高中数学人教A版(2019)必修(第二册)6.4.2 向量在物理中的应用举例(共6张PPT)
【课件】+向量在物理中的应用举例课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课后作业
【解析】 如图，A→D为船速，A→B为水速，A→C为实际航行的速度．又A→C ⊥A→B，|A→D|＝5，|D→C|＝|A→B|＝3，所以|A→C|＝ |A→D|2－|D→C|2)＝4.
课后作业
2. 一物体受到相互垂直的两个力 F1，F2 的作用，两力大小都为 5 3 N，
则两个力的合力的大小为( C )
θ2＝1，可得θ＝0.
于是|F1|的最小值为|G2|.若要使|F1|＝|G|，只需 cos
θ＝1，此时θ＝π，即
2223Biblioteka θ＝2π. 3知识讲解
用向量法解决物理问题的一般步骤 (1) 把物理问题中的相关量用向量表示； (2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； (3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象．
6.4.2 向量在物理中的 应用举例
学习目标
通过用向量方法解决某些简单的力学问题的过程，提高 解决实际问题的能力．
新课导入
活动 掌握向量在物理中的应用
物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有 大小和方向的，因而它们都是向量．向量在物理学中最基本的应 用就是力、速度、加速度、位移等的合成与分解，在物理中动量 是向量的数乘，力所做的功是向量的数量积．
课堂小结
思考：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现 象的重要基础知识.通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？
如何解决物理中与向量有关的问题： （1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）； （2）灵活运用数学模型研究有关物理问题； （3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问题； （4）用所得的结果解释物理现象.
课后作业
【解析】 设水的阻力为 f，绳的拉力为 F，F 与水平方向夹角为
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件：6.4.2 向量在物理中的应用举例
[微思考] 如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？ 提示 力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与 向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等； 力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如 图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所 做的功为W＝F·s.
1.元素与集合的关系
UxAxCA
,UxCAxA
.
2.德摩根公式
( ) ; ( ) CU A B CU A CUB CU A B CU A CUB .
3.包含关系
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
card(A B) card(B C) card(C A) card(A B C) .
5．集合1 2 { , , , } n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1 个；非
题型一 向量的线性运算在物理中的应用 【例1】 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的
夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解 如图，两根绳子的拉力之和O→A＋O→B＝O→C，且|O→C|＝|O→G|＝300 N，
∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°， 从而|O→A|＝|O→C|·cos 30°＝150 3(N)， |A→C|＝|O→C|·sin 30°＝150(N)， 所以|O→B|＝|A→C|＝150(N).
数学人教A版2019必修第二册 向量在物理中的应用举例
事实上，要使| |最小，只需
此时
= ，可得 = .
于是| |的最小值为 .
若要使| | = ||，只需
此时
=
最大，
，即
=
.
=
，
技巧总结
用向量解力学问题
对物体进行受力分析
画出受力分析图
转化为向量问题
例题解析
例2.在如图，一条河两岸平行，河的宽度 = ，一艘船从河岸边的
6.4 平面向量的应用
§6.4.2 向量在物理中的应用举例
情境引入
➢ 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都
是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了
有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为
向量问题来解决.
➢ 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问
模型的建立
建立以向量为主体的数学模型
参数的获得
求出数学模型的有关解—理论参数值
问题的答案
回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
随堂练习
1.一物体在力的作用下，由点(, )移动到点 , ．已知 =
， − ，求对该物体所 做的功
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点
程需要多长时间(精确到. )？
解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际
沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图，设 = + ，则|| =
此时，船的航行时间 =
||
=
.
| | − | | = (/).
向量在物理中的应用举例(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
自学检测
2.如果一架飞机向东飞行 ，再向南飞行 ，记飞机飞行的路程为 ，位移为 ，那么( ).
A. B. C. D. 与 不能比大小
A
[解析] ， ， .故选A.
3.当两人提起重力大小为 的旅行包时，两人用力方向的夹角为 ，用力大小都为 ，若 ，则 的值为( ).
