2018届中考北师大版数学一轮复习第36讲：数学思想方法问题课件 (共37张PPT)
中考数学全程大一轮复习课件专题1 数学思想方法
根据结论①可知，b＝3a，∴5a－2b＋c＝5a－6a＋c＝－a＋c，观察图象可知，a<0，
c>0，∴5a－2b＋c＝－a＋c>0，结论③正确；
根据抛物线的轴对称性可知，抛物线与 x 轴的右交点在原点与点(1,0)之间(不含这
两点)，∴当 x＝1 时，y＝a＋b＋c<0.∵a＝13b，∴43b＋c<0，∴4b＋3c<0，∴结论
2 10 点 B.如果它运动的路径是最短的，那么 AC 的长为 3 .
图3
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【解析】 如答图，将正方体展开，使右面、后面的正方形与前面的正方形在一 个面上，此时 AB 最短．
例 2 答图 易得△BCM∽△ACN，∴BAMN ＝MNCC，
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即42＝MNCC＝2，∴MC＝2NC. ∴CN＝13MN＝23. 在 Rt△ACN 中，根据勾股定理，得 AC＝ AN2＋CN2＝2 310. 【点悟】 本题采用了将立体图形向平面图形转化的方法，这样能使复杂的问题 简单化，直观明了．
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【变式训练】
1．(2019·凉山)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图 2 所示，有以下结论：①
3a－b＝0；②b2－4ac>0；③5a－2b＋c>0；④4b＋3c>0.其中错误结论的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
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图2
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【解析】 根据对称轴－2ba＝－32，得 b＝3a，故可得 3a－b＝0，∴结论①正确； 由于抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，结论②正确；
解：(1)如答图，过点 M 作 MN⊥BO 于点 N.
专题数学思想方法北师大版数学课件
分类必须是同一个标准；③分类讨论要注意层次性，逐级进行.
3.依据所分情况，逐一讨论 4.归纳总结
BD2 2 5；③若∠CDA=90°，如图中的点D3，作D3E⊥BD1，
应用勾股定理解得 BD3 10. 答案： 或2 5或 10 4
应用分类讨论思想解决问题的一般步骤 1.确定被讨论的对象及全体 2.统一标准，合理分类，做到不重不漏 (1)分类的方法：分类讨论一般按照数量差异或位置差异进行 分类 (2)分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次
1.(2011·芜湖中考)如图,从边长为(a+4) cm的正方形纸片中 剪去一个边长为(a+1) cm的正方形(a＞0),剩余部分沿虚线又 剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为( )
(A)(2a2+5a) cm2 (C)(6a+9) cm2
(B)(3a+15) cm2 (D)(6a+15) cm2
2.与分式、根式有关的问题应用等式的性质转化成整式来求
解.
3.多边形的问题转化为三角形或四边形的问题求解.
分类讨论思想方法 【例2】(2011·浙江中考)解关于x的不等式组：
a x 2 ＞x 3 9 a x ＞9a 8 ① ② .
【思路点拨】解关于x的不等式，以a的取值分情况讨论.
(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是:AE___DB(填“＞”、“＜”
或“=”).理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长.(请你直接写出结 果).
中考数学复习 数学思想方法专题 优质课件
例3 抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数
y=-bx-4ac+b2与反比例函数y= a b c在同一坐标系内
的图象大致为( )
x
【解析】 从抛物线的图象可知：开口向上,∴a＞0, 当x＝1时，抛物线的图象在x轴的下方， ∴∴a由+ab++bc+＜c0＜,又0，由得x＝反比2a例b ＞函0数及ya=＞a0可bx 得c 的b图＜象0，在第二、 四象限，由b＜0即-b＞0可知一次函数y=-bx-4ac+b2的图 象过第一、三象限，综上就应选D.
❖例4、已知△ABC内接于⊙ O，∠OBC=400 ， 则∠A=__5_0_或_1_3_0度
A
500
●O
1000
400
C
B
1300
A
❖ 例3、在⊙O中弦AB平行于弦CD，AB=6，
CD=8，圆半径为5，则AB、CD之间的距离是 _____1_或_7_.
