西青区2010～2011学年度第一学期高三数学期末考试(理)
数学理卷·2011届山东省青岛市高三教学质量3月统一检测(2011.03)
山东省青岛市2011届高三教学质量统一检测 2011.03数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：121(3V S S h =+，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A B ð等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2xy =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A .15B .15-C .30D .606. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A .2233y x y x ==-或B .23y x =C .2293y x y x =-=或D .22-9y x y x ==或7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和4A .283π B .73πC .28πD .7π8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A .1B .2C .3D .49. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP=+(直线MP 不过点O )，则20S 等于 A .15 B .10 C .40 D .2010. 定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A .6π B .3π C .56π D .23π11. 下列四个命题中，正确的是A .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B .设回归直线方程为 2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12. 若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]2正视图 侧视图俯视图第Ⅱ卷 (选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速 频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量为14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值 为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式1|21|||a xx-?对一切非零实数x 恒 成立，则实数a 的取值范围16. 点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到 直线2y x =-的距离的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x =u r，1)-，向量n x =r ，1)2-，函数.()()f x m n m =+u r r u r .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC D 内角A ，B ，C 的对边，A为锐角，a =4c =，且()f A 恰是()f x 在[0，]2p上的最大值，求A ，b 和ABC D 的面积S . 18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ，90BADADC?? ，12AB AD CD a ===，PD (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和.(Ⅰ)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N Î，不等式1227122nkn n T ?+-恒成立，求实数k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x =-++. (Ⅰ)当14a =时，求函数()f x 在[2-，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x =++- ，若()g x 在1(2-，)+ 上单调递增，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测 2011.03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 38 14. 3 15.13[,]22- 16． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解: (Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=+++ …………2分1cos 2112222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 6022S bc A ==⨯⨯= 12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中 点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a(,,),(,,0)PB a a BC a a ==-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n，则可设1(0,1,0)n =…………7分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2n = …………10分∴12121cos 2||||n n n n θ⋅===…………11分x所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分 所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分(Ⅱ) 因为1113()22n n b -=⨯+ 所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n n n nn n n nc c ++++----=-=…………8分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………11分 所以, 要使272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分 21．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)14a =时, 3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或3x =…………2分可以看出在1x =-取得极小值,在2x =取得极大值…………5分 而48(2),(2)33f f -==由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +>考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-= (i)当1122a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+-> 解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,2448a b a b ===-=-……………7分 所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分 由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点，设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=-因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分 因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。
北京四中2010-2011学年度第一学期高三年级试卷以及答案
北京四中2010-2011学年度第一学期高三年级开学测试数学试卷（理）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1． 设{}|22M x x =-≤≤，{}|02N y y =≤≤，给出四个图形，其中以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）DCBA2． 已知a ，b ，c 为非零的平面向量，甲：a b a c ⋅=⋅ ，乙：b c =，则甲是乙的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件3． 已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．7B ．7-C ．17 D ．17- 4． 函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列论断中，正确论断的个数是（ ）⑴ 图象C 关于直线11π12x =对称； ⑵ 函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；⑶ 由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =（ ）A ．100B ．101C ．200D ．2016． 已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≥（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.847． 