201x版九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法4学案新版苏科版
1.2一元二次方程的解法(第5课时 一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
b2－4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
例题讲解
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)x2+5x+6=0；
(2)2x2+4x－3=2x－4.
解：b2-4ac
解：化简得
=52-4×1×6
=1>0，
的值为1，求m的值及该方程的根.
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1
=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
2
∴当m=2时，原方程变为2x -5x+3＝0，x＝ 或x=1.
当堂检测
12.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
， =
= =
(3) 2x2－2x ＋ 1＝0.
比较这3个方程的解的情况，请你思考方程
这个方程没有实数根
的解可能出现几种不同情况？方程解的情况
与b2－4ac的值是否有关系？
新知归纳
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根；
第1章 · 一元二次方程
1.2
一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程；
2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式
(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第1单元《1.2一元二次方程的解法》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练1.2一元二次方程的解法一、选择题（共8小题，4*8=32）1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为()A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝232．把方程12x 2－3x －5＝0化成(x ＋m)2＝n 的形式正确的是()A ．(x －32)2＝19B ．(x －32)2＝194C ．(x －3)2＝19D ．(x －3)2＝1923．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是()＝1716＝12＝134＝1144．用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．2x 2－7x －4＝0化为(x －74)2＝8116C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝1095．用配方法解下列方程，其中应在等号左右两边同时加上9的方程是()A ．3x 2－3x ＝8B ．2x 2＋12x ＝－9C ．2x 2－6x ＝10D ．2x 2＋3x ＝36.把2x 2＋4x －1化成a(x ＋h)2＋k(其中a ，h ，k 为常数)的形式是()A ．2(x ＋1)2－3B ．2(x ＋1)2－2C ．2(x ＋2)2－5D ．2(x ＋2)27．将一元二次方程2x 2－4x －1＝0化成(x ＋a)2＝b(a 、b 为常数)的形式，则a 、b 的值分别是()A ．2、32B ．－1、32C．1、4D．2、28．一个一元二次方程的二次项是2x2，它经过配方整理得(x＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是()A．x，－34B．2x，－12C．2x，－32D．x，－32二．填空题（共6小题，4*6=24）9．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，配方后得到的方程是_______________.10.用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，可变形为(x－________)2＝________.11．若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于_________．12．若将方程2x2＋6x－1＝0化成2(x＋m)2＋n＝1的形式，则m＝________，n＝________. 13．用配方法解方程6x2－x－12＝0解是____________14．若代数式2x2－6x＋b可化为2(x－a)2－1，则a＋b＝.三．解答题（共6小题，44分）15．(6分)用配方法解方程：2x2＋7x－4＝0；16．(8分)一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住．修整蔬菜园的费用是15元/平方米，而购买篱笆材料的费用是30元/米，这两项支出一共为3600元．求此正方形蔬菜园的边长．17．(8分)用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．18．(10分)已知代数式－2x2＋4x－18.(1)用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数；(2)当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？19．(12分)我们可以利用配方法求一些多项式的最值，如：2x2＋4x＋3＝2(x2＋2x＋1)＋1＝2(x＋1)2＋1，当x＝－1时，2x2＋4x＋3有最小值，为1；再如：－2x2＋4x－3＝－2(x2－2x＋1)－1＝－2(x －1)2－1，当x＝1时，－2x2＋4x－3有最大值，为－1.(1)若代数式2x2＋8x＋m有最小值，为1，则m＝________；(2)若代数式－2x2＋2x＋m有最大值，为2，则m＝_______；(3)代数式2x2＋(2m＋4)x＋4m＋2有最小值，为0，求m的值；参考答案1-4DCAC5-8BABC9.(x －1)2＝2310.1，2311.-2或612.32，－9213.x 1＝32，x 2＝－43.14.515.解：方程两边同除以2，得x 2＋72x －2＝0，移项、配方，得x 2＋72x ＝2.＝32＋4916，开方，得x ＋74＝±94.解得x 1＝12，x 2＝－4.16.解：设此正方形蔬菜园的边长为x 米，由题意可得15x 2＋30×4x ＝3600，解得x 1＝12，x 2＝－20(舍去)．