高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性教案 理 新人教版

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2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)

2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)

高考数学一轮总复习知识梳理:第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (-x )=f (x ) ,那么函数f (x )是偶函数 都有 f (-x )=-f (x ) ,那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1.周期函数对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有 f (x +T )=f (x ) ,那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ,那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期.归 纳 拓 展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f -xf x =1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f -xf x =-1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数.2.若y =f (x )为奇函数,y =g (x )为奇函数,在公共定义域内(1)y =f (x )±g (x )为奇函数;(2)y =f (x )g (x )与y =f xg x 为偶函数;(3)y =f [g (x )]与y =g [f (x )]为奇函数.同理若y =f (x )与y =g (x )在公共定义域内均为偶函数,则y =f (x )±g (x ),y =f (x )g (x ),y =f xg x ,y =f [g (x )],y =g [f (x )]均为偶函数.若y =f (x )为奇函数,y =g (x )为偶函数,则在公共定义域内y =f (x )g (x )与y =f xg x 均为奇函数,y =f [g (x )]与y =g [f (x )]为偶函数.3.对f (x )的定义域内任一自变量的值x ,最小正周期为T(1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2|a |;(2)若f (x +a )=1f x ,则T =2|a |;(3)若f (x +a )=f (x +b ),则T =|a -b |.4.函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a +x )=f (b -x ),则f (x )的图象关于直线x =a +b 2对称;(2)若函数f (x )满足关系f (a +x )=-f (b -x ),则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,0对称.5.一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )=a x +a -x 为偶函数,函数f (x )=a x -a -x为奇函数; (2)函数f (x )=a x -a -x a x +a -x =a 2x -1a 2x +1为奇函数;(3)函数f (x )=log a b -xb +x 为奇函数;(4)函数f (x )=log a (x +x 2+1)为奇函数.双 基 自 测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y =x 2,x ∈(-2,2]是偶函数.( × )(2)若函数f (x )是奇函数,则必有f (0)=0.( × )(3)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.( √ )(4)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )的图象关于点(b,0)中心对称.( √ )(5)2π是函数f (x )=sin x ,x ∈(0,+∞)的一个周期.( × )(6)周期为T 的奇函数f (x ),一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2=0.( × )[解析] (6)举反例.函数f (x )=tan x ,T =π,f (T )=f (π)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2=0不对.题组二 走进教材2.(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数,其中是奇函数的为( BC )A .f (x )=x 4B .f (x )=x 5C .f (x )=x +1xD .f (x )=1x 2[解析] 对于f (x )=x 4,f (x )的定义域为R ,由f (-x )=(-x )4=x 4=f (x ),可知f (x )=x 4是偶函数,同理可知f (x )=x 5,f (x )=x +1x 是奇函数,f (x )=1x 2是偶函数. 3.(必修1P 85T3改编)若函数y =f (x )(x ∈(a ,b ))为奇函数,则a +b = 0 .4.(必修1P 85T1改编)若函数y =f (x )(x ∈R )是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y =f (x )图象上的是( B )A .(a ,-f (a ))B .(-a ,-f (a ))C .(-a ,-f (-a ))D .(a ,f (-a ))[解析] ∵函数y =f (x )为奇函数,∴f (-a )=-f (a ).即点(-a ,-f (a ))一定在函数y =f (x )的图象上.5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[-5,5],若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图所示,则不等式f (x )<0的解集为_(-2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知,当0<x <2时,f (x )>0;当2<x ≤5时,f (x )<0,又f (x )是奇函数,∴当-2<x <0时,f (x )<0,当-5≤x <-2时,f (x )>0.综上,f (x )<0的解集为(-2,0)∪(2,5].6.(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期,则f (1)+f (2)+f (3)的值是( A )A .0B .1C .2D .3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)=f (-1)=-f (1)、f (2)=f (0)=0,从而可求f (1)+f (2)+f (3).因为函数以2为周期,所以f (3)=f (-1),f (2)=f (0),因为函数是定义在R 上的奇函数,所以f (-1)=-f (1),f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)=f (1)+f (0)-f (1)=0,故选A.7.(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +m ,则f (-3)= -7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即f (0)=20+m =0,解得m =-1,故f (x )=2x-1(x ≥0),则f (-3)=-f (3)=-(23-1)=-7.题组三 走向高考8.(2023·新课标Ⅱ,4,5分)若f (x )=(x +a )·ln 2x -12x +1为偶函数,则a =( B )A .-1B .0 C.12 D .1 [解析] f (-x )=(-x +a )ln -2x -1-2x +1=(-x +a )ln 2x +12x -1=(x -a )ln 2x -12x +1,∵f (x )为偶函数,∴f (x )=f (-x ),∴x +a =x -a ,∴a =0.9.(2021·全国乙,4)设函数f (x )=1-x1+x ,则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x -1-1B . f ()x -1+1 C. f ()x +1-1 D . f ()x +1+1[解析] 思路一:将函数f (x )的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f (x )的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解法一:f (x )=-1+2x +1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y =f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位,再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x -1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f (x -1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A ,f (x -1)-1=2x -2,此函数为非奇非偶函数;选项B ,f (x -1)+1=2x ,此函数为奇函数;选项C ,f (x +1)-1=-2x -2x +2,此函数为非奇非偶函数;选项D ,f (x +1)+1=2x +2,此函数为非奇非偶函数,故选B.。

北师大版高考数学一轮复习统考第2章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性课件

北师大版高考数学一轮复习统考第2章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性课件

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解析 答案
2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值
是( )
A.-13
B.13
C.12
D.-12
解析 显然 b=0,a-1+2a=0,∴a=13,即 a+b=13.
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解析 答案
3.(2020·大连测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在
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1.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=log3(x +1)+a,则 f(-8)=( )
A.-3-a
B.3+a
C.-2
D.2
解析 因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=a=0,f(-8) =-f(8)=-log3(8+1)=-2.来自那么函数 f(x)是奇函数
那么函数 f(x)是偶函数
图象特点
关于□03 ___原__点___对称
关于□04 __y____轴对称
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2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的
任何值时,都有□05 ___f_(x_+__T_)_=__f_(x_)____,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,
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解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内 的任意一个 x 都有 f(-x)=(-x)3--1x=-x3-1x=-f(x),所以 f(x)为奇函 数.
(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.

2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第3节函数的奇偶性及周期性课件理新人教A版

2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第3节函数的奇偶性及周期性课件理新人教A版

2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都 有 5 ____f(_x_+__T_)=__f_(_x_) ____,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 6 _存__在__一__个__最__小______ 的 正 数 , 那 么 这 个 7 _最__小__正__数__就叫做 f(x)的最小正周期.
解析:选 D 由题意,得 f(-x)=-f(x),∵x[f(x)-f(-x)]<0,∴xf(x)<0,又 f(1)=0, ∴f(-1)=0.奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,
从而函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)的大致图象如图所示:
则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为{x|-1<x<0 或 0<x<1},故选 D.பைடு நூலகம்
►常用结论 定义式 f(x+T)=f(x)对定义域内的 x 是恒成立的.若 f(x+a)=f(x+b),则函数 f(x)的 周期为 T=|a-b|;若在定义域内满足 f(x+a)=-f(x),f(x+a)=f(1x),f(x+a)=-f(1x) (a>0),则 f(x)为周期函数,且 T=2a 为它的一个周期.
5.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f(x -2)≥0 的解集是__________.
解析:由已知可得 x-2≥1 或 x-2≤-1,解得 x≥3 或 x≤1,∴所求解集是(-∞, 1]∪[3,+∞).
答案:(-∞,1]∪[3,+∞)

