第一章 直角三角形的边角关系练习题
北师大新版数学九年级下册第1章 直角三角形的边角关系(练习题)
第1章直角三角形的边角关系（练习题）北师大新版数学九年级下册一．选择题1．如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1B．C．D．2．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．4．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（）A．20m B．30m C．40m D．50m5．如图，山顶有一座电视塔BC，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A点俯角β＝45°，已知塔高BC为60m，则山高CD等于（）A．m B．m C．30m D．m 6．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB 的长度为（）A．50sin40°米B．50cos40°米C．米D．米7．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sin B＝，则△ABC的面积等于（）A．15B．C．6D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B 的是（）A．B．C．D．9．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.3510．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB＝，点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝．12．如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为度．13．2cos45°﹣（π+1）0＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝．15．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为米．三．解答题16．学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面E处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥EC，自E沿着EC方向向前走100m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．（结果保留根号）17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．18．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：2的山坡向上行走10米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．19．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.5020．如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）。
1.5 三角函数的应用(分层练习)(解析版)
第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用精选练习一、单选题1．（2022·江苏泰州·九年级期中）一条上山直道的坡度为17∶，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ ）A ．700米B．米C．米D．2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC 为3米，登高梯与地面的夹角ACB Ð为72o ，则书架第七层顶端离地面的高度AB 为（ ）A ．3sin 72°米B ．3sin 72o 米C ．3cos 72°米D ．3cos 72o米3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔的水平距离AB a =，则此时塔高CD 的长为（ ）A ．sin sin a a a b +B ．tan tan a a a b +C ．tan tan aa b +D ．tan tan tan tan a a b a b+【答案】B【分析】在Rt △ABD 和Rt ABC △中，利用锐角三角函数求出,BD BC ，即可求解．【详解】解：根据题意得：90ABD ABC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 中，tan tan BD AB a b b ==，在Rt ABC △中，tan tan BC AB a a a ==，∴tan tan CD BD BC a a a b =+=+．即此时塔高CD 的长为tan tan a a a b +．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．4．（2022·山东济南·模拟预测）小明去爬山，在山脚A 看山顶D 的仰角30CAD Ð=°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米到达B 处，此时小明看山顶的仰角60DBF Ð=°，则山高CD 为（ ）米A ．(600-B ．()250C ．(350+D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5．（2022·河北石家庄·九年级期中）如图，一块矩形薄木板ABCD 斜靠在墙角MON 处（OM ON ^，点A ，B ，C ，D ，O ，M ，N 在同一平面内），已知AB m =，AD n =，ADO a Ð=，则点B 到ON 的距离等于（ ）A ．cos cos m n a a×+×B ．sin cos m n a a ×+×C ．cos sin m n a a×+×D ．sin sin m n a a×+×过点B 作BH ON ^于H ∴B 到ON 的距离是BH ∵OM ON ^，矩形ABCD ∴BAQ DAO DAO Ð+Ð=Ð∴ADO BAQ a Ð=Ð=，6．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿AB 方向架桥BD ，以桥两端B D 、出发，修公路BC 和DC ，测得150ABC Ð=°，1800BC =m ，105BCD Ð=°，则公路DC 的长为（ ）A ．900mB ．mC ．mD ．1800m【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．二、填空题7．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A 处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B 处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A ，B 两处的距离为12m ，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB 与绳子的夹角为53°，则绑重物的B 端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 530.8cos530.6tan 53 1.3°»°»°»，，）由题意得，在Rt ABC △∴sin BC AB BAC =Ðg ，∵12m AB BAC =Ð=，∴()120.89.6m BC »´=，故答案为：9.6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键．8．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管36cm AC =，且上管AC 与立管AB 互相垂直，下管45cm BC =，座管AE 可以伸缩，点A B E ，，在同一条直线上，且75ABD Ð=°．若座管AE 伸长到18cm ，则座垫E 到后下叉BD 的距离为______cm ．（结果精确到1cm ，参考数据sin750.97°»，cos750.26°»，tan75 3.73°»）∵45cm BC =，36cm AC =，∴22245AB BC AC =-=-在Rt FBE V 中，sin EF EB =´故答案为：44．9．（2022·山东济南·九年级期中）如图，太阳光线与地面成30°的角，照射在小木棒AB 上，小木棒在地面上的投影CD 的长是8cm ，则小木棒AB 的长是______cm ．10．（2022·江苏苏州·九年级期中）一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船C 处，(sin 530.8cos530.6°»°»，)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用键．三、解答题11．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂AB （左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基E 处测得天堂建筑主体顶端C 处的仰角为22°，往前水平行进14米至F 处，测得天堂顶端点A 的仰角为30°，已知天堂宝顶AC 高188．米，明堂台基EF 距地面DB 的高DE 为10米，请计算天堂AB 的高的值．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37°»，cos 220.93°»，tan 220.40°» 1.73»）12．（2022·江苏苏州·九年级期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂）．已知基座高度MN 为0.5米，主臂MP长为α的范围是：060a °<£°，伸展臂伸展角β的范围是：45135b °££°．(1)如图3，当45a =°时，伸展臂PQ 恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ 长为 米；(2)若（1）中PQ 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N 水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）∵45a =°，∴PHM V 为等腰直角三角形，∴sin 3PH PM a ==∴45QPH Ð=°，∴sin 45 3.5QH PH PQ ==°=´∴7232MH MPPH =+=+一、填空题1．（2022·陕西汉中·九年级期末）某区域平面示意图如图所示，AB 和BC 是两条互相垂直的公路，800AB =米，甲勘测员在A 处测得点D 位于北偏东45°，乙勘测员在C 处测得点D 位于南偏东60°，300CD =米，则公路BC 的长为___________米．（结果保留根号）的面积为___________米2【分析】延长BA 交CD 于G 点，在Rt EFB D 中，根据锐角三角函数定义求出EF ，在Rt CGA V 中，根据锐角则3CG BF ==（米），由题意得：30EBF Ð=°，在Rt EFB D 中，tan BF EF =在Rt CGA V 中，AG CG =∴1AB CE EF AG =+-=+3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA OB ，，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，设太阳光线与地面的夹角为a ，测得2tan 3a ＝，8.5m 13m MC CD ＝，＝，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 _____m ．4．