高代与解几复习上册PPT课件
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9年级上册数学ppt课件
质和关系。
三角形
重点讲述等腰三角形、直角三 角形和全等三角形的性质和判
定定理。
四边形
研究平行四边形、矩形、菱形 和正方形的性质和判定定理。
圆
探讨圆的基本性质、圆的周长 和面积计算公式。
立体几何
点、线、面的关系
介绍点、线、面在三维空间中 的位置关系，如平行、垂直等
。
多面体与旋转体
研究多面体和旋转体的结构、 性质和面积计算。
几何量在实际问题中的应用
几何量在日常生活中的应用非常广泛，如长度、面积、体积等，可用于计算各种费用、 距离、容积等。
几何变换在实际问题中的应用
几何变换在解决实际问题中也有着重要的应用，如平移、旋转、对称等，可用于解决生 活中的各种问题，如摄影构图、建筑设计等。
概率与统计在实际生活中的应用
概率在实际问题中的应用
解直角三角形
学习如何利用三角函数解直角三角形，解决 实际问题。
04 概率与统计
CHAPTER
概率基础
1 2
概率定义
概率是描述随机事件发生可能性的数学量，其值 在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表 示事件一定会发生。
概率计算
概率可以通过长期实验或观察得到，也可以通过 古典概率模型或贝叶斯概率模型进行计算。
3
独立事件与互斥事件
独立事件的发生不受其他事件影响，互斥事件则 不能同时发生。
统计初步
描述性统计
描述性统计是通过平均数、中位 数、众数、方差、标准差等统计
量来描述数据的分布情况。
抽样调查
抽样调查是从总体中选取一部分样 本进行调查，然后根据样本结果推 断总体情况。
回归分析
回归分析是研究两个或多个变量之 间关系的统计方法，通过回归分析 可以预测一个变量的变化对另一个 变量的影响。
三角形
重点讲述等腰三角形、直角三 角形和全等三角形的性质和判
定定理。
四边形
研究平行四边形、矩形、菱形 和正方形的性质和判定定理。
圆
探讨圆的基本性质、圆的周长 和面积计算公式。
立体几何
点、线、面的关系
介绍点、线、面在三维空间中 的位置关系，如平行、垂直等
。
多面体与旋转体
研究多面体和旋转体的结构、 性质和面积计算。
几何量在实际问题中的应用
几何量在日常生活中的应用非常广泛，如长度、面积、体积等，可用于计算各种费用、 距离、容积等。
几何变换在实际问题中的应用
几何变换在解决实际问题中也有着重要的应用，如平移、旋转、对称等，可用于解决生 活中的各种问题，如摄影构图、建筑设计等。
概率与统计在实际生活中的应用
概率在实际问题中的应用
解直角三角形
学习如何利用三角函数解直角三角形，解决 实际问题。
04 概率与统计
CHAPTER
概率基础
1 2
概率定义
概率是描述随机事件发生可能性的数学量，其值 在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表 示事件一定会发生。
概率计算
概率可以通过长期实验或观察得到，也可以通过 古典概率模型或贝叶斯概率模型进行计算。
3
独立事件与互斥事件
独立事件的发生不受其他事件影响，互斥事件则 不能同时发生。
统计初步
描述性统计
描述性统计是通过平均数、中位 数、众数、方差、标准差等统计
量来描述数据的分布情况。
抽样调查
抽样调查是从总体中选取一部分样 本进行调查，然后根据样本结果推 断总体情况。
回归分析
回归分析是研究两个或多个变量之 间关系的统计方法，通过回归分析 可以预测一个变量的变化对另一个 变量的影响。
人教版(2024新版)七年级数学上册第四章课件：第四章 整式的加减 小结与复习
数为4；
32t3是单项式，系数为32，次数为3;
2x－y是多项式，有2x,－y两项，次数为1.
随堂练习
4. 先化简，再求值.
5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3.
解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x
= (5－3－2)x2+(－5+6)x－1
= x－1.
当x = －3时，原式 =－3－1 =－4.
当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30.
|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|.
