数值分析1-4习题及答案

1、

0.1％,要取几位有效数字？ （ c ）

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5

2、若*

12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ）

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5

3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( )

(a) ∑=n

k k k y x l 0

)( (b) ∑='n

k k k k x l y

0)( (c)

∑=n k k

k

x y 0)(ω (d) ∑='n

k k

k

x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式

33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于

（ ）

(a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25

5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则

4

2

()

()i

i i x x l x =-∑等于 （ a ）

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4

4()[,],()()(),()(),(

)(), ' () ' (),22

()()_________________________f x C a b H x a b a b

H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、

是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3

2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式

2()P x =___2537

623x x +-__,其余项表达式

R(x)=__()

(1)(1)(4) [1,4]6

f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________

3、 确定求积公式1

0121

()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++⎰

中的待定参数，使其代数精度

尽量高,则A 0=_

29__________, A 1=__169________, A 2=_29

_______,代数精度=__2_________。

1、用最小二乘法求拟合函数1

y

=

使其与下列数据相拟合

2、 用最小二乘法求拟合函数2y a bx cx =++使其与下列数据相拟合

222222T 2(1,1) (1,) (1,) 4 2 6(,1) (,) (,) 2 6 8 +26 8 18(,1) (,) (,)[(,1) (,) (,x x x x x x x x x x x x F y y x y x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦=记法方程组系数矩阵

G=法方程组右端项2)][6 3 7] +2 +211

2 +2

22

11

2 +2

22

GC F a b c y x x ===+-解法方程组得C=( )=( -)求得拟合多项式为 3、（12分）数值积分公式

1

()(0)(1)'(0)f x dx Af Bf Cf ≈++⎰

已知其余项表达式为()'''(), (0,1)R f af ξξ≈∈

(1)试确定常数A ，B ，C ，使得有尽可能高的代数精度。（6分）

(2)试问所得的数值积分公式代数精度是多少？（2分） (3)给出求积公式余项（4分）

2/3 1/3 1/6 2 a=-1/72

4、 （8分）用辛普生公式计算积分1

0sin()2x dx π

⎰，并估计误差。

解：

4

(4)

10(sin 04sin sin ) +2642

1

1) +26

()||())| +2

1802 s b a b a R f f ππ

ξ-=

++=--⎛⎫=- ⎪⎝⎭误差|44

1 |sin()| +2

288016246080

πππξ=⨯≤

5、 （8

分）用复合梯形公式计算积分1

⎰

，

（n=4），并估计误差。 解：

()2

''21

421

1.21819 +28

1()||())| +2

12

111 |1216h h I R f h f ξ-=

==≈=-=⨯⨯误差|321

| +2

4768ξ-≤ 6、 依据如下函数值表，构造差商表，并建立不超过三次的牛顿插值多项式。