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性教案理(含解析)新人教A版

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性教案理(含解析)新人教A版

第3讲函数的奇偶性与周期性基础知识整合1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有□05 f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□06最小的正数,那么这个□07最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=1f x,则T=2a;(3)若f(x+a)=-1f x,则T=2a(a>0).3.对称性的三个常用结论(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称;(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称;(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.1.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)=( )A .-20B .20C .-12D .12 答案 D解析 f (2)=-f (-2)=-[2×(-8)+4]=12.故选D.2.(2019·大连测试)下列函数中,与函数y =-3|x |的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A .y =-1xB .y =log 2|x |C .y =1-x 2D .y =x 3-1答案 C解析 函数y =-3|x |为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B 的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C 符合要求.3.(2019·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,则实数a 的取值范围为( ) A .(-1,4) B .(-2,1) C .(-1,2) D .(-1,0) 答案 A解析 因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数,所以f (5)=f (-1)=f (1),即2a -3a +1<1,化简得(a -4)(a +1)<0,解得-1<a <4.故选A. 4.设函数f (x )=x +x +ax为奇函数,则a =________.答案 -1 解析 ∵f (x )=x +x +ax为奇函数,∴f (1)+f (-1)=0, 即++a1+-1+-1+a-1=0,∴a =-1.5.(2018·沈阳模拟)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,f (2)=0.若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.答案 (-1,3)解析 ∵f (2)=0,f (x -1)>0, ∴f (x -1)>f (2),又∵f (x )是偶函数,∴f (|x -1|)>f (2),又f (x )在[0,+∞)上单调递减,∴|x -1|<2,∴-2<x -1<2, ∴-1<x <3,∴x ∈(-1,3).6.(2019·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -x ,0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=________.答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-76=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76=-316+sin π6=516.核心考向突破考向一 函数奇偶性的判断例1 (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )=3x-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则f (x )( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=3-x -⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -3x =-f (x ),∴函数f (x )是奇函数.∵函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数,∴函数y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.又∵y =3x在R 上是增函数,∴函数f (x )=3x-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数.故选A.(2)如果f (x )是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( ) A .y =x +f (x ) B .y =xf (x ) C .y =x 2+f (x ) D .y =x 2f (x )答案 B解析 设g (x )=xf (x ).因为f (-x )=-f (x ),所以g (-x )=-xf (-x )=xf (x ),所以g (-x )=g (x ),所以B 正确. 触类旁通判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:f -xf x=±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.验证法:即判断f x f -x 是否为0.本例中巧设g x ,使问题变得清晰易懂.即时训练 1.(2018·合肥质检)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A .y =x 3B .y =|x |+1C .y =-x 2+1D .y =2-|x |答案 B解析 因为y =x 3是奇函数,y =|x |+1,y =-x 2+1,y =2-|x |均为偶函数,所以A 错误;又因为y =-x 2+1,y =2-|x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在(0,+∞)上均为减函数,只有y =|x |+1在(0,+∞)上为增函数,所以C ,D 错误,故选B.2.设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数 答案 C解析 由题意可知f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),对于A ,f (-x )g (-x )=-f (x )g (x ),所以f (x )g (x )是奇函数,故错误;对于B ,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|·g (x )=|f (x )|g (x ),所以|f (x )|g (x )是偶函数,故错误;对于C ,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,所以f (x )|g (x )|是奇函数,故正确;对于D ,|f (-x )g (-x )|=|-f (x )·g (x )|=|f (x )g (x )|,所以|f (x )g (x )|是偶函数,故错误.选C.考向二 函数的周期性例2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )A .-50B .0C .2D .50 答案 C解析 因为f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f (1-x )=f (1+x ),所以f (1+x )=-f (x -1),所以f (3+x )=-f (x +1)=f (x -1),所以T =4,因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2),因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,因为f(2)=f(-2)=-f(2),所以f(2)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,选C.(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x ∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.答案 6解析∵f(x+4)=f(x-2),∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即f(x+6)=f(x),∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息,找到函数的周期,利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形,准确求出周期.即时训练 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-1f x,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2017)+f(2019)的值为( ) A.0 B.-4 C.-2 D.2答案 A解析当x≥0时,f(x+2)=-1f x,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(-2017)=f(2017)=f(1)=log22=1,f(2019)=f(3)=-1f=-1,所以f(-2017)+f(2019)=0.故选A.4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当x∈[-3,-1)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[-1,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=________.答案338解析由题意得f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以数列{f(n)}从第一项起,每连续6项的和为1,则f(1)+f(2)+…+f(2019)=336×1+2=338.考向三函数性质的综合应用角度1 奇偶性的应用例3 (1)(2019·金版创新)已知函数f(x)=ax3+bx+1,若f(2019)=-1,则f(-2019)的值为( )A.3 B.-1 C.1 D.0答案 A解析 设F (x )=f (x )-1=ax 3+bx ,则F (x )为奇函数,所以F (-2019)=-F (2019),即f (-2019)-1=-[f (2019)-1],所以f (-2019)=2-f (2019)=2-(-1)=3,故选A.(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x 2-x ,则当x >0时,f (x )=( ) A .2x 2-x B .2x 2+x C .-2x 2-x D .-2x 2+x答案 C解析 当x >0时,-x <0,f (-x )=2(-x )2-(-x )=2x 2+x ,因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-2x 2-x .故选C.(3)已知函数f (x )=2×4x-a 2x的图象关于原点对称,g (x )=ln (e x +1)-bx 是偶函数,则log a b =( )A .1B .-1C .-12 D.14答案 B解析 由题意得f (0)=0,∴a =2.∵g (1)=g (-1), ∴ln (e +1)-b =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e +1+b ,∴b =12,∴log 212=-1.故选B.触类旁通利用函数的奇偶性可解决的问题(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程组,从而得到f x 的解析式.求函数解析式中参数的值:利用待定系数法求解,根据f xf -x =0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程组,进而得出参数的值.即时训练 5.(2019·齐鲁名校模拟)已知f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x+m ,则f (-2)=( )A .-3B .-54 C.54 D .3答案 A解析 因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即f (0)=20+m =0,解得m =-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.6.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x,则g (x )=( ) A .e x-e -xB.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x) D.12(e x -e -x ) 答案 D解析 由f (x )+g (x )=e x ①,可得f (-x )+g (-x )=e -x.又f (x )为偶函数,g (x )为奇函数,可得f (x )-g (x )=e -x②,则两式相减,可得g (x )=e x -e-x2.选D.7.(2019·海口模拟)设函数f (x )=x1+|x |,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是________.答案 (-∞,1)解析 因f (-x )=-f (x ),故f (x )是奇函数,且x >0时,f (x )=x 1+x =1-11+x ,故f (x )单调递增,又f (0)=0,从而f (x )是R 上的增函数,故f (x )>f (2x -1)⇔x >2x -1,得x <1.角度2 奇偶性与单调性例4 (1)(2019·天津模拟)设奇函数f (x )在[-2,2]上是减函数,且f (2)=-3,若不等式f (x )<2t +1对所有的x ∈[-2,2]都成立,则t 的取值范围是( )A .[-1,1]B .(-∞,1)C .(1,+∞)D .(-∞,1)∪(1,+∞)答案 C解析 因为奇函数f (x )在[-2,2]上是减函数,且f (2)=-3,所以在[-2,2]上f (x )max=f (-2)=-f (2)=3,要使不等式f (x )<2t +1对所有的x ∈[-2,2]都成立,则2t +1>f (x )max ,即2t +1>3,解得t >1,故选C.(2)设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),则实数m 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12解析 因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |). 所以f (1-m )<f (m )⇔f (|1-m |)<f (|m |). 又当x ∈[0,2]时,f (x )是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧|1-m |>|m |,-2≤1-m ≤2,-2≤m ≤2.解得-1≤m <12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12.触类旁通利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,实现不等式的等价转化.注意偶函数的性质f x =f x 的应用.即时训练 8.(2018·南宁模拟)已知定义在R 上的函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[2017,+∞)且x 1≠x 2,都有[f (x 1)-f (x 2)](x 2-x 1)>0.若函数f (x +2017)为偶函数,则( )A .f (2015)<f (2016)<f (2017)B.f(2016)<f(2015)<f(2017)C.f(2017)<f(2016)<f(2015)D.f(2015)<f(2017)<f(2016)答案 A解析对任意x1,x2∈[2017,+∞)且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x2-x1)>0,即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,所以f(x)在[2017,+∞)上单调递减,所以f(2017)>f(2018)>f(2019).因为f(x+2017)为偶函数,所以f(-x+2017)=f(x+2017),所以f(-1+2017)=f(1+2017),f(-2+2017)=f(2+2017),即f(2016)=f(2018),f(2015)=f(2019),所以f(2015)<f(2016)<f(2017).故选A.9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案 C解析∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.角度3 奇偶性与周期性例5 (1)(2019·呼伦贝尔统考)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),y=f(x+2)的图象关于y轴对称,当x∈(0,2)时,f(x)=log2x2,则下列结论中正确的是( ) A.f(4.5)<f(7)<f(6.5)B.f(7)<f(4.5)<f(6.5)C.f(7)<f(6.5)<f(4.5)D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)答案 A解析由题知f(x)是以4为周期的周期函数,其图象的对称轴为x=2.因为当x∈(0,2)时,f(x)=log2x2,所以f(x)在区间(0,2)上是增函数.又f(4.5)=f(0.5),f(7)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1),f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)=f(2-0.5)=f(1.5),且0<0.5<1<1.5<2,所以f(0.5)<f(1)<f(1.5),即f(4.5)<f(7)<f(6.5).故选A.(2)(2018·广东茂名模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x),当x ∈[0,1]时,f(x)=x,若函数g(x)=|f(x)|-a e-|x|在区间[-2018,2018]上有4032个零点,则实数a的取值范围是( )A .(0,1)B .(e ,e 3)C .(e ,e 2)D .(1,e 3) 答案 B解析 f (x )满足条件f (1+x )=f (1-x )且为奇函数,则f (x )的图象关于x =1对称,且f (x )=f (2-x ),f (x )=-f (-x ),∴-f (-x )=f (2-x ),即-f (x )=f (2+x ),∴f (x +4)=f (x ),∴f (x )的周期为4.令m (x )=|f (x )|,n (x )=a e-|x |,画出m (x ),n (x )的图象如下图,可知m (x )与n (x )为偶函数,且要使m (x )与n (x )的图象有交点,需a >0,由题意知要满足g (x )在区间[-2018,2018]上有4032个零点,只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点,则⎩⎪⎨⎪⎧m n ,mn,可得e<a <e 3,故选B.触类旁通利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.,本例就是将待比较的函数值的自变量全部转化到,上,再比较大小.即时训练 10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 f (x -8)=-f (x -4)=f (x ),所以函数的周期T =8,又f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0.因为f (x )在[0,2]上是增函数,且f (x )≥0,所以f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)≤0,又x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且f(x)为减函数.同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0,从而可得y=f(x)的大致图象如图所示.因为f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0.所以f(-25)<f(80)<f(11).故选D.11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-1f x,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.答案 2.5解析由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-1f x +=-1-1f x=f(x),故函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.。