解：由题意，得b<c<0<a，且|c|<|a|<|b|，
所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0，
所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|
=－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c)
=－b+a－a－b+c+b－c+a+c
x是单项式，系数为1，次数为1;
随堂练习
3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数
和次数，是多项式的指出项和次数：
−
a2b，
，x2+y2－1，
x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y.
解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次
32t3是单项式，系数为32，次数为3;
2x－y是多项式，有2x,－y两项，次数为1.
随堂练习
4. 先化简，再求值.
5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3.
解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x
= (5－3－2)x2+(－5+6)x－1
= x－1.
当x = －3时，原式 =－3－1 =－4.
当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30.
|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|.
解：由题意，得b<c<0<a，且|c|<|a|<|b|，
所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0，
所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|
=－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c)
=－b+a－a－b+c+b－c+a+c
x是单项式，系数为1，次数为1;
随堂练习
3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数
和次数，是多项式的指出项和次数：
−
a2b，
，x2+y2－1，
x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y.
解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次
大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
方阵
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
浙教版七年级数学上册第四章复习课PPT课件
02
知识点回顾
知识点一：数的认识
总结词：数的分类与性质 总结词：数的运算
详细描述：回顾有理数、无理数、整数、分数等数的分 类，掌握数的性质，如奇偶性、大小关系等。
详细描述：复习加减乘除等基本运算，理解运算律，如 交换律、结合律等，掌握运算顺序。
知识点二：代数式
总结词
代数式的定义与表示
详细描述
理解代数式的概念，掌握代数 式的表示方法，如单项式、多 项式等。
例题二：代数式的简化
总结词
代数式的简化是数学中常见的题型，需要学生掌握代数式的合并 同类项、化简等技巧。
详细描述
代数式的简化是解决复杂数学问题的关键步骤之一。通过合并同 类项、化简等技巧，可以将复杂的代数式简化为更易于处理的形 式。这有助于学生更好地理解代数式，并提高解题效率。
例题三：一元一次方程与不等式的解法
浙教版七年级数学上册第四章 复习课
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点回顾 • 重点与难点解析 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 总结与展望
01
引言
复习目标
02
01
03
掌握第四章的基本概念和公式。 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
复习内容概述
练习题二：代数式
01
代数式的运算
02
代数式的应用
代数式的分类
03
练习题二：代数式
代数式的变换技巧
1
代数式的恒等变换
2
代数式的因式分解
3
练习题三：方程与不等式
01
一元一次方程的解法
02
一元一次方程的应用
03
北师大版小学6年级数学上册(整理与复习)PPT教学课件
线段叫做半径。
通过圆心并且两端都在圆
上的线段叫做直径。
整理与复习（1）
一个圆有无数条半径，无数条直径。
整理与复习（1）
同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都
相等，直径的长度是半径长度的2倍。
整理与复习（1）
圆的周长
指什么？
围成圆的曲线的长是圆的周长。
整理与复习（1）
圆的周长除以直径的商是一个固定
这些梨树的成活率是( 90% )。
整理与复习（3）
2.判断题。
(1)丽丽买来一个10%千克的西瓜。(
×
)
(2)0.5%的分子不是整数，所以0.5%不是百分数。(
(3)5千克的10%与10千克的5%相等。(
√
×
)
)
(4)10克白糖放到100克水中，糖水的含糖率是10%。(
×
)
整理与复习（3）
3.选择题。
种子总数量
种子总数
总质量
×100%
整理与复习（3）
2.小数、分数化成百分数
①先把小数化成分母是100的分数,再改写
成百分数；②把小数点向右移动两位,同时
在后面添上百分号即可。
①先把分数化成分母是100的分数,再改写成
百分数；②把分数化成小数后,再改写成百
分数。(除不尽时，百分号前保留一位小数)
整理与复习（3）
3.百分数化成小数、分数
百分数化成小数：把百分号去掉,同时把小数
点向左移动两位,位数不够时,用“0”补足。
百分数化成分数：先把百分数改写成分母是
100的分数,然后进行约分。
整理与复习（3）
4.解决有关百分数问题