（2022·浙江温州·八年级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)且AF BE ∥，60BAF Ð=°，10BD =，箱盖开起过程中，点A ，C ，F 不随箱盖转动，点B ，D ，E 绕点A 沿逆时针方向转动90°，即90BAB ¢Ð=°分别到点B ¢，D ¢，E ¢的位置，气簧活塞杆CD 随之伸长CD ¢已知直线BE B E ¢¢^，CD CB ¢=，那么AB 的长为______cm ，CD ¢的长为______cm ．5．（2022·山东威海·九年级期中）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，a=，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无tan2MC=米，则河流的宽度CD为人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中100______．\ME AB==，AM BEÐ=，tan由已知可得：BAC a\80Ð==米，ACMME ABAM二、解答题6．（2022·山东东营·九年级期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．7．（2022·江苏苏州·九年级期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50cm AB =，拉杆最大伸长距离30cm BC =，（点A 、B 、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ，A e 与水平地面切于点D ，AE DN ∥，某一时刻，点B 距离水平地面40cm ，点C 距离水平地面61cm ．(1)求圆形滚轮的半径AD 的长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面66.6cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE Ð的大小（精确到1°，参考数据：sin500.77°»，cos500.64°»，tan50 1.19°»）．【答案】(1)5cmAD =(2)50CAE °Ð=【分析】（1）作BH AF ^于点G ，交DM 于点H ，则ABG ACF ∽V V ，设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）根据题意求得CF 的长，在Rt ACF V 中，求得sin CAE Ð，即可求得CAE Ð的度数．【详解】（1）解：设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，作BH AE ^于点G ，交DM 于点H ，则BG CF ∥，∴ABG ACF ∽V V ，∴BG AB CF AC=，即4050615030x x -=-+，8．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，水坝的横截面是梯形()DC AB ABCD ∥，迎水坡BC 的坡角a 为30°，背水坡AD 的坡度i 为1:1.2，坝项宽 2.5DC =米，坝高5米．求：(1)坝底宽AB 的长（结果保留根号）；(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1:1.4，求横截面增加的面积（结果保留根号）。
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米． 延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ， 即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75， 解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24， 解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。
直角三角形的边角关系习题集含答案
第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53c o s =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．9、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ︒=∠30AC = 40米，αPoyx34ABCDE︒555.8m10mBC = 25米，请你求出这块花圃的面积.12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为︒30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是︒15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为︒15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为︒20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
直角三角形的边角关系练习题
§ 11
四、随堂练习:
2、如图，某人从山脚下的点
走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为
55m
求山的坡度.（结果精确到0.001）
4、菱形的两条对角线分别是 的夹角为则tan0 = _
3、若某人沿坡度i = 3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置
比原来的位置升高
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m,它的坡角为45。，为了提高该堤的防洪能力，现 将背水坡改造成坡比为1：1.5
的斜坡AD求DB的长.（结果保留根号）
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中，/C=90 ,AB=3,BC=1,则tanA二・
2、在厶ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA=・
12
7、已知:如图，斜坡AB的倾斜角a,且tan a二•现有一小球从坡底
4
处以20cm/s的速度向坡顶B处移动，则小球以多大的速度向上升高
§
四、随堂练习：
2、在厶ABC中，Z C=90。,si nA-,BC=2Q求厶ABC的周长和面积
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6求sinB,cosBftanB.
3、在厶ABC中/AB=AC=3,BC=4/则tanC=・
4、在RfABC中，ZC是直角，/A、/B、ZC的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA、tanB的值
5、若三角形三边的比是25:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4:7,求最小角的正切值
6、如图，在菱形ABCD中,AE丄BC于EzEC=l,tanB=，求菱形的边长和四边形
第一章《直角三角形的边角关系》检测(含答案)-
第一章《直角三角形的边角关系》检测一、填空题（每题2分，共24分）1.计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°=_______.2.已知角α为锐角，且53sin =α，则αcos ＝ . 3.在△ABC 中，若AC，BC，AB =3，则cos A = . 4.已知A 是锐角，且sin A =13，则cos （90°－A ）＝___________． 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知sin A =35,则cos B =_______. 6.用科学计算器或数学用表求：如图1，有甲、乙两楼，甲楼高AD 是23米，现在想测量乙楼CB 的高度.某人在甲楼的楼底A 和楼顶D ，分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为 米（结果精确到0.01米）. 注：用数学用表求解时，可参照下面正切．．表的相关部分.7.已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠= 度，sin β=____（结果保留四个有效数字）.8.如图2青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为A D CB图145° 65°13′（甲楼） （乙楼）图230°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光（sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890,结果保留四个有效数字）. 9.如图3，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.10.在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________________(用b 和θ的三角比表示)．11.某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米．12.如图4，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).二、选择题（每题2分，共24分） 13.2sin450的值等于（ ）A.1D.2, 14.在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则con B 等于（）B.3 C.23 D.2115.在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是（ ）A ．135 B ．1312 C ．125 D ．51216.已知α为锐角，tan （90°－α），则α的度数为（ ）图3图4A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°17.如图5，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为（ ） A ．5.2 m B ．6.8 m C ．9.4 m D ．17.2 m18.如图6，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A.1 B.2 C.22D.22 19.在ΔABC 中，∠C ＝90°，sin A =35，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．34 D ．4320.如图7，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinαB ．a ·cosαC ．a ·tanαD ．a ·cotα21.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A=2，则的值为（ ）A ..12D.122.如图8，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，CA =4，那么sin A 等于（ ）ACB图8图5图7 a B AC图6A.34 B.43 C.35 D.4523.如图9在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α，AB = 4, 则AD的长为（ ） A.3 B.316 C.320 D.51624.某市在“旧城改造”中计划在一块如图10所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ） A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题（第25题2分，其余每题5分，共52分）25.