第3讲 质点运动学之相对运动和圆周运动
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讲义1-2、3 圆周运动、相对运动剖析
第一章 质点运动学
物理学
第五版
1-2 圆周运动
例 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
vA
B
km·h-1 ,沿近似圆弧曲线 r
俯冲到点B，其速率为2
192 km·h-1 , 经历时间为3 o
vB
s , A设B 的半径约为 3.5
飞km机, 从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不
计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的
加速度；(2)飞机由点A到点B所经历的路程.
第一章 质点运动学
物理学
1-2 圆周运动
第五版
解（1）飞机是匀变速率圆周运动， A
v A
即切向加速度大小不变。
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得： at 23.3m s2，
r an
o
B
a
at
v B
an 106 m s2
a at2 an2 109m s2
与速度的夹角
arctan an 77.6o
at
第一章 质点运动学
物理学
第五版
（2）矢径r 所转过的角度
At
1t 2
2
飞机走过的路程
s r
vAt
1 2
at
t
2
1722 m
1-2 圆周运动
A
v A
B
r
o
v B
第一章 质点运动学
物理学
第五版
§1-3 相对运动
Relative Movement
第一章 质点运动学
物理学
第五版
S系：基本参考系
S'系：运动参考系
第3讲 圆周运动的角量描述
第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。
1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。
这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。
由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。
所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。
位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。
质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。
2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。
如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。
在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。
注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。
其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。
即为d θ的正方向。
2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ． ．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。
3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。
大学物理第1章质点运动学的描述
t 4s
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
圆周运动及相对运动
a
en
o
a
v
et
at
π 0, , v 常量 2 π 0, π, v 减小
2
π 0, 0 , v 增大 2
a
x
一般曲线运动（自然坐标）
ds 其中 曲率半径 . d 四 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
ds v e dt t
dv v2 a e e dt t n
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是 正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因 此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变速 率运动 .
dv d a r r t dt dt
et
v2
et2
பைடு நூலகம்v1
o
et1
r
et1
切向单位矢量的时间变化率
det d en dt dt
et2
法向单位矢量
dv a et ven dt
v2
et2
v1
切向加速度（速度大小变化引起）
dv a r t dt dt 2
0
t
vB v A at 23.3m s 2 t
2 B
v 106m s 2 在点 B 的法向加速度 an r vA A 在点 B 的加速度
r
B
an
at
a
vB
2 a at2 an 109m s 2
与法向之间夹角
为
高一物理圆周运动-课件
向心加速度的计算公式
向心加速度的大小可以通过公式 a = v²/r 来计算，其中 a 是向心加速度，v 是 物体的速度大小，r 是圆周运动的半径。
圆周运动的牛顿第二定律
牛顿第二定律的内容