“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”问题：
通过圆心并且两端都在圆
上的线段叫做直径。
整理与复习（1）
一个圆有无数条半径，无数条直径。
整理与复习（1）
同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都
相等，直径的长度是半径长度的2倍。
整理与复习（1）
圆的周长
指什么？
围成圆的曲线的长是圆的周长。
整理与复习（1）
圆的周长除以直径的商是一个固定
这些梨树的成活率是( 90% )。
整理与复习（3）
2.判断题。
(1)丽丽买来一个10%千克的西瓜。(
×
)
(2)0.5%的分子不是整数，所以0.5%不是百分数。(
(3)5千克的10%与10千克的5%相等。(
√
×
)
)
(4)10克白糖放到100克水中，糖水的含糖率是10%。(
×
)
整理与复习（3）
3.选择题。
种子总数量
种子总数
总质量
×100%
整理与复习（3）
2.小数、分数化成百分数
①先把小数化成分母是100的分数,再改写
成百分数；②把小数点向右移动两位,同时
在后面添上百分号即可。
①先把分数化成分母是100的分数,再改写成
百分数；②把分数化成小数后,再改写成百
分数。(除不尽时，百分号前保留一位小数)
整理与复习（3）
3.百分数化成小数、分数
百分数化成小数：把百分号去掉,同时把小数
点向左移动两位,位数不够时,用“0”补足。
百分数化成分数：先把百分数改写成分母是
100的分数,然后进行约分。
整理与复习（3）
4.解决有关百分数问题
“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”问题：
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
北师大版六年级数学上册整理与复习(二)---分数混合运算PPT课件
养殖场有鸭子3000只，比鸡的只数多
1 5
，鸡有多少只？
解：设鸡有x只。
方 x+ 15x=3000
法 一
65x=3000
x=2500
（1+ 方
1 5
）x=3000
法 二
65x=3000
x=2500
答：鸡有2500只。
六（1）班去种树，杨树占种树总数的
3 8
，柳树种了40棵，
一共种了多少棵树？ 柳树占种树总数的___，是40棵。
）
＝12×
4 3
二 ＝16（支）
答：小华买了16支铅笔。
求比一个数多（或少）几分之几的数是多少
一件上衣78元，一条裤子比一件上衣便宜16。 这条裤子多少元？ 单位“1”
78×
1−
1 6
= 78×56 =65（元）
你会用另一种方法 列式解答吗？
答:这条裤子65元。
已知总量和一部分量占总量的几分之几， 求另一部分量
268×
1−
2 5
=268×35 =160.8（元）
答：夹克是160.8元。
5.笑笑买了一支圆珠笔和一支钢笔共用去24元，圆珠笔
的单价是钢笔的
1 5
。圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？
解：设钢笔的单价各是x元。
x +15 x=24
6 5
x=24
x=20
答：圆珠笔的单价是4元，
24－20=4（元） 钢笔的单价是20元。
45×（1－
5 9
）
＝45×
4 9
＝20（名）
答：男生有20名。
单位“1”未知，用方程解答
1.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少， 求这个数。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理01.ppt
解 由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP| ＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)．
设曲线M：ax22＋by22＝1(a>b>0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求．
触类旁通 代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关 系． (3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【变式训练2】 [2017·济南模拟]已知圆C方程为：x2＋
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)， 由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)，① 直线A2B的方程为y＝x－ 0－y03(x－3)，②
由①②得y2＝x－ 20－y209(x2－9)．③ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y02＝1－x902.④ 将④代入③，得x92－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此点M的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲 __线 __的 __方 __程 __；这条曲线叫做方程 的曲线．
第三章代数式复习课件人教版数学七年级上册
巩固练习4.代数式的值及应用
3
2.已知a=12，b=-18，求下表中代数式的值：
代数式
a+b
a-b
ab
代数式的值 -6
30
-216
巩固练习4.代数式的值及应用
3.已知方程x-2y＝5，则整式x-2y-1的值为 4 ．
解：∵x-2y＝5， ∴x-2y-1＝5-1＝4．
4.已知x2-2x-1＝0，则代数式2x2-4x+3的值是 5 ． 解：∵x2-2x-1＝0， ∴x2-2x＝1， ∴2x2-4x+3＝2(x2-2x)+3＝2×1+3＝5．
代数式的意义 列代数式 代数式的值
48a+48×6＝(48a+288)元
巩固练习2.列代数式表示数量关系
4.用代数式表示： (1)棱长为a的正方体的表面积. 棱长为a的正方体的表面积为6a2. (2)位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观 者a万人，预计今后每年平均接待参观者6万人，c年后累计接待的 总人数为多少万人? c年后累计接待的总人数为(a+6c)万人.