计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2．26.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =12,tan B,AB =10,求△ABC 的面积.A BCDE图9︒15020米30米图1027.如图11，从一块矩形薄板ABCD 上裁下一个工件GEHCPD （阴影部分）. 图中EF //BC ，GH //AB ，∠AEG =11°18′，∠PCF =33°42′，AG =2cm ，FC =6cm. 求工件GEHCPD 的面积.（参考数据：322433tan ,518111tan ≈'︒≈'︒）28.如图12将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的余切值.CABD图12DBAC图11FH29.如图13，沿AC 的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两边同时施工．在AC 上取一点B ，在AC 外另取一点D ，使∠ABD ＝130°，BD ＝480 m ，∠BDE ＝40°，问开挖点E 离D 多远，才能使A 、C 、E 在一条直线上（sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，精确到0.1m ）.30.如图14，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.图14D CBA图1331.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图15－①所示）：(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图15－②）的方案：(1)在图15－②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；(2)写出你设计的方案.①NM②图1532.如图16，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 正切值.33.如图17，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ABCD 图16图17图1834.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图18），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （结果保留整数，参考数据：53106sin 32,cos32,tan 321001258≈≈≈鞍?35.为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？参考答案一、1.0；2.54； 4.31；5.35；6.42.73；7.54、0.8090；8.33.96或33.95；9.βαcot cot -s；10.b ·cot θ；11.10；12.2.3.二、13，B ；14，C ；15，C ；16，C ，17，A ；18，B ；19，A ；20，C ；21，B ；22，C ；23，B ；24，C . 三、25，4621-；26，3225；27，48； 28，过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E .cot 1)1DE ADB EA ∠===+ 29, 367.7ｍ；30，∠A =22°1′ AB =37.8米； 31，（1）图略；（2）①在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角，∠MCE ＝α；②在测点A 与小山之间的B 出安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE ＝β；③量出测倾器的高度AC ＝BD ＝h ，以及测点A 、B 之间的距离AB ＝m .根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN.；32，过D 点作，交AB 于E 点，所以tan=∠BAD ＝6515427DE AE =⨯=； 33，过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF .∴∠ABM =∠BAF =30°.在△BAM 中，AM =12,AB =5，BM 过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K .,在Rt △BCK 中，∠CBK =90°－60°=30°,设CK =x ，11 则BKx , Rt △ACN ∠CAN =90°-45°=45°，AN =NC .∴AM +MN =CK +KN .又NM =BK ，BM =KN .即xx .解得x =5.∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险；34，（1）如图设CE=x 米，则AF =（20-x ）米，tan 32,AF EF?即20-x =15tan 32,11x ≈° ∵11＞6， ∴居民住房的采光有影响.（2）如图：sin 32,ABBF ?820325BF =⨯=，两楼应相距32米；35，可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内.。
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。
直角三角形的边角关系(练习题)
第一章．第二章一、选择题1．已知锐角A满足关系式2sin²A-7sinA+3=0,则sinA的值为（）A.1/2B.-1/3C.1/3D.1/2或32.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
若AC=√5,BC=2，则sin∠ACD的值为（）CDA. √5B. 2√5C. √5D. 23 5 2 33.在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=b/a.则下列关系式中不成立的是（）A. tanA•cot=1B. sinA=tanA•cosAC. cocA=cotA•cosAD.tan²A + cot²A =14.一段公路的坡度为1:3，某人沿这段公路路面前进100m，那么他上升最大高度是（）A. 3mB.10mC.3√10mD.10√10m5.如图，等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6m，则底角为（）A.120°B.90°C.60°D.30°AB D C6.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度比是1: √3，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100mB.100√3mC.150mD.50√3mC7．已知在△ABC中，∠=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n,当∠B 是最小的内角时，n的取值范围是（）A 0<n<√2/2 B.0<n<1/2C.0<n<√3/3D.0<n<√3/28.若二次函数y=x² + 1/2 与y= -x² + k的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（）A.这两个函数图像有相同的对称轴B.这两个函数图像的开口方向相反C.方程-x² + k的最大值为1/2D.二次函数y = -x²+K的最大值为1/29.已知二次函数y =2(x-3)²+1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图像的对称轴为直线x =-3；③其图像顶点坐标为（3,1）；④当x<3时，y随x的增大而减小。
北师大新版数学九年级下 第1章 直角三角形的边角关系 单元练习卷 含解析
第1章直角三角形的边角关系一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.511．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm215．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°cos37°．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝度．18．若坡度i＝，则坡角为α＝19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴＝，解得，BC＝4，故选：B．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接DC，由网格可得：CD⊥AB，则DC＝，AC＝，故sin A＝＝＝．故选：B．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sin A＝，cos B＝，故选：A．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边易得答案．【解答】解：如图，AC＝b＝，AB＝c＝4，所以BC＝a＝＝1，由三角函数的定义可得sin A＝＝，则sin A＝，故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A＝，∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝m sin35°，故选：A．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】因为∠A与∠B互余，则tan A•tan B＝1，代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴tan A•tan B＝1，∵tan B＝＝，故选：D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα【分析】直接利用锐角三角函数关系分析得出答案．【解答】解：∵sinα＝，tanα＝，且斜边＞α的邻边，∴sinα＜tanα．故选：A．9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠C＝30°，∠A＝30°，进而得出答案．【解答】解：∵tan C＝，cos A＝，∴∠C＝30°，∠A＝30°，∴∠B＝120°．故选：C．10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5【分析】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．【解答】解：由＝1，得＝1．所以＝1．解得tanα＝2.5．故选：D．11．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin A＝sin∠BCD＝，故选：D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，故选：A．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：∵tan∠B＝，∴＝，∴AC＝＝2+，∴Rt△ABC的面积为：×1×（2+）＝，故选：D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm2【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AB＝8cm，∴sin A＝＝，∴BC＝6（cm），∴AC＝＝＝2（cm），∴S△ABC＝•BC•AC＝×6×2＝6（cm2）．故选：D．15．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，故选：C．