[解析] 如图所示，设此人的实际速度为 ，水流速度为 .
∵实际速度＝游速 水速，∴游速为 ，在 中， ， ， .故此人应沿与河岸夹角为 ，逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为 .
巩固训练
二、向量的数量积在物理中的应用
例2 已知两恒力 ， 作用于同一质点，使之由点 移动到点 .求：
A. B. C. D.
D
[解析] 因为 ， ， ，所以 ,要想使该物体保持平衡，只需 ，故选D.
4.一条河宽为 ，一条船从 处出发垂直航行到达河正对岸的 处，船速为 ，水速为 ，则船到达 处所需的时间为___分钟.
3
[解析] 如图，∵ ，
， ，∴ .∴所需时间 ∴该船到达 处所需的时间为3分钟.
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
课时2 向量在物理中的应用举例
学习目标
1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.（数学抽象）
2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.（数学运算）
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.（数学建模）
自主预习·悟新知
利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，即选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算;第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
某人在静水中游泳，速度为 ，水的流速为 ，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
数学人教A版必修第二册6.4.2向量在物理中的应用
运算律或性质计算．
第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．
（3）困惑是：……
作业布置
作业：教科书第123页，练习第3，4，5题，第124页A组12；B组第6题．
目标检测
1
已知作用在点A的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1）且A（1，1），则
课堂练习
练习：教科书第122页练习1，2．
归纳小结
问题6 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）利用向量法解决物理问题思路是什么？
（2）向量方法解决物理问题的步骤是什么？
（3）你有什么困惑吗？
（1）用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
河水速度v2平行于河岸，合速度v指向对岸，
∴静水速度｜v1｜＝ ｜｜2 + ｜2 ｜2 = 122 + 52 ＝13（m/s）．
目标检测
3
一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12
3
km/h，则船到达B地方需时间为________
min．
解析：∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， ｜v1｜＝20 km/h，｜v2｜＝12 km/h，
2
河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水
中的速度大小为（ A ）
A．13 m/s
B．12 m/s
C．17 m/s
D．15 m/s
解析：设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，v1与v2的合速度为v．
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
【规律方法】 用向量方法解决平面几何问题的步骤
【跟踪训练】已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1，0)，
(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：选 A.A→B＝(3，3)，C→D＝(－2，－2)，所以A→B＝－32C→D，
A→B与C→D共线，但|A→B|≠|C→D|，故此四边形为梯形．
则|F1＋F2|为( )
A．(0，5)
B．(4，－1)
C．2 2
D．5
解析：选 D.F1＋F2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，
所以|F1＋F2|＝5.
力 F＝(－1，－2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s＝(3，4)， 则力 F 对质点 P 做的功是________． 解析：因为 W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力 F 对质点 P 做 的功是－11. 答案：－11
证明：设A→B＝m，A→D＝n， 由ECDE＝AFFB＝12，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点，
所以F→O＝F→A＋A→O＝13B→A＋12A→C ＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋12n， O→E＝O→C＋C→E＝12A→C＋13C→D ＝12(m＋n)－13m＝16m＋12n. 所以F→O＝O→E. 又 O 为F→O和O→E的公共点，故点 E，O，F 在同一直线上．
A→C表示渡船实际垂直过江的速度．
因为A→B＋A→D＝A→C，所以四边形 ABCD 为平行四边形． 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|D→C|＝|A→B|＝12.5. |A→D|＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°.