巩固练习3.列代数式表示反比例关系
2.下列几个关系中，成反比例关系的是（ C ） A.正三角形的面积与周长 B.人的身高与年龄 C.三角形面积一定时，一边与这边上的高 D.矩形的长与宽 A.正三角形的面积与其周长不成比例，故A不符合题意； B.人的身高与年龄不成比例，故B不符合题意； C.三角形面积一定时，一边与这边上的高成反比例，故C符合题意； D.矩形的长与宽不成比例，故D不符合题意；
知识点3.列代数式表示反比例关系
正比例关系：
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两 个量的比值或商一定，所以它们是成正比例的量，它们的关系是成 正比例关系.
人教版2024新版七年级数学上册课件：第三章 代数式 小结与复习
2
2
4
1 2 25
2
(a-b) =[2- (- )] = .
2
4
8.用含字母的式子填空：
4＋a
(1)长方形的宽为4，长比宽多a，则长方形的长为______，
4(4＋a)
面积为_________；
(2)一件衬衣的进价为a 元，售价为2a 元，则每件衬衣的利
(2a-a)
润为_______元；
1
(3)一个数的倒数为a，则这个数是_____.
人教版 七年级(上册) 2024新版教材
第三章 代数式
小结与复习
知识梳理
代数式的定义
代数式
列代数式
代数式的值
知识回顾
➢ 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫作代数式.
➢ 单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式.
知识回顾
➢ 代数式的书写要求：
类型
书写规定
示例
如2×m写成2·m或2m.
7.根据下列a,b的值，分别求代数式a2-b2与(a-b)2的值：
1
(1)a=-1,b=-3；
(2)a=2,b=- .
2
解：(1)当a=-1,b=-3时，
a2-b2=(-1) 2 -(-3) 2 =1-9=-8.
(a-b)2 =[-1- (-3)] 2 =4.
1
1 2 15
2
2
2
(2)当a=2,b=- 时，a -b =2 -(- ) = ;
形式且后面有单位.
如（a - b）千克.
知识回顾
➢列代数式
在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量
关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代
2
4
1 2 25
2
(a-b) =[2- (- )] = .
2
4
8.用含字母的式子填空：
4＋a
(1)长方形的宽为4，长比宽多a，则长方形的长为______，
4(4＋a)
面积为_________；
(2)一件衬衣的进价为a 元，售价为2a 元，则每件衬衣的利
(2a-a)
润为_______元；
1
(3)一个数的倒数为a，则这个数是_____.
人教版 七年级(上册) 2024新版教材
第三章 代数式
小结与复习
知识梳理
代数式的定义
代数式
列代数式
代数式的值
知识回顾
➢ 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫作代数式.
➢ 单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式.
知识回顾
➢ 代数式的书写要求：
类型
书写规定
示例
如2×m写成2·m或2m.
7.根据下列a,b的值，分别求代数式a2-b2与(a-b)2的值：
1
(1)a=-1,b=-3；
(2)a=2,b=- .
2
解：(1)当a=-1,b=-3时，
a2-b2=(-1) 2 -(-3) 2 =1-9=-8.
(a-b)2 =[-1- (-3)] 2 =4.
1
1 2 15
2
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2
(2)当a=2,b=- 时，a -b =2 -(- ) = ;
形式且后面有单位.
如（a - b）千克.