故此正方形蔬菜园的边长为12米17.解：3x －2x 2－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78<0，∴不论x 取何值时，这个代数式的值总是负数．当x ＝34时，这个代数式的值最大，最大值为－7818.解：(1)∵－2x 2＋4x －18＝－2(x 2－2x ＋9)＝－2(x 2－2x ＋1＋8)＝－2(x －1)2－16，－2(x －1)2≤0，∴－2(x －1)2－16<0.∴无论x 取何值，－2x 2＋4x －18的值总是负数(2)∵－2x 2＋4x －18＝－2(x －1)2－16，∴当x ＝1时，代数式有最大值，最大值是－1619.解：(1)9(2)32(3)2x 2＋(2m ＋4)x ＋4m ＋2＝＋4m ＋2－（m ＋2）22.∵原代数式有最小值，为0，∴4m ＋2－（m ＋2）22＝0，即m 2－4m ＝0.配方得(m －2)2＝4，∴m －2＝±2，∴m 1＝0，m 2＝4.。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
苏科版数学九年级上册第1章《用一元二次方程解决问题》教学设计
苏科版数学九年级上册第1章《用一元二次方程解决问题》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册第1章《用一元二次方程解决问题》》是学生在学习了一元一次方程和函数的基础上，进一步学习一元二次方程的知识。
本章通过实际问题引入一元二次方程，让学生体会数学与生活的联系，培养学生解决实际问题的能力。
本章内容包括一元二次方程的定义、解法、应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于一元一次方程和函数的知识有一定的了解。
但在解决实际问题时，还需要进一步培养他们将实际问题转化为数学问题的能力，以及灵活运用一元二次方程解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和解法。
2.将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，自主探究一元二次方程的定义、解法，以及如何将实际问题转化为数学问题。
同时，运用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材《苏科版数学九年级上册》。
2.教学PPT。
3.练习题。
4.投影仪。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何将这些实际问题转化为数学问题。
例如，展示一个关于二次函数图像的问题，让学生思考如何求解函数的最大值。
2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的定义、解法，以及如何将实际问题转化为数学问题。
通过PPT展示一元二次方程的解法，如因式分解法、公式法等，并解释各种解法的应用场景。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用一元二次方程解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材上的练习题，检验学生对一元二次方程的掌握程度。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题
章节测试题1.【题文】解方程:x2-4x-1=0.【答案】x1=2+,x2=2-.【分析】根据配方法，可得答案.【解答】解：∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.2.【题文】解下列方程：（1）x2+10x+25=0（2）x2﹣x﹣1=0．【答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=【分析】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，按照先移项，再配方，后开方的步骤求解即可..【解答】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+=，（x﹣）2=，开方，得x﹣=±，x1=，x2=．3.【题文】解方程：（1）x2﹣9=0（2）x2+2x﹣1=0．【答案】（1）x1=3，x2=﹣3；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【分析】（1）根据本题方程的特点，用“直接开平方法”解答即可；（2）根据本题方程的特点，用“配方法”或“公式法”解答即可.【解答】解：（1）x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+2x﹣1=0，移项得：x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=2，∴（x+1）2=2，∴x+1=±，∴ x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.4.【题文】用配方法解方程：．【答案】，【分析】先把常数项移到右边,两边同时加上一次项系数的一半的平方，即都加上9,把左边写成完全平方式，即的形式，然后两边开平方求出未知数的值.【解答】解:，，，，，∴，．5.【题文】用配方法说明下列结论：（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【答案】（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【分析】运用配方法的运算方法，第一步：如果二次项数不是1，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算；第二步：配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．【解答】解：（1）x2+8x+17= x2+8x+16-16+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0∴（x+4）2+1＞0即代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）2x-x2-3= -x2+2x -3= -（x2-2x +3）= -（x2-2x+1-1 +3）= -［（x-1）2+2］= -（x-1）2-2∵-（x-1）2≤0∴-（x-1）2-2＜0即代数式2x-x2-3的值恒小于0．6.【题文】解方程：【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据完全平方公式配方，配方的方法是：先将常数项移到右边，然后两边都加一次项系数一半的平方.