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在 物体上的合外力成正比，与物体的质量成反 比。
圆周运动的牛顿第二定律 的应用
总结词
感受圆周运动的旋转效果
详细描述
通过观察电风扇的叶片转动， 学生可以感受到圆周运动的旋 转效果，理解向心力的作用。
教学方法
教师可以打开电风扇，让学生 观察叶片的转动，并解释向心
力的作用。
互动环节
学生可以尝试关闭电源，观察 电风扇的叶片停下来的过程，
理解惯性的概念。
旋转木马的转动
总结词
体验圆周运动的乐趣
当物体做圆周运动时，其受到的合外力（向心力）始终指向圆心，提供物体做圆周运动 的向心加速度。
向心力的大小与速度的关系
向心力的大小与物体的速度大小和半径有关，速度越大，向心力越大；半径越小，向心 力越大。
向心加速度的计算
向心加速度的定义
向心加速度是描述物体做圆周运动时速度方向改变的快慢的物理量，其方向始 终指向圆心。
详细描述
通过观察自行车轮的转动，学 生可以直观地理解圆周运动的 特点，如线速度、角速度等概 念。
教学方法
教师可以引导学生观察自行车 轮的转动，并提问相关概念， 让学生自主思考并回答。
互动环节
学生可以尝试改变自行车的速 度和方向，观察轮子的转动变 化，加深对圆周运动的理解。
电风扇的转动01Leabharlann 020304
教学方法
教师可以组织学生排队乘坐旋转木马，让学 生在游戏中感受圆周运动的特点。
向心加速度的大小可以通过公式 a = v²/r 来计算，其中 a 是向心加速度，v 是 物体的速度大小，r 是圆周运动的半径。
圆周运动的牛顿第二定律
牛顿第二定律的内容
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在 物体上的合外力成正比，与物体的质量成反 比。
圆周运动的牛顿第二定律 的应用
总结词
感受圆周运动的旋转效果
详细描述
通过观察电风扇的叶片转动， 学生可以感受到圆周运动的旋 转效果，理解向心力的作用。
教学方法
教师可以打开电风扇，让学生 观察叶片的转动，并解释向心
力的作用。
互动环节
学生可以尝试关闭电源，观察 电风扇的叶片停下来的过程，
理解惯性的概念。
旋转木马的转动
总结词
体验圆周运动的乐趣
当物体做圆周运动时，其受到的合外力（向心力）始终指向圆心，提供物体做圆周运动 的向心加速度。
向心力的大小与速度的关系
向心力的大小与物体的速度大小和半径有关，速度越大，向心力越大；半径越小，向心 力越大。
向心加速度的计算
向心加速度的定义
向心加速度是描述物体做圆周运动时速度方向改变的快慢的物理量，其方向始 终指向圆心。
详细描述
通过观察自行车轮的转动，学 生可以直观地理解圆周运动的 特点，如线速度、角速度等概 念。
教学方法
教师可以引导学生观察自行车 轮的转动，并提问相关概念， 让学生自主思考并回答。
互动环节
学生可以尝试改变自行车的速 度和方向，观察轮子的转动变 化，加深对圆周运动的理解。
电风扇的转动01Leabharlann 020304
教学方法
教师可以组织学生排队乘坐旋转木马，让学 生在游戏中感受圆周运动的特点。
自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2
1.3 圆周运动和相对运动
Δt
oR
第1章 质点运动学
10
at
B
vA
A (t )
作者
杨
鑫
1.3 圆周运动和相对运动
Δv dv d s E v D lim 2 v B v Δt 0 Δt dt d t Δv tF v n A 2 C dv d s a t 2 v ( t t ) dt d t B B
2
第1章 质点运动学
11
at
杨
当Δt 0时 切线
方 向
作者 鑫
方向 Δvt 极限方向
oR (t )
vA at A
1.3 圆周运动和相对运动
2. a n 的物理意义
Δv n a n lim Δ t 0 Δ t ΔOAB ΔCDF vA | Δ vn |
n
法 向 加 速 度
二、圆周运动的角量描述 1.角量
杨 鑫 演示：皮带传动 演示：角量方向
第1章 质点运动学
17
作者
1.3 圆周运动和相对运动
第1章 质点运动学
18
(4) 平均角加速度 瞬 时 角 角 加 加 速 速 度 t 度
2 d d θ
，利用 2.圆周 （1）已知 运动两 求导法求 ?, ? 类基本 （2）已知 及初始条件, 利 问 题 用积分法求 ?, ?
三、相对运动
v u a a0
作者 杨 鑫
r r r
P
0
u
v
P r O r a z r O' x' x
静 止
0 z'
S y S ' y'
oR
第1章 质点运动学
10
at
B
vA
A (t )
作者
杨
鑫
1.3 圆周运动和相对运动
Δv dv d s E v D lim 2 v B v Δt 0 Δt dt d t Δv tF v n A 2 C dv d s a t 2 v ( t t ) dt d t B B
2
第1章 质点运动学
11
at
杨
当Δt 0时 切线
方 向
作者 鑫
方向 Δvt 极限方向
oR (t )
vA at A
1.3 圆周运动和相对运动
2. a n 的物理意义
Δv n a n lim Δ t 0 Δ t ΔOAB ΔCDF vA | Δ vn |
n
法 向 加 速 度
二、圆周运动的角量描述 1.角量
杨 鑫 演示：皮带传动 演示：角量方向
第1章 质点运动学
17
作者
1.3 圆周运动和相对运动
第1章 质点运动学
18
(4) 平均角加速度 瞬 时 角 角 加 加 速 速 度 t 度
2 d d θ
，利用 2.圆周 （1）已知 运动两 求导法求 ?, ? 类基本 （2）已知 及初始条件, 利 问 题 用积分法求 ?, ?