A C
E
B
∟
●O D
F
❖ 例题4. 相交两圆的半径分别是8cm和5cm，公共弦长为
专题考点一 整体思想
• 整体思想：整体是与局部相对应的，按常规不易求某一个 或多个未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把 一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
2a-3b=13
a=8.3
【例1】（2020淮北模拟）若方程
的解是
•
3a+5b=30.9
b=1.2
•
2(x+2)-3(y-1)=13
∵b＞0,x＞0，∴2bx＞0.
∴a 2 ＋b 2 ＜c 2.
专题考点三 数形结合思想
《数一数》(教案)北师大版四年级上册数学
《数一数》（教案）北师大版四年级上册数学一、教学内容本节课的教学内容为北师大版四年级上册数学第36页例1以及第37页的练习。
例1展示了如何数一数图片中的物品，并引导学生通过数数来解决问题。
练习部分则提供了多个数数的任务，让学生在实际操作中巩固所学知识。
二、教学目标通过本节课的学习，学生能够：1. 运用数数的方法解决实际问题；2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和数学思维能力；3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：培养学生运用数数的方法解决问题的能力。
难点：引导学生发现数数的规律，并能灵活运用规律解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：PPT、图片、练习题等。
学具：学生自带的铅笔、橡皮、练习本等。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）出示一组图片，让学生观察并数一数图片中的物品。
通过实际操作，让学生感受到数数在生活中的应用。
2. 例题讲解（10分钟）3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4. 小组合作（5分钟）让学生分组进行合作，共同解决一个关于数数的实际问题。
培养学生合作学习的能力。
六、板书设计板书内容主要包括：数数的方法、数数的规律、实际问题解决等。
通过板书，帮助学生梳理知识点。
七、作业设计1. 请用今天学到的数数方法，数一数家里的物品，并记录下来。
答案：根据学生实际操作，答案可能有所不同。
2. 请结合生活中的实际问题，运用数数的方法解决问题。
答案：根据学生实际操作，答案可能有所不同。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作、小组合作等方式，让学生掌握了数数的方法和技巧。
在课后，学生可以运用所学知识解决生活中的实际问题，进一步巩固所学内容。
同时，教师也可以引导学生进行拓展学习，探索更多的数数规律和方法。
重点和难点解析一、实践情景引入的环节在这个环节中，我选择了出示一组图片，让学生观察并数一数图片中的物品。
北师大中考数学复习专题_数学思想方法复习专题
数学思想方法复习专题一、考点，热点分析：深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、知识点归纳：常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -3x+1=2．解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-3y=2去分母，得y 2-2y-3=0．解这个方程，得y 1=-1,y 2=3．当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2； 当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
走进2018年中考数学专题复习讲座：走进2018年中考数学专题复习第六讲数学思想方法
走进2018年中考数学专题复习第六讲数学思想方法【专题分析】著名的生物学家达尔文曾经说过:“最有价值的知识,就是关于方法的知识”.数学思想方法是数学知识的灵魂,是数学知识、数学技能的本质体现,是解决数学问题的金钥匙,具有“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法,不仅是学习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中考中取得好成绩.安徽中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类思想等.在中考复习备考阶段,应系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三,预计2018中考仍将对数学思想方法进行重点考查.【知识归纳】1.整体思想:整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决.2.分类思想:体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.分类的原则:①分类中的每一部分是相互独立的;②一次分类按一个标准;③分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复,也不遗漏.3.转化思想:在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.4.数形结合思想:从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形).数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决.5.方程思想:用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.6.构造思想:用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,构造函数或几何图形,运用函数性质或图形性质分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.运用构造思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质.【题型解析】题型1: 整体思想例题：（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．