【解答】解：，7.【题文】解方程：x2+4x﹣4=0．【答案】x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．【分析】根据这个一元二次方程的特点，用“配方法”或“公式法”解即可.【解答】解：方程移项得：x2+4x=4，配方得：x2+4x+4=8，即（x+2）2=8，∴x+2=±2，解得：x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．8.【题文】解方程：2x2-4x-1=0.【答案】．【分析】根据配方法解方程即可．【解答】解：移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，，配方得，x2-2x+1=+1，，∴，∴．9.【题文】用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1 = 0；（2）7x2 -28x +7= 0. (3) x2-x-4=0(4) 3x2-45=30x【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，把二次项系数化为1，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）4x2 -4x -1 = 0，x2-x-=0，x2-x=，x2-x+=+，即(x-)2=，则x-1=±，；（2）7x2 -28x +7= 0，x2-4x=-1，x2-4x+22=-1+22，即(x-2)2=3，则x-2=±，x=2±，即；（3）x2-x-4=0x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，即；（4）3x2-45=30x，x2-10x=15，x2-10x+52=15+52，即(x-5)2=40，则x-5=±，x=5±，即.10.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）x2+2x-8=0，x2+2x=8，x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，则x+1=±3，x=−1±3，即；（2）x2+12x-15=0，x2+12x=15，x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，则x+6=±，x=−6±，即；（3）x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，；（4）x2=x+56，x2-x+2=56+2，（2=，则x-=±，x-=±+，即.11.【题文】x2﹣4x+1=0（用配方法）【答案】x1=2+，x2=2﹣.【分析】先移项，然后配方，解出x即可.【解答】解：x2－4x+1=0，移项，得x2－4x=－1，配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，解得，x－2=，即x1=2+，x2=2－.12.【题文】解下列方程：（1）(1+x)2－2=0；(2)9(x－1)2－4=0．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（2）先移项，再把二次项系数化为1，然后用“直接开平方法”解方程即可.【解答】解：（1）移项得：，∴，∴.（2）原方程可化为：，∴，∴.13.【题文】解关于x的方程（x+m）2=n．【答案】当时，方程无解；当时，，.【分析】由于题目中没有告诉“n”的取值范围，所以分“n0”和“n<0”进行解答即可.【解答】解：（1）当n≥0时，x+m=±，∴ x1=－m，x2=－－m．（2）当n<0时，方程无解．14.【题文】解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【分析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．【解答】解：解：（1）∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．15.【题文】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．【答案】（1）4；（2）7；（3）2【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xy z=2．16.【题文】“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【解答】解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【题文】如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．【答案】-8【分析】将原式化为+（b－6）2=0，由此可得，分别求出a、b 的值即可求出ab.【解答】解：原等式可化为+（b－6）2=0，∴，∴a=，b=6，∴ab=－8.故答案为－8.18.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2－4x－1=0；（3）9y2－18y－4=0；（4）x2+3=2x.【答案】（1）x1=－2，x2=－－2；（2）x1=1+，x2=1－；（3）y1=+1，y2=1－；（4）x1=x2=.【分析】（1）先移项，再配方，解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（3）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x 即可；（4）先移项，再配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+4x=－1，配方，得x2+4x+22=－1+22，即（x+2）2=3，解得x1=－2，x2=－－2；（2）移项，得2x2－4x=1，二次项系数化为1，得x2－2x=，配方，得x2－2x+12=+12，即（x－1）2=，解得x－1=±，即x1=1+，x2=1－；（3）移项，得9y2－18y=4，二次项系数化为1，得y2－2y=，配方，得y2－2y+12=+12，即（y－1）2=，解得y－1=±，即y1=+1，y2=1－；（4）移项，得x2－2x+3=0，配方，得（x－）2=0，解得x1=x2=.19.【题文】用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得，配方，得，即，解得，即．【答案】．【分析】上面过程不对，错在配方一步，改正即可.