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析

第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1。

结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2。

会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1。

函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2。

函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期。

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

[常用结论与微点提醒]1。

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).2。

奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3。

函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=错误!,则T=2a(a>0)。

(3)若f(x+a)=-错误!,则T=2a(a〉0).(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a〉0,c为常数).4。

对称性的三个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a +x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.诊断自测1。

高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 文

高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 文

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考点三 函数的对称性 (2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2
-x),若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图象的交点为(x1,y1),
m
(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
i=1
A.0 C.2m
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考点二 函数的周期性
若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1
时,f(x)=4x,则 f-52+f(2)=__________. 【解析】 因为函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,
5
5
所以 f(0)=0,f(x+2)=f(x),所以 f-2+f(2)=f-2+2+f(0)
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3.函数 f(x)=1-3+x|x|在 R 上的最大值是 M,最小值是 m,
则 f(M+m)的值等于( )
A.15
2 B.5
C.35
4 D.5
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解析:选 C.设 h(x)=3+x|x|,则 h(-x)=-h(x),所以 h(x)是 一个奇函数,因为 h(x)在 R 上存在最大值和最小值,所以函 数 h(x)的最大值和最小值的和是 0,所以 M+m=2,所以 f(M +m)=f(2)=1-25=53.选 C.
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(3)奇、偶函数的等价性
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【对点通关】 1.(必修 1 P45 B 组 T6 改编)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是 增函数且最小值为 5,那么在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 解析:选 B.因为奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值 为 5,所以在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5,故选 B.

高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理

高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减 区间[4k+1,4k+3](k∈Z).(12分)
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键 是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上 的问题.
单击此处进入 活页限时训练
存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期.
一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件. 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0. (2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定 义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶 =奇.
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 .
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 ; ②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 .
3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就 称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中
第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性课件文新人教A

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性课件文新人教A

(2)[教材习题改编]设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则f-52=__-__12____.
周期性三个常用结论. 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x,最小正周期为 T. (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=____2_|a_|____;
解析:因为 f(x+2a)=f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x),所以其 最小正周期 T=2|a|.
(2)若 f(x+a)=f1x,则 T=___2_|a_|_____; 解析:因为 f(x+2a)=f(x+a+a)=fx+1 a=f(x),所以其最 小正周期 T=2|a|.
(3)若 f(x+a)=f(x+b),则 T=__|a_-__b_|__.
考点 2 函数的周期性
函数的周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的任何值时,都有__f_(_x+___T_)=__f_(_x_) _,那么就称函数 y=f(x) 为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个__最__小____的正 数,那么这个__最__小__正__数__就叫做 f(x)的最小正周期.
§2.3 函数的奇偶性与周期性
考纲展示► 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单 函数的周期性.
考点 1 函数奇偶性的判断
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任 偶函数 意一个x,都有__f_(_-_x_)_=__f_(x_)_, 关于___y_轴____对称