方法指导：整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.求代数式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些代数式,字母的值不知道或不易求出时,灵活变形,采用整体代入的方法,往往使问题简便获解.题型2: 分类思想例题：（2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE =S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．方法指导：在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.题型3: 转化思想例题：（2017山东烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，故选C．指导：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机.题型4: 数形结合思想（2017青海西宁）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB 方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，示出S△AMN 的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B 点时运动同时停止，∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5，分两部分：①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，△AMN故选A．方法指导：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中考数学专题一 数学思想方法问题 (共70张PPT)
【点拨】 如图，作 PE⊥ l1 交 l1 于点 E， 交 l2 于点 F，在 PF 上截取 PC＝ 8，连接 QC 交 l2 于点 B，作 BA⊥ l1 于点 A，此时 PA＋ AB ＋ BQ 最短． 作 QD⊥ PF 于点 D． 在 Rt△ PQD 中 ， ∵∠ D ＝ 90° ， PQ ＝ 4 30 ， PD ＝ 6 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 18 ， ∴DQ ＝ PQ2－ PD2＝ 156， CD＝ PD－ PC＝ 18－ 8＝ 10.∵ AB＝ PC＝ 8， AB∥ PC，∴四边形 ABCP 是平行四边形，∴ PA＝ BC，∴ PA＋ BQ ＝ CB＋ BQ＝ QC＝ DQ ＋ CD ＝ 156＋ 10 ＝ 16. 【答案】 16
例 1 (2017· 绥化 )在等腰三角形 ABC 中， AD⊥ BC 交直线 BC 1 于点 D，若 AD＝ BC，则 △ ABC 的顶角的度数为 ____． 2
【点拨】 如图，应分下列三种情况求顶角：(1)若 A 是顶点， 1 如图①， AD＝ BC，则 AD＝ BD，则底角为 45° ，则顶角为 90° ； 2
第二部分 专题一
专题突破
强化训练
数学思想方法问题
初中数学中的主要数学思想方法有分类讨论思想、数形结合 思想、方程与函数思想、转化与化归思想等． 1．分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素， 无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有 情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则： (1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标 准；(3)分类讨论应逐级进行．
2．数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质 研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几 何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结 合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简 单化，从而使问题得以解决的一种数学思想．
2018年中考数学复习全国用湘教版特色专题课件专题四 数学思想方法
专题四┃ 数学思想方法
解： 设原计划平均每天生产 x 个零件， 则现在平均每 天生产 (x＋25)个零件． 600 450 由题意，得 ＝ ，解得 x ＝75， x＋25 x 检验，当 x＝75 时，x(x＋25) ≠0， 所以 x ＝75 是原方程的解． 答：原计划平均每天生产 75 个零件．
4．李老师家距学校 1900 米，某天他步行去上班，走到一 半时发现忘了带手机，此时离上班时间还有 23 分钟，于是 他立刻步行回家取手机，随后骑电动车去上班．已知李老 师骑电动车到学校比他步行到学校少用 20 分钟，且骑电动 车的平均速度是步行速度的 5 倍，李老师到家开门、取手 机、启动电动车等共用 4 分钟．请你判断李老师能否按时 上班，并说明理由．
专题四┃ 数学思想方法
解题方法归纳
运用整体思想解题的关键是把研究对象的某一部分(或全部
)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系， 从而在客观上寻求解决问题的新途径．整体是与局部对应的， 按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据 题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而
x（x＋1）－x （x＋1） 解：原式＝ · ＝x(x＋1) x＋1 x ＝x2＋x. 2 ∵x ＋x－2＝0， 2 ∴x ＋x＝2，即原式＝2.
2
专题四┃ 数学思想方法
例题分层分析 x x (1) 将 分 式 (x － )÷ 2 化简的结果是 x＋1 x ＋2x＋1 ________； 2 (2) 将条件 x ＋ x－2 ＝ 0 中常数项移项到等号右边是 ________．
[解析] 由(m－n)2＝8 得 m2－2mn＋n2＝8；由(m＋n)2 ＝2 得 m2＋2mn＋n2＝2，两式相加，得 2m2＋2n2＝10，所 2 2 以 m ＋n ＝5，故选 C.
