最新人教版高中数学选修1-1《命题的四种形式》课堂导学
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题及相互关系》互动课堂
互动课堂重难突破本节重点是四种命题形式及其关系，互为逆否命题的等价性.1.命题的四种形式原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若⌝p，则⌝q；逆否命题：⌝q，则⌝p.注意：（1）一个命题，一定要准确找出其条件和结论.交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.否定命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.否命题不是对原命题的否定.如命题p的否定是非p，只是否定命题的结论.交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.（2）在学习的过程中，要注意条件p、q的位置变化，另外“⌝p”及“⌝q”意为p、q的否定，可以读作“非p”、“非q”，也可读作“否p”“否q”.2.四种命题的相互关系3.四种命题真假性的判断（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.（3）互为逆否命题可以认为是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.综合上述3条可知：在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.4.反证法（1）反证法的实质由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性的理解.（2）反证法的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确.在这里假设的作用是对原结论否定的假设提出，相当于增加了一个已知条件.（3）反证法的运用：反证法的运用有两个难点：一是何时使用反证法.①证法唯一性、无理性等问题可用反证法.②命题以否定形式出现（如不存在、不相交等），并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语，此时也可选用反证法.③正难则反，即若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手解决. 二是如何得出矛盾，一般有三种：一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题矛盾.特别提示：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否命题是“若非p ，则非q ”，而这个命题的否定是“若p ，则非q ”.可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论.例如，原命题“若∠A =∠B ，则a =b ”的否命题是“若∠A ≠∠B ，则a ≠b ”，而原命题的否定是“若∠A =∠B ，则a ≠b .”活学巧用【例1】在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 .(把符合要求的命题序号都填上) 解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.显然不正确. ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点.为真命题.答案：②点评：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识，考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)若q ≤1，则方程x 2+2x +q =0有实根；(2)若AB =0，则a =0或b =0;(3)若x 2+y 2=0,则x ,y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2+2x +q =0有实根，则q ≤1，真命题.否命题：若q ＞1，则方程x 2+2x +q =0无实根，真命题.逆否命题：若方程x 2+2x +q =0无实根，则q ＞1，真命题.(2)逆命题：若a =0或b =0,则AB =0,真命题.否命题：若AB ≠0，则a ≠0且b ≠0,真命题.逆否命题：若a ≠0且b ≠0,则AB ≠0,真命题.(3)逆命题：若x ,y 全为零，则x 2+y 2=0,真命题.否命题：若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为零，真命题.逆否命题：若x ,y 不全为零，则x 2+y 2≠0，真命题.点评：在判断命题的真假性时，充分利用原命题与逆否命题、逆命题和否命题是等价的这一知识.【例3】若a ,b ,c 均为实数，且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证：a ,b ,c 中至少有一个大于0.分析：利用反证法证明.证明：(用反证法)假设a ,b ,c 都不大于0，即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π +y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3, ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾，因此，a ,b ,c 中至少有一个大于0.点评：含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.【例4】已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ，对命题“若a +b ≥0,则f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )”.(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论;(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.分析：利用四种命题的定义.解：(1)逆命题是：若()()()()b f a f b f a f -+-≥+,则a +b ≥0,真命题.用反证法证明：假设a +b <0,则a <-b ,b <-a .∵()x f 是(-∞,+∞)上的增函数，则()()b f a f -〈,()()a f b f -〈，∴()()()()b f a f b f a f -+-〈+.这与题设相矛盾，∴逆命题为真.(2)逆否命题：若()()()()b f a f b f a f -+-〈+,则a +b <0,真命题.∵一个命题 它的逆否命题，∴可证明原命题为真命题.∵a +b ≥0,∴a ≥-b ,b ≥-a .又∵()x f 在(-∞,+∞)上为增函数，∴()()b f a f -≥,()()a f b f -≥.∴()()()()b f a f b f a f -+-≥+.∴逆否命题为真.点评：互为逆否命题的两个命题，在证明一个的真假性时，可证明它的等价命题.【例5】(2005上海高考)命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形;且 的三棱锥是正三棱锥.解析：顶点在底面的射影为底面的中心，也就是要求棱锥顶点到三角形三个顶点的距离相等.所以原命题A 的等价命题B 是底面为正三角形，且顶点到底面三角形各个顶点距离相等的三棱锥是正三棱锥。
人教版高中选修(B版)1-11.3.2命题的四种形式课程设计
人教版高中选修(B版)1-11.3.2命题的四种形式课程设计一、前言作为高中课程的一部分，数学是非常重要的学科之一。
在数学教学中，命题是非常关键的环节。
合理的命题可以有效地检验学生的学习成果，并且可以有效地推动学生的学习进度。
因此，合理的命题形式就显得非常的重要。
本文将从人教版高中选修(B版)1-11.3.2课程的角度出发，探讨并设计了四种常见的命题形式。
二、命题形式的分类在数学教学中，命题形式主要可以分为以下四种类型：1.计算题型2.应用题型3.证明题型4.选择题型接下来，我们将分别探讨这四种类型的命题形式，并且针对每类都设计一种适合的题目示例。
2.1 计算题型计算题型是数学教学中最基础的一种命题形式，它的主要目的是让学生通过简单的加减乘除等基本运算来检验自己掌握的基础知识。
以下是一道常见的简单的计算题目：若 a = 3 ，b = 4 ，c = 5 ，则 a^2 + b^2 - c^2 的值是多少？答案：62.2 应用题型应用题型是数学教学中的一种抽象思维题型。
它主要是通过实际问题的转换来考察学生的解题能力，帮助学生理解数学公式的应用场景。
以下是一道常见的应用题目：约会时，小明想乘坐的公交车每隔 10 分钟就会一辆，小明从 18：20 开始等待乘车，问他最早能在多长时间后到达目的地，若公交车在在 19：20 停止运营，并且小明步行到目的地需要20分钟。
答案：小明最早可以在 19:20 到达目的地。
2.3 证明题型证明题型是数学教学中涉及到较高抽象度和纯粹理论的题目。
它主要是通过一定的推理方式和逻辑思辨来检验学生的逻辑思维和理论认知能力。
以下是一道常见的证明命题：证明：若平面内一条直线与两平行直线相交，那么这两条平行直线互相平分这个直线所对应的两个三角形的底角。
回答：结合知识进行证明，可以通过类似的步骤数学证明得出结论。
2.4 选择题型选择题型是数学教学中最常见的一种命题形式。
这种题型通过问题和答案之间的关系来考验学生的判断能力和恶意猜测能力。
高二数学(人教A版)选修1-1导学案：1.1.2-1.1.3四种命题及相互关系(无答案)
编号： gswhsxxx1-1----01-02文华高中高二数学选修1-1 §《四种命题及其互相关系》导教案学习目标：1.知道四种命题的观点.认识四种命题的结论。
