湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试 数学(文) (word版含答案)

宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1．双曲线2211625x y -=的渐近线方程为 A ．45y x =± B ．45x y =± C ．54y x =± D ．54x y =±2．命题“6πα=”是命题“1cos 22α=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 A ．4-B ．45-C ．4D ．454.下列有关命题的说法中错误的是 A ．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 .B ．一个样本的方差是2222121(3)(3)...(3)20n s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，则这组数据的总和等于60. C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越差. D ．对于命题:p x R ∃∈使得21x x ++＜0，则:p x R ⌝∀∈，使210x x ++≥. 5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数多于反面的次数的概率为A.12 B. 516 C. 716D. 386．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求(N )n n *∈次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++ 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++3210(())a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如下图所示的程序框图，能求得多项式 的值．A ．432234x x x x ++++B ．4322345x x x x ++++C ．3223x x x +++D ． 32234x x x +++ 7.某四棱锥的三视图如右上图所示，则该四棱锥的体积是A ．12 B ．14C ．16D ． 1128.直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．()()1,55,⋃+∞ D ．[)()1,55,⋃+∞9．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是A B C D10．已知直线23y x =-与抛物线24y x =交于A B 、两点，O 为坐标原点，OA OB 、的斜率分别为12,k k ，则1211k k += A ．12 B ．2 C ．12- D ．13-11．若曲线2ln y x ax =+（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是A ．1(,)2-+∞B ．),21[+∞- C ．),0(+∞ D ．),0[+∞12.若函数()sin cos f x x ax ax x =--⋅，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围是A ．2a π≥B ．2a π≥C ．12a ≥ D ．1a ≥二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号， 6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22， 则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方 法，则50岁以上年龄段应抽取__________人．14．函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________．15．若在区间[]4,4-内随机取一个数m ，在区间[]2,3-内随机取一个数n ，则使方程22240x mx n +-+=有两个不相等的实根的概率为 ．16．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为 . 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知命题p :“是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程”；q ：“函数D 1C 111P MD C B A321()213f x x ax ax =+++在R 上存在极值”；若命题“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知线段AB 的端点B 的坐标是(10)-，，端点A 在圆22(7)16x y -+=上运动， （1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）设点(2,)C a ，记M 的轨迹方程所对应的曲线为Ω，若过点C 且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线Ω相切，求a 的值及切线方程．19．（本小题满分12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵A B M D C P -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD=,1111A B A D =．台体体积公式：1()3V S S h '=，其中,S S '分别为台体上、下底面面积，h 为台体高. （1）证明：直线BD ⊥平面MAC ；（2）若1AB =,112A D =，MA =111A A B D -的体积V =，求该组合体的体积．20．(本小题满分12分) 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y (单位：微克)的统计表：（1）在坐标系中描出散点图，并判断变量x 与y 的相关性；（2）若用解析式2ˆy cx d =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，令2x ω=，计算平均值和y ，完成以下表格(填在答题卡中)，求出ˆy 与x的回归方程．(c（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1 2.236)（附：线性回归方程计算公式：12()()ˆ()ni i i i x x y y bx x =--=-∑， ˆˆa y b x =-）21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、，点(2,P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为,αβ，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．22．（本小题满分12分）记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =．已知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,()242g x x x x a x a a ⎧⎫=+-+-++⎨⎬⎩⎭．（1）设21()()3()(1)2h x f x x x =---，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试文科数学试题参考答案一、选择题13． 37 ， 8 14．1y e =-15．110π- 16．222015845()()714196x y -+-=三、解答题17．