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高一数学3月月考试题(有答案)

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2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终xOy αO x 边过点，则的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．77-17-【答案】D【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点，可得，()4,3P 3tan 4α=所以.3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--故选：D2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()310AE AB AC=+D BC A ．B ．C ．D ．37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.2AB AC AD += 35AE AD=【详解】因为为边的中点，所以，D BC 2AB AC AD +=因为，所以，()310AE AB AC=+35AE AD = 则．23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位），其中是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i ,xy i x y +A ．5B C ．D ．2【答案】A 【详解】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0lnMv v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.()kg m ()kg M Mm 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷40018流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相23900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s1800m/s2100m/s【答案】C【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，0v v 则，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()09002700552ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003v ==+-+-，27002700180)0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =≈=-⨯-⨯故选：C.5．已知集合，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)∞+[25)(5,)+∞【答案】B【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由有意义可得，得，所以，2log (5)y x =-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，0x >12y x x =+≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =sin y x=3y x =-12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.3y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值3()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x3.27 1.570.61-0.59-0.260.420.35-0.56-0y101.63-10.04-0.270.260.210.200.22-0.03-0下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0【答案】B【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．a 【详解】由，则，故，(0)0f =0d =3()f x ax cx =+所以且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；()f x [0.56,0.59]根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2πB ．函数的最大值为2()f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为()f x 12π()sin 2g x x=【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，()f x 22ππ=()f x 对于C ，当时，，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；sin y x =,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为()f x 12π，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d+>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc>0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的()()2cos 20f x x x ωωω=+>2π()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）x 3π()g x A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,04π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．是奇函数D ．在区间上的值域为()g x ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后ω()g x 根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以()()2cos 20f x x x ωωω=+>，因为函数的()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，2π，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故2sin 22cos 236()2sin 22g xx x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于D ：因为，所以，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB11．已知，，，则（ ）0a >0b >21a b +=A ．B ．CD54a b +<1a b ->-12b ≤≥【答案】BCD【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；2,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为，取等号时满足，故A 错误；221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==B ．因为，故B 正确；22215151112424a b b bb ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为，取等号时C 正确；12b ==≤1,2a b ==D ．因为，只需证，20b -<≥()2132a b ≤-()232a b ≤-即证，即证，即证，()()22312b b -≤-24410bb -+≥()2210b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2210b -≥31,42a b ==故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭sin cos a b θθ--几何意义去进行求解并判断.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．若，则__________．π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.425-【分析】根据诱导公式进行求解.【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.25-14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.ϕ=【答案】34π【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故可得，解得，sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Zπϕπ+=∈解得；又因为，,4k k Zπϕπ=-∈()0,ϕπ∈故可得.34πϕ=故答案为：.34π【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1sin cos 2αααα+=-tan 2α【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-，∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-即，tan 1tan 112αα-+=tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，.6CAB π∠=ABC 2DC =3DA =____．sin D =【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．2sin()sin sin 1.2A C B B B π+=⇒=∴=由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，,2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为C 值.()+3sinD D D φ=-详解： ，由正弦定理得到cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为21312cos AC D =-212AC AC AC D ==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测A B C P αβγ得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山15α=45β= 30γ=5km 2AD =1km2EB =1km BC =AC隧道，试求出隧道的长度.DE【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得PBC 12sin15PB =PAB的长度3AB =+DE 【详解】在中，，，.PBC 30C γ∠==15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，sin sin BC PBCPB C =∠∠即，所以.1sin15sin30PB=12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==45ABP β∠== 所以.180120APB A ABP ∠=-∠-∠=由正弦定理，sin sin BP ABA APB =∠∠所以，2sin1202sin 15AB =3==+所以DE AB AD EB =--51322=+-=所以隧道的长度为.DE 18．已知函数的部分图像如图所示.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；()f x ()f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.ABC ∆,,A B C A 14,cos sin 21225A f B Cπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π[π,π],.63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到π()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π[π,π],.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知,1sin 2A =根据角为锐角,得到.A π6A =进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当时，，可得π6x =πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为所以故 π,2ϕ<π.6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为π2π[π,π.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴.A π6A =，.0πB <<.【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =(1)求；tan B(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC【答案】(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将sin sin()A B C =+代入，由即可求解；1cos 3C =sin tan cos BB B =（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，sin B cos B 2ab =c =在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C+==+由，得1cos C 3=sin C==所以，即12sin sin 3B B B=sintan cos B B B ==（2）由，可得，22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin B =cos B =在中，由正弦定理得，且ABCsin sin c bC B ==2a b=所以，sin sin b C c B ===在中，由余弦定理得：，CMB 2222cos 59MB BCMB BC B CM +-⋅==，222112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪⎝⎭所以，22259a a ⎫+-⋅=⎪⎪⎭所以，可得25959108a =a =b =11sin 22ABC S ab C ==⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C △△a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c a c a B化简整理为，解得22230--=c c 1=+c所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=21．已知函数.()sin 2+sin(2)3f x x x π=-(1)求的最大值及相应的值；()f x x (2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，g()()4x f x π=,,P M N ()y gx =求的值.cos MPN ∠【答案】(1)；1,Z12x k k ππ=+∈【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.PM MN PN ===MPN △【详解】（1）解：由题意，函数()1sin2sin22f x x x x =+-，1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为，此时，即.()f x ()max 1f x =2232x k πππ+=+,Z12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭过作轴于，D MD x ⊥D因为 所以，可得，1PD DM ==90PMN ∠=PM MN PN ==在直角中，可得MPN △cos PM MPN PN ∠===22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；52(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．2B 2A 92【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.15-【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.由余弦定理得cos C ＝＝＝－.(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·＋sin B ·＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。

甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(含答案解析)

甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(含答案解析)

甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．23n k+ C ．()(2222n +++ 二、多选题9．ABC 的内角A 、B A ．710．对任意向量a 、bA ．2ω=B ．函数()f x 的单调增区间为C ．函数()f x 的图象关于7,012π⎛ ⎝D ．函数()f x 的图象可由2cos y =12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，三、填空题四、解答题17．已知θ是第三象限角，(1)求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求3πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量(2,2)a =-，(1)若||3a tb +=，求t 的值；(2)若a tb - 与c垂直，求t 19．如图，缉私艇在A 处通过卫星发现正东方相距船正以102nmile/h 的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？20．已知函数()3sin 2cos23f x x x =++．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心坐标；(2)将()y f x =的图象上的各点__________得到y =程()g x m =有解，求实数m 的取值范围．参考答案：8．D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解9．AB【分析】由正弦定理可得b 【详解】在△ABC 中，a =由正弦定理可得sin sin a b A =因为0sin 1B <≤，所以0<所以b 可以为7，8，故选：AB.10．ABC2。

数学高一月考试题及答案

数学高一月考试题及答案

数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。

2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。

3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。

4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。

5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案

湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案

湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（ ）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 。