会写出某命题的抗命题，否命题和逆否命题.2.记着四种命题的关系 .3.会利用命题的等价性解决问题要点难点：要点：四种命题及其关系难点 :利用命题的等价性解决问题.学习方法：．在本节的学习中，不要去照本宣科形式化的定义与模式，而应多经过详细实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这类关系对命题真假作出判断，进而领会正难则反省想的应用 .感情态度与价值观：经过本节的学习领会经过不一样的变换解决问题，体验学习的快乐。
学习过程一．知识链接（提出问题）：认真阅读以下四个命题的条件和结论：（1）若 f(x) 是正弦函数，则 f(x) 是周期函数；(2) 若 f(x) 是周期函数；则 f(x) 是正弦函数；（3）若 f(x) 不是正弦函数，则 f(x) 不是周期函数；(4)若 f(x) 不是周期函数，则 f(x) 不是正弦函数②命题（ 1）与命题（ 2），思虑①它们分别是真命题仍是假命题？（3），（4）的条件和结论之间分别有什么关系？③你能说出此中随意两个命题之间的互相关系吗？二．自主学习：阅读教材P4-P8 相关内容解决以下问题:1.四种命题的观点一般地，①对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做.此中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.也就是说，假如原命题为“若p，则 q”，那么它的抗命题为.②对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，我们把这样的两个命题叫做. 假如把此中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p ，则q”，那么它的否命题为.③对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，我们把这样的两个命题叫做.假如把此中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p ，则q”，那么它的逆否命题为.2.四种命题的互相关系：3.四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性.(2)两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性三：合作研究 :研究点一四种命题的观点针对知识链接提出四个命题：1回答思虑提出的三个问题2若 (1)为原命题，则 (2)为(1)的 ________命题， (3)为 (1)的 ________命题， (4)为(1)的________命题 .3在四种命题中，原命题是固定的吗？研究点二四种命题的关系1经过以上学习，你以为假如原命题为真，那么它的抗命题、否命题的真假性是如何的？它的逆否命题的真假性如何？2四种命题中，真命题的个数可能为多少？研究点三等价命题的应用我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题，来间接地达到证明原命题为真命题 .之目的。
1.3.命题的四种形式-人教B版选修1-1教案
1.3 命题的四种形式——人教B版选修1-1教案一、教学目标1. 知识目标•了解命题的基本概念和符号表示法•掌握命题的四种基本形式及其关系2. 能力目标•能正确理解和运用命题的基本概念和符号表示法•能准确判断和证明命题的真假•能运用命题的四种基本形式进行逻辑推理和分析3. 情感目标•培养学生的逻辑思维能力和分析判断能力•培养学生的严谨思维态度和逻辑严密性二、教学内容1. 命题的基本概念和符号表示法•命题的定义•命题的符号表示法•命题的真值表2. 命题的四种基本形式及其关系•命题的肯定形式•命题的否定形式•命题的合取形式•命题的析取形式三、教学过程1. 命题的基本概念和符号表示法（1）命题的定义命题是指能确定真假的陈述句。
在数学或逻辑中，命题一般用大写字母P、Q、R 等来表示。
例如：•P：今天是晴天。
•Q：1+1=2。
•R：2是偶数。
（2）命题的符号表示法命题可以用符号表示法来简化表示。
一般使用以下符号：•∧ 表示“且”，即合取•∨ 表示“或”，即析取•¬ 表示“非”，即取反•→ 表示“蕴含”，即如果…那么…（3）命题的真值表命题的真值表是用来表示命题的真假情况的表格。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•真值表：P P真T假 F2. 命题的四种基本形式及其关系（1）命题的肯定形式命题的肯定形式是指命题本身的真假情况。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•真值表：P P真T假 F（2）命题的否定形式命题的否定形式是指通过否定命题本身的真假情况来得到新的命题。
一般用¬P 来表示。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•命题 ¬P：今天不是晴天。
（3）命题的合取形式命题的合取形式是指将两个或多个命题的真假情况同时考虑，得到一个新的命题。
一般用 P ∧ Q 来表示。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•命题 Q：温度很高。
•命题P ∧ Q：今天是晴天且温度很高。
（4）命题的析取形式命题的析取形式是指将两个或多个命题的真假情况进行“或”运算，得到一个新的命题。
最新人教版高中数学选修2-1第一章《命题的四种形式》课前导引
1.3.2 命题的四种形式课前导引问题导入设原命题是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d;则a+c=b+d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.思路分析：逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d,则a=b,c=d.假命题.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d.假命题.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.真命题.知识预览1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的___________和____________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_______________，另一个命题叫做原命题的_____________.答案：结论条件原命题逆命题2.若原命题为“若p,则q”,则它的逆命题为“_______________”.答案：若q则p3.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的___________和_______________，把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的___________________.答案：条件的否定结论的否定否命题4.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“__________________”.答案：p则q5.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________和_____________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，则另一个命题叫做原命题的______________.答案：结论的否定条件的否定逆否命题6.若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为______________.答案：若q则p7.两个命题互为逆否命题,它们是______________具有______________.答案：等价的相同的真假性8.两个命题为______________或______________,它们的真假性没有关系.答案：互逆命题互否命题。
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
最新人教B版选修1-1高中数学1.3.2《命题的四种形式》ppt课件 (2)
四种命题的概念
把下列命题改写成“如果 p，则 q”的形式，并 写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等； (2)当 x＝2 时，x2－3x＋2＝0. 【思路探究】 (1)原命题的条件与结论分别是什么？ (2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆 命题、否命题和逆否命题？
四种命题的概念 【问题导思】 给出以下四个命题： (1)对顶角相等； (2)相等的两个角是对顶角； (3)不是对顶角的两个角不相等； (4)不相等的两个角不是对顶角．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？ 【提示】 它们的条件和结论恰好互换了． 2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4) 呢？ 【提示】 命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否 定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的 否定和条件的否定．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
(2)原命题：如果 x＝2，则 x2－3x＋2＝0. 逆命题：如果 x2－3x＋2＝0，则 x＝2. 否命题：如果 x≠2，则 x2－3x＋2≠0. 逆否命题：如果 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
演示结束
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
1.了解四种命题的概念，
会写出某命题的逆命题、
课 标 解 读
否命题和逆否命题． 2．认识四种命题之间的关 系以及真假性之间的关系 ．(重点) 3．利用命题真假的等价性
解决简单问题．(难点、易
