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2019最新高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列教学案 苏教版选修2-3

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高中数学 第一章 计数原理章末复习课学案 苏教版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理章末复习课学案 苏教版选修2-3

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题第一章计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝____________________________种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝______________________________________________________________.(2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k，k ∈{0,1,2，…，n }．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)．(2)总数要完备(保证不遗漏)． 跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)命题角度2 “正难则反”思想例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为________．反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为___________________________． 类型三 二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n ＋9C 2n ＋81C 3n ＋…＋9n －1C nn的值．反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质． 跟踪训练4 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍．(1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有x 的有理项．命题角度2 二项展开式的“赋值”问题 例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2.反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 跟踪训练5 若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有________种．2．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．4．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C r n，而不是C r＋1n，这是一个极易错点．(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．答案精析知识梳理1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．(n－m＋1)n！(n－m)！A m nA m mn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！1 C n－mn Cmn＋14．(1)C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n (n∈N*)题型探究例1 解方法一设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有C45C44＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C25C44＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有C22C45C24＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C35C34＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C35C44＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C45C34＝40(种)，所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．方法二5名男钳工有4名被选上的方法有C45C44＋C45C34C12＋C45C24C22＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C35C12C44＋C35C34A22＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有C25C22C44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．跟踪训练1 60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．例2 83解析若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决．集合S的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.跟踪训练2 30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．例3 解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24(种)方法．根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132(种)排列．跟踪训练3 130解析由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1,1}．当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C25×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C35×22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C45×2种方法．故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4 解(1)由C4n(－2)4∶C2n(－2)2＝56∶3，解得n＝10，因为通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10556rx－，r ＝0,1,2， (10)当5－5r6为整数时，r 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 36056x －，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5， 当r ＝10时，T 11＝(－2)10103x－＝1 024103x－，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x －.(3)原式＝10＋9C 210＋81C 310＋…＋910－1C 1010＝9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 10109＝C 010＋9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 1010－19＝(1＋9)10－19＝1010－19.跟踪训练4 解 (1)令x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n ＝16·2n ，所以2n＝16，n ＝4. (2)通项T r ＋1＝C r4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 454－r·342,rx－展开式中二项式系数最大的项是第3项尚水作品 T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .(3)由(2)，得4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为 T 1＝(－1)0C 0454x 4＝625x 4，T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x ，T 5＝(－1)4C 4450x －2＝x－2. 例5 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C 55(－1)5C 35(－2)3＋C 45(－1)4·C 45(－2)4＋C 35(－1)3·C 55(－2)5＝800.(2)令x ＝1，代入已知式，可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0，得a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)令x ＝－1，可得(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65，再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.跟踪训练5 5解析 令x ＝2，得a 0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x ＝3，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.当堂训练1．60 2.2 3.216 4.364 5.300。