二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°＞cos37°．【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）求解．【解答】解：cos36°＞cos37°．故答案为＞．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝75 度．【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数即可．【解答】解：∵α是锐角，且sin（α﹣15°）＝，∴α﹣15°＝60°，即α＝75°，故答案为：7518．若坡度i＝，则坡角为α＝30°【分析】根据坡度i与坡角α之间的关系计算，得到答案．【解答】解：∵坡度i＝，∴tanα＝，∴α＝30°，故答案为：30°．19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝×+×＝．故答案为：．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝ 3【分析】由tan A＝＝3可设BC＝3x，则AC＝x，依据勾股定理列方程求解可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan A＝＝3，∴设BC＝3x，则AC＝x，由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，解得：x＝1（负值舍去），则BC＝3，故答案为：3．三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）【分析】根据题意可以作辅助线AE⊥BC，作DF⊥BC，然后根据AB坡坡角为45°，DC 坡坡度为1：2和题目中的数据可以分别求得CF和BE的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，如右图所示，由题意可得，tan∠C＝，CD＝10m，∠B＝45°，AD＝6m，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，AE＝DF，设DF＝x，则CF＝2x，∴＝102，解得，x＝2，∴DF＝2m，CF＝4m，AE＝2m，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，AE＝2m，∴BE＝2m，∴BC＝BE+EF+CF＝2+6+4＝（6+6）m，即BC的长是（6+6）m．22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝3，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝1，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4，CD＝3，∴S△ABC＝•AB•CD＝×（3+4）×3＝6+．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的判定定理解答；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，比较得到答案．【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝40（海里）；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC•sin∠CBE＝40×＝20，∵20＞30，∴轮船继续向东航行，无触礁危险．24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝，求出即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，设AH＝5km，则PH＝12km，由勾股定理，得AP＝13km．∴13k＝26m．解得k＝2．∴AH＝10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，解得x＝，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40+x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD．【解答】解：设CE的长为xm，在Rt△CBE中，∵∠CBE＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CE＝BE＝xm，∴AE＝AB+BE＝40+x（m）在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴tan30°＝即＝，解得，x＝20+20≈20×1.732+20＝54.64（m）所以CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56（m）答：该建筑物的高度约为56m．26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D 点，求CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于D，根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝＝CD，在Rt△BCD中，BD＝＝CD，∵AB＝AD﹣BD，∴CD﹣CD＝20（海里），解得：CD＝10＞10，所以不可能．27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．【分析】过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，于是得到∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，求得∠APB＝30°，根据余角的定义得到∠ABP＝90°﹣60°＝30°，求出∠ABP＝∠APB，根据等腰三角形的判定得到AP＝AB＝200，在Rt△APC中，根据含30°角的直角三角形的性质得到AC＝AP＝100，即可得到结论．【解答】解：过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，则∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，∴∠APB＝30°，∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝200，在Rt△APC中，AC＝AP＝100，∴PO＝AC+AB＝300米．答：飞机的高度PO为300米．。
第一章 直角三角形的边角关系(单元测试)(解析版)
第一章 直角三角形的边角关系单元测试参考答案与试题解析一、单选题1．（2020·哈尔滨德强学校）在△ABC 中，若， ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】A【解析】试题解析：∵cos A tan B ，∴∠A =45°，∠B =60°．∴∠C =180°-45°-60°=75°．∴△ABC 为锐角三角形．故选A ．2．（2019·福建三明市·九年级月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝32【答案】C【解析】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=AC 2BC 3=，故选C.3．（2020·济南历下区明德中学九年级期中）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE AB ^，垂足为E ，35DE AD =，则下列结论正确的有（ ）①3DE cm =；②1BE cm =；③菱形的面积为215cm ；④BD =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：Q 菱形ABCD 的周长为20cm ，5cm AD \=，35DE AD =Q ，3cm(DE \=①正确），4cm AE \==，5cm AB =Q ，541cm(BE \=-=②正确），\菱形的面积25315cm (AB DE =´=´=③正确），3cm DE =Q ，1cm BE =，BD \==④不正确），故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等内容，掌握菱形的性质是解题的关键．4．（2019·辽宁抚顺市·九年级月考）在△ABC 中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A 、∠B 的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由（）2+|1-tanB|=0，得，1-tanB=0．解得∠A=45°，∠B=45°，则△ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．（2020·山东枣庄市·九年级期末）若α为锐角，且()sin10a °-=，则α等于（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【答案】B【解析】【分析】根据sin 60°=得出α的值．【详解】解：∵sin 60°=∴α-10°=60°，即α=70°．故选：B ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．6．（2019·全国九年级单元测试）已知∠A 为锐角，且tan A ，则∠A 的取值范围是（ ）A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【答案】C【解析】【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.【详解】解：tan30°，tan45°＝1，tan60°，则可知正切值随角增大而增大，由145°＜∠A ＜60°．故选择C ．【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.7的值是( )A ．1－B －1C －1D ．1【答案】A【解析】11=-=故本题应选A.点睛：00a a a a a ³ì=í-<î，， .8．（2019·全国九年级单元测试）=（ ）A ．B ．C ．D ．1【答案】D【解析】【分析】由于tan30°=，故1-tan30°＞0，再对根号里的各项利用完全平方公式变形，从而可以计算出答案．【详解】解：∵tan30°=，∴ 1-tan30°＞0，原式=+tan30°=|1-tan30°|+tan30°=1-tan30°+tan30°=1．故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、完全平方公式．以及二次根式的性质与化简，本题的关键有两步：第一步判断tan30°-1的正负；第二步熟练运用=|a|进行化简，同时也要掌握绝对值的代数意义．9．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A B C D．2 3【答案】C【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则AB===，sin ABCÐ== .故本题应选C.10．（2020·福建莆田市·九年级一模）小明沿着坡角为30°的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了（ ）A．B．500m C．D．1000m【答案】B【解析】【分析】根据坡角的概念，直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半的性质计算即可．【详解】解：设他升高了xm，∵山坡的坡角为30°，∴x=12×1000=500（m），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，属于简单题,掌握坡角的概念是解题的关键．二、填空题11．