错点)
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最新人教版高中数学选修1-1《四种命题》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一,逆命题一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题(original proposition),另一个命题叫做原命题的逆命题(inverse proposition).因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题.误区警示 在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内. 二,否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的否命题 (negative proposition).同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题.知识拓展 一般地，用p 和q 表示原命题的条件和结论，用瘙p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题为“若p 则q”；它的否命题为“若p ⌝则q ⌝”.三、逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,则另一个命题叫做原命题的逆否命题(inverse and negative proposition).交换原命题的条件和结论并同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.辨析比较 否命题与命题的否定否命题是只对命题的条件和结论进行同时否定，而命题的否定是对命题的结论否定.命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.下面把常用的一些词语和它的否定词语问题 如何从集合的角度恰当的解释互为逆否的两个命题的等价性呢？探究:命题的四种形式之间的关系，为我们提供了一个判断命题真假的变通手段.由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.互为逆否的两个命题的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设A={x|x ∈p},B={x|x ∈q}，其中p 和q 是集合A 和B 的特征性质.若A ⊄B ，则意味着对于元素x 具有性质p 必具有性质q ，所以可认为A ⊄B 与p→q 等同，具有同真假性.由venn 图发现有下面的结论：A ⊄B 与B ⊄A 等价，也就说明p→q 与⌝p→⌝q 是等价的.典题·热题例1 在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上).思路分析：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念，具有较强的开放性.应先写出它们的逆命题，再判断真假.①的逆命题是，若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.显然这个命题不正确.②的逆命题是，若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.这个命题为真命题.答案：②深化升华利用逆命题的定义，在判断命题为假命题时可以举一个反例.例2 命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题是___________.思路分析：该题将不等式与命题联系在一起，特别要注意不等号的方向和等号的取舍.因为“a>b”的否命题是“a≤b”，“2a>2b-1”的否命题是“2a>2b-1”，所以原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b-1”.答案：若a≤b，则2a≤2b-1例3 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0,则a=0或b=0；(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.思路分析：本题主要考查了已知原命题写它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.应先把命题改写成“若p则q”的形式，把条件和结论互换，得逆命题；把条件和结论都加以否定就得到否命题；再把逆命题中的条件和结论都加以否定就得到逆否命题.解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题；否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题；逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题：若a=0或b=0,则ab=0,真命题；否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题：若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题；否命题：若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题；逆否命题：若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.深化升华在判断命题的真假性时,充分利用原命题与逆否命题、逆命题和否命题是等价，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过它的逆否命题的真假而判断原命题的真假.例4 写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)零的平方等于零.与否命题的区别,命题的否思路分析：本题的关键是弄清命题的否定与否命题的区别,即p定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.解：(1)命题的否定：正n边形(n≥3)的n个内角不全相等；否命题：不是正n边形(n≥3)的n 个内角不全相等.(2)命题的否定：零的平方不等于零；否命题：不等于零的数的平方不等于零.误区警示解答此类问题常见的思维误区是：否命题与命题的否定混淆以及否定错误.因此求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.例5 下面是一位同学写的命题：若x2+y2=0,则x,y全为零的逆命题、否命题、逆否命题，以及它们的真假，他的写法正确吗？若不正确，请你写出正确的命题.解：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y全不为零，是真命题；逆否命题：若x,y全不为零，则x2+y2≠0，是真命题；思路分析：对命题中条件和结论的否定不全面，对x,y全为零的否定，应为不全为零，而不是全不为零.解：错误，其正确解法是：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y不全为零，是真命题；逆否命题为：若x,y不全为零，则x2+y2≠0，是真命题.深化升华求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组，要注意不要出现否定错误.。
人教版高中数学选修(1-1)-1.1《四种命题间的相互关系》导学案
1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：进一步理解四种命题相互关系，理解用互为逆否命题的真假来证明命题，即反证法。
学习重点：四种命题真假关系学习难点：反证法的简单应用。
讲学过程：一、复习准备：写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>1,则a-1>0； 2) 若q<1,则方程 022=++q x x 有实根 逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:3) 若x 2-3x+2=0,则x=2； 4)若ab ，0≠则a 、b 中至少有一个为0。
逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:二、新课：1、四种命题的相互关系：结论一：原命题与它的逆否命题 ；结论二：两个命题为 命题或 命题，它们的真假性没有关系.2、四种命题的真假关系：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3、当堂检测---写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>-3,则a>-6 2）若(x-7)(x-3)=0,则x=33）若a b >，则a c b c +>+； 4)若x > y, 则x 2 > y 24、反证法概念求证：若x 2＋y 2＝0，则x 、y 同时为0.反证法步骤----5、跟踪练习---用反证法证明：1、证明：若222p q +=，则2p q +≤2、证明1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则三、小结：掌握一些词语的否定,如。