【解答】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－x+=15+，即（x－）2=，解得x－=±,即x1=3，x2=.20.【题文】解下列方程：（1）x2+6x+5=0；（2）2x2+6x－2=0；（3）（1+x）2+2（1+x）－4=0.【答案】（1）∴x1=－1，x2=－5；（2）x1=－，x2=－－；（3）x1=－2，x2=－－2【分析】（1）先移项，再配方解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可；（3）先去括号，再移项，然后配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+6x=－5，配方，得x2+6x+32=－5+32，即（x+3）2=4，由此可得：x+3=±2，∴x1=－1，x2=－5；（2）移项，得2x2+6x=－2，二次项系数化为1，得x2+3x=－1，配方，得x2+3x+（）2=－1+（）2，即（x+）2=，由此可得x+=±，∴x1=－，x2=－－；（3）去括号整理，得x2+4x－1=0，移项，得x2+4x=1，配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=±，∴x1=－2，x2=－－2.。
九年级数学上人教版《一元二次方程的概念》教案
《一元二次方程的概念》教案一、教学目标1.理解一元二次方程的概念，能根据定义识别一元二次方程，并了解一元二次方程的有关概念。
2.通过观察、比较、分析等方法，自主发现一元二次方程的特点，培养学生的观察能力、抽象概括能力和归纳能力。
3.初步感受方程的思想方法，培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。
二、教学重点与难点重点：一元二次方程的概念。
难点：识别一元二次方程，并理解一元二次方程的一般形式。
三、教具准备投影仪、小黑板。
四、教学过程1.复习导入首先引导学生回顾“元”和“次”的含义，并请学生举例说明一元一次方程和二元一次方程的概念。
接着让学生思考：什么样的方程是一元二次方程？请学生尝试给出定义，并引导学生进行讨论和修正，最终得出结论。
然后教师进行总结和强调，让学生明确一元二次方程的概念和一般形式。
2.探索新知教师出示一些方程，让学生判断是否是一元二次方程，并说明理由。
通过这些例题，引导学生深入理解一元二次方程的概念，并掌握识别一元二次方程的方法。
同时，通过比较一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别和联系，培养学生的分析能力和归纳能力。
3.巩固练习教师出示一些练习题，让学生自主完成并进行检查和纠正。
通过这些练习题，让学生加深对一元二次方程的认识和理解，并巩固所学知识。
同时，教师可适当出示一些拓展题目，引导学生进一步思考和探索一元二次方程的应用和拓展。
4.课堂小结教师引导学生回顾本节课所学内容，并总结一元二次方程的概念和一般形式。
同时强调识别一元二次方程的方法和注意事项，以及解题时需要注意的问题。
最后教师可适当进行情感教育和价值观的培养，引导学生感受数学的思想方法和实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。
5.布置作业教师布置适量的练习题，让学生巩固所学知识并拓展思维。
同时提醒学生注意解题规范和解题策略的选择，培养学生的解题能力和数学素养。
九年级数学上册1-2一元二次方程的解法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程新版苏科版
课程讲授
1 配方法的概念
问题1：根据前面的内容，试着解方程x2+6x+4=0.
降次
x2+6x+4=0
移项
x+3= 5
x2+6x=-4
两边加9，使得左边配 成完全平方公式
配方法
解二次项系数为1 的一元二次方程
1.移项 2.配平方 3.开平方（降次） 4.解一次方程
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(2)x2 ＋ 3x －1=0
解：（2）移项，得 x2+3x=1.
配方，得
x2
2
x
3 2
3 2
2
1
3 2
2
x
3 2
2
13 4
解这个方程，得 x 3 13 ,
22
x1
3 2
13 2
,
x2
3 2
13 . 2
课程讲授
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
归纳：把方程化为（x+h)2=k的形式，将一元二次方程 降次，转化为一元一次方程求解．
课程讲授
1 配方法的概念
试一试：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+3)2
(2) x2 8x 42 =(x4)2
(3) x2 4x 22 =(x 2 )2
x (4)
C.p=-4,q=2
D.p=-4,q=-2
3.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程的两边需 加上____1_.
_1.2一元二次方程的解法(配方法)同步练习 2021—2022学年苏科版数学九年级上册
12．A
【解析】x2-2x+3，
=x2-2x+1+2,
=（x-1）2+2,
因为一个数的平方大于等于零，
所以原式≥2，
故选A.
13．-1 4
【解析】∵x2−3＝2x，
∴x2−2x＝3，
则x2−2x＋1＝3＋1，即（x−1）2＝4，
∴m＝−1、n＝4，
故答案为−1、4．
14．
【解析】解：∵x2+px+q=0（p2-4q≥0）．
故答案为3.
25． ， ，
【解析】解：
∴ ，
26．（1） ， ；（2） ，
【解析】（1）
， ；
（2）
， ．
27．（1） ；（2）原方程无实数根；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【解析】（1）
配方，得 ，
．
（2）
移项，得 ．
配方，得 ．
，
原方程无实数根．
（3）
移项，得 ．
配方，得 ，
．
（4）
移项，得 ．
A． B． C． D．
10．若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．﹣57B．63C．179D．181
11．已知一元二次方程 配方后为 ，那么一元二次方程 配方后为（）
A． B． 或
C． D． 或
12．对于任意实数 ，多项式 的值是一个（）
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；
（2）请写出此题正确的解答过程．
30．用配方法解方程，补全解答过程．
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
1.2+一元二次方程的解法(4)——公式法(1)课件 2024—2025学年苏科版数学九年级上册
.