三、相对运动
v u a a0
作者 杨 鑫
r r r
P
0
u
v
P r O r a z r O' x' x
静 止
0 z'
S y S ' y'
1-2质点力学02 圆周运动 相对运动
第 1章
质点力学
a
at
A
圆周运动特例：匀速率圆周运动。
an
特点：速度大小不变，方向时刻在变。加速度只改变 速度的方向，而且永远指向圆心，称向心加速度。 x R cost , y R sin t x 2 y 2 R 2 r (R cost )i (R sin t ) j v (R sin t )i (R cost ) j
分量式 1 2 y v sin t gt 0 2
消去时间参数 t ，得轨迹方程
g 2 y xtg x 2 2 2v0 cos
圆周运动与相对运动 1.6.2 运动的叠加原理
第 1章
质点力学
当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运 动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运动叠加 原理，或运动的独立性原理。
1.6
运动的叠加原理
1.6.1 抛体运动
1.运动方程
如图所示，质点初始时刻位于坐标系原点，初速 度v0与水平方向夹角为，由于加速度竖直向下且恒 为 g gj ，则由速度定义及抛体的初始条件可得 速度公式如下：
圆周运动与相对运动
第 1章
质点力学
y
v0t
1 2 gt 2
v0
r
g
1 运动方程： v v gt r v t gt 2 0 0
2
2 A
（1）法向加速度：只改变速度方向。
t 0
方
向： t 0
CDF
an v A
即：指向圆心。
圆周运动与相对运动 第 1章 （2）切向加速度：改变速度大小。
质点力学
| v | dv 大小为： at | at | lim lim t 0 t t 0 t dt 注： t 0 0 vt vB v A v 方 向： t 0 0 vt 同v A平行
第3讲 圆周运动
A.角速度为 0.5 rad/s C.轨迹半径为π4 m 答案 BCD
B.转速为 0.5 r/s D.加速度大小为 4π m/s2
7
知识梳理 双基过关
课堂互动 研透考点
@《创新设计》
3.[人教版必修2·P25·T3改编]如图2所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆 盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是 ( )
@《创新设计》
图6
17
知识梳理 双基过关
课堂互动 研透考点
@《创新设计》
解析 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，A点和B点的线速度大小之比为 1∶1，由v＝ωr可得，线速度大小一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角 速度之比为3∶1，选项A、C正确，B、D错误。 答案 AC
18
知识梳理 双基过关
力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到 P 的距离为 l，则有 Fsin θ＝
mgtan θ＝m4Tπ22lsin θ，解得周期为 T＝2π
lcos g
θ＝2π
hg，因为任意时刻两球
均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项 A 正确；连接两球的绳的张
力 F 相等，由于向心力为 Fn＝Fsin θ＝mω2lsin θ，故 m 与 l 成反比，由 m1≠m2，
均是有支撑的小球
由小球恰能做圆周运动 得v临＝0
知识梳理 双基过关
课堂互动 研透考点
C.A、C两点的周期大小相等
D.A、B两点的向心加速度大小相等
15
知识梳理 双基过关
课堂互动 研透考点
@《创新设计》
解析 自行车的链条不打滑，A 点与 B 点的线速度大小相等，故 A 正确；B 点 与 C 点绕同一转轴转动，角速度相等，故 B 正确；由 T＝2vπr可知，A 点 的半 径大于 B 点的半径，A 点的周期大于 B 点的周期，而 B 点的周期与 C 点的周期 相等，所以 A 点的周期大于 C 点的周期，故 C 错误；由向心加速度公式 an＝vr2， A 点的半径大于 B 点的半径，可知 A 点的向心加速度小于 B 点的向心加速度， 故 D 错误。 答案 AB
圆周运动、相对运动
注意：1 以上关系只适应平动参照系；
A 和点 B . 地面上人测得车通过 A、B 两点间的距 离和时间与车上的人测量结果相同 .