最新人教版高中数学选修1-1《命题》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、命题的概念1.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).并非所有的语句都是命题，命题首先为陈述句,并且一般由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.因此，命题是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式.命题可以用语言、符号或式子表达，这是指命题可以用文字语言叙述或数学符号表达或数学关系式（如方程、不等式、函数关系式）等表示.方法点拨判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合命题的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不属于命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不属于命题.知识拓展在数学和其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇数的和”，“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.2.判断为真的语句叫做真命题(true proposition).判断为假的语句叫做假命题(false proposition).判断为真或假的语句是指的陈述句，真或假是指正确还是错误.二、命题的条件和结论在数学中,“若p则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.所有命题都可表示为“若p则q”的形式.“若p则q”的形式的命题也可以写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式.如命题“对顶角相等”和“直角都相等”这两个命题都采用简略式，完整表达式为，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”和“如果有一些角是直角，那么这些角都相等”方法点拨在把命题改写成“若p则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式上的变化.误区警示在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因常常在于分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内.容易出现的错误是把大前提放在命题的条件内.问题·探究问题1 如何判断一个语句是否为命题呢？若是命题，如何判断其真假呢？探究:判断一个语句是否为命题的关键，是看它是否符合命题的两个基本要素，即是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”，只有同时满足这两个条件的才是命题.一个语句如果是命题，那么它要么是真命题，要么是假命题，但不能同时是真命题和假命题，也不能模凌两可无法判断其真假.把一个命题改写成“若p则q”的形式后，判断真假命题的方法如下：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p则q”是真命题；要确定“若p则q”为假，则只需举一个反例说明即可.如果将含有大前提的命题改写成“若p则q”的形式时，大前提要保持不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.问题2我们在前面已经学习了集合的有关知识，从集合的角度看命题的真假与集合间有什么关系呢？探究:从集合的角度看，可以建立集合与命题中的之间的特殊联系.设集合A=｛x|p(x)成立｝，B=｛x|q(x)成立｝.就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的x对象所构成的集合，此时，命题“若p则q”为真，意味着“使p成立的对象也使q成立”，当且仅当A⊆B时满足.命题“若p则q”为假，意味着“使p成立的对象不能使q成立”当且仅当A⊄B时满足.典题·热题例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB；(5)余弦函数是周期函数吗？思路分析：本题主要考查命题定义的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不是命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不是命题.命题的两个基本要素缺一不可.解：(1)是命题,真命题；(2)是命题,假命题；(3)是命题,假命题；(4)是命题,真命题；(5)不是命题.例 2 设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∈B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是_________(把符合要求的命题的序号都填上).思路分析：本题主要考查集合间的运算关系以及命题的真假，A⊆B的含义是若x∈A,则x∈B;A B的含义是A不是B的子集，本题主要依据A⊆B的定义解答.答案：④方法归纳本题借助命题考查集合间的关系.在解答集合间的关系这类题时，可借助于韦恩图和特殊的集合，有时还可在数轴上表示集合间的关系.例3 已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是（）A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交思路分析：如右图,因为α、β为两个不同的平面,所以若α∩β=c,则平面α、β不会重合.因为a⊥α,b⊥β,所以a与b不一定相交.故“α、β相交,则a、b相交”是假命题.答案：D方法归纳 本题借助于命题考查线线、线面和面面间的位置关系.在解决此类问题时，可以结合教室中一些物体的几何形状解决问题.例4 指出下列命题的条件p 和结论q:(1)若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心；(2)若两条直线a 和b 都和直线c 平行,则直线a 和直线b 平行.思路分析：本题主要考查命题的条件和结论.只需把命题写成“若p 则q”的形式，在改写时，有大前提的，大前提保持不变.解：(1)条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p:两直线a 和b 都和直线c 平行.结论q:直线a 和b 平行.例5 将下列命题改写成“若p 则q”的形式,并判断真假:(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)同弧所对的圆周角不相等.思路分析：本题主要考查把命题改写成“若p 则q”的形式.解：(1)若一个数是偶数,则它能被2整除；真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称；真命题.(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等；假命题.方法归纳 在改写时，要分清命题的条件和结论，这是解这类题的关键；并且要注意大前提的写法.例6 已知m ∈{z|-1<z<1,z≠0}，设p:y=mx+2 004的值随x 的增大而增大；q:不等式x+|x-2m|>1的解集为R .当p 、q 有且只有一个正确时，求实数m 的取值范围.思路分析：本题是函数、不等式与命题的综合题，涉及到函数的单调性和把不等式转化成求函数的最小值的问题，要解此题可以先分q 和p 正确与否，然后求出m 的范围.解：首先研究q ，∵x+|x-2m|=⎩⎨⎧<≥-),2(2),2(22m x m m x m x , ∴x+|x-2m|的最小值是2m.又∵不等式x+|x-2m|>1的解集为R ,∴2m>1,∴m>21. 结合m ∈{z|-1<z<1,z≠0}知，q 正确时，21<m<1;q 不正确时，-1<m≤21且m≠0. 其次研究p ，y=mx+2 004的值随x 的增大而增大，m>0，反之m≤0.所以p 正确时0<m<1，p 不正确时-1<m<0.综上可知，当p 正确q 不正确时,0<m≤21. 当p 不正确q 正确时,m ∈∅.所以m 的取值范围是{m|0<m≤21}. 方法归纳 解答这类问题时要尽量把命题简化，再根据题设条件，推出所有可能的情况.。
高中数学人教A版选修(1-1) 1.1 教学设计 《四种命题》(人教A版)
《四种命题》◆教材分析本次课程内容在教材中较为简单，需让同学们理解教材中的大致内容，并且在教材内容的基础上进行与之前知识的结合，教材中的例子要熟练掌握，从而理解四种命题的基本概念。
【知识与能力目标】了解命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种形式概念；通过具体的实例让学生掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题。
【过程与方法目标】通过复习旧知识引入新的知识，通过例题教学和学生的演练、比较。
使学生掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题。
【情感态度价值观目标】通过学生在学习过程中的感受、体验、认识，演练、比较，提高学习质量。
【教学重点】掌握命题的四种形式【教学难点】掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题。
布置预习的作业，并且能够根据命题的概念举出命题的例子，让学生对四种命题有一个简单的了解和熟悉。
活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：请同学们回顾上一节课学习过的内容：1、什么叫做命题？2、命题可以分为几类？什么叫真命题？什么叫假命题？如何判断一个命题的真假性？3、命题的构成是什么？有什么形式？问题2：复习引入问题3：思考、分析下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题》目标导引
1.1.2 四种命题
一览众山小
三维目标
1.初步了解原命题、逆命题、否命题和逆否命题的概念，学会写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，会判断四种命题的真假.
2.在学习这些内容时，应首先分清原命题的大前提、条件和结论，然后再写原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再对原命题的条件和结论作相应的转化.培养自己的逻辑推理和相互转化的能力.
学法指导
在学习本节课前首先应回顾命题、真命题和假命题的概念，判断命题真假的方法以及如何把命题改写成“若p则q”的形式.