7、用配方法解方程
（1）2x2-4x-3=0
（2）2x2+4 x-2=0
谢 谢
的求根公式．
−± −
这叫做一元二次方程
解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入求根公式，
若 − ≥ ，就可以求得方程的根. 这种解一元二次
方程的方法叫做公式法.
例题讲解
（1）x2 + 2x - 3=0;
例1：用公式法解一元二次方程.
（2）2x2 + 3x= -1 .过程展示：
（4）-5x2+2x+1=0
D、5,4,1
例题讲解
例2：已知代数式a1=3m2+4m-3的值与代数式a2=-m2+m-30的值互为相
反数，求m的值？
过程展示：
解：根据题意，得
a1+a2=0
3m2+4m-3+（-m2+m-30）=0
2m2+5m-33=0
解得：
m1=3
m2=
例题变式：当m取什么值时， a1与a2相等？
1.2 一元二次方程的解法（4）
——公式法（1）
九年级数学备课组
知识回顾
1、用配方法解方程的步骤是？
系数化为1
移项
配方
2、用配方法解方程：
（1）3x2 - 2x - 3=0;
（2）x2 - 3x -1 = 0 .
（3）2(x-3)2=3x+6
整理
开方
求解
讲授新知
用配方法求解类似3x2 - 2x - 3=0这样的方程计算过
过程展示：
解：a=1，b=2，c=3
解：把方程化成一般形式：
北师大版数学九年级上册全册教案
四、讲课过程：
1、例题、
例1.（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
6、以“两头”带“中间”的战略。
7、注重教学中的自主学习、合作学习、探索学习等学习方法的引导。
8、 开展课内、课外活动，激发学生的学习兴趣。
五、课程安排
进度安排
教学内容
课时
1.1菱形的性质与判定
3课时
1.2矩形的性质与判定
3课时
1.3正方形的性质与判定
2课时
第一章回顾与思考
3课时
2.1认识一元二次方程
3、过程与方法：
经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象、会用归纳、演绎、类比进行简单的推理，围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，适时地进行分层教学，面向全体学生、培养学生、发展全体学生。
北师大版数学九年级上册教学计划
教师_______日期_______
八年级数学期末考试成绩一般，两极分化严重，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，，对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育。在面临毕业、中考的条件下，为了尽可能地提高学生的数学成绩，我们制定了一下计划，以配合学校的安排。
一、教学目标：
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法 配方法》教学设计
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的解法配方法》教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法——配方法》是苏科版数学九年级上册第1章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法基础上进行学习的，通过配方法来求解一元二次方程。
教材通过具体的例子引导学生探究配方法解一元二次方程的过程，从而使学生掌握配方法解题技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于解方程的方法已经有了一定的了解。
但是，对于配方法解一元二次方程可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子，引导学生理解和掌握配方法解题的步骤和技巧。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤和技巧。
2.过程与方法：通过探究配方法解题的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
2.难点：对于一些复杂的一元二次方程，如何灵活运用配方法进行解答。
五. 教学方法1.引导法：通过具体的例子，引导学生探究配方法解题的过程。
2.讨论法：让学生分组讨论，共同解决问题。
3.实践法：让学生通过练习题，巩固所学的知识。
六. 教学准备1.准备一些一元二次方程的题目，用于课堂练习和巩固。
2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的一元二次方程，引导学生回顾已知的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示一个典型的一元二次方程，引导学生尝试用配方法进行解答。
在解答过程中，引导学生注意观察和总结配方法的步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组练习，运用配方法解一些一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些配方法解一元二次方程的题目，检验学生对配方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：对于一些复杂的一元二次方程，如何灵活运用配方法进行解答？让学生通过讨论和练习，提高解题能力。
九年级数学上册第1章第1课时用直接开平方法解一元二次方程pptx教学课件新版苏科版
1.2 一元二次方程的解法
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.一元二次方程的根 2.形如x2=p(p≥0)的方程的解法 3.形如(x+h)2=k(k≥0)的方程的解法
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下面的问题.
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 .