（2020·四川攀枝花市·九年级期末）△ABC中，∠C＝90°，tan A＝43，则sin A+cos A＝_____．【答案】7 5【解析】∵在△ABC 中，∠C=90°，4tan 3A =，∴可设BC=4k ，AC=3k ，∴由勾股定理可得AB=5k ，∴sinA=4455BC k AB k ==，cosA=3355AC k AB k ==，∴sinA+cosA=437555+=.故答案为75.12．（2020·全国九年级单元测试）如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B ，C 在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观测C 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为__________m.【答案】【分析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC ．【详解】根据题意得∠C=30°，AB=100，∵tanC=A B B C，∴BC=0100tan 30=0100tan 30（m ）．故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．13．（2020·阜康市第三中学九年级其他模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____．【答案】3 4【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠A＝BCAC＝68＝34．故答案为：34．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键．14．（2020·江苏淮安市·淮安六中八年级期中）有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行_________________米【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为12AB m =，小树高为6CD m =，过C 点作CE AB ^于E ，则四边形EBDC 是矩形，连接AC ，6EB m \=，8EC m =，1266()AE AB EB m =-=-=，在Rt AEC D 中，10()AC m ==．故小鸟至少飞行10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．15．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5 m ，则大树的高度为_______m(结果保留根号)．【答案】5＋【分析】作CE ⊥AB 于点E ，则△BCE 和△BCD 都是直角三角形，即可求得CE ，BE 的长，然后在Rt △ACE 中利用三角函数求得AE 的长，进而求得AB 的长，即为大树的高度．【详解】如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，BE ＝CD ＝5m ，CE ＝tan 30BE o＝（m ），在Rt △ACE 中，AE ＝CE·tan 45°＝（m ），AB ＝BE ＋AE ＝5＋m ）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．（2019·全国九年级单元测试）小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．【答案】50【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，根据勾股定理求出AB ，然后根据题意可知AB=130米，求出x 的值，继而可求得BC 的值．【详解】解：如图所示：∵坡比为1：2.4，∴BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，则，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）．故答案为50．【点睛】此题主要考查了坡度的定义和勾股定理，根据勾股定理把AB 用x 表示出来并求出是解题的关键.三、解答题17．计算：(1)(－1)2－2cos 30°＋(－2017)0；(2)3tan 302tan 60cos 60°-°°＋4sin 60°.【答案】(1) 2；(2) 0.【解析】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可.(2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可.试题解析：(1) 原式＝1－1＝11＝2；(2)＋＝－＝0.18．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1) BD ＝3，AD ＝；(2) tan C.【解析】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴·cos30AD AB =°=．（2）CD AC AD =-=-=，在Rt △BDC 中，tan BD C CD Ð===19．（2020·辽宁盘锦市·）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点，在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度（结果保留根号）．【答案】米【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ，利用锐角三角函数的定义用x 表示出BD 及CD 的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【详解】解：过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ， ∵∠CBD=60°，∴tan ∠CBD=CD BD∴． ∵AB=2000， ∴AD=x+2000，∵∠CAD=45° ∴tan ∠CAD=CD AD=1，x=x+2000，解得， ∴+1000）∴．答：黑匣子C 点距离海面的深度为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．20．如图，AB 是长为5m ，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）．（参考数据：3sin 375°»，3tan 374°»，9sin 6510°»，15tan 657°»）【答案】大楼CE 的高度约为14m ．【分析】如图（见解析），先在Rt ABF V 中，利用正弦三角函数可求出BF 的长，再在Rt CDB V 中，利用正切三角函数可求出CD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，作BF AE ^于点F ，则BF DE=由题意得：5,BD AB m BD CE ==^，37,65BAF CBD Ð=°Ð=°在Rt ABF V 中，sin BF BAF AB Ð=则3sin 3753()5BF AB m =×°»´=在Rt CDB V 中，tan CD CBD BDÐ=则15tan 65511()7C mD BD °»»=×´则31114()CE DE CD BF CD m =+=+»+=答：大楼CE 的高度约为14m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1»1.414，1.732）【答案】（1）点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.（2）宣传牌CD 高约2.7米.【分析】（1）过B 作DE 的垂线，设垂足为G ．分别在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH 、AH.（2）在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG=45°，则CG=BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度.。
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷(含答案)
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷（全卷满分100分 限时90分钟）一、选择题：(每小题3分 共36分) 1．0)30(tan o 的值是( )A B ．0 C ．1 D 2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A =35°，则直角边BC 的长是（ ） A ．sin35m ︒ B ．cos35m ︒ C ．sin 35m ︒ D ．cos35m︒(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值是（ ）A ．65 B ． 56C D4．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里 5．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）A ．1米B 米C ．米D ．3米 6．在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =（ ） A ．3sin 40︒ B ．3sin50︒ C ．3tan 40︒ D ．3tan50︒ 7．sin 30°+tan 45°－cos 60°的值等于（ ）A B ．0 C ．1 D8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为A ．米B ．米C ．D ． 24米(第8题) (第10题) (第11题)9在∆ABC 中，若∣sin A －12∣+(cos B 2=0则∠C =（ ）A. 300B. 600 C . 900 D. 120010．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里．A ．B ．C ．50D ．2511．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆A B ．已知观测点C 到旗杆的距离CE =8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA =30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB =45°，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．m ;B ．（m ;C ．（）m ;D ．（m 12．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°， △ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F ，如图2，现将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，则sin ∠ACH 的值为（ ）AB ．71C ．61D二.填空题：（每小题3分共12分） 13．若sinα=12，α是锐角，则α= 度． 14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点，∠BAC +∠BDC =180°,若AB =CD =5，tan ∠ACB =21,则AD =_________.(第14题) (第15题)15．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB =BD ，AP =4PC =4，则cos ∠ACB 的值是 ．16．