(新人教版)云南专用中考一轮复习集训：题型专项九四边形的有关计算与证明(数学)

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2024年云南省中考数学一轮复习第19讲多边形与平行四边形课件

正多边形的边数是( A )
A.8
B.9
C.10 D.12
2.(2023云大附中三模)如果一个多边形的每一个外角都相等,并且它
的内角和为2 880°,那么它一个内角等于( C )
A.140°
B.150°
C.160°
D.170°
3.如图所示,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,若∠A+∠B=
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵AD=AC,AD⊥AC,∴AC=BC,AC⊥BC.
∵E 是 AB 的中点,∴AE=EC,CE⊥AB.
∴∠ACE=∠CAE=45°.∴∠ECF=∠EAD=135°.
∵ED⊥EF,∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED.
∠ = ∠,
(2)连接AE,若AC平分∠EAF,△ABE的周长为15,求四边形ABCD的周长.
(2)解:由(1),知∠FAC=∠ECA.
∵AC平分∠EAF,∴∠FAC=∠EAC.
∴∠ECA=∠EAC.∴AE=CE.
∵△ABE的周长为15,
∴AB+BE+AE=15.∴AB+BE+CE=15,
即AB+BC=15.
(4)若AE+EO=6,则平行四边形ABCD的周长为 24 ;
(5)若AB=5,AC+BD=20,则△ABO的周长为 15
;
(6)若∠BAC=90°,AB=4,BC=8,则BD的长为 4 ;
(7)若AB=6,BC=8,∠ABC=60°,则平行四边形ABCD的面积为 24 .
平行四边形的相关证明与计算(命题热点)
1.从六边形的一个顶点出发,可引出的对角线共有( C )

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

2022年人教版中考数学一轮复习：四边形综合专项练习题2(Word版,含答案)

2022年人教版中考数学一轮复习：四边形综合专项练习题21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．2．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝15．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙．丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为．3．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若AC＝8，BD＝6，则BE的长为．4．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点H，若CG＝1，则S＝．四边形BCDG6．如图，正方形瓷砖图案是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是1m2，则中间小正方形的面积为m2．7．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是（填上所有正确结论的序号）．8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．9．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE＝2BE，点F为对角线BD上一点，且BF＝2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，若HG＝2cm，则正方形ABCD 的边长为cm．10．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．11．如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP＝4，BP＝7，DP＝9，则∠APB的度数为．12．如图是两个边长分别为2a，a的正方形，则△ABC的面积是．13．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为．14．如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A 运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是．15．如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②∠EAH＝45°；③BD＝2GF；④GE平分∠FEC．正确的是（填序号）．16．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是．17．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，若AB＝8，则FG的最小值为．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是．19．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE＝3∠BAE．则的值为．20．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O 处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．（1）的值为．（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为．参考答案1．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；故答案为：①．2．解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝1520，∴BC＝AD＝15，EF×AD＝×120，∴EF＝8，又BC＝15，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+3＝23，故答案为23．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴AD＝＝＝5，＝AD×BE＝×AC×BD，∵S菱形ABCD∴BE＝，故答案为：．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝70°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD＝70°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝20°．故答案为：20°．5．解：过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD，交GD的延长线于N．∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝AD＝CD＝BC，∴△ABD为等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∠ADC＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS），∴∠ADE＝∠DBF，∵∠FBC ＝60°+∠DBF ，∠NDC ＝180°﹣（120°﹣∠ADE ）＝60°+∠ADE ，∴∠NDC ＝∠FBC ，在△CDN 和△CBM 中，，∴△CDN ≌△CBM （AAS ），∴CM ＝CN ，在Rt △CBM 与Rt △CDN 中，，∴Rt △CBM ≌Rt △CDN （HL ），∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ．S 四边形CMGN ＝2S △CMG ，∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝CG ＝，CM ＝CG ＝，∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2×××＝，故答案为：．6．解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，设小正方形的边长为xm ，则大正方形的边长为x +x x ＝（1）xm ， ∵瓷砖的面积是1m 2，∴大正方形的边长为1m ，即（1）x ＝1，解得x ＝﹣1， ∴中间小正方形的面积为（）2＝3﹣2，故答案为：3﹣2．7．解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝10，故①正确；由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD，∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3，由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，∴BE'＝D'E'，∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°，∴BD'＝A'D'＝3，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；故答案为：①②④．8．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S＝OA•OB＝AB•OP，△ABO∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．9．解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，∴FI∥CD，∵CE＝2BE，BF＝2DF，∴设BE＝EI＝IC＝a，CE＝FI＝2a，AB＝3a，∴则FE＝FC＝FA＝a，∴H为AE的中点，∴AH＝HE＝AE＝a，∴AG＝AH+GH＝a+2，∵四边形ABCD是正方形，∴BE∥AD，∴＝＝，∴GE＝AG＝（a+2），∵GE＝HE﹣GH＝a﹣2，∴（a+2）＝a﹣2，解得，a＝，∴AB＝3a＝．故答案为：．10．解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，，得，∴图1中菱形的面积为：×4＝48，故答案为48．11．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∴△BAP绕点A逆时针旋转90°可得△ADE，连接PE，由旋转的性质得，ED＝BP＝7，AE＝AP＝4，∠PBE＝90°，∠AED＝∠APB，∴△APE为等腰直角三角形，∴PE＝AP＝4，∠AEP＝45°，在△PED中，∵PD＝9，ED＝7，PE＝4，∴DE2+PE2＝DP2，∴△PED为直角三角形，∠PED＝90°，∴∠AED＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝135°，故答案为：135°．12．解：∵两个正方形的边长分别为2a，a，∴△ABC的的高为：2a+a，底边为：BC＝a，∴△ABC的面积是：（2a+a）•a＝a2．故答案为：a2．13．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．14．解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，∴∠ACF＝30°，∴∠CGP＝∠EGF＝60°，∵∠F＝90°，∴∠FEG＝30°，设PG＝x，则CG＝2x，∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），∵FG＝EF，∴8﹣2x＝8×，∴x＝4﹣，∴EP＝EG+PG＝2（8﹣2x）+x＝16﹣3x＝4+4．故答案为：4+4．15．解：连接GC，延长EG交AD于点L，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥CB，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝GC，∠HCG＝∠DAG，∵∠HCG+∠GCB＝90°，∴∠DAG+∠GCB＝90°，∵GE⊥AH，∴∠AGL＝90°，∴∠ALG+∠LAG＝90°，∵AD∥CB，∴∠ALG＝∠GEC，∴∠GEC+∠LAG＝90°，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝GC，∴AG＝EG，故①正确；∵GE⊥AH，∴∠AGE＝90°，∵AG＝EG，∴∠EAH＝45°，故②正确；连接AC交BD于点O，则BD＝2OA，∵∠AGF+∠FGE＝∠GEF+∠EGF＝90°，∴∠AGF＝∠GEF，∵AG＝GE，∠AOG＝∠EFG＝90°，∴△AOG≌△GFE（AAS），∴OA＝GF，∵BD＝2OA，∴BD＝2GF，故③正确．过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，交BC于点N，∵G是动点，∴GN的长度不确定，而FG＝OA是定值，∴GE不一定平分∠FEC，故④错误；故答案为：①②③．16．解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，且∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM ＝AC+AB＝7，此时AD＝AM＝，故答案为：．17．解：连接BE，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，又EF⊥AB于点F，EG⊥BC，∴四边形FBGE是矩形，∴FG＝BE，所以当BE最小时，FG就最小，根据垂线段最短，可知当BE⊥AC时，BE最小，当BE⊥AC时，在正方形ABCD中，△AEB是等腰直角三角形，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得2BE2＝AB2＝64，解得BE＝4，∴FG最小为4；故答案为4．18．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正确；∵CD＝2，CE＝，由勾股定理得，DE＝＝＝5，＝CD×CE＝DE×CH，∵S△DCE∴CH＝2，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴＝，∴＝，∴CF＝5，∴HF＝CF﹣CH＝3，∴＝，故②正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝2，CH＝2，由勾股定理得，DH＝＝＝4，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝2，AM＝DH＝4，∴MH＝DM＝2，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故④正确；∵DE＝5，DH＝4，∴HE＝1，∴ME＝HE+MH＝3，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴∠AME＝∠GHE，∵∠HEG＝∠MEA，∴△MEA∽△HEG，∴＝，∴＝，∴HG＝，故③错误．综上，正确的有：①②④．故答案为：①②④．19．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠DAE＝3∠BAE，∴∠BAE＝×90°＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠OBA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OA＝OE，设OE＝a，则OB＝OA＝a，∴BE＝OB﹣OE＝（﹣1）a，BD＝2OB＝2a，∴DE＝BD﹣BE＝2a﹣（﹣1）a＝（+1）a，∴＝＝，故答案为：．20．解：（1）由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，∴a2+（2b）2＝（3a）2，∴b＝a，∴＝＝＝，由折叠可得：∠ABE＝∠EBG，∠AEB＝∠BEO，∠DEG＝∠GEO，∵∠AEB＝∠BEO+∠DEG＝∠GEO＝180°，∴∠BEG＝90°，∵∠A＝∠BEG＝90°，∠ABE＝∠EBG，∴△ABE∽△EBG，∴＝＝，故答案为：；（2）∵AD＝BC＝2b＝4，∴b＝2，a＝2，∴AB＝OB＝4，CG＝2，AE＝OE＝2，∴BG＝6，∵∠OBF ＝∠CBG ，由折叠可得∠BOF ＝∠BCG ＝90°， ∴△BOF ∽△BCG ， ∴＝，即＝，∴OF ＝，∴S 四边形EBFG ＝S △BEG +S △BFG ＝×6×2+×6×＝9．故答案为：9．。