随堂练习
1.若代数式3x2-6的值是21，则x的值是（ B ）
A.3
B.±3
C.-3
D.± 3
2.已知关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7，则方程的
两根为( B )
A.±2
B.±3
C.±4
D.±7
随堂练习
3.关于x的一元二次方程（k-2）x2+3x+k2-4=0有一根为0，则 k=___-_2____. 4.关于x的方程x2=a没有实数根，则实数a的取值范围是 __a_<_0____. 5.方程（2x-1）2+m=0有实数解，则m的取值范围是__m__≤_0___.
一般地，对于方程(x+h)2=k(k≥0)： 根据平方根的意义，方程_有__两__个__不__等__的__实__数__根，
即
x1 k -h，x2 k -h
课程讲授
3 形如(x+h)2=k(k≥0)的方程的解法
例 解方程（x+1）2 = 2. 解：∵x+1是2的平方根，
∴x+1=± 2. 即x1=-1+ 2，x2=-1- 2.
பைடு நூலகம் 随堂练习
6.解下列方程： (1)x2-36=0； 解 x2-36=0
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(原卷版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法【基础知识】一、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【典例剖析】考点一：直接开平方法及其条件【典例1】．一元二次方程()229x -=的解为（ ）A ．121x x ==-B ．125x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【典例2】．关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ）A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【典例3】．若（a 2+b 2﹣3）2＝25，则a 2+b 2＝（ ）A ．8或﹣2B ．﹣2C ．8D ．2或﹣8 【典例4】．对于方程()2ax b c +=，下列叙述正确的是（ ）A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c ≥时，方程可化为ax b +=ax b +=D ．当0c 时，b x a= 【典例5】．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±- 考点二：配方法【典例6】．用配方法解一元二次方程224x x -=，则下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(26)x -=D ．2(2)6x +=【典例7】．对于方程210a +-=，下列各配方式中，正确的是（ ）A ．(23a =B ．(23a =C ．(23a -=D ．(23a +=【典例8】．用配方法解方程23620x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．()2133x -=B ．()2113x -= C ．()2311x -= D ．()2213x -= 考点三：配方法的应用 【典例9】．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则ABC 的周长为______．【典例10】0．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【典例11】．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于____．【典例12】．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【过关检测】一、单选题1．方程x 2﹣5＝0的实数解为（ ）A ．x 1x 2B ．x 1＝5，x 2＝﹣5C ．xD ．x22x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==3．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x == D ．1217,3x x =-= 4．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．A ．x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B ．x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C ．2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 6．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．4-，21 B ．4-，11 C ．4，21 D ．8-，697．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x = 8．不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数9．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353C ．352D ．335210．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023二、填空题 11．已知方程20x m -=3__________．12．方程（x-1）2=20202的根是________．13．方程20(1)x x =-的解为______．14．一元二次方程24430x x --=的解为____________．15．如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．16．已知()(2)10a b a b ++-+=，则+a b 的值为__________．17．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.18．已知223720336n m m n -+-+=，则56n m -的值为_______． 19．已知32x =32y =则225x xy y -+的值为__________.20．已知22143134m n m n =--+，则11m n +的值等于______． 21．关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________．22．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________．三、解答题23．用直接开平方法解下列方程：（1）222322x x +=-+；（2）(3)(3)7x x +-=．24．用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）25．用直接开平方法解下列方程：（1）（x ﹣2）2=3；（2）2（x ﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y ﹣5）2=9（3y ﹣1）2．26．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=； （5）(23)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．27．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．28．用直接开平方法解一元二次方程4（2x ﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x ﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x ﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7． ③上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程．29．试证：不论当x 为何值时，多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值.30．