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修23word格式

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修23word格式

第一章计数原理学目 1. 整理本章的知重点.2. 能合详尽的特色，合理两个数原理来解析和解决一些的.3. 理解摆列、合的看法，能利用数原理推排列数和合数公式，掌握合数的两个性，并能用它解决.4. 掌握二式定理和二张开式的性，并能用它解决与二张开式有关的算和明．1．分数原理完成一件事有n不一样样的方案，在第1 方案中有m1种不一样样的方法，在第2 方案中有m2种不一样样的方法，⋯，在第n方案中有m n种不一样样的方法，那么完成件事共有N＝____________________ 种不一样样的方法．2．分步数原理完成一件事需要n 个步，做第1步有 m1种不一样样的方法，做第2步有 m2种不一样样的方法，⋯，做第n 步有n 种不一样样的方法，那么完成件事有＝ ____________________________ m N种不一样样的方法．3．摆列数与合数公式及性摆列与摆列数合与合数摆列数公式 Amn＝n( n－ 1)( n－合数公式 Cmn＝ ________公式2) ⋯ ____________＝ ________________________＝ ____________＝ ________________当 m＝ n ，Amn全摆列；An＝ n！；0！＝C0n＝ Cn＝ 1；性Cmn＝ ________；______Cmn＋ Cmn－ 1＝ ________注n， m∈N*，且 m≤ n4.二式定理(1)二式定理的内容：( a＋b) n＝ ______________________________________________________________.(2)通公式： T k＋1＝Ckn a n－k b k， k∈{0,1,2，⋯， n}．(3)二式系数的性：①与首末两端等距离的两个二式系数相等；②若 n偶数，中一nn 奇数，中两第＋ 1 的二式系数最大；若2第n＋1和第n＋1＋ 1的二式系数相等且最大．22③ C0n＋ C1n＋ C2n＋⋯＋ Cn＝2n；C0n＋ C2n＋⋯＝ C1n＋C3n＋⋯＝ 2n－1.型一数学思想方法在求解数中的用命角度 1分思想例 1 有 11 名工人，此中 5 名男工是工， 4 名女工是工，其余两名老傅既能当工又能当工，在要在 11 名工人里派 4 名工， 4 名工维修一台机床，有多少种派方法？反思与感悟解含有束条件的摆列、合，按元素的性行分，分需要足两个条件： (1) 与之要互斥( 保不重复 ) ． (2) 数要完 ( 保不漏 ) ．追踪 1从 1,2,3,4,5,6 6 个数字中，任取 3 个数字成无重复数字的三位数，其中如有 1 和 3 ，3 必排在 1 的前方；若只有 1 和 3 中的一个，它排在其余数字的前方，不一样样的三位数共有________个． ( 用数字作答 )命题角度2“正难则反”思想例 2设会集S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，会集A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且满足 a1<a2<a3， a3－ a2≤6，那么满足条件的会集 A 的个数为________．反思与感悟关于正面办理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对峙面去思虑．追踪训练2由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科比赛，每科最少( 且每人仅报一科) ，若学生甲、乙不可以同时参加同一比赛，则不一样样的参赛方案共有a1， a2， a31 人________种．种类二摆列与组合的综合应用例 3在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目．(1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不一样样的节目安排序次？(2)当要求每 2 个舞蹈节目之间最少安排 1 个演唱节目时，有多少种不一样样的节目安排序次？(3) 若已定好节目单，今后状况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个节目，但不可以改变本来节目的相对序次，有多少种不一样样的节目演出序次？反思与感悟摆列与合的合，第一要分清何摆列，何合．含有特别元素的摆列、合，一般先行合，再行摆列．特别元素的地点有要求，在合取，就要行分，分的原是不重、不漏．在用接法数，要注意考全面，除掉干．追踪 3会集 A＝{( x ， x ，x ，x ，x )| x∈ { － 1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么会集12345iA中足条件“ 1≤ |x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤ 3” 的元素个数___________________________ ．型三二式定理及其用命角度 1二张开式的特定x－2例 4已知在n的张开式中，第 5 的系数与第 3 的系数之比是 56∶ 3.3x(1)求张开式中的所有有理；(2)求张开式中系数最大的；(3)求 n＋9C2n＋81C3n＋⋯＋9n－1Cn的．反思与感悟(1) 确立二式中的有关元素：一般是依据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二式中的有关元素．(2)确立二张开式中的常数：先写出其通公式，令未知数的指数零，从而确立数，此后代入通公式，即可确立常数．(3)求二张开式中条件的系数：先写出其通公式，再由条件确立数，此后代入通公式求出此的系数．(4)求二张开式中各系数的和差：代入．(5)确立二张开式中的系数最大或最小：利用二式系数的性．追踪 4 已知二式 5x－1n 张开式中各系数之和是各二式系数之和的16 x倍．(1)求 n；(2)求张开式中二式系数最大的；(3)求张开式中所有 x 的有理．命角度 2二张开式的“ ”例 5 若 ( x2－ 3x＋ 2) 5＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a10x10.(1)求 a2；(2)求 a1＋ a2＋⋯＋ a10；22(3) 求 ( a0＋a2＋a4＋⋯＋a10) － ( a1＋a3＋⋯＋a7＋a9) .反思与感悟与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和，主要方法是法，通察张开式右的构特色和所求式子的关系，确立字母所的，有后获得的式子比所求式子多一或少一，此要求出一，而在求奇数也许偶数的二式系数或系数的和，常常要两次，再由方程求出果．追踪 5 若 (x 2＋ 1)( － 3)9＝0＋1(－2) ＋2(x－ 2)2＋3(－2)3＋⋯＋a11(x－ 2) 11，x a a x a a xa ＋a ＋a ＋⋯＋ a的 ________．123111． 4 名大学生到三家企聘，每名大学生至多被一家企用，每家企最少用一名大学生的状况有 ________种．a2．已知关于x的二式x＋n 张开式的二式系数之和32，常数80，a3x的 ________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，不一样样的排法共有 ________种．4．若 (1 ＋x＋x2) 6＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a12x12，a2＋a4＋⋯＋a12＝ ________.5．航天在太空授，准行号0,1,2,3,4,5的六，向全球人民普及太空知，此中 0 号不可以放在第一，最后一的号小于它前方相一的号，序的排方法种数 ________． ( 用数字作答 )1．摆列与合(1)摆列与合的区在于摆列是有序的，而合是无序的．(2)摆列平时分无量制条件和有限制条件，于有限制条件的摆列，平时从以下两种门路考：①元素解析法：先考特别元素的要求，再考其余元素．②地点解析法：先考特别地点的要求，再考其余地点．(3)摆列与合合用是本章内容的重点与点，一般方法是先分，后分配．2．二式定理(1)与二式定理有关，包含定理的正向用、逆向用，型如明整除性、近似算、明一些的合恒等式等，此主若是要构造二式，合理用张开式．(2) 与通公式有关，主若是求特定，比方常数、有理、x 的某次等，此要特注意二张开式中第r ＋1的通公式是 T r＋1＝Crn a n－r b r( r＝ 0,1 ，⋯，n) ，此中二式系数是 Crn，而不是Crn＋ 1，是一个极易点．(3)与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和等主要方法是法．答案精析知梳理1．m1＋m2＋⋯＋m n2．m1×m2×⋯×m n3． ( n－m＋ 1)!!!! 1 C! C!n n－ 11n－ k k n*4． (1)C0n a＋ C1n a b ＋⋯＋Ckn a b ＋⋯＋Cn b ( n∈N )例 1解方法一A， B代表2位老傅．A， B都不在内的派方法有C45C4＝ 5( 种 ) ，，都在内且当工的派方法有C2C25C4＝ 10( 种 ) ，A BA， B都在内且当工的派方法有C2C45C24＝ 30( 种 ) ，A， B都在内且一人当工，一人当工的派方法有A2C35C34＝80( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C35C4＝ 20( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C45C34＝ 40( 种 ) ，因此共有 C45C4＋ C2C25C4＋C2C45C24＋A2C35C34＋ C12C35C4＋ C12C45C34＝ 185( 种) ．方法二 5 名男工有 4 名被上的方法有 C45C4＋ C45C34C12＋ C45C24C2＝ 75( 种 ) ，5 名男工有 3 名被上的方法有C35C12C4＋C35C34A2＝ 100( 种 ) ，5 名男工有 2 名被上的方法有C25C2C4＝10( 种 ) ，因此共有75＋ 100＋ 10＝185( 种 ) ．方法三 4 名女工都被上的方法有C4C45＋ C4C35C12＋C4C25C2＝ 35( 种 ) ，4 名女工有 3 名被上的方法有C34C12C45＋C34C35A2＝ 120( 种 ) ，4 名女工有 2 名被上的方法有C24C2C45＝30( 种 ) ，因此共有35＋ 120＋ 30＝185( 种 ) ．追踪 1 60解析 1 与 3 是特别元素，以此分准行分．分三：①没有数字 1 和3 ，有A34个；②只有 1 和3 中的一个，有2A24个；③同有 1 和3，把 3 排在 1 的前方，再从其余 4 个数字中 1 个数字插入 3 个空中间的 1 个即可，有 C14·C31个．因此足条件的三位数共有A34＋ 2A24＋ C14·C31＝ 60( 个) ．例2 83解析若从正面考，需分当a3＝9， a2可以取8,7,6,5,4,3，共 6；当 a3＝8，a2 可以取7,6,5,4,3,2，共6；⋯分多，而其立面a3－a2>6包含的状况少，当a ＝9 ，a取 2，a取 1 一种状况，利用正反思想解决．321会集S 的含有三个元素的子集的个数C39 ＝ 84. 在些含有三个元素的子会集能足a 1<2< 3且3－ 2>6的会集只有{1,2,9}，故足意的会集A的个数84－ 1＝ 83.a a a a追踪 230解析从 4 人中出两个人作一个元素有C24种方法，同其余两个元素在三个地点上摆列有C24A3＝36( 种 ) 方案，此中有不切合条件的，即学生甲、乙同参加同一有A3种果，∴不一样样的参方案共有36－6＝30( 种) ．例 3排，有解(1) 第一步先将 4 个舞蹈目捆起来，看作 1 个目，与 6 个演唱目一起A7＝ 5 040( 种 ) 方法；第二步再松， 4 个目排序，有A4＝ 24( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有 5 040 ×24＝ 120 960( 种 ) 安排序．(2)第一步将 6 个演唱目排成一列 ( 以下中的“□” ) ，一共有 A6＝720( 种 ) 方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将 4 个舞蹈目排在一一尾或两个演唱目中，相当于7 个“×” 4个来排，一共有 A47＝ 840( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有720×84 0＝ 604 800(种 ) 安排序．(3) 若所有目没有序要求，所有摆列，有A12种排法，但本来的目已定好序，A12需要除掉，因此目演出的方式有A10＝ A212＝ 132( 种 ) 摆列．追踪 3130解析由“ 1≤ | x1| ＋ | x2|＋ | x3| ＋ | x4| ＋ | x5| ≤ 3”考x1，x2，x3，x4，x5 的可能取，会集 M＝{0}， N＝{－1,1}．当 x1，x2，x3， x4， x5中有2个取 0，其余 3 个从N中取，共有3C25×2种方法；当 x，x2，x3， x4， x5中有 3个取 0，其余 2 个从N中取，共有21C35×2种方法；当 x1，x2，x3， x4， x5中有 4个取 0，其余 1 个从N中取，共有C45× 2 种方法．故共有32种 ) 方法，即足意的元素个数130. C25×2＋ C35×2＋ C45× 2＝ 130(例 4 解(1)由 C4n( － 2)4∶ C2n( － 2)2＝56∶ 3，解得n＝ 10，2因通 T r＋1＝Cr10( x)10－ r －r3xr5－5 rCr10 x6， r ＝0,1,2，⋯，10.＝(－2)5r当 5－整数，r可取 0,6 ， 6于是有理T1＝ x5和 T7＝13 440.(2)第 r ＋1系数的最大，Cr102r ≥C10r－12r － 1，Cr102r ≥C10r＋ 12r ＋ 1，r≤22，3解得又因 r ∈{1,2,3，⋯，9}，19r ≥3，－5因此 r ＝7，当 r ＝7， T ＝－15 360x6，8又因当r ＝0 ，1＝x5，T当 r ＝10，－10－10T11＝(－2)10 x3＝1 024x 3，T ＝－15 360x－5因此系数的最大的6.8(3) 原式＝ 10＋ 9C210＋ 81C30＋⋯＋ 910－1C109C10＋ 92C210＋ 93C310＋⋯＋ 910C10＝9C010＋ 9C10＋92C210＋93C310＋⋯＋ 910C10－ 1＝9＝!＝!.追踪 4解 (1)令 x＝1，得二式5x－1n 张开式中各系数之和(5 － 1) n＝ 4n，x各二式系数之和2n，由意，得n n n4 ＝16·2，因此 2 ＝ 16，n＝ 4.(2) 通T r＋1＝ Cr4(5 x)4－ r1r －x高中数学第一章计数原理章末复习课教学设计苏教版选修23word 格式r4－r4－ 3r· x2 ,＝ ( － 1) Cr45张开式中二 式系数最大的 是第3T 3＝ ( －1) 2C2452x ＝ 150x .3(3) 由 (2) ，得 4－ 2r ∈ Z( r ＝ 0,1,2,3,4) ，即 r ＝ 0,2,4 ，因此张开式中所有x 的有理1＝ ( －1) 0C0454 x 4＝ 625 4，Tx22x ＝ 150x ，T 3＝ ( －1) C2455＝ ( －1) 4C450x － 2＝ x －2.T例 5 解 (1)( x 2－ 3x ＋ 2) 5＝ ( x － 1) 5( x － 2) 5，a 2 是张开式中 x 2 的系数，∴ a 2＝ C5( － 1) 5C35( － 2) 3＋ C45( －1) 4·C 5(4 －2) 4＋ C35( － 1) 3·C 5( － 2) 5＝ 800.(2) 令 x ＝ 1，代入已知式，可得a 0＋ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝ 0，而令 x ＝ 0，得 a 0＝ 32，∴ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝－ 32.(3) 令 x ＝－ 1，可得( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) － ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝ 65，再由 ( a 0＋ a 2＋ a 4＋⋯＋ a 10) ＋ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝0，把 两个等式相乘可得，( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) 2－ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋a 9) 2＝ 65× 0＝ 0.追踪5 5解析令 x ＝ 2，得 a 0＝ (2 2＋ 1)(2 － 3) 9＝－ 5，令 x ＝ 3， a 0＋a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝ (3 2＋1)(3 － 3) 9＝0，因此 a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝－ a 0＝ 5.当堂1．。