高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性 理-人教版高三全册数学

高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性 理-人教版高三全册数学

第二章函数与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f x,则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-1f x,则T=2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )(2)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.( √ )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ ) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.( √ )1.(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A .f (x )=x -1B .f (x )=x 2+x C .f (x )=2x -2-x D .f (x )=2x +2-x答案 D解析 D 中,f (-x )=2-x+2x=f (x ), ∴f (x )为偶函数.2.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1x,则f (-1)等于( )A .-2B .0C .1D .2 答案 A解析 f (-1)=-f (1)=-(1+1)=-2.3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x ),则f (8)的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 答案 B解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数,∴f (0)=0, 又f (x +4)=f (x ),∴f (8)=f (0)=0.4.(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (1+x ),则当x <0时,f (x )=________. 答案 x (1-x )解析 当x <0时,则-x >0,∴f (-x )=(-x )(1-x ). 又f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x )=(-x )(1-x ), ∴f (x )=x (1-x ).5.(2016·某某)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52+f (2)=________. 答案 -2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数,∴f (0)=0, 又0<x <1时,f (x )=4x, ∴f (12)=124=2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52+f (2)=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52+f (2)=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (0) =-2+0=-2.题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=2x -12x B .f (x )=x 3sin xC .f (x )=2cos x +1D .f (x )=x 2+2x答案 A解析 选项A 中,函数f (x )的定义域为R , 又f (-x )=2-x -12-x =12x -2x=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2)判断函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,-x 2+x ,x >0的奇偶性.解 当x >0时,-x <0,f (x )=-x 2+x , ∴f (-x )=(-x )2-x =x 2-x =-(-x 2+x )=-f (x ); 当x <0时,-x >0,f (x )=x 2+x , ∴f (-x )=-(-x )2-x =-x 2-x =-(x 2+x )=-f (x ).∴对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f (-x )=-f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x 的X 围取相应的解析式化简,判断f (x )与f (-x )的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.(1)(2016·海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A .y =1xB .y =lg|x |C .y =(x -1)2D .y =2x(2)函数f (x )=log a (2+x ),g (x )=log a (2-x )(a >0且a ≠1),则函数F (x )=f (x )+g (x ),G (x )=f (x )-g (x )的奇偶性是( )A .F (x )是奇函数,G (x )是奇函数B .F (x )是偶函数,G (x )是奇函数C .F (x )是偶函数,G (x )是偶函数D .F (x )是奇函数,G (x )是偶函数 答案 (1)B (2)B解析 (1)选项B 中,函数y =lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|-x |=lg|x |, ∴函数y =lg|x |是偶函数.(2)F (x ),G (x )的定义域均为(-2,2), 由已知F (-x )=f (-x )+g (-x ) =log a (2-x )+log a (2+x )=F (x ),G (-x )=f (-x )-g (-x )=log a (2-x )-log a (2+x )=-G (x ), ∴F (x )是偶函数,G (x )是奇函数. 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·某某模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,且g (x )=f (x -1),则f (2 017)+f (2 019)的值为( ) A .-1 B .1 C .0 D .无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,并且f (x +2)=-1f x,当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f (105.5)=______. 答案 (1)C (2)2.5解析(1)由题意,得g(-x)=f(-x-1),又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为4,∴f(2 017)=f(1),f(2 019)=f(3)=f(-1),又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2 017)+f(2 019)=0.(2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-1f x+2=-1-1f x=f(x).故函数的周期为4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.引申探究本例(2)中,若将f(x+2)=-1f x改为f(x+2)=-f(x),其他条件不变,求f(105.5)的值.解f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴函数的周期为4(下同例题).思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=________.答案339解析∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 015)+f (2 016) =1×2 0166=336.又f (2 017)=f (1)=1,f (2 018)=f (2)=2, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·某某质检)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f (13)的x 的取值X 围是( )A .(13,23)B .[13,23)C .(12,23)D .[12,23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,则实数a 的取值X 围为( ) A .(-1,4) B .(-2,0) C .(-1,0) D .(-1,2) 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数,所以其图象关于y 轴对称, 又f (x )在[0,+∞)上单调递增,f (2x -1)<f (13),所以|2x -1|<13,所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数, ∴f (5)=f (5-6)=f (-1)=f (1),∵f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,∴2a -3a +1<1,即a -4a +1<0,解得-1<a <4,故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·西城区模拟)函数f (x )=lg(a +21+x )为奇函数,则实数a =________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,则a +3b 的值为________.答案 (1)-1 (2)-10解析 (1)根据题意得,使得函数有意义的条件为a +21+x>0且1+x ≠0,由奇函数的性质可得f (0)=0.所以lg(a +2)=0,即a =-1,经检验a =-1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12且f (-1)=f (1), 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12, 从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,即b =-2a .②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:①f (x )为偶函数⇔f (x )=f (|x |).②若奇函数在x =0处有意义,则f (0)=0.(1)若f (x )=ln(e 3x+1)+ax 是偶函数,则a =________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11) 答案 (1)-32(2)D解析 (1)函数f (x )=ln(e 3x+1)+ax 是偶函数,故f (-x )=f (x ),即ln(e-3x+1)-ax =ln(e 3x+1)+ax ,化简得ln 1+e 3xe 3x +e 6x =2ax =ln e 2ax ,即1+e 3xe 3x +e6x =e 2ax ,整理得e 3x +1=e2ax +3x (e 3x+1),所以2ax +3x =0,解得a =-32.(2)因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x -4)=-f (x ), 得f (11)=f (3)=-f (-1)=f (1).因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,f (x )在R 上是奇函数, 所以f (x )在区间[-2,2]上是增函数, 所以f (-1)<f (0)<f (1). 所以f (-25)<f (80)<f (11).2.抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到,常常涉及求函数的定义域,由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现,有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象,易失分,应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例 1 已知函数y =f (x )的定义域是[0,8],则函数g (x )=f x 2-12-log 2x +1的定义域为________.解析 要使函数有意义, 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2-1≤8,x +1>0,2-log 2x +1≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9,x >-1,x ≠3,解得1≤x <3,所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0,f (x +2)=1f x,对任意x ∈R 恒成立,则f (2 019)等于( ) A .4 B .3 C .2 D .1 解析 因为f (x )>0,f (x +2)=1f x,所以f (x +4)=f [(x +2)+2]=1fx +2=11f x=f (x ),即函数f (x )的周期是4,所以f (2 019)=f (505×4-1)=f (-1). 因为函数f (x )为偶函数, 所以f (2 019)=f (-1)=f (1). 当x =-1时,f (-1+2)=1f-1,得f (1)=1f 1. 即f (1)=1,所以f (2 019)=f (1)=1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ).若f (3)=1,且f (a )>f (a -1)+2,某某数a 的取值X 围. 规X 解答解 因为f (xy )=f (x )+f (y )且f (3)=1, 所以2=2f (3)=f (3)+f (3)=f (9).又f (a )>f (a -1)+2,所以f (a )>f (a -1)+f (9). 再由f (xy )=f (x )+f (y ),可知f (a )>f [9(a -1)], 因为f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,9a -1>0,a >9a -1,解得1<a <98.故所某某数a 的取值X 围是(1,98).1.(2017·某某质检)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A .y =1xB .y =|x |-1C .y =lg xD .y =(12)ln x答案 B解析 对于A ,y =1x为奇函数;对于C ,y =lg x 的定义域为(0,+∞); 对于D ,y =(12)ln x的定义域为(0,+∞).2.(2016·某某模拟)已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( )A .-13 B.13 C .-12 D.12答案 B解析 依题意得f (-x )=f (x ), ∴b =0,又a -1=-2a , ∴a =13,∴a +b =13,故选B.3.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(-2,0)时,f (x )=2x 2,则f (2 019)等于( )A .-2B .2C .-98D .98 答案 B解析 由f (x +4)=f (x )知,f (x )是周期为4的周期函数,f (2 019)=f (504×4+3)=f (3),又f (x +4)=f (x ),∴f (3)=f (-1), 由-1∈(-2,0)得f (-1)=2, ∴f (2 019)=2.4.已知f (x )=lg(21-x +a )为奇函数,则使f (x )<0的x 的取值X 围是( )A .(-∞,0)B .(-1,0)C .(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 B解析 由f (x )+f (-x )=0,即lg(21-x +a )+lg(21+x +a )=lg2+a 2-a 2x21-x2=lg 1=0可得a =-1,所以f (x )=lg 1+x 1-x ,解得0<1+x1-x<1,可得-1<x <0.5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x 0<x ≤8,log 2x x >8,则f (f (-16))等于( )A .-12B .-32 C.12 D.32 答案 C解析 由题意f (-16)=-f (16)=-log 216=-4,故f (f (-16))=f (-4)=-f (4)=-cos 4π6=12. *6.(2016·某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ 答案 C 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f (-x )=f (x )且f (x )在(0,+∞)上单调递减.由f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2)可得2|a -1|<2,即|a -1|<12,所以12<a <32. 7.(2016·某某四校联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ,x >0,g x ,x <0,若f (x )为奇函数,则g (-14)=________. 答案 2解析 g (-14)=f (-14)=-f (14) =-log 214=-log 22-2=2. 8.(2016·某某模拟)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1+x ),则f (-52)=________. 答案 -32解析 因为f (x )是周期为2的奇函数,所以f (-52)=-f (52)=-f (12)=-[2×12(1+12)]=-32. 9.函数f (x )在R 上为奇函数,且当x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________. 答案 --x -1解析 ∵f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x +1,∴当x <0时,-x >0,f (-x )=-x +1=-f (x ),即x <0时,f (x )=-(-x +1)=--x -1.10.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )=2x ,则有:①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f (x )的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.答案 ①②解析 在f (x +1)=f (x -1)中,令x -1=t ,则有f (t +2)=f (t ),因此2是函数f (x )的周期,故①正确;当x ∈[0,1]时,f (x )=2x 是增函数,根据函数的奇偶性知,f (x )在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max =f (1)=2,f (x )的最小值f (x )min =f (0)=f (2)=20=1且f (x )是周期为2的周期函数,∴f (x )的最大值是2,最小值是1,故③错误.11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数. (1)某某数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,某某数a 的取值X 围.解 (1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时,f (x )=x 2+mx =x 2+2x ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a -2>-1,a -2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值X 围是(1,3].12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018).(1)证明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)解∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,又f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].(3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=f(0)+f(1)+f(2)=1.*13.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值X围.解(1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),∴f (-1)=12f (1)=0. 令x 1=-1,x 2=x 有f (-x )=f (-1)+f (x ), ∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2, 由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16). 又f (x )在(0,+∞)上是增函数,∴0<|x -1|<16,解之得-15<x <17且x ≠1, ∴x 的取值X 围是{x |-15<x <17且x ≠1}.。