一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2，4，6，8中任取的一个数，b 为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112 B ．760 C ．625 D ．5258． 函数()f x 的定义域为(1)(1)-∞+∞ ，，，且(1)f x +为奇函数，当1x >时，2()21216f x x x =-+，则直线2y =与函数()f x 图象的所有交点的横坐标之和是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 二、填空题（每题5分，共30分） 9． sin 243sin x y x-=-的值域为___________．10．(10x 的展开式中，6x 的系数是___________．11．由一条曲线1y x=（其中0x ≥）与直线1y =，2y =以及y 轴所围成的曲边梯形的面积是______． 12．已知：定义在(22)-，上的偶函数()f x ，当0x >时为减函数，若(1)()f a f a -<恒成立，则实数a 的取值范围是___________．13．在ABC △中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，120ADB ∠=︒，2AD =，若ADC △的面积为3，则BAC ∠=___________．14．定义映射:f A B →，其中{}()|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对()m n ，满足下述条件：① (1)1f m =，；② 若m n <，()0f m n =，；③ (1)[()(1)]f m n n f m n f m n +=+-，，，． 则(32)f ，的值是___________；()f n n ，的表达式为___________．（用含n 的代数式表示）． 三、解答题（共6题，共80分）15．（本小题满分13分）解关于x 的不等式(1)(1)0()ax x a -+>∈R ．16．（本小题满分13分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为34，乙答对每个题的概率为13． ⑴ 求甲恰好得30分的概率；⑵ 设乙的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望； ⑶ 求甲恰好比乙多30分的概率．17．（本小题满分13分）已知：向量sin 2m A 1⎛⎫= ⎪⎝⎭，与()3sin n A A =，共线，其中A 是ABC △的内角．⑴ 求：角A 的大小；⑵ 若2BC =，求ABC △面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC △的形状．18．（本小题满分13分）已知：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ，1CC 上的点，2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =．⑴ 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； ⑵ 证明AF ⊥平面1A ED ； ⑶ 求二面角1A ED F --的正弦值．19．（本小题满分14分）已知：函数()f x 是定义在[)(]1001- ，，上的偶函数，当[)10x ∈-，时，3()f x x ax =-（a 为实数）．⑴ 当(]01x ∈，时，求()f x 的解析式；⑵ 若3a >，试判断()f x 在(]01，上的单调性，并证明你的结论；⑶ 是否存在a ，使得当(]01x ∈，时，()f x 有最大值1？若存在，求出a 的值;若不存在，请说明理由．FE D CBA A 1B 1C 1D 120．（本小题满分14分）已知：函数22()(0)f x a x a =>，()ln g x b x =．⑴ 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=a 的值； ⑵ 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围；⑶ 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得不等式()f x kx m +≥和()g x kx m +≤都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、二、 填空题：9．317⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 10．1890 11．ln 212．112a -<< 13．60︒ 14．6；!n三、解答题（共6题，共80分） 15．解：⑴ 当0a =时 ，(1)0x -+>，即：1x <-；⑵ 当0a >时 ，1(1)0x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即：1x <-或1x a >；⑶ 当0a <时 ，1(1)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，若10a -<<，则11x a <<-；若1a =-，则无解；若1a <-，则11x a-<<．综上：原不等式的解集分别为当1a <-时，1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；若1a =-时，∅；当10a -<<时，1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当0a =时，{}|1x x <-； 当0a >时，{|1x x <-或1x a ⎫>⎬⎭．16．解：⑴ 甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为233914464⎛⎫⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ⑵ ξ的取值为0，10， 30，60．12(0)133P ξ==-=，112(10)1339P ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112(30)133327P ξ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭，311(60)327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ的概率分布如下表：()01030603927273E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⑶ 设甲恰好比乙多30分为事件A ，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件1B ， 甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件2B ，则12A B B = ，1B ，2B 为互斥事件． 231231232()()()4434278P A P B P B 1⎛⎫⎛⎫=+=⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，甲恰好比乙多30分的概率为1817．解：⑴ 因为m n ∥，所以()3sin sin 02A A A ⋅-=．所以1cos 232022A A -+-=12cos 212A A -=，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为(0π)A ∈， ， 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，． 故ππ262A -=，π3A =．⑵ 由余弦定理，得224b c bc =+-又1sin 2ABC S bc A =△， 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ===△ 当ABC △的面积取最大值时，b c =．又π3A =，故此时ABC △为等边三角形．18．解： 法一：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设1AB =，依题意得(020)D ，，，(121)F ，，，1(004)A ，，，3102E ⎛⎫⎪⎝⎭，， ⑴ 易得1012EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，1(024)A D =-，，， 于是1113cos 5EF A D EF A D EF A D⋅==-，所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为35⑵ 已知(121)AF =，，，13142EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，，1102ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， 于是10AF EA ⋅=，0AF ED ⋅= ．因此，1AF EA ⊥，AF ED ⊥，又1EA ED E = 所以AF ⊥平面1A ED⑵ 设平面EFD 的法向量()u x y z = ，，，则0u EF u ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 不妨令1X =，可得(121)u =-，，．由⑵可知，AF为平面1A ED 的一个法向量．于是2cos 3||||u AF u AF u AF ⋅==⋅，，从而sin u AF = ，，所以二面角1A ED F --法二：⑴ 设1AB =，可得2AD =，14AA =，1CF =．12CE =连接1B C ，1BC ，设1B C 与1BC 交于点M ，易知11A D B C ∥，由114CE CF CB CC ==，可知1EF BC ∥． 