(12分)解： 若p ，即12a <<.…………3分若q 为真，则2()220f x x ax a '=++=有两个相异的实数根， 即得204802a a a ∆>⇒->⇒>或0a <…………6分由p 且q 为假，p 或q 为真得：1202a a <<⎧⎨≤≤⎩或1202a a a a ≤≥⎧⎨<>⎩或或…………9分∴实数a 的取值范围0a <或12a <<或2a >…………10分18．(12分)解：（1）设(,)A m n ，(,)M x y ，∵M 为线段AB 中点∴122m x ny -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒212m x n y =+⎧⎨=⎩，又点A 在圆22(7)16x y -+=上运动 ∴22(217)(2)16x y +-+= 即 22(3)4x y -+=∴点M 的轨迹方程为：22(3)4x y -+=； ………6分（2）设切线方程为：2ay x =和2x y a +=+ ………8分2=2=，解得：a =±1a =±∴切线方程为5y x =±和3x y +=±………12分 19．(12分)解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MAB AD M A ∴⊥, …………………………………………2分又M A AB ⊥， , AD AB A AD = ,AB ⊂平面ABCD ，MA ∴⊥ABCD , ……………………………………………………4分M A BD ∴⊥ 又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又 , MA AC A MA = ,AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC .……………………6分 （Ⅱ）设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ，则三棱锥111A A B D -体积1122323V h =⋅⋅⋅⋅=，所以h =……………………………………………9分故该组合体的体积为221111(1223236V=⋅+++=+=………………………12分（注：也可将台体补形为锥体后进行计算）20. (12分)解：（1）作图省略，负相关：............2分（2）11,38yω==.....................................................4分()()()()()()()222221020716215914287512.008 2.03741072514c-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-===-≈--+-+-++,............6分38 2.01160.0dy cω=-=+⨯+,22.060.0 2.060.0xyω∧∴=-+=-+.............8分(3) 当20y∧<时,22.060.020, 4.5x x-+<>≈,∴为了放心食用该蔬菜, 估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜. ............12分21．(12分)解：（1）由椭圆C的离心率e=得ca=，其中c=椭圆C的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F C F C-又点2F在线段1PF的中垂线上∴122F F PF=，∴()()22222c c=+-解得1c=，22a=，21b=，∴椭圆的方程为2212xy+=．......................................4分（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y kx m=+．由2212xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得222(21)4220k x kmx m+++-=．设11(,)M x y，22(,)N x y，则()22244(21)(22)0km k m =-+-≥V ，即22210k m -+≥，1124+=-21kmx x k +，211222=21m x x k -+...................6分 且221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==-- 由已知αβπ+=，得220F M F N k k +=,即1212011kx m kx mx x +++=--．...................8分 化简，得11112()()20kx x m k x x m +-+-=∴2222242()202121m kmk m k m k k ----=++g 整理得2m k =-．............10分 ∴直线MN 的方程为(2)y k x =-，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)．.....12分 22．(12分)解：（1）设2()12ln F x x x =--，22(1)(1)'()2x x F x x x x-+=-=， 令'()0F x >，得1x >，()F x 递增；令'()0F x <，得01x <<，()F x 递减．∴min ()(1)0F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴2()1f x x =-．...........2分设()22113()(1)02h x x x x =----=，()()0111612=+-⋅-∴x x x ，易知在(0,1]上有两个根，即()h x 在(0,1]上零点的个数为2． ......................................4分 （2）假设存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 4,213()244,22x x x a x a x a a x a ⎧+<+⎪⎪⎨⎪-+-++<+⎪⎩对(2,)x a ∈++∞恒成立，................5分 即21ln 4,2(2)()0x x a x x a ⎧-<⎪⎨⎪+->⎩对(2,)x a ∈++∞恒成立， （i ）设1()ln 2H x x x =-，11'()2H x x =-22xx-=，令'()0H x >，得02x <<，()H x 递增；令'()0H x <，得2x >，()H x 递减．∴max ()(2)ln 21H x h ==-． ................................6分 当022a <+<，即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->， ∵0a <，∴ln 21(,0)4a -∈． .................................7分 当22a +≥，即0a ≥时，()H x 在(2,)a ++∞上递减，∴1()(2)ln(2)12H x H a a a <+=+--．∵111(ln(2)1)'0222a a a +--=-≤+，∴(2)(0)ln 210H a H +≤=-<∴0a ≥合题意. 故ln 214a ->，1ln 42x x a -<对(2,)x a ∈++∞恒成立． .......................9分 （ii ）若2(2)()0x x a +->对(2,)x a ∈++∞恒成立，由242>+>+a x 知，等价02>-a x 对(2,)x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥，∴[]1,2a ∈-． ......................11分 由（i ）及（ii ）得，ln 21(,2]4a -∈． ...........................12分。