(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习

(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习

§2.3 函数的奇偶性与周期性1.奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称;奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于,即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x),如果存在一个T,使得当x取定义域内的值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数,且在[a,b]上为增(减)函数,则f(x)在[-b,-a]上为;(2)若函数f (x )为偶函数,且在[a ,b ]上为增(减)函数,则f (x )在[-b ,-a ]上为 .6.奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇= ,偶±偶= ,奇×奇= ,偶×偶= ,奇×偶= .7.函数的对称性如果函数f (x ),x ∈D ,满足∀x ∈D ,恒有f (a +x )=f (b -x ),那么函数的图象有对称轴x =a +b2;如果函数f (x ),x ∈D ,满足∀x ∈D ,恒有f (a -x )=-f (b +x ),那么函数的图象有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,0. 8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x =a ,x =b (a <b ),则函数f (x )是周期函数,且周期T =2(b -a )(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ,0),B (b ,0)(a <b ),那么函数f (x )是周期函数,且周期T =2(b -a ).(3)如果函数f (x ),x ∈D 在定义域内有一条对称轴x =a 和一个对称中心B (b ,0)(a ≠b ),那么函数f (x )是周期函数,且周期T =4|b -a |.自查自纠1.(1)f (-x )=f (x ) (2)f (-x )=-f (x ) 2.y 轴 原点3.原点对称 原点对称 必要不充分4.(1)非零常数 每一个 f (x +T )=f (x ) (2)最小 5.(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6.奇 偶 偶 偶 奇(2015·广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A .y =x +e xB .y =x +1xC .y =2x+12xD .y =1+x2解:令f (x )=x +e x,则f (1)=1+e ,f (-1)=-1+e -1,有f (1)±f (-1)≠0,∴y =x +e x既不是奇函数也不是偶函数,而选项B ,C ,D 中的函数依次是奇函数,偶函数,偶函数.故选A .(2014·福建)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x2+1,x >0,cosx , x≤0, 则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数 B .f (x )是增函数 C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)解:由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数,不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D .(2014·湖南)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .3解:用“-x ”代替“x ”,得f (-x )-g (-x )=(-x )3+(-x )2+1,化简得f (x )+g (x )=-x 3+x 2+1,令x =1,得f (1)+g (1)=1.故选C .(2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x2+2,-1≤x<0,x , 0≤x<1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=________.解:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-122+2=1.故填1.若函数f (x )=x ln(x +a +x2)为偶函数,则实数a =____________.解:∵函数f (x )是偶函数,∴f (x )=f (-x ), 即x ln(x +a +x2)=-x ln(-x +a +x2), ∴x +a +x2=1-x +a +x2,得a =1.故填1.类型一 函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=(x +1)1-x1+x; (2)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x2+2x +1,x >0,x2+2x -1,x <0;(3)f (x )=4-x2x; (4)f (x )=x2-1+1-x2;(5)f (x )=log a (x +x2+1)(a >0且a ≠1). 解:(1)定义域要求1-x1+x≥0,∴-1<x ≤1, ∴f (x )的定义域不关于原点对称, ∴f (x )不具有奇偶性.(2)解法一(定义法):当x >0时,f (x )=-x 2+2x +1,-x <0,f (-x )=(-x )2+2(-x )-1=x 2-2x -1=-f (x );当x <0时,f (x )=x 2+2x -1,-x >0,f (-x )=-(-x )2+2(-x )+1=-x 2-2x +1=-f (x ).∴f (x )为奇函数.解法二(图象法):作出函数f (x )的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数.,≠0x 且≤2x 2≤-∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4-x2≥0,x≠0,(3)∵ ∴定义域关于原点对称.,4-x2x=-4-(-x )2-x =)x -(f 又 ∴f (-x )=-f (x ). 故函数f (x )为奇函数.(4)∵f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,又f (-1)=f (1)=0,即f (-1)=f (1),且f (-1)=-f (1),故f (x )既是奇函数,又是偶函数.(5)∵函数的定义域为R ,又∵f (-x )+f (x ))x2+1+x (a log +](-x )2+1+x -[a log = )x +x2+1(a log +)x -x2+1(a log = )]x +x2+1)(x -x2+1[(a log = 0.=1a log =)2x -1+2x (a log = 即f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是:①求函数定义域,看定义域是否关于原点对称,若不对称,则既不是奇函数,也不是偶函数;②验证f (-x )是否等于±f (x ),或验证对于分段函数的奇(2)是否成立.)≠0)x (f ±1(=f (-x )f (x )或0=)x -(f ±)x (f 其等价形式偶性应分段验证,但比较繁琐,且容易判断错误,通常是用图象法来判断.(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f (-x )±f (x )=0”来判断.=)x (f 若函数)2015·安徽模拟(1)( ________.=k 则实数,在定义域上为奇函数k -2x1+k·2x,k·2x-12x +k=k -2-x 1+k·2-x =)x -(f ∵解: ∴f (-x )+f (x )(k -2x )(2x +k )+(k·2x-1)(1+k·2x)(1+k·2x)(2x +k )=.(k2-1)(22x +1)(1+k·2x)(2x +k )= .1±故填±1.=k ∴,1=2k 均成立可得x 对定义域中的0=)x (f +)x -(f 由判断函数的奇偶性..1-x1+xln=)x (f 已知函数(2) =)x -(f .又)1,1-(的定义域为1-x1+xln =)x (f 即,1<x <1得-,0>1-x 1+x 由解:为奇函数.)x (f 故,)x (f =-1-x 1+x ln =--1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x ln =1+x 1-x ln判断函数的奇偶性.1.+)x 3-1+9x2(ln =)x (f 已知函数(3) .R 的定义域为)x (f 故函数,R ∈x 得,0>x 3-1+9x2令解: 不是奇函)x (f 故,2=1+)x 3+1+9x2(ln +1+)x 3-1+9x2(ln =)x -(f +)x (f 数;,2)x 3-1+9x2(ln =1-)x 3+1+9x2(ln -1+)x 3-1+9x2(ln =)x -(f -)x (f 不恒为0,故f (x )不是偶函数. 综上得f (x )不具有奇偶性.