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC的费马点（Fermat point ），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，P 就是△ABC 的费马点，若P 就是△ABC的费马点，若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD +PE +PF = ． 三.解答题：（共52分）17．(6分)计算：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+18．(8分)如图，205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌C D．习老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（计算结果保留根号）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．19．(7分)如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P 在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行,有无触礁的危险？20．(7分)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）21．(7分)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．22．(8分)南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732=1.732=1.414）23．（9分）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B 在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A 位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？解析与答案1．C 【解析】试题分析：任何非零实数的零次幂都为1. 2．A. 【解析】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA =mBCAB BC =，所以BC =sin35m ︒,故选A. 3．A 【解析】试题分析：利用三角函数的定义可知tan ∠A =65． 故选A ．4．B. 【解析】试题解析：由题意得∠ABC =60°，AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC =AB =40海里． 故选B ． 5．A 【解析】试题分析：首先画出符合题意的直角△ABC ，再根据坡角的定义可知∠A =30°，然后利用正弦函数的定义即可求解．解：如图，∵直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =2米， ∴他下降的高度BC =AB •sin 30°=1米．6．D ． 【解析】试题分析：如图所示：∵40A ∠=︒，∴50B ∠=︒，根据三角函数的定义可知tan ACB BC=，tan503AC︒=，所以AC =3tan50︒．故选D ． 7．C ． 【解析】 试题解析：原式=12+1－12=1． 故选C ． 8．B ． 【解析】试题解析：在Rt △ABC 中， ∵i =12BC AC =，AC =12米， ∴BC =6米， 根据勾股定理得：AB =故选B ． 9．D 【解析】试题分析：根据非负数的性质可知：sinA －12=0，cosB =0，然后根据特殊角的三角函数值计算可得：∠A =30°，∠B =30°，再根据三角形的内角和可求得∠C =180°－30°－30°=120°. 故选：D 10．D.试题分析：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD =60°，∴∠ACB =30°+60°=90°，∴∠CBA =75°﹣30°=45°，∴∠A =45°，∴AB =AC.∵BC =50×0.5=25，∴AC =BC =25（海里）．故选D ．11．D 【解析】试题分析：利用∠ECA 的正切值可求得AE ；利用∠ECB 的正切值可求得BE ，有AB =AE +BE ． 解：在△EBC 中，有BE =EC ×tan 45°=8，在△AEC 中，有AE =EC ×tan 30°∴AB （米）． 故选D ． 12．B ． 【解析】试题分析：∵∠BAD =60°，∠CAB =30°，∴∠CAH =90°，在Rt △ABC 中，∠CAB =30°，设BC =a ，∴AB =2BC =2a ，∴AD =AB =2a ，设AH =x ，则HC =HD =AD ﹣AH =2a ﹣x ，在Rt △ABC中，2222(2)3AC a a a =-=，在Rt △ACH 中，222AH AC HC +=，即2223(2)x a a x +=-，解得14x a =，即AH =14a ，∴HC =2a ﹣x =2a ﹣14a =74a ，∴sin ∠ACH =17AH HC =，故选B ．二.填空题：（每小题3分共12分） 13．30° 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值解答． 解：∵sinα=12，α是锐角， ∴α=30°． 14．210. 【解析】试题分析： 过点B 作BM ⊥CA ,过点D 作DN ⊥CA ,证△AMB ≌△CDN ,,得∠BAM =∠DCN ,而∠BAC +∠BDC =180°，得到CE =DE ,再根据点E 为BD 的中点，得BE =CE =DE , △BCD 是直角三角形.依据∠EBC =∠ECB , tan ∠ACB =21,DC =5得BC =10,在△BCM 中,根据tan ∠ACB =21得BM =,DN =,CM =,在△AMB 中,AM =,所以CN AN =△AND 是等腰直角三角形,根据勾股定理求得斜边AD =.15．33. 【解析】试题分析：如图：作BE ⊥AD 于E ，交AC 于O ，则BE ∥CD ，由AB =BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，则由∠ABC =∠ADC =90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知 AP =4，PC =1，AC =AP +PC =5，因此，OA =OC =2.5．OP =OC ﹣PC =1.5，由BE ∥CD 得，BP ：PD =OP ：PC =1.5，因此BP =1.5PD ，从而 AB =BD =BP +PD =2.5PD ，由相交弦定理得 BP •PD =AP •PC =4，即 1.5PD 2=4，因此 PD 2=83，从而 AB 2=（2.5PD ）2=6.25PD 2=503，由勾股定理得BC 2=AC 2﹣AB 2=52﹣503=253，因此 BC =3，∴cos ∠ACB =BC ：AC =3．161．【解析】试题分析：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF ，过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F分别作∠MEP =∠MFP =30°，则EM =DM =1，故cos 30°=EMEP ，解得：PE =PF 3，则PM 故DP =1则PD +PE +PF +11．1．三.解答题：（共52分）17 1.- 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值，和绝对值的性质可直接代入求值．试题解析：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+112=-1.=- 18．（1）153+1.6（2）31﹣153 【解析】试题分析：根据题意构造直角三角形Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME －NE =AB =14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．试题解析：（1）在Rt △DME 中，ME =AH =45米；由tan 30DEME=，得DE =45×3又因为EH =MA =1.6米，因而大楼DH =DE +EH =（153+1.6）米；（2）又在Rt △CNE 中，NE =45﹣14=31米， 由tan 45CENE=，得CE =NE =31米； 因而广告牌CD =CE ﹣DE =（31﹣153）米；答：楼高DH 为（153+1.6）米，广告牌CD 的高度为（31﹣153）米． 19．无触礁危险 【解析】试题分析：过P 作AB 的垂线PD ，在直角△BPD 中可以求的∠P AD 的度数是30度，即可证明△APB 是等腰三角形，即可求得BP 的长，进而在直角△BPD 中，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，从而求得PD 的长，即可确定继续向东航行是否有触礁的危险，确定是否能一直向东航行．试题解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∠P AB =15°，∠APB =15°， ∴BA =BP =2×20=40海里。
九下第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数在坡度坡角问题中的应用作业新版北师大版
×10＝5(m)，∴点 B 距水平地面
AE
的高度为 5 m
(2)符合要求，理由如下：过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，则四边形 BFEG 是矩形，
∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 3
＋21)m，∴在 Rt△BCG 中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 3 ＋21)tan 45°＝(5 3 ＋21)m.
如下的方法：先从与古树底端 D 在同一水平线上的点 A 出发，沿斜面坡度 i＝2∶ 3
的斜坡 AB 前进 20 7 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 C.在
点 C 处测得古树 DE 的顶端 E 的俯角为 37°，底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高
度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 ≈1.732，sin 37°≈3 ，cos 37°≈4 ，tan 37°≈3 ).
＝ tan
DH ∠DCH
＝ 40 ＝40 3 tan 60° 3
(m)，∴在 Rt△CEH 中，EH＝CH·tan ∠ECH＝
40 3 tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树 DE 的高度约 3
为 22.7 m
9．(24 分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，点 C，
12 ＝24＋9＝33(m)，∴在 Rt△ADE 中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，
∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物 AB 的高度约为 32.2 m
8．(20 分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，采用了
第一章 直角三角形的边角关系