精品2019高中数学第1章计数原理1.3组合教学案苏教版选修2-3

精品2019高中数学第1章计数原理1.3组合教学案苏教版选修2-3

1.3 组合第1课时组合与组合数公式从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？提示：无关．问题4：你能举个这样的示例吗？提示：从班里选7名同学组成班委会．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合.从1，3，5，7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12种．问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C24，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A22种排法．问题3：你能得出C24的结果吗？提示：因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A24A 22＝6.问题4：试用列举法求得从1，3，5，7中任取两个元素的组合数？提示：1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．组合数与组合数公式组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法用符号C mn表示组合数公式乘积形式C m n＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m！阶乘形式C m n＝n ！m ！（n －m ）！性质C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋Cm －1n备注①n ，m ∈N *且m ≤n .②规定C 0n＝11．组合的特点是只取不排组合要求n 个元素是不同的，被取出的m 个元素也是不同的，即从n 个不同的元素中进行m 次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m 个元素不讲究顺序，没有位置的要求．3．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．[例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？[精解详析] (1)①是排列问题，共通了A211＝110封信；②是组合问题，共握手C211＝55次．(2)①是排列问题，共有A210＝90种选法；②是组合问题，共有C210＝45种选法．[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．下列问题：①铁路线有5个车站，要准备多少车票？②铁路线有5个车站，有多少种票价？③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？④从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？⑤从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．答案：②④2．求出问题1中组合问题的组合数．解：②铁路线有5个车站，有C25＝10种不同的票价．④从a，b，c，d 4 名学生中选出2名学生，有C24＝6种不同的选法.[例2] (1)计算：C410－C37·A33；(2)解方程3C x －7x －3＝5A2x －4.[思路点拨](1)直接利用公式计算；(2)由计算公式化为关于x 的方程．[精解详析](1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×７4×3×2×１－7×6×5＝210－210＝0. (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·（x －3）！（x －7）！4！＝5·（x －4）！（x －6）！，则3（x －3）4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6) ＝40. 所以，x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2. 经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根．所以，方程的根为x ＝11.[一点通]组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式阶乘形式的主要作用有：(1)计算m ，n 较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝Cn －m n转化，减少计算量．3．计算C 36＋C 38＝________．解析：C 36＋C 38＝6×5×４3×2×１＋8×7×６3×2×１＝20＋56＝76.答案：764．计算下列各式的值．(1)C98100＋C 199200；(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69.解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×１＋200＝5 150.(2)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210. 5．(1)求C 38－n 3n ＋C3n 21＋n 的值；(2)求等式C5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345中的n 值．解：(1)∵0≤38－n ≤３n ，0≤3n ≤21＋n ，即192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212.∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C38－n 3n＋C3n 21＋n＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.(2)原方程可变形为C5n －1C 3n －3＋1＝345，C 5n －1＝145C 3n －3，即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！＝145·（n －3）（n －4）（n －5）3！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，故n ＝9为所求.[例3]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨]本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合数公式解决．[精解详析](1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．[一点通]解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其组合数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．6．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种．解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24C 15种．根据分类计数原理可得总的取法有C 14C 25＋C 24C 15＝40＋30＝70(种)．答案：707．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有C38＝8×7×６3×2×１＝56(种)．(2)是组合问题，只需从7个白球中取2个即可，所以有C27＝21(种)．(3)是组合问题，只需从7个白球中取3个即可，所以有C37＝35(种)．1．区分一个问题是排列问题，还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．判断它是否有顺序的方法：将元素取出来，看交换元素的顺序后对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为 3.课下能力提升(五)一、填空题1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．(1)从1，2，3，4中选出2个构成的集合；(2)由1，2，3组成两位数的不同方法；(3)由1，2，3组成无重复数字的两位数．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．答案：(1)2．已知C2n＝10，则n＝________．解析：C2n＝n（n－1）2×１＝10，解之得n＝5.答案：53．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．答案：2或34．若C x28＝C3x－828，则x＝________．解析：∵C x28＝C3x－828，∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，即x＝4或x＝9.答案：4或95．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．解析：∵m＝C24，n＝A24，∴m∶n＝1 2 .答案：1 2二、解答题6．列出从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合．解：从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共10个．7．计算：A23＋A24＋A25＋…＋A2100.解：原式＝C23A22＋C24A22＋C25·A22＋…＋C2100·A22＝(C23＋C24＋C25＋…＋C2100)·A22＝(C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·A22＝(C34＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·Ａ22＝(C35＋C25＋…＋C2100－C33)·Ａ22…＝(C3101－C33)·Ａ22＝2C3101－2＝333 298.8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C210＝10×９2×１＝45种选法．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C26种选法；再从4名女教师中任选2名，有C24种选法；根据分步计数原理，所以共有C26·C24＝90种不同的选法．第2课时组合的应用[例1] 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨] 特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析] (1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通] 解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法.[例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析] 法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通] 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．课下能力提升(六)一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．推荐下载故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×174×3×2×１＝4 845个．答案：4 8454. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种推荐下载取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选 5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)推荐下载。