2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月第一次月考质量检测数学试题

2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月第一次月考质量检测数学试题

2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下册3月第一次月考数学试题一、单选题1．已知411iz -=+，则z =（）AB ．13CD．【正确答案】A 【分析】求得5i1i z +=+，由模的性质可得结果.【详解】依题意得()41i 41132i 1i 2z -=+=+=-+，所以z ==故选：A.2．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用向量坐标运算可得AB和AB ，由此可知所求向量为AB AB -.【详解】()3,4AB =-，5AB ∴= ，∴与向量AB 的方向相反的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.3．设a 、b 、c为非零向量，若a b cp ab c=++，则p 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]1,2C ．[]0,3D ．[]1,3【正确答案】C【分析】求出p的最大值和最小值，可得出结果.【详解】解：a a 、b b 、c c 分别为a 、b 、c方向上的单位向量，则3a b cp ab c=++≤，当且仅当a 、b 、c 方向都相同时，等号成立，作a OA a = ，bOB b =，cOC c = ，当23AOB BOC COA π∠=∠=∠=时，如下图所示：以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则该四边形为菱形，且3AOE π∠=，所以，AOE △为等边三角形，且1OE =，又因为23AOC π∠=，1OC = ，由图可知，0OC OE += ，即0p OA OB OC =++= ，综上所述，03p ≤≤ .故选：C.4．设a 、b 是两个平面向量，则“a b =”是“a b =r r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.【详解】充分性：若a b =，则a 、b 方向相同且a b =r r，充分性成立；必要性：若a b =r r ，但a 、b 的方向不一定相同，即a 、b 不一定相等，必要性不成立.因此，“a b =”是“a b =r r”充分而不必要条件.故选：A.5．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2CD DB = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．1233b c+C ．2133b c-D ．1233b c-【正确答案】B【分析】由向量的运算法则求解【详解】∵2CD DB =，∴23CD CB = ，而()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+，故1233AD b c =+ ，故选：B6．在ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，则BC CA ⋅的值等于（）A ．20B ．20-C ．D ．-【正确答案】B【分析】由题意得BC 与CA的夹角为120︒，由数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，BC 与CA的夹角为120︒，则1=cos12058202BC CA BC CA ⎛⎫⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.7．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a = ，AD b = ，E 为BF 的中点，则AF =（）A ．3455a b+ B ．4355a b+C ．1233a b+D ．2133a b+【正确答案】A【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解.【详解】()1124AF AB BF AB BC CF AB AD AE AB AD AB AF =+=++=+-=+-+，即()14AF AB AD AB AF =+-+ ，∴53344455A F a b b A a F =+⇒=+．故选：A ．8．已知,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，AB =32OC OA OB =-，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．34D ．32【正确答案】A根据,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，且AB = ,OA OB的模和夹角，再由M 是线段AB 的中点，用,OA OB 表示向量OM，然后利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解：,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，1OA OB ∴==，又AB =即22AB =,即2cos 2ABBAO OA∠==，即6∠=BAO π，2263AOB πππ∴∠=-⨯=，M 是线段AB 的中点，1122OM OA OB ∴=+ ，()113222OM OC OA OB OA OB⎛⎫∴⋅=+- ⎪⎝⎭223122OA OB OA OB =-+⋅223121111cos 223π=⨯-+⨯⨯⨯14=.故选：A.关键点点睛：本题解题的关键是：利用,A B在圆上以及AB 得到23AOB π∠=.二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=+，则12z z -=【正确答案】ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+，z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1，即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确；对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =，所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD10．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知a ，b 均为非零向量，则//a b ⇔ 存在唯一的实数λ，使得b aλ=B ．若向量AB ，CD共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上C ．边长为1的正方形ABCD 中2BA BC +=uu r uu u rD ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=【正确答案】AD【分析】利用向量共线的概念即可判断A 正确，B 错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C 错误，利用三角形重心的结论即可判断D 正确，问题得解.【详解】对于选项A ，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B ，向量AB ，CD共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A ，B ，C ，D 不必在同一直线上，故B 错误；对于选项C ，边长为1的正方形ABCD中BA BC BD +==uu r uu u rC 错误；对于选项D ，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选：AD.11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足2a b ==，a b += ）A ．2a b ⋅=-B ．a 与b的夹角为π3C ．a b a b-<+ D ．a b - 在b上的投影向量为12br 【正确答案】BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】2a b ==，a b += 22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+ ,解得2⋅= a b ,故A 错误·cos ,2a b a b a b ⋅== ,1cos ,2a b a b a b ⋅==，由于()0π，，a b ∈ ，a ∴r 与b 的夹角为π3，故B 正确,22a b a b -=<+=故C 正确a b - 在b 上的投影向量为()21··22b a bb a b b b b b bbb b⋅-⋅-==-=-，故D 错误,故选：BC12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c=，则（）A ．cos cos b A aB +=B ．ABC 周长的最大值为6C ．cos cos BA的取值范围为)+∞D ．AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为23+【正确答案】BD【分析】若cos cos b A a B +，利用余弦定理化简可得c =即可判断A ；由余弦定理结合均值不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得cos 1cos 2B A A =-，根据正切函数的性质即可判断C；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求)23AC AB A π⋅=++ ，进而根据正弦函数的性质可判断D ；【详解】对于A，若cos cos b A a B +=22222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅22c =，解得c =2c =，故A 错误．对于B ，由余弦定理得：()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===，则()()222343324a b a b ab a b +⎛⎫+-=≤=+ ⎪⎝⎭，所以4a b +≤，ABC 周长为46a b c c ++≤+=，所以ABC周长的最大值为6，故B 正确；对于C，222cos()cos cos sin sin cos 1333cos cos cos 2A A AB A AA A πππ-+===-，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A 的取值范围为()(0,,+∞⋃-∞，所以cos cos B A的取值范围为(-∞，12)(2--⋃，)∞+，故C 错误；对于D，由正弦定理得，则sin sin sin 3c a b C A B ===，则b B =，cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= ，23B A π=-，2sin 3AC AB A A π⎛⎫⋅-⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sin cosA A ()121cos22cos22sin22A A A A A A ⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∵203A π<<，4023A π<<，52333A πππ<+<，则当232A ππ+=，即12A π=时，AC AB ⋅2，故D 正确；故选：BD.三、填空题13．已知复数z 满足(12)56i z i -++=-，则||z 的值为_______.【正确答案】10.【详解】分析：根据待定系数法及共轭复数的概念求出复数z ，再求出||z ．详解：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-．∵()1256i z i -++=-，∴()12()(1)(2)56i a bi a b i i -++-=-+-=-，∴1526a b -=⎧⎨-=-⎩，解得68a b =⎧⎨=⎩．∴68z i =+，∴10z ==．点睛：本题考查复数的概念和加减运算，解题的关键是根据待定系数法求出复数z 的代数形式，然后再根据复数模的概念求解．14．在ABC 中，11,.34AD AC AE AB == 若P 为BD CE ，的交点，满足AP xAB yAC =+，则x y +的值为__________．【正确答案】511【分析】利用平面向量三点共线性质可得()114AP AB AC λλ=+- ，()13AP AB AC μμ-=+，从而求得211μ=，进而得到231111AP AB AC =+ ，由此得解.【详解】依题意，得,,E P C 三点共线，所以()()1114AP AE AC AB AC λλλλ=+-=+- ，同理：由,,B P D 三点共线得到()()113AP AB AD AB AC μμμμ-=+-=+，所以1134μλλμ-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211μ=，所以231111AP AB AC =+ ，又AP xAB yAC =+，所以211x =，311y =，故511x y +=．故511．15．设()cos sin a αα= ，，()πcos sin 02b ββαβ⎛⎫=<<< ⎪⎝⎭ ，是平面上两个向量，若45a b ⋅= ，且4tan 3β=，则tan α=__________．【正确答案】724【分析】利用平面向量的数量积运算与余弦函数的和差公式得到()4cos 5αβ-=，结合,αβ的取值范围求得()3tan 4αβ-=-，从而利用正切的和差公式展开并代入4tan 3β=即可得解.【详解】因为45a b ⋅= ，所以4cos cos sin sin 5αβαβ+=，则()4cos 5αβ-=，由π02αβ<<<，即π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()3sin 5αβ-==-，则()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==--，所以tan tan 31tan tan 4αβαβ-=-+⋅，即33tan tan tan tan 44αβαβ-=--⋅，把已知4tan 3β=代入，可得4334tan tan 3443αα-=--⨯，解得7tan 24α=，所以7tan 24α=.故724．16．作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知124,5F N F N ==，1F 与2F 之间的夹角是60°，则力3F 的大小为___________N .【分析】根据条件及312||F F F =+=【详解】解：根据题意知，1230F F F ++=,则()312F F F =-+，所以312||F F F =+=．即力F 3．四、解答题17．已知复数()1i 1i z a +=-（R a ∈，i 是虚数单位）.(1)若z 对应的点在虚轴上，求实数a 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)(1,1)-【分析】（1）根据复数的运算法则，求得2211i 11a az a a -+=-++，结合题意列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到2211i 11a a z a a -+=+++，结合题意列出不等式组，即可求解．【详解】（1）由题意，复数()()()()()2221i 1i 11i 1i11i 1i 1i 1i 111a a a a a z a a a a a a ----+--+====-++-+++所以z 对应的点为2211,11aa a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为z 对应的点在虚轴上，所以2101aa -=+，得1a =；（2）由（1）知2211i 11a a z a a -+=+++，z 对应的点为2211,11a aa a-+⎛⎫⎪++⎝⎭，z 在复平面上对应的点在第二象限，可得22101101aa a a -⎧<⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得11a -<<，即实数a 的取值范围为(1,1)-.18．已知a ，b ，c在同一平面内，且()1,2a =r .（1）若c = //a c ，求c ；（2）若b = ()()2a b a b +⊥- ，求a 与b的夹角的余弦值.【正确答案】（1）()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）10.【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x =⎧得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-= ，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=- ，最后由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 即可得解.【详解】（1）设(),c x y = ，因为()1,2a =r ，//a c，c = ，所以2y x =⎧=36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）因为()1,2a =r，所以a r 又()()2a b a b +⊥-，b = 所以()()22225220a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯= ，所以1a b ⋅=- ，所以cos ,a b a b a b ⋅==-⋅ 本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题.19．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒的两条数轴，12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量.若12OP xe ye =+ ，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.已知OP 的坐标为(4,2).（1）求||OP 的大小；（2）若OQ 的坐标为(3,2)-，求OP 与OQ 夹角的大小.【正确答案】（1）；（2）120 .【分析】（1）先计算12111122e e ⋅=⨯⨯= ，再由1242OP e e =+ ，平方即可计算模长；（2）由1232OQ e e =-+ ，先计算OP OQ ⋅ ，再由||||OP OQ OP OQ ⋅⋅ 可得夹角的余弦值，从而得解.【详解】（1）12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量，且夹角为60︒，所以12111122e e ⋅=⨯⨯= ，OP 的坐标为(4,2)，所以1242OP e e =+ ，所以21221122221)161641616428(224OP e e e e e e =+⋅+=+⨯+=+= ，所以||OP == （2）OQ 的坐标为(3,2)-，所以1232OQ e e =-+，||OQ === 2221212112(4232)()122412147OP OQ e e e e e e e e ⋅=-⋅+⋅+=-+=+-++=- ,所以OP 与OQ夹角的余弦值为|12|||OP OQ OP OQ ⋅⋅=- 所以OP 与OQ 夹角的大小为120 .20．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求A 的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA = ，求CD 的长.【正确答案】（1）π4A =；（2）CD =（1）由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，再由()sin sin B A C =+，代入得cos sin sin sin A C C A =，可求得A 的大小；（2）由正弦定理sin sin AC BC B A=，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()sin sin cos sin sin A C A C C A+=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<，所以π4A =；（2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=AC =又因为()cos cos cos cos sin sin 10C A B A B A B =-+=-+=，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA = 得17BD BA =，所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围.21．目前，中国已经过成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原．处处都能见到5G 基站的身影．如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图2，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离MD =x m ，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角β．试问当x 多大时，观测基站的视角∠AMB 最大?参考数据：sin 80.14︒≈，sin 370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．【正确答案】(1)152m ；(2)x =.【分析】（1）先通过正弦定理求出BC ，进而求出BD ，然后求得答案；（2）先表达出tan ,tan αβ，然后结合两角和与差的正切公式得到tan AMB ∠，最后结合基本不等式求得答案.【详解】（1）由题知∠ACB =8°，∠BAC =45°，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，即50sin80sin 45BC =︒︒，所以500.72500.14BC ⨯≈=，在Rt BDC 中，sin BD BCD BC ∠=，即sin 37250BD ︒=，所以2500.6150BD ≈⨯=，所以山高BE =BD ＋DE =150＋1.5=151.5≈152m.（2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD △中，150tan BD MD x α==，在Rt AMD △中，200tan AD MD xβ==，由题知AMB βα∠=-，则()tan tan tan tan 1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x-==++⋅5030000x x =≤+当且仅当30000x x =即x =时，tan ∠ACB 取得最大值，即视角最大．22．已知向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，动点P 从点0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为12e e + ；另一动点Q 从点0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为1232e e + ，设P 、Q 在0=t 秒时刻分别在0P 、0Q 处．（Ⅰ）经过多长时间PQ 最小？求出最小值；（Ⅱ）经过多长时间后00PQ P Q ⊥ ，求出t 值．【正确答案】（Ⅰ）当1t =（Ⅱ）2t =．【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意可得经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，根据模长公式可求得PQ ，再根据配方法求其最值．（Ⅱ）根据向量垂直数量积等于0可求得t 的值．试题解析：解：根据题意得0(1,2)P -，0(2,1)Q --，则00(1,3)P Q =--12(1,1)e e += ，12e e + 1232(3,2)e e += ，1232e e += 经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，（Ⅰ）(12,3)PQ t t =-+-+ ，PQ ==≥ 1t =时取最小值；（Ⅱ）由(12,3)PQ t t =-+-+ ，而00PQ P Q ⊥ ，那么(1)(12)(3)(3)0t t -⨯-++-⨯-+=，解得2t =，故经过2秒钟后，00PQ P Q ⊥ ．1数量积公式，模长公式；2向量垂直．。