中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)

九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。

【云南专用】中考数学一轮复习集训：题型专项二计算求解题(人教版含答案)

计算求解题本专题是对计算求解题的巩固和深化，在云南的考题中主要包括实数的运算，分式的化简求值，解方程(组)和不等式(组)，主要考查学生的计算能力，难度不大，但需要熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、分式的约分和通分、因式分解、整式的计算等相关知识，并密切注意运算顺序．类型1 实数的运算1．(2015·济宁)计算：π0＋2－1－14－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13.2. (2015·兰州) 计算：2－1－3tan60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.3．(2015·昆明西山区二模)计算：(－1)2 013＋(π－3.14)0－(12)－1＋38.4．(2015·昆明官渡区二模)计算：(－1)2 015＋38－2 0150－(－12)－2.|－2|＋(π－1)0＋(13)－1－2sin45°.6．(2015·金华)计算：12＋2－1－4cos30°＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.7．(2015·菏泽)计算：(－1)2 015＋sin30°－(π－3.14)0＋(12)－1.8．(2015·乐山)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋8－4cos45°＋(－1)2 015.9．(2015·绍兴)计算：2cos45°－(π＋1)0＋14＋(12)－1.10．(2015·怀化)计算： |2－1|＋4sin30°－(12)－1－(3－π)0＋9.11．(2015·扬州)计算：(14)－1＋||1－3－27tan30°.类型2 分式的化简求值1．(2015·毕节)先化简，再求值：(x 2＋1x 2－x －2x －1)÷x ＋1x－1，其中x ＝－3.2．(2015·珠海)先化简，再求值：(x x －1－1x ＋1)÷1x 2－1.其中x ＝ 2.3．(2015·中山)先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1.4．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.5．(2015·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2＋1x)，其中x ＝2sin45°－1.6．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.7．(2015·漳州)先化简，再求值：m 2m －1－1－2m 1－m，再选取一个适当的m 的值代入求值．8．(2015·昆明盘龙区二模)先化简，再求值：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0.类型3 方程(组)的解法1．(2015·广州)解方程：5x＝3(x－4)．2．(2015·中山)解方程：x2－3x＋2＝0. 3．(2015·兰州)解方程：x2－1＝2(x＋1)．4．(2015·宁德)解方程：1－2x－3＝1x－3.5．(2015·黔西南)解方程：2xx－1＋11－x＝3.6．(2015·重庆)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6.②7．(2015·荆州)解方程：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.②类型4 不等式(组)的解法1．(2015·绍兴)解不等式：3x －5≤2(x ＋2)．2．(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．3．(2015·昆明西山区二模)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，①x －12－2x －13＞1.②4．(2015·怀化)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，2（x －1）＋（3－x ）>0，并把它的解集在数轴上表示出来．5．(2015·北京)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1）≤7x ＋10，x －5<x －83，并写出它的所有非负整数解．参考答案类型1 实数的运算1.原式＝1＋12－12－13＝23. 2.原式＝12－3×3＋1＋12＝12－3＋1＋12＝－1. 3.原式＝－1＋1－2＋2＝0.4.原式＝－1＋2－1－4＝－4.5.原式＝2＋1＋3－2×22＝2＋1＋3－2＝4. 6.原式＝23＋12－4×32＋12＝23＋12－23＋12＝1. 7.原式＝－1＋12－1＋2＝12. 8.原式＝12＋22－4×22－1＝12＋22－22－1＝－12. 9.原式＝2×22－1＋12＋2＝2－1＋12＋2＝2＋32. 10.原式＝2－1＋4×12－2－1＋3＝2－1＋2－2－1＋3＝2＋1. 11．原式＝4＋3－1－33×33＝4＋3－1－3＝ 3. 类型2 分式的化简求值1.原式＝x 2＋1x （x －1）·x x ＋1－2x －1·x x ＋1－1＝x 2＋1（x －1）（x ＋1）－2x （x －1）（x ＋1）－ x 2－1（x －1）（x ＋1）＝－2（x －1）（x －1）（x ＋1）＝－2x ＋1. 当x ＝－3时，原式＝－2x ＋1＝－2－3＋1＝1. 2.原式＝(x x －1－1x ＋1)÷1（x ＋1）（x －1）＝x x －1·(x ＋1)(x －1)－1x ＋1·(x ＋1)(x －1) ＝x(x ＋1)－(x －1)＝x 2＋1.当x ＝2时，原式＝x 2＋1＝2＋1＝3.3.原式＝x （x ＋1）（x －1）÷x x －1＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1. 当x ＝2－1时，原式＝1x ＋1＝12－1＋1＝22. 4.原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b. 当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3＋1＋3－1＝2 3.5.原式＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）÷2x ＋x 2＋1x ＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）·x （x ＋1）2＝1x ＋1. 当x ＝2sin45°－1＝2×22－1＝2－1时，原式＝12－1＋1＝22. 6.原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x ＋1）（x －1）]÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）÷x ＋2（x －1）（x ＋1）＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2 ＝2x ＋2.∵2x －6＝0， ∴x ＝3.当x ＝3时，原式＝25. 7.原式＝m 2m －1＋1－2m m －1＝m 2－2m ＋1m －1＝（m －1）2m －1＝m －1. 当m ＝2时，原式＝2－1＝1.(答案不唯一，只要m ≠1，计算正确就可以)8.原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b2 ＝b a －b ·a （a －b ）b 2＝a b . 又∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33. 类型3 方程(组)的解法1.去括号，得5x ＝3x －12.移项，得12＝3x －5x.合并同类项，得12＝－2x.系数化为1，得x ＝－6.2.x 2－3x ＋2＝0.(x －1)(x －2)＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.3.x 2－2x －3＝0.(x ＋1)(x －3)＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3.4.去分母，得x －3－2＝1.解得x ＝6.检验，当x ＝6时，x －3≠0.∴原方程的解为x ＝6.5.去分母，得2x －1＝3(x －1)．括号括、移项、合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －1≠0，∴x ＝2是原分式方程的解．6.②－①，得5y ＝5，y ＝1.将y ＝1代入①，得x －2＝1，x ＝3.∴原方程组的解为错误!②×3，得3x ＋9y ＝21.③－①，得11y ＝22，y ＝2把y ＝2代入②，得x ＋6＝7，x ＝1.∴方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩1.去括号，得3x －5≤2x ＋4.移项，得3x －2x ≤4＋5.合并同类项，得x ≤9.2.去括号，得2x ＋2－1≥3x ＋2.移项，得2x －3x ≥2－2＋1.合并同类项，得－x ≥1.系数化为1，得x ≤－1.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.解不等式①，得x ≤3.解不等式②，得x ＜－7.∴不等式组的解是x ＜－7.4.由①得x ≤2.由②得2x －2＋3－x>0，2x －x>2－3，x>－1.∴不等式组的解集为－1<x ≤2.解集在数轴上表示为：5.由①得4x ＋4≤7x ＋10, －3x ≤6，x ≥－2.由②得3x －15＜x －8，2x ＜7，x ＜72. ∴－2≤x ＜72.∴非负整数解为0，1，2，3.。

2022年人教版中考数学一轮复习：四边形压轴专项练习题(Word版,含答案)

