北师大版数学教案(九上第2章_一元二次方程)
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思北师大新版九年级数学上册教案及教学反思第一章代数基础第一节：一元二次方程及其解法教学目标：一、理解一元二次方程的概念及一般形式。
二、掌握一元二次方程的求解方法（直接开平、因式分解、配方法等）。
三、培养学生的运算能力和问题解决能力。
教学过程：一、导入新课：通过复习线性方程，引导学生理解方程的重要性，并提出一元二次方程的概念。
二、新课讲解：讲解一元二次方程的概念、一般形式及解的性质。
通过实例演示各种解法。
三、课堂练习：学生独立解决一元二次方程问题，教师巡视指导。
四、布置作业：给学生布置相关习题，加强一元二次方程的解法练习。
教学反思：学生对一元二次方程概念的理解较为到位，但在应用因式分解法解决方程时存在困难，需要更多的实践训练。
在后续教学中，我将加强对因式分解法的讲解和练习。
第二节：二次函数及其性质教学目标：一、理解二次函数的定义和基本形式。
二、掌握二次函数的性质（开口方向、顶点、对称轴等）。
三、能应用二次函数的性质解决实际问题。
教学过程：一、导入新课：回顾一元二次方程，引出二次函数的概念。
二、新课讲解：讲解二次函数的定义、基本形式及性质。
展示二次函数的应用。
三、课堂互动：让学生观察不同形式的二次函数，总结其性质。
四、布置作业：让学生解决与二次函数相关的实际问题。
教学反思：学生对二次函数的基本概念理解较好，但在应用二次函数性质解决实际问题时存在困难。
在今后的教学中，我将更多地结合生活实际，帮助学生理解并应用二次函数。
第二章几何基础第一节：圆的基本性质教学目标：一、理解圆的概念和性质。
二、掌握圆的周长和面积计算。
三、能应用圆的基本性质解决实际问题。
教学过程：一、导入新课：通过生活中的圆形物体，引出圆的概念。
二、新课讲解：讲解圆的基本性质、周长和面积的计算方法。
展示圆的应用。
三、实践操作：让学生通过实际操作，加深对圆的认识和理解。
四、布置作业：让学生观察生活中的圆形物体，并尝试用所学知识解决实际问题。
九年级数学（北师大版）上册教案：2.6应用一元二次方程（1）
第二章一元二次方程2.6 应用一元二次方程（一）教学目标：１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：一、情境问题问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，可以列出方程求解。
解：问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。
点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动。
如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。
那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2解：PQBC AD1 / 32 / 3二、练一练1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。
框子各边多长时，框子的面积是600 cm 2能制成面积是800 cm 2的矩形框子吗？ 解：2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2？ 解：三、课后自测：1、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点D 移动。
经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？2、如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始沿边ABPQCBAD Q PCB A DEFD C BA3 / 3以2cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC ，问点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2？3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。
2一元二次方程根与系数的关系 教案 北师大版九年级数学上册
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教学内容及内容解析1.教学内容知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.2.内容解析本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.三、学生学情分析本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.四、教学策略分析苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.五、教学过程设计1.复习回顾，引入新课问题 1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.追问1 此时，方程的根就可以表示为？师生活动：教师提出问题，学生齐答x=.追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．2.研究问题，探索新知问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到12= cx xa的过程中是否可以运用平方差公式.(预设学生得到12x x的结果不一致，可能有12x x ，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?师生活动：学生容易选择12+=b x x a -和12=c x x a，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.追问1 除此以外，还有其它原因吗？追问2 请同学们看到x 1-x 2，它的结果看起来比较复杂，那x 1-x 2能不能用x 1+x 2与x 1x 2来表示？师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x 1+x 2)2=x 12+x 22+2x 1x 2，(x 1-x 2)2=x 12+x 22-2x 1x 2，对比可以发现(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.既然x 1-x 2的结果能用x 1+x 2与x 1x 2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？ 师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有两个实根x 1，x 2，那么12+=b x x a-， 12=c x x a . 教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.练习1 方程2x 2−3x −2=0的两根分别是x 1，x 2，那么（ ）A .12123+=12x x x x =-，B .12123+=12x x x x -=-，C .12123+=12x x x x =，D .12123+=12x x x x -=， 师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a ，b ，c 的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x 1=2，x 2=12-，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程. 师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到12+2b x x a =-=，123c x x a ==-，也就有b =−2a ，c =−3a ，如果令a =1，那么b =-2，c =−3，所以方程就可以是x 2−2x −3=0）.追问1 大家都是写的这个方程吗？追问2 你是怎么得到这个方程的？师生活动：学生回答所写方程（预设：-x 2+2x+3=0，2x 2−4x −6=0...）后，教师马上问追问2.追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a 赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a ，b ，c 的不定方程.追问4 除了对a 可以赋值以外，还可以？追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b ，c 中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?追问1 这个方程是唯一的吗？师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x 2−2x −3=0，所以这些方程的解都是−1和3.设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.教师活动：我们在对一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)变形时，一般会把二次项系数a 化为1，原方程就会变形为2+0b c x x a a+= (a ≠0)，此时方程的两根之和依然是b a -，两根之积依然是c a .但2+0b c x x a a+= (a ≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令=b p a ，=c q a，此时一元二次方程就可写为x 2+px +q =0，一元二次方程的根与系数的关系就是1212+=x x p x x q -=，，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.练习4 已知方程5x 2+kx −6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k 的值（教材习题2.8的第3题）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k 的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k 的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.3.