北师大中考数学复习专题数学思想方法复习专题
数学思想方法复习专题一、考点，热点分析：深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、知识点归纳：常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（20XX 年北京市东城区）解方程：(x+1)- -3x+1=2．解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-3y=2去分母，得y 2-2y-3=0．解这个方程，得y 1=-1,y 2=3．当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2； 当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
北师大版七年级下册数学思想与方法
七年级下册第一章整式的运算§ 整式数学思想方法：1、概括与分类的思想详细表现：（1）单项式的定义（2）多项式的定义§ 整式的加减数学思想方法：由特别到一般详细表现：整式的加减由简单到复杂。
§ 同底数幂的乘法数学思想方法：概括总结、整体代换思想详细表现：同底数幂的乘法法例的推导，在基本公式中字母 a、b不单表示详细的数，还能够表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§ 幂的乘方与积的乘方数学思想方法：由特别到一般，概括总结、整体代换思想详细表现：题型由易到难，法例的推导，在基本公式中字母 a、b 不单表示详细的数，还能够表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§ 同底数幂的除法数学思想方法：察看概括类比详细表现：几种幂的运算对照，法例的推导§ 整式的乘法数学思想方法：察看概括总结、化归思想详细表现：法例的推导及应用，多项式的乘法转变为单项式的乘法§ 平方差公式数学思想方法：概括总结，数形联合整体代换思想详细表现：平方差公式的推导在基本公式中字母a、b 不单表示详细的数，还能够表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§ 完整平方公式数学思想方法：概括总结，数形联合整体代换思想详细表现：完整平方公式的推导在基本公式中字母a、b 不单表示详细的数，还能够表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§同底数幂的除法数学思想方法：概括总结整体代换思想详细表现：同底数幂的乘法法例的推导，在基本公式中字母a、b不单表示详细的数，还能够表示单项式、多项式、整式，甚至代数式第二章平行线与订交线§ 余角与补角数学思想方法：转变思想详细表现：余角与补角的定义§ 研究直线平行的条件数学思想方法：数形联合详细表现：余角与补角的定义的概括及应用§ 平行线的特色数学思想方法：察看概括总结、转变的思想详细表现：平行线的特色的总结与概括§ 用尺规做线段和角数学思想方法：抽象详细表现：用尺规做线段和角第三章生活中是数据§ 认识百万分之一数学思想方法：概括总结详细表现：负整数指数幂的科学计数法§ 近似数和有效数字数学思想方法：概括总结详细表现方法：近似数和有效数字定义的总结§ 世界重生儿图数学思想：概括总结、类比的思想详细表现：三种统计图特色的总结、对照应用第四章概率§ 游戏公正吗数学思想方法：分类与整合的思想详细表现：依据概率的大小判断游戏能否公正§ 摸到红球的概率数学思想方法：概括总结详细表现：依据讲堂中做的游戏摸到红球概率领会概率的意义，会计算概率§ 逗留在黑砖上的概率数学思想方法：建模思想详细表现：利用游戏直观体验概率模型 --- 几何模型第五章三角形§认识三角形思想方法：建模思想、转变思想。
中考数学复习 专题7 数学思想方法数学课件
【例 5】 (2015·南通)某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元．若 一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每 件服装的售价均降低 3 元．已知该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时， 该网店从中获利 y 元．
(1)若△BMN 与△ABC 相似，求 t 的值； (2)连接 AN，CM，若 AN⊥CM，求 t 的值．
解：(1)由题意知，BM＝3t cm，CN＝2t cm，∴BN＝(8－2t) cm，BA＝ 62＋82＝10(cm)，当△BMN∽△BAC 时，BBMA＝BBNC，∴130t ＝8－8 2t，解得：t＝2110；当△BMN∽△BCA 时，BBMC ＝BBNA，∴38t＝8－102t，解得：t＝3223， ∴△BMN 与△ABC 相似时，t 的值为2110或3223
1．(2015·攀枝花)分式方程x－1 1＝x＋3 1的根为__2__．
2．(2015·洛阳模拟)一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h(m)与足球被踢出后 经过的时间 t(s)之间具有函数关系 h＝at2＋19.6 t，已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距 地面的最大高度是__19.6__m.