2022年人教版中考数学一轮复习：四边形压轴专项练习题1．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．2．在▱ABCD中，点M为AB的中点．（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若∠A为锐角，过点C作CE⊥AD于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，①求证：AB＝2BC；②若EA＝EC，求的值．3．如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，0），B（0，4）．（Ⅰ）点C的坐标是（，）；（Ⅱ）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y 轴于点F，求△OPF的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E′与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．6．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ 交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）求DE的长；（3）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．7．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BC＝BE，连接EC、AC，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点．（1）如图1，若BC＝2，∠ECA＝15°，求线段EF的长．（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得∠BMF＝∠FBC，求证：BF+FM＝AC．（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，点P是线段AD的中点，连接AN，将△ADN绕点D逆时针旋转α°（0≤α≤360）到△A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'﹣PA'取最大值时，请直接写出△A'DH的面积．8．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG 绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D 逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．9．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．10．如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，DE＝2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围：．11．在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求线段PM的长度；（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值．12．如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE＝，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）13．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD边于点E，连接BE．（1）如图1，求证：BD平分∠EBC；（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF＝2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段．14．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．15．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．2．解：（1）BC＝AB，理由如下：∵∠BMD＝3∠ADM，∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，∴∠A＝2∠ADM，∵∠A＝90°，∴∠ADM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，∴AD＝BC，AM＝AB，∴BC＝AB；（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，∴DN＝CN＝CD＝AB＝AM＝BM，CD∥AB，∴四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，∴MN∥AD∥BC，∴＝，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，∴EF＝CF，∵CE⊥AD于点E，∴MN⊥CE，∴MF是CE的垂直平分线，∴ME＝MC，∴∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，∵∠BME＝3∠AEM，∴∠BME＝3α，∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，∴∠BMC＝∠MCB＝α，∴BC＝BM＝AB，∴AB＝2BC；②如图：由①知：AB＝2BC，∴CD＝2AD设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，∴x2+y2＝4（y﹣x）2，化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，解得x＝y或x＝y，∵DE＜AE，∴x＝y，∴＝，即＝．3．解：（Ⅰ）∵A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝OA＝3，BC∥OA，AB∥OC，∴点C的坐标为：（﹣3，4）；故答案为：﹣3，4；（Ⅱ）由旋转的性质，可得：OD＝OB＝4，OF＝OA＝3，∠ODF＝∠OBA，∠OFD＝∠OAB，∵∠BOD＝90°，∴S△DOF＝OD•OF＝×4×3＝6，DF＝＝＝5，∵AB∥OC，∴∠OBA＝∠BOC，∴∠ODF＝∠BOC，∵∠OFP＝∠DFO，∴△OFP∽△DFO，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△OPF＝S△DOF＝×6＝；（Ⅲ）如图，重叠部分为五边形时，F′必须位于点B上方，∵OF＝3，OB＝4，∴d＞1，当点C在D′F′上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线D′F′的解析式为y＝x+b，将C（﹣3，4）代入，得4＝×（﹣3）+b，解得：b＝，∴直线D′F′的解析式为y＝x+，令x＝0，得y＝，∴F′（0，），∴OF′＝，∴FF′＝OF′﹣OF＝﹣3＝，∴d＜，∴1＜d＜；∵＝sin∠F′OC＝，∴P′F′＝F′O＝（d+3），同理可得：P′O＝（d+3），∴S△F′P′O＝P′F′•P′O＝×（d+3）×（d+3）＝（d+3）2，∵＝cos∠D′F′O＝，BF′＝d﹣1，∴HF′＝（d﹣1），∵＝sin∠D′F′O＝，∴HB＝HF′＝×（d﹣1）＝（d﹣1），∴S△HBF′＝BF′•HB＝×（d﹣1）×（d﹣1）＝（d﹣1）2，∵OO′＝d，∴O′G＝OO′•sin∠BOC＝d，OG＝OO′•cos∠BOC＝d，∴S△OGO′＝O′G•OG＝×d×d＝d2，∴S＝S△F′P′O﹣S△HBF′﹣S△OGO′＝（d+3）2﹣（d﹣1）2﹣d2＝﹣d2+d+，∴S＝﹣d2+d+（1＜d＜）．4．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，AB＝BG，∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BG＝DC．（3）解：由折叠可知AB＝GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，又∵∠C＝90°，AB＝CD，FD＝CF，∴GB＝2GF，BF+GF＝3GF，∵BF2＝BC2+CF2，∴（3GF）2＝64+GF2，∴GF＝2，∴CD＝2GF＝4．5．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB+∠ABE＝90°，∴∠AQB+∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，∵∠AKB+∠ABE＝90°，∴∠AKB+∠ADG＝90°，∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，由（2）知，△ABE∽△ADG，∴＝＝，即＝，∴DG＝4．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），解得：t＝2，即t＝2s时，△BPQ是直角三角形；（2）过P作PK∥BC交AC于K，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，AC＝AB＝6cm，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）；（3）连接AM，AB′，如图2所示：∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3，此时MP平分∠AMB，则点P到AM、BM的距离相等，∴＝，又∵＝，∴＝＝，∴t＝（6﹣t），解得：t＝9﹣3，即当t为（9﹣3）s时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．7．解：（1）如图1，过点F作FK⊥BC于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，CE＝BC＝2，∵∠ECA＝15°，∴∠BCA＝∠BCE+∠ECA＝60°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝90°，∴∠CBG＝90°﹣∠BCA＝30°，∵FK⊥BC，∴∠CKF＝∠BKF＝90°，∴CK＝FK•tan∠BCE＝FK•tan45°＝FK，BK＝＝＝FK，∵CK+BK＝BC，∴FK+FK＝2，∴FK＝3﹣，∴CF＝FK＝（3﹣）＝3﹣，∴EF＝CE﹣CF＝2﹣（3﹣）＝3﹣3．（2）如图2，延长MF交CD于T，过点T作TP⊥AB于P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，∴∠BMF＝∠CTF，∵∠BMF＝∠FBC，∴∠CTF＝∠FBC，∴∠TCF＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠TCF＝∠BCE，在△TCF和△BCF中，，∴△TCF≌△BCF（AAS），∴FT＝BF，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝90°，又∵∠BCG+∠ACD＝90°，∴∠FBC＝∠ACD，∵∠BMF＝∠FBC，∴∠BMF＝∠ACD，即∠TMP＝∠ACD，∵TP⊥AB，∴∠APT＝∠MPT＝90°＝∠BAD＝∠D，∴四边形APTD是矩形，∴AD＝PT，在△MTP和△CAD中，，∴△MTP≌△CAD（AAS），即FT+FM＝AC，∴BF+FM＝AC．（3）如图3，以D为圆心，DN、DA为半径作同心圆，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，由（1）得：∠BCA＝60°，∴∠CAD＝∠BCA＝60°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝2•tan60°＝6，∵点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，∴DN＝CD＝×6＝2，∵3NA'﹣PA'＝（NA′﹣PA′），∴当3NA'﹣PA'取最大值时，NA′﹣PA′的值最大，∵DA′＝DA＝2，∴＝＝，∵＝＝，∴＝＝，又∵∠A′DN＝∠CDA′，∴△A′DN∽△CDA′，∴＝＝＝，∴A′C＝A′N，∴NA′﹣PA′＝A′C﹣PA′≤PC，当C、P、A′在同一直线上时，NA′﹣PA′的最大值为PC，此时3NA'﹣PA'取最大值，作A′T⊥CD的延长线于T，则A′T∥DP，∴＝＝，设A′T＝x，在Rt△CDP中，PC＝＝＝，∴＝＝，∴A′C＝x，CT＝2x，∴TD＝CT﹣CD＝2x﹣6，在Rt△A′DT中，A′T2+TD2＝A′D2，∴x2+（2x﹣6）2＝（2）2，解得：x＝，∴A′T＝，由（1）知：∠CBG＝30°，∴CH＝BC•tan∠CBG＝2×tan30°＝2，∴DH＝CD﹣CH＝6﹣2＝4，∴S△A′DH＝•DH•A′T＝×4×＝．8．解：（1）如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，即∠ADG＝∠CDE，∵DG＝DE，DA＝DC，∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，∴，＝＝，∴＝，∴△GDA∽△EDC，∴＝，即CE＝2AG，∵△GDA∽△EDC，∴∠ECD＝∠GAD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE；（3）①当点E在线段AG上时，如图3，在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，∴△DGP∽△EGD，∴＝，即，∴PD＝，PG＝，则AP＝＝＝，则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；②当点G在线段AE上时，如图4，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，同理得：PD＝，AP＝，由勾股定理得：PE＝＝，则AE＝AP+PE＝+＝；综上，AE的长为．9．解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即∠EBD+∠BDG＝90°，∴∠BHD＝90°．∴BE⊥DG．又∵BE＝DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”．（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB＝CD，∴∠HBC+∠HCB＝90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴，，EG∥AB，GF∥DC，∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB ＝90°．∴△EFG是等腰直角三角形．（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则，由（2）可知．∴AB最小值为．10．解：（1）AG＝CE且AG⊥CE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠GDE＝90°，AD＝CD，DG＝DE，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∵∠ADC＝∠GDE＝90°由旋转可知：AG⊥CE；故答案为：AG＝CE且AG⊥CE；（2）DM、CG的关系是：DM＝CG，且DM⊥CG，理由如下：如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接EH，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDH﹣∠CDE，即∠CDG＝∠HDE，∵CD＝DH，GD＝DE，∴△DGC≌△DEH（SAS），∴CG＝EH，∵M是AE的中点，AD＝DH，∴DM是△AEH的中位线，∴DM∥EH，DM＝EH，∴DM＝CG，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴△DGC绕点逆时针旋转90°到△DEH，∴CG⊥EH，∴DM⊥CG；（3）由（1）可知：直线AG⊥直线CE，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动，如图3，当P与F重合时，AP最小，此时A、P、F、G共线，Rt△AGD中，DG＝2，AD＝4，∴AG＝＝2，∴AP＝2﹣2；如图4，当P与F重合时，AP最大，同理得：AP＝2+2，∴AP的取值范围是：2﹣2≤AP≤2+2．故答案为：2﹣2≤AP≤2+2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，点M和点C重合，∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠DMN＝∠CBE，在△DMN和△CBE中，，∴△DMN≌△CBE（AAS），∴MN＝BE，∵AN＝4，∴DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，由勾股定理得：MN＝＝＝2，∴BE＝2，∵∠PBC＝∠CBE，∠CPB＝∠ECB＝90°，∴△PBC∽△CBE，∴＝，∴BP＝＝＝，在Rt△BPM中，由勾股定理得：PM＝＝＝；（2）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，∴∠EBC＝∠MNF，在△EBC和△MNF中，，∴△EBC≌△MNF（ASA），∴FM＝EC，∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB；（3）连接BD交AC于点O，如图3所示：则△BPN的直角顶点P在AC上运动，设点P与点C重合时，则点P′与点A重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，∵AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠BAO′＝45°，当点P在线段CO上运动时，过点P作PG⊥AD于点G，过点P′作P′H⊥AD交DA延长线于点H，连接PD，∵点P在AC上，∴BP＝PD，在△BPC和△DPC中，，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠CBP＝∠CDP，∵∠CDA＝∠MPB＝90°，∴∠PDN＝∠BMP，∵BC∥AD，∴∠BMP＝∠PND，∴∠PDN＝∠PND，∴PD＝PN，∴BP＝PN，∴∠PNB＝45°，∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+∠PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在△PGN和△NHP'中，，∴△PGN≌△NHP'（ASA），∴PG＝NH，GN＝P'H，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PAG＝45°，∴△AGP是等腰直角三角形，∴PG＝AG，∴GN＝AH，∴AH＝P'H，∴∠P'AH＝45°，∴∠P'AB＝45°，∴点P'在线段AO'上运动；过点Q作QK⊥AO'，垂足为K，则当P′与K重合时，P'Q最短，∵点Q为AD的中点，∴AQ＝3，在等腰Rt△AKQ中，KQ＝AQ＝×3＝，∴P'Q的最小值为．12．解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝＝10，由翻折的性质可知，DA＝DF＝6，∴BF＝BD﹣DF＝10﹣6＝4．（2）如图②中，∵△EBF是等边三角形，∴EB＝EF，∠BEF＝60°，由翻折的性质可知，EA＝EF，∠AED＝∠FED，∴∠AED＝∠FED＝60°，设AE＝EF＝BE＝m，则AD＝AE＝m，∴AB＝2m，∴＝＝．（3）如图③中，过点F作FT⊥AB于T．设BT＝a．由翻折的性质可知，DE⊥AF，AE＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，同法可证∠BAF＝∠BFT，∴tan∠BFT＝tan∠BAF＝tan∠ADE＝，∴FT＝3a，AT＝9a，∴AB＝10a，∴AE＝BE＝5a，AD＝3AE＝15a，∵S△ADE＝×15a×5a＝S，∴a2＝S，∴S△BCF＝×15a×a＝a2＝S．解法二：三角形ADF和三角形BCF加起来等于矩形面积的一半，四边形ADFE面积好求，先求出△AEF的面积，△AEF面积是△ABF的一半．13．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO．又∵OE⊥BE，∴BE＝DE．∴∠EBD＝∠EDB．∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD．即BD平分∠EBC．（2）解：长度等于CD的线段有：AE、EO、FO、CF．理由：由（1）知：∠EBO＝∠FBO，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（ASA）．∴OE＝OF，BE＝BF．∵BF＝2AE，∴BE＝2AE．在Rt△ABE中，∵sin∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∵tan∠ABE＝，∴AE＝AB•tan30°＝AB．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD．∴AE＝CD．∵∠EBF＝90°﹣∠BAE＝60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EBF＝60°，∴∠EBO＝∠FBO＝∠EBF＝30°．∴∠ABO＝∠ABE+∠EBO＝60°，∴△ABO为等边三角形．∴∠BAO＝∠AOB＝60°，∴∠EAO＝∠EOA＝30°，∴AE＝OE．∵AD∥BC，∴∠OCF＝∠OAE＝30°．∵∠FOC＝∠EOA＝30°，∴∠OCF＝∠FOC．∴OF＝FC．∴OF＝FC＝OE＝AE＝CD．14．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠DPA＝∠PAB，由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，∴∠EPA＝∠PAB，∴BP＝AB＝20，在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，∴PD＝4＝2t，∴t＝2；（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，∴PH＝QG＝AD＝12，∵∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝PQ，∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，∴AQ2＝144+PG2，∵AQ＝DG＝DP+PG，∴（DP+PG）2＝144+PG2，∵PD＝2t，∴（2t+PG）2＝144+PG2，解得：PG＝，∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，∵t+＝（t﹣）2+2≥2＝12，∴AQ＝t+≥12，由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，∴12≤AQ≤20；解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，∴12≤AQ≤20，故答案为：12≤AQ≤20；②存在，分两种情况：当点E在矩形ABCD内部时，如图3，∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，∵QE＝QB，PQ＝AQ，∴QB＝AQ﹣2t，∵AQ+BQ＝AB＝20，∴AQ+AQ﹣2t＝20，∴AQ＝10+t，由①可知：AQ＝t+，∴t+＝10+t，解得：t＝3.6；当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，∵QE＝QB，∴BQ＝2t﹣AQ，∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，∴AB＝2t，∴t＝＝10（此时P与C重合），综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．15．解：（1）∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∴△BDB′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积，∵BC＝AB′＝1，∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．。