高中数学人教A版必修第二册教师用书19 第6章平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．( 重点) 2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．( 重点)3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．( 难点)1.通过用向量方法解决几何问题的学习,提升数学运算和直观想象的核心素养． 2．通过用向量方法解决物理问题的学习,提升数学想象、数学建模的核心素养.1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”( 1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题．( 2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题． ( 3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用( 1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．( 2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． ( 3)动量m v 是向量的数乘运算．( 4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．1．已知平面内四边形ABCD 和点O ,若OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,OD →＝d ,且a ＋c ＝b ＋d ,则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [由条件知OA →＋OC →＝OB →＋OD →,则OA →－OB →＝OD →－OC →,即BA →＝CD →,∴四边形ABCD 为平行四边形．]2．已知△ABC 中,AB →＝a ,AC →＝b ,且a ·b ＜0,则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定A [由条件知∠BAC 为钝角,所以△ABC 为钝角三角形．]3．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m,且F 与s 的夹角为60°,则力F 所做的功W ＝________J.300 [W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300( J)．]4．已知三个力F 1＝( 3,4),F 2＝( 2,－5),F 3＝( x ,y )的合力F 1＋F 2＋F 3＝0,则F 3的坐标为________．( －5,1) [由F 1＋F 2＋F 3＝0,则F 3＝－( F 1＋F 2),∵F 1＝( 3,4),F 2＝( 2,－5),∴F 1＋F 2＝( 5,－1),即F 3＝( －5,1)．]向量在平面几何中的应用[1．用向量法如何证明平面几何中AB ⊥CD?[提示] 法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示AB →和CD →;③证明AB →·CD →的值为0;④给出几何结论AB ⊥CD .法二:先求AB →,CD →的坐标,AB →＝( x 1,y 1),CD →＝( x 2,y 2),再计算AB →·CD →的值为0,从而得到几何结论AB ⊥CD .2．用向量法如何证明平面几何中AB ∥CD?[提示] 法一:①选择一组向量作基底;②用基底表示AB →和CD →;③寻找实数λ,使AB →＝λCD →,即AB →∥CD →;④给出几何结论AB ∥CD .法二:先求AB →,CD →的坐标,AB →＝( x 1,y 1),CD →＝( x 2,y 2)．利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →,再给出几何结论AB ∥CD .以上两种方法,都是建立在A ,B ,C ,D 中任意三点都不共线的基础上,才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .【例1】 ( 1)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12,则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形( 2)已知四边形ABCD 是边长为6的正方形,E 为AB 的中点,点F 在BC 上,且BF ∶FC ＝2∶1,AF 与EC 相交于点P ,求四边形APCD 的面积．[思路探究] ( 1)先由平行四边形法则分析AB →|AB →|＋AC→|AC →|的几何意义,由数量积为0推出垂直关系,再由AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12求∠BAC ,最后判断△ABC 的形状．( 2)先建系设点P 坐标,再根据A ,P ,F 和C ,P ,E 分别共线求点P 坐标,最后求四边形APCD 的面积．( 1)C[由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0,得∠A 的平分线垂直于BC ,所以AB ＝AC ,设AB →,CA →的夹角为θ,而AB →|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12, 又θ∈[0,π],所以∠BAC ＝π－π3＝23π,故△ABC 为等腰三角形．]( 2)[详解] 以A 为坐标原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立直角坐标系,如图所示,∴A ( 0,0),B ( 6,0),C ( 6,6),D ( 0,6), F ( 6,4),E ( 3,0), 设P ( x ,y ),AP →＝( x ,y ),AF →＝( 6,4),EP →＝( x －3,y ),EC →＝( 3,6)． 由点A ,P ,F 和点C ,P ,E 分别共线, 得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.1．将本例( 1)的条件改为( OB →－OC →)·( OB →＋OC →－2OA →)＝0,试判断△ABC 的形状．[详解] ∵( OB →－OC →)·( OB →＋OC →－2OA →)＝0, ∴( OB →－OC →)·( OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0, ∴CB →·( AB →＋AC →)＝0, ∴( AB →－AC →)·( AB →＋AC →)＝0, ∴AB →2－AC →2＝0,即|AB →|2－|AC →|2＝0, ∴|AB →|＝|AC →|,∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例( 2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1”,求证:AF ⊥DE .