回顾课堂，小结升华师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，12+=b x x a -，12=c x x a，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.4.布置作业，课后巩固必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；选做：拓展思考题，已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −3=0的根，请求出1211x x +与12x x -的值.设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式. 六、课堂教学目标检测1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（）A．1，﹣3B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.2．已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则a b＝．设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.3．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式11的值为．a b设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.。
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
2022-2023北师大版九年级数学上册教案：2.1 认识一元二次方程
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2．体会方程的模型思想．阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x－y2＝1 B.x2－1＝0C.1x2－1＝0 D.x22－x－13＝02．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( ) A.2－3，1， 2 B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2活动1 小组讨论例1判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x 2－6x ＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0； (3)2x 2－13x －1＝0；(4)y22＝0；(5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0. (1)a 取何值时，方程为一元二次方程？ (2)a 取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0.【预习导学】 (一)知识探究1．一 ≠0 整式 2.ax 2＋bx ＋c ＝0 ax 2bx c a b (二)自学反馈 1．D 2.C 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x 2－4x －1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x 2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x 2＋8x －25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x 2－7x ＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a －4≠0即a ≠4时，方程为一元二次方程．(2)a －4＝0，且2a －1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x 2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x 2－25＝0.(2)根据题意，得x(x －2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－2x －100＝0.(3)根据题意，得x ＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－3x ＋1＝0.第2课时 一元二次方程的解1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)阅读教材P33～34，完成下列问题：(一)知识探究1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．2．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．(二)自学反馈幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？活动1 小组讨论例如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1)如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.(2)x 0 0.5 1 1.5 2 …x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13 …(3)x … 1.1 1.2 1.3 1.4 …x2＋12x－15 …－0.59 0.84 2.29 3.76 …活动2 跟踪训练1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.262．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是23．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表，由此可判断方程x2－2x－8＝0的解为________．x －2 －1 0 1 2 3 4x2－2x－8 0 －5 －8 －9 －8 －5 04.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.(1)你能列出相应的方程吗？(2)x可能小于0吗？说说你的理由．(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．活动3 课堂小结1．一元二次方程的解(根)的概念．2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．【预习导学】(一)知识探究1．相等 2.小于大于之间(二)自学反馈x 0 0.5 1 1.5 2 2.5(8－2x)(5－2x) 40 28 18 10 4 0故可知所求的宽为1 m.【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.C 3.－2和44．(1)(80－2x)(60－2x)＝3 500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：x 2 3 4 5 6 7 …x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m．。
最新北师大版九年级数学上册教案(完美版)第二章1.认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的根及近似解
第2课时一元二次方程的根及近似解【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解.【过程与方法】根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2+82=102.整理，得x2-36=0.列表：问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.整理，得x2+2x-120=0.列表：【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.二、思考探究，获取新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评：的解.（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三、运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.4.x（x-1）=2的两根为（D）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=25.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b26.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.解：由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=98.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入原方程，得ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0∴-1必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx-）2-2×21xx-+1=0，令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；当x2-1=-1时，x3=x4=0.∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念；2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；3.求一元二次方程的根的方法.1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。
北师大版数学九年级上册2.6.2用一元二次方程解决销售问题教案