2024年云南省中考数学一轮复习专题五四边形的证明与计算课件

专题五
四边形的证明与计算
平行四边形的证明与计算
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(1)证明:如图所示,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,
为t s.
(1)若PE⊥BC,求BQ的长.
解:(1)作 AM⊥BC 于点 M,设 AC 交 PE 于点 N.如图所示:
∵∠BAC=90°,∠B=45°,
∴∠C=45°=∠B.∴AB=AC.∴BM=CM.

∴AM= BC=5.∵AD∥BC,∴∠PAN=∠C=45°.

∵PE⊥BC,∴PE=AM=5,PE⊥AD.
CE= - = - =8,
∴BE=BC-CE=2,
即 m=2.
(2)如图(2)所示,点F在CD边上,沿EF再次折叠纸片,使点C的对应点C′
在直线EB′上,求DF的最小值.
解:(2)由折叠,知∠AEB=∠AEB′,∠CEF=∠C′EF,

∴∠AEF= (∠BEB′+∠CEC′)= ×180°=90°.
交于点O,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC.
∵CE=BC,∴AD=CE,AD∥CE.∴四边形ACED是平行四边形.
∵AB=DC,AE=AB,∴AE=DC.
∴四边形ACED是矩形.
(2)若∠AOD=120°,AC=4,求对角线CD的长.
= ,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).∴EG=BE=3.同理,GF=DF=x,

中考第一轮复习：简单的几何证明（四边形）

中考第一轮复习：简单的几何证明（四边形）第一篇：中考第一轮复习：简单的几何证明(四边形)2012年初三数学中考备考复习资料5几何证明（四边形2）专题学校：___________姓名：______________评价：_________________ 【知识归纳】观察下图，回答下列问题直角梯形菱形思考1——特殊四边形性质的角度1、对角线互相平分的特殊四边形有______________________________________________2、对角线相等特殊四边形的有__________________________________________________3、对角线互相垂直的特殊四边形有______________________________________________【巩固训练】1、如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：△ABF≌△DCE；ADB E F C/42、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

3、如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=1BC，证明平行四边形EGFH 是正方形．BEHDF4、已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.求梯形两腰AB、CD的长.2 /4BC【基础检测】一、选择题（每小题5分，共25分）1、下列事件中是必然事件的是（）A.打开电视机，正在播广告.B.从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球.C.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.D.今年10月1日，厦门市的天气一定是晴天.2、如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝（）3434D.55433、“比a的1的数”用代数式表示是（）53＋1B.a＋1C.aD.－123224、已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（）ADAEAEADB.＝ABACBCBDDEAEDEADC.＝D.＝BCABBCAB5、已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是（）A.6B.2 m－8C.2 mD.－2 m二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6、－3的相反数是.7、分解因式：5x＋5y＝.8、如图3，已知：DE∥BC，∠ABC＝50°,则∠ADE＝度.9、2÷2＝.10、某班有49位学生，其中有23位女生.在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀.如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是.11、如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD ＝厘米.12、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.1113、一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：图4B图1CADBEC图3uvf若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝厘米.14、已知函数y－3x－1－2，则x的取值范围是.若x是整数，则此函数的最小值是./ 415、已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A（），B1(，).1，三、解答题16、先化简，再求值：1-21÷2x+1，其中x1x+1x-1x-2x+17、我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．15(1)判断直线y＝＋与正方形OABC是否相交，并说明理由；(2)设d是点O到直线y3x＋b的距离，若直线y3x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．/ 4第二篇：四边形几何证明综合应用1.已知：如图，E、F在ABCD的对角线BD上，BF＝DE，B求证：四边形AECF是平行四边形．C2．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P 与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB.（１）求证：① PE ＝PD ；② PE⊥PD；（２）设AP＝x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.BED3.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=证明平行四边形EGFH 是正方形．EHDBC，2BFC4．如图，在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠B=900,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.求:(1).t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(2).t为何值时,四边形ABQP为矩形?5．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．(1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．ABC6．已知：如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE．当∠A满足什么条件时，四边形AFDE是正方形?请证明你的结论．7．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．8．已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，延长CB到点F，使BF＝BC，连结DF交AB于E．求证：OE＝()BF(在括号中填人一个适当的常数，再证明)．9．(12分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想线段AE与BF有何关系?说明理由．(2)若△ABC的面积为3 cm2，请求四边形ABFE的面积．(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形?说明理由．10.已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交与点O。

2022年中考数学人教版一轮复习课件：十三、解答题专练——与四边形有关的证明和计算(1)

证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，
∵E 为 BC 中点，
∴BE＝CE，在△ABE 与△FCE
∠ABE＝∠FCE，中，BE＝CE，
∴△ABE≌△FCE(ASA)∠，A∴EABB＝＝∠FCCE；F，
(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD， ∴AD＝DF， ∵△ABE≌△FCE，
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，
∵点 O 是边 AD 的中点， ∠AEO＝∠DCO
∴AO＝DO，在△AEO 和△DCO 中，∠AOE＝∠DOC， AO＝DO
∴△AEO≌△DCO(AAS)，∴AE＝CD， ∵AE∥DC， ∴四边形 ACDE 是平行四边形．
十三、解答题专练——与四边形有关的证明和计算(1)
1．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AD，BC 分别相交于点 E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF.
(1)求 AM 的长； 1
(2)tan∠MBO 的值为__4 __.
解：(1)在菱形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEM∽△CBM，∴ACMM＝ABEC， ∵AE＝13AD， ∴AE＝13BC，∴ACMM＝ABEC＝31， ∴AM＝13CM＝14AC＝14×4＝1.
7．(2021·丹东)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是 AD 的中点，连接 CO 并延长交 BA 的延长线于点 E，连接 AC，DE. (1)求证：四边形 ACDE 是平行四边形； (2)若 AB＝AC，判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由．