(1)求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
解：(1)y＝
300x－200x＝100x，（0≤x≤10，且x为整数） [300－3（x－10）－200]x＝－3x2＋130x（10＜x≤30， 且x为整数）
(2)在 0≤x≤10 时，y＝100x，当 x＝10 时，y 有最大值 1000；在 10＜x≤30 时，y＝－
【实用资料】中考数学复习常见的数学思想方法PPT
第34课时 常见的数学思想方法
专题解读
的一种思想方法．在分析问题的过程中，根据问题的具体情形， 把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题 转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．用 数形结合的思想解题可分为两类：一是利用几何图形来直观表示数 的问题，它常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几 何图形问题，常需要建立方程(组)或建立函数解析式等．
再根据两点的坐标和图象得出不 0<x≤1和x>1两种情况讨论，分别令y甲<y乙、y甲＝y乙和y甲>y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论
第34课时 常见的数学思想方法
等式的解集即可．
第34课时 常见的数学思想方法
考点演练
解：由图象可知，A(1，4)、B(4，1)，x>0，∴ 不等式 4 <kx x
第34课时 常见的数学思想方法
专题解读
分类时要注意分类标准要统一，且不重不漏；要掌握分类原则、 方法与技巧，做到“确定对象的全体、明确分类的标准”．分类讨 论贯穿在整个初中数学教学内容中，从数式到方程、不等式、函数、 图形的知识、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、 圆等都有分情况讨论的题目．
∵(1)D根E⊥据E“C快，递∴思物∠路D品E不A点＋超拨∠过B1E千C克＝先时90，根°甲. 据公司图的费象用得＝快出件质点量A×、22元B，的快递坐物标品超，过1千克时，甲公司的费用＝22元＋超出质量×续
重单价”可得出y甲关于x的函数解析式，根据“乙公司的费用＝快件质量×单价＋包装费用”即可得出y乙关于x的函数解析式．(2) 分
广西中考数学总复习课件(第36课时数学思想方法)
变式题4 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45 座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车 ，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每 辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若要使每位游客都有座位，应该怎样租用车辆才合算？
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每 天的工作量x(单位：万米3)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围．
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划
多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天
运送土石方各是多少万米3?
第36课时 数学思想方法
图 Z－36－2 第36课时 数学思想方法
A．x＞2 B．x＜－2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2
[解析]
当－2＜x＜0或x＞2时，y＝x的函数值大于y＝
4 x
的函
数值．
第36课时 数学思想方法
► 类型之二 整体代入思想 例2 [2013•吉林] 若a－2b＝3，则2a－4b－5＝____1____.
解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. 又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x－2)2＋x2＝42， 解得x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)． ∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E， ∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋ 7.
第36课时 数学思想方法
┃热点专题诠释┃
题型特点
中考复习课件：专题一数学思想方法
OG AO AG 3 9 3 . 44
M点在第三象限，M( 3， 9). 44
②若△AOM∽△ACB，则 AO AM， AC AB
即 3 AM，AM 3 4 2 2,
32 4
32
AG MG AM2 2
OG=AO-AG=3-2=1.
2
2
2
【解析】选C.延长CD交AB于点G， 则CG⊥AB，AG=BG=2， ∴AE2-FE2=EG2+AG2-(EG2+FG2) =4-FG2=4-(2-x)2 =-x2+4x, ∴y=-x2+4x.且根据题意知x≥0,y≥0.故选C.
3.(2010·成都中考)如图，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从 点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动 (不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度 移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经 过______秒,四边形APQC的面积最小.
AC OA2 OC2 (1)2 12 5 .
2
2
在△BOC中，
BC OB2 OC2 22 12 5.
AB OA OB 1 2 5 , 22
AC2 BC2 5 5 25 AB2,
4
4
∴△ABC是直角三角形.
(2)点D的坐标为( 3，1). 2
数学思想方法是指现实世界的空间形式和 数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是 对数学事实与数学理论的本质认识.
数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数 学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的 指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想.