知识回顾
➢列代数式
在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量
关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共38张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
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f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
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x
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y=－2x+6
y=lnx
6
O
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即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
人教版数学七年级上册第三章《代数式》复习课课件
在有理数混合运算中,要细心观察题目特点,适当运用运算 律,可使计算简单.
代数式在实际生活中的应用 例7 综合与实践. 某校组织学生外出研学,旅行社报价每人收费120元,当研学 人数超过100时,旅行社给出两种优惠方案: 方案一:研学团队先交1000元后,每人收费100元. 方案二:每人收费打九折(九折即原价的90%).
p为
.(用含w、h的式子表示p)
(2)李老师的身高是1.70 m,体重是60 kg,他的体重是否适中?
解:(1)根据题意得他的身体质量指数p为hw2. (2)李老师的身体质量指数为1.67002≈20.76, 因为18.5<20.76<24,所以他的体重适中.
反比例关系 例4 下列两个量的关系一定不是反比例关系的是( D ) A.若r为圆柱底面的半径,h为圆柱的高,当圆柱的侧面积一定 时,h与r之间的关系 B.路程一定时,汽车的行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)之间 的关系
C.三角形的面积一定,则三角形的底边长a与对应的高h之间 的关系
D.长方形的周长一定,其面积S与长方形的一边长x之间的关 系
变式训练 1.已知|3x-6|+(y+3)2=0,则3x+2y的值是 0 .
2.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=3,求(-cd)2024+m220a2+4b+m的值.
解:因为a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=3, 所以a+b=0,cd=1,m2=9. 所以原式=(-1)2024+9-0=1+9=10.
变式训练 如图,在一个底为a、高为h的 三角形铁皮上剪去一个半径 为r的半圆. (1)用含a、h、r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S. (2)请求出当a=8,h=6,r=3时,S的值.
高等代数与解析几何课件
•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
2024年新沪科版7年级上册数学教学课件 第3章 1次方程与方程组 复习题
8.甲便民服务点有工作人员27人，乙便民服务点有工作人员19人.现有 20 名志愿者前来支援. 要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的 2 倍，应怎样分配前来的志愿者？
【教材P133 第8题】
解:设应分配给甲便民服务点 x 人，则分配给乙便民服务点(20－x)人.根据题意，得 27 + x ＝2[19 + (20－x)].解方程，得 x ＝ 17. 所以 20－x ＝20－17 ＝ 3.答: 应分配给甲便民服务点 17 人，乙便民服务点 3 人.
两边同除以 7，得 x = 4.
移项，得 10x–3x = 33 - 5.
去括号，得 10x + 5 = 3x + 33.
（2） .
去分母，得 6(y - 3) = 5y - 9(y - 7).
合并同类项，得 10y = 81.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y–5y + 9y = 63 + 18.
去括号，得 6y - 18 = 5y - 9y + 63.
3. 解下列方程组：
（1）
3x – 2y = 10，4x – 3y = 13；
（2）
2x + 3y - 2 = 0，4x – 9y + 1 = 0；
复习题
沪科版七年级上册
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
A 组
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
【教材P133 第8题】
解:设应分配给甲便民服务点 x 人，则分配给乙便民服务点(20－x)人.根据题意，得 27 + x ＝2[19 + (20－x)].解方程，得 x ＝ 17. 所以 20－x ＝20－17 ＝ 3.答: 应分配给甲便民服务点 17 人，乙便民服务点 3 人.
两边同除以 7，得 x = 4.
移项，得 10x–3x = 33 - 5.
去括号，得 10x + 5 = 3x + 33.
（2） .
去分母，得 6(y - 3) = 5y - 9(y - 7).
合并同类项，得 10y = 81.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y–5y + 9y = 63 + 18.
去括号，得 6y - 18 = 5y - 9y + 63.