我也注意到，在小组讨论环节，有些学生表现得比较被动，可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是在小组合作中缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和引导。
-例如：在解决商品打折问题时，学生需理解原价、折扣和折后价格之间的关系，并能正确列出方程。
（2）熟练运用一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法等。
-如在例题中，指导学生如何将实际问题转化为方程，并选择合适的求解方法。
（3）理解一元二次方程解的实际意义，能将数值解与实际问题中的情境对应起来。
今天的学习，我们了解了一元二次方程在解决销售问题中的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元二次方程在销售问题中的应用。我发现，学生在理解方程的实际意义和求解方法上存在一些挑战。首先，将现实生活中的销售问题转化为数学方程对学生来说并不容易，他们需要更多具体的例子和引导来理解这一点。例如，商品打折的问题，如何将打折的百分比转化为方程中的系数，这一点对学生来说是个难点。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生在实际情境中发现数学规律，提高数学抽象和建模的核心素养。
2.强化学生逻辑推理和数学运算的能力，通过列出并求解一元二次方程，使学生掌握数学工具，提高解决实际问题的效率。
北师大版九年级数学上册：第二章《一元二次方程》教案
第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义1．理解和掌握一元二次方程的定义，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．了解一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．3．能根据具体情境，列出一元二次方程．重点理解和掌握一元二次方程的相关概念．难点能根据具体情境，列出一元二次方程．一、情境导入课件出示教材第31页图2－1，提出问题：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？教师：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？让学生指出对应的三部分，引导学生分析所提问题满足的条件，列出相应的方程．二、探究新知1．教师：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？学生独立完成，找出等式．教师：观察等式102＋112＋122＝132＋142，你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？学生尝试解决，在难以找到的情况下，归结为方程去解决．2．课件出示教材第31页图2－2，提出问题：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？引导学生设未知数，列出适合条件的方程．3．教师：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8－2x)(5－2x)＝18，x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，(x＋6)2＋72＝102.教师：这些方程有哪些共同特点？类比一元一次方程的定义，你能总结出一元二次方程的定义吗？学生小组讨论，派代表陈述观点，教师进一步讲解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数为2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a为二次项的系数，b为一次项的系数．三、举例分析例1把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．例2从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生独立完成，教师点评．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1题．五、小结1．通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些困惑？2．一元二次方程的定义是什么？六、课外作业教材第32页习题2.1第1，2题．本节课通过丰富的问题情境引入一元二次方程的定义，学习中注意深刻理解定义的内涵：一元二次方程的组成；一元二次方程的成立条件等．在教学中，让学生经历提出问题到解决问题的过程，体会其中的数学思想方法．教学中有意识地提高学生对实际问题和方法的理解，鼓励学生从多角度思考问题，这有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力．第2课时用估算法求一元二次方程的近似解1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．重点经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．难点探索一元二次方程的近似解．一、情境导入教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．二、探究新知教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？(3)(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m.教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.引导学生思考以下问题：(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？学生思考后指名回答，教师进一步讲解：在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.学生完成下面的表格：教师：，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1.教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．学生可能有以下的做法．甲同学的做法：所以1＜x＜1.5.进一步计算：所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．三、练习巩固五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？五、课外作业教材第35页习题2.2第1～3题．本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．理解配方法的意义，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．让学生在独立思考与合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．重点用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程． 难点了解并掌握用配方求解一元二次方程．一、复习导入1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．2．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？ 3．用字母表示完全平方公式．二、探究新知1．课件出示问题：(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x 2＝5； 2x 2＋3＝5； x 2＋2x ＋1＝5； (x ＋6)2＋72＝102.(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m )满足方程x 2＋12x －15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x 的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程困难在哪里？(合作交流)学生独立完成，讨论交流后发现第(3)问等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x ＋m)2＝n (n ≥0)的形式，教师引导学生思考如何解决这样的方程问题．2．课件出示：填上适当的数，使下列等式成立：x 2＋12x ＋________＝(x ＋6)2； x 2－6x ＋________＝(x －3)2；x 2＋8x ＋________＝(x ＋________)2； x 2－4x ＋________＝(x －________)2. 学生思考后指名回答．教师：上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x 2＋ax 的式子如何配成完全平方式？学生小组讨论交流，引导学生发现：要把形如x 2＋ax 的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上⎝⎛⎭⎫a 22.三、举例分析例1 解方程：x 2＋8x －9＝0.(师生共同解决) 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x 2＋8x ＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得 x 2＋8x ＋42＝9＋42， 即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.例2解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，学生独立解决)解：移项，得x2＋12x＝15.两边同时加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51.两边开平方，得x＋6＝±51.所以x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6 不合题意舍去．所以梯子底部滑动了(51－6)米．教师：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？小组合作交流，引导学生归纳：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．