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点
v
B A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测 量是绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无 关， 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学 的基础 . 2. 推导以上关系所用时、空观是牛顿的绝对时空观。
定义： t
a）平均角加速度（ ） 定义： t b）瞬时角加速度（ ）
2 1
定义： lim d
单位： 1 / s 2
t 0
t
dt
引入了角位置，角位移，角速度，角加速度， 它们与位矢，速度，加速度一一对应。
(t )
………(1)
(1)式为用角量描述圆周运动的运动方程
2）角位移（ ）
质点在 t时间内质点转过的角度
2
3）角速度
1
2 1 注意：1） 的单位为弧度
a）平均角速度
b）瞬时角速度 4）角加速度
定义： d
dt
单位： 1 / s
r
r v
a
线量 角量
二）角量和线量的关系 甲）角量、线量之间的数量关系 1）自然坐标与角位置的关系
OR v S
O’
s R
….(1)
+
an
S
2)线速度与角速度的关系
3) 线加速度的大小与角加速度的大小的关系
ds d v R R ….(2) dt dt
v物地 v物车 v车地
第一章 质点运动学
六. 单位 本课程采用国际单位制（ ）， ），其中 本课程采用国际单位制（SI），其中 长度单位 时间单位 速度单位 加速度单位 米（符号 m） ） 秒（符号 s） ） 米每秒（ 米每秒（符号 m/s ） 米每二次方秒（ 米每二次方秒（符号 m/s2 ）
例题1-4 已知质点作匀加速直线运动，加速度 已知质点作匀加速直线运动， 例题 求这质点的运动方程。 为 a ，求这质点的运动方程。 dv = a 常量），积分得 ），积分得 解 由定义 （常量）， dt
∆r = r1 − r
即等于质点位矢在∆t O 即等于质点位矢在∆ 时间内的增量。 时间内的增量。且有
r
r ∆t 时间内位移 1
t +∆t 时刻位矢 ∆
x
∆r = x1i + y1 j − xi − yj = ( x1 − x )i + ( y1 − y ) j
时间内质点通过的路程 为标量 路程∆ 为标量， ∆t 时间内质点通过的路程∆s为标量，仅当 ∆t→0时，位移的大小 时 lim ∆r = ∆s
d 2 x dv x ax = 2 = = −ω 2 R cos ω t dt dt d 2 y dv y ay = 2 = = −ω 2 R sin ω t dt dt
由此得加速度的大小
v a = ω R cos ωt + sin ωt = ω R = R
2 2 2 2
2
如果把加速度写成矢量式， 如果把加速度写成矢量式，则有
本课程中只讨论平面内的运动问题， 本课程中只讨论平面内的运动问题，常用坐标 系有平面直角坐标系 极坐标系和自然坐标系。 平面直角坐标系、 系有平面直角坐标系、极坐标系和自然坐标系。
二. 质点 一般情况下， 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
圆周运动相对运动
答疑电子信箱: gbao@
辅导网站:
7/13/2013 4:07:57 PM
http://10.20.31.6
6
1.2 圆周运动 二、圆周运动的加速度
法向单位矢量 切向和法向单位矢量构成了自然坐标(natural coordinates)基矢。 运动质点的速度始终沿轨迹的切线方向，采用自 然坐标速度可以表示为
21
R
在地面观察
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1.3 相对运动 例题 如图示，汽车在雨中以速度v1运动，雨滴的速度 为v2，雨滴的方向与垂直方向成角（参见图），问车 v1 速为多大时物体A刚好不被雨淋湿？ v 解：依照题意作图，由运 2 v 动的相对性
v2 v1 v
o t 1 2 t)dt o
1.2 圆周运动 质点角速度也是矢量，符合右手定则。 角速度与速度都反映了质点作圆周运动时空间位 置变化的快慢程度。两者是相互关联的。质点作圆周 运动时r为常量 s r y v
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第一章 质点运动学 1-2 圆周运动
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1