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江苏高中数学教材顺序篇一：江苏高中数学目录告诉我每个学期学什么？？按课标要求，每学期两个模块，即：高一上：必修一、二高一下：必修三、四高二上：必修五、选修1－1（文）、选修2－1（理）高二下：文选修1－2，理选修2－2、2－3然后各学校根据自己的情况安排高三一轮复习，考选修三四系列的还要再多学一点，具体内容看省里的要求。

高一数学上数学1第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步3.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离高一数学下数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式高二数学上数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式文科数学选修系列11-1（上）第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2（下）第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图理科数学选修系列22-1（上）第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程第3章空间向量与立体几何2-2（上）第1章导数及其应用第2章推理与证明第3章数系的扩充与复数的引入2-3（下）第1章计数原理第2章概率第3章统计案例篇二：高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示 1.2子集、全集、补集 1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法 2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性 2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数 3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数 3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系 1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直 1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离 2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系 2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步 1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句 1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图 2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差 2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型 3.3几何概型 3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘 2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算 2.4向量的数量积 2.5向量的应用第3章三角恒等变换 3.1两角和与差的三角函数 3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式ab?a?b(a?0,b?0)3.4.1基本不等式的证明23.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布 2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性 2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差 2．6正态分布第三章统计案例 3．1独立性检验 3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理 1.1.2相似三角形 1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理 1.2.2圆的切线 1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形 1.3 圆锥截线1.3.1球的性质 1.3.2圆柱的截线 1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法 2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换 2.2.2伸压变换 2.2.3反射变换 2.2.4旋转变换 2.2.5投影变换 2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念 2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组 2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系 4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系 4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义 4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换 4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换 4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化 4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质 5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法 5.2.2含有绝对值的不等式的证明 5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法 5.3.3反证法 5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式 5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式 5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值 5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告篇三：高中新课标教材版本各省详表高中课标教材本(各省市)详表1、海南高中课标教材本（04秋高一起用）：2、广东高中课标教材本（04秋高一起用）：3、山东高中课标教材本（04秋高一起用）：4、宁夏高中课标教材本（04秋高一起用）：5、江苏高中课标教材本（05秋高一起用）：6、福建高中课标教材本（06秋高一起用）：7、辽宁高中课标教材本（06秋高一起用）：8、安徽高中课标教材本（06秋高一起用）：9、浙江高中课标教材本（06秋高一起用）：10、天津高中课标教材本（06秋高一起用）：11、湖南高中课标教材本（07秋高一起用）：12、陕西高中课标教材本（07秋高一起用）：13、吉林高中课标教材本（07秋高一起用）：14、黑龙江高中课标教材。

苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》参考教案

苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》参考教案

1.1《两个基本计数原理》教案一、教学目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.二、教学重难点1、理解分类计数原理与分步计数原理2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题三、教学过程一、问题情况问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.二、学生活动探究：你能说说以上两个问题的特征吗？三、数学构建一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有=N+mn种不同的方法.分类记数原理的另一种表述:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m种不同的方法,在第二1类办法中有m种不同的方法，……，在第n类办法中有n m种不同的方法.那么完2成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.问题1解答：分析:从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法.所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.问题2解答：分析:从A 村经B 村去C 村有两步：第一步,由A 村去B 村有3种方法,第二步,由B 村去C 村有2种方法,所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法.四、数学运用例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有2m = 3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的方法.A 南 北所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个).二、分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成：第一步,1m =10;第二步,2m = 10; 第三步,3m =10，第四步，4m = 10.根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 =410种四位数的号码. 答:首位数字不为0的号码数有N =9×10×10 ×10 = 9×310种,首位数字是0的号码数有N = 1×10×10 ×10 =310种.由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数.分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集.分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.练习：练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？投影完成解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m= 3种,1第二步,m= 2种,2第三步,m= 1种,3第四步,m= 1种.4所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.练习2 如图,该电路,从A 到B 共有多少条不同的线路可通电？解:从总体上看由A 到B 的通电线路可分三类,第一类, 1m = 3 条，第二类,2m =1条，第三类,3m =2×2 = 4条.所以, 根据分类记数原理, 从A 到B 共有N = 3 + 1 + 4 = 8条不同的线路可通电. 点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.五、课堂小结1．主要学习了分类记数原理和分步记数原理2.两个原理的异同点：共同点是：它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事.分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.A B。

高中数学第1章计数原理1.2排列讲义苏教版选修2_3

高中数学第1章计数原理1.2排列讲义苏教版选修2_3

1.2 排列1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数与排列数公式[提示] 由于北京—上海，上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列．思考2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？[提示] “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．1．下列问题属于排列问题的是( )①从10名学生中抽2名学生开会；②从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表；③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算．A．①B．②C．③D．②③D[①中无顺序；②中6人担任课代表有顺序；③中幂分底数和指数，存在顺序．] 2．9×10×11×…×20可表示为( )A．A1020B．A1120C．A1220D．A1320C[A1220＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.]3．A345！＝________.1 5[A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.]4．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________．123,132,213,231,312,321 [用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．]【例1】(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路探究] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．1．判断下列问题是否是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？[解] (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两名去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路探究] (1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法？(1)12 (2)14 [(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．][1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示] 从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？[提示] A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示] A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当m ＝n 时，即n 个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：A nn ＝n (n －1)(n －2)·…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 另外，我们规定0！＝1.所以A m n＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！＝A nnA n －m n －m.【例3】 (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)证明：A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .[思路探究] 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A mn ＝n ！(n －m )！进行变形推导．[解] (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)[证明] ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ， ∴A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．3．求3A x8＝4A x －19中的x .[解] 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，即3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8.所以原方程的解为x ＝6.1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．2．本节课的易错点是利用排列数公式A mn 解决问题时，易忽视条件m ≤n ，且m ∈N *，n ∈N *. 3．在画树状图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( ) (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( ) [解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同． (2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同、结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有给法( ) A ．5种B ．10种C．20种D．60种C[由排列数定义知，共有A25＝5×4＝20种．]3．A66－6A55＋5A44＝________.120 [原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.]4．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．[解] 按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6种不同的分法．列出这6种分法，如下：。