2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级下册学期第三次月考数学【含答案】

2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级下册学期第三次月考数学【含答案】

2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A.M N⋃ B.M N ⋂C.()()U U M N D.()()U U M N 2.“=1x -”是“20x x +=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数()231i i +=A.2 B.－2 C.2i D.-2i4.如图所示，用符号语言可表达为（）A.m αβ= ，n ⊂α，m n A= B.m αβ= ，n α∈，m n A = C.m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D.m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈5.已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=- ，则AC = （）A.5B.42C.6D.52 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A.2B.22 C.3 D.337.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A.1B.2C.2D.38.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（） A.224+ B.3 C.34 D.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πR B.圆锥的侧面积为22πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.下列命题正确的是（）A 平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB.平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B.一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C.奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D.若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积最大为23D.过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B⊥三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.15.下列说法中，所有正确说法的序号是______．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．16.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19.已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知两个非零向量a 与b 不共线，（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；（2）试确定实数k ，使得ka b + 与k +a b 共线；（3）若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.21.如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．22.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上.（1）证明：//AP GH ；（2）若AB 的中点为N ，求证：//MN 平面APD .2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ABD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】2.【15题答案】【答案】②④【16题答案】【答案】4π四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）42iz =+（2）41m -<<【18题答案】【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）34【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1k =±（3）32λ=-【21题答案】【答案】(1)2；（2）4.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

