x 总为0；x ≤0时，a x没有意义． a ＜0时，如a ＝－2，x ＝12，a x ＝12(2)-＝－2显然是没有意义的．a ＝1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a ＞0，a ≠1.此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a ＞0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R .(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数．提出问题1前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？ 2前面我们学习函数的时候，如何作函数的图像？说明它的步骤.3利用上面的步骤，作函数y ＝2x的图像.4利用上面的步骤，作函数y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭的图像.5观察上面两个函数的图像各有什么特点，再画几个类似的函数图像，看是否也有类似的特点？6根据上述几个函数图像的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？7把y ＝2x和y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭的图像，放在同一坐标系中，你能发现这两个图像的关系吗？8你能证明上述结论吗？9能否用y ＝2x的图像画y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭的图像？请说明画法的理由.活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图像，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图像及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图像研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图像，从图像的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图像，用计算机作函数的图像．图1图2(5)通过观察图1，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实数．图像自左至右是上升的，说明是增函数，图像位于x 轴上方，说明值域大于0.图像经过点(0,1)，且y 值分布有以下特点：x ＜0时，0＜y ＜1；x ＞0时，y ＞1.图像不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实数．图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x 轴上方，说明值域大于0.图像经过点(0,1)，且y 值分布有以下特点：x ＜0时，y ＞1；x ＞0时，0＜y ＜1.图像不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图像以作比较，y ＝3x ，y ＝6x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x .重新观察函数图像的特点，推广到一般的情形．(6)一般地，指数函数y ＝a x在a ＞1和0＜a ＜1的情况下，它的图像特征和函数性质如(7)在同一坐标系中作出y ＝2x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 两个函数的图像，如图3.经过仔细研究发现，它们的图像关于y 轴对称．图3(8)证明：设点P (x 1，y 1)是y ＝2x上的任意一点，它关于y 轴的对称点是P 1(－x 1，y 1)，它满足方程y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x ，即点P 1(－x 1，y 1)在y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像上．反之亦然，所以y ＝2x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 两个函数的图像关于y 轴对称． (9)因为y ＝2x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 两个函数的图像关于y 轴对称，所以可以先画其中一个函数的图像，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图像，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．应用示例思路1例1 判断下列函数是否是一个指数函数？y ＝x 2，y ＝8x ，y ＝2·4x ，y ＝(2a －1)x (a ＞12，a ≠1)，y ＝(－4)x ，y ＝πx ，y ＝6x 3＋2.活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y ＝x 2，y ＝2·4x ，y ＝6x 3＋2都不符合y ＝a x 的形式，教师强调y ＝a x 的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式)，指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式．解：y ＝8x ，y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，a ≠1，y ＝πx 是指数函数；y ＝(－4)x ，y ＝x 2，y ＝2·4x，y ＝6x 3＋2不是指数函数． 变式训练函数y ＝23x ，y ＝a x ＋k ，y ＝a －x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2x (a ＞0，a ≠1)中是指数函数的有哪些？答案：y ＝23x ＝(23)x ，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－2x 都是指数函数.例2 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图像；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y ＝1.7x的图像，如图4.图4在图像上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图像上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函数单调性：(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y ＝1.7x，当x ＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y ＝0.8x，当x ＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y ＝0.8x在R 上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但不适合．由于 1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现． 变式训练1．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，按大小顺序排列a ，b ，c .答案：b ＜a ＜c (a ，b 可利用指数函数的性质比较，而c 是大于1的)． 2．比较13a 与12a 的大小(a ＞0且a ≠0)．答案：分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．当0＜a ＜1时，13a ＞12a ；当a ＞1时，13a ＜12a .例3 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝142x -；(2)y＝23⎛ ⎪⎝⎭(3)y＝活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式．解：(1)令x －4≠0，则x ≠4，所以函数y ＝142x -的定义域是{x ∈R |x ≠4}，又因为1x －4≠0，所以142x -≠1，即函数y ＝142x -的值域是{y |y ＞0且y ≠1}．(2)因为－|x |≥0，所以只有x ＝0.因此函数y＝23⎛ ⎪⎝⎭{x |x ＝0}．而y＝23⎛ ⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，即函数y＝23⎛ ⎪⎝⎭的值域是{y |y ＝1}．(3)令2x x ＋1－1≥0，得2x －x －1x ＋1≥0，即x －1x ＋1≥0，解得x ＜－1或x ≥1， 因此函数y＝{x |x ＜－1或x ≥1}．由于2x x ＋1－1≥0，且2x x ＋1≠2，所以2x x ＋1－1≥0且2x x ＋1－1≠1.故函数y ＝{y |y ≥1，y ≠10}． 