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列(二)优化训练 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列(二)优化训练 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试

1.2 排列(二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将5辆车停在5个车位上,其中A 车不停在一号车位上,B 车要停在二号车位上.不同的停车方案有 ( )A.6种B.18种C.24种D.78种 答案：B解析：N=3313A A =18(种).2.用1,2,3三个数字,可组成无重复数字的正整数共( )A.6个B.27个C.15个D.9个 答案：C解析：利用1,2,3可组成数字不重复的一位,二位,三位正整数,于是有N=332313A A A ++=15(个).3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12 答案：A解析：分两类:①两个新节目相邻的插法有622A 种;②两个新节目不相邻的插法有26A 种,故N=6×2+6×5=42.或者直接采用插空法:N=1716A A •=42.4.3个男生和2个女生排成一排,若两端不能排女生,则共有____________种不同的排法. 答案：36解析：男生排在两端有23A 种排法,其余位置有33A 种排法.故共有23A ·33A =36种排法. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.一个人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为( )A.2544A A B.25A C.44A D.4488A A -答案：B解析：命中4枪,恰好有3枪连在一起的“三枪”看作一个整体(一个元素)，第4枪看作一个元素,共两个元素.打不中的四枪间,连同前后共5个空,任选两个空插入,有25A 种. 2.将1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种 答案：B有3种情况,总共3×3=9种.3.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是______________.(用数字作答) 答案：12解析：工程甲、工程乙、工程丙、工程丁的顺序已确定且丙丁相邻，则只需将剩下的2个工程安排好，即24A =12.4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成____________个没有重复数字且能被5整除的六位数. 答案：216解析：分两类：末位数字是0的有55A =120（个），末位数字是5的有4414A A =96（个）. 总共120+96=216(个).5.一天课表中,6节课要安排3门理科,3门文科,要使文,理科间排,不同的排课方法有_________种;要使数学与物理连排,化学不得与数学,物理连排,不同的排课方法有___________种. 答案：72 144解析：要使文理科间排,有两种情况:文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,共有33333333A A A A •+•=72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：2433A A •·2=144.6.在3 000至8 000中有多少个无重复数字的奇数?解法一:分两类:首位数字是3,5,7的四位奇数有281413A A A ••=672（个）；首位数字是4，6的四位奇数有281512A A A ••=560（个）.故满足条件的数共有672+560=1 232(个).解法二:若允许首末位数字相同,则末位可取1,3,5,7,9五个数字,首位可取3~7五个数,于是3 000~8 000中的奇数有281515A A A 个;其中首末位数字相同的情况是3**3,5**5,7**7,共有13A 28A 个.于是共有:28A ×5×5-13A ·28A =1 400-168=1 232（个）满足题设条件的数.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从5位同学中选派4位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六,星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )A.40种B.60种C.100种D.120种 答案：B解析：先从5人中选2人安排在星期五,再从剩下的3人中选1人安排在星期六,从最后02人中选1人安排在星期日.121325C C C =60.2.若n∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n)…(29-n)·(30-n)等于( )A.1020A B.1120n A - C.1030n A - D.1130n A -答案：D解析：mn A =n(n-1)…(n -m+1), 故原式=1130n A -.3.不等式21-n A -n≤0的解是( )A.n=3B.n=2C.n=2或n=3D.n=1或n=2或n=3 答案：A解析：∵n -1≥2,又(n-1)(n-2)≤n, ∴n=3.4.200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A.219733319723C C C C +种B.319723C C -种 C.51975200C A -种 D.4197135200C C C -种答案：A解析：有两件次品的抽法为233197C C ,有三件次品的抽法为332197C C ,共有232197233197C C C C +种.5.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中,若百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为（ ）A.12B.8C.6D.4 答案：C解析：百位数字量大,所以安排5,剩余的4个空位,安排1,2,3,4,全排列有44A 个,但要求万位数字比千位数字小,即这两个位置大小次序一定,属于定序问题,所以应去掉对顺序的安排22A ;同理个位、十位也要去掉对顺序的安排22A ，所以这样的五位数的个数共有222244A A A =6个.6.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有___________种. 答案：1 440解析：先排数学有33A 种排法; 再排外语有22A 种排法;将数学,外语看成整体与其他书全排有55A 种排法. ∴N=33A ·22A ·55A 1 440(种).7.由四个不同数字1,4,5,x(x≠0)组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各位数字之和为288,求x 的值.解：因为1,4,5,x 四个数字互不相同,故在排成的四位数中,1在千位上,百位上,十位上,个位数字上分别出现33A 次,故所有的1的和为1×4×33A =24.同理可知，所有4的和共有4×4×33A =96,所有5的和共有5×4×33A 120,所有x 的和共有x·433A =24x.由题设得24+96+120+24x=288,解得x=2.8.用1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少?解:满足要求的五位数分为三类:偶奇偶奇奇:221312A A A ••； 奇偶奇偶奇:221213A A A ••；奇奇偶奇偶:221312A A A ••；共有3221312A A A ••=36（个）.9.从-1、0、1、2、3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数. (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条?(2)与x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条?解:(1)a>0且c≠0,共有131313A A A ••=27种.(2)只需ac<0,故-1必须排除,有221313A A A ••=18种.(3)可分为三类:第一类与x 轴正、负半轴均有交点的直线共有18条,第二类过原点且与x 轴负半轴有一个交点,此时,c=0,ab>0,共有23A =6条.第三类,与x 轴负半轴有两个交点,则必须满足⎩⎨⎧≥-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆同号a 、、b、ac b ac a b040002 即b=3,a 、c 在1、2中取，有2条，由分类计数原理可得有26条. 10.4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题. (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)男生相邻,女生也相邻的坐法有多少种? (4)女生顺序已定的坐法有多少种?解:(1)从整体出发,将4名男生看成一个“大元素”与3名女生进行全排列，有44A 种排法，而“大元素”内部又有44A 种排法，故共有44A ·44A =576种坐法.(2)先将4名男生排好,有44A 种排法,然后在男生之间隔出的五个空档中插入3名女生,故有44A ·33A =1 440种坐法.(3)N=44A ·33A ·22A =288种坐法.(4)N=473377A A A =840种坐法.。