判断函数的奇偶性..lg (4-x2)|x -2|+|x +4|=)x (f 已知函数(4) <x <2-|x {的定义域是)x (f 即函数,2<x <2得- ⎩⎪⎨⎪⎧4-x2>0,|x -2|+|x +4|≠0,由解:2}.,)2x -(4lg 16=lg (4-x2)2-x +x +4=lg (4-x2)|x -2|+|x +4|=)x (f 又 是偶函数.)x (f 故函数,)x (f =)2x -(4lg 16=]2)x -(-[4lg 16=)x -(f ∴判断函数的奇偶性.⎩⎪⎨⎪⎧x2+x , x <0,-x2+x ,x >0.=)x (f 已知函数(5) ,0>x -,x +2x =)x (f ,时0<x 当解: ;)x (f =-x -2x =-x -2)x -(=-)x -(f ,0<x -,x +2x =-)x (f ,时0>x 当 是奇函数.)x (f ∴.)x (f =-x -2x =x -2)x -(=)x -(f 类型二 利用函数性质求解析式已知函数f (x )满足f (x )·f (x +2)=13.(1)求证:f (x )是周期函数; (2)若f (1)=2,求f (99)的值;(3)若当x ∈[0,2]时,f (x )=x ,试求x ∈[4,8]时函数f (x )的解析式.=4)+x (f 得x 代替2+x 用.13f (x )=2)+x (f 则,)≠0x (f 证明:由题意知(1)解:的周期.)x (f 为4且,为周期函数)x (f 故,)x (f =13f (x +2).132=13f (1)=(3)f =3)+(24×4f =(99)f 则,2=(1)f 若(2)(3)当x ∈[4,6]时,x -4∈[0,2],则f (x -4)=x -4,又周期为4,所以f (x )=f (x-4)=x -4.当x ∈(6,8]时,x -6∈(0,2],则f (x -6)=x -6,根据周期为4,则f (x +2)=f (x-6)=x -6.又f (x )·f (x +2)=13, .13x -6=13f (x +2)=)x (f 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x -4,4≤x≤6,13x -6,6<x≤8.=)x (f 所以解析式为 【点拨】本题存在规律性:若f (x +a )·f (x )=b (常数),则2a 为f (x )的周期(a >为a 2均可推得,1f (x )=-)a +x (f 或1f (x )=)a +x (f 或)x (f =-)a +x (f ,;同理0)f (x )的周期(a >0).是定义域)x (f 设)2015·山东模拟( 为R 的周期函数,最小正周期为2,且f (1+x )=f (1-x ).当-1≤x ≤0时,f (x )=-x .(1)判定f (x )的奇偶性;(2)试求出函数f (x )在区间[-1,2]上的表达式. 解:(1)∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (-x )=f (2+x ).又f (x +2)=f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0,1]时,-x ∈[-1,0],则f (x )=f (-x )=x ;进而当x ∈[1,2]时,x -2∈[-1,0],f (x )=f (x -2)=-(x -2)=-x +2.⎩⎪⎨⎪⎧-x , x∈[-1,0),x , x∈[0,1),-x +2,x∈[1,2].=)x (f 故所求为类型三 奇偶性与单调性的综合设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),则实数m 的取值范围是________________.解:∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x )=f (|x |).∴f (1-m )<f (m )⇔f (|1-m |)<f (|m |).又当x ∈[0,2]时,f (x )是减函数,.12<m 1≤解得- ⎩⎪⎨⎪⎧|1-m|>|m|,-2≤1-m≤2,-2≤m≤2.∴ .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12故填 【点拨】在解题过程中抓住偶函数的性质,将1-m ,m 转化到同一单调区间上,避免了由于单调性不同导致1-m 与m 大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化.另外,不要忘记定义域.π2≤θ0≤若,x +3x =)x (f 设函数 时,f (m cos θ)+f (1-m )>0恒成立,求实数m 的取值范围.cosm (f 得)>0m -(1f +)θcos m (f 故由,上的奇函数与增函数R 是x +3x =)x (f 解:成立.当⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2∈θ对任意)<1θcos -(1m 即,1-m >θcos m ,1)-m (f =)m -(1f -)>θ∈θcos -1,)1,[0∈θcos ,时⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2∈θ成立;当)<1θcos -(1m 不等式,时0=θ的取m ,因此<1.m 即,11-cosθ<m 得,)<1θcos -(1m .由∞)+,[1∈11-cosθ,]1,(0值范围是(-∞,1).类型四 函数周期性和奇偶性的应用是)R ∈x )(x (f 若函数)2014·安徽( 则⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x≤1,sinπx, 1<x≤2,=)x (f 上的解析式为]2,[0且在,的奇函数4周期为________.=⎝ ⎛⎭⎪⎫416f +⎝ ⎛⎭⎪⎫294f+⎝⎛⎭⎪⎫2×4-34f =⎝ ⎛⎭⎪⎫416f +⎝ ⎛⎭⎪⎫294f 所以,的奇函数4是周期为)x (f 由于函数解:.516故填.516=12+316=-⎝ ⎛⎭⎪⎫76f -⎝ ⎛⎭⎪⎫34f =-⎝ ⎛⎭⎪⎫-76f +⎝ ⎛⎭⎪⎫-34f =⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4-76f 【点拨】借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题,在周期未明确指出的情况下,注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)解:f (x -8)=-f (x -4)=f (x ),∴T =8,又f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.∵f (x )在[0,2]上是增函数,且f (x )≥0, ∴f (x )在[-2,0]上也是增函数,且f (x )≤0,又x ∈[2,4]时,f (x )=-f (x -4)≥0,且f (x )为减函数.同理f (x )在[4,6]上为减函数且f (x )≤0, 从而可得y =f (x )的大致图象如图所示.∵f (-25)=f (-1)<0,f (11)=f (3)>0,f (80)=f (0)=0.∴f (-25)<f (80)<f (11),故选D .1.判断函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,如果函数定义域不关于原点对称,那么它不具有奇偶性),若定义域关于原点对称,再判断f (-x )与f (x )的关系,从而确定函数的奇偶性.2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了方便判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f (-x )=±f (x )⇔f (-x )∓f (x )=0⇔进行判断.)≠0)x (f ±1(=f (-x )f (x )3.判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法:根据定义判断.(2)图象法:函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性,f (x )为奇函数的充要条件是函数f (x )的图象关于原点对称;f (x )为偶函数的充要条件是函数f (x )的图象关于y 轴对称.(3)运用奇、偶函数的运算结论.要注意定义域应为两个函数定义域的交集.4.判断周期函数的一般方法(1)定义法:应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化.运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算.(2)公式法:若函数f (x )是周期函数,且周期为T ,则函数f (ax +b )(a ≠0)也为周期.T |a|=′T 且周期,函数 5.函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式,求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时,一定要注意区间的转换.如:若x >0,则-x <0;若1<x <2,则3<x +2<4等.如果要研究其值域、最值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上.6.