1.2 圆周运动
圆周运动是非常常见的一种运动形式，台风、涡 旋气流、涡旋星云等都是作圆周运动
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2
1.2 圆周运动
一、圆周运动的速度、加速度 质点作圆周运动时，可采用角坐标描述质点的 位置，类似的质点位置的变化可以用角位移表示
考虑到线速度沿圆周切线 方向，有
ds d r v r dt dt
r
圆周运动、相对运动
dr dt
R
v
角加速度
v (t ) R (t )
d dt
d
2
dt
2
a
dv
d r 2 dt dt
2
v v e dv d e dv a e v dt dt dt
d e dt d en en dt
教学基本要求 １、熟悉圆周运动的角量描述； ２、孰练掌握角量与线量之间的关系；
３、正确理解切向和法向加速度的物理意义；
４、理解运动的相对性。
Y
一
圆周运动的角量描述
角量
B
角坐标
(t )
角速度
r
线量 0
A X
(t )
d (t ) dt
v
ds dt Rd dt
二. 圆周运动的切向加速度 和法向加速度
v2
e 2
0
r
v
e 1
v1
e
dv a e v e n dt
e 2
e 1
v2
v1
dv a e v e n dt
切向加速度 反映速度大小的变化
Y
e
（
v
ds dt ds d
为曲率半径）
例：碟盘是一张表面覆盖一层信息记录物质的塑性圆片。若碟 盘可读部分的内外半径分别为2.50cm和5.80cm。在播放时，碟 盘被以恒定的线速度 由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线） r r1 d 进行扫描。（1）若开始时读写碟盘的角速 2 度为50rad.s-1 ，则读完时的角速度为多少？（2）若螺旋线的 间距为d=1.60 m，求扫描线的总长度和回放时间。
质点运动
第四节 特殊质点系的运动描述
一、刚体 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组． )
说明： ⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动． 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同． 特点：各点运动状态一样，如： v、 a
' n
'
t 6.00 rad/s
v r 0.50 6.00 3.00 m/s
an
a r 0.50 3.00 1.50m/s 指向与v相同。
2
沿着飞轮的切线方向。
a
图1-21 例1.9图
v
an r 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.50 6.002 18.0 m/s2
例1.8 一架飞机遇到向东北方向吹的恒定气流，在飞行员驾机朝 东偏南迎风飞行时，飞机（对地）却向正东飞行着。如果飞机相 对于风的速度的大小为215km/h，方向东偏南 角；风相对地面的 速度大小为65Km/h，方向北偏东20°。问：飞机相对于地面的速 度的大小和方向各为多少？ 解：取地面为静参考系E，风为动参考系M，飞机为研究对象 y
v 机 地 v 机 风 v风 地
v机地y v机风y v风地y
0 215sin 65cos20
v风 地
v机 地
v机 风
x
O
v机地x v机风x v风地x
65cos20 arcsin 16.5 215
v机地 215cos16.5 65sin20 228km/h
2
75
rad s
在 300 s 内转子转过的转数
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o
v
Δ θ v'
v
v a n R
2
称为法向加速度或向心加速度
n 称为单位法线矢量
变速圆周运动：速度大小、方向均变化
Δt 时间内速度增量： v v' v v n v t
v n : 速度方向变化对 v 的贡献 v t : 速度大小变化对 v 的贡献
v AB v R v AB t R t v
B(t+Δt) v v ' A(t) Δs n R
v 当Δt→0 时的极限方向指向圆心
v v AB v s v 2 a lim lim n lim n n t 0 t t t 0 0 R t R t R
vn vt v 2 dv v a lim lim lim n t 0 t t 0 t t 0 t R dt
v2 n 法向加速度（由速度方向变化引起） an R
dv at dt
An
v
B
O
C
CB l AC l 2 r 2 sin 2 t
2 2