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若()222316x y +-=，求22x y +的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：()222316x y +-=，① 2234x y ∴+-=±，②22227,1x y x y ∴+=+=-．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．31．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）32．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=+或2242(2)(422)x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242(22)x x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．33．我们把形如x 2=a （其中a 是常数且a≥0）这样的方程叫做x 的完全平方方程．如x 2=9，（3x ﹣2）2=25，21()43x x +-=…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x 2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x 1=3，x 2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x ﹣2）2=25．解题思路：我们只要把 3x ﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x ﹣2=5 或 3x ﹣2= ．分别解这两个一元一次方程，得x 1=73，x 2=﹣1． （2）解方程21()43x x +-=． 34．阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2+2ab +b 2=(a +b )2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a 2+6a +10进行变形，其过程如下 a 2+6a +10=(a 2+6a )+10=(a 2+6a +9)+10-9=(a +3)2+1 ∵(a +3)2≥0∴(a +3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =0将其变形， a 22ab +2ac +b 2++2bc +c 2=0 a 2+2a (b +c )+(b +c )2= 可得(a +b +c )2=0(1)按照上述方法，将代数式x 2+8x +20变形为a (x +h )2+k 的形式；(2)若p =-x 2+2x +5，求p 的最大值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+2b 2+c 2-2b (a +c )=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021，直接写出a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值．。
九年级数学上册《第一章 一元二次方程》聚焦导学 (新
《一元二次方程》考点聚焦导学1) 一元二次方程1. 一元二次方程：在整式方程中，只含________个未知数，并且未知数的最高次数是______的方程叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般形式是____________．其中______叫做二次项的系数，______叫做一次项的系数，______叫做常数项．2) 一元二次方程的常用解法3. 直接开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x－b)2＝a(a≥0)的一元二次方程，就可用直接开平方的方法．x2＝a(a≥0)，x＝______；(x－b)2＝a(a≥0)，x＝______．4. 配方法：用配方法解一元二次方程，若x2＋px＋q＝0且p2－4p≥0，则(x＋______)2＝－q＋______，x1＝________，x2＝________．5.公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0的求根公式是x＝__________，x1＝__________，x2＝__________．6. 因式分解法：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可通过因式分解化为(mx＋p)(nx＋q)＝0，则x1＝______，x2＝______．3) 一元二次方程根的判别式7. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝________．(1)Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个______________的实数根；(2)Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个______________的实数根；(1)Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)________实数根；4) 一元二次方程的根与系数的关系8. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝______．重点难点突破1. 会判断一个方程是否为一元二次方程判断时应先化成一般形式，再根据定义进行判断．2. 掌握解一元二次方程的方法一元二次方程的解法主要有两种：①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法．若没有特别说明，解法选择的一般顺序为：直接开平方法―→因式分解法―→公式法―→配方法．任何一个(有解的)一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用．3. 理解根的判别式根的判别式可用来判断一元二次方程根的个数，若b 2－4ac ＞0，则方程有两个不相等的实根；若b 2－4ac ＝0，则方程有两个相等的实根，若b 2－4ac ＜0，则方程无实根．知识归类探究)1) 一元二次方程及相关概念例1 一元二次方程3x 2＋2x －5＝0的一次项系数是________．【思路点拨】 先确定一次项―→确定系数―→结果活学活用1. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A . ax 2＋bx ＋1＝0 B . x 2＋1x＝1C . (x ＋1)(x －1)＝0D . x 2－2xy ＋y 2＝1方法技巧：1. 确定一元二次方程系数时，先将原方程化为一般形式，再找对应的项，确定该项的系数．2. 要判断一个方程是否为一元二次方程可根据定义判断，也可根据一元二次方程的一般形式判定，若经过恒等变形后，符合ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式就是，否则就不是．2) 一元二次方程的解法例2 用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( ) A . (x ＋2)2＝1 B . (x －2)2＝1C . (x ＋2)2＝9D . (x －2)2＝9【思路点拨】 方程两边同加上一次项系数一半的平方―→写成完全平方式―→结果活学活用2. 解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.方法技巧：熟练应用解一元二次方程的方法求解．3) 一元二次方程根的判别例3 如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是________．【思路点拨】 用含c 的式子表示出根的判别式，再根据根的判别式的性质进行判断． 活学活用3. 已知关于x 的一元二次方程x 2－23x －k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为________________．方法技巧：1. 