点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y ＞0. 变式训练求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝2212x x -⎛⎫⎪⎝⎭；(2)y ＝32x －1－19；(3)y ＝a x－1(a ＞0，a ≠1)． 答案：(1)函数y ＝2212x x -⎛⎫⎪⎝⎭的定义域是R ，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞；(2)函数y ＝32x －1－19的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，值域是[0，＋∞)；(3)当a ＞1时，定义域是{x |x ≥0}，当0＜a ＜1时，定义域是{x |x ≤0}，值域是[0，＋∞).例4 比较下列两个数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4)2313-⎛⎫⎪⎝⎭，352-.活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及时评价学生． 解法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行大小的比较：对(1)，因为30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7；对(2)，因为0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，因为1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，因为2313-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2.080 084,352-＝0.659 754，所以2313-⎛⎫ ⎪⎝⎭＞352-.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：对(1)，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7；对(2)，因为函数y ＝0.75x 在R 上是减函数，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，由指数函数的性质知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，由指数函数的性质知2313-⎛⎫ ⎪⎝⎭＞⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1＝20＞352-，所以2313-⎛⎫ ⎪⎝⎭＞352-.解法三：利用图像法来解，具体解法略． 点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”． 变式训练比较n －1a n与na n ＋1(a ＞0，a ≠1，n ∈N ＋，n ＞2)的大小关系．解：因为n －1a n＝1n n a -，na n ＋1＝1n na +，而n ∈N ＋，n ＞2， 所以n n －1－n ＋1n ＝1n n －1＞0，即n n －1＞n ＋1n.因此：当a ＞1时，1n n a-＞1n na+，即n －1a n＞na n ＋1；当0＜a ＜1时，1nn a -＜1n na +，即n －1a n＜na n ＋1.知能训练1．下列关系中正确的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1523＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1523 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1523＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1523＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213答案：D2．函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)对任意的实数x ，y 都有( )． A ．f (xy )＝f (x )·f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) 答案：C3．函数y ＝a x ＋5＋1(a ＞0，a ≠1)恒过定点__________． 答案：(－5,2) 拓展提升 探究一：在同一坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝10x的图像，比较这三个函数增长的快慢． 活动：学生深刻回顾作函数图像的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函x x x000图5从表格或图像可以看出：(1)x＜0时，有2x＞3x＞10x；(2)x＞0时，有2x＜3x＜10x；(3)当x从0增长到10，函数y＝2x的值从1增加到1 024，而函数y＝3x的值从1增加到59 049.这说明x＞0时y＝3x比y＝2x的函数值增长得快．同理y＝10x比y＝3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a＞b＞1时，(1)x＜0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x＝1；(3)x＞0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越大，x＞0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图像(图6)，对照底数为2、3、10的指数函数的图像，研究指数函数y＝a x(0＜a＜1)中a对函数的图像变化的影响．图6由此得：一般地，0＜a＜b＜1时，(1)x＞0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x ＝1；(3)x＜0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越小，x＞0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图像和性质．3．利用函数的图像说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业习题3—3 A组1、2.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数的概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的，本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．(设计者：韩双影)。
指数的知识点总结
指数的知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义指数是代表幂运算的一个数，用来表示多少个相同的数相乘。
指数通常写在被乘数的右上角，被乘数称为基数，指数称为幂。
例如，在2^3中，2是基数，3是指数。
1.2 指数运算的性质（1）指数相同，底数相乘a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数相同，底数相除a^m / a^n = a^(m-n)（3）指数相同，底数相乘相除后再开方(a^m * b^n)^(1/m) = a * b^(n/m)二、指数的实际应用2.1 科学计数法科学计数法是一种用指数表示较大或较小数值的方法，常用于自然界中出现的非常大或非常小的数值，例如宇宙中的距离、原子的直径等。
科学计数法的表示方法为a * 10^n，其中a为系数，n为指数。
例如，地球到太阳的距离约为1.5 * 10^11米。
2.2 质子、中子和原子量在物理学中，质子和中子的质量通常用原子质量单位（amu）表示，原子质量单位是以碳-12的质量为准，定义为1/12个碳-12原子的质量。
质子的质量约为1.0073amu，中子的质量约为1.0087amu。
因此，质子和中子的质量可以表示为10^(-27)千克。
2.3 天文学中的光年在天文学中，光年是一种长度单位，表示光在一年内在真空中传播的距离。
光年通常用于测量恒星、星系等天体的距离。
1光年约为9.461 * 10^15米。
2.4 生物学中的基因组大小在生物学研究中，经常需要测量生物体的基因组大小，即DNA的长度。
基因组大小通常以基本对数为单位，如千兆（G）或十亿（B）碱基对。
例如，人类的基因组大小约为3 * 10^9碱基对。
三、指数函数3.1 指数函数的定义指数函数是以常数e为底的指数函数，通常用y=e^x表示。
指数函数的图像为一条通过点（0,1）的递增曲线，呈指数增长。
指数函数在数学、经济学、生物学等领域具有广泛的应用。
3.2 指数函数图像的性质（1）当x为负数时，e^x的值在0到1之间逐渐减小；（2）当x为正数时，e^x的值逐渐增大。
第3章 §3 第1课时指数函数的图像和性质
D [由0<a<1，知y＝ax是减函数，y＝(a－1)x2的图像开口向下．故选 D.]
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指数函数的性质
自 主 预 习 • 探 新 知
[探究问题]
1 1 x 1．函数y＝2 与y＝ 的定义域有什么关系？单调性有什么关系？
x
提示：定义域相同，单调性相同．
11 1 x 2．函数y＝ 2 与y＝x 的定义域有什么关系？单调性有什么关系？
－1
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指数函数的图像
(1)函数y＝3 x的图像是(
－
)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
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(2)如图331是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，
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2．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)．则f(－2)＝________. 【导学号：60712233】
1 x 2 [ 设 f ( x ) ＝ a ，由 f (2) ＝ 4 ，得 a ＝4，又a>0，且a≠1，则a＝2， 4 1 ∴f(x)＝2 ，∴f(－2)＝2 ＝4.]
大于0 且 不等于1 的常量，函数的定义域是实数集R.
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思考1：指数函数定义中，为什么规定a>0且a≠1?
[提示] (1)若a＝0，则x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a<0，则其定义域不是R.
高中数学 3.3.1、2指数函数的概念 指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质课件 北师大版必修1
• 通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象.
1.指数函数定义 函数__y_＝__a_x__叫作指数函数，其中_a_>_0_且__a__≠_1__，定义域为 __R____，值域为_(_0_，__＋__∞_)__． 2．指数函数 y＝2x 和 y＝(12)x 的图像与性质 两个函数图像的相同点：都位于___x_轴____的上方，都过点 __(_0_,_1_) __；不同点：函数 y＝2x 的图像是_上__升__的___；函数 y＝(12)x 的图像是_下__降__的___．
1
(1)y＝2x-4
；(2)y＝(23)－|x|；(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
[思路分析] 先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求
出值域
[规范解答] (1)由 x－4≠0 得 x≠4.∴定义域为{x|x≠4}．
又x－1 4≠0，∴2x1-4
1
≠1.∴y＝2x-4
的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
1.若指数函数 y＝ax 经过点(－1,3)，则 a 等于( )
A．3
1 B.3
C．2
1 D.2
[答案] B
[解析] 依题意有 a－1＝3，
即1a＝3.所以 a＝13.