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修2_3word格式

高中数学第一章计数原理章末复习课学案苏教版选修2_3word格式

第一章计数原理学习目标 1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝____________________________种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝______________________________________________________________.(2)通项公式：T k＋1＝Ck n a n－k b k，k∈{0,1,2，…，n}．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C0n ＋C1n ＋C2n ＋…＋Cn n ＝2n；C0n ＋C2n ＋…＝C1n ＋C3n ＋…＝2n －1.类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)．(2)总数要完备(保证不遗漏)． 跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)命题角度2 “正难则反”思想例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为________．反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为___________________________． 类型三 二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n ＋9C2n ＋81C3n ＋…＋9n －1Cn n 的值．反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．跟踪训练 4 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍． (1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有x 的有理项．命题角度2 二项展开式的“赋值”问题 例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2.反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 跟踪训练5 若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有________种．2．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是T r＋1＝Cr n a n－r b r(r＝0,1，…，n)，其中二项式n，这是一个极易错点．系数是Cr n，而不是Cr＋1(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．答案精析知识梳理1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．(n－m＋1) 错误!错误!错误!错误! 1 C错误!C错误!4．(1)C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋Ck n a n－k b k＋…＋Cn n b n (n∈N*)题型探究例1 解方法一设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有C45C44＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C25C44＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有C22C45C24＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C35C34＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C35C44＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C45C34＝40(种)，所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．方法二5名男钳工有4名被选上的方法有C45C44＋C45C34C12＋C45C24C22＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C35C12C44＋C35C34A22＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有C25C22C44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．跟踪训练1 60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C 13个． 所以满足条件的三位数共有 A34＋2A24＋C14·C 13＝60(个)． 例2 83解析 若从正面考虑，需分当a 3＝9时，a 2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a 3＝8时，a 2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a 3－a 2>6包含的情况较少，当a 3＝9时，a 2取2，a 1取1一种情况，利用正难则反思想解决．集合S 的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a 1<a 2<a 3且a 3－a 2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A 的个数为84－1＝83.跟踪训练2 30解析 从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的， 即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种结果， ∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．例3 解 (1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A44＝24(种)方法． 根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132(种)排列．跟踪训练3 130解析 由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1,1}．当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C25×23种方法； 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C35×22种方法； 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C45×2种方法． 故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4 解 (1)由C4n (－2)4∶C2n (－2)2＝56∶3，解得n ＝10， 因为通项T r ＋1＝Cr 10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)rCr 10556rx－，r ＝0,1,2， (10)当5－5r6为整数时，r 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧Cr 102r≥C r －1102r －1，Cr 102r≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤223，r≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 36056x －，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5， 当r ＝10时，T 11＝(－2)10103x－＝1 024103x－，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x －.(3)原式＝10＋9C210＋81C310＋…＋910－1C1010＝9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C10109＝C010＋9C110＋92C210＋93C310＋…＋910C1010－19＝错误!＝错误!.跟踪训练4 解 (1)令x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n ＝16·2n ，所以2n＝16，n ＝4. (2)通项T r ＋1＝Cr 4(5x )4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r Cr 454－r ·342,r x －展开式中二项式系数最大的项是第3项T 3＝(－1)2C2452x ＝150x .(3)由(2)，得4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为 T 1＝(－1)0C0454x 4＝625x 4，T 3＝(－1)2C2452x ＝150x ，T 5＝(－1)4C4450x －2＝x －2.例5 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C55(－1)5C35(－2)3＋C45(－1)4·C 45(－2)4＋C35(－1)3·C 5(－2)5＝800.(2)令x ＝1，代入已知式，可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0，得a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)令x ＝－1，可得(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65，再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.跟踪训练5 5解析 令x ＝2，得a 0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x ＝3，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.当堂训练1．60 2.2 3.216 4.364 5.300。

2019最新版高中数学 第一章 计数原理 1.3 第1课时 组合与组合数公式学案 苏教版选修2-3

2019最新版高中数学 第一章 计数原理 1.3 第1课时 组合与组合数公式学案 苏教版选修2-3

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的概念思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1 可以得到多少个不同的商？思考2 如何用分步计数原理求商的个数？思考3 你能得出C24的计算公式吗？梳理组合数及组合数公式类型一组合概念的理解例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？反思与感悟判断一个问题是否是组合问题的流程跟踪训练1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题． 类型二 组合的列举问题 引申探究若将本例中的a ，b ，c ，d ，e 看作铁路线上的5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？例 2 从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，列出所有的组合为________________________________________________________________________． 反思与感悟 借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处．跟踪训练2 写出从A ，B ，C ，D ，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．类型三 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例3 (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1.反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练3 (1)计算C 98100＋C 199200＝________. (2)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015的值为________．命题角度2 含组合数的方程或不等式 例4 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式：C 4n >C 6n .反思与感悟 (1)解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n ∈N *而导致错误．(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m 、n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练4 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是________．2．集合M ＝{x |x ＝C n4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1,2,3,4}，则M ∩Q ＝________. 3．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为________． 4．不等式C n －310<C n －210的解集为________．5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．答案精析问题导学知识点一思考①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无序的．梳理并成一组知识点二思考1 A24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.思考3 因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.梳理所有组合的个数C m n n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！C n－mn Cmn Cm－1n 1题型探究例1 解(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．跟踪训练1 (1)(3) (2)(4)解析(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．例2 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de解析要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．引申探究解因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有A25＝20(种)．但票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a 站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，故共有12×20＝10(种)不同的票价．跟踪训练2 解 所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE . 例3 (1)解 原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 ＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立． 跟踪训练3 (1)5 150 (2)C 42 016－1 解析 (1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150. (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 015－1＝… ＝C 42 015＋C 32 015－1＝C 42 016－1. 例4 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}． 跟踪训练4 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5. 所以x ＝11或x ＝－2(舍去负根)． 经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11. 当堂训练1．2 2.{1,4} 3.1或3 4.{3,4,5,6,7} 5．140。