x OC CB r cos t l 2 r 2 sin 2 t
活塞的运动速度：
A r
l B x
O
C
x r cos t l 2 r 2 sin 2 t r cos t dx r sin t 1 v 2 2 2 dt l r sin t
活塞运动近似为简谐振动的条件是什么？
R
v'
o
v
切向加速度（由速度大小变化引起）
v'
v n
v
v t
圆周运动及其角量描述
特点：轨迹为一圆，即 x、y 满足 x y R
2 2 2
角位置 ： 质点所在的矢径与x 轴的夹角。 角位移：质点从 A到 B位矢转过的角度 。 规定： 逆时针转向为正，顺时针转向为负。 y 角速度： B d s lim rad s 1 t 0 t dt A 角加速度： d x R O lim rad s 2 t 0 t dt
E：Earth
( 2) 位移： rSE rSV rVE (3) （1）式对 t 求导， v SE v SV vVE 一般记 v v u 称为伽利略速度变换。 ( 4) （3）式对 t 再求导， a SE a SV aVE 一般记 a a a0 称为伽利略加速度变换。 du 则 a0 0, 假如 u 常矢量 dt 有 a a
2ct C 2t 4 R
t 0
1 Ct 3
3
)；
）；
）
ds v dt
dv at dt
S
0
d s vdt
2
v an R
4.如图所示的曲柄链杆机构，当曲柄绕O点以匀角 速转动时，将通过连杆带动活塞在气缸内往复运 动，试求活塞的运动方程。
A r
l B x
t
OC r cos r cos t
角量表示匀加速圆周运动的基本公式：
0 t
1 2 0 0 t t 2 2 02 2 0
角量和线量的关系：
s R
v R at R a n R
2
ds d R dt dt dv d R dt dt 2 v an R R
结论：在相对做匀速直线运动的参考系中观察同一 质点的运动时，所测加速度相同。
注意： （1）不可将速度的合成与分解和伽利略速度变换关 系相混。 速度的合成是在 同一个参考系 中进行的，总能 够成立。 伽利略速度变换应用于两个参考系之间，只在u << c时才成立。 （2） 以上结论是在绝对时空观下得出的。 长度测量的绝对性 时间测量的绝对性
法向加速度（由速度方向变化引起）
dv at dt
切向加速度（由速度大小变化引起）
a v at a cos v av an a sin v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z P
v
a
x
0
y
曲线运动中，加速度方向总是指向曲线的凹侧！
1 、一质点从静止出发沿半径 R=1m 的圆周运动，其 角加速度随时间 t 的变化规律是： 12t 2 6t 则质点的角速度ω=（ 切向加速度at=（ 4t 3-3t 2（rad /s） ） 12t 2-6 t（m /s2） ）
第二部分 相对运动、圆周运动
1. 相对运动 2. 圆周运动 3. 一般曲线运动
1. 相对运动
相对运动是指不同参考系中观察同一物体的运动。 仅讨论一参考系S相对另一参考系S以速度 u 平动时 的情形： S’ u S
rSE
A0
rVE
rSV
A
B
V：Vehicle S：Sphere (1) 由位置矢量图： rSE rSV rVE
法向加速度an=（ （4t 3-3t 2）2（m /s2） ）
2、一质点作半径为0.1m的圆周运动，其运动方
t2 程为: 4 2
则其切向加速度at=（ 法向加速度an=（
0.1 m /s2
） ）
0.1 t 2 m /s2
3、在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间 的关系为 v ct 2 (式中C为常数），则 从 t =0到t 时刻质点走过的路程 S(t)=( t 时刻质点的切向加速度 at=（ t 时刻质点的法向加速度 an=（
2
可以把角速度看成是矢量 ！
方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指 的指向即为角速度矢量的方向。 y 线速度与角速度的关系： ω v v r
R
大小： v
r sin
R
r
O
x
z
3. 一般曲线运动
v2 an n
[例] 某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同 速率从北偏东300方向吹来，试问人感到风从哪个方向 吹来？ （A）、北偏东300 （B）、南偏东300
V风对地
（C）、北偏西300 （D）、西偏南300
V人对地
V风对人
2. 圆周运动
匀速圆周运动：（速度大小不变、方向变化）
v v' v Δt 时间内速度增量：