2019年中考数学题型专项训练(九)四边形的有关证明与计算

题型专项(九) 四边形的有关证明与计算四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.2018年云南T23，昆明T23均为压轴题，结合三角形相似进行考查，难度一般比较大，复习时应予以重视．【例1】 (2018·曲靖陆良县模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【思路点拨】 (1)根据矩形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF ，得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长．【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，点O 是BD 的中点， ∴AB ∥DC ，OB ＝OD.∴∠OBE ＝∠ODF. 在△BOE 和△DOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)． ∴OE ＝OF.又∵OB ＝OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝8－x.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x 2＝62＋(8－x)2，解得x ＝254.∴BE ＝254. ∵BD ＝AD 2＋AB 2＝10，∴OB ＝12BD ＝5.∵BD ⊥EF ，∴EO ＝BE 2－OB 2＝154.∴EF ＝2EO ＝152.【例2】 (2018·昆明T23·12分)如图1，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点(DP<CP)，∠APB ＝90°.将△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P ，PD ′的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN ∥MP 交DC 于点N.(1)求证：AD 2＝DP ·PC ；(2)请判断四边形PMBN 的形状，并说明理由；(3)如图2，连接AC ，分别交PM ，PB 于点E ，F.若DP AD ＝12，求EFAE的值．【思路点拨】 (1)根据矩形的性质，易证△APD ∽△PBC ，得AD PC ＝PDBC，再结合AD ＝BC ，易证得结果；(2)先证明两组对边分别平行，得到四边形PMBN 是平行四边形，再由等腰三角形的判定，得到平行四边形的一组邻边相等，即可证得菱形；(3)由平行线分线段成比例，易证△AFB ∽△CFP ，△AEM ∽△CEP ，再结合(1)中的结论，得到相关边之间的比例关系，再一步步转化到我们要求的线段的比；也可通过过F 点作PM 的平行线，根据平行线分线段成比例及相似三角形的性质转化线段，得到线段的比．解：(1)证明：在矩形ABCD 中， AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∴∠DAP ＋∠APD ＝90°.∵∠APB ＝90°，∴∠CPB ＋∠APD ＝90°. ∴∠DAP ＝∠CPB.1分∴△ADP ∽△PCB.∴AD PC ＝DPCB.2分∴AD ·CB ＝DP ·PC.∵AD ＝BC ，∴AD 2＝DP ·PC.3分. ) (2)四边形PMBN 为菱形，理由如下：4分在矩形ABCD 中，CD ∥AB. ∵BN ∥PM.∴四边形PMBN 为平行四边形.5分 ∵△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P. ∴∠APD ＝∠APM.∵CD ∥AB ，∴∠APD ＝∠PAM. ∴∠APM ＝∠PAM.6分∵∠APB ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°， ∠APM ＋∠BPM ＝90°.∵∠APM ＝∠PAM ，∴∠PBA ＝∠BPM. ∴PM ＝MB.∵四边形PMBN 为平行四边形， ∴四边形PMBN 为菱形.7分 (3)解法一： ∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM ，∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴CD ∥AB 且CD ＝AB.设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ，由AD 2＝DP ·PC 得PC ＝4a ， ∴DC ＝AB ＝5a.∴MA ＝MB ＝5a2.8分∵CD ∥AB ，∴∠ABF ＝∠CPF ， ∠BAF ＝∠PCF ，∴△BFA ∽△PFC.∴AF CF ＝AB CP ＝5a 4a ＝54.∴AF AC ＝59.9分同理△MEA ∽△PEC. ∴AE CE ＝AM CP ＝5a24a ＝58. ∴AE AC ＝513.10分 ∴EF AC ＝AF AC －AE AC ＝59－513＝20117.11分 ∵EF AC ∶AE AC ＝EF AE， ∴EF AE ＝20117∶513＝49.12分解法二：过点F 作FG ∥PM 交MB 于点G.Ｋ ∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM ， ∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴CD ∥AB 且CD ＝AB.设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ，由AD 2＝DP ·PC 得PC ＝4a ， ∴DC ＝AB ＝5a ， ∴MA ＝MB ＝5a2.8分∵CD ∥AB ，∴∠CPF ＝∠ABF ，∠PCF ＝∠BAF ， ∴△PFC ∽△BFA. ∴PF BF ＝CP AB ＝4a 5a ＝45.9分 ∵FG ∥PM ， ∴MG BG ＝PF BF ＝45.10分 ∴MG MB ＝49. ∵AM ＝MB ，∴MG AM ＝49.11分∵FG ∥PM ，∴EF AE ＝MG AM ＝49.12分1．(2018·玉溪红塔区模拟)如图，在△AEC 中，AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，四边形BECD 是平行四边形，BD 与AC 交于点O ，连接AD.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝1，tan ∠BCE ＝12，求AC 的长．解：(1)证明：∵AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线， ∴AB ＝BE ，CB ⊥AE.∵∠ABC ＝∠CBE ＝90°，四边形BECD 是平行四边形， ∴BE ∥DC 且BE ＝DC. ∴AB ＝DC 且AB ∥DC.∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． (2)由(1)知AB ＝BE ＝1， ∵tan ∠BCE ＝BE BC ＝12，∴BC ＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝ 5.2．(2018·昆明盘龙区二模)如图，已知AB ＝AE ＝CD ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E. (1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)若AB ∥CD ，只需再添加一个条件，即________，可使四边形ABCD 为正方形，请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AE ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC(SSS)．(2)添加AB ＝AD(答案不唯一)．证明：∵AB ＝DC ，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°. 由(1)得△DCA ≌△EAC ， ∴∠D ＝∠E ＝90°. ∴四边形ABCD 为矩形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形．3．(2018·曲靖罗平县一模)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠BDC＝90°，E 为BC 上一点，∠BDE＝∠DBC. (1)求证：DE ＝EC ；(2)若AD ＝12BC ，试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵∠BDC＝90°，∠BDE＝∠DBC， ∴∠EDC＝∠BDC－∠BDE＝90°－∠BDE. 又∵∠C＝90°－∠DBC， ∴∠EDC＝∠C.∴DE＝EC. (2)四边形ABED 是菱形．理由：∵∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE. ∵DE＝EC ，∴DE＝BE ＝EC ＝12BC.∵AD＝12BC ，∴AD＝BE.∵AD∥BC，∴四边形ABED 是平行四边形．又∵BE＝DE ，∴四边形ABED 是菱形．4．(2018·昆明一中模拟)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：△ADG≌△CDG；(2)求证：AG 2＝GE·GF.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AD ＝CD ， ∠ADB＝∠CDB. ∴∠F＝∠FCD.在△ADG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG≌△CDG(SAS)． (2)∵△ADG≌△CDG， ∴∠EAG＝∠GCD＝∠F. ∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AEG∽△FAG. ∴AG FG ＝EG AG. ∴AG 2＝GE·GF.5．(2017·曲靖市罗平县一模)如图，正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM. (1)求证：EF ＝FM ；(2)当AE ＝2时，求EF 的长．解：(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°. ∴F，C ，M 三点共线． ∴DE＝DM ，∠EDM＝90°. ∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°. 在△DEF 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DM ，∠EDF＝∠MDF，DF ＝DF ，∴△DEF≌△DMF(SAS)．∴EF＝MF.(2)设EF ＝MF ＝x.∵AE＝CM ＝2，且BC ＝6， ∴BM＝BC ＋CM ＝6＋2＝8.∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝8－x. ∵EB＝AB －AE ＝6－2＝4，在Rt△EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5. ∴EF＝5.6．(2018·云南考试说明)如图，在四边形ABCD 中，已知AB∥CD，AB≠CD，BD ＝AC. (1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别为AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)过点B 作BM∥AC，交DC 的延长线于点M ，则∠ACD＝∠BMD. ∵AB∥CD，BM∥AC，∴四边形ABMC 是平行四边形． ∴AC＝BM.∵BD＝AC ，∴BM＝BD. ∴∠BDM＝∠BMD. ∴∠BDC＝∠ACD.在△BDC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AC ，∠BDC＝∠ACD，DC ＝CD ，∴△BDC≌△ACD(SAS)． ∴BC＝AD.(2)连接EG ，GF ，FH ，HE.∵E，H 分别是AB ，BD 的中点， ∴EH＝12AD.同理FG ＝12AD ，EG ＝12BC ，FH ＝12BC.∵BC＝AD ，∴EG＝FG ＝FH ＝EH. ∴四边形EHFG 为菱形．∴线段EF 与GH 互相垂直平分．7．(2017·昆明市五华区一模)(1)如图1所示，平行四边形纸片ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 是矩形； (2)如图2所示，在(1)中的四边形纸片AEE′D 中，在EE′上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D. ①求证：四边形AFF′D 是菱形； ②求四边形AFF′D 两条对角线的长．图1 图2解：①证明：∵纸片▱ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15， ∴AE＝3.∵△AEF 平移至△DE′F′， ∴AF∥DF′，AF ＝DF′.∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ∴AF＝AD ＝5.∴四边形AFF′D 是菱形． ②连接AF′，DF. 在Rt△DE′F 中，E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1，DE′＝3， ∴DF＝E′D 2＋E′F 2＝32＋12＝10. 在Rt△AEF′中，EF′＝EF ＋FF′＝4＋5＝9，AE ＝3，∴AF′＝AE 2＋F′E 2＝32＋92＝310.8．(2018·云南)如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的点，AF ＝AD ＋FC ，▱ABCD 的面积为S ，由A ，E ，F 三点确定的圆的周长为l.(1)若△ABE 的面积为30，直接写出S 的值； (2)求证：AE 平分∠DAF；(3)若AE ＝BE ，AB ＝4，AD ＝5，求l 的值．解：(1)60.(2)证明：延长AE 与BC 的延长线交于点H. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠HCE，∠DAE＝∠CHE. ∵点E 为CD 的中点，∴CE＝ED. ∴△ADE≌△HCE(AAS)．∴AD＝HC ，AE ＝HE.∴AD＋FC ＝HC ＋FC. 由AF ＝AD ＋FC 和FH ＝HC ＋FC ，得AF ＝FH. ∴∠FAE＝∠CHE. 又∵∠DAE＝∠CHE，∴∠DAE＝∠FAE.∴AE 平分∠DAF. (3)连接EF.∵AE＝BE ，AE ＝HE ， ∴AE＝BE ＝HE.∴∠BAE＝∠ABE，∠HBE＝∠BHE. ∵∠DAE＝∠CHE，∴∠BAE＋∠DAE＝∠ABE＋∠HBE，即∠DAB＝∠CBA. 由四边形ABCD 是平行四边形得∠DAB＋∠CBA＝180°. ∴∠CBA＝90°.∴AF 2＝AB 2＋BF 2＝16＋(5－FC)2＝(FC ＋CH)2＝(FC ＋5)2，解得FC ＝45.∴AF＝FC ＋CH ＝45＋5＝295.∵AE＝HE ，AF ＝FH ，∴FE⊥AH.∴AF 是△AEF 的外接圆的直径． ∴△AEF 的外接圆的周长l ＝29π5.。