学习本节课的四种命题的写法时，需要理解一个命题与其他命题的真假关系.否命题与命题的否定是两个易混的概念，要注意正确区分.
诱学导入
材料：在商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”.初听起来，这似乎只是几句普通的赞美词，然而它所起的实际效果可大哩！原来这句话，变换成等价命题就是：“不拥有的人们不幸福”.哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了.瞧！广告商的目的就这样通过巧妙的命题变换达到了.
问题：你能彻底弄清广告中的奥妙吗？
导入：要彻底弄清广告中的奥妙，还得从四种命题，以及命题的等价性和真假性谈起.。
最新人教版高中数学选修1-1《命题》教学设计
教学设计1．1.1命题整体设计教材分析命题是逻辑学的基础知识，数学学科包含了大量的命题．了解命题的概念，对于掌握具体的数学学科知识有很大帮助．教材的设计与学生已学知识密切联系，使学生在复习旧知识的同时学习新知识，学以致用，体现了数学学科特有的连续性及知识的环环相扣特点．并能使学生对已学过的数学知识系统化、明晰化．教材内容从小处入手，以基础题目作为引例，使学生可以更快地进入角色，避免空泛地讲解数学知识，枯燥无味，能促进知识、方法、思维和情感的融合，能让学生充分体会数学的魅力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式；体会命题的逻辑性．过程与方法通过学生对命题的判定，总结命题的概念，培养学生的自主学习能力；引导学生学习判断命题的真假性，复习巩固以前所学内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度；教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度．情感、态度与价值观培养学生严谨缜密的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点教学重点：命题的改写．教学难点：命题概念的理解．教学过程引入新课提出问题下列语句的表达形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)2＋4＝7；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)若x2＝1，则x＝1；(5)两个全等的三角形面积相等；(6)3能被2整除．活动设计：先让学生根据以前所学知识进行思考，然后小组讨论交流，教师巡视指导，并注意与学生的交流和指导．学情预测：学生可能认为这些知识较为简单，能较轻松地完成判断．教师提问：这些语句的表达形式有何特点？它们的正确性如何？学情预测：学生能判定出它们都是陈述句，(2)(4)(5)(6)可以能正确判定，(1)(3)可能会出错．活动结果：这些语句都是陈述句，其中语句(1)(3)(5)为真，语句(2)(4)(6)为假．设计意图：通过以前所学知识，自然合理的提出问题，使学生消除对新知识的陌生感，能够更快的理解和接受新知识；同时，也可以从问题中突破本节课的难点——命题概念．探究新知一、通过学生对上述问题的探究、求解，自行总结得到命题的定义．提出问题：你认为什么是命题？(学生自由发言)活动设计：先让学生根据以前所学知识进行思考，然后学生自由发言，教师根据回答情况，及时加以正确的引导．学情预测：学生的回答多种多样，但并不能用严格规范的语言来叙述问题，还有很多同学感觉到问题虽然很简单，但表达不出自己的见解，不知从何下手．活动结果：在教师的启发和引导下，学生逐步认识到，要给命题下定义需从两个方面入手，一方面是表达形式有何特点，另一方面是它的正确性如何．设计意图：在这一教学过程中，逐步培养学生归纳总结的能力及用数学语言准确表达问题的能力．二、形成概念命题的概念：一般的，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(教师板书) 注意：命题首先是一个陈述句，其次可以判定真假，只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题．提出问题问题1：看下面几个语句，判断其是否为命题，若是命题，判断真假．(1)3>12吗？(2)8是24的约数；(3)x2≠4；(4)正弦函数不是周期函数．活动设计：通过以上四个语句的判定，使学生对命题概念中的关键词能够透彻理解．学情预测：学生可以看出语句(2)(4)是命题，而(1)(3)不是命题．问题2：根据你的判断，你认为命题概念中应该注意哪些条件？学情预测：学生不一定把这两个条件说的简练，但可以说出大体意思．活动成果：判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假；另一个需要注意的问题是：假命题也是命题．设计意图：通过对这四个语句的判断，加强学生对命题概念的理解，并能掌握定义中的关键词，从而纠正对定义理解的偏差．并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题，一般来说疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题3：你能举出一些命题的例子吗？并判断它们的真假．(学生自由发言)设计意图：通过这个活动，可以极大地调动学生自主学习的积极性，并在活动中加深对命题概念的理解．理解新知教师举例：偶函数的图象关于y轴对称．提出问题问题1：上述命题中的条件和结论分别是什么？学情预测：学生可以把这句话的条件和结论很轻松地说出．活动成果：(板书)也就是说我们可以把此命题写成“若条件则结论”的形式，即为：若一个函数是偶函数，则它的图象关于y轴对称．我们可以用p表示条件，用q表示结论，所以命题可以写成“若p，则q”的形式．问题2：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．①等腰三角形两腰上的中线相等；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③矩形的对角线相等．活动设计：先请学生以小组为单位集体讨论这三个命题，然后分别请三位学生到黑板上板演，并请其他小组成员对这三位同学的结果进行评价．学情预测：学生虽然可以找到条件和结论，但是语言叙述并不是太流畅，“若p，则q”的形式可能比较生硬．活动成果：①若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线相等．真命题②若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 假命题③若一个四边形是矩形，则它的对角线相等．真命题教师：注意“若p，则q”的形式也可以写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”的形式．设计意图：最大限度的让学生成为课堂的主人，使学生从被动学到主动学，愉快地接受新知识，在共同的学习中更深入的理解所学知识．并让学生表现出自身存在的缺点和不足，及时给予纠正．运用新知1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；(5)(－2)2＝2；(6)x>15.思路分析：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．解：上面6个语句中，(3)不是陈述句，所以它不是命题；(6)虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都是陈述句，且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(5)是真命题，(2)(4)是假命题．点评：通过本题，使学生加深对命题概念的理解．巩固练习判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？1．奇函数的图象关于原点对称；2．平行四边形的对角线相等吗？3．0不是偶数．答案：1.是命题，是真命题；2．不是命题；3．是命题，是假命题．2指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．思路分析：命题“若p，则q”的形式中，p一定是条件，q一定是结论．解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数；(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．