不解方程判断根的个数：将方程化为一般式后，利用b 2－4ac 的情况判断.2. 根据根的情况，求字母的取值范围：利用b 2－4ac 的情况解等式或不等式即可．4) 根与系数的关系例4 已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A . a ＝－3，b ＝1B . a ＝3，b ＝1C . a ＝－32，b ＝－1D . a ＝－32，b ＝1【思路点拨】 由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根与系数关系x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a可以得到本题中关于a 、b 的两个方程，解得a 、b 的值．活学活用4. 下列一元二次方程中两实数根的和为－4的是( ) A . x 2＋2x －4＝0 B . x 2－4x ＋4＝0 C . x 2＋4x ＋10＝0 D . x 2＋4x －5＝0 方法技巧：判别各项系数，熟记公式，注意符号，由求根公式出发，有机地理解根与系数的关系，切忌死记硬背．课堂过关检测1. 方程(x－2)2＝9的解为( )A. x1＝5，x2＝1B. x1＝5，x2＝－1C. x1＝11，x2＝－1D. x1＝－11，x2＝72. 已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A. 1B. 2C. －1D. －23. 一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实根4. 如果关于x的方程x2－2x＋m＝0(m为常数)有两个相等的实数根，则m＝______．5. 一元二次方程x2－4x－12＝0的解是__________．6. 若x＝1是x2＋mx－3＝0的一个根，则m的值为______．7. 已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为______．8. 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．参考答案考点聚焦导学1. 1 22. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) a b c3. ±a b ±a4. p 2 (p 2)2 －p ＋p 2－4q 2 －p －p 2－4q 2 5. －b ±b 2－4ac 2a －b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a6. －p m －q n7. b 2－4ac (1)不相等 (2)相等 (3)没有8. －b a c a知识归类探究例1 2 解析：一元二次方程3x 2＋2x －5＝0的一次项为2x ，系数是2.例2 D 解析：将方程两边同时加4得x 2－4x ＋4＝5＋4，即得(x －2)2＝9.例3 c ＞9 解析：由于一元二次方程无实根，则Δ＝(－6)2－4×1×c ＜0，解得c ＞9.例4 D 解析：由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝b ，得到－2a ＝3，b ＝1，所以a ＝－32，b ＝1. 活学活用1. C2. 解：原方程可化为x 2－4x －1＝0，∴Δ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝4±202＝2±5， ∴x 1＝2－5，x 2＝2＋ 5. 3. －3 4. D课堂过关检测1. B2. D3. A4. 15. x 1＝6，x 2＝－26. 27. 18. 解：由题意可知Δ＝0，即(－4)2－4(m －1)＝0 解得m ＝5.当m ＝5时，原方程化为x 2－4x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝2 所以原方程的根为x 1＝x 2＝2.。
九年级目录知识点(上册)
第1章一元二次方程1.1一元二次方程1.2一元二次方程的解法*1.3一元二次方程根与系数的关系1.4用一元二次方程解决问题数学活动矩形绿地中的花圃设计第2章对称图形——圆2.1圆2.2圆的对称性2.3确定圆的条件2.4圆周角2.5直线与圆的位置关系2.6正多边形与圆2.7弧长及扇形的面积2.8圆锥的侧面积数学活动图形的密铺第3章数据的集中趋势和离散程度3.1平均数3.2中位数和众数3.3用计算器求平均数3.4方差3.5用计算器求方差数学活动估测时间第4章等可能条件下的概率4.1等可能性4.2等可能条件下的概率（一）4.3等可能条件下的概率（二）数学活动调查“小概率事件”课题学习收集数据分析数据探索规律第1章一元二次方程1.1一元二次方程1、方程x²=2、x（19-2x）=24、5（1+x）²=9.8、x²+（x-1）²=25，它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程。
2、关于x的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）其中ax ²、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数。
1.2一元二次方程的解法1、我们知道一元二次方程x²=2有两个根，它们分别记为x1=2，x2=-2。
这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法2、把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，运用直接开平方求出方程的解。
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
3、解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入这个公式，若b²-4ac≥0，就可以求得方程的根。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
4、一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
当b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；当b²-4ac＜0时，没有实数根5、如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019版九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次
方程的解法4学案新版苏科版
学习目标:
1. 会用公式法解一元二次方程；
2. 体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0；
3．在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，体会转化的思想方法． 学习重点：会用公式法解一元二次方程．
学习过程：
一.【情景创设】 用配方法解方程：02122=-
-y y
二.【问题探究】
问题1：你会解关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax a 、b 、c 是常数，a ≠0)吗？
归纳：一般的，对于一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax （1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，
利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（2） 当_____________时，方程没有实数根。
问题2：用公式法解下列方程
（1）0432=--x x （2）322
=-x x
练一练：用公式法解下列方程
（1）01222=-+-x x
（2）0121322=++-x x
（3）055.02.12.02=+-x x
（4）0122=-+x x
（5）6)6(=-x x
（
6）04322=-+-x x
三.【变式拓展】
问题3：用公式法解关于x 的方程：0)2(3222=--+-n mn m mx x 。
四.【总结提升】
通过这节课的学习，你有什么收获呢？
五. 【课堂反馈】 姓名：
六. 【课后作业】
（选做题）
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。