四、练习巩固解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1；(4)x2＋2x＋2＝8x＋4.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么叫配方法？3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？(1)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(2)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k(k>0)的形式；(3)用直接开平方法解变形后的方程．六、课外作业教材第37～38页习题2.3第1～3题．本节课在教学过程中，采用了由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师作为学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅要教给学生知识，还要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．经历配方法求解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．2．经历用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．重点会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．难点能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．一、复习导入1．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．填上适当的数，使下列等式成立： (1)x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2； (2)x 2－4x ＋________＝(x －________)2； (3)x 2＋________＋36＝(x ＋________)2； (4)x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2； (5) x 2－x ＋________＝(x －________)2.3．比较下列两个一元二次方程的联系与区别．(1)x 2＋6x ＋8＝0； (2)3x 2＋18x ＋24＝0.教师：同学们可以发现方程(2)的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，那么如何解这类方程呢？这节课我们一起来探究．二、探究新知 课件出示：解方程：3x 2＋8x －3＝0.教师：如何把这个方程转化为符合上节课解题的基本形式？学生：根据等式的性质，将方程两边同除以3就可以把这个方程化为二次项系数为1的一元二次方程．学生尝试解这个方程，教师板书规范解答过程． 解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得 x 2＋83x ＝1，配方，得x 2＋83x ＋⎝⎛⎭⎫432＝1＋⎝⎛⎭⎫432， 即⎝⎛⎭⎫x ＋432＝259. 两边开平方，得 x ＋43＝±53， 所以x 1＝13，x 2＝－3.三、举例分析例 一个小球从地面以15 m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10 m 高？解：根据题意得 15t －5t 2＝10.方程两边都除以－5，得 t 2－3t ＝－2， 配方，得t 2－3t ＋⎝⎛⎭⎫322＝－2＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫t －322＝14.两边开平方，得 t －32＝±12. 所以t 1＝2，t 2＝1.四、练习巩固1．教材第39页“随堂练习”．2．印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题．解：设猴子的总数是x ，由题意可得⎝⎛⎭⎫18x 2＋12＝x. 解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子可能是16只，也可能是48只． 五、小结1．用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．利用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？六、课外作业1．教材第40页习题2.4第1，3题．2．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p ＝0.01x 2＋0.05x ＋107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？3．用配方法探究方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的解法．本节课作为用配方法求解一元二次方程的第二节课，主要是以习题训练为主．所以我依照书上的例题为重点展示了用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤；将书上的“做一做”转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决实际问题的意义；另外在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．重点用公式法解一元二次方程． 难点用配方法推导求根公式的过程．一、复习导入用配方法解下列方程：(1)2x 2＋3＝7x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0. 学生独立完成，指名板演．(1)2x 2＋3＝7x.解：将方程化成一般形式2x 2－7x ＋3＝0. 两边都除以一次项系数2，得x 2－72x ＋32＝0.配方，得x 2－72x ＋(74)2－4916＋32＝0，即(x －74)2－2516＝0.移项，得(x －74)2＝2516.两边开平方，得x －74＝±54，即x ＝74±54.所以x 1＝3，x 2＝12.(2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：两边都除以一次项系数3，得x 2＋23x ＋13＝0.配方，得x 2＋23x ＋(13)2－19＋13＝0，即(x ＋13)2＋29＝0.移项，得(x ＋13)2＝－29.因为－29<0，所以原方程无解． 二、探究新知1．一元二次方程的求根公式课件出示：用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．解：两边都除以一次项系数a ，得x 2＋b a x ＋ca ＝0.教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?学生：因为a ≠0.配方，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2－b 24a 2＋ca＝0，即(x ＋b 2a )2－b 2－4ac4a 2＝0.移项，得(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2.教师：现在可以两边开平方吗？ 学生：不可以，因为不能保证b 2－4ac4a 2≥0.教师：什么情况下可以两边开平方？学生讨论后回答：因为a ≠0，所以4a 2>0.要使b 2－4ac 4a2≥0，只要 b 2－4ac ≥0即可． 所以当b 2－4ac ≥0时，两边开平方，得 x ＋b2a＝±b 2－4ac4a 2. 所以x ＝－b2a ±b 2－4ac 2a ，x ＝－b±b 2－4ac2a.归纳：x ＝－b±b 2－4ac2a 称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．2．一元二次方程的判别式教师：如果b 2－4ac<0时，会出现什么问题？学生：方程无解．教师：如果b 2－4ac ＝0呢？学生：方程有两个相等的实数根．归纳：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)， 当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac<0时，方程没有实数根．教师：由以上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．三、举例分析例1 解方程：(1)x 2－7x －18＝0；(2)4x 2＋1＝4x.引导学生根据以下步骤解方程：①确定a ，b ，c 的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．例2 判断下列方程的根的情况： (1) 2x 2＋3＝7x ；(2)x 2－7x ＝20；(3)3x 2＋2x ＋1＝0；(4)9x 2＋6x ＋1＝0； (5)16x 2＋8x ＝3；(6) 2x 2－9x ＋8＝0.学生迅速演算或口算出b 2－4ac ，从而判断出根的情况．教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？ 教师：上述方程如果有解，请求出方程的解． 学生独立完成，教师板书第(1)题．解方程：2x 2＋3＝7x.先将方程化成一般形式，得2x 2－7x ＋3＝0. 确定a ，b ，c 的值 a ＝2, b ＝－7, c ＝3.判断方程是否有根 ∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×3＝25>0， ∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±252×2＝7±54.写出方程的根 即x 1＝3，x 2＝12.教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？ 四、练习巩固教材第43页“随堂练习”第1～3题． 五、小结1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是什么？ 2．如何判断一元二次方程的根的情况？ 3．用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？六、课外作业1．教材第43页习题2.5第1～4题．2．一张桌子长4 m ，宽2 m ，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽．教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度．第2课时 用公式法解决一元二次方程的实际问题1．会用公式法解决一元二次方程的实际问题．2．通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．3．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．重点会用公式法解决一元二次方程的实际问题． 难点能根据具体情境列出一元二次方程，体会方程的根必须符合实际意义．一、复习导入 教师：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫． 二、探究新知课件出示：在一块长16 m 、宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品．在学生展示作品后，教师提出问题：(1)怎样知道你的设计是符合要求的？请说明理由？(2)以上哪些图形可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？ 引导学生重点分析图⑤，图⑥，图⑦. 教师：如何设未知数？怎样列方程？ 学生独立思考，教师板书规范解题过程． 图⑤的解答：解：设小路的宽为x m ，由题意得 (16－2x)(12－2x)＝16×12×12.整理，得x 2－14x ＋24＝0. x 2－14x ＋49＝－24＋49， (x －7)2＝25. x 1＝12，x 2＝2.教师：你认为小路的宽为12 m 和2 m 都符合实际意义吗？ 图⑥的解答：解：设扇形的半径为x m ，由题意得 πx 2＝16×12×12πx 2＝96.x＝±96π≈±5.5.x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)．指名板演图⑦的解题过程，教师点评．三、练习巩固在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？出示图②和图③提出问题：你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解：设金边的宽为x m，由题意得(90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40.解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．四、小结通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？五、课外作业教材第45页习题2.6第2～4题．本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以引导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识．在探究新知时，提出了这样的问题：在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.4用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的概念．2．会用因式分解法求解一元二次方程．3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想．重点用因式分解法求解一元二次方程．难点理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想．一、复习导入1．用配方法求解一元二次方程的关键是什么？2．用公式法求解一元二次方程应先将方程化为什么形式？3．选择合适的方法解下列方程：(1)x2－6x＝7；(2)3x2＋8x－3＝0.二、探究新知1．课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？学生独自完成，教师巡视指导，选择不同解法的学生板演． 学生A ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0.∵a ＝1，b ＝－3，c ＝0， ∴ b 2－4ac ＝9. ∴ x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生B ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ， ∴ x 2－3x ＝0. x 2－3x ＋(32)2＝(32)2，(x －32) 2＝94，∴ x －32＝32或x －32＝－32.∴ x 1＝3，x 2＝0.∴这个数是0或3.学生C ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0. 即x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0. ∴x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生D ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，两边同时约去x ，得 ∴x ＝3，∴这个数是3. 教师：同学们用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为哪种方法更合适？为什么？学生讨论交流后回答，教师点评，明确学生C 的方法更合适，并进一步讲解： 如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0.这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x －3)＝0得到x ＝0和x －3＝0时，中间应写上“或”字．我们再来看学生C 解方程x 2＝3x 的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解。
9年级数学北师大版上册教案第2章《用公式法求解一元二次方程》
教学设计用公式法求解一元二次方程一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下七个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：公式的运用；第四环节：巩固运用；第五环节：感悟与收获；第六环节：检测反馈；第七环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固1.一元二次方程的一般形式是_____________________________________2.一元二次方程 0962=-+x x 二次项系数a 为____，一次项系数b 为_______， 常数项c 为________，ac b 42-=____________3.方程01872=--x x 的解为_____________________第二环节 公式的推导活动内容：配方法推导一元二次方程的求根公式提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
北师大课标版初中数学初三上册第二章应用一元二次方程教学设计分析
北师大课标版初中数学初三上册第二章22.6 一元二次方程在几何问题中应用（一）一、学生知识状况分析学生在在学习完一元二次方程的相关知识后，具备了熟练求解方程的能力，然而关于一元二次方程在实际中的应用把握的还不是专门好，鉴于此教学中设计了三节一元二次方程的应用探究和练习。
其中上节课学习了增长和减少问题以及薄利多销问题。
本节课要紧进行一元二次方程在几何问题中的应用，并依照课程进度适当的引入了动点问题的研究。
二、教学任务分析本节课要紧培养学生分析问题、归纳方法建立模型的能力，设置教学目标及重难点如下：学会分析利用一元二次方程解决面积问题的步骤和策略。
通过整理面积问题的题型，建构解决面积问题的数学模型。
3、学会利用一元二次方程解决动点几何题，并探究解决动点问题的策略。
三、教学过程分析本节课设计了四个题型：花园修路求路宽问题、画加边框问题、围栏问题、动点问题第一环节书接上回引入新课内容：活动1：说一说看一看做一做通过批改学生前置性作业，发觉值得探究的问题来和学生进行探讨，然后观看教学微课，通过观看微课总结方法、提升思维，建立模型。
做一做环节学生完成学习笔记中的变式应用，通过练习熟练解题方法和技巧。
目的：通过说一说环节，让学生探讨几种解决花园修路求路宽问题的常用方法，然后进行比较研究，发觉最优解法。
通过洋葱数学微课的动态演示使学生再一次体会探究成果，并能够对该题型进行全面的认识，从而归纳解决这类问题的方法。
建立数学模型，激发转化思想的数学方法。
最后通过做一做检验学习成果。
第二环节题型类比对比探究内容：说一说想一想辩一辩说一说该类试题的解题策略，想一想与花园修路的区别与联系，小组内分析一下这两个问题是否能够互通。
目的：通过学生交流解决此类题型的方法，教师不断提出问题，学生通过摸索发觉该类问题与花园修路问题的区别和联系，通过对比探究更好的把握以及对两种题型的灵活转化。
第三环节题型递进转换思维内容：想一想列一列学生通过分析问题，列出方程，分析解决该类问题的关键点。
九年级数学(北师大版)上册教案：认识一元二次方程
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程（一）课题 2.1 认识一元二次方程课型新授课教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：未铺地毯区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。
通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。
教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。
2．进人本单元的第一节：认识一元二次方程? 板书课题，明确本节课的中心任务。
3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。
4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量？5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