故BMC ∠是异面直线EF 与1A D 所成的角，易知112BM CM B C ===，所以2223cos 25BM CM BC BMC BM CM +-∠==⋅，所以异面直线FE 与1A D 所成角的余弦值为35⑵ 连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为12CD BC BC AB ==，所以Rt ~Rt DCE CBA △△，从而CDE BCA ∠=∠，又由于90CDE CED ∠+∠=︒，所以90BCA CED ∠+∠=︒，故AC DE ⊥，又因为1CC DE ⊥且1CC AC C = ，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF DE ⊥． 连接BF ，同理可证1B C ⊥平面ABF ，从而1AF B C ⊥， 所以1AF A D ⊥因为1DE A D D = ，所以AF ⊥平面1A ED ． ⑶ 连接1A N ．FN ，由⑵可知DE ⊥平面ACF ，又NF ⊂平面ACF ，1A N ⊂平面ACF ，所以DE NF ⊥，1DE A N ⊥， 故1A NF ∠为二面角1A ED F --的平面角．易知Rt ~Rt CNE CBA △△，所以CN ECBC AC=，又AC =CN =，在Rt NCF △中，1NA ==连接11AC ，1A F 在11Rt AC△中，22211112cos 23A N FN A F A NF A N FN +-∠==⋅．所以1sin A NF ∠ F E D CB A A 1B 1C 1D 1所以二面角1A DE F --．19．解：⑴ 设(]01x ∈，，则[)10x -∈-，，3()f x x ax -=-+，()f x 为偶函数，3()f x x ax -+，(]01x ∈，．⑵ 2()3f x x a '=-+，∵(][)201330x x ∈⇒-∈-，，，又3a >，∴230a x ->，即()0f x '>，∴()f x 在(]01，上为增函数．⑶ 当3a >时，()f x 在(]01，上是增函数，max ()(1)112f x f a a ==-=⇒=．（不合题意，舍去）当03a ≤≤时，2()3f x a x '=-，令()0f x '=，x =∴()f x 在x =131a x -+=⇒=⇒=<． 当0a <时，2()30f x a x '=-<，()f x 在(]01，上单调递减，()f x 在(]01，无最大值．∴存在a =()f x 在(]01，上有最大值1．20．解：⑴ 因为22()f x a x =，所以2()2f x a x '=，令2()21f x a x '==得：212x a =，此时214y a=，则点221124a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线30x y --=即12a =或a =经检验知，a =12a = ⑵ 法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， 令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(01)，， 则另一个零点一定在区间(32)--，，故(2)0(3)0h h ->⎧⎨-⎩，≤，解之得4332a <≤．法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，22(1)21[(1)1][(1)1]0a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+，所以1321a -<--≤，解之得4332a <≤．⑶ 设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则(2()x x e x e F x x x x x -'=-==．所以当0x <<时，()0F x '>；当x ()0F x '<．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x 2e ⎫⎪⎭，．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2ey k k -=，即2ey kx =+-由()2ef x kx +-≥在x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 恒成立 ．所以()(22244248440k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ->恒成立．设()ln eG x e x w=-，则)()x e G x x x '=-=．所以当0x <<时，()0G x '>；当x >()0G x '<．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2ef x x ->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-．。
天津十二所重点学校2011年高三联考数学(理)试题及答案
天津市十二所重点学校2011年高三毕业班联考（一）数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+柱体的体积公式.V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
锥体的体积公式1.3V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数21212,32,z z i z i z z =+=+=则在复平面内所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是 （ ）A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）3．下列命题中真命题的个数是（ ） ①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”； ②若11|21|1,010x x x-><<<则或； ③*4,21x N x ∀∈+是奇数。
A ．0B ．1C ．2D ．34．右图给出的是计算111124620++++ 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．20i >B ．20i <C ．10i <D ．10i >5．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()y f x =的图象可由函数()sin g x x =的图象（纵 坐标不变） （ ） A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位B ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 6．已知函数2||log |11()2||,()()2x f x x f x f x =-->则不等式的解集等于（ ）A ．11(,)(3,)42+∞B ．1(,3)4C ．1(,)(2,)2-∞+∞D ．1(,2)27．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为2(3e 为双曲线C 的离心率），则e 的值为（ ）A ．2B C ．332或D ．28．已知方程(1)(||2)4y x ++=，若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福州市2011届第一学期高三期末质量检查数学(理科)试卷
福州市2010—2011学年第一学期期末高三质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分60分）1. D2. A3. B4. A5. A6. D7. A8. C9. C 10． C 11. B 12. B二、填空题(每小题4分,满分16分)13. 1 14. －∞,－2)∪(0,2)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 17.解：（Ⅰ）依题意：2(1)1n a n n =+-=+ ····························································2分(1)212n n n S n -=+⨯=2322n n + ······································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 4211==a b ·········································································· 5分{}111222n n a a n n nb b b +-+===∴是首项为4,公比为2的等比数列 ·········· 7分 11422n n n b -+∴=⨯= ····················································································· 9分24(12)2412n n n T +-==-- ················································································ 12分18.（本小题满分12分）18.解：（Ⅰ）()1cos 2cos f x x x x ωωω=-+1c o s 23s i n 2x x ωω=-+ ··································································· 2分2cos 21x x ωω=-+2sin(2)16x πω=-+ ······························· 5分 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． ··························································································7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1)62sin(2)(+-=πx x f因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， ····················································· 9分所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此31)62sin(20≤+-≤πx ， 即()f x 的取值范围为]3,0[． ···················································································· 12分 19.