3. 解下列方程组：
（1）
3x – 2y = 10，4x – 3y = 13；
（2）
2x + 3y - 2 = 0，4x – 9y + 1 = 0；
复习题
沪科版七年级上册
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
A 组
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
人教版四年级数学上册总复习数与代数(二)——《计算和解决问题》课件
的性质 商不变
练一练
二、深化知识
1.三位数乘两位数的笔算
小试牛刀 1.估算。 189×62≈ 12000 200 60
79×402≈ 32000 80 400
98×21≈ 2000 100 20
103×70≈ 7000 100
二、深化知识
2.笔算。
138×16= 2208 417×35=
列竖式：
(3)两个因数的积是252，如果第一个因数乘6，第二 个因数除以3，那么它们的积就会变为( 504 )。
点拨：根据积的变化规律，第一个因数乘6，第二个 因数除以3，积会扩大2倍，所以积变为252×2＝504。
(4)快到元旦了，刘叔叔带了800元去买花。如果买17 盆“洋牡丹”，还少50元，那么每盆“洋牡丹”的价 格是( 50 )元。
三位数乘两 位数的笔算
再用两位数十位上的数去乘三位数， 乘得的积的末位和两位数的十位对齐；
练一练
最后把两部分积相加
一、知识梳理
因数中间、 末尾有0的 笔算方法
先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾一 共有几个0，就在积的末尾添几个0
练一练
因数与积的 变化规律
练一练
积随因数的变化而变化，积与因数的变化相 同，即一个因数不变，另一个因数乘（除以） 几，积也乘（除以）几（注意除数不能为0）
(2)某超市开展国庆促销活动，酸奶14元8杯，可乐22 元3瓶，梦梦买了16杯酸奶和9瓶可乐，一共要付 多少钱？ 14×(16÷8)＝28(元) 22×(9÷3)＝66(元) 28＋66＝94(元) 答：一共要付94元。
点拨：观察题中酸奶和可乐的数量发现， 16杯酸奶看 成2个8杯，需14×2＝28(元)，9瓶可乐看成3个3瓶，需 22×3＝66(元)，再相加求出一共要付的钱数。
2020届高三数学复习 函数与方程、不等式 讲座 课件(共20张PPT)
借助函数图象的分布，转化为求函数在区间上的最 值或值域问题
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：
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向量运算的坐标表示
18.05.2020
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向量运算的坐标表示
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内积的基本性质
两个向量正交当且仅当它们的内积为零
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外积的运算性质
外积的交换律和结合律都不成立 两个向量共线当且仅当它们的外积为零
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第二章 行列式
置换:逆序对,逆序数,符号(排列的符号) 行列式的定义:
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第六章 (3) 主要结果
线性子空间W=W1+W2是包含W1与W_2的最小的线性子空间; 线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间 的一组基; 维数公式 (利用基的扩充); Cauchy-Schwarz不等式或Cauchy-Buniakowski不等式; 勾股定理; 内积由度量矩阵完全确定； 正交向量组一定是线性无关的; 欧几里得空间必存在规范正交基; 最佳逼近元与正交投影的关系； 正交变换与正交矩阵的性质；
线性相关性与线性方程组 线性子空间
线性子空间的交集是线性子空间 线性子空间的和是线性子空间 任何线性子空间都包含0元素 若干向量的线性组合的全体的集合是线性子空间(生成子空 间) 齐次线性方程组的解集是线性子空间 基: 可以表示所有向量的线性无关向量组 基的存在性、性质 维数和秩的概念
18.05.2020
齐次线性方程组的求解: 秩A=n, 有唯一解; 若秩A<n, 有无穷多解. 若A为方阵, 则AX=0有非零解det(A)=0
齐次线性方程组的解的结构: 基础解系张成的线性子空间 非齐次线性方程组的解的结构: 一个特解与齐次线性方程 组的解的和(线性流形)
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第三章 线性方程组与线性子空间
第一章 向量代数
➢向量的代数运算、内积、外积和混合积 ➢ 向量的线性相关性和仿射坐标系 ➢加法规则: 三角形法则, 平行四边形法则, 多边形法则 ➢仿射坐标系, 直角坐标系 ➢两个向量共线它们线性相关坐标成比例 ➢三个向量共面它们线性相关混合积为零 坐标组成的行列式为零 ➢四个空间向量必线性相关
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第五章
矩阵的秩 线性方程组有解当且仅当方程组的系数矩阵系数矩阵与增 广矩阵有相同的秩：
且当秩与未知量的个数相等时, 方程组的解是唯一的 齐次线性方程组有非零解秩<n 在取定线性空间的基后,线性变换与矩阵之间存在一一对应 的关系 矩阵加法与减法运算 矩阵的乘法与除法（逆）运算 分块、初等矩阵 初等变换与矩阵的乘积的关系 矩阵的逆的求法、矩阵方程的求解（初等行变换）
➢唯一解, 无解, 无穷多解 ➢齐次线性方程组的解的情况:
➢有非零解的条件 ➢几个相关概念:
➢主变量, 自由未知量, 一般解, 齐次线性方程组的秩
18.05.2020
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第三章 线性方程组与线性子空间
非齐次线性方程组的求解: 初等行变换(简化)行阶梯形矩阵 若出现矛盾, 则方程组无解(秩[A,b]=秩A+1); 否则有解(秩[A,b]=秩A): 若秩A=n, 有唯一解; 若秩 A<n, 有无穷多解.