6．继续进行下二个问题：板书P31的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?8．让学生说出自己的答案，点评，其他学1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；3．很有兴趣地观看课件，对“未铺地毯区域有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案(总21页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第二章 一元二次方程 认识一元二次方程-（1） 晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程什么是二元一次方程 二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。
苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。
你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式。
3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。
2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.8一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠0,b=0,c=0) 三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
北师大版九年级上册211 认识一元二次方程(教案)
2.1.1 认识一元二次方程教学目标知识技能:1、理解一元二次方程的概念.2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.过程与方法：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.4、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.情感态度与价值观：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 教学重难点：【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.教学过程：一、新课导入：问题1：①2021年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。
现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。
②某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。
若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。
(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.在第(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.活动中教师应重点关注:学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足条件的方程通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.此题是与实际问题结合的题目，通过演示高度关系，帮助学生理解题意，从而列出符合题意的方程。
北师大版九年级数学上册教案-第二章第二节用配方法求解一元二次方程
第二节用配方法求解一元二次方程第1课时配方法(一)教学目标会用配方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程．教学重点运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标活动内容：1.如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2．用字母表示完全平方公式．3．用估算法求方程x2－4x＋2＝0的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？活动内容：1.工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100cm2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为________；若它的面积为75cm2，则其边长应为________．(选1个同学口答)2．如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64cm2，则原来的正方形的边长为________．若变化后的面积为48cm2呢？(小组合作交流)3．你会解下列一元二次方程吗？(独立练习)x2＝5；(x＋2)2＝5；x2＋12x＋36＝0.4．上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x m满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？(合作交流)活动目的：利用实际问题，让学生初步体会配方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识．二、自主学习指向目标自学教材第36至37页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一配方活动内容1：做一做：(填空配成完全平方式，体会如何配方)填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答)x2＋12x＋________＝(x＋6)2x2－6x＋________＝(x－3)2x2＋8x＋________＝(x＋________)2x2－4x＋________＝(x－________)2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？(小组合作交流)【针对训练】见学生用书第25页“当堂训练”第1，2题.探究点二用直接开平方解一元二次方程【例题讲解】活动内容2：解决例题(1)解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决)解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42.(x＋4)2＝25开平方，得x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.(2)解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0(仿照例1，学生独立解决)解：移项得x2＋12x＝15，两边同时加上62得，x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51两边开平方，得x＋6＝±51所以：x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6不合题意舍去．答：梯子底部滑动了(51－6)米．活动内容3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交流)【针对训练】见教材第37页随堂练习．见学生用书第25页“当堂训练”第3题．四、总结梳理内化目标用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)形式的方程，关键是把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．五、达标检测反思目标1．用字母表示完全平方公式是：(x＋a)2＝________(x－a)2＝________2．如果一个数的平方等于16，则这个数是________，若一个数的平方等于2，则这个数是________．3．填空，完成配方.(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋5x＋________＝(x＋________)2.4. 由上题知方程x2＋10x＋25＝1就是方程(x＋5)2＝1，直接开平方得x＋5＝________，所以原方程的解是x1＝________，x2＝________．5．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－5＝0；(2)x2－4x＋1＝0.六、布置作业教材第37页习题2.3第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时配方法(二)教学目标会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学重点运用配方法解一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计 (设计者：×××) 教学过程设计一、创设情景 明确目标活动内容1：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤．[例如：x 2－6x －4＝0]活动内容2：(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答．x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2x 2－4x ＋________＝(x －________)2x 2＋________＋36＝(x ＋________)2x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2x 2－x ＋________＝(x －________)2(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别①x 2＋6x ＋8＝0②3x 2＋18x ＋24＝0探讨方程②应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程②的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式是同解方程．学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路．