点评：本题主要是使学生熟悉命题的“若p，则q”形式．巩固练习将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等．答案：(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．(假命题)(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．(真命题)(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．(真命题)达标检测1．判断下列语句是命题吗？(1)若a为正无理数，则a也是无理数；(2)x∈{1,2,3,4,5}．2．把下列命题改写成“若p，则q”形式，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)对角线互相垂直平分的四边形是正方形．答案：1.(1)是命题．因为该语句是陈述句，且可判断真假．(2)不是命题．因为该语句不能判断真假．2．(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数；真命题．(2)若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是正方形；假命题．课堂小结1．知识收获：命题，命题的表达形式．2．方法收获：举一反三，旧知新用．3．思维收获：能站在另一个层面重新审视已学知识．布置作业1．本节练习1,2；2．实习作业：选择一本必修课本，找出某一章中的内容，将其中的结论用命题的思维方式判定和改写．补充练习基础练习1．下面语句中，是命题的为()A．x2＋1>0，x∈R B．函数y＝x2是偶函数吗？C．a2＝a D．平行四边形2．下面的命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相平分，则该四边形为正方形B．集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．x2＋x＋1<0，x∈R3．命题“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”的结论是()A．x＋y≥5 B．x≥2C．y≥3 D．x≥2且y≥34．“两个全等三角形的面积相等”改写为“若p，则q”的形式为________．5．命题“6是自然数且是偶数”的结论是________．答案：1.A 2.C 3.D4．若两个三角形全等，则它们的面积相等5．是自然数且是偶数拓展练习6．把下列命题改写为“若p，则q”形式，并判断真假．①等底等高的两个三角形是全等三角形；②被6整除的数既能被3整除又能被2整除．答案：①若两个三角形等底等高，则它们是全等三角形．假命题②若一个数能被6整除，则它既能被2整除又能被3整除．真命题设计说明设计思想本节课主要突出命题的概念，从学生原有的知识出发，在不断的探究讨论过程中得到新的知识结论．本节主要以学生的自行讨论总结为主，教师辅以说明和解释．设计意图给学生一个自由的发挥空间，使其在开放的、有个性的气氛中学习知识．教师不可以忽略学生自身的能力，要敢于让学生探讨，虽然他们得到的结论不一定正确、严密，但在老师的指导和纠正下，终究可以得到正确的结果，而且在这一学习过程中，学生对所学知识的印象会更加深刻．设计特点本节课的设计思路就是以学生的原有知识为基础，在此基础上找到它们所拥有的共同点，加以提炼，最终得到新结论的过程．在此过程中，基础题目就变成了本节课的主线，而学生对这些知识已经早有接触，自认为比较容易．基于这些特点，本节课完全可以放手让学生自己探究讨论，完成最后的结论．所以本节课最大的特点就是学生的自主学习．备课资料备选例题1下列语句是命题的有________．(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(2)一个数不是正数就是负数；(3)大角所对的边大于小角所对的边；(4)x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．思路分析：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．解：先根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再判断真假．答案：(2)(3)(4)点评：应该指出：①并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的陈述句才是命题；②在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和”“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与实践的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍然算为命题．2把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)末位是0的整数，可以被5整除；(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍然是等式．思路分析：要准确写出命题的“若p，则q”形式，必须理解好命题，找准条件和结论，再用通顺的文字语言连接起来．解：(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式．点评：找准命题的条件和结论，是解这类题目的关键．3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；(2)已知x，y为整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m>14时，mx2－x＋1＝0无实根；(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.思路分析：找准命题的条件和结论，改写时要注意大前提的写法．解：(1)若ac>bc，则a>b；假命题．(2)已知x，y为整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2；假命题．(3)若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根；真命题．(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1；真命题．点评：数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述适当改写，也可以写成“若p，则q”的形式．(设计者：王丽丽)。
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》目标导引
1.1.３四种命题的相互关系
一览众山小
三维目标
1.在掌握四种命题间的关系后,要学会熟练判断四种命题的真假性.掌握原命题与它的逆否命题等价，逆命题与否命题等价，两个等价的命题具有相同的真假性.
2.初步掌握通过证明一个命题的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题的证明方法，及通过证明一个命题的逆命题的真假来判定其否命题真假的方法.
3.初步掌握用反证法证题的一般步骤和适用的题目类型,学会应用反证法证明简单的数学问题.
4.进一步体会转化的思想方法的应用，培养逻辑推理能力和理论联系实际、分析问题解决问题的能力.
学法指导
在学习本节课前首先应回顾原命题、逆命题、否命题和逆否命题的概念，判断命题真假的方法，以及如何把命题改写成“若p则q”的形式，特别是含有大前提时，应首先写出大前提.
学习本节课的四种命题的写法时，要理解一个命题与其他命题的真假关系，否命题与命题的否定是两个易混的概念，要注意正确区分.
在学习用间接法证明问题时，应明确所谓间接法就是反证法.在证明过程中，要注意反证法证明的一般步骤，反证法的适用范围.
诱学导入
材料：主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了”.主人听了后随口说了句“你看看，该来的没有来”.张三听了，脸色一沉，起来一声不吭的走了.主人愣了片刻，又说了句：“唉呀，不该走的又走了”.李四听了大怒，拂袖而去.
问题：请你用逻辑学原理解释二人的离去原因.