人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)

2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等．（2）平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则：则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是中心对称图形．②正n边形有 n 条对称轴．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是．

【云南专用】中考数学一轮复习集训：题型专项九四边形的有关计算与证明(人教版含答案)

四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题．(2013·昭通)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.求证：四边形AMDN是平行四边形．【思路点拨】根据菱形的性质可知AB∥CD，则要证四边形AMDN是平行四边形只需要找到AM＝ND即可，这个可通过三角形全等得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.∵点E是AD中点，∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE(AAS)．∴ND＝MA.∴四边形AMDN是平行四边形．矩形是特殊的平行四边形，判定矩形，可以先判定它是平行四边形，再判定它的一个角是直角即可；又由于矩形的四个内角都是直角，故常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决．含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等也是综合考查的热点．1．(2015·黄冈)已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．2．(2015·龙岩)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．3．(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．4．(2015·昆明盘龙区一模)已知，如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交于AD、BC于E、F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．5．(2015·昆明盘龙区二模)如图，在ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．6．(2015·北京)在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．(2014·宿迁)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.8．(2015·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．9．(2015·益阳)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.(1)求证：AC⊥BD；(2)若AB＝14，cos∠CAB＝78，求线段OE的长．10．(2015·金华)如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.(1)求证：DE＝AB；(2)以D 为圆心，DE 为半径作圆弧交AD 于点G ，若BF ＝FC ＝1，试求EG ︵的长．11．(2015·东营改编)如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC ，将△DEF 进行如下变换：图1 图2(1)如图1，△DEF 沿直线CB 向右平移(即点F 在线段CB 上移动)，连接AF 、AD 、BD ，请直接写出S △ABC 与S 四边形AFBD 的关系；(2)如图2，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明．参考答案1．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.∵BE ∥DF ，∴∠BEF ＝∠DFE.∴∠AEB ＝∠CFD.在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD.∴AB ＝CD.∵AB 平行且等于CD.∴四边形ABCD 是平行四边形． 2．证明：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，BC ＝2DE.又∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ，∴BC ＝BE ＝EF ，EF ∥BC.∴四边形BCFE 是菱形．3．(1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形．∴AE ＝DF.(2)解：若AD 平分∠BAC ，四边形AEDF 是菱形．证明：∵DF ∥AB ，∴∠DAE ＝∠FDA.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAE ＝∠DAF. ∴∠DAF ＝∠FDA.∴AF ＝DF.∴平行四边形AEDF 为菱形．4.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AD ∥BC.∴∠EDO ＝∠FBO.∵O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝OD.又∵∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF. (2)当∠DOE 等于90度时，四边形BFDE 为菱形．理由：由(1)得DE 平行且等于BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形．∵∠DOE ＝90°，∴BD ⊥EF.∴平行四边形BFDE 为菱形．5.(1)∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠DCE.∵O 是CD 的中点， ∴OD ＝OC.∵∠AOD ＝∠EOC, ∴△AOD ≌△EOC. (2)45 理由：由△AOD ≌△EOC ，得OA ＝OE ，OD ＝OC ，∴四边形ADEC 是平行四边形．∵∠B ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE.又∵在平行四边形ABCD 中，AB 平行且等于CD ，∴CD ＝AE.∴四边形ADEC 是矩形．∴∠ACE ＝90°.∴∠CAE ＝90°－∠AEC ＝90°－45°＝45°.∴∠CAE ＝∠AEC. ∴AC ＝CE.∴矩形ADEC 是正方形．6.(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形．∴CD ∥AB ，即DF ∥BE.又∵DF ＝BE.∴四边形DEBF 为平行四边形．又∵DE ⊥AB ，即∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 为矩形． (2)证明：∵四边形DEBF 为矩形，∴∠BFC ＝90°.∵CF ＝3，BF ＝4，∴BC ＝32＋42＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝5，∴AD ＝DF ＝5.∴∠DAF ＝∠DFA.∵DF ∥BE ，∵∠DFA ＝∠FAB ，∴∠DAF ＝∠FAB.即AF 平分∠DAB.7.(1)证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，∴DE 、EF 都是△ABC 的中位线．∴EF ∥AB ，DE ∥AC.∴四边形ADEF 是平行四边形． (2)证明：∵四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF ＝∠BAC.∵D ，F 分别是AB ，CA 的中点，AH 是边BC 上的高，∴DH ＝AD ，FH ＝AF.∴∠DAH ＝∠DHA ，∠FAH ＝∠FHA.∵∠DAH ＋∠FAH ＝∠BAC ，∠DHA ＋∠FHA ＝∠DHF ，∴∠DHF ＝∠BAC.∴∠DHF ＝∠DEF.8.(1)证明：过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M.∵AB ∥CD ，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC ＝BM＝BD ，∴∠BDC ＝∠M ＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC.∴AD ＝BC. (2)证明：连接EH ，HF ，FG ，GE.∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，11∴HE ＝EG.∴平行四边形HFGE 为菱形．∴EF 与GH 互相垂直平分．9.(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ，∴AB ＝CB.∴平行四边形ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD. (2)在Rt △AOB 中，cos∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14×78＝494.在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16.∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154. 10.(1)证明：∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝90°.又∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴∠DAE ＝∠AFB ，∠AED ＝∠B ＝90°.又∵AF ＝DA ，∴△ADE ≌△FAB(AAS)．∴DE ＝AB. (2)∵BF ＝FC ＝1，∴AD ＝BC ＝BF ＋FC ＝2.又∵△ADE ≌△FAB ，∴AE ＝BF ＝1.∴在Rt △ADE 中，AE ＝12AD.∴∠ADE ＝30°.又∵DE ＝AD 2－AE 2＝22－12＝3，∴lEG ︵＝n πR 180＝30·π·3180＝36π. 11.(1)S △ABC ＝S 四边形AFBD . (2)△ABC 为等腰直角三角形，即AB ＝AC ，∠BAC ＝90°.理由如下：∵F 为BC 的中点，∴CF ＝BF.∵CF ＝AD ，∴AD ＝BF.又∵AD ∥BF ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC.∴平行四边形AFBD 为矩形．∵∠BAC ＝90°，F 为BC 的中点，∴AF ＝12BC ＝BF.∴四边形AFBD 为正方形．。