2023-2024学年河南省桐柏县第一高一下册第3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省桐柏县第一高一下册第3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省桐柏县第一高一下册第3月月考数学试题一、单选题1．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A ．3B ．6C ．18D ．36【正确答案】C【分析】由弧长的定义，可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式，即可求解.【详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得61r =⋅，即6r =，所以扇形的面积为11661822S lr ==⨯⨯=.故选C.本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，着重考查了计算能力，属于基础题.2．下列坐标所表示的点是函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心的是（）A ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,06⎛⎫⎪⎝⎭D ．4π,03⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用正弦函数的对称中心为(π,0)k k ∈Z ，可得π2π,3x k k -=∈Z ，解之即可.【详解】因为正弦函数的对称中心为(π,0)k k ∈Z ，所以令π2π,3x k k -=∈Z ，解得：ππ,26k x k =+∈Z ，当0k =时，对称中心为π(,0)6，即A 是对称中心，其它各项均不是对称中心.故选.A 3．若－2π<α<0，则点P(tanα，cosα)位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【详解】试题分析：∵－2π<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B本题考查了三角函数值的符号点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题4．若cos cos ,tan tan θθθθ==-，则2θ的终边在（）A ．第一､三象限B ．第二､四象限C ．第一､三象限或在x 轴的非负半轴上D ．第二､四象限或在x 轴上【正确答案】D【分析】由已知得出θ的终边在第四象限或者在x 轴的非负半轴上，再求出2θ的范围得出结果.【详解】由cos cos θθ=，得cos 0θ≥；tan tan θθ=-，tan 0θ≤.所以θ的终边在第四象限或者在x 轴的非负半轴上，即π2π2π,2k k k θ-+<≤∈Z ，则πππ,42k k k θ-+<≤∈Z ，当0k =，2θ的终边第四象限或在x 轴的非负半轴上；当1k =，2θ的终边第二象限或在x 轴的非正半轴上.故2θ的终边第二､四象限或在x 轴上故选：D.5．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()πsin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()ππ2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()π2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎝⎭D ．()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可.【详解】根据图象可得3722,3433A T ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则32π34ω⨯=，解得π2=ω.将点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()f x 的解析式，得π22sin 023ϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，则π2π2π,,2π,233k k k k ϕϕ-⨯+=∈=+∈Z Z .因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D6．已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．12-B ．14C ．54D ．12【正确答案】B【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---==+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7．将函数()22sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到函数()g x ，若函数()g x 在,4m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，则实数m 的取值范围是（）A ．,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦B ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,12π⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】先由三角函数图象变换规律求出()g x ，再由()g x 在,4m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，可得72236m πππ≤+≤，从而可求出实数m 的取值范围【详解】将函数()22sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22363x m πππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，由()[]2,1g x ∈-，得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以72236m πππ≤+≤，所以5,1212m ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，故选：B.8．将函数()222cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（）A ．3(,0)8πB ．3(,1)8π--C ．3(,0)8π-D ．3π(,1)8-【正确答案】D【分析】把函数()f x 化成()sin y A ωx φ=+的形式，利用图象变换求出新函数解析式，再由正弦函数的对称性求解作答.【详解】依题意，()π2(1cos 2)2sin(2)16f x x x x =-+=--，因此将函数()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为2π2sin()136y x =--，再向右平移π8一个单位长度，所得函数的解析式为2ππ2π2sin[()]12sin()138634y x x =---=--，由2ππ,Z 34x k k -=∈，得33ππ,Z 28x k k =+∈，显然对称中心的纵坐标为1-，AC 错误；0k =可得函数图象的一个对称中心为3π(,1)8-，D 正确；不存在整数k 使得B 成立，B 错误.故选：D二、多选题9．给出下列四个命题，其中是真命题的为（）A ．如果θ是第一或第四象限角，那么cos 0θ>B ．如果cos 0θ>，那么θ是第一或第四象限角C ．终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D ．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2【正确答案】AD【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得cos 0θ>，故正确；对于B ，若0θ=，则cos 10θ=>，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{},Z k k ααπ=∈，故错误；对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为β，半径为r ，则224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21r β=⎧⎨=⎩，故正确故选：AD10．下列函数，最小正周期为π的有（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πtan()3y x =-【正确答案】BCD【分析】利用三角函数的周期性求出各个选项的周期，即可得出结论.【详解】对于A ，因为令π3x =，πsin 3y ==4π3x =，4πsin 3y ==所以sin y x =的最小正周期不是π；对于B ，sin y x =的最小正周期为221ππ=，所以sin y x =的最小正周期为π；对于C ，ππcos 2cos 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为2ππ2=；对于D ，πtan()3y x =-的最小正周期为ππ1=，则πtan()3y x =-小正周期为π.故选：BCD.11．已知函数()()πcos 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（）A ．2ω=B ．函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴【正确答案】ABD【分析】根据三角函数性质逐项分析判断.【详解】对A ：由题意可得：2ππT ω==，解得2ω=，A 正确；故()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：ππππcos 2sin 26662cos 2f x x x x ⎡⎤⎛⎫---=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，B 正确；对C ：令π2π22ππ,6k x k k ≤-≤+∈Z ，解得π7πππ,1212k x k k +≤≤+∈Z ，故函数()f x 的递减区间为()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，令0k =，且π2π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 在π7π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在7π2π,123⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，C错误；对D ：πππcos 2cos 0112126f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴，D 正确.故选：ABD.12．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的值域为⎡⎣B ．()f x 的最小正周期为πC ．π6ϕ=D ．将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位，得到函数()2g x x =的图象【正确答案】AB【分析】对A 、B 、C ：根据函数图象求,,A ωϕ，即可分析判断；对D ：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果.【详解】对A ：由图可知：A =()()x f x ωϕ=+，∵()[]sin 1,1x ωϕ+∈-，则()()f x x ωϕ⎡=+∈⎣，故()f x 的值域为⎡⎣，A 正确；对B ：由图可得：7πππ41234T =-=，则πT =，B 正确；对C ：∵2π=πT ω=，且0ω>，可得2ω=，∴()()2f x x ϕ=+，由图可得：()f x 的图象过点7π,12⎛ ⎝，7π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，可得2π7π5π363ϕ<+<，可得7π3π62ϕ+=，则π3ϕ=，C 错误；对D ：可得：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位，得到()ππππππ2sin 2cos 2663626g x f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，D 错误；故选：AB.三、填空题13．将280︒化成弧度为_________．【正确答案】14π9##14π9【分析】根据弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】π14π280280rad rad 1809︒=⨯=，故14π914．函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π6个单位后与函数cos 2x y =-的图象重合，则ϕ=_________．【正确答案】2π3##2π3【分析】由三角函数图象的平移变换求出π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移后图象重合，可得ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，再结合0πϕ<<即可得出答案.【详解】()cos 2cos 2πx x -=+，πππcos 2cos 2663f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为平移后图象重合，故ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，因为0πϕ<<，故23ϕπ=．故答案为.2π315．函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.若方程()π2cos 43f x x a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有实数解，则a 的取值范围为__________.【正确答案】94,4⎡⎤-⎢⎣⎦【分析】根据图象求出函数的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出()2ππππ2sin 22cos 42sin 2212sin 26366g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】解：由图可知2A =，2πππ2362T =-=，所以πT =，即2ππω=⇒2ω=，当π6x =时，()2f x =，可得πππ2sin 222π632k ϕϕ⎛⎫⨯+=⇒+=+ ⎪⎝⎭，即π2π,6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()π2cos 43g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()ππ2sin 22cos 463g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 2212sin266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，记()2219422444h t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为[]1,1t ∈-，所以()94,4h t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，即()94,4g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故94,4a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故a 的取值范围为94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为.94,4⎡⎤-⎢⎣⎦16．设R a ∈，函数()()()22sin 3π3π,215,x a x af x x a x a x a ⎧-<⎪=⎨-++--≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰有9个零点，则a 的取值范围是________．【正确答案】758(,(,3]323【分析】讨论22()2(1)5f x x a x a =--+--在(0,)+∞上零点个数从而确定sin(3π3π)y x a =-在(0,)a 上零点个数，然后结合正弦函数性质可得参数范围．【详解】2222(1)5(1)24y x a x a x a a =-++--=---+-，当240a -≤时，2a ≤，sin(3π3π)y x a =-的周期是2π23π3T ==，因为2T=2323=，326⨯=，所以在区间(0,)a 上，sin(3π3π)y x a =-最多有6个零点，在区间[,)a +∞上，222(1)5y x a x a =-++--最多有1个零点，因此2a ≤时，()f x 在区间()0,∞+内不可能是9个零点，因此2a >，222(1)50x a x a -++--=的两根为1a a +>，1a +因为()222150a a+-=+>，所以10a +>，若1a a +≥，则522a <≤，22()2(1)5f x x a x a =-++--在(,)a +∞上有两个零点，因此()sin(3π3π)f x x a =-在(0,)a 上有7个零点，0x a <<，3π3π3π0a x a -<-<，因此8π3π7πa -≤-<-，7833a <≤，所以7532a <≤；当52a >时，1a a +<，()f x 在区间[,)a +∞上只有一个零点，因此()f x 在区间(0,)a 上有8个零点，即sin(3π3π)y x a =-在(0,)a 上有8个零点，所以9π3π8πa -≤-<-，833a <≤，综上，a 的取值范围是758(,](,3]323 ．故758(,(,3]323关键点睛：这道题的关键指出是讨论222(1)50x a x a -++--=的一个实数根是否在[,)a +∞的范围内，需要分类讨论，然后给出另外一段函数零点的个数，利用数形结合得到范围四、解答题17．.化简下列各式：(1)π2912sin cos 6ππtan 54⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭；(2)3tan(π)cos(2π)sin(π)2cos(3π)sin(π)ααααα+⋅+⋅---⋅--.【正确答案】(1)12-(2)1-【分析】（1）根据诱导公式化简，即可得到结果；（2）根据诱导公式化简，即可得到结果.【详解】（1）原式52sincos 0π6π5=-+⨯2π1sin6=-=-（2）原式tan cos cos 1cos sin ααααα⋅⋅==--⋅18．已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值.【正确答案】(1)最小正周期为π；()πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)()min 3f x =-，π3x =-.【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；（2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.【详解】（1）2π2ππ2T ω=== ，()f x \的最小正周期为π；由πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ，得：ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z ，()f x \单调递增区间为：(),,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,626x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，[]πsin 21,16x ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭，[]π2sin 213,16x ⎛⎫∴+-∈- ⎪⎝⎭即：()min 3f x =-，此时π3x =-.19．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]1,0x ∈-上的值域；(3)求方程()12f x =-在区间[]0,4内的所有实数根之和.【正确答案】(1)()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3⎡-⎣(3)263【分析】（1）由图象得2A =，并求解出周期为2T =，从而得πω=，再代入最大值，利用整体法ππ2π62k ϕ+=+，从而求解得π3ϕ=，即可得出答案；（2）由（1）得()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]1,0x ∈-求得π31sin π32x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，继而求得函数()f x 的值域；（3）作出函数()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与12y =-的图像，可得两个函数在[]0,4有四个交点，从而得()12f x =-有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【详解】（1）由图可知2A =，712π266T ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴πω=∴()()2sin πf x x ϕ=+，又点1,26⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上∴π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π62k ϕ+=+，Zk ∈π2π3k ϕ=+，Z k ∈， π2ϕ<，∴π3ϕ=，∴()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）[]1,0x ∈-，π2πππ,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin π32x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x ⎡∈-⎣.故函数()f x 在[]1,0x ∈-上的值域为.⎡-⎣（3）由图得()f x 在[]0,4上的图象与直线12y =-有4个交点，则方程()12f x =-在[]0,4上有4个实数根，设这4个实数根分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，由π3ππ2π32x k +=+，Z k ∈，得726x k =+，Z k ∈，所以可知1x ，2x 关于直线76x =对称，∴1273x x +=3x ，4x 关于直线196x =对称，∴34193x x +=，∴1234263x x x x =+++.20．在“①()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =，②()02f =-，③()y f x =的图象关于点7π,08⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作出详细解答.设函数()()sin 2(π0)f x x ϕϕ=+-<<，__________.(1)求函数()y f x =的单调递增区间.(2)若11π14244f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2πcos 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)14-【分析】（1）若选①：根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；若选②：利用代入法，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；若选③：根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）利用代入法，结合诱导公式进行求解即可.【详解】（1）选择①：因为π8x =是函数()y f x =的图象的对称轴，所以πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭.所以πππ,42k k Z ϕ+=+∈.因为π0ϕ-<<，所以3π4ϕ=-.因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈.所以π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z .所以函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.选择②：因为()02f =-，所以sin ϕ=π0ϕ-<<，所以3π4ϕ=-.因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈.所以π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z .所以函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.选择③.因为()y f x =的图象关于点7π,08⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，所以7π72π,Z,ππ84k k k ϕϕ⨯+=∈=-，又因为π0ϕ-<<，所以3π4ϕ=-.因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈.所以π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z .所以函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）和11π14244f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得π1sin 264α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2ππππ1cos cos sin 32262624a αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．某用电器电流()mA I 随时间()s t 变化的关系式为π()sin()0,0,2I t A t A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，如图是其部分图像．(1)求()sin()I t A t ωϕ=+的解析式；(2)若该用电器核心部件有效工作的电流||I 必须大于150mA ，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？（电流的正负表示电流的正反方向）【正确答案】(1)π()300sin 150π6I t t ⎛⎫=+ ⎝⎭(2)2s 225【分析】（1）根据题意可得函数的振幅与周期，即可得,A ω，再利用待定系数法求ϕ即可；（2）由题意令10,75t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π()300sin 150π1506I t t ⎛⎫=+> ⎝⎭，根据正弦函数的单调性解不等式，即可得解.【详解】（1）∵周期111218090075T ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴2π150πTω==，又300A =，∴()300sin(150π)I t t ϕ=+，将点1,0900⎛⎫-⎪⎝⎭代入上式，得πsin 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又||2ϕπ<，∴π06ϕ-=，π6ϕ=，∴π()300sin 150π6I t t ⎛⎫=+ ⎝⎭；（2）当10,75t ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，此时ππ13π150π,666t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π()300sin 150π1506I t t ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则π1sin 150π62t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭或π1sin 150π62t ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以ππ5π150π666t <+<或7ππ11π150π666t <+<，解得10225t <<或1115090t <<，由111110,22522590150225-=-=，得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是112s 225225225+=．22．已知函数()y f x =，x D ∈．若对于给定的非零常数m ，存在非零常数T ，使得()()f x T m f x +=⋅对于x D ∈恒成立，则称函数()y f x =是D 上的“m 级类周期函数”，周期为T ．(1)已知()y f x =是R 上的周期为1的“2级类周期函数”，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)在（1）的条件下，若对任意(],x t ∈-∞，都有()89f x ≥-，求实数t 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数()sin f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】(1)12-(2)7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)存在，1112π,Z,01k n n n T =∈≠⎧⎨=⎩或()2221π,Z1k n n T ⎧=+∈⎨=-⎩【分析】（1）根据题意得到31222f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，代入求解即可；（2）画出()y f x =的图象，数形结合得到实数t 的取值范围；（3）由题意得到()sin sin k x T T kx +=⋅，分1T =或1-，两种情况，得到对应k 的值.【详解】（1）()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，故3111122122222f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，……，当(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()()111122f x f x x x =+=+，当(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，()()()()21212f x f x x x =-=--，当(]2,3x ∈时，(]11,2-∈x ，()()()()21423f x f x x x =-=--，……，画出()y f x =的图象如下：设当()2,2.5a ∈时，()89f a =-，即()()84239a a --=-，解得73a =或83，因为()2,2.5a ∈，所以73a =，对任意(],x t ∈-∞，都有()89f x ≥-，故73t ≤故实数t 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（3）假设存在非零实数k ，使函数()sin f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，即()()f x T T f x +=⋅，()sin sin k x T T kx +=⋅，因为()sin k x T +的值域为[]1,1-，而sin ,T kx T T ⋅∈⎡-⎤⎣⎦，故1T =，解得1T =或1-，当1T =时，()sin 1sin k x kx +=，故1112π,Z,,0k n n n =∈≠，当1T =-时，()sin 1sin k x kx -=-，故()2221π,Z k n n =+∈，综上，1112π,Z,01k n n n T =∈≠⎧⎨=⎩或()2221π,Z1k n n T ⎧=+∈⎨=-⎩.方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)

浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．10012.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ ） A. βα> B. 0>+βα C. βα< D. 22βα> 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________15.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf16.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________. 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.18.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin > 其中正确命题的序号是________________________________ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值(2) 已知c os(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.22. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.O-226π1211πyx yP(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围.x嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ C ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ D ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ B ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ A ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ D ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( D ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ D ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ B ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ B ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( C )．A ．16B ．72C ．86D ．100 12.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ D ）A. βα>B. 0>+βαC. βα<D. 22βα>二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________()2sin(2)23f x x π=--14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________11015.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf 116.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________.2 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.1018.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________599605,66ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >其中正确命题的序号是________________________________③④ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 (2) 已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：（1）34-（2）-4 21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：（1）38 （2）1116 （3）233222. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数O-226π1211πyx yP)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q 是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.解：（1）56πϕ= （2）15A =23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.解：（2）3sin ,42()cos ,4x x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩（3）当21-12a a =-≤或<时，2a M π= 当2a =34a M π= 当22a <--1<时，a M π=（1）O 1-12π23π2π-ππ-yx24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 换sin t x = 则2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8- 当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0k >时，2()g x 值域为1[,]2k k -②当0k <时，2()g x 值域为1[,]2k k -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩∴10k ≥或20k ≤-。

湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含解析

湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含解析

2024年上学期3月阶段考试高一年级数学试卷（答案在最后）2024年3月时量：120分钟满分150命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b λ=.若a b + 与a 平行，则λ=（）A.5-B.52C.7D.12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】(1,2)(,1)(1,3)a b λλ+=-+=-，由a b + 与a平行，可得132(1)0λ-⨯-⨯-=，解得12λ=-.故选：D.2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin sin30sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+= ．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++ ，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．4.设集合{}(){}221,ln 1M y x y N x y x ==-==-，则M N ⋂=（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对集合,M N 化简，然后利用集合的交集运算求M N ⋂.【详解】由题意得{}{}21212102M y x y y y y y ⎧⎫==-=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}ln 1101N x y x x x x x ==-=->=<，所以112M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：C.5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,=AO AB AC OA AB =+ ，则向量AC 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC uu u r C.14BC-D.34BC-【答案】B 【解析】【分析】根据条件作图可得ABO 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又||||AB AO =，所以ABO 为等边三角形，则30ACB ∠=︒，故||||cos30AC BC =︒，所以向量AC 在向量BC上的投影向量为22cos30cos 3034AC BC BC AC BC BCBCBC BC BCBC BC BC BCBC︒︒⋅⋅=⋅=⋅=．故选：B ．6.已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =(其中12)x x ≠，则12116x x +的最小值（）A.34B.32C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得1216x x =，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=--=-+，所以由()()12f x f x =可得()()2221212222log 4log 3log 4log 3x x x x -+=-+，化简可得2122log log 4x x +=，即1216x x =，因为1121122111611x x x x x x x x +=+=+，120,0x x >>，所以112111612x x x x +=+≥=，当且仅当111x x =，即121,16x x ==时，等号成立.故选：C7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A.()()()()23ff f f > B.()()()()23fg f g <C.()()()()23g g g g > D.()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【详解】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C 不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.8.在ABC 中，()2221sin ,224B A a c b -=+=，则sin C =（）A.23B.32C.12D.1【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理的边角变换得到2cos 2cos a B b A c -=-，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为22222a c b +=，所以22222a b c -=-，因为2222222cos ,2cos a c b ac B b c a bc A +-=+-=，两式相减，得222222cos 2cos ,2cos 2cos a b ac B bc A c a B b A c -=-=-∴-=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=-，即()2sin sin B A C --=-，因为()1sin 4B A -=，所以1sin 2C =.故选：C.二､多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，a 的值可以为（）A.134B.72C.174D.5【答案】CD 【解析】【分析】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立转换为2230x x a ++->恒成立，然后应用一元二次函数的性质解题即可.【详解】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，即2230x x a ++->恒成立，所以Δ0<，即()4430a --<，解得4a >，故选：CD ．10.已知函数π()cos()(0,)20,||f x A x A ωωϕϕ>>=+<的部分图象如图所示，则（）A.0.5A =B.2ω=C.π3ϕ=-D.()204f =【答案】AB 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式，【详解】由图可知πππ0.5,2362T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则2ππ||T ω==，因为0ω>，所以2ω=．由π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，得π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-，所以ππ3()0.5cos 2,(0)0.5cos 664f x x f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：AB11.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，23CD =，E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点（包括端点），EF CD BA λμ=+，则下列说法正确的是（）A.4AB =B.若F 为线段AB 的中点，则1λμ+=C.32λ=-D.FC FD ⋅的最小值为6【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，过B 作AD 的垂直，再根据条件即可求出AB ，从而判断出选项A 的正误；对于选项BCD ，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD 分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，过B 作AD 的垂直，交AD 于G ，所以//BG CD ，又//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，CD =所以4AB =，故选项A 正确；建立如图所示平面直角坐标系，则(4,0)A，(2,B，C，E ，选项B ，因为F 为线段AB的中点，则F ，(3,0)EF =，(0,CD =-(2,BA =-，所以(2,)CD BA λμμ=-+- ，由EF CD BA λμ=+，得到0--=，所以0λμ+=，故选项B 错误；设(01)AF t AB t =≤≤，则(42,)F t -，(42,EF t =--，选项C ，由EF CD BA λμ=+，得到422t μ-=⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得32λ=-，故选项C 正确；选项D，(24,)FC t =-，(24,)FD t =--，所以22(24))162816FC FD t t t ⋅=--=-+，令2162816y t t +=-，对称轴为78t =，又[]0,1t ∈，当78t =时，所以FC FD ⋅ 的最小值为154，故选项D错误；故选：AC.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin ,2A B a b c =+=，则cos C =_______________．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】由已知结合正弦定理角化边可得2a b =，从而可得三边之间的关系，利用余弦定理化简求值，即得答案.【详解】因为sin 2sin A B =，所以2a b =，又2a b c +=，所以32b c =，则222222294114cos 2416b b b a b c C ab b +-+-===．故答案为：111613.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______【解析】【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意122OP e e =-，122OP e e =-===14.定义在R 上的两个函数()f x 和()g x ，已知()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =图象关于点()1,0对称，则()0f =___，()()()()1231000g g g g ++++= ___________．【答案】①.3②.0【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到()()2f x f x =--，通过赋值得到()()02f f =-，根据()y g x =的图象关于点()1,0对称得到()()110g x g x -++=，即可得到()()13f x g x -+=，再利用方程法得到()()26f x f x +-=，令0x =，得到()()026f f +-=，然后求()0f 即可；②利用方程法得到()()2g x g x =--，整理可得()()4g x g x =-，得到4是()g x 的一个周期，然后根据()()2g x g x =--得到()()()()12340g g g g +++=，最后再利用周期求()()()()1231000g g g g ++++ 即可.【详解】由()()33g x f x +-=可得()()123g x f x -+--=，又()()13f x g x +-=，所以()()2f x f x =--，令0x =，所以()()02f f =-；因为()y g x =的图象关于点()1,0对称，所以()()110g x g x -++=，又()()13f x g x +-=，所以()()13f x g x -+=，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=，()()26f x f x +-=，令0x =，所以()()026f f +-=，则()03f =；因为()()13f x g x -+=，所以()()323f x g x ---=，又()()33g x f x +-=，所以()()2g x g x =--，()()24g x g x -=--，则()()4g x g x =-，4是()g x 的一个周期，因为()()31g g =-，()()42g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，因为()g x 周期是4，所以()()()()12310000g g g g ++++= .故答案为：3，0.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．）15.已知平面向量,a b满足=4,8,a b a = 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．【答案】（1）（2）32k -=【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得()()0a kb ka b +⋅-=，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【小问1详解】因为=48a b a = ，，与b 的夹角为2π3，所以2π1cos481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以a b -===【小问2详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()2221a kb ka b ka k a b kb+⋅-=+-⋅- ()216161640k k k =---=，化为2310k k +-=，解得32k -±=.16.已知函数()25sin cos 2f x x x x =-+；（1）确定函数()f x 的单调增区间；（2）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合．【答案】16.()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 17.5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）借助正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】55()sin 2(1cos 2)sin 2cos 222222f x x x x x=-++=-1π5sin 225sin 2223x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()ππππ5π2π22πππ2321212k x k k k x k k -≤-≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z ，∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】当ππ22π32x k -=+，即5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时，()f x 有最大值5．17.如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.（1）若BC =AD =，求ACD 的面积；（2）若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】（1）4；（2）833.【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【小问1详解】因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin AC B=，解得4AC =.在ABC 中，BC =428sin sin BC CAB CAB ==∠∠，解得2sin 2CAB ∠=.又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =，所以14422ACDS∆=⨯⨯=.【小问2详解】设DAC∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D=，所以π3ACDθ∠=-.因为π2DAB∠=，所以π2CABθ∠=-.在DAC△中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC ADD ACD=∠，πsin32ADθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π1sin sin33322ADθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos3θθ=-.在ABC中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC BCB CAB=∠，即41πsin22BCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π8sin8cos2BCθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以4cos3BC ADθθ⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭πsin33θ⎛⎫=+⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin3θ⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD-的最大值为3.18.对于函数1()f x，2()f x，()h x，如果存在实数a，b，使得12()()()h x a f x b f x=⋅+⋅，那么称函数()h x 为1()f x与2()f x的生成函数．（1）已知1()sinf x x=，2()cosf x x=，π()sin6h x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，是否存在实数a，b，使得()h x为1()f x与2()f x 的生成函数？若不存在，试说明理由；（2）当1a b ==，()e x h x =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()ln 65f x x x =++，2()ln(2)f x x m =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）102[,)33--【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦化简()h x 后可得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数；（2）根据奇函数和偶函数的性质可求1()f x 与2()f x 的解析式；（3）根据生成函数的定义可求()h x ，利用对数的运算性质可求得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【小问1详解】因为πππ1()sin sin cos cos sin sin cos 66622h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭()()12122f x f x =-，取1,22a b ==-，故()()()12h x af x bf x =+，故存在实数1,22a b ==-，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数.【小问2详解】若存在，则()()12e x f x f x +=，故()()12e xf x f x -+-=，所以()()12e xf x f x -+=，故()()12e e e e ,22x x x xf x f x ---+==.【小问3详解】依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-），结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点，所以，实数a 的取值范围为102[,33--.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）33-（3）223+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