二、自主学习 指向目标自学教材第38至39页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标探究点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程活动内容1：讲解例题例 解方程3x 2＋8x －3＝0解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0 移项，得x 2＋83x ＝1 配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2 (x ＋43)2＝259x ＋43＝±53，x 1＝13，x 2＝－3. 活动目的：通过对例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程．让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成(x ＋m )2＝n (n ≥0)形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心．另外，得到x ＋43＝±53后，在移项得到x ＝±53－43要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错．活动内容2：做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2配方，得t 2－3t ＋(32)2＝－2＋(32)2 (t －32)2＝14t －32＝±12t 1＝2，t 2＝1.活动目的：在前边学习的基础上，通过做一做进一步提高学生分析问题，解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫．【针对训练】见学生用书第27页“当堂训练”第1，2题．教材第40页2.4第2题.四、总结梳理 内化目标1．总结二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解的步骤；2．把一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)转化成：(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式．五、达标检测 反思目标1．将方程－5x 2＝2x ＋10化为二次项系数不为1的一般形式是________．2．(1)16x 2＋8x ＋(______)＝(4x ＋______)2.(2)9x 2－7x ＋(______)＝(3x －______)2.3．用配方法把二次三项式3x 2－4x ＋6变形，结果是( )A ．3(x －23)2＋143B ．3(x ＋23)2＋143C ．3(x －23)2－143D ．(x －23)2＋1434．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，________秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.( )A ．2B ．4C ．2或4D ．3或65．用配方法解方程.(1)2x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋11x ＋10＝0.六、布置作业见教材第40页习题2.4第1，3题．见学生用书“课后作业”栏题目．。
北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案
2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 用配方法解一般一元二次方程． 【学习难点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤． 一、情景导入 生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研 生成能力知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度． 对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案(3页)
-以x² - 5x + 6 = 0为例，详细讲解如何通过因式分解法求解一元二次方程，并让学生进行类似的练习。
-给出实际情境问题，如面积计算、年龄问题等，指导学生如何将其转化为相应的一元二次方程。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案（3页）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第二章第1节《认识一元二次方程》。教学内容主要包括以下方面：
1.理解一元二次方程的定义，能够识别标准形式的一元二次方程：ax² + bx + c = 0（a≠0）。
2.掌握一元二次方程的解的概念，了解解的个数与判别式Δ的关系。
-在因式分解法中，学生可能会遇到难以找到合适的因式对，如对于方程x² + 4x + 3 = 0，需要引导学生思考如何分解成(x+3)(x+1)。
-对于实际问题的抽象，教师需要指导学生如何从问题中提取关键信息，如速度、时间、距离等，并建立数学模型。例如，从“一个数的平方加上这个数等于12”这个问题中，抽象出方程x² + x - 12 = 0。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《认识一元二次方程》，整体来看，学生的学习态度非常积极，对一元二次方程的概念和求解方法有了基本的认识。但在教学过程中，我也发现了一些问题，值得我们共同反思。
首先，对于一元二次方程定义的理解，部分学生仍然存在困难。在讲解过程中，我意识到可能是因为我未能将概念讲解得足够直观和具体。在今后的教学中，我需要更加注意用简单易懂的语言和例子来解释抽象的数学概念，帮助学生更好地理解。
北师大版九年级上册数学用因式分解法求解一元二次方程说课稿
总结：
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般情势; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一 次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降 次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
作业布置
（三）教学重点与难点
重点：用因式分解法解某些一元二次 方程
难点：将方程转化为一般情势后，对方 程左侧进行因式分解。
二、教法分析
根据本节课的教学目标、教材内容 以及学生的认知特点，教学上采用以 自主探究为主，通过实际问题加深数 学与生活的联系,从而使用因式分解法 解方程成为一种的需要。并以分析、 讨论、交流、演示相结合的教学方法， 帮助学生通过已有的知识经验，归纳 出用因式分解法解一元二次方程。
• 完成导学案未完成的习题 • 将学案上的错误习题进行改正
2、解下列一元二次方程：
（1） 2x2 8
（2） (x 2)2 16 0
知识检测
3、对于式子ab=0说明了什么？
导入
4、把下列各式因式分解. （1）x2－x
（2） x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （4）（2x－1）2－x2
(二)、自主探究，合作交流
1、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样 来解这些方程？
第二章 一元二次方程
第4节 用因式分解法求解一元二次方程
一、教材分析 二、教法分析 三、学法分析 四、教学设计
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
本节课是九年级上册第二章第4节因式 分解法解方程的内容。本节是在学习了直 接开平方法、配方法、公式法的基础上学 习的内容。通过“降次”，把一元二次方 程转化为两个一元一次方程，突出运用转 化的数学思想方法。力求使学生在今后解 决实际问题中能根据不同方程的特征，灵 活运用不同的方法，使解决问题的策略多 样化。
9年级 数学北师大版上册教案第2章《一元二次方程的根与系数的关系》
教学设计一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根与系数关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4)12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________ 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
9年级数学北师大版上册教案第2章《用因式分解法求解一元二次方程》
教学设计用因式分解法求解一元二次方程教学目标:1.能用因式分解法（提公因式法﹑公式法）解某些数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
教学过程复习回顾（提问）1.解一元二次方程的基本方法；2.因式分解的概念；3.将下列各式因式分解：①2x2-4x= ；②x2--9=。
互动探究﹑发现新知（学生先做，然后分组交流讨论）一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？因式分解法的概念（通过以上问题引入概念）当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时解方程，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
典例分析例解下列方程（达成目标1）:(1)5x2=4x; （老师板书解题格式）(2) x(x-2) = x-2.想一想(体验用不同的方法解方程)你能用因式分解法解方程 x2-4=0 ，（x+1)2-25=0吗？学以致用(巩固)：1.用因式分解法解下列方程（演板）：（1）（x+2）（x -4）=0 (2) 4x（2x+1）=3（2x+1）2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
3. 解方程x 2 -2x -3=0（演板预计学生会出现哪些问题）小结：通过本节的学习你有哪些收获？作业： P47习题2.7 第1题课堂反馈（评价）：1、方程(3)0x x +=的根是 。
2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）A.210x x ++=B.22310x x -+=C.2230x x ++= D.2(1)1x x -=- 3、方程22(1)1x x +=+的根是________________。