云南省中考数学试题研究题型三几何图形的证明与计算练习

题型三几何图形的证明与计算1. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，分别交BO 、BC 于点H 、F .连接OG 、CG .(1)求证：AH ＝BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG ＝32，求△OGC 的面积．第1题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOE ＝90°， ∵AF ⊥BE ，∴∠GAE ＋∠AEG ＝∠OBE ＋∠AEG ＝90°. ∴∠GAE ＝∠OBE ， ∴△AOH ≌△BOE (ASA)， ∴AH ＝BE ；(2)解：是，理由如下：∵∠AOH ＝∠BGH ＝90°，∠AHO ＝∠BHG ， ∴△AOH ∽△BGH ， ∴OH GH ＝AH BH ， ∴OH AH ＝GH BH， ∵∠OHG ＝∠AHB ， ∴△OHG ∽△AHB ，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，即∠AGO 的度数为定值； (3)解：∵∠ABC ＝90°，AF ⊥BE ，∴∠BAG ＋∠AFB ＝90°，∠FBG ＋∠AFB ＝90°， ∴∠BAG ＝∠FBG ，∠AGB ＝∠BGF ＝90°，∴△ABG ∽△BFG ， ∴AG BG ＝BG GF，∴AG ·GF ＝BG 2＝18， ∵△AHB ∽△OHG ， ∴∠BAH ＝∠GOH ＝∠GBF . ∵∠AOB ＝∠BGF ＝90°， ∴∠AOG ＝∠GFC ， ∵∠AGO ＝45°，CG ⊥GO ， ∴∠AGO ＝∠FGC ＝45°. ∴△AGO ∽△CGF ，∴GO GF ＝AG CG，∴GO ·CG ＝AG ·GF ＝18. ∴S △OGC ＝12CG ·GO ＝9.2. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF . (1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第2题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形， ∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝AH HG ＝EH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH (HL)，∴∠DHG ＝∠AHE ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°， ∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于点Q ，连接GE ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ，在△AEH 和△QGF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG ，第2题解图∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.3. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC于点E .(1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP的面积，若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP, CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°，∴P 、C 、Q 、B 在以PQ 为直径的圆上，如解图所示， ∴∠CQP ＝∠PBC ，∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4；设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ，由(2)得△CPB ∽△CEQ ，∴CP CE ＝BC CQ ，即4－x 324＝22x ，第3题解图可得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝3或1，如解图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC，即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ，当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴△ABP 的面积为3或1.4. 如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)判断直线EG 是否一定经过正方形ABCD 内部一个定点，并说明理由； (3)猜想当E 点位于AB 上何处时，正方形EFGH 面积最小(不要求证明)．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ∠BAD ＝∠B AH ＝BE， ∴△AEH ≌△BFE (SAS)，同理可得△BFE ≌△CGF ，△CGF ≌△DHG ， ∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ， ∴四边形EFGH 是菱形， ∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°， ∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°， ∴∠HEF ＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形；(2)解：直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC 、BD 的交点)；理由如下：如解图，连接AC 、EG ，使其交点为O ； ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ， ∴∠OAE ＝∠OCG ；在△AOE 和△COG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCG ∠AOE ＝∠COG AE ＝CG， ∴△AOE ≌△COG (AAS)， ∴OA ＝OC ，OE ＝OG ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC 、BD 的交点，即点O 为正方形的中心；第4题解图(3)解：设正方形EFGH 的面积为S ，BE ＝x cm ，则BF ＝(10－x ) cm ，根据勾股定理得EF 2＝BE 2＋BF 2＝x 2＋(10－x )2， ∴S ＝x 2＋(10－x )2＝2(x －5)2＋50， ∵2>0，∴当x ＝5时，S 有最小值，S 的最小值为50，即E 点是AB 的中点时，四边形EFGH 的面积最小，最小值为50 cm 2.5. 如图所示，四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，点D 在BC 边上，连接CF . (1)求证：BC ⊥CF ；(2)若△ABC 的面积为16，BD ∶DC ＝1∶3，求正方形ADEF 的面积； (3)在(2)的条件下，连接AE 交DC 于点G ，求DG GC的值．第5题图解：(1)∵四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，∴AD ＝AF ＝EF ＝DE ，AB ＝AC ，∠DAF ＝∠BAC ＝∠DEF ＝∠ADE ＝90°，∠B ＝∠ACB ＝45°，AD ∥EF ，∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ， ∴∠FAC ＝∠DAB . 在△ABD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠DAB ＝∠FAC AD ＝AF， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)， ∴∠B ＝∠ACF ，BD ＝CF ， ∴∠ACF ＝45°， ∴∠ACF ＋∠ACB ＝90°，即∠BCF ＝90°， ∴BC ⊥CF ；(2)设AB ＝AC ＝x ，由题意，得x 22＝16，∴x ＝42， ∴BC ＝8， ∵BD ∶DC ＝1∶3，∴BD ＝8×14＝2，CD ＝8－2＝6，如解图，作DH ⊥AB 于点H ， ∴∠DHB ＝∠DHA ＝90°， ∴∠BDH ＝45°， ∴∠B ＝∠BDH ， ∴BH ＝DH ，设BH ＝DH ＝a ，由勾股定理得，a ＝2， ∴AH ＝42－2＝32，在Rt △ADH 中，由勾股定理得AD 2＝20， ∴AD ＝25， ∵S 正方形ADEF ＝AD 2＝20， ∴正方形ADEF 的面积为20；(3)如解图，设EF 交BC 于点M ，设CM ＝x ，则DM ＝6－x ， ∵BD ＝CF ， ∴CF ＝2，在Rt △CMF 中，由勾股定理得FM ＝4＋x 2，∵∠DME ＝∠FMC ， ∴△FCM ∽△DEM ， ∴FM DM ＝FC DE，则FM 2DM 2＝FC 2DE2， ∴4＋x 2（6－x ）2＝420，解得x 1＝1，x 2＝－4(舍去)， ∴CM ＝1，FM ＝5， ∴ME ＝5，DM ＝5， ∵AD ∥EF ， ∴△AGD ∽△EGM ， ∴DG GM ＝AD EM，∴DG GM ＝255＝2， ∴DG ＝2GM ，设GM ＝b ，DG ＝2b ， ∴b ＋2b ＝5， ∴b ＝53，第5题解图∴GC ＝53＋1＝83，∴DG ＝6－83＝103，DG GC ＝10383＝54.6. 在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC、BD，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AD＝BD＝BC，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E：①∠DAC＝________°；②猜想AE、DE、CE的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图②，若AC＝BD，求∠CAD的度数．第6题图解：(1)15；【解法提示】①∵AD＝BD＝BC，BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BDC是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°＋60°＝150°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA ＝15°；②CE＝DE＋AE.证明：如解图①中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH＝EB.∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝FB，∴EA＝EB，∴∠DAF＝∠DBF，∠EAB＝∠EBA，第6题解图①∴∠DAE＝∠DBE，∵∠DAE＝∠DCO，∴∠DCO＝∠OBE，∵∠DOC＝∠EOB，∴∠BEO＝∠ODC＝60°，∵EH ＝EB ，∴△EBH 是等边三角形，∴∠EBH ＝∠DBC ＝60°，BE ＝BH ， ∴∠EBD ＝∠HBC ，∵BD ＝BC ， ∴△EBD ≌△HBC (SAS)， ∴DE ＝CH ，∴CE ＝EH ＋CH ＝EB ＋ED ＝AE ＋DE ；第6题解图②(2)如解图②，过点C 作CK ⊥BD 于点K ，CH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵∠H ＝∠CKD ＝∠HDK ＝90°， ∴四边形DHCK 是矩形， ∴DK ＝CH ， ∵CD ＝CB ，CK ⊥BD ， ∴DK ＝12BD ，∵AC ＝BD ， ∴CH ＝DK ＝12AC ，∴在Rt △ACH 中，sin ∠CAD ＝CH AC ＝12，∴∠CAD ＝30°.7. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M . (1)求证：BN ＝BF ； (2)求证：CN ＝2CM ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，求OM 的长．第7题图(1)证明：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝∠ABF ＝90°，BC ＝AB ， ∵CF ＝CA ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ， ∴CE ⊥AF ，∴∠BAF ＋∠ANE ＝90°， ∵∠ANE ＝∠BNC ， ∴∠BAF ＋∠BNC ＝90°， ∵∠BCN ＋∠BNC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠BCN ，在△BCN 和△BAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BCN ＝∠BAF BC ＝AB∠CBN ＝∠FBA， ∴△BCN ≌△BAF (ASA)， ∴BN ＝BF ；(2)证明：设正方形的边长为m ，则BD ＝AC ＝2m ， ∵AC ＝CF ＝BC ＋BF ＝m ＋BF ＝2m ， ∴BN ＝BF ＝(2－1)m ， ∵BN ∥CD ， ∴MN CM ＝BN CD ＝（2－1）mm ＝2－1，∴MN ＋CM CM ＝2－1＋11＝2， ∴CN ＝2CM ； (3)解：∵BN ∥CD ， ∴BM DM ＝BN CD＝2－1，∴BM ＝(2－1)DM ，∵BM ＋DM ＝BD ＝2，∴DM ＝2， ∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴OD ＝12BD ＝1，∴OM ＝DM －OD ＝2－1.8. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接ME . (1)如图①，若AB ＝3，过点M 作MG ⊥ME 交线段BC 于点G ，连接EG ，判断△GEM 的形状，并说明理由；(2)如图②，若AB ＝33，延长EM 交线段CD 的延长线于点F ，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，连接FG .①直接写出线段AE 长度的取值范围； ②判断△GEF 的形状，并说明理由．第8题图解：(1)△GEM 是等腰直角三角形．第8题解图①理由如下：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形． ∴GH ＝AB ＝3.∵AD ＝6，M 是AD 的中点， ∴AM ＝3，∵MG ⊥ME ， ∴∠GME ＝90°. ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH . 在△AEM 与△HMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠GMH ∠EAM ＝∠MHG AM ＝GH， ∴△AEM ≌△HMG (AAS)， ∴ME ＝MG ，∴△GEM 是等腰直角三角形； (2)①3<AE ≤33；【解法提示】如解图②，当C ，G 重合时，第8题解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，∴∠AME ＋∠AEM ＝90°，∵MG ⊥EF ，∴∠EMG ＝90°，∴∠AME ＋∠DMC ＝90°，∴∠AEM ＝∠DMC ，∴△AEM ∽△DMC ，∴AE MD ＝AM CD ，∴AE3＝333，∴AE ＝3，∴3<AE ≤33；②△GEF 是等边三角形．第8题解图③理由如下：如解图③，过点G 作GH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵由①得∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AM GH ＝333＝33，在Rt △GME 中， tan ∠MEG ＝MGEM＝3， ∴∠MEG ＝60°，∵∠A ＝∠MDF ＝90°，AM ＝MD ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， ∴GE ＝GF ，∴△GEF 是等边三角形．9. 已知：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在BC 、CD 上，连接AE 、EF 、AF ，且∠DAE ＝∠AEF . (1)求证：EF ＝BE ＋DF ；(2)线段AF 的垂直平分线交AD 于点G ，连接FG ，求证：∠EFG ＝90°； (3)在(2)的条件下，若tan ∠DFG ＝34，EF ＝203，求S △AEF .第9题图(1)证明：如解图，过点A 作AH ⊥EF 于点H ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠BEA ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠AEF ， ∴∠BEA ＝∠AEF ，在△ABE 和△AHE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠AHE ∠BEA ＝∠AEH AE ＝AE， ∴△ABE ≌△AHE (AAS)， ∴AB ＝AH ，BE ＝HE ， ∴AH ＝AD ，∴Rt △AHF ≌Rt △ADF (HL)， ∴DF ＝HF ， ∵EF ＝HE ＋HF ， ∴EF ＝BE ＋DF ；第9题解图(2)证明：如解图，由题意知GA ＝GF ， ∴∠GAF ＝∠GFA ，由(1)知∠AFE ＝∠AFD ， ∵∠FAD ＋∠AFD ＝90°， ∴∠GFA ＋∠AFE ＝90°， ∴∠EFG ＝90°；(3)解：由tan ∠DFG ＝DG DF ＝34，可设DG ＝3x ，DF ＝4x ，则AG ＝GF ＝DG 2＋DF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，FH ＝DF ＝4x ， ∴BC ＝CD ＝AD ＝8x ， ∴CF ＝CD －DF ＝4x ， ∵EF ＝203，∴BE ＝EH ＝EF －FH ＝203－4x ，则EC ＝BC －BE ＝8x －(203－4x )＝12x －203，在Rt △ECF 中，由勾股定理得EF 2＝EC 2＋CF 2，即(203)2＝(12x －203)2＋(4x )2，解得x 1＝0(舍)，x 2＝1，即AH ＝AD ＝8x ＝8，∴S △AEF ＝12EF ·AH ＝12×203×8＝803.10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH . (1)求证：GF ＝GC ；(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明；(3)若正方形ABCD 的边长为4，取DH 的中点M ，请直接写出线段BM 长的最小值．第10题图(1)证明：如解图①，连接DF ，第10题解图①∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE ，∴DA ＝DF ＝DC ，∠DFE ＝∠A ＝90°， ∴∠DFG ＝90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DC DG ＝DG ， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG (HL)， ∴GF ＝GC ； (2)解：BH ＝2AE ，第10题解图②证明：如解图②，在线段AD 上截取AP ，使AP ＝AE ， ∵AD ＝AB ， ∴DP ＝BE ，由(1)知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°， ∴2∠2＋2∠3＝90°， ∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG ＝45°， ∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴DE ＝EH ，∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠BEH ，在△DPE 和△EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝BE ∠1＝∠BEH DE ＝EH， ∴△DPE ≌△EBH (SAS)，∴EP ＝BH ，在Rt △AEP 中，∠A ＝90°，AP ＝AE ， ∴EP ＝2AE ， ∴BH ＝2AE ； (3)22；【解法提示】如解图③中，取DE 的中点O ，连接OM ，OA ，AM ，EM .∵△DEH 是等腰直角三角形，DM ＝HM ，∴EM ＝DM ＝HM ，EM ⊥DM ，∵∠DAE ＝∠DME ＝90°，OD ＝OE ，∴DO ＝OA ＝OE ＝OM ，∴A ，D ，M ，E 四点共圆，∴∠MAB ＝∠MDE ＝45°，∴∠DAM ＝∠MAB ，∴点M 在正方形的对角线AC 上，当BM ⊥AM 时，BM 的值最小，最小值为2 2.第10题解图③。