解题中要注意以下性质的灵活运用 (1)f (x )为偶函数⇔f (x )=f (|x |);(2)若奇函数f (x )在x =0处有定义,则f (0)=0;(3)若f (x )既是奇函数,又是偶函数,则它的图象一定在x 轴上.) (下列函数为奇函数的是)2015·福建(.1 x =y .A xe =y .Bx cos =y .Cx-e -xe =y .D =xe -x-e =)x -(f 则,x-e -xe =)x (f 令,中的函数均不是奇函数C ,B ,A 显然解:-f (x ),是奇函数.故选D .是偶)x (g ,是奇函数)x (f 且,R 的定义域都为)x (g ,)x (f 设函数)2014·课标Ⅰ(.2函数,则下列结论正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数 解:f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,故f (x )g (x )为奇函数,|f (x )|g (x )为偶函数,f (x )|g (x )|为奇函数,|f (x )g (x )|为偶函数.故选C .则满足不等式,上单调递减∞)+,[0在区间)x (f 已知偶函数)2013·沈阳一模(.3)(的取值范围是x 成立的⎝ ⎛⎭⎪⎫53f 1)>-x (2f ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-13,43A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,43B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,43D. 解:因为偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,所以f (x )在区间(-∞,0]上单调.B 故选.43<x <13解得-,531<-x <253则-,⎝ ⎛⎭⎪⎫53f 1)>-x (2f 若,递增 4.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (2)=0,对任意的x ∈R ,都有f (x+4)=f (x )+f (4)成立,则f (2016)的值为( ) A .4024 B .2016 C .2012D .0 解:函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (2)=0,则f (-2)=0.∵f (x +4)=f (x )+f (4),∴令x =-2,得f (2)=f (-2)+f (4),∴f (4)=0.∴f (x +4)=f (x ),即4为f (x )的周期.∴f (2016)=f (504×4+0)=f (0),因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (0)=0,故f (2016)=0.故选D .内是增函)0,∞-(为奇函数且在)x (f 设)2015·湖北省襄阳市高三第一次调研(.5数,f (-2)=0,则xf (x )>0的解集为( )A .(-∞,-2)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-2,0)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2)解法一:由题意得f (x )在(0,+∞)内是增函数,且f (2)=-f (-2)=0.作出符合条件的f (x )的大致图象如图所示,易得xf (x )>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).解法二:由已知得x <-2时,f (x )<0,故xf (x )>0;当-2≤x <0时,f (x )≥0,xf (x )≤0.又f (x )为奇函数,则f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (2)=0.故0<x ≤2时,xf (x )≤0;当x >2时,xf (x )>0.因此,xf (x )>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A .-(2f =)x (f 若,)x (′f 上的导函数是R 在定义域)x (f 函数)2015·衡水模拟(.6则,)82log (f =c ,)2(f =b ,(0)f =a 设,<0)x ′(f )1-x (,时)1,∞-∈(x 且当,)x ( )A .a <b <cB .a >b >cC .c <a <bD .a <c <b 解:当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,得f ′(x )>0,所以函数在(-∞,1)上单调递增,又f (x )=f (2-x ),得函数f (x )的图象关于直线x =1对称,所以函数f (x )图象得,1-20>-1>1-82log 所以,3=82log 越近函数值越大.又1=x 上的点距离.C .故选)82log (f (0)>f )>2(f 则,a =)b (g 且,2+x-a -x a =)x (g +)x (f 满足)x (g 与偶函数)x (f 已知奇函数.7f (2)的值为.,为奇函数)x (f 又,2+xa -x-a =)x -(g +)x -(f ,2+x-a -xa =)x (g +)x (f ∵解:22=(2)f ,2=a ∴,2=)x (g ,x -a -x a =)x (f 2.∴-x -a -x a =)x (g -)x (f ∴,为偶函数)x (g .154故填.154=2-2- ,1)>0-x (f 若0.=(2)f ,单调递减∞)+,[0在)x (f 已知偶函数)2014·课标Ⅱ(.8则x 的取值范围是_________.解:∵f (x )是偶函数,∴f (x -1)>0⇔f (|x -1|)>0=f (2),又∵f (x )在[0,+∞)单调递减,∴|x -1|<2,解之得-1<x <3.故填(-1,3). 9.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且满足: .2x =)x (f ,时≤1x 0≤当②;)x -(2f =)x (f ① (1)判断函数f (x )是否为周期函数;(2)求f (5.5)的值.是周期)x (f ⇒2)+x (f =)x (f ⇒)x -(2f =)x -(f ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧f (x )=f (2-x ),f (x )=f (-x )由(1)解:为2的周期函数.(2)f (5.5)=f (4+1.5)=f (1.5)=f (2-1.5)=f (0.5)=0.25.10.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x +2)=-f (x ),当.2x -x 2=)x (f ,时]2,∈[0x (1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式; (3)计算f (0)+f (1)+…+f (2016)的值. 解:(1)证明:因为f (x +2)=-f (x ),所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x ), 因此,f (x )是以4为周期的函数. (2)x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2], ,是奇函数)x (f 因为,2x -x 2=-)x -(f ,2x +x 2=)2x -x 2-(=-)x -(f =-)x (f 所以 当x ∈[2,4]时,x -4∈[-2,0],,为周期4以)x (f 因为,24)-x (+4)-x 2(=4)-x (f 所以 8.+x 6-2x =4)-x 2(+24)-x (=4)-x (f =)x (f 所以 (3)由(1)、(2)可知f (0)=0,f (1)=1,f (2)=0,f (3)=-1,所以f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2016)=504×[f (0)+f (1)+f (2)+f (3)]+f (2016)=0.=y 讨论函数,的不同取值a 根据.2x +a2x -a=)x (f 函数,≥0a 设常数)2014·上海(.11f (x )的奇偶性,并说明理由. ,≥0a 且2x +a2x -a=)x (f ∵解: ∴①当a =0时,f (x )=1,x ∈R , ∴对任意的x ∈R 都有f (x )=f (-x ),∴y =f (x )为偶函数;,0≠x ,2x +12x -1=)x (f ,时1=a 当② ,1+2x1-2x=2-x +12-x -1=)x -(f ∴对任意的x ≠0且x ∈R 都有f (x )=-f (-x ), ∴y =f (x )为奇函数;,}R ∈x ,a 2log ≠x |x {定义域为,时≠1a 且≠0a 当③ ∴定义域不关于原点对称,∴y =f (x )为非奇非偶函数.的定义)x (f 奇函数)2014·全国大纲( 域为R ,若f (x +2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( )A .-2B .-1C .0D .1解:由f (x +2)为偶函数可得f (x +2)=f (-x +2),由于函数f (x )是奇函数,故f (-x +2)=-f (x -2),所以f (x +2)=-f (x -2),以x +2代x 得f (x +4)=-f (x ),故f (x+8)=-f (x +4)=f (x ),所以8是函数f (x )的一个周期,所以f (9)=f (1)=1,又f (8)=f (0)=0,所以f (8)+f (9)=1.故选D .。