1
1
1
2．若 a＝0.52 ，b＝0.53 ，c＝0.54 ，则 a，b，c 的大小顺
序是( )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a<c<b
(2)定义域为 R.∵|x|≥0，∴－|x|≤0. ∴(32)－|x| ≥1，∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为 R. 令 t＝2x，则 t>0，从而函数可化为 y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2>1. ∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}． [规律总结] 对于函数 y＝af(x)
理解指数函数的基本概念与性质
理解指数函数的基本概念与性质指数函数是数学中的一种特殊函数，它的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
指数函数以其特殊的增长特性和广泛的应用而备受关注。
本文将从基本概念和性质两方面来深入理解指数函数。
一、基本概念指数函数是以常数e（数学常数，约等于2.71828）为底的幂函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在指数函数中，底数a大于0且不等于1，指数x可以是任意实数。
1.1 指数函数的图像特点指数函数的图像呈现出特殊的增长规律。
当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现下降趋势。
指数函数的图像经过点(0, 1)，这是由于a^0等于1。
1.2 指数函数的性质指数函数有以下重要性质：a) 当指数为零时，指数函数的值始终为1，即a^0 = 1；b) 当指数为正数时，指数函数呈现递增趋势，即a^n（n为正数）；c) 当指数为负数时，指数函数呈现递减趋势，即a^(-n) = 1 / a^n（n为正数）。
二、指数函数的常见应用指数函数在科学、金融和工程等领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：2.1 大自然的增长规律许多自然现象都可以使用指数函数来描述，如人口增长、细胞分裂等。
指数函数可以帮助我们预测和研究这些现象的增长趋势和规律。
2.2 经济增长与财务规划经济增长也可以通过指数函数来描述，特别是在复利计算中。
指数函数可以帮助我们理解和规划财务增长，包括银行利息计算、投资回报预测等。
2.3 无限接近与趋势逼近指数函数的特殊性质使其在数学中有着广泛的应用，如级数求和、数值逼近等。
指数函数可以帮助我们更好地理解和利用数学中的各种概念和方法。
三、指数函数的注意事项在应用指数函数时，需要注意以下几点：3.1 底数a的取值指数函数中，底数a大于0且不等于1，具体数值的选择取决于具体应用场景。
需要根据问题需求和实际情况来确定合适的底数。
3.2 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
北师大版(2019)数学必修第一册：3.3.1 指数函数的概念 教案
指数函数的概念【教学目标】1．理解指数函数的概念；2．在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题。
【教学重难点】指数函数概念、性质。
【教学过程】一、创设情境、提出问题师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，……，按这样的规律，50号同学该准备多少粒米？学生：回答粒数师：如果改成1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1．2亿吨师：1．2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x 和y =（）学生可能漏掉x 的范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。
二、新知探究1．指数函数的定义思考以下问题①y =（）和（且x ）这两个解析式有什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察，两个函数中底数是常数，指数是自变量。
师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数，我们把它称作指数函数。
2．让学生讨论并给出指数函数的的定义。
对底数得分类，可将问题分解为：2x *x N ∈2x *x N ∈ 1.073x y =*x N ∈20≤①若a<0，会有什么问题？②若a=0，会有什么问题？③若a=1，又会怎样？学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a ≠1接下来教师可以让学生写几个指数函数，同时教师在黑板写一些解析式让学生判断，如。
3．典例示范、巩固练习例1、已知指数函数 = ( )的图像经过点（3，），求，的值。
高中数学指数函数教学纲要
高中数学指数函数教学纲要1. 简介本教学纲要旨在帮助高中生理解和掌握指数函数的基本概念、性质和应用。
通过系统的教学安排和合理的教学方法，学生将能够在数学中建立起对指数函数的深刻认识，并能够运用所学知识解决实际问题。