人教版数学中考复习专题《四边形与证明》精品教学课件ppt优秀课件

D
结论：AE=EC
6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过另一腰的中点。
条件：在梯形ABCD中，AE=DE ， AB∥EF∥DC 结论：BF=FC
B
A E D
D E F
E C
B F C
六、主要画图：
1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形
如：画一个平行四边形ABCD，使边BC=5cm, 对角线AC=5cm，BD=8cm.
平行四边形
一个直角角是
矩形
邻等边相
邻边相等
菱形
一个直角角是
正方形
一组对边平行另一组对边不平行
梯形
两腰相等
等腰梯形
一直个角角是
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目
对边
角
四边形
对角线
对称性
平行且相等
平行四边形
矩形菱形正方形
平行且相等
平行且四边相等
平行且四边相等
对角相等邻角互补
四个角都是直角对角相等邻角互补
四边形
条件
平行四边形
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等
2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
矩形菱形正方形等腰梯形
1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
四个角都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等

中考数学备考一轮训练：四边形综合问题-试卷

人教版备考中考数学一轮训练：四边形综合问题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分)1. (2022·湖北襄阳)如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是( )A.若OB＝OD,则▱ABCD是菱形B.若AC＝BD,则▱ABCD是菱形C.若OA＝OD,则▱ABCD是菱形D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形2. (2020•工业园区一模)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,∠BCD＝90°,∠ABC＝45°,BD平分∠ABC,若CD＝1cm,则AC等于( )A. B. C.2cm D.1cm3. (2020春•蚌埠期末)如图,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC＝90°,∠DAC＝45°,∠BAC＝30°,E是AC的中点,连接BE,BD.则∠DBE的度数为( )A.10°B.12°C.15°D.18°4. (2020秋•海曙区月考)如图,已知Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠C＝30°,AB＝6,M为边BC 上的一个动点,ME⊥AB,MF⊥AC,则EF的最小值为( )A.6B.6C.3D.35. (2021·霍林郭勒市模拟)如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是( )A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定6. (2020•高唐县一模)如图,▱ABCD的周长为32,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=14,则△DOE的周长为( )A.14B.15C.18D.217. (2020·四川眉山中考)如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论:①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH•AC;④DG⊥AC其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个8. (2020•绥化)如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB的中线,过点D作DE⊥AC于点E,延长DE 至点F,使EF＝DE,连接AF,CF,点G在线段CF上,连接EG,且∠CDE+∠EGC＝180°,FG＝2,GC ＝3.下列结论:①DE BC;②四边形DBCF是平行四边形;③EF＝EG;④BC＝2.其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. (2020•龙华区二模)如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E为CD上一点,且DF=1,F 为射线BC上一动点,过点E作EG⊥AF于点P,交直线AB于点G.则下列结论中:①AF=EG;②若∠BAF=∠PCF,则PC=PE;③当∠CPF=45o时,BF=1;④PC的最小值为-2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10. (2021•河北)如图1,▱ABCD中,AD＞AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( )A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是二、填空题(本大共6小题，每小题5分，满分30分)11. (2020·四川中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE,G是AB的中点,连接GF,若AE＝4,则GF＝_____.12. (2020•顺德区三模)如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外做正方形ABDE和正方形ACFG,连结CE、BG交于点P,连结AP和EG.在不添加任何辅助线和字母的前提下,写出四个不同类型的结论__________.13. (2020•温州模拟)如图,四边形ABCD,CEFG均为菱形,A F∠=∠,连结BE,EG,EG//BC,EB ⊥BC,若sin∠EGD=,菱形ABCD的周长为12,则菱形CEFG的周长为__________.14. (2020·河南中考真题)如图,在边长为22的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为__________.15. (2020·江苏连云港·中考真题)如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五形B1B2B3B4B5,且A3A4//B3B4,直线l经过B2、B3,则直线l与A1A2的夹角a=________︒.16. (2020•安徽)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)∠PAQ的大小为°;(2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为.三、解答题(本大题共5道小题,每小题6-12分)17. (6分)(2022北京东直门中学)如图,在平行四边形ABCD中,BC=BD,BE平分∠CBD交CD 于O,交AD延长线于E,连接CE.(1)求证:四边形BCED是菱形;(2)若OD=2,1tan2AEB∠=,求△ABE的面积.18. (6分)(2020春•海陵区)如图,O为∠BAC内一点,E、F、G、H分别为AB,AC,OC,OB的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)当AB＝AC,AO平分∠BAC时,求证:四边形EFGH为矩形.19. (6分)(2020春•中山市校级月考)一张矩形纸ABCD,将点B翻折到对角线AC上的点M处,折痕CE交AB于点E.将点D翻折到对角线AC上的点H处,折痕AF交DC于点F,折叠出四边形AECF.(1)求证:AF∥CE;(2)当∠BAC＝度时,四边形AECF是菱形？说明理由.20. (10分)(2022·河北唐山)问题提出(1)如图①,△ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为 ;问题探究(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.问题解决(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E,又测得DE=8m.请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法？为什么？(结果保留根号或精确到0.01米)21. (12分)(2021•交城县二模)综合与实践问题背景在综合实践课上,同学们以“图形的平移与旋转”为主题开展数学活动,如图(1),先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开,得到两个互相重合的△ABD和△EFD,点E与点A重合,点B 与点F重合,然后将△EFD绕点D顺时针旋转,使点F落在边AB上,如图(2),连接EC.操作发现(1)判断四边形BFEC的形状,并说明理由;实践探究(2)聪聪提出疑问:若等边三角形的边长为8,将图(2)中的△EFD沿射线BC的方向平移a个单位长度,得到△E′F′D′,连接BF′,CE′,若四边形BF′E′C为菱形,如图(3),则a的值为多少？请你帮聪聪解决这个问题,求出a的值;(3)如果将(2)中聪聪所提问题的平移方向改为:沿射线CB的方向平移a个单位长度,其余条件都不变,则是否还存在四边形BF′E′C为菱形？若存在,直接写出平移距离a的值,若不存在,请说明理由;(4)老师提出问题:请参照聪聪的思路,若等边三角形的边长为8,将图(2)中的△EFD在平面内进行一次平移,得到△E″F″D″,请在图(4)中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的一个结论,不必证明.。