2019高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合教学案 苏教版选修2-3

2019高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合教学案 苏教版选修2-3

1.3 组合第1课时组合与组合数公式从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？提示：无关．问题4：你能举个这样的示例吗？提示：从班里选7名同学组成班委会．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合.从1，3，5，7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12种．问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C24，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A22种排法．问题3：你能得出C 24的结果吗？ 提示：因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6.问题4：试用列举法求得从1，3，5，7中任取两个元素的组合数？ 提示：1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．组合数与组合数公式1．组合的特点是只取不排组合要求n 个元素是不同的，被取出的m 个元素也是不同的，即从n 个不同的元素中进行m 次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m 个元素不讲究顺序，没有位置的要求． 3．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．[例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？[精解详析] (1)①是排列问题，共通了A211＝110封信；②是组合问题，共握手C211＝55次．(2)①是排列问题，共有A210＝90种选法；②是组合问题，共有C210＝45种选法．[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．下列问题：①铁路线有5个车站，要准备多少车票？②铁路线有5个车站，有多少种票价？③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？④从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？⑤从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．答案：②④2．求出问题1中组合问题的组合数．解：②铁路线有5个车站，有C25＝10种不同的票价．④从a，b，c，d 4 名学生中选出2名学生，有C24＝6种不同的选法.[例2] (1)计算：C 410－C 37·A 33；(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.[思路点拨] (1)直接利用公式计算； (2)由计算公式化为关于x 的方程． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·（x －3）！（x －7）！4！＝5·（x －4）！（x －6）！， 则3（x －3）4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6) ＝40. 所以，x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2. 经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． 所以，方程的根为x ＝11.[一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到． 组合数公式阶乘形式的主要作用有： (1)计算m ，n 较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －mn 转化，减少计算量．3．计算C 36＋C 38＝________．解析：C 36＋C 38＝6×5×43×2×1＋8×7×63×2×1＝20＋56＝76.答案：764．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200；(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69.解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210. 5．(1)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值；(2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345中的n 值． 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212.∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466. (2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝345，C 5n －1＝145C 3n －3，即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！＝145·（n －3）（n －4）（n －5）3！， 化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)， 故n ＝9为所求.[例3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合数公式解决．[精解详析] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其组合数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．6．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种．解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24C15种．根据分类计数原理可得总的取法有C14C25＋C24C15＝40＋30＝70(种)．答案：707．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有C38＝8×7×63×2×1＝56(种)．(2)是组合问题，只需从7个白球中取2个即可，所以有C27＝21(种)．(3)是组合问题，只需从7个白球中取3个即可，所以有C37＝35(种)．1．区分一个问题是排列问题，还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．判断它是否有顺序的方法：将元素取出来，看交换元素的顺序后对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.课下能力提升(五)一、填空题1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．(1)从1，2，3，4中选出2个构成的集合； (2)由1，2，3组成两位数的不同方法； (3)由1，2，3组成无重复数字的两位数．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题． 答案：(1)2．已知C 2n ＝10，则n ＝________． 解析：C 2n ＝n （n －1）2×1＝10，解之得n ＝5.答案：53．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．答案：2或34．若C x 28＝C 3x －828，则x ＝________． 解析：∵C x28＝C 3x －828，∴x ＝3x －8或x ＋(3x －8)＝28， 即x ＝4或x ＝9. 答案：4或95．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：12二、解答题6．列出从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合．解：从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10个．7．计算：A 23＋A 24＋A 25＋…＋A 2100.解：原式＝C 23A 22＋C 24A 22＋C 25·A 22＋…＋C 2100·A 22 ＝(C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100)·A 22 ＝(C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22 ＝(C 35＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22 …＝(C 3101－C 33)·A 22 ＝2C 3101－2 ＝333 298.8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种选法．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第二类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C 26种选法；再从4名女教师中任选2名，有C 24种选法；根据分步计数原理，所以共有C 26·C 24＝90种不同的选法．第2课时 组合的应用[例1] 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨] 特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析] (1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通] 解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A 中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法.[例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析] 法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通] 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．课下能力提升(六)一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成： 第1步，选女工，有C 13种选法；第2步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13·C 27＝3×21＝63种不同选法． 答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C 12C 24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C 34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C 12C 24＋C 34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C 420＝20×19×18×174×3×2×1＝4 845个．答案：4 8454. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P ­ABC 与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P ­ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C 13×C 12×C 11×C 12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C 216＝120种方法．答案：120 二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)。

2019最新高中数学 第1章 计数原理 1.5 二项式定理教学案 苏教版选修2-3

2019最新高中数学 第1章 计数原理 1.5 二项式定理教学案 苏教版选修2-3

1.5 二项式定理第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r．3．二项式系数C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C nn .4．(a ＋b )n的二项展开式中，字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n .[例1] 求下列各式的展开式：(1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝（4x 3－3）532x ＝132x [C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243)＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4.2．求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x ＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r⎝⎛⎭⎪⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝C 410·⎝ ⎛⎭⎪⎫124· x 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1058x 10.(2)设第r ＋1项为常数项， 则T r ＋1＝C r10·(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r10·x 20－52r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r(r ＝0，1，2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x 6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3.答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n －3r x －2r＝C r n x3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0，1，2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12rC r8x 16－3r4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10.(1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r10()3x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x r (r ＝0，1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120.(2)第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. [一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C rn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________． 解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有 －C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20. 答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120. 由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解． 由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4. 答案：48．求⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1x 9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r9(2x 2)9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．课下能力提升(八)一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r ＋1＝C r5(－1)r x15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3.故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10. 答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________． 解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ，又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·26n （n －1）＝3，解得n ＝11. 答案：115.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答)解析：由T r ＋1＝C r9(x 2)9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 9x 18－3r,依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9， ∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．解：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r()－a r x －2r ＝C r 6x 6－3r()－a r.当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n展开式的通项公式为T r ＋1＝C rn·()x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C rn x n －2r2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12rC r 8x 4－r.令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.第2课时 二项式系数的性质及应用(a ＋b )n的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －mn ； (2)C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1； (3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ；当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ；(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n．1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以C n －12n和C n ＋12n(两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[例1] 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________． 解析：∵T r ＋1＝C r6(2x )6－r(－1)r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r，∴a r ＝(－1)r 26－r C r6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎪⎫12－11n＝0.答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 ＝－(－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5)，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝243. (3)a 1＋a 3＋a 5＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________． 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n， 而各项的二项式系数的和等于2n， 根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n ＝3. 所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r3()x 3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＋3x 25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 235－r(3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4. 即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] 求证：2n ＋2·3n ＋5n －4(n ∈N *)能被25整除．[思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n＋5n －4转化为25的倍数即可证明．[精解详析] 原式＝4·6n＋5n －4 ＝4·(5＋1)n＋5n －4 ＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C nn ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n .以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除． 证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151·251－1. 易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除． 又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1 ＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)． 显然能被7整除， 所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n ，33n－26n －1可被676整除． 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n－26n －1 ＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1＝26n＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n ，33n－26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题 (1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．课下能力提升(九)一、填空题1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x ＝1，2n＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r6·36－r·x 6－r2·(－1)r·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3.所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540. 答案：－5403．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________． 解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180. 答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n＝________．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题， 只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256. 答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中 (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者． 即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：∵32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋1＋C 1n ＋1·8＋C 2n ＋1·82＋C 3n ＋1·83＋…＋C n n ＋1·8n ＋C n ＋1n ＋1·8n ＋1－8n －9＝1＋(n ＋1)·8＋C 2n ＋1·82＋C 3n ＋1·83＋…＋C n n ＋1·8n ＋8n ＋1－8n －9＝C 2n ＋1·82＋C 3n ＋1·83＋…＋C n n ＋1·8n ＋8n ＋1＝82(C 2n ＋1＋C 3n ＋1·8＋…＋C n n ＋18n －2＋8n －1)，又∵C 2n ＋1＋C 3n ＋1·8＋…＋C n n ＋18n －2＋8n －1是整数，∴32n ＋2－8n －9能被64整除.。