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系,则A ( 0,0),B ( 6,0),C ( 6,6),D ( 0,6),则中点E ( 3,0),F ( 6,3), ∴AF →＝( 6,3),DE →＝( 3,－6), ∴AF →·DE →＝6×3＋3×( －6)＝0, ∴AF →⊥DE →,∴AF ⊥DE .用向量法解决平面几何问题的两种方法( 1)几何法:选取适当的基底( 基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算．( 2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．向量在解析几何中的应用【例2】 已知点A ( 1,0),直线l :y ＝2x －6,点R 是直线l 上的一点,若RA →＝2AP →,求点P 的轨迹方程．[思路探究][详解] 设P ( x ,y ),R ( x 0,y 0),则RA →＝( 1,0)－( x 0,y 0)＝( 1－x 0,－y 0), AP →＝( x ,y )－( 1,0)＝( x －1,y )． 由RA →＝2AP →,得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l :y ＝2x －6上,∴y 0＝2x 0－6, ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ,代入②得6－2( 3－2x )＝2y ,整理得y ＝2x ,即为点P 的轨迹方程．用向量方法解决解析几何问题的步骤:一是把解析几何问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为解析几何问题．1．已知△ABC 的三个顶点A ( 0,－4),B ( 4,0),C ( －6,2),点D ,E ,F 分别为边BC ,CA ,AB 的中点．( 1)求直线DE 的方程;( 2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [详解] ( 1)设M ( x ,y )是直线DE 上任意一点, 则DM →∥DE →,因为点D ,E 分别为边BC ,CA 的中点,所以点D ,E 的坐标分别为D ( －1,1),E ( －3,－1), DM →＝( x ＋1,y －1),DE →＝( －2,－2), 所以( －2)( x ＋1)－( －2)( y －1)＝0, 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．( 2)设点N ( x ,y )是CH 所在直线上任意一点,则CN →⊥AB →,所以CN →·AB →＝0, 又CN →＝( x ＋6,y －2),AB →＝( 4,4), 所以4( x ＋6)＋4( y －2)＝0,即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．平面向量在物理中的应用[1．向量的数量积与功有什么联系?[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么?[提示] 用向量方法解决物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 ( 1)一物体在力F 1＝( 3,－4),F 2＝( 2,－5),F 3＝( 3,1)的共同作用下从点A ( 1,1)移动到点B ( 0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．( 2)设作用于同一点的三个力F 1,F 2,F 3处于平衡状态,若|F 1|＝1,|F 2|＝2,且F 1与F 2的夹角为23π,如图所示．①求F 3的大小; ②求F 2与F 3的夹角．[思路探究] ( 1)求出合力、位移的坐标表示 →利用数量积求功( 2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3 →用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解( 1)－40 [因为F 1＝( 3,－4),F 2＝( 2,－5),F 3＝( 3,1),所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝( 8,－8),AB →＝( －1,4),则F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40, 即三个力的合力所做的功为－40.] ( 2)[详解] ①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|,因为|F 1|＝1,|F 2|＝2,且F 1与F 2的夹角为23π,所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 3.②设F 2与F 3的夹角为θ, 因为F 3＝－( F 1＋F 2), 所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2, 所以3·2·cos θ ＝－1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4,所以cos θ＝－32, 所以θ＝56π.向量在物理中的应用( 1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解．( 2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示;②转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决; ③结果还原为物理问题．2．一条宽为3km 的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A ,B ,已知AB ＝3km,船在水中最大航速为4 km/h;问怎样安排航行速度,可使该船从A 码头最快到达彼岸B 码头?用时多少?[详解] 如图所示,设AC →为水流速度,AD →为航行速度,以AC 和AD 为邻边作▱ACED ,当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸． 根据题意知AC ⊥AE , 在Rt △ADE 和▱ACED 中,|DE →|＝|AC →|＝2,|AD →|＝4,∠AED ＝90°, ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23,3÷23＝0.5( h),sin ∠EAD ＝12, ∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h,与水流成120°角时能最快到达B 码头,用时0.5小时．