2021-2022学年上海市金山中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市金山中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市金山中学高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．已知集合，集合，若，则的值为________.{}1,2A ={},2B m ={}1,2,3A B = m 【答案】3【分析】根据集合的并集结果，结合集合的性质求参数即可.【详解】由，，，{}1,2,3A B = {}1,2A ={},2B m =∴.3m =故答案为：32．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________【答案】2【详解】分析：设幂函数f （x ）=x α，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f （4）的值．详解：设幂函数f （x ）=x α，∵函数f （x ）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得，12a =则f （x ），∴f （4）=2，故答案为2．点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．3．已知，则__________.tan 2α=tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】-3【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵，∴，tan 2α=tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅故答案为：-3.4．把化成的形式___________(注:不唯一).sin αα()sin (0)A A αϕ+>ϕ【答案】2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据特殊角的三角函数值，以及两角和的正弦公式得到结果.【详解】1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的化一的应用，题目比较基础.5．函数是定义在上的偶函数,则__．()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 225a b f ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可解得,再根据偶函数定义可得,代入即可得解2a =1b =析式,从而可求出.225a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为是定义在上的偶函数,()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 所以,解得,220a a -+-=2a =由得,即,()()=f x f x -20a b -=1b =则,故．()221f x x =+()22222211211355a b f f f ⎛⎫⎛⎫++===⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:36．已知在地球上，大气压p 和海拔高度h 之间的关系可以表达为，其中k 和e 是常数，0khp p e -=是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为__________.0p 【答案】1lnp h k p =-【分析】根据指数与对数的关系，将转化为用k 和e 、、表示的函数形式即可.0khp p e -=0p p h 【详解】由，则，0khp p e -=0kh e pp -=∴，即.0ln h p k p =-01lnph k p =-故答案为：.01lnp h k p =-7．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代文化．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风．如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，2.4m 0.6m 0.9m 若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积为__．2m【答案】1.35【分析】设小扇形的半径为，可得大扇形的半径，由弧长公式以及两个扇形的弧长之比求出，r r 利用扇形面积公式计算即可．【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，r 0.9r +所以，，0.9 2.40.6r r +=0.3r =所以扇环面积为，112.4(0.30.9)0.60.3 1.3522⨯⨯+-⨯⨯=所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为．21.35m 故答案为：1.358．若命题“关于的不等式有解”为真命题,则实数的取值范围是__．x 12x x a++-<a 【答案】3a >【分析】关于的不等式有解为真命题转化为,分类讨论去绝对x 12x x a++-<()min12x x a++-<值求出的最小值即可.()12f x x x=++-【详解】设,则()1212f x x x x x =++-=++-当时,,2x >()213f x x =->当时,,12x -≤≤()3f x =当时,,1x <-()123f x x =->则,()min 3f x =关于的不等式有解为真命题,则,x 12x x a++-<()min12x x a++-<,3a ∴>故答案为:.3a >9．如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 为线段CD 的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A 与点M 重合，折痕与AD 交于点E ，与BC 交于点F . 记，则_______.MEF θ∠=sin(4πθ+=【分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出DE x =12DM EM EA x ===-，34x =，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系54EM =sin DEM ∠sin 2θ和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设，则，DE x =12DM EM EA x ===-，在中，，所以，Rt DEM △90D ︒∠=222DE DM EM +=即，解得，所以，2221(2)x x +=-34x =54EM =所以在中，，Rt DEM △4sin 5DM DEM EM ∠==则，4sin 2sin()sin 5DEM DEM θπ=-∠=∠=又sin cos θθ+==所以sin(cos )4πθθθ+=+=10．设A ={2，4，6，8，9}，B ={1，2，3，5，8}，若存在非空集合C ，使C 中的每一个元素加上2变成A 的一个子集，且C 的每一个元素都减去2变成了B 的子集，则集合C 所有可能的情况为__________;【答案】，，{}4{}7{}4,7【分析】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则，设集合B 中每个元{}0,2,4,6,7D =C D ⊆素都加上2变成集合，则，从而可得，进而可求得结果{}3,4,5,7,10E =C E ⊆()C D E ⊆ 【详解】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则，{}0,2,4,6,7D =C D ⊆设集合B 中每个元素都加上2变成集合，则，{}3,4,5,7,10E =C E ⊆所以，()C D E ⊆ 因为，为非空集合，{}4,7D E = C所以，或，或，{}4C ={}7{}4,7故答案为：，，{}4{}7{}4,711．已知函数是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式()f x 12,x x 12x x ≠恒成立，则不等式的解集为__．11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+(1)(2022)0x f x +>【答案】(,1)(0,)-∞-⋃+∞【分析】根据条件推导出 的单调性，再结合奇偶性解不等式即可.()f x 【详解】不等式，11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+即，，112212[()()][()()]x f x f x x f x f x ->-1212()[()()]0x x f x f x -->故函数在R 上是增函数，函数 在R 上为奇函数， ，()f x ()f x ∴(0)0f =若不等式，则，或，，(1)(2022)0x f x +>1020220x x +>⎧⎨>⎩0x >1020220x x +<⎧⎨<⎩1x <-；()(),10,x ∴∈-∞-+∞ 故答案为：.()(),10,-∞-⋃+∞12．对于问题：当x >0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，求实数a 的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y ＝[(a －1)x －1](x 2－ax －1)；丙：分别研究两个函数y 1＝(a －1)x －1与y 2＝x 2－ax －1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．【答案】##1.532【分析】题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分、和三种情况10a -<10a ->10a -=情况讨论，从而可得到答案．【详解】解：可以选择丙同学的想法．对于函数，(1)1y a x =--①当时，由于当时，，因此在上恒成立，10a -<0x =11y =-10y <(0,)+∞若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ---- 则在上亦恒小于或等于0，显然不可能成立；221y x ax =--(0,)o +②当时，对于函数在上，10a ->1(1)1y a x =--1(0,)1a -10y <在，上恒成立；1(1a -)∞+10y >若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ---- 因此在上，在，上恒成立，221y x ax =--1(0,)1a -20y <1(1a -)∞+20y >即当时，，即，，或（舍去）．11x a =-20y =21110(1)1a a a -⋅-=--2230a a -=32a =0a =检验：当时，原不等式可化为，．即，32a =213(1)(1)022x x x --- 2(2)(232)0x x x --- ，2(2)(21)0x x -⋅+ 又，所以恒成立，因此时，符合题意．0x >2(2)0x - 32a =③当时，易知不符合题意，10a -=综上所述：.32a =故答案为：.32二、单选题13．若为第三象限角，则（ ）αA ．B ．sin 0α>cos 0α>C ．D ．tan 0α>sin cos 0αα<【答案】C【分析】根据角所在象限，可判断其三角函数值的正负，即可得答案.α【详解】为第三象限角，α则，，，，sin 0α<cos 0α<tan 0α>sin cos 0αα>由此可得：A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C.14．下列函数中，在是增函数的是（ ）(),0∞-A ．B ．C ．D ．3y x=2y x=1y x=32y x=【答案】A【分析】分别判断各选项函数所对应的单调增区间，可得答案．【详解】对于A ，在是增函数，正确；3y x =(),0∞-对于B ，在是减函数，错误；2y x =(),0∞-对于C ，在是减函数，错误；1y x =(),0∞-对于D ，在上没有意义，错误；32y x =(),0∞-故选：A15．在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件，即表示开关A 闭合时灯泡B 不一定亮，但是灯泡B 亮时开关A 一定闭合：选项A 中，开关A 闭合是灯炮B 亮的充分不必要条件；选项C 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；选项D 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件；选项B 中，开关A 和开关C 都闭合时灯泡B 才亮．故选B ． 【解析】充要条件点评：本题考查充要条件的判断，与物理知识相结合，体现学科综合16．设为锐角，且，则的最大值为（ ）,αβsin cos()sin ααββ+=tan αABC ．1D【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【详解】解法一：由得，sin cos()sin ααββ+=2cos cos sin sin sin sin αββαβα-=所以．2cos sin tan sin tan ββαβα-=因为均为锐角，所以，,αβ22cos sin tan 1tan 11sin 12tan 2tan tan βββαββββ===≤+++当且仅当tan β=tan α解法二: 由得:sin cos()sin ααββ+=，1cos()sin sin [sin(2)sin ]sin 2αββααβαα+=⇒+-=于是，11sin sin(2)33ααβ=+≤等号当时取得，111arcsin,arccos323αβ==因此的最大值为tanα1tan arcsin 3=三、解答题17．已知．cos α=(0,π)α∈(1)求的值；π3πsin()cos()22sin(π)cos(3π)αααα--+-++(2)求的值．3πcos(2)4α-【答案】(1)13-(2)【分析】（1）根据同角三角函数关系求出的值，根据诱导公式奇变偶不变符号看象限化简求sin α值；（2）根据诱导公式化简成，根据两角和的余弦公式展开，二倍角公式求三角函数πcos(2)4α-+值.【详解】（1）因为cos α=又因为，且，22sin cos 1αα+=(0,π)α∈所以sin α=所以；π3πsin()cos()cos sin 122sin(π)cos(3π)sin cos 3αααααααα--+--==--++-（2）3ππcos(2cos(2)44αα-=-+sin 2)αα=-212sin cos )ααα=--=18．记函数的定义域为，若对任意的，都有成立，则称是集合()y f x =D x D ∈(())f f x x =()f x 的元素．M (1)判断函数，是否是集合的元素；()1f x x =-+()21g x x =-M (2)若，求使成立的的取值范围．()(0)1axf x M a x =∈<+()1f x <x 【答案】(1)，()1f x x M =-+∈()g x M ∉(2)或1x <-12x >-【分析】（1）通过计算得，而，即可判断；()()f f x x=(())43g g x x =-（2）由题得，化简得恒成立，则求出值，得到不等式，111axa x xaxx ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=a 11x x -<+解出即可.【详解】（1）因为对任意，，所以，R x ∈(())(1)1f f x x x =--++=()1f x x M =-+∈因为不恒等，所以；(())2(21)143g g x x x =--=-x ()g x M ∉（2）因为，所以对定义域内一切恒成立，()(0)1axf x M a x =∈<+(())f f x x =x 所以，即恒成立，111axa x x axx ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=故，解得，21010a a +=⎧⎨-=⎩1a =-由，得即，所以或．()1f x <11x x -<+2101x x +>+1x <-12x >-19．2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购100买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，2020则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执121.521.598.5行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.60(1)求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；x y x (2)学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用90020来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克90060的平均花费在什么范围？【答案】(1)2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩(2)[45,60]【分析】（1）根据已知条件求得关于的函数.y x （2）求得购买种子每千克的平均花费的函数表达式，通过求的值域来求得平均花费的()f x ()f x 取值范围.【详解】（1）当时，；020x ≤<100y x =当时，；2060x ≤≤2[100(20)]120y x x x x =--=-+.2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩（2）设购买种子每千克的平均花费为，则由题可知；()f x 2060x ≤≤此时.2120900900()120()x x f x x x x -+-==-+，，900206520+=900607560+=，当时等号成立.90060x x +≥=30x =所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；30x =900y x x =+6060x =900y x x =+75当时，的值域为；∴2060x ≤≤900y x x =+[60,75]故值域为，即购买种子每千克平均花费在元.()f x [45,60][45,60]20．立德中学高一数学兴趣小组利用每周五开展课外探究拓展活动，在最近的一次活动中，他们定义一种新运算“”：，，通过进一步探究，发现该运算有许多优美的⊕()lg 1010x y x y ⊕=+,R x y ∈性质：如，等等．x y y x ⊕=⊕()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕(1)对任意实数，请判断是否成立？若成立请证明，若不成立，请,,a b c ()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-举反例说明；(2)已知函数，函数，若对任意的，存在，使得()()f x x x =⊕-()()()1g x x x =⊕⊕-1R x ∈2R x ∈，求实数的取值范围．()()12lg 32g x m f x =-+m 【答案】(1)成立，证明见解析(2)4228,,3333⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】（1）根据新运算的定义，去判断证明即可；（2）根据新运算的定义，先得到函数f (x ),g (x )的的解析式，求得各自的值域，再根据条件推得，据此列出不等式，解得答案.A B ⊆【详解】（1）成立，()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-证明如下：由条件可知，()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-()()()()()lg 1010lg 101010lg 1010lg10a c b c a b c a b c a c b c ----⎡⎤-⊕-=+=+⨯=++⎣⎦，()lg 1010a b c =+-所以成立．()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-（2）由题意知()()()lg 1010x xf x x x -=⊕-=+()()()()1lg 101010x x g x x x -=⊕⊕-=++当时，（当且仅当时等号成立）x R∈10102x x -+≥=0x =所以函数的值域为，()g x [)lg12,A ∞=+函数的值域为()f x [)lg 2,+∞令，则函数的值域为，()()lg 32h x m f x =-+()h x )lg2lg 32,B m ∞⎡=+-+⎣由已知可得，A B ⊆于是，所以，，lg12lg2lg 32m ≥+-lg 32lg6m -≤0326m <-≤解得且， 4833m -≤≤23m ≠因此实数的取值范围为.m 4228[,)(,]3333- 21．对于集合和常数，定义：{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅0θ为集合相对的“余弦方差”．()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-= A 0θ（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭00θ=A 0θ（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0θ0θ（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭[)0,πα∈[)π,2πβ∈0θ0θ关的定值，求出、．αβ【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，．38127π12α=23π12β=11π12α=19π12β=【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得即可求出、的值，即可得解．cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩αβ【详解】解：（1）依题意：；22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===（2）由“余弦方差”定义得：，()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22200013cos sin cos 22θθθ=++32=为定值，与的取值无关．31232μ∴==0θ（3）依题意，()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=所以分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+要使是一个与无关的定值，则，，μ0θcos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩cos 2cos 2αβ=- 与终边关于轴对称或关于原点对称，又，2α∴2βy sin 2sin 21αβ+=-得与终边只能关于轴对称，，2α2βy 1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩又，，则当时，；当时，．[)0,πα∈[)π,2πβ∈72π6α=232π6β=112π6α=192π6β=，或，．7π12α∴=23π12β=11π12α=19π12β=故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定7π12α=23π12β=11π12α=19π12β=0θ0θ值．。