导入：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三走的原因是张三觉得自己是不该来的.“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四走的原因是李四觉得自己是应该走的.这说明原命题与逆否命题具有一定的关系.。
人教版高中数学选修1-1第一章1.1四种命题教案2
四种命题教案2教学目标(1)理解“若p则q”形式的命题也是复合命题，要求学生能将其它叙述形式的命题改写为“若p则q”的形式，其中p与q都是简单命题或语句．(2)能准确识别四种命题，并能正确表述四种命题的定义．(3)能对给定的“若p则q”形式的命题，构造出它的逆命题、否命题、逆否命题．教学重点和难点重点：四种命题的定义，四种命题相互之间的联系，由一种命题形式构造出其它三种形式．难点：对四种命题定义的深刻理解，由一种命题形式构造其它命题形式．教学过程设计(一)学生阅读课文阅读思考题：(1)回忆初中学过的“命题”，它们是怎样构造的？什么是“原命题”，什么是“逆命题”．(2)“若p则q”形式的命题，是复合命题吗？怎样理解．(3)试叙述四种命题的定义．(二)引入新课教师在学生回答问题的基础上，进行总结、提高．同学们在初中学过原命题、逆命题．这些命题一般都是由“条件”和“结论”两部分组成．一般的形式是“如果……那么……”或“若……则……”如果用p表示条件(或题设)q表示结论．命题的形式是“若p 则q”．这种“若p则q”形式的命题也是复合命题．因之我们现在学习的命题形式，有“p或q”“p且q”“非p”“若p则q”等．下面仔细来研究“若p则q”这种类型的复合命题．一般来讲：如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫原命题的逆否命题．例如：(1)和(2)是互逆命题；(1)和(3)是互否命题．当然(2)和(4)也是互否命题，(3)和(4)也是互逆命题．如果用p表示命题的条件，q表示命题的结论．非p表示p的否定，非q表示q的否定．学生完成例题，教师讲评．例1．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，然后判断它们的真假．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．解(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；(√)逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；(×)否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；(×)逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(√)(2)原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；(√)逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；(×)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；(×)逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．(√)例2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．然后判断它们的真假．(1)如果a=0，那么ab=0．解(1)原命题：若a=0，则ab=0；(√)逆命题：若ab=0，则a=0；(×)否命题：若a≠0，则ab≠0；(×)逆否命题：若ab≠0，则a≠0．(√)请同学们注意，这里“a=0且b=0”的否定是“a≠0或b≠0”而不是“a≠0且b≠0”．而“a=0或b=0”的否定是“a≠0且b≠0”并不是“a≠0或b≠0”．这点请同学们仔细去想想．同学们要熟悉四种形式的互相转换．另外请大家研究一下四种命题的真值之间有什么关系，下一节课来解决．(三)学生练习课本练习1．(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，可得结果仍是等式；(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线．2．(1)可以被5整除的整数，末位是0；(2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；(3)若式子两边都乘以同一个数，可得结果不是等式，则这个式子不是等式；(4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径．(四)小结小结四种命题的定义，并提出四种命题的真值情况，让学生思考，为下节课做好准备．(五)作业习题1.7，1.2．。
高二文科数学选修1-1 1.3.2命题的四种形式导学案
《命题的四种形式》导学案学习目的：知识目标：1.了解命题的四种形式及四种命题之间的相互关系。
2.会用等价命题判断四种命题的真假。
能力目标：体会命题间的逻辑关系情感目标：培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力学习重点：会分析四种命题之间的相互关系学习难点：正确地写出原命题的否命题一、课前检测：1、什么是命题？2、你能说出：①π是无理数，②同位角相等，两直线平行的否定吗？3、有些命题能表示成“若p，则q”的形式，其中p是命题的_______，q是命题的________。
二、探究新知：【探究一】：命题的四种形式及相互关系是什么？例1、下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1)同位角相等，两直线平行; (2)两直线平行，同位角相等;(3)同位角不相等，两直线不平行; (4)两直线不平行，同位角不相等;关系：（1）和（2）：条件和结论________________（即________）（1）和（3）：条件和结论________________（即_________）（1）和（4）：条件和结论________________。
新知一：命题的四种形式：原命题：若p ，则q ； 逆命题：_________________;否命题：______________; 逆否命题：________________。
注意：命题的否定与否命题的区别：一般命题都有其否定，只否定__________；而只有“若p,则q” 形式的命题才有否命题，它即否定________又否定_______。
新知二：四种命题之间相互关系：？？ ？ ？ ？？小结：换位的两个命题互为逆命题，换质的两个命题互为否命题，既换位又换质的两个命题互为逆否命题。
【小组合作探究二】：原命题、逆命题、否命题、逆否命题真假有什么关系？ 例2、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.（1） 若a=0,则ab=0；（2） 若a 2>b 2,则a>b ；原命题 若p ，则q 逆命题 （ ）否命题（ ） 逆否命题 （ ）（3） 当c>0时,若a>b,则ac>bc ；（4） 四条边都相等的四边形是正方形。
最新《132 命题的四种形式教案》高中数学人教B版课标版选修1-1教案4933名师优秀教案
《132 命题的四种形式教案》高中数学人教B版2003课标版选修1－1教案49331.3.2 命题的四种形式教案教学目标1、知道命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定的简单命题的逆命题、否命题和逆否命题;能正确说明命题的四种形式之间的相互关系;2、通过分析命题的四种形式之间的关系培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力。
3、通过分析命题的四种形式之间的关系，体现事物的普遍联系相互转化的思想。
学情分析学生在初中已经对命题有了一定的了解，尤其是在几何方面的命题，经过高中的数学思维训练，学生在课堂上具有了一定的学习能力和探索意识，但是对一些条件或结论的否定可能还有点困难。
重点难点重点:会写命题的四种形式，并会判断命题的真假;四种命题之间的相互关系难点:写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题;分析命题的四种形式之间相互的关系并判断命题的真假教学过程4.1 教学活动【导入】温故而知新把命题“正方形的四条边相等”改写成“如果p,则q”的形式设计意图:强调本节课就研究“如果p,则q”这种形式的命题它的四种形式。
【活动】研探新知问题1:命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件与结论有什么联系,你能用自己的语言把它说出来吗,(1)如果同位角相等，则两直线平行; (2)如果两直线平行，则同位角相等 (3)如果同位角不相等，则两直线不平行;(4)如果两直线不平行，则同位角不相等。
设计意图:通过对问题1的探究，学生分析出命题(1)、(2)、(3)、(4)条件与结论的关系，从而引出命题的四种形式。
【讲授】新知认识与应用1命题的四种形式的含义:一般地，设“如果则”为原命题，“如果则”就叫做原命题的逆命题; “如果则”就叫做原命题的否命题;“如果则“就叫做原命题的逆否命题( :如果把问题1中的命题(3)作为原命题，你能试着描述出它的【活动】研探新知问题2另外三种形式吗,设计意图:强化对命题的四种形式的理解，并引出命题的四种形式的关系。
高二数学(人教A版)选修1-1导学案设计：1.1.1命题(无答案)
编号： gswhsxxx1-1----01-01文华高中高二数学选修1-1§《命题》导教案学习要求：1.认识命题的观点。
2.会判断命题的真假，能够将命题化成“若p 则 q”的形式。
要点难点：要点 :命题的条件和结论 .并改写成“若p 则 q”的形式。
难点 :.命题的真假学习方法：．学习中要经过命题的一般形式掌握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠葛在判断一个语句是不是命题上，只需求能够从课本的例子中认识命题的观点就能够了.感情态度与价值观：经过本节的学习领会数学与平时生活的联系，体验学习的快乐。