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行:①转化:把物理问题转化为数学问题;②建模:建立以向量为主体的数学模型;③求解:求出数学模型的相关解;④回归:回到物理现象中,用已获取的数值去解释一些物理现象．1．判断正误( 1)若AB →∥CD →,则直线AB 与直线CD 平行．( )( 2)若△ABC 是直角三角形,则必有CA →·CB →＝0.( )( 3)△ABC 中,若AB →·BC →＋AB →2＝0,则△ABC 为等边三角形．( )( 4)|AB →|＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2.( )[答案] ( 1)× ( 2)× ( 3)× ( 4)√2．过点M ( 2,3),且垂直于向量u ＝( 2,1)的直线方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P ( x ,y )是所求直线上任一点,则MP →⊥u .又MP →＝( x －2,y －3),所以2( x －2)＋( y －3)＝0,即2x ＋y －7＝0.]3．已知作用在点A 的三个力f 1＝( 3,4),f 2＝( 2,－5),f 3＝( 3,1),且A ( 1,1),则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．( 9,1)B ．( 1,9)C ．( 9,0)D ．( 0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝( 3,4)＋( 2,－5)＋( 3,1)＝( 8,0),设终点为B ( x ,y ),则( x －1,y －1)＝( 8,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为( 9,1)．] 4．已知△ABC 是直角三角形,CA ＝CB ,D 是CB 的中点,E 是AB 上的一点,且AE ＝2EB .求证:AD ⊥CE .[证明] 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系( 略)．设AC ＝a ,则A ( a,0),B ( 0,a ),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2,C ( 0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2,CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a , 所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0,所以AD →⊥CE →,即AD ⊥CE .。
高一数学必修第二册-2019(A版)-6.4.2-向量在物理中的应用举例-导学案(1)
1 / 46.4.2 向量在物理中的应用举例1.经历用向量的方法解决物理当中的关于力学，运动学等的相关问题。
2、体会向量在解决物理当中相关问题的工具性特点。
3、发展学生的转化与化归的数学能力，运算能力及解决实际问题的能力。
1.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算；2.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。
1．物理问题中常见的向量有 等．2．向量的加减法运算体现在 ．3．功是 与 的数量积．一、探索新知例1. 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究：（1）当 为何值时，||1F 最小？最小值是多小？（2）||1F能等于||G 吗？为什么？2 / 4思考：你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?例2：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行，已知船的速度V 1的大小为|v 1|＝10㎞/h ，水流速度V 2的大小为|v 2|＝ 2㎞/h ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精准到0.1min ）？1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N ，则每根绳子的拉力大小为______ N.2．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J.3．一条河宽为800 m ，一船从A 处出发垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ min. 4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．3 / 4这节课你的收获是什么？参考答案：例1.探究：1）要使||1F 最小，只需2cosθ最大，此时12cos =θ，即0=θ，||1F 的最小值为2||G 。
高一下学期数学人教A版 必修第二册第六章6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件(共10张PPT)
出发，向河对岸航行. 已知船的速度 v1 的大小为| v1 | 10 km/h，水流速度 v2 的大小为| v2 | 2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要 多长时间（精确到 0.1 min)?
B
解：如图，当AB与河岸垂直时，航程最短
探究（1）当为何值时，| F1 | 最小？最小值是多少？
（2）| F1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
F1
（1）当
0时，| F1
| 最小,最小值是
|G 2
|
（2）当
2
3
时，| F1
||
G
|
F F2
G
用向量解决力学问题 P41练习1
1.一物体在力F 的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F =(4,-5),求F
|
F1
|
|G|
2 cos
2
F
F2
G
用向量解决力学问题
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹 角越大越费力；在单扛上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学 的角度解释这种现象吗？
|
F1
|
|G|
2 cos
2
F1, F2的夹角越大越费力，越小越省力
用向量解决力学问题
对该物体所做的功.