江苏省南京市江宁高级中学2021-2022高一数学下学期3月月考试题(含解析).doc

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江苏省南京市江宁高级中学2021-2022高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共16小题）1.直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【详解】因直线方程为50x +-=，所以直线的斜率k =，故其倾斜角为150°. 故选D【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型. 2.已知10sina =，且a 为第二象限角，则()2tan a π+=（ ） A. 34-B.35C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到cos a =tan 3a =-，再计算()tan 2a π+即可.【详解】因为sin a =，且a 为第二象限角，cos a ==，sin tan 3cos a a a ===-.()22tan 63tan 2tan 21tan 194a a a a π-+====--.故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.3.如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A. 2 B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2. 4.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=，所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125，所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为（ ） A. 151060x y --=B. 151060x y -+=C. 6430x y --=D.6430x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的方程为320x y c -+=，再根据直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，可得132c c--=，解得c 的值，可得所求直线的方程．【详解】解：直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，可设直线l 的方程为320x y c -+=．再根据且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1， 可得132c c --=，解得65c =-，故直线l 的方程为63205x y --=， 即：151060x y --=. 故选：A.【点睛】本题主要考查两条直线平行的条件和直线方程，以及直线在坐标轴上的截距． 6.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 310x y -+= B. 370x y ++= C. 3110x y --= D. 3130x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程.【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--；设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++= 则3(4)(1)0m ⨯-+-+= 解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=. 故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题. 7.函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ).A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为2π的偶函数D. 周期为2π奇函数【答案】B 【解析】 因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222f x x x x x x ππ=-+---=+=，故()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22T ππ==，应选答案B ．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120A =︒，2c b =，则cos C （ ）D.14【答案】C 【解析】 分析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出=a ，之后再应用余弦定理求得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即22222427a b b b b =++=，故=a ，故222cos 2a b c C ab +-==． 故选：C ．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，属于基础题目. 9.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A. 1 B. 1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.11.已知直线20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A. 32k ≤ B. 32k ≥C. 4332k -≤≤ D. 43k ≤-或32k ≥【答案】C 【解析】 【分析】因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，结合43AM k =-，32AN k =，可求． 【详解】解：因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，又因为43AM k =-，32AN k =， 故直线的斜率k 的范围为4332k -． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线斜率的求解，属于基础题．12.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4a =，23b =c (2)cosB a b cosC =-，则ABC 的面积为（ ）． A. 3 B. 3 C. 6D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先由()2c cosB a b cosC ⋅=-边化角，化简整理可求出角C ，然后计算面积即可. 【详解】解：由()2c cosB a b cosC ⋅=-，得()2sinCcosB sinA sinB cosC =- 所以2sinCcosB sinBcosC sinAcosC +=，即()sin 2B C sinAcosC += 所以sin 2A sinAcosC =，sin 0A ≠得cosC 12=，所以3C π=所以113423622ABCSabsinC ==⨯⨯= 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角转化，三角形的面积公式，属于基础题.13.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 231sin 222xxsin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z ，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212kk x kZ ，，故()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称则D 不对． 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．14.在ABC 中，()()sin sin A B A B +=-，则ABC 一定是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 此题考查解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，所以，又因为,A B 为三角形的内角，故sin 0B >，因此cos 0A =，90A ∠=，所以ABC ∆是直角三角形.选C. 答案：C15.已知2sin cos 1θθ-=，则sin cos 1sin cos 1θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】由2sin cos 1θθ-=，通过二倍角公式，得到cos02θ=或 2sincos22θθ=原式化简为222222sin cos cos sin sin cos 12222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再分别求解. 【详解】因为2sin cos 1θθ-= 所以2sin cos 1θθ=+ 所以24sin cos2cos 222θθθ=解得cos 02θ=或 2sincos22θθ=当cos02θ=时222222sin cos cos sin sin cos 122220sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2sincos22θθ=时222222sin cos cos sin sin cos 122222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.16.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan 3C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、填空题（本大题共4小题）17.已知1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 21sin 2αα=-_______． 【答案】3【解析】【分析】 先由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出tan α，然后对cos21sin2αα-用二倍角公式并化简求值即可. 【详解】解：因为1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11tan 1143tan tan 144211tan 34παππααπα⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭所以()()()2222211cos sin cos sin cos2cos sin cos sin 1tan 2311sin2cos sin 2sin cos cos sin 1tan cos sin 12αααααααααααααααααααα++--++======-+-----故答案为3【点睛】本题考查了三角恒等变换，给值求值类问题，二倍角公式，齐次弦化切思想，属于基础题.18.已知点(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程为______________________________【答案】340x y ++=【解析】【分析】求出线段AB 的中垂线方程即可． 【详解】131513AB k -==--，其中垂线的斜率为3-，又AB 中点为(2,2)-，∴直线方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=．故答案为：340x y ++=．【点睛】本题考查点的对称性，考查求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解．19.已知△ABC 中，AC ＝3，且3sinA ＝2sinB ，cosC 13=，则AB ＝_____. 【答案】3【解析】【分析】由条件3sin 2sin A B =和3AC =，可得BC 的边长，然后用余弦定理可得答案.【详解】在△ABC 中，由3sin 2sin A B =，得32BC AC =.又3AC =，可得2BC =.由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 19422393=+-⨯⨯⨯= 所以3AB =故答案为：3【点睛】本题考查利用正弦、余弦定理解三角形，属于基础题.20.若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.【解析】【分析】联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．【详解】解：联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =． 把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n到原点的距离5d ，当2n =-，1m=-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共2小题）21.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22C f =，sin 2sin B A =，求,a b 的值. 【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）1,2a b ==. 【解析】【分析】 （1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出C的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值． 【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos ,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，②由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成三角形的面积的最值，是中档题.。

高一数学月考试题及答案

高一数学月考试题及答案

高一数学月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(x))等于A. x^2 + 2x + 1B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 + 1D. x^2 - 3x + 33. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_4=10，则公差d等于A. 2B. 3C. 4D. 54. 函数y=x^2-2x+3的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 55. 圆x^2 + y^2 = 25的圆心坐标是B. (5, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是A. 11B. 13C. 14D. 157. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)等于A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/59. 函数y=ln(x)的定义域是A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是A. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x-3与x轴的交点坐标为______。

2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=75，则a_3=______。

3. 已知一个圆的半径为5，圆心到直线x-y+5=0的距离为3，则该圆与直线的位置关系是______。

4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。

5. 集合{a, b, c}与集合{a, d, e}的并集为______。

高一3月第一次月考数学试题(解析版)

高一3月第一次月考数学试题(解析版)
（2）若f（x） • 求f（x）的最大值及相应x的值．
【答案】（1） 或 （2） 的最大值为 此时
【解析】
【分析】（1）利用向量共线得到三角方程转化为三角函数求值问题易解；
（2）把数量积转化为三角函数利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴cosx＝0或
即cosx＝0 或tanx
对于D选项：
所以点 满足方程 如下图所示：点
设 的方程为： 所以 与 夹角即为射线 与 的夹角
当 分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围.
则 可得 设 与 夹角为
则 解得
所以 的取值范围为 故D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷非选择题
三填空题（本题共5小题共20分）
13.在 中若 则 ______________
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）先表示出 和 用分离参数法把m分离出来利用函数求最值求出m的范围；
（2）先把 表示出来利用换元法转化为 在 上有解利用分离参数法求出t的范围.
【详解】解：
．
设
．
即实数 的取值范围是
设
．
取
设 易知 在 上单增
∴实数 的取值范围 ．
【点睛】（1）分离参数法是求参数范围的常用方法之一；
小问2详解】
解：由（1）得 又
所以 所以
因为 所以 所以 .
因为 所以
所以
.
21. 的角ABC的对边分别为abc已知 .
（1）求角A；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为 中任选一个作为已知条件求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案不唯一具体见解析.