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难点突破
解：(1)这次活动一共调查学生人数：140÷ 35%＝400(人)； (2)选择篮球的学生人数为：400－140－20－80＝160(人)，补全条形统计图如下：
160 (3)1300× 400＝520(人)， 估计该校选择篮球项目的学生人数约为 520 人．
难点突破
6、自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2－5x＞0. 解：设 x2－5x＝0，解得 x1＝0，x2＝5，则抛物线 y＝x2－5x 与 x 轴的交 点坐标为(0，0)和(5，0)．画出二次函数 y＝x2－5x 的大致图象(如图所示)．
难点突破
5、小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备 购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划 购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活 动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 解：(1)设购进甲种服装x件． 由题意可知：80x＋60(100－x)≤7 500，
难点突破
5、某校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、排球、乒乓球四项课外体育活动， 并要求学生必须且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分 学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题． (要求写出 简要的解答过程) (1)这次活动一共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图． (3)若该学校总人数是 1300 人，请估计选择篮球项目的学生人数．
W有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
知识梳理 考点4 数形结合思想 在研究问题时把数与形结合考虑，把数量关系转化为图形的性质，或者把 图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化．如利
用数轴研究实数和不等式(组)的解集，利用统计图获取相关统计量的信息，利
用图形的剪拼验证整式的一些性质，利用函数的图象研究函数的性质等．
解得x≤75，且x≥65，
∴65≤x≤75. 答：甲种服装最多购进75件
难点突破 (2)设总利润为W元，且65≤x≤75.
W＝(120－80－a)x＋(90－60)(100－x)＝(10－a)x＋3 000.
方案一：当0＜a＜10时，10－a>0，W随x的增大而增大，所以当x＝75时，W 有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件； 方案二：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以； 方案三： 当10＜a＜20时，10－a＜0，W随x的增大而减小，所以当x＝65时，
难点突破
3、如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以 BC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心， ︵ BC 为半径作AB，过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D，E，则阴影部分的面积是( A ) 5 A． π－2 3 3 5 C．2 3－ π 3 5 B． π＋2 3 3 5 D． 3＋ π 3
第36讲:数学思想方法问题
2018届中考一轮
学习目标
1、掌握解决整体思想问题、转化思想问题、分类讨论思想问题、数形结合问题、
方程思想问题方法. 2、能够熟练解决有关数学思想问题.
知识梳理 考点1 整象的某一部分(或全部)看成一个整体，通
过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径． 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规， 根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解 决．
知识梳理 考点3 分类讨论思想 一些数学问题可能存在多种情形，求解时需要对各种情形加以分类，并逐类求 解，然后综合得解，分类时要做到： (1)分类时每一部分互相独立； (2)一次分类必须是同一个标准；
(3)分类讨论应该逐级进行，不能越级讨论
难点突破 4、若ab>0，则a>0,b>0或________________. a＜0,b＜0
知识梳理
考点2 转化思想方法
转化的目的是使问题化复杂为简单、化陌生为熟悉、化未知为已知，易于问题的 解决，从而避免“小题大做”．通过转化得到的问题，必须与原来的问题是等价 的，否则转化是无效的、得到的结果是错误的．
难点突破
3 x 2、解分式方程： 2 ＋1＝ . x －x x－1
解：原方程可化为 3＋x2－x＝x2，解得 x＝3. 检验：当 x＝3 时，x(x－1)≠0， 所以原分式方程的解为 x＝3.
难点突破
由图象可知：当 x＜0 或 x＞5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时 y＞0， 即 x2－5x＞0，所以一元二次不等式 x2－5x＞0 的解为 x＜0 或 x＞5. 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 ①转化思想 ②分类讨论思想 (只填序号)；
难点突破
解析：连结 CE，则 S 阴影＝S 扇形 BCE－S 扇形 BOD－S△OCE.根据已知条件易求得 OB＝OC＝ OD＝2，BC＝CE＝4，∠ECB＝60° ，OE＝2 3，由扇形面积公式和三角形面积公式进行解 答即可．
思路点拨：不规则图形的面积计算问题，一般利用转化思想转化为规则图形面积 的和与差，或转化为与其等面积且便于计算的图形．常见的转化方法有①应用全等变 换，对图形进行分割、重组；②利用等(同)底等(同)高对三角形的面积进行转换．
难点突破
4x＋5xy－4y 1 1 1、若分式x－y＝2，则分式 的值等于( B ) x－3xy－y 3 A．－5 3 B．5 4 C．－5 4 D．5
解析：整理已知条件得 y－x＝2xy，∴x－y＝－2xy. 将 x－y＝－2xy 整体代入分式得 4× （－2xy）＋5xy －3xy 3 ＝ ＝ . －2xy－3xy －5xy 5 故答案为 B. 4x＋5xy－4y 4（x－y）＋5xy ＝ ＝ x－3xy－y （x－y）－3xy