解：F (4,5),s AB (13,15)
W F s 4 (13) (5) (15) 23(J )
用向量解决力学问题 P41练习2
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A,B.在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂
着3个重物，它们所受的重力分别为4N,4N 和 4 3N .此时整个系统恰处于平衡
高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册-6、4、2向量在物理中的应用举例(教案)
第六章平面向量及其应用6.4 平面向量的应用6.4.2向量在物理中的应用举例教学设计一、教学目标1.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用.二、教学重难点1.教学重点掌握向量在物理学中的实际应用.2.教学难点如何将物理中的实际问题转化为向量问题.三、教学过程（一）新课导入教师：上节课我们学习了向量在平面几何中的应用，那么下面我们在实例中一起来探究向量在物理中的应用.（二）探索新知探究一：向量在物理中的应用例 3.在日常生活中.，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?学生：思考讨论并回答.教师总结解题方法：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，为方便起见，不妨设.另设的夹角为θ，旅行包所受的重力为G̀. 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道1||||2cos2G F θ=.这里，|G̀|为定值.分析上面的式子，我们发现，当θ由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时|F 1̀|由小逐渐变大；反之，当θ由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时|F 1̀|由大逐渐变小.这就是说，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 学生：认真听讲，做笔记.教师：提问：（1）当为何值时，|F 1̀|最小?最小值是多少? （2）|F 1̀|能等于|G̀|吗?为什么? 学生：思考讨论回答：（1）要使|F 1̀|最小，只需最大，此时，可得.于是|F 1̀|的最小值为|G ̀|2.（2）若要使|F 1̀|=|G̀|，只需，此时，即.例4 .如图，一条河两岸平行，河的宽度d = 500m ，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船的速度v 1的大小为|v 1|=10km/h ，水流速度v 2的大小为|v 2|=2km/h ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min ）?解：设点B 是河对岸一点，AB 与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB 方向行驶时，船的航程最短.如图，设v̀=v 1+v 2，则|v̀|=√|v 1|2-|v 2|2=√96 (km/h). 此时，船的航行时间t =d|v⃗ |=0.5√96×60≈3.1(min ). 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min. （三）课堂练习1.如图,在重600N 的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( ).A.3003N,3003NB.150N,150NC.3003N,300ND.300N,300N答案：C解析：作OACB ,使30,60AOC BOC ∠=︒∠=︒.在OACB 中,60ACO BOC ∠=∠=︒,90OAC ∠=︒,cos303003N OA OC ︒==,sin30300N AC OC ︒==,则300N OB AC ==.2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量.而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.故选D.3.已知一条两岸平行的河流,河水的流速为2m /s ,一艘小船以垂直于河岸方 向10m /s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )。
高一数学必修第二册-2019(A版)-6.4.2-向量在物理中的应用举例-教学设计(1)
1 / 56.4.2 向量在物理中的应用举例本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习用向量方法解决物理问题。
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．能力。
际问题的能力。
1.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算；2.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。
多媒体2 / 5一、复习回顾，温故知新1.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？【答案】力，速度，加速度。
向量加法的三角形法则AC BC AB b a =+=+注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.向量加法的平行四边形法则OC OB OA b a =+=+注意：起点相同.共线向量不适用。
二、探索新知例1. 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？3 / 5探究：（1）当θ为何值时，||1F 最小？最小值是多小？（2）||1F 能等于||G 吗？为什么？【解析】（1）要使||1F 最小，只需2cosθ最大，此时12cos=θ，即0=θ，||1F 的最小值为2||G 。
（2）要使||||1G F =，只需212cos=θ，即32πθ=。
【公开课课件】必修第二册第六章6.4.2 向量在物理中的应用举例课件1
复习引入
知识清单
1．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有 力、速度、位移
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的 合成和分解 中．
(3)动量 mv 是向量的 数乘 运算． (4)功是 力 F 与位移 s 的数量积．
等．
课堂导入
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、 速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与 物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的 问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中， 如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得 探讨的课题.
人教2019A版必修 第二册
第六章 平面向量及其应用 6.4.2 向量在物理中的应用举例
课程目标
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识研究 物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际 问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何 和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动 的探究意识，培养创新精神.
解：（1）因为物体处于平态，
A
120° B
所以绳子的拉力与重力的和为0. A 即 OA OB OC 0
(2)由平行四边形定则知三角形
60 °120°
O
B
O
C 10N
ABC为等边三角形，所以每根
绳子的拉力都是10N
C
例2. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越 小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m， 且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J).