2. 教学目标- 理解指数函数的定义和基本性质；- 掌握指数函数的图像和变化规律；- 熟练运用指数函数的运算方法；- 掌握指数函数的应用，如复利计算、人口增长模型等；- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 教学内容3.1 指数函数的定义和性质- 指数函数的定义和符号表示；- 指数函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性等；- 指数函数与常数函数的比较。
3.2 指数函数的图像和变化规律- 指数函数的基本图像和特点；- 指数函数的增长速度和单调性；- 指数函数的平移、伸缩和翻转。
3.3 指数函数的运算- 指数函数的加减运算；- 指数函数的乘除运算；- 指数函数的复合运算。
3.4 指数函数的应用- 复利计算和利率问题；- 人口增长模型和指数增长问题；- 其他实际问题的应用。
4. 教学方法- 讲授与演示相结合：通过讲解指数函数的定义和性质，并结合图像演示，引导学生理解和记忆知识点。
- 练与巩固相结合：提供大量的练题，让学生在实践中巩固所学知识，培养解题能力。
- 实践与应用相结合：引入实际问题，让学生将所学的指数函数知识应用于解决实际问题，加深理解和应用能力。
5. 教学评价- 课堂表现评价：包括学生的参与度、理解程度和解题能力等。
- 作业和考试评价：通过布置作业和考试，测试学生对指数函数的掌握情况和应用能力。
6. 教学资源- 教材：选择与教学内容相符的教材，包括指数函数的定义、性质和例题等。
- 多媒体工具：使用多媒体投影仪或电子白板展示指数函数的图像和演示过程。
- 练题集：选取适当难度的练题，供学生进行课后巩固和自主。
7. 教学时长根据学校的具体安排和课程要求，本教学纲要建议安排为30学时左右，灵活调整教学进度和深度。
北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件
+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是
初级函数的概念与图像
初级函数的概念与图像函数是数学中非常重要的概念之一，它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
初级函数是函数的一个重要子集，它是我们学习函数概念时的第一步。
本文将介绍初级函数的概念与图像，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1.初级函数的定义在数学中，我们把映射关系中的自变量和因变量都是实数的关系称之为函数。
初级函数是一类简单而常见的函数，它们的定义域和值域都是实数集。
同时，初级函数的运算简单直观，在数学中有着广泛的应用。
2.常见初级函数2.1. 线性函数线性函数是一种最简单的初级函数形式，它的解析式可以写作f(x) = ax + b，其中a和b都是实数常数。
这类函数的图像呈现一条直线，斜率为a，截距为b。
例子：y = 2x + 12.2. 平方函数平方函数是一类函数，它的解析式可以写作f(x) = ax^2，其中a是实数常数。
平方函数的图像是抛物线，开口的方向和a的正负有关。
例子：y = x^22.3. 指数函数指数函数是一类具有指数形式的函数，它的解析式可以写作f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的图像在直角坐标系中呈现指数递增或递减的曲线。
例子：y = 2^x2.4. 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数，它的解析式可以写作f(x) = logₐ(x)，其中a是正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条反比例曲线。
例子：y = log₂(x)3.初级函数的性质初级函数具有一些共同的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
以下是初级函数常见的性质：3.1. 定义域和值域初级函数的定义域和值域都是实数集，这意味着对于定义域内的任意实数，函数都能够给出一个实数作为结果。
3.2. 奇偶性初级函数可以根据其解析式的奇偶性进行分类。
如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
指数函数与对数函数的基本概念与性质
指数函数与对数函数的基本概念与性质1. 引言指数函数和对数函数是高中数学中重要的函数概念，广泛应用于科学、工程和经济等各个领域。
本文将介绍指数函数和对数函数的基本概念及其性质。
2. 指数函数的基本概念指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数，通常表示为y =a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。
指数函数的定义域为实数集，底数大于0且不等于1。
3. 指数函数的性质3.1 底数大于1时，指数函数呈现增长趋势；底数在(0,1)之间时，指数函数呈现衰减趋势；底数为1时，指数函数为常值函数。
3.2 指数函数的值域取决于底数的正负情况，当底数大于1时，值域为(0,正无穷)；当底数在(0,1)之间时，值域为(正无穷,0)。
3.3 指数函数具有反函数，即对数函数。
4. 对数函数的基本概念对数函数是指以某个常数为底数，以该底数的幂作为自变量的函数，通常表示为y = loga x，其中a为底数，x为函数值，y为自变量。
对数函数的定义域为正实数集。
5. 对数函数的性质5.1 对数函数的底数必须大于0且不等于1，函数值大于0。
5.2 对数函数的图像呈现与指数函数相反的趋势，即底数大于1时，对数函数呈现衰减趋势；底数在(0,1)之间时，对数函数呈现增长趋势；底数为1时，对数函数为常值函数。
5.3 对数函数的值域取决于底数的正负情况，当底数大于1时，函数值在负无穷到正无穷之间；当底数在(0,1)之间时，函数值在正无穷到负无穷之间。
6. 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^loga x = x，loga(a^x) = x。
指数和对数函数的性质可以相互推导，其中指数函数的性质1对应于对数函数的性质5。
指数函数和对数函数在实际应用中常常相互转化使用。
7. 应用举例7.1 金融领域：指数函数可以用来计算复利，对数函数可以用来计算年化收益率。
7.2 化学领域：指数函数可以用来描述元素的放射性衰变过程，对数函数可以用来描述溶液的酸碱性。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学中的应用非常广泛。
本文将介绍幂函数与指数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义与性质1.1 幂函数的定义幂函数是指函数表达式为y = x^n的函数，其中x为自变量，n为常数指数。
幂函数可以分为两种情况：（1）当指数n为正整数时，幂函数满足由0到正无穷的定义域。
其图像为平滑的上升或下降曲线，当n为偶数时，曲线开口向上；当n 为奇数时，曲线开口向下。
（2）当指数n为负整数时，幂函数的定义域为非零实数集，其图像是一系列关于y轴对称的图像。
1.2 幂函数的性质（1）当n为正整数时，幂函数的值随着自变量的增大而增大，当自变量为0时，函数值为0。
（2）当n为负整数时，幂函数的值随着自变量的增大而减小，当自变量为0时，函数值的绝对值趋近于无穷大。
（3）当n为零时，幂函数为常函数，函数值恒为1。
二、指数函数的定义与性质2.1 指数函数的定义指数函数是指函数表达式为y = a^x的函数，其中a为常数底数，x为自变量。
（1）当底数a大于1时，指数函数的定义域为实数集，其图像为逐渐增长的曲线，且在经过点(0,1)。
（2）当0 < a < 1时，指数函数的定义域同样为实数集，其图像为逐渐减小的曲线，同样经过点(0,1)。
2.2 指数函数的性质（1）当底数a大于1时，指数函数的值随着自变量的增大而增大，其函数图像从左下方逐渐上升。
（2）当0 < a < 1时，指数函数的值随着自变量的增大而减小，其函数图像从左上方逐渐下降。
（3）当自变量为0时，指数函数的函数值恒为1。
三、幂函数与指数函数的应用幂函数与指数函数在数学和实际问题中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：3.1 数值问题幂函数和指数函数可以用于解决一些数值问题，如计算复利、经济增长等。
例如，当我们需要计算一个初始投资金额在经过n年后的复利总金额时，可以使用指数函数来表示。
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录高中数学必修二的目录如下：
第一章：不等式
1.1 一次不等式
知识点1：一次不等式的解集
知识点2：一次不等式的性质
知识点3：一次不等式的应用
1.2 二次不等式
知识点1：二次不等式的解集
知识点2：二次不等式的性质
知识点3：二次不等式的应用
第二章：函数概念与初等函数
2.1 函数的概念
知识点1：函数的定义和性质
知识点2：函数的表示方法
2.2 幂函数
知识点1：幂函数的概念与性质
知识点2：常用幂函数的图像与性质
2.3 指数函数
知识点1：指数函数的概念与性质
知识点2：常用指数函数的图像与性质
2.4 对数函数
知识点1：对数函数的概念与性质
知识点2：常用对数函数的图像与性质第三章：三角函数
3.1 弧度制与角度制
知识点1：弧度制与角度制的换算
知识点2：弧度的性质与应用
3.2 正弦函数与余弦函数
知识点1：正弦函数与余弦函数的定义
知识点2：正弦函数与余弦函数的性质与图像
3.3 正切函数与余切函数
知识点1：正切函数与余切函数的定义
知识点2：正切函数与余切函数的性质与图像第四章：平面向量
4.1 平面向量的表示与运算
知识点1：平面向量的定义与表示方法
知识点2：平面向量的运算法则
4.2 平面向量的数量积
知识点1：平面向量的数量积的定义与性质知识点2：平面向量的数量积的应用
4.3 平面向量的叉积
知识点1：平面向量的叉积的定义与性质
知识点2：平面向量的叉积的应用
以上是高中数学必修二的目录，涵盖了不等式、函数概念与初等函数、三角函数以及平面向量等内容。
中专数学高一函数知识点
中专数学高一函数知识点函数是数学中的重要概念，在高中数学的学习过程中也起到了至关重要的作用。
本文将介绍中专高一数学中的函数知识点，包括函数的定义、性质以及一些常见的函数类型。
希望通过本文的阐述，能够帮助同学们在数学学习中更好地理解和掌握函数的概念和应用。
1. 函数的定义（100字）函数是一个集合关系，即对于集合X中的每一个元素x，都存在唯一的一个元素y与之对应。
换句话说，函数是一种输入与输出之间具有确定关系的数学映射。
函数可以用记号f(x)来表示，其中f表示函数名，x表示输入的自变量，而f(x)表示自变量x的函数值或者因变量。
函数所对应的集合中的元素可以是实数、自然数、整数等。
2. 函数的性质（200字）在数学中，函数具有一些基本的性质，我们可以通过这些性质来了解函数的特点和规律。
2.1 一一对应关系：函数中的每个自变量x都对应一个唯一的函数值f(x)，而且不同的自变量对应不同的函数值。