4、用适当的方法解下列方程：(1) 3(3)x x x -=- (2) 3x （2x -1）=2-2x(3)22(3)9x x -=- (4) x 2 -4x -5=0板书设计2.4用因式分解法求解一元二次方程将下列各式因式分解： 例 解下列方程:① 2x 2-4x = ； (1)5x 2=4x; (2) x(x -2) = x -2. ② x 2--9= 。
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第二章一元二次方程分析：从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．，它中央长方形图案的面积为18m2．，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6m．m，根据题意，利用勾股定如图所示：）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？12）一元二次方程的解是什么？随堂练习P56，习题2.5，1、2第13课祖国统一的历史大潮【教学目标】知识与能力：1、说出香港、澳门回归的时间和设立特别行政区等基本史实。
2、能够列举出祖国大陆与台湾经济文化交往日益密切的史实。
3、比较香港、澳门特别行政区与内地的异同，增强比较能力。
4、通过比较港澳台问题的由来、港澳回归的背景和过程、回归后的发展情况等，培养分析、归纳能力。
过程与方法：通过读书指导、讨论，了解“一国两制”这一基本国策的含义；通过播放有关港澳回归的视频，创设一个良好的情景，加深祖国统一是历史必然的感性认识。
情感态度与价值观：香港、澳门的顺利回归和回归后持续稳定的发展，说明了“一国两制”的科学构想确实是推进祖国和平统一大业的基本方针，促进了港澳和内地的共同繁荣和发展。
认识祖国统一是大势所趋和历史必然。
本课紧紧围绕着实现祖国统一这一主题，主要从三个方面介绍了“祖国统一的历史大潮”。
首先是“一国两制”构想的提出和含义，然后是“一国两制”构想的成功实践——香港、澳门回归祖国，最后是海峡两岸关系的发展。
这三部分环环相连，先有设想，接着实践，最后是展望。
【学情分析】八年级的学生因为已经学习了中国古代史和中国近代史，因此他们对香港、澳门、台湾的自然地理、历史沿革等方面比较了解，尤其是他们亲身见证了香港、澳门的回归，了解香港、澳门回归后经济的繁荣以及近几年来海峡两岸人民联系的密切，容易产生历史认同感，更能体会到历史就在他们身边。
【设计思路】《祖国统一的历史大潮》一课，我充分利用了地图、音乐、视频资料，使学生学习用多种方式靠近了解历史；在教材处理上，我主要采用问题教学法，设计一系列的问题，逻辑推理，层层推进，使学生通过合作学习、探究讨论理解掌握课堂内容，提高综合能力。
能够说出香港、澳门回归和设立特别行政区以及海峡两岸经济文化交往日益密切等史实。
认识到“一国两制”的科学构想是推进祖国和平统一大业的基本方针。
祖国统一是大势所趋、历史必然。
【教学难点】理解“一国两制”这一基本国策的含义和作用，明白社会主义制度在中国占有绝对主体的地位；理解香港、澳门能够顺利回归，是建立在新中国综合国力大为提高的基础上的。
【教学准备】教师准备：教师整理课堂相关资料、视频剪辑等，制成多媒体课件。
学生准备：1、收集有关资料，了解香港、澳门、台湾的历史沿革，进行必要的整理。
2、学生预习课文，根据兴趣自愿组成台湾组、香港组、澳门组。
【教材处理】在教学中我调整了课文内容的顺序。
第一目“一国两制”的构想是本课的难点，开课便解决难点，不容易为学生所接受，因此，可先让学生欣赏《乡愁》一诗，教师点拨这首诗表达了广大人民期望祖国统一的心愿，把学生引向那段不堪回首的往昔。
然后教师引导学生介绍香港、澳门、台湾的历史沿革情况，用史实说明港澳台自古以来就是祖国大陆不可分割的一部分，由此引出“一国两制”内容。
接下来，介绍在“一国两制”方针指导下港澳回归的情况。
最后，介绍海峡两岸关系的发展。
这样，学生便会顺理成章地得出祖国统一是历史发展的必然这一结论，从而增强使命感、责任感。
【教学过程】导入新课：让学生欣赏台湾著名诗人余光中的《乡愁》。
教师：这首诗表达了作者怎样的情感？学生：寄托了台湾对祖国的思念，表达了广大人民期望祖国统一的心愿。
教师：是啊！两岸分隔、骨肉分离是中华儿女最深的乡愁！那么这些原属伟大祖国版图上神圣不可分割的地方是如何与祖国母亲分离的呢？让我们把目光投向那段不堪回首的往昔······讲授新课：一、百年屈辱教师：香港、澳门、台湾自古就是我国不可分割的领土，那么港澳台是从何时就在我国历史上有记载？它们又是从何时被分割出去的呢?1、香港问题的由来学生：香港组介绍香港的历史沿革。
教师：结合学生的回答，用多媒体展示香港（香港岛、新界、九龙）被割让的过程。
（1）1842年8月：中英《南京条约》英国割占香港岛；（2）1860年10月：中英《北京条约》英国割占九龙半岛南端界限街以南地区(九龙司地方一区)（3）1898年帝国主义掀起了瓜分中国的狂潮， 1898年6月，中英签订《展拓香港界址专条》，英国强行租借界限街以北，深圳河以南的九龙半岛北部大片土地及附近200多个岛屿（后统称“新界”）租期99年，到1997年6月30日期满。
教师：香港自古以来就是中国的领土，它是英国在19世纪中后期通过同清政府签订的三个不平等条约，先后强行割占和租借去的。
2、澳门问题的历史由来学生：澳门组介绍澳门的历史沿革。
教师：(课件展示：澳门特别行政区示意图和澳门被占过程)。
（1）1553年，葡萄牙人借口船遇风暴，攫取了在澳门的居住权；（2）1557年，葡萄牙人私自扩展土地，开始长期占据；（3）1849年，葡萄牙人占领澳门半岛；（4）1851年，葡萄牙人占领氹仔岛；（5）1864年，葡萄牙人占领路环岛。
教师：澳门历来就是中国的领土，明朝中晚期被葡萄牙殖民者以欺骗手段租借并强占。
香港和澳门与祖国母亲分离了，但港澳同胞对祖国母亲的思念和重返母亲怀抱的愿望一直没断。
下面请听他们的心声······教师：播放《七子之歌》，介绍七子之歌的来历，让学生思考：从歌词中你能找出哪些有关澳门的信息？学生：略3、台湾问题教师：台湾自古以来就是我国不可分割的领土，台湾地处我国东南部，隔台湾海峡与祖国大陆遥遥相望，台湾岛是我国面积最大的岛屿，面积36000平方千米，人口2200多万。
学生：台湾组介绍台湾的历史沿革。
教师：（结合学生回答课件展示：台湾问题的相关资料）（1）三国：230年吴国孙权派大将卫温率万人船队达到夷洲，加强了夷洲与内地的联系。
夷洲即今台湾。
（2）隋朝：隋炀帝三次派人去流求，密切两岸的经济、文化联系。
流求即今台湾。
（3）元朝：元政府设立澎湖巡检司，管辖澎湖和琉球，促进了台湾的开发。
琉球即今台湾。
（4）1624年（明末），荷兰殖民者入侵台湾进行殖民统治， 1662年初，郑成功在台湾人民的支持下，打败了盘踞台湾38年的荷兰殖民者，台湾回到祖国怀抱。
（5）1684年，清政府设置台湾府，隶属福建省，促进了台湾的开发。
学生：诵读课件中的台湾自述教师：在近代历史上台湾主权曾两次失而复得，你知道是哪两次吗？学生：（1）1624年荷兰殖民者入侵台湾1662年，郑成功收复台湾（2）1895年日本通过《马关条约》占领台湾1945年抗日战争胜利后，中国政府收复台湾主权。
教师：港澳问题和台湾问题的性质一样吗？教师：根据学生回答归纳出港澳问题是国家主权问题，台湾问题是中国内政问题。
教师：被人掳去在外流浪的孩子要回来，可建国以来由于多种原因，母亲收回香港澳门的时机都未成熟。
直到中共十一届三中全会后，我国进入社会主义建设新时期，而这时英国对香港新界的“租界期”也行将期满（99年），中国人民政府决定解决香港问题。
对于港澳台问题，假如你是新中国的领导者，你会采取哪种方式解决？A、和平统一B、武力统一C、？二、“一国两制”的伟大构想教师：十一届三中全会后，中国进入历史新时期，国家综合实力大大增强，解决历史遗留下来的港澳台问题，实现祖国统一大业被提上了议事日程。
邓小平从维护祖国统一和中华民族的根本利益出发，尊重历史和现实，以伟大政治家、战略家的远见卓识提出“一国两制”的创造性构想。
学生：阅读课文第一目，思考讨论以下问题：（1）“一国两制”的构想是谁提出来的？（邓小平）最初是针对哪个问题提出来的？（台湾问题）目的是什么？（实现祖国统一）（2）你能完整的归纳“一国两制”的基本内容吗？（在一个中国的前提下，国家的主体坚持社会主义制度；香港、澳门、台湾是中华人民共和国不可分离的一部分，它们作为特别行政区保持原有的资本主义制度长期不变。
）（3）一国指什么？（一个中国）两制又指什么？（社会主义制度、资本主义制度）（4）为什么要在一国实行两制？（一国在一个中国的前提下，维护了国家的主权和中华民族的根本利益；两制既坚决维护了中国主体的社会主义制度，又尊重了港澳台地区的历史和现实，有利于保证它们的繁荣稳定，有利于我国社会主义现代化建设。
）教师：“一国两制”是针对台湾问题提出来的，但是最先被应用于解决的却是香港问题。
三、香港和澳门回归祖国学生：看香港回归录像，回答提出的问题（出示课件）（1）哪一年中国政府作出收回香港的决策？（2）1984年中英两国签署了什么重要文件？（3）说出中国对香港恢复行使主权的准确日期。
（4）你知道香港特别行政区区旗的寓意吗？学生：观看澳门回归录像，回答提出的问题（出示课件）（1）哪一年中葡两国签署了《中葡联合声明》？（2）说出中国对澳门恢复行使主权的准确日期。
（3）你知道澳门特别行政区区旗的寓意吗？学生：讨论为什么我国能成功解决香港和澳门问题？教师：在学生回答基础上总结（1）祖国的日益强大，综合国力的逐渐增强。
（2）中国在国际事务中的地位和作用日益加强（3）广大人民的共同心愿（4）“一国两制”的伟大构想教师：“一国两制”的伟大构想在港澳地区首先得以运用，而这一理论首先是针对台湾问题提出来的，但这份乡愁仍旧是挥之不去。
那么是什么原因阻碍了台湾和大陆遥遥相望，乡愁依旧。
四、海峡两岸关系的发展教师：课件展示海峡两岸人民在经济文化等方面进行了交流和合作的几组图片。
学生：（1）看媒体资料，说说中共对台政策发生了什么变化？（2）结合教师展示的资料谈一谈台湾能够回到祖国的怀抱吗？为什么？海峡两岸人民在经济文化等方面进行了的多方交流和合作已经充分说明，海峡两岸的统一是大势所趋，人心所向。
小结：按课件中的板书设计小结。
教师：历史统一的潮流滚滚向前，在“一国两制”方针指导下，香港、澳门已回归了祖国，我们相信台湾问题也一定会解决，祖国统一大业一定会实现。
我们盼望着这一天早日到来……更何况，两岸同胞都是中国人，我们都有一颗中国心。
最后，让我们合唱《我的中国心》来结束这节课的学习吧。
【板书设计】【巩固练习】课件展示【布置作业】（二者任选其一）1、结合历史和现实，谈一谈你对祖国统一问题的看法2、概述“一国两制”的理论和实践及其历史影响。
【课后反思】1、本节历史课主要是关于祖国统一的有关历史情节，因此可以把学习历史和解决现实问题结合起来，引导学生观察社会，了解生活，让历史为现实服务，从而对学生进行爱国主义教育，通过课后反应基本上达到了这一情感态度价值观的熏陶目的。