基、维数、坐标；正交向量组、正交基、规范正交基 度量矩阵（规范正交基的度量矩阵） 线性子空间的和与直和 补子空间，正交补空间, 正交投影 正交变换与正交矩阵 (旋转变换、镜像变换及其矩阵)
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第六章 (2)方法
无关向量组的扩充； 利用矩阵的初等变换求子空间的基和维数； Gram-Schmidt正交化方法; 正交投影的求法; 最小二乘问题的求解；
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第四章
利用向量、 行列式和线性方程组的理论研究几何空间中的 平面与直线的仿射性质和度量性质 平面的方程
一般方程、三点式方程、参数方程、点法式方程 直线的方程
标准方程、参数方程、两点式方程、一般方程 平面之间的位置关系：相交、平行、重合
从秩的观点看 直线之间的位置关系：相交、平行、重合、异面 直线与平面的位置关系：相交、平行、包含 点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离 两个平面的夹角、平面与直线的夹角、公垂线
n阶方阵的一个函数; n!个项的和, 每一个项带正负号(第二个指标的排列的 符号),每一行取一个元, 且要求n个元所在的列不同
行列式的性质:计算行列式的方法 克拉默法则:求解特殊的线性方程组
行列式按一行或一列展开
拉普拉斯定理: 行列式按多行或多列展开
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行列式的性质(1)
性质 1.
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行列式的性质(2)
性质 2.
性质 3. 行列式有一行(或一列)全为零时, 行列式为零.
性质 4. 交换行列式的两个行, 行列式改变符号. 性质 5. 行列式有两行(或两列)成比例时, 行列式为零.
性质 6. 把行列式的某一行(或某一列)的 c 倍加到另一行(或 另一列)上, 行列式的值不变.
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第六章 (1) 概念
线性空间: 一个非空集合，一个数域，两种代数运算，八 条规则 欧几里得空间: 线性空间 + 内积（对称性、线性、正定性）
长度、夹角（正交）
线性空间同构: 存在映射满足 1) 一一映射; 2) 线性; 欧几里得空间同构: 存在线性空间同构映射且保内积；
同构维数相同
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矩阵的初等变换
化矩阵为（简化）行阶梯形矩阵 求方阵的行列式 求解线性方程组 求矩阵的秩 求矩阵的逆 18
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空间
几何空间n维向量空间线性空间欧氏空间 空间向量n维向量一般向量
线性相关性，基，坐标，维数 线性子空间的和与交：维数公式
线性无关组的扩充 线性无关的证明
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矩阵，行列式，线性方程组
行列式是方阵的函数（不同的矩阵可以有相同的行列式） 克拉默法则（求解特殊的线性方程组） 秩A=r 存在非零的r阶子式，不存在非零的r+1阶子式 求解线性方程组Ax=β(求坐标，求组合系数，…)
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展开定理，克拉默法则
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第三章 线性方程组与线性子空间
➢线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程 组. ➢任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形 矩阵. ➢ 任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行 阶梯形矩阵. ➢非齐次线性方程组的解的情况: