6.2.1 反比例函数的图像和性质(公开课)
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递 减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数 与一次函数结合起来，例如分段函数中的一 部分为反比例函数，另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质， 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如，在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时， 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。
6.2 课时1 反比例函数的图象 课件 (共19张PPT) 数学北师版九年级上册
1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特征.2.会利用反比例函数图象解决相关问题.
同学们还记得正比例函数图象的特点吗?
当k>0时,图象经过第一、三象限;
是一条直线且经过(0,0)与(1,k)
正比例函数
解析式
图象
当k<0时,图象经过第二、四象限
观察思考：
x
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转1800 能与原来的图象重合吗？为什么？
能重合，因为反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点.
x
（3）将反比例函数的图象沿着直线y=x或者y=-x折叠，两部分图象能够重合吗？为什么？
能重合，因为反比例函数是轴对称图形，对称轴是y=x或y=-x.
x
x
4
8
…
…
…
1
2
4
8
- 8
- 4
- 2
-1
(2)描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点。
(1)图象与x轴相交吗？图象与y轴相交吗？为什么？
结论：反比例函数图象两个分支无线接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交
不能与x轴，y轴相交,因为 所以不与y轴相交；因为 所以不与x轴相交；
注意问题：①列表：自变量的值可以选取一些互为相反数的一对一对的数，这样既可简化计算,又便于对称性描点，要注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0）。②描点：一般情况下所选的点越多则图象越精确；③连线：用平滑的曲线连接各点，得到反比例函数的图象。
解：（1）列表
x
…
- 8
- 4
-3
-2
-1
1Hale Waihona Puke 23反比例函数
6.2反比例函数的图像和性质课件
y
k 3 x
O
A．
x
O
B．
x
O C．
x
O D．
x
k 4.如图能表示y k (1 x )和y (k 0) x D . 在同一坐标系中的大致图象的是 ____
y
y
O O
y
y x
x B
x
O
x
o
A
C
D
5.如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y=
k x
交于M （2，m） 、N （-1，-4）两点
y k 或y kx1或xy k(k 0) x
y=kx ( k≠0 ) 直线
位置
增减性
双曲线 一、三象限 每个象限内，y随x的 增大而减小 二、四象限 每个象限内，y随x 的增大而增大。
一、三象限 y随x的增大而增大 二、四象限 y随x的增大而减小
k＜ 0
位置
增减性
1、在反比例函数 图象的每一支曲线上， y都 x随的增大而减小，则k的取值范围是什么？ 2、如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第____个 象限内，y随x的增大而__________ k 3、若点 ( x0 , y0 ) 在函数 y x （x＜0）的图象上， 且 x0 y0 2 ，则它的图象大致是（ ）
应注意： 1、自变量 、在不知道图象的 1 x 需要 1 、自变量 x≠0 ； 走向的情况下，取点 取多少值 ? 为什么? 2 、自变量x 的取值要 越多越能反映图象的 对称 2 、取值时要注意 实际情况，但一般取 3、自变量x的取值要 ? 8 —12什么 个值为宜 便于计算和描点 … 6 … 1 -1 …
y
y= 6 x
《反比例函数的图象和性质》说课稿
《反比例函数的图象和性质》说课稿尊敬的评委，各位教师，大家好！今天我要给大家讲述的是《反比例函数的图象和性质》这一主题。
一、教学目标反比例函数在高中数学中占据着非常重要的位置，因此，今天我们的教学目标是：1. 通过学习反比例函数的定义，了解反比例函数与正比例函数的区别；2. 了解反比例函数的图象形状，掌握如何求反比例函数的解析式；3. 掌握反比例函数的性质，并运用反比例函数解决实际问题。
二、教学内容1. 反比例函数的定义与性质反比例函数是指形如$y=\dfrac{k}{x}$ 的函数，其中$k$是常数，$x\neq 0$。
与正比例函数不同的是，反比例函数的函数值随着自变量的增加而变小，其函数图象为一支开口朝下的双曲线。
反比例函数具有以下性质：（1）反比例函数的定义域为$\mathbb{R}-\{0\}$，值域也为$\mathbb{R}-\{0\}$。
（2）反比例函数的图像关于$x$ 轴和$y$ 轴对称。
（3）当x 取正值无限趋近于0 时，函数的图像趋近于$+\infty$；当x 取负值无限趋近于0 时，函数的图像趋近于$-\infty$。
因此，反比例函数无渐近线。
2. 求反比例函数的解析式已知反比例函数的图象是一支开口朝下的双曲线，如何求反比例函数的解析式呢？我们可以根据反比例函数的定义，根据反比例函数的特点，采用以下公式进行求解：$$y=\frac{k}{x}⇒x=\frac{k}{y}⇒y=\frac{k}{x}=\frac{k}{\frac{k}{y }}=ky$$因此，反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}$。
3. 反比例函数的应用反比例函数在实际应用中有着广泛的应用，本文介绍几个实际例子。
（1）汽车的油耗率问题汽车在行驶过程中会消耗燃油，所消耗的燃油量与行驶的距离成反比例关系。
设汽车以恒定的速度行驶，在行驶距离为$d$ 时的燃油消耗量为$y$，那么燃油的消耗率就是$y=\dfrac{k}{d}$。
6.2反比例函数的图像和性质(1)课件(八下)
反比例函数图象画法步骤：
列 表
注意：①列 x与y的 对应值表时，X的值 不能为零，但仍可 以零的基础，左右 均匀、对称地取值。
描 点 描点法
连 线
注意： ③两个分 支合起来才是反比 例函数图象。
注意：②描点时自 从画反比例函数图 左住右用光滑曲线 象看 ,描点法还应注 顺次连结，切忌用 意什么 折线。?
义务教育课程标准实验教科书
浙教版《数学》八年级下册（2014版）
回顾复习：
k ( k 0) 1. 反比例函数的定义： 函数 y x
叫做反比例函数. 2. 反比例函数的特征： k ≠0， x ≠0. x是－1次 3. 反比例函数的确定：待定系数法. 4.它的三种常见的表达形式：
y
课内练习：
y
x
3 关系式是 y . x
p M
N
o x
5. 如图，正比例函数 y kx( k 0)与反比例函数 2 y 相交于A、B两点．过 A作x轴的垂线、过B x 作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形 yABCD的
面积为S，则(B )
A．S＝6 C．2<S<3 B．S=3 D．3<S<6.
对称性
练习 1
5 二,四 象限， 1.函数 y = x 的图象在第_____ 1 1 2. 双曲线 y = 经过点（-3，___ 9） 3x m-2 3.函数 y = x 的图象在二、四象限，则m的 m < 2. 取值范围是 ____ 1 4.对于函数 y = ，当 x<0时，图象在第 3x ________ 三 象限.
描点法 列 表 描 点 连 线
函数图象画法
6.2反比例函数的图象与性质(教案)
一、教学内容
6.2反比例函数的图象与性质：本节课我们将学习反比例函数的图象特点及其性质。内容包括：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）；
2.反比例质：
a.图象在第一、三象限；
b.图象关于原点对称；
c.当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限；
3.提高学生的参与度，通过设立奖项、小组竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。
4.加强课堂提问和反馈，及时了解学生的学习情况，帮助他们巩固所学知识。
在今后的教学中，我会不断总结经验，努力提高教学质量，让每一位学生都能在学习反比例函数的过程中，感受到数学的魅力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的走势和性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示反比例函数图象的绘制及其性质。
2.教学难点
-反比例函数图象的理解：学生需要理解反比例函数图象为双曲线，且曲线与坐标轴无交点。
-反比例函数性质的掌握：如何记住并理解在不同象限内，函数值的变化规律。
-图形变换的应用：将反比例函数图象进行平移、缩放等变换时，如何快速判断变换后的图象。
举例：
a.难点一：通过动态图象演示或手绘图象，帮助学生直观地理解反比例函数图象为双曲线，并解释为何曲线与坐标轴无交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要意义。
6.2.1 反比例函数的图象和性质 浙教版数学八年级下册同步课件(共24张PPT)
x
得 2= k ，解得k=-8.
-4 所以所求的反比例函数的表达式是
y
=
-8 x
(3)补画这个反比例函数图象的另一支.
（3）在已知图象上分别取一些点A、B、C、D，作出它们关
于原点中心对称的点A'、B'、C'、D' ，然后用光滑曲线把它
们依次连结，这样就得到反比例函数
y
=
-8 x
的图象中的另
一分支.
图象的位
它既是轴对称图形，又是_中__心___对__称_
反 置分布
图形，当k＞0时，图象在第_一__、__三__
比
象限；当k＜0时，图象在第_二___、__四_
例
象限
函
数
的
图 描点法画函数 象 图像的基本步
骤
描点法的三个步骤：__列__表____、描 点、连线
随堂演练
B
图6-2-1
C
D
y
6
5
4
3
2 1
y
6 x
－5－4－3－2－1O －1 －2 －3
1 2 3 4 5 6x
－4 －5 －6
（3）先在第一象限内，按自变量由小到大的顺序，将点用光 滑曲线连结，得到图像的一个分支；再在第三象限内画出图 像的另一个分支。
y
6
5
4
用光滑曲线连结时要
3
自左向右顺次连结
2 1
y
6 x
－5－4－3－2－1O －1 －2 －3
（1）列表.
x ·· -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ·· y ·· 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 ··
反比例函数的图像和性质ppt市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
y
0 x (B )
y
0 x (D )
y
0
(B x)
y
0
x
(D )
y 0x y 0x y 0x y 0x
第18页
一、复习：
函数 图象
• 正百分比在函每数个象• 反百分比函数
• y=kx 限内
y —xk
经点 (0,0) ,
关于 原点对
(1,k)直线
称双曲线
k＞0
性
质 k＜0
y随x增 大而增大
y随x增 大而减小
第14页
练一练 5
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反百分比函数y 100 x
图象上，则（ B ）
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
第15页
练一练 6
已知圆柱侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为 rcm,高为hcm,则h与r函数图象大致是( )C.
反百分比函数图像和性质
第1页
回顾与思索1
挑战“记忆”
你还记得一次函数图象与性质吗?
一次函数y=kx+b(k≠0)图象是一条直线, 称直线y=kx+b.
当k>0时,
y
b>0
b=0
பைடு நூலகம்
o
x
b<0
当k<0时,
y
b<0
b=0
o
x
b<0
y随x增大而增大;
y随x增大而减小.
第2页
回顾与思索2
“预见性”,猜一猜
性 两个分支分别在第 两个分支分别在第
6.2.1反比例函数的图象 课件 北师大版数学九年级上册
)
【题型三】图象的应用
例 4：在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 =
−
的
图象位于第二、四象限内，则k的取值范围是 __________.
<
例5：如图，正比例函数. = ≠ 与反比例函数 =
− 的
图象交于点 A − 和点 B，求点 B的坐标.
它有两条对称轴，分别是直线y=x和直线y=-x
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点一：反比例函数的图象
反比例函数的图象是由两支曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线.
知识点二：反比例函数的图象的特征
反比例函数 = 的图象的位置由k决定.
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
解: 把点. − 的坐标代入 =
得=
−
−
− ,
= , ∴ − .
∵反比例函数 =
− 的图象关于原点对称，直线AB过原点，
∴易得点 A 和点B 关于原点对称，∴点 B的坐标为( − .
课堂小结
1.反比例函数的图象由什么构成？
两支曲线
2.当 k>0 时，反比例函数的图象在第几象限？当 k<0 时呢？
取决于k的符号.当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内
小组讨论
2.反比例函数的图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.是
轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.
反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心
反比例函数的图象与性质说课稿(共22张PPT)
的变化情况； ⑶电脑演示和学生小组讨论，由学生得出结论： 当k>0时,y随x的增大而减小; 当k<0时, y随x的增大而增大。
老师补充小结：必须限定在每一象限内，才有 以上性质成立。
问题6：探索思考反比例函数的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
y=-x
y
y=x
0
12
x
y = —kx
10
本环节的设计意图是引导学生发现反比例函
数 y 4 和 y - 4 的8图象关于x轴和y轴对称。
x
x
y4 x
1.知识技能：学会用描点法作反比例函数的图象，能 结合函数图象进行探索.理解并掌握反比例函数的性质。
2.过程与方法：在动手实践.合作交流中，培养学生的 团结协作精神，通过函数图象探索反比例函数的性质， 让学生体验到数学活动中充满了探索与创造，培养了 学生的创新意识。
3.情感态度与价值观：培养学生的作图能力，以及观 察、分析、归纳能力，渗透数形结合的数学思想方法， 逐步形成解决问题的一些基本策略。
4
y
=
6 x
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
-1 1 2 3 4 5 6 …
-6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y
6
y=
6 x
北师大版九年级数学上册反比例函数的图像和性质课件(共41张)
为反比例函数，则m的值是
(C)
1 2
(D) 1
返回
2．如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴
x 于点B，若 SAOB 3 则k为（ A）
(A) 6 (B) 3 (C) 3 D 无法确定
2
返回
3．函数y
k x
的图象经过（1，-1），则函
数 y kx 2 的图象是 （A ）
y
-2 O x
大，则m的取值范围是（ A）.
A、m<-1 B、m>-1 C、m>1
D、m<1
返回
性
y随x的增大而减小
例
函
位
置 二四象限
二四象限
数 的
K<0
增 减
y随x的增大而减小 在每个象限内，
区
性
y随x的增大而增大
分
对称性
轴对称 中心对称
轴对称 中心对称
专题一
反比例函数的图像和性质
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象散布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
y＝
4 x
与y＝
2 x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平
行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，
连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
拓展提高
双曲线: y＝ 4 与y＝ 2
x
x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的
直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则
2.反比例函数的图象关于原点成中心对称.
九年级数学教案--6.2反比例函数 的图像与性质(1)
第六章 反比例函数6.2.反比例函数的图像与性质(1)学习目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.预习案课前导学：一、阅读课本P 152-154,完成下列内容:1.当初,我们从函数表达式、 、性质三方面研究了一次函数。
2.画一次函数图象的步骤是列表、描点、 。
3.借助图象，我们研究了一次函数的 性质。
二、尝试练习：1.类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4y x =的图象. (1)列表： x-8 -4 -3 -2 -1 -21 21 1 2 3 4 8 y=x 4(2)描点： （图5-1） (3)连线：（图5-2）2.反比例函数图象是什么？3.画反比例函数图象应该注意的问题是什么？4、总结归纳：做一做：在同一坐标系画出反比例函数4y x-=的图象.y xO学习案 一、反比例函数的三种表示方法：二、画反比例函数图象的步骤是列表、描点、 。
三、画反比例函数3y x=和3y x -=的图象图象取点时,应该注意左右对称,容易描点. 四、观察3y x=和3y x -=的图象的形状和位置,有什么相同点和不同点。
1．自己观察图象找出相同点和不同点。
2．小组展开讨论反比例函数4y x=和4y x -=的图象在哪两个象限,由什么确定。
结论：图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线.反比例函数的图象由 决定.当k>0时,两支双曲线分别位于 象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于 象限内.提问：1、反比例函数图象是中心对称图形吗？ 若是的话，请找出对称中心.2、反比例函数图象是轴对称图形吗？若是的话，你能试着说明它的对称轴是什么吗？反馈案一、基础训练：1.小华画的反比例函数6y x =的图象如图所示，你认为他画的对吗？ 2.已知y =xk (k ≠0)的图象的一部分如图，则k __________0 3. 反比例函数m y x=的图象两支分布在第二、四象限，则点(m ，2-m )在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4、xy 3-=（x ＞0）的图象叫 ，图象位于 象限， 5、写出一个图象分布在二、四象限内的反比例函数解析式 . 6、u 与t 成反比，且当u ＝6时，81=t ，这个函数关系式为拓展提高：1、如图，当x ＜0时，下列图象中，有可能表示y =－x2的图象的是__________.2、已知函数229(2)m m y m x --=-是反比例函数，且图象经过一、三象限，求m 的值。
反比例函数的图像和性质说课稿
26.2.1反比例函数的图像和性质说课稿68团中学何淑芳尊敬的各位评委，老师们：下午好！今天我说课的内容是人教版九年级数学下册第二十六章第二小节反比例函数的图象和性质第一课时，下面我就从教材的地位和作用、教学目标、教学重难点、教法与学法分析、学情分析、教学过程几个方面进行阐述。
一、教材的地位和作用反比例函数的图像和性质是继一次函数和二次函数之后人教版初中数学里最后学习的、也是相对简单的、但是和生产生活密切相关的内容。
反比例函数的图像和性质是本章教学的重点，也是全章的核心。
它为高中阶段继续学习其他函数知识奠定了坚实的基础，起到了承前启后的作用。
二、教学目标（1）知识与技能：会用描点法画出反比例函数的图象，理解反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数性质，并能应用其解决简单问题即“以图论性”和“以性定图”。
（2）过程与方法：经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，渗透“数形结合”、“分类讨论”和“类比归纳”的数学思想；培养学生的探究、归纳及概括的能力；初步认识反比例函数图象的特征。
（3）情感态度价值观：在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性，体会“事物是有规律地变化着”的观点；培养学生认识客观事物从直观感受到理性定论这一的科学、严谨的态度。
三、教学重难点1、用描点法画函数图像时图象的对称性选点。
2、归纳反比例函数的图象的性质，并能灵活应用四、学情分析九年级的学生已经具备了较强类比的学习能力和归纳总结能力，而且具有丰富小组合作经验，由于学生已经学习了正比例函数的图像和性质，因此对探究图形变化的规律和性质有了一定的基础。
但对于反比例函数图像的不连续性却无法预知，列表取点时可能会出现不对称的现象。
五、教学方法根据本节课的特点，我将采用启发式、讨论法等教学方法，培养学生发现问题、解决问题的能力。
遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线”的教学原则。
六、教学过程(一)、复习引入（1）、反比例函数的定义？表达式？（2）、正比例函数的图像是什么形状的？你是通过哪几个步骤画出来的？（3）、反比例函数的图像又是什么形状的呢？你能通过上述步骤画出来吗？（二）、新课1、同桌合作两大组画y=3/x和y=-3/x的图像，两大组画y=6/x和y=-6/x的图像教师指导取值方法，并强调自变量的取值范围。
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
反比例函数图像和性质ppt课件
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
反比例函数的图像与性质 李晓娟 公开课
想一想：
反比例函数 y k 的图象在哪两个象限？由什么确定？ x
由k决定。 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内。 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内。
归纳：在同一坐标系内，反比例函数
y k 与 y k（k为常数，且k≠0）
x
x
的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称， 具有对称关系的两个反比例函数的k值 互为相反数。
函数
反比例函数
图象
解析式 自变量取值范
围
图象的位置
y=k/x(k≠0)
x≠0的一切实数 k>0时,在一、三象限 k<0时,在二、四象限
课堂作业：
1.书 P154， 知识技能 1题 2.书 P154， 联系拓广 2题
5. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2=
k x
在同
一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
知识大比拼：
下列函数中，其图像在第一、三象限的有 （1_）__（__2_）__（__3_）_；其图像在第二、四象限的有____（__4_）______
1
0.3
(1) y= 2x (2) y= x
10 (3) y= x
-7 (4) y=
100x
知识大比拼：
则k的取值范围是__k_>_－__1___；
(A）
y
0
x (B)
y
0
x
y
y
(C)
0
x (D)
0
x
反比例函数的图像和性质PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
都则在y1与反y百2大分x2小比关函系数y(从 xk大(到k＜小0))
图象上,
为
.
第12页
6.如图,点P是反百分比函数图象上一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴
影部分面积为3,则这个反百分比函数
y
关系式是
.
p
N
M ox
第13页
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或 y 3 , y 3
x
x
x
x
图象，看谁画得又快又好．
依据大家所画出函数图象，从以下几个方面出发，你 能发觉反百分比函数y k (k 0) 图象及性质有哪些？
x
１、这几个函数图象有什么共同点？ ２、函数图象分别位于哪几个象限？ ３、y随x改变有怎样改变？
(2)在这个函数图象某一支上任取点A( x1), y和1 点
y B( x2, y2).假如 ﹥x1 ,x那2 么 和1 y有2 怎么大
小关系? x1
第7页
解： （1）反百分比函数图象只有两种可能：位于一、 三象限，或者二、四象限因为第一分支在第一象限，所 以第二分支必在第三象限。 因为这个函数图象位于第一、三象限，所以
第10页
3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反百分比函数
y 4 x
图象上,则y1
与y2大小关系(从大到小)为
.
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反百分比函数y
k x
(k＜0)
图象上,则y1与
y2大小关系(从大到小)为
.
第11页
5.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜
(2)设这个反百分比函数解析式为y=k/x,因为点
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.
. . 再 .
课题：6.2 反比例函数的图像与性质 课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1.经历探索反比例函数的性质的过程，体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认
识上的整合.
2.会作反比例函数的图象，进一步掌握画函数图象的主要步骤
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质
教学重点与难点：
重点：画反比例函数图象并认识图象的特点.
难点：体会函数的三种表示方法的相互转换．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、复习回顾，导入新课
活动内容：（多媒体出示）创设问题情景.
问题：1.什么叫做反比例函数？
2.反比例函数的定义中需要注意什么？（此时老师板书反比例函数的表达式 ）
3.函数有几种表达形式？
4.大家还记得一次函数图象是什么？那反比例函数的图象又会是什么样？
处理方式：
1.问题 1,2 由学生口答完成后，教师板书反比例函数的表达式.
2.学生口答完函数的表达形式有列表法、图像法、关系式法之后，教师追问：如何用表
格法和图像法表示反比例函数？接着教师引导学生根据反比例函数关系式可以列表格， 根
据表格描点可以得到反比例函数的图像，体会函数三种表示方法可以相互转化
3. 最后老师继续追问：一次函数图象是什么？那反比例函数的图象又会是什么样？从
而引出本节课课题，导入新课.
设计意图：通过问题串引导学生回归复习反比例的定义，通过追问让学生回忆根据关系
式可以列表格，根据表格描点可以得到反比例函数的图像，既复习了函数图像的定义，又让
学生体会三种表示方法可以相互转化.
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：例1.画出y=
4
x的图象.
处理方式：1.让学生独立思考、尝试，然后小组之间交流.学生充分交流后教师利用投影或者课件展示以下错例.
2.教师逐步引导学生思考
（1）他们做的对吗？为什么？同学会发现图一选取的自变量的值太少，导致图象不具代表性；图二，取自变量的值时，取值以偏带全导致只画出一支曲线．
（2）教师追问怎样取值才全面？图三画成有明确端点，图像应是延伸的，连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图.
（3）教师继续发问，为什么图像应是延伸的？适时点拨：我们根据函数图象的定义x 可取无数个值，相应函数值y可得无数个值，所以图象不要画成如图三．（4）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
设计意图：先让学生按自己的理解尝试画反比例函数y=
4
x的图象，在作图过程中学生会出现各种各样的问题，通过学生的讨论、交流，和教师的点拨让学生理解错误的原因，通过问题串的形式，逐步引导学生思考探究画图象的步骤，并且对于其中出现的错误及时纠正，然后通过对比师生共同总结作反比例函数图象注意的问题.同时在这一过程中让学生积累数学活动经验.
活动内容2：看老师如何画出y=
4
x图象的（几何画板演示步骤）
处理方式：
1.教师利用几何画板本演示画图的步骤及过程.
2.教师强调作图时应注意以下问题
(1)列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确.
（2）连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.
,
.
（3）图像是延伸的，注意不要画成有明确端点.
（4）曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
（5）描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线从中体会函数的增减性.
设计意图：教师利用几何画板本演示画图的步骤，体现步骤的严密性，规范性．
三、由此及彼，应用新知
活动内容1：现在我们已经知道当K取正数时，我们画出了反比例函数的图像，当K 取负数时它的图像又是什么形状呢?请同学们继续下面的练习.
练习：大家用同样的方法作反比例函数y=-
4
x的图象.
处理方式：然后让学生试着自己作图.教师根据学生的作图情况，期间需要做出必要引导，多媒体出示正确的作图过程，让学生参考，让学生修改自己的解题过程设计意图：让学生进一步熟悉画函数图像的主要步骤，并在巩固训练中积累素材，通过观察发现K决定了图象所在的象限等性质做准备．
活动内容2：
议一议：（1）观察y=
44
和y=-
x x
的图象，它们有什么相同点和不同点？
（2）反比例函数图像是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心，反比例函数是轴对称图形吗？如果是请指出它的对称轴.
处理方式：(1)让学生先独立思考后再与同桌交流答案，最后师生共同小结反比例函数的性质.（教师板书）反比例函数y=
k k
有下列性质：反比例函数的图象y=是由两支曲
x x
线组成的。
(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限，(2)当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限.问题（2）利用几何画板直观演示.（教师板书）（3）两个函数图象自身都是轴对称图形,它们各有两条对称轴；对称轴分别为y=x和y=-x;两个函数图象自身都是中心
对称图形,对称中心是坐标原点。
设计意图：让学生看图归纳反比例函数的性质，培养学生的概括、归纳能力，完成本节课的目标3，通过几何画板的演示让学生直观的得到反比例函数的对称性．巩固训练：
1.已知反比例函数y=k(k≠0)的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一x
定经过（）
A．（2，1） B.（2，-1） C.（2，4） D.（-1，-2）
设计意图：让学生体会反比例函数解析式的确定是：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）进一步理解函数表达式的解与函数图象上的点的坐标之
间的对应关系.
2.课本153页，随堂练习
四、回顾反思，提炼升华
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：总结以学生为主，教师辅助的方式完成，让学生养成及时总结反思的习惯．
五、布置作业，课堂延伸
必做题：课本154页，习题6.2第1题。