第一章 直角三角形的边角关系 单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________基础达标卷一、选择题1．（2021·兰州市九年级期末）计算2cos 30°的值为 （ ）A ．1B C D ．122．如图，ABC V 中，37,cos 5BC B C ===，则ABC V 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．213．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）锐角△ABC 中，∠B ＝45°，BC ，则AC 的长是（ ）A ．1BC D第2题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于（ ）A B C ．13D 5．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为6，AC 为对角线，取AB 中点E ，DE 与AC 交于点F ．则sin ∠DFC ＝（ ）A B C D 6．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼AB 正前方有一栋小楼ED ，小明从大楼顶端A 测得小楼顶端E 的俯角为45度，从大楼底端B 测得小楼顶端E 的仰角为24度，小楼底端D 到大楼前梯坎BC 的底端C 有90米，梯坎BC 长65米，梯坎BC 的坡度1:2.4i =，则大楼AB 的高度为（ ）（结果精确到1米，参考数据：sin 240.41°»，cos 240.91°»，tan 240.45°»）A ．217B ．218C ．242D ．243第6题图 第7题图7．（2021·湖南芙蓉九年级期中）在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11k y x=（x ＞0），经过点B ，双曲线22ky x =（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）A ．﹣3B ．3C．D8．（2021·山东青岛市中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B Ð=°．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE Ð=°，则BF 的长为（ ）A ．5B．C．D第8题图 第9题图 第10题图9．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，ABC V 中，CD AB ^，BE AC ^，sin A 的值为35，则DEBC =（ ）ABC ．35D ．4510．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，60ABC Ð=°，15BCE Ð=°，2ED =+AD =（）A ．4B ．3C．D ．211．（2021·江苏灌云九年级期中）在ABC V 中，若A Ð，B Ð满足1cos sin 2A B -+，则C Ð的度数是_______．12．（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为a ，5tan 4a =，则m =_____．第12题图 第14题图13．在Rt ABC V 中，90C Ð=°，且cos A B =Ð平分线的长为26，则a =______，b =______，=c ___．14．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AB ＝15，AD ＝7，则AC ＝_____．15．（2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图所示，CD 、EF 表示高度不同的两座建筑物，已知CD 高15米，小明站在A 处，视线越过CD ，能看到它后面的建筑物的顶端E ，此时小明的视角∠FAE ＝45°，为了能看到建筑物EF 上点M 的位置，小明沿直线FA 由点A 移动到点N 的位置，此时小明的视角∠FNM ＝30°，则小明由点A 移动到点N 的距离是___米．第15题图 第17题图16．（2021·山东南区九年级期末）在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，则tanC ＝___．17．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ^于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB ¢的位置，且点B ¢的坐标为()1,1．若反比例函数ky x=()0x >的图象经过A 点，则k =三、计算题18．（2021·济宁市第十五中学九年级月考）求下列各式的值：（1）222sin 303sin 604tan 45°+°-°；（2）()11tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø．19．（2021·济宁市九年级月考）计算：（1）22sin 456cos303tan 454sin 60-++o o o o （2）011tan 60(4)2cos30()4p ---++o o四、解答题20．在Rt ABC V 中，90BCA Ð=°，CD 是AB 边上的中线，8,5BC CD ==，求sin ,cos ACD ACD ÐÐ和tan ACD Ð．21．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，测得∠CAB =30°，∠ABC =45°，AC =8千米，求A ，B 两点间的距离．（结果保留根号）22．（2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，在矩形 ABCD 中，AD =10，tan ÐAEB =34，点E 为BC 上的一点，ED 平分ÐAEC ，（1）求BE 的值；（2）求sin ÐEDC ．23．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，//AB CD ，90ACB BDC Ð=Ð=°，CE AB ^于点E ，DF CB ^于点F ．（1）求证：ABC BCD △∽△；（2）已知tan 2ABC Ð=，求DFCE的值．24．（2021·辽宁盘锦中考真题）如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12FN FB =，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos 31°≈0.86， tan 31°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75）25．（2021·四川仁寿九年级期末）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，EM ⊥AM 交AD 的延长线于点E ．①求证：△ABM ∽△EMA ．②若AB ＝4，BM ＝3，求sinE 的值．26．（2021·四川内江市中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度．如图所示，测得斜坡BE 的坡度1:4i =，坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°，求树高CD ．（结果保留根号）27．（2021·厦门市九年级二模）如图，在Rt ABC △中，∠BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ．（1）若旋转角为60°，求∠ACB 的度数；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin ∠DAC 的值．28．（2021·珠海市九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM为△ABC的角平分线，将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处，此时作ND⊥BC于点D．（1）求证：∠ABN＝90°；（2）求证：CM＝BD；（3）若32BD DM=，AB＝10，求线段BN的长．。
《直角三角形的边角关系》
AD CD′直角三角形的边角关系一、选择题(每小题3分,共计30分):1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )A 、sinA=a cB 、cosB=c bC 、cosB=a bD 、tanA=ba 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=21，则BC ∶AC ∶AB 等于( )A 、1∶2∶5B 、1∶3∶5C 、1∶3∶2D 、1∶2∶33.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 4.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB 等于( ) A 、21B 、22C 、23D 、15.化简2)130(tan - ＝（ ）。
A 、331-B 、13-C 、133-D 、13-6.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°7如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） A. 22 B.22C. 2D. 18.当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（ ）。
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°9．如图，在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点的坐标分别为()10A -，，()23B -，，()31C -，.将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转90°，得到AB C ''△，则点B '的坐标为（A ）（2，1） （B ）（2，3） （C ）（4，1） （D ）（0，2）10.小刚在距某电信塔10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是 60°， 则塔高为( )A 、103mB 、53mC 、102mD 、20m 11．已知2280x x --=，则23618x x --的值为（A ）54 （B ）6 （C ）10- （D ）18-12．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（A ）12m （B ）13 m （C ）16 m （D ）17 m13．如图，平行四边形OABC 的顶点B ，C 在第一象限，点A 的坐标为（3，0），点D 为边AB 的中点，反比例函数ky x=（x >0）的图象经过C ，D 两点，若COA ∠=α，则k 的值等于（A ）28sin α （B ）28cos α （C ）4tan α （D ）2tan α14．已知直线1234l l l l ∥∥∥，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB =4，BC =6，则tan α的值等于 （A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）3215.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm第 15题图二、填空题(每小题3分, 共计18分）：16.在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=1，则∠B= 度. 17.锐角Ａ满足2sin(A-150)＝3，则∠Ａ＝_____度. 18..如图,若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.19.若︒<<︒900α，︒=60cos sin α，则_____tan =α 20.已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-21）2+|tanB-1|=0，则∠C= 度。
第一章直角三角形边角关系 单元练习题