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1.2 排列第1课时排列与排列数公式1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动．问题1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2：有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午；甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动，需要几步？提示：分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗？提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种． 问题8：试写出它们的排列． 提示：ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb.排列的定义一般地，从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.已知数字1，2，3，4，5，6.问题1：从1，2，3，4，5，6中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数？ 提示：有6×5＝30(个)．问题2：从1，2，3，4，5，6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1，2，3，4，5，6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？ 提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，有多少种不同的排法？ 提示：有n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(个)．1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后，在安排m 个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．[例1] 下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中抽2名学生开会；(2)从2，3，5，7，11中任取两个数相乘；(3)以圆上的10个点为端点作弦；(4)10个车站，站与站间的车票．[思路点拨] 利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)2名学生开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；(2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；(4)10个车站间站与站的票价．解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题．(4)两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题.[例2] A，B，C，D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能站法．[思路点拨] 解决本题可通过树形图法，画出依题意的形状，便可写出不同的站法．[精解详析] 如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB ，共12种．[一点通] “树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．3．A ，B ，C 三个同学站成一排照相留念，写出所有排列． 解：由题意作树形图如图所示：故所有的排列为：ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA .4．A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，列出树形图如图： 位置编号换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .[例3] 计算：(1)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)A m －1n －1·A n －m n －mA n －1n －1.[思路点拨] 利用公式A mn ＝n ！（n －m ）！化简变形．[精解详析] (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)原式＝（n －1）！[（n －1）－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.[一点通] 应用排列数公式应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． (2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性，如：n ！＝n (n －1)！；n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！；n －1n ！＝1（n －1）！－1n ！等．5．如果A mn ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________． 解析：∵15×14×13×12×11×10＝A 615，∴n ＝15，m ＝6. 答案：15 6 6.A 812A 811＝________． 解析：原式＝12×11×10×……×6×511×10×…×5×4＝124＝3.答案：3 7．解下列方程： (1)3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)5A x 4＝6A x －15.解：(1)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． ∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.(2)由5A x 4＝6A x －15，得5×4！（4－x ）！＝6×5！（6－x ）！化简得x 2－11x ＋24＝0，解得x 1＝3，x 2＝8， ∵x ≤4，且x －1≤5，∴原方程式的解为x ＝3.1．排列数公式的特点(1)第一个因数是n；(2)每个因数都比它前面的因数少1；(3)最后一个因数是n－m＋1；(4)一共有m个连续的自然数相乘．2．应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！（n－m）！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用．课下能力提升(三)一、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题．答案：①③2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号) ①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲； ②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙； ④甲乙，甲丙，乙丙．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确． 答案：③3．已知A 2n ＝132，则n ＝________．解析：A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0， 又因为n ∈N *，所以n ＝12. 答案：124．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A 35＝5×4×3＝60种不同的排法． 答案：605．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________． 解析：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！， 7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5! 开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3. 答案：3 二、解答题6．计算：(1)2A 47－4A 56； (2)A 316－A 56A 35.解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2 ＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200. (2)原式＝16×15×14－6×5×4×3×25×4×3＝4×14－12＝44.7．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0. 解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，故应舍去)．所以x ＝3.8．用1，2，3，4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }． (1)写出这个数列的前11项； (2)求这个数列共有多少项．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．第2课时 排列的应用[例1] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？[思路点拨] (1)选出3个课题进行排列； (2)每个学习小组都选一个课题．[精解详析] (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A 35＝5×4×3＝60种．(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题． 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法.[一点通] 没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．1．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目最多1项，则该外商不同的投资方案有________种．解析：不同的投资方案有A34＝4×3×2＝24种．答案：242．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科的科代表，共有A57＝2 520种不同的选法．答案：2 5203．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种.[例2] 7位同学站成一排．(1)其中甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析] (1)先考虑甲站在最左端有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66种排法．(2)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25·A55种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25·A55种排法．(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，故共有A66＋5×5A55种排法．法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A66种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A77－2A66＋A55种排法．[一点通] 解决这种有限制条件的排队问题，关键是搞清元素是什么，位置是什么，根据给出的限制条件，按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决．4．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．答案：245．6个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．解：(1)第一步，先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端，有A25种不同的站法；第二步，再让剩下的4个人站在中间的4个位置，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A25·A44＝480种不同的站法．(2)让甲、乙先站两端，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A22·A44＝48种不同的站法．(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有A55种不同的站法；甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有4×4×A44种不同的站法，故共有A55＋4×4×A44＝504种不同的站法.[例3] 用0，1，2，3，4这五个数字，组成五位数，(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[思路点拨] 该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位．(1)数字可以重复；(2)只需限制首位(即万位)不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0.[精解详析] (1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数4×5×5×5×5＝2 500个．(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1，2，3，4中任取一个有A14种方法，其余四个位置排四个数字共有A44种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A14种方法，其余四个数字全排列，有A44种方法．故组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A12种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A13种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A33种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有A12A13A33＝36个．[一点通] 组数问题中常用的知识：(1)能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数．(2)能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数．(3)能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数．(4)能被5整除的数的特征：末位数是0或5；能被25整除的数的特征：末两位数是25的正整数倍．(5)能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有A15种排法，再排个位、十位和百位，有A35种排法，故共有A15A35＝300个不同的四位数．(2)当个位数字是0时，有A35种；当个位数字不是0时，有A12A24A14种．所以，共有A35＋A12A24A14＝156个，即可组成156个四位偶数．7．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是奇数，从1，3，5三个数中选三个数排列，有A33种方法；(2)3个数字中有一个是奇数，分两步进行，选一个奇数，有3种选法，这个奇数与两个偶数全排列，故有3A33种方法．由分类计数原理，共有A33＋3A33＝24个满足条件的三位数．1．解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所给数字中有0，应先考虑首位不为0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列．2．解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．课下能力提升(四)一、填空题1．由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为________．(用数字作答)解析：A28＝8×7＝56个．答案：562．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A24＝72(种)排法．答案：723．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．答案：244．由数字1，2，3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A33A22＝12种．答案：125．将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1，2，3)表示第i行中最大的数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析：由题意知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240二、解答题6．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排法共有A37·A44＝5 040种；(2)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种．7．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多少个？解：(1)法一：(直接法——优先考虑特殊位置)∵a≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A27种，∴共有7A27＝294个不同的二次函数．法二：(直接法——优先考虑特殊元素)a，b，c中不含0时，有A37个，a，b，c中含有0时，有2A27个，故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．法三：(间接法)共可构成A38个函数，其中a＝0时有A27个均不符合要求，从而共有A38－A27＝294个不同的二次函数．(2)(直接法)依题意b＝0，所以共有A27＝42个符合条件的二次函数．8．用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个比1 325大的四位数？解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：第1类：个位上是0的五位数有A45个；第2类：个位上是5的五位数有A14A34个．所以满足条件的五位数有A45＋A14A34＝216(个)．(2)比1 325大的四位数可分三类：第1类：千位上是2，3，4，5时，共有A14A35个；第2类：千位上是1，百位上是4，5时，共有A12A24个；第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4，5时，共有A12A13个．由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有A14A35＋A12A24＋A12A13＝270(个)．。

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