2.2 定义域和值域：函数的定义域是指所有可取的自变量的值的集合，而函数的值域是指所有可能的函数值的集合。
2.3 奇偶性：函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
2.4 单调性：函数可以是增函数或者减函数。
增函数指的是随着自变量的增大，函数值也增大；减函数指的是随着自变量的增大，函数值减小。
3. 常见的函数类型（300字）在高一数学中，我们经常会接触到一些常见的函数类型。
接下来，我们将介绍一些常见的函数及其特点。
3.1 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，其定义形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，具有恒定的斜率。
3.2 二次函数：二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由二次项系数的正负决定。
3.3 指数函数：指数函数是以底数为常数的指数形式表示的函数，其定义为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
高中数学的指数函数教育指导
高中数学的指数函数教育指导1. 引言指数函数是高中数学中的重要内容之一，是一种常见的数学模型，广泛应用于自然科学、经济学和工程学等领域。
本文将为教师提供一些指导，帮助他们有效地教授高中数学中的指数函数知识。
2. 教学目标- 了解指数函数的定义和性质；- 掌握指数函数的图像特征和基本变换；- 理解指数函数与对数函数的互逆关系；- 能够解决实际问题中的指数函数应用。
3. 教学内容3.1 指数函数的定义和性质- 介绍指数函数的定义，即$f(x) = a^x$，其中$a$为底数，$x$为指数；- 解释指数函数的增长特点和性质，如正指数函数的增长趋势，负指数函数的衰减趋势；- 讨论指数函数的定义域和值域。
3.2 指数函数的图像特征和基本变换- 绘制指数函数的典型图像，包括正指数函数和负指数函数；- 分析指数函数图像的特点，如与坐标轴的交点，单调性和对称性；- 引入指数函数的基本变换，如平移、伸缩和翻转。
3.3 指数函数与对数函数的互逆关系- 介绍指数函数与对数函数的定义和互逆关系；- 解释指数函数与对数函数的图像关系，如对数函数是指数函数的反函数；- 强调指数函数和对数函数的运算特性和应用。
3.4 指数函数的应用- 举例指数函数在实际问题中的应用，如人口增长模型、放射性衰变模型等；- 引导学生分析和解决实际问题，应用指数函数进行建模和预测；- 提供一些练题和案例，帮助学生巩固和应用所学的知识。
4. 教学方法- 结合具体例子和实际问题，引导学生主动探究指数函数的性质和应用；- 鼓励学生进行小组讨论和合作，加强对知识的理解和应用；- 使用多媒体技术和教学工具，展示指数函数的图像和实际应用；- 针对学生的不同水平和需求，提供个性化的辅导和练。
5. 总结本文提供了一份高中数学中指数函数教育指导的文档，主要包括教学目标、教学内容、教学方法等方面的建议。
通过合理的教学设计和实施，帮助学生全面理解和掌握指数函数的概念、性质和应用，提高他们的数学素养和问题解决能力。
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1 x 4
(1)要使函数有意义，必须 x－4≠0，
≠1，
故函数的值域为{y|y>0，且 y≠1}；
虹屏居
17
例 题 解 析
(2)定义域为 R. ∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 1 2 x－x2 1 1 1 ∴(2) ≥(2) ＝2. 1 2 x－x2 1 故函数 y＝(2) 的值域为{y|y≥2}；
指数函数图像.gsp
虹屏居
12
探究新知
两个函数图像的相同点：
都位于 x 轴的上方，都过点（0，1）．
两个函数图像的不同点：
1 x y ( ) 的图像是 函数 y 2 的图像是上升的；函数 2
x
下降的．
虹屏居
13
探究新知
可以得到两个函数的性质： 定义域都是实数集R； 函数值都大于0； 20=(0.5)0=1；
1 x y 2 ，y ( ) 是不是以前所学过的函数 2
x
函数 y=ax 叫作指数函数，自变量 x 在指数位置
上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定
义域是实数集R.
指数函数 y=ax ，为什么规定底数a是一个大于0
且不等于1的常量？
虹屏居 8
探究新知
指数函数 y=ax ，规定底数a是一个大于0且不等于1的理由： 如果a=0，
(1 ) y 2 ； 1 2 x x2 (2) y ( ) ； 2 (3) y 5
3 x2 1 x4
.
思路点拨：函数的定义域是使函数有意义的自变量的
取值范围，分式问题要使分母不为0，偶次根式问题要 使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根 据单调性等确定值域．
虹屏居 16
例 题 解 析
虹屏居 22
(1) y 3 x ； ( 2) y x 2 ； (3) y 3 x ； (4) y (3) x ； (5) y x ； (6) y (2 x ) 2 ； 1 2 (7) y x ； (8) y (6a 3) (a ，且a ) ； 2 3
x x
虹屏居
x－1
的定义域是
(
)
A．{x|－ 2≤x≤ 2} C．{x|x≥1}
解析：x 满足
2 2－x ≥0⇒ － 2≤x≤ x－1≥0⇒ x≥1.