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第3讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1.判断函数的奇偶性.2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用.【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.基础梳理1.奇、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.两个性质(1)若奇函数f (x )在x =0处有定义,则f (0)=0.(2)设f (x ),g (x )的定义域分别是D 1,D 2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x ),且f (2b -x )=f (x )(其中a <b ),则:y =f (x )是以2(b -a )为周期的周期函数. (3)若f (x +a )=-f (x )或f (x +a )=1f x或f (x +a )=-1f x,那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2a ;(3)若f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ),那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2|a -b |.双基自测 1.(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=( ).A.-12B.-14C.14D.12解析 因为f (x )是周期为2的奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-12.故选A.答案 A2.(2012·福州一中月考)f (x )=1x-x 的图象关于( ).A .y 轴对称B .直线y =-x 对称C .坐标原点对称D .直线y =x 对称解析 f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f (-x )=1-x -(-x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -x =-f (x ),则f (x )为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C3.(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ).A .f (x )+|g (x )|是偶函数B .f (x )-|g (x )|是奇函数C .|f (x )|+g (x )是偶函数D .|f (x )|-g (x )是奇函数解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选A. 答案 A4.(2011·福建)对于函数f (x )=a sin x +bx +c (其中,a ,b ∈R ,c ∈Z ),选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (-1),所得出的正确结果一定不可能是( ). A .4和6 B .3和1 C .2和4D .1和2解析 ∵f (1)=a sin 1+b +c ,f (-1)=-a sin 1-b +c 且c ∈Z ,∴f (1)+f (-1)=2c 是偶数,只有D 项中两数和为奇数,故不可能是D. 答案 D5.(2011·浙江)若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________.解析 法一 ∵f (-x )=f (x )对于x ∈R 恒成立,∴|-x +a |=|x +a |对于x ∈R 恒成立,两边平方整理得ax =0对于x ∈R 恒成立,故a =0. 法二 由f (-1)=f (1), 得|a -1|=|a +1|,得a =0. 答案0考向一 判断函数的奇偶性【例1】►下列函数:①f (x )= 1-x 2+ x 2-1;②f (x )=x 3-x ;③f (x )=ln(x +x 2+1);④f (x )=3x -3-x2;⑤f (x )=lg 1-x1+x .其中奇函数的个数是( ).A .2B .3C .4D .5 [审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断.解析 ①f (x )=1-x 2+x 2-1的定义域为{-1,1},又f (-x )=±f (x )=0, 则f (x )=1-x 2+x 2-1是奇函数,也是偶函数; ②f (x )=x 3-x 的定义域为R ,又f (-x )=(-x )3-(-x )=-(x 3-x )=-f (x ), 则f (x )=x 3-x 是奇函数;③由x +x 2+1>x +|x |≥0知f (x )=ln(x +x 2+1)的定义域为R ,又f (-x )=ln(-x +-x2+1)=ln1x +x 2+1=-ln(x +x 2+1)=-f (x ), 则f (x )为奇函数;④f (x )=3x -3-x2的定义域为R ,又f (-x )=3-x-3x 2=-3x -3-x2=-f (x ),则f (x )为奇函数;⑤由1-x 1+x >0得-1<x <1,f (x )=ln 1-x1+x 的定义域为(-1,1),又f (-x )=ln 1+x 1-x =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-ln 1-x 1+x =-f (x ), 则f (x )为奇函数. 答案 D判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断. 【训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=4-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=x 2-|x -a |+2.解 (1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0,|x +3|-3≠0,得-2≤x <0,或0<x ≤2,因此函数f (x )的定义域是[-2,0)∪(0,2], 则f (x )=4-x2x.f (-x )=4--x2-x =-4-x2x=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域是(-∞,+∞). 当a =0时,f (x )=x 2-|x |+2,f (-x )=x 2-|-x |+2=x 2-|x |+2=f (x ).因此f (x )是偶函数; 当a ≠0时,f (a )=a 2+2,f (-a )=a 2-|2a |+2,f (-a )≠f (a ),且f (-a )≠-f (a ).因此f (x )既不是偶函数也不是奇函数.考向二 函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )=x ⎝⎛⎭⎪⎫12x -1+12(x ≠0).(1)判断f (x )的奇偶性;(2)证明:f (x )>0.[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解 法一 f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ∵f (x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1+12=x 2·2x+12x -1.∴f (-x )=-x 2·2-x+12-x -1=x 2·2x+12x -1=f (x ).故f (x )是偶函数.法二 f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f (1)=32,f (-1)=32,∴f (x )不是奇函数.∵f (x )-f (-x )=x ⎝⎛⎭⎪⎫12x -1+12+x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x -1+12=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1+2x1-2x +1=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x2x -1+1=x (-1+1)=0,∴f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数. (2)证明 当x >0时,2x>1,2x-1>0, 所以f (x )=x ⎝⎛⎭⎪⎫12x -1+12>0.当x <0时,-x >0,所以f (-x )>0,又f (x )是偶函数, ∴f (-x )=f (x ),所以f (x )>0. 综上,均有f (x )>0.根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.【训练2】 已知奇函数f (x )的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f (1-m )+f (1-m 2)<0的实数m 的取值范围. 解 ∵f (x )的定义域为[-2,2],∴有⎩⎪⎨⎪⎧-2≤1-m ≤2,-2≤1-m 2≤2,解得-1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减,∴f (1-m )<-f (1-m 2)=f (m 2-1)⇒1-m >m 2-1, 即-2<m <1.②综合①②可知,-1≤m <1.考向三 函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,且f (x )的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f (x )=2x-1, (1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[1,2]时,求f (x )的解析式;(3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2013)的值.[审题视点] (1)只需证明f (x +T )=f (x ),即可说明f (x )为周期函数;(2)由f (x )在[0,1]上的解析式及f (x )图象关于x =1对称求得f (x )在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值.(1)证明 函数f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ),函数f (x )的图象关于x =1对称,则f (2+x )=f (-x )=-f (x ),所以f (4+x )=f [(2+x )+2]=-f (2+x )=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.(2)解 当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],又f (x )的图象关于x =1对称,则f (x )=f (2-x )=22-x-1,x ∈[1,2].(3)解 ∵f (0)=0,f (1)=1,f (2)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-1又f (x )是以4为周期的周期函数. ∴f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2013) =f (2 012)+f (2 013)=f (0)+f (1)=1.判断函数的周期只需证明f (x +T )=f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T ,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,且g (x )=f (x -1),则f (2 013)+f (2 015)的值为( ). A .-1 B .1 C .0 D .无法计算 解析 由题意,得g (-x )=f (-x -1),又∵f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,∴g (-x )=-g (x ),f (-x )=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为4,∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1),又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2 013)+f(2 015)=0.答案 C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为f-x与f x的相等或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为f x+T与f x的关系,它们都与f x有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间.第(1)问先求函数f(x)的周期,再求f(π);第(2)问,推断函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,再结合周期画出图象,由图象易求面积;第(3)问,由图象观察写出.[解答示范] (1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,(2分)∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(4分)(2)由f (x )是奇函数与f (x +2)=-f (x ),得:f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)],即f (1+x )=f (1-x ).故知函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称.(6分)又0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图象关于原点成中心对称,则f (x )的图象如图所示.(8分)当-4≤x ≤4时,f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1=4.(10分)(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k -1,4k +1](k ∈Z ),单调递减区间[4k +1,4k +3](k ∈Z ).(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【试一试】 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)[尝试解答] 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知,f (x )在[-2,2]上递增,又f (x -4)=-f (x )⇒f (x -8)=-f (x -4)=f (x ),故函数f (x )以8为周期,f (-25)=f (-1),f (11)=f (3)=-f (3-4)=f (1),f (80)=f (0),故f (-25)<f (80)<f (11).故选D. 答案 D。

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