安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学含答案

安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学含答案

2023~2024学年第二学期安徽县中联盟高一3月联考数学试题（答案在最后）考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章结束．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1244x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设向量()sin 2,cos a θθ= ，()cos ,1b θ= ，则“a b∥”是“1tan 2θ=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少?”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．1205．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则ϕ的值为（）A ．π12B ．5π12C ．π6D ．π36．已知函数()221e 11ex f x x +=-+，若tan171a =︒，sin188b =︒，sin 365c =︒，则（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f a f c <<C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f c f b f a <<7．在矩形ABCD中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AE BF ⋅= ，则AB AF⋅的值为（）A ．33B ．1C ．2D8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O的内接四边形，且AC =，2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=，则圆O 的半径为（）A ．4B ．2CD．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关系式成立的有（）A ．()()sin 11tan 1-<-<-B ．3cos π1sin12⎛⎫-=-⎪⎝⎭Csin1cos1=+D ．sin1cos1<10．已知函数()cos 2xf x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．若()f x m ≥恒成立，则m 的最大值为1C ．()1f x =在[]10,10-上共有6个解D ．()f x 在[]π,0-上单调递增11．点O 为ABC △所在平面内一点，则（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC △的重心B ．若0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC △的内心C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为ABC △的垂心D ．在ABC △中，设222AC AB AO BC -=⋅，那么动点O 的轨迹必通过ABC △的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA = ，()1,5PQ = ，则AQ = ______，BC =______．13．设a ，b 为正实数，且满足2a b +=，则221111a b+++的最小值是______．14．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为50cm 的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm 的小正方形EFGH 拼接而成，则tan HAB ∠=______．第14题图四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知2323tan log 3log 40.125α-=⋅-．（1）若α是第一象限角，求sin α的值；（2）求()()()222sin πcos 2π3πsin sin 2αααα+--⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值．16．（本小题满分15分）已知向量()sin ,cos a αα=，(b =，()cos ,sin c ββ=-，()0,απ∈，（1）若a b∥，求α的值；（2）若a b ⊥ ，35a c ⋅= ，ππ,62β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．17．（本小题满分15分）给出以下三个条件：①直线x =x 1，x =x 2是函数f (x )图象的任意两条对称轴，且12x x -∣∣的最小值为π4，②π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，③对任意的x ∈R ，()π24f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．请从这三个条件中任选个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数()23sin cos 2f x x x x ωωω=⋅+-，03ω<<，______．（1）求()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x k -=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分17分）在ABC △中，已知2AB =，6AC =，60BAC ∠=︒，AC 边上的中线为BN ，M 为BC 边上靠近B 的四等分点，连接AM 交BN 于点P ．（1）用AB 与AC 表示AM，并计算AM 的长；（2）求∠NPM 的余弦值．19．（本小题满分17分）如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，且AP AQ PQ ⋅= ；（1）求∠PAQ 的大小；（2）求APQ △面积的最小值；（3）某同学在探求过程中发现PQ 的长也有最小值，结合（2）他猜想“APQ △中PQ 边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．2023～2024学年第二学期安徽县中联盟高一3月联考·数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCDABACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。

重庆第一外国语学校高一下三月月考数学试题及答案2023

重庆第一外国语学校高一下三月月考数学试题及答案2023

重庆外国语学校2022-2023学年度（下）高2025届3月月考数学试题（满分150分，120分钟完成）第I 卷（选择题）一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分；每题只有一个正确答案） 1．sin 74sin 46sin16sin 44−= （ ） A ．12 B ．12−CD．2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知4sin,,52πααπ=∈，则tan α的值是（ ） A ．34−B ．43−C ．34D ．434．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知角α满足π1cos 33α −=−，则πsin 26α− ＝（ ） A ．79− B ．79 C．D6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（ ）A ．52B ．18C ．716D ．2332命题人 数学备课组 审题人数学备课组7．已知函数()cos (0)3f x x πωω=+> 在区间π3,π44上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．80,9B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,38．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=−−，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（ ）A ．π2π2π,2π,33k k k++∈ ZB ．2ππ2π,2π,33k k k−+−+∈ Z C ．π5π2π,2π,66k k k++∈ ZD ．5π2π,2π,66k k k π−+−+∈Z 二、多选题（共4个小题，每题5分，共20分；每题有多个正确答案，漏选得2分，错选或不选得0分）9．下列各式中，值为12的是（ ） A ．2sin15cos15B ．2π2cos 112−C D ．2tan22.51tan 22.5−10．下列不等式中成立的是（ ） A ．πsin1sin 3< B ．15π4πsinsin 75> C ．2πcoscos 23> D ．()cos 70sin18−>°°11．已知函数()πsin 26f x x=−，则下列说法正确的是（ ） A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x+D ．若()π6f x a f −>对任意的π0,2x∈ 恒成立，则10a <-.12．设函数()sin 2sin cos xf x x x =+，则（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44− 上单调递增C ．()f x 在π3π,44 −D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =第II 卷（非选择题）三、填空题（共4个小题，每题5分，共20分，只需写出答案，不必写出演算过程） 13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a −=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ−=__________. 14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x −<== > ，关于函数()sgn(π)sin f x x x =−有如下四个命题： ①()f x 在ππ2，上单调递减； ②()1lg2lg 2f f=− ；③()f x 的值域为[]11−，； ④()f x 的图象关于直线πx =对称. 其中所有真命题的序号是__________.四、解答题（共70分，第17题10分，其余各题每题12分，每题要求写出必要的推理演算过程）17．（本小题10分）已知0,2πα∈,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα+的值.18．（本小题12分）已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα−+=−++. (1)求4π3f；(2)已知()ππ4,225f αα−<<=，求tan α．19．（本小题12分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+. (1)求sin()αβ+的值； (2)求tan β的值.20．（本小题12分）已知函数()π2sin23f x x x=−−.(1)求函数()f x 在π5π,66−上的单调递增区间；(2)若123f β = ，求πcos 23β− 的值.21．（本小题12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =+−．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ∈． (2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()fB fC +的取值范围．22．（本小题12分）设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x =−+∈.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：123π2x x +<.。

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高一数学3月月考试题(有答案)
一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）
1．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A ． 位移 B ．速度 C ．质量 D ．力
2．设O 是矩形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD 、
、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3.数轴上点A ，B 分别对应－1、2，则向量AB 的长度是 （ ） A.－1 B.2 C.1 D.3
4.(2016·一中期末)若|AB |＝|AD |且BA ＝CD ，则四边形ABCD 的形状为 （ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
5.（湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，3)若向量数量积 0a b <则向量a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ） A ．0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
B ．0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6.已知向量），（2-3),,1(==b m a ，且()a b b ⊥+，则m =（ ） A.－8 B.－6 C.6 D.8
7.（山西省运城市2017届高三上学期期中 ）已知向量(2,)a m =，(,2)b m =， 若//a b ，则实数m 等于（ ） A ．2- B ．2
C ．2-或2
D ．0
8．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于
（ ）
A ．3
B ．1
C ．2
D.1
2
9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于 （ ） A ．45°或135°
B ．60°
C ．45°
D ．135°
10．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则边a 等于 （ ） A ．9 B ．3 C ．27 D ．3 3
11．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 （ ） A.1
3
B ．－23
C.14 D ．－14
12.（2016年高考天津理）在△A BC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC= （ ） A.1
B ．2
C.3
C.4
二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）
13.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则a＋b表示________.
14.已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则a·b＝________；
15.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60O，则S△ABC＝________；
16.（2016年高考新课标）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
4 cos
5
A=，
5
cos
13
C=，a=1，则b=____________.
三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.(10分）已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求|b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值；
18.(12分）已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5.
（1）求a·b；
（2）求|3a－b|．
19.(12分）已知△ABC中A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.
⑴求证:AB⊥AC; ⑵求点D与向量的坐标.
20.(12分）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,，若a=3，b=4，C=60o .
（1）求c的值；
（2）求sinB的值．
21.(12分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
22.（12分）（2016年高考新课标Ⅰ卷理）ABC
∆的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos(cos cos).
C a B+b A c
=
（1）求C；
（2
）若c ABC
=∆
的面积为
2
,求ABC的周长．
高一数学参考答案
一、选择题（每题5分、共12题，共60分）
13.向东北方向走km 14. 3
15. 16.
三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.(10分）已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求|b|； (2)求a与b的夹角的余弦值；
解：（1）
（2）
18. (12分）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5. （1）求a ·b ； （2）求|3a －b |．
解 ：（1）a ·b=；
（2）|3a －b |=7．
19.(12分）已知△ABC 中A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.
（1）求证:AB ⊥AC; （2）求点D 与向量的坐标.
（1）略
（2）
20.(12分）
（1）由余弦定理，得
（2）由正弦定理，得sinB ．
21.(12分） 设我艇追上走私船所需要的时间为t 小时，则
BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，
由∠ABC ＝180°－105°＋45°＝120°， 根据余弦定理知
(14t )2
＝(10t )2
＋122
－2·12·10t ·cos 120°， ∴t ＝2或t ＝－43
(舍去)．
答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
22.（12分）。

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