B．{x|1≤x≤ 2} D．R
2，
∴1≤x≤
2.
虹屏居
20
1 － 2 －8x＋1 4．求函数 y＝(3) (－3≤x≤1)的值域． 解：令 t＝－2x2－8x＋1，
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要 的函数模型；能运用现代信息技术学习、探索和解决问 题．
3．情感、态度与价值观
通过研究，认识变换与对应，感受建模的过程与方法．
虹屏居
2
重点难点
重点：指数函数的定义．
难点：理解具体指数函数的图像与性质．
虹屏居
3
情 境 导 入 • 一张纸对折1次可得2层，对折2次可得4层，… 请你写出1张纸对折 x 次可得层数 y 与 x 的函数关 系式．若能将一张纸对折30次，你敢从上面跳下 来吗？
虹屏居
18
例 题 解 析
2 (3)要使函数有意义，必须且只需3x－2≥0，即x≥3，
2 ∴函数的定义域为3，＋∞.
设t＝ 3x－2，则t≥0，y＝5t， ∴y≥50＝1.
. 1 ，＋ ∞ ∴所求函数的值域为
虹屏居
19
巩固练习 巩固练习
3．函数 y＝ 2－x2＋2
函数 y 2 减函数．
x
1 x 是R上的增函数；函数 y ( ) 是R上的 2
x x y 2 ( x N ) y 2 ( x R) 正整数指数函数 与指数函数
都是增函数，但它们的图像不同．
虹屏居
14
巩固练习
• P71 练习
虹屏居
15
补 题 解 析 补题1 求下列函数的定义域和值域．
虹屏居
4
情 境 导 入
分析：y 与 x 的函数关系式 y=2x ；
将一张纸对折30次 ，即 x=30，230=1073741824
教科书一页纸的厚度约为0.12毫米
230×0.12=1073741824×0.12 = 128849018.88(mm) =128849.01888(m) =128.8490188(km)
{
当x > 0时，ax恒等于0； 当x≤0时，ax无意义 .
如果a < 0，如 y=(-4)x ，当x=0.5时，在实数范围内函数
值不存在 .
如果a =1， y=1x =1，是一个常量，对它就没有研究的
必要 ，为了避免上述各种情况，所以规定底数a≥0且a≠1.
虹屏居
9
巩固练习 巩固练习 1．指出下列函数哪些是指数函数：
x2
1t 则 y＝(3) ， 又 t＝－2x2－8x＋1 ＝－2(x2＋4x)＋1 ＝－2(x＋2)2＋9， － 3≤ x≤ 1当x＝1时，tmin＝－9， 故－9≤t≤9， 19 1 －9 ∴(3) ≤y≤(3) ， 即3－9≤y≤39， 故所求函数值域为[3－9,39].
虹屏居
5
情 境 导 入 世 不 竭 。 其 半 ， 万
一 段 话 ： 一 尺 之 棰 ， 日 取
记 载 有 这 样
我 国 古 代 庄 子 《 天 下 篇 》
虹屏居
6
情 境 导 入 • 设棰的长度为1，请你写出 x 天剩下的长度 y 与 x 的函数关系式．
1 x y( ) 2
虹屏居
7
探究新知
• 这里的 • 呢？如果不是，那它又是什么函数呢？
10
巩固练习 巩固练习 2．若函数y＝(a2－3a＋3)· ax是指数函数，求a的 值． 解 由指数函数的定义知，
{a > 0且a≠1
由得a=1或2，结合得a=2.
a2-3a+3=1
虹屏居
11
探究新知
怎样研究
1 x y 2 ，y ( ) 的图像和性质？ 2
x
你能画出它们的图像吗？
北师版第三章 指数函数和对数函数
3 .1 指数函数的概念 1 x x 3 .2 指数函数 y 2 ，y ( ) 的图像和性质
2
泗县职教中心 丁飞 2014.10
虹屏居
1
教学目标
1．知识与技能 理解指数函数的概念和意义；能列表描点或借助图形计算 器、计算机画出具体指数函数的图像．
2．过程与方法