第一章 直角三角形边角关系 单元练习题1．下列四个梯子AB 斜靠在墙上，哪个梯子最陡（ ）A B C D2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么B cos 的值是（ ）A 、54B 、53C 、43D 、34 3．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、扩大4倍D 、没有变化4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。
当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）A 、Aa c sin = B 、A a c cos =C 、A a c tan ⋅=D 、A a c sin ⋅= 5．在△ABC 中，若1tan =A ，22sin =B ，你认为对△ABC 最确切的判断是（ ） A ．是等腰三角形 B ．是等腰直角三角形C ．是直角三角形 D ．是一般锐角三角形6．等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．227．在△ ABC 中，已知∠C=90°，53sin =B ，则A cos 的值是( ) A 、53 B 、34C 、54D ．43 8. 已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于 9．在ABC ∆中，若223sin (cos )022A B -+-=，,A B ∠∠都是锐角，则C ∠的度数 10．在ABC ∆中，∠A 、∠B 都是锐角，已知01tan 2cos 2=-+-B A ，试判断ABC ∆的形状，则ABC ∆是 三角形。
11. 已知斜坡AB=120米，AB 的坡度i=1:3，则斜坡的高h= 米。
12．（1）()02cos 602009π9--+° （2）3845cos 260sin 3+︒-︒（3）0200912sin 603tan30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°13.如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，它们的俯角分别为30°、45°，若测得CD=100米，求AB 的高度。
直角三角形的边角关系周末作业
九（下）第一章“直角三角形的边角关系”训练题姓名 班级一、填空题：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b ＝3，c ＝32，则a ＝ ，∠B ＝ ，cos B ＝ .2．已知：在△ABC 中，若0|cos 23|21sin 2＝－＋）－（B A ，其中A 、B 为锐角，则∠C ＝ ． 3．；＝＋＋，则＝，＝，＝中，在 sin sin sin 15890Rt C B A b a C ABC ︒∠∆ 4．；＝，＝，则的面积为，＝，若＝中，在 2112 590Rt A c ABC a C ABC ∠∆︒∠∆ 5．．＝，＝，＝，则＝，＝中，在 tan sin 32 90Rt A B B c b C ABC ∠︒∠∆ 6．；度，面积是，则顶角为，底边长为等腰三角形的腰长为2 32 2 cm cm cm 7．为锐角）．（＝－化简αααsin cos 1 28．如图，CD ⊥AB 于D ，且BD ＝2AD ，CD ＝6，cos∠BCD ＝，23那么BC 边上的高AE ＝ . 9．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，23sin =A ，b+c=6，则b= ,tanB ＝ 10．在等腰△ABC 中，一腰上的高是3，这条高与底边的夹角是30º，则△ABC 的面积等于 ．二、选择题：212(D) 212(C)12(B) 12A)( 0322tan 4590Rt 1－＋－）．＝（则，＝的延长线上，且在，点＝，＝中，．如图，在+'︒︒∠︒∠∆CA CD BC D ACB ABC ABC150 D 350C 300 B 3 A 103tan 90Rt 2）（）（）（）（）＝（，则＝，＝，＝中，．在ABC S AC A C ABC ∆︒∠∆ a bc a b c c b B A c b a C ABCD C B A tan sin 90Rt 3）（）（）（）（）＝（，那么、、，三边分别为＝中，．在⋅︒∠∆ 3D 4331 C 43 B 31 A 4 6 4）（或）（）（）（）值是（的底角的余弦，那么这个等腰三角形，另一边长为．等腰三角形一边长为cm cmABCD25D 52 C 35 B 53 A tan 32sin 90Rt 5）（）（）（）（）＝（，那么＝，＝，．在B A C ABC ︒∠∆1:3:2 D 2:3:1 C 1:2:3 B 3:2:1 A ::3:2:1::6）（）（）（）（）等于（，则＝中，．在c b a C B A ABC ∠∠∠∆1 D 0 C 1 B2 A sin tan tan 90Rt 7）（）（－）（－）（）等于（－，则＝中，．在C B A C ABC ⋅︒∠∆8．已知α是锐角，sin α＝0.6，则（ ） （A ）0º＜α＜30º （B ）30º＜α＜45º （C ）45º＜α＜60º （D ）、60º＜α＜90º三、解答下列各题：1．计算：︒︒︒45tan 45cos 21260sin 12－）＋＋（）（－－的长．．求＝上一点，为，＝，＝，＝中，．如图，已知：在AD DBC AC D ABC AB C ABC ︒∠∠︒∠∆3053cos 31090Rt 23．．的锐角＝＋－中，求适合方程在A A A ABC 03tan 4tan 32∆4．的长．，求＝，＋＝，＝，于中，如图，在AD B BC C D BC AD ABC 21tan 3230︒∠⊥∆BDACD CBA的长．与斜坡．求坝底宽＝的坡度米，斜坡＝米，斜坡米，高为＝，坝顶面为梯形如图，一拦水坝的横断．CD AD i CD AB BC ABCD 2:1545.2 5的长．．求＝，＝，＝＝，＝中，如图，四边形．AC BC CD D B BAD ABCD 1129060 6︒∠∠︒∠．．求山高的仰角，再次测得山顶米到的山坡前进沿倾斜角为，从的仰角测山顶一点代表山高，在山脚下找如图，CD D B A D A DC ︒︒︒6012003045.7AB CDE FDCBAE DCBA8．如图，某地为加固高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡都是1︰1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1︰1.5，而坝顶宽不变．求大坝横截面积增加多少平方米？（选作）的度数．和的值；②的两个实根．求①＝－＋－是方程，两个锐角，且）是一个直角三角形的＞（和已知：B A k k kx x B A B A B A ∠∠∠∠∠∠ 0124sin sin .92。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 直角三角形的边角关系练习题
一、选择题
1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )
A 、sinA=a c
B 、cosB=c b
C 、cosB=a b
D 、tanA=b
a 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=2
1
，则BC ∶AC ∶AB 等于( )
A 、1∶2∶5
B 、1∶3∶5
C 、1∶3∶2
D 、1∶2∶3
3.化简2)130(tan - ＝（ ）。
A 、331-
B 、13-
C 、13
3- D 、13-
4. 在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值（ ）
A ．都没有变化
B ．都扩大3倍
C ．都缩小为原来的1
3
D ．不能确定是否发生变化 5. Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AB =，2AC =，则sin A =（ ）
（A ）13 （B ）23 （C
（D
）
3 6. 在△ ABC 中，已知∠C=90°，5
3
sin =B ，则A cos 的值是( ) A 、
53 B 、34 C 、54 D ．4
3 7. 等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
8.如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A 、500sin55°米
B 、500cos55°米
C 、500tan55°米
D 、500tan35°米
9. 如图3，在ABC △中，90ACB ∠=
，CD AB ⊥于D
，若AC =
AB =，
则tan BCD ∠的值为（ ）
A
C
B
D 图3
10. 如图1，在Rt ABC △中，∠ACB=90°，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）
A.sin 2A =
B.1
tan 2
A =
C.cos 2B =
D.tan B =11. 在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的
是（ ）
A ．12sin 5
A =
B ．5cos 13
A = C ．5tan 12
A = D ．12cos 13
B =
二、填空题
1. 设a
为锐角，若sin a =
，则a =
，若tan a a = 2.在Rt ABC ∆中，已知3
sin 5
α=
，则cos α= ；tan= 。
3.在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=1，则∠B= 度. 4. Rt ABC ∆中，若4
sin 5
A =
，10AB =，那么BC = ，tan B = 5. 在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1
sin 2
A =，2A
B =，则AB
C ∆的周长为 （保留根号）
6. 小芳为了测量旗杆高度，在距旗杆底部6米处测得顶端的仰角是60°，小芳的身高不计，则旗杆高 米。
7如图,若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在 的位置比原来的位置升高________米.
8. 锐角Ａ满足2sin(A-150)＝3，则∠Ａ＝_____度.
9. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝的坡角为_____度. 1.计算下列各题:
(1)3cos30°+2sin45° (2) 2
(2)tan 452cos60-+-。
B
C
A
图1
(3) （2010•广东）()00
1
260cos 2214π-+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
(4) （2011•
广东）0011)452--
（5）（2012•广东）﹣2sin45°﹣（1+
）0
+2﹣1
．
2.在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD 和sinC
3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30°，已知BC=9m ，测角仪高CD 为1m ，求旗杆AB 的高（结果保留根号）。
A
D
4.如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）
A
6.（2011•广东）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A 到l的小路。
现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你
≈）帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m； 1.732
7.（2012•广东）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．。