学习过程一．自主学习：阅读教材P2-P4 相关内容解决以下问题:1.命题：一般地，我们把用表达的，能够的陈说句叫做命题 .2.命题的真假：判断的命题叫做真命题，判断的命题叫做假命题 .3.命题的形式：在数学中，“”是命题的常有形式，此中p 叫做命题的，q 叫做命题的.二：合作研究 :研究点一命题的观点及分类问题 1我们在初中已经学过很多半学命题，你能举出一些数学命的例子吗？当时是怎么定义命题的？问题 2 察看以下语句的特色：(1)两个全等三角形的周长相等； (2)5 能被 2 整除； (3)对顶角相等； (4)今每日气真好啊！ (5)请把门关上！ (6)2 是质数吗？(7) 若＝，则2＝4； (8)3＋2＝6.x 2 x回答：①以上有几个命题？②命题一定具备什么特色？问题 3数学中的定义、公义、定理都是命题吗？问题 4如何判断一个命题是真命题仍是假命题？研究点二 命题的构造问题 5，命题的常有形式为“若 p ，则 q ”，还能够写成什么形式？例 1 判断以下语句是不是命题，假如，判断其真假，并说明原因.(1) 求证 是无理数. (2) 若∈，则2＋4x ＋4≥0.3 x R x (3)你是高一的学生吗？ (4)并不是全部的人都喜爱苹果 . (5)若 xy 是有理数，则 x 、y 都是有理数 . (6)60x ＋9>4.例 2 把以下命题改写成“若 p ，则 q ”的形式：(1)各位数数字之和能被 3 整除的整数，能够被 3 整除；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除；(4)钝角的余弦值是负数 .三：讲堂展现1判断以下语句中哪些是命题，是真命题仍是假命题？(1)末位是 0 的整数能被 5 整除；(2)两直线平行，则斜率相等；(3)平行四边形对角线相等且相互均分。
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课堂导学
三点剖析
一、四种命题
【例1】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
(1)当x=2时，x2-3x+2=0；
(2)对顶角相等；
(3)末位数是0的整数，可以被5整除.
解析：(1)原命题：若x=2，则x2-3x+2=0.
逆命题：若x2-3x+2=0，则x=2.
否命题：若x≠2，则x2-3x+2≠0.
逆否命题：若x2-3x+2≠0，则x≠2.
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.
(3)原命题：若一个整数末位数是0，则这个整数可以被5整除.
逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数末位数是0.
否命题：若一个整数末位数不是0，则这个整数不能被5整除.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数末位数不是0.
二、四种命题真假性之间的关系
【例2】判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这些命题的真假.
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac＜0,则该二次函数图象与x轴有公共点.
解析：(1)该命题为假，∵当c=0时，ac2=bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.为真.
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.为真.
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.为假.
(2)该命题为真.
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真.
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真.
(3)该命题为假，∵当b2-4ac＜0时，二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.
逆命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac＜0，为假.
否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点.为假.
逆否命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点，则b2-4ac≥0.为假.
温馨提示
原命题与其逆否命题的真假性相同，而与其否命题、逆命题间的真假性没有必然的联系.
三、有关四种命题真假性的证明
【例3】已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，a、b∈R，对题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.
解析：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题.
用反证法证明：假设a+b＜0，则a＜-b,b＜-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，则f(a)＜f(-b)f(b)＜f(-a)，∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，这与题相矛盾，∴逆命题为真.
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，则a+b＜0，真命题.
∵一个命题 它的逆否命题，∴转化为证明原命题为真命题
∵a+b≥0，∴a≥-b,b≥-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数，
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).原命题真.
∴逆否命题为真.
温馨提示
若证明一个命题的真假性较困难时，常转化为证明其逆否命题的真假性.
各个击破
类题演练1
在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是.(把符合要求的命题序号都填上)
解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.显然不正确.
②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点.为真命题.
答案：②
变式提升1
写出命题“若x2＞4，则x＜-2”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.
解析：逆命题：若x<-2，则x2>4(真)
否命题：若x2≤4，则x≥-2(真)
逆否命题：若x≥-2，则x2≤4(假)
类题演练2
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根；
(2)若ab=0，则a=0或b=0；
(3)若x2+y2=0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q≤1，真命题.
否命题：若q>1，则方程x2+2x+q=0无实根，真命题.
逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q>1，真命题.
(2)逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，真命题.
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题.
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题.
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2+y2=0，真命题.
否命题：若x2+y2≠0，则x、y不全为零，真命题.
逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2≠0，真命题.
变式提升2
判断命题：若a ≥0，则x 2+x -a =0有实根的真假.
解：写出逆否命题，再判断其真假
原命题：若a ≥0，则x 2+x -a =0有实根.
逆否命题：若x 2+x -a =0无实根，则a <0.
判断如下：∵x 2+x -a =0无实根，
∴Δ=1+4a <0.∴a <-4
1<0. ∴“若x 2+x -a =0无实根，则a <0”为真命题.
因此，原命题为真命题.
类题演练3
若a 、b 、c 均为实数，且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2x +３π,c =z 2-2x +６
π，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.
证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0，而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z+3π+z 2-2x +6
π=(x -1)2+(y -1)2+(z-1)2+π-3， ∵π-3>0，且(x -1)2+(y -1)2+(z-1)2≥0，
∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾，因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0.
变式提升3
已知a 、b 、c 是一组勾股数，即a 2+b 2=c 2
求证：a 、b 、c 不可能都是奇数
证明：假设a 、b 、c 都是奇数.
∵a 、b 、c 是一组勾股数，∴a 2+b 2=c 2.①
∵a 、b 、c 均是奇数，∴a 2、b 2、c 2均是奇数.
∴a 2+b 2是偶数.这样①式的左边是偶数右边是奇数，产生矛盾.
∴a 、b 、c 不可能都是奇数.。