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件5：6.4.2 向量在物理中的应用举例
2.速度是具有大小和方向的向量,因而可用 三角形 法则
或 平行四边形
法则求两个速度的合速度.
[基础测试]
1.一个物体受到相互垂直的两个力 F1,F2 的作用,两力的大小都为
5 3 N,则两个力的合力的大小为 5 6 N.
2.河水从西向东流,流速为 2 m/s,一艘轮船以 2 m/s 的速度垂直于水
故与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N,
与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N.
方法规律
求合力及功的解题方法
(1)求几个力的合力,可以用几何法,通过解三角形求解,也
可用向量法求解.
(2)如果一个物体在力 F 的作用下产生位移为 s,那么力 F
所做的功 W=|F||s|cos θ,其中 θ 是 F 与 s 的夹角.因为力和
两根绳子的拉力之和+= ,
且| |=| |=300 N,
∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60°,
则∠OAC=90°.
所以||=||·cos 30°=150 3 N,||=||·sin 30°=150 N,
所以||=||=150 N.
流方向向北横渡,则轮船的实际航速的大小为2 2 m/s.
3.一名纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进 60 m,若纤绳与行进方向的
π
夹角为 ,人的拉力为 50 N,则这名纤夫对船所做的功为 1 500 3 J.
6
重点探究
探索点一
向量法解决速度问题
【例 1】
某人在静水中游泳,速度为 4 3 km/h,水的流速为 4
3
3
所以| |=4 2,所以 cos∠BAO= ,
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下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用.
例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包，
夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小
越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？
F
解：先来看共提旅行包的情况(如右图).
设作用在旅行包上的两个力分别为 F 1 、F 2 .
课堂练习: 第41页练习第1、2、3题 课堂作业: 第52页习题6.4第4、5、13、14题
有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了 努力。有些痛苦也是自找的，因为无所事事而一直 来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不 气，而是坚持和付出，是不停地做，重复的做，用 当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！ 事，到了明天就是小事，再深的痛，过去了就把它 就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行 你就是自己最大的底气。埋怨只是一种懦弱的表现 才是人生的态度。不安于现状，不甘于平庸，就可 于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘徊一 抵不上向前迈出第一步；心中想过无数次，不如撸 干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓 和勤勉的实干。不要被内心的犹疑和怯懦束缚，行 你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得 自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼 败者，也不要做安于现状的平凡人。不谈以前的艰
|G| 2cos θ
可知，要使| F1 ||
G
|
，只需
c
o
sθ 2
1 2.
2此时θ2Fra bibliotekπ 3
，即θ
=
2π 3
例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出
发到河对岸，已知船的速度的大小为|v 1|=10km/h，水流速度
的大小为|v 2 |=2km/h，那么当行驶航程最短时，这艘船行驶
(1)当θ为何值时，| F 1 | 最小？最小值是多少？ (2)| F 1 | 能等于| G | 吗？为什么？
解：(1) 由 | F1 |
|G| 2cos θ
可知，要使| F 1 |最小，只需cos
θ 2
最大.
2
此时 cos
θ 2
=1，
解得θ=0，
于是|
F
1
|
最小值为|
G 2
|
.
(2) 由 | F1 |
为了方便起见,不妨设|F1||F2 |，F 1 、F 2 的
F1
夹角为θ，旅行包所受的重力为 G .由题得：
F2 θ
| F1 |
|G| 2cos θ
，| G
| 为定值.
2 当θ由0逐渐变大到π时，cos
θ 2
的值由大逐渐变小，
G
此时| F 1 | 由小逐渐变大.
即夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.
完全程需要多长时间(精确到0.1min)？
B
解：如右图，设点B是河对岸一点，AB与
河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB 方向行驶时，船的航程最短. 由勾股定理，得
|v| |v1|2|v2|2 96(km/h)
V1 V V2
d 此时，船的航行时间t= | v |
0.5 60 3.1(min) 96
所以，当行驶航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.