（本小题满分12分）19.解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n ，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为：2251(0)6n n C p C ξ+=== ·························································································· 2分化简得：2340n n --=，解得4n =或1n =-（舍去），即袋子中有4个黑球 ·············· 4分（Ⅱ）依题意：ξ=0,1,2,3,411432911(0), (1)63C C p p C ξξ⋅===== ················································································· 5分 2113242911(2)36C C C p C ξ+⋅=== ··························································································· 6分1132291(3)6C C p C ξ⋅=== ······································································································ 7分 22291(4)36C p C ξ=== ········································································································ 8分∴ξ的分布列为：10分936463362311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ···················································· 12分20.（本小题满分12分）20.解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤， 从甲地到乙地所用的时间为300x小时， ·············································································· 2分 则从甲地到乙地的运输成本xx x y 3008003005.02⋅+⋅=，(050)x <≤ ···························· ６分 故所求的函数为230030016000.5800150()y x x x x x=⋅+⋅=+，(050)x <≤． ··················· ７分（Ⅱ）解法１：由（Ⅰ）160015015012000y x x ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， ············ ９分 当且仅当1600x x=，即40x =时取等号． ········································································ 11分 故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． ························· 12分 （Ⅱ）解法2：由（Ⅰ）)500)(1600(150≤<+=x xx y . ············································ ９分 .12000.80)(,40;)(,0)(',)50,40(;)(,0)(',)40,0(,16001)('),500(1600)(min 2==∴>∈<∈-=≤<+=y x f x x f x f x x f x f x xx f x x x x f 取最小值时单调递增时则单调递减时则令 ……11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． ························· 12分 21.（本小题满分12分） 21.解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.且点Q 在曲线C 上, ∴|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1 ·······················································································5分 （Ⅱ）证法1：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交.∵1EM MB λ=，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11112λλ+=x ，1011λ+=y y ． ························································································ 7分 将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211=+++λλλy ，去分母整理，得0551020121=-++y λλ． ··································································· 10分同理，由2EN NB λ= 可得：0551020222=-++y λλ．∴ 1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根，∴ 1021-=+λλ． ·····································································································12分 （Ⅱ）证法2：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交. 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2(-=x k y ． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得052020)51(2222=-+-+k x k x k ． ················································································ 8分∴ 22215120k k x x +=+，222151520k k x x +-=．又 ∵1EM MB λ=， 则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1112x x -=λ， 同理，由2EN NB λ=，∴2222x x -=λ． ········································································· 10分 ∴10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ． ···································· 12分 22.（本小题满分14分）22.解: （Ⅰ）∵f (x )=－x 3+ax 2+bx+c ，∴()232f x x ax b '=-++． ································· 1分∵f (x )在在(－∞,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，∴当x =0时，f (x )取到极小值， 即()00f '=．∴b =0． ····················································································· 3分 （Ⅱ）由(1)知，f (x )=－x 3+ax 2+c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)=0，∴c =1－a ． ····························································· 5分 ∵()2320f x x ax '=-+=的两个根分别为10x =，223ax =． ∵f (x )在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点，∴2213a x =>，即32a >． ································································································ 7分 ∴()()52841372f a a a =-++-=->-．故f (2)的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ··················································································· 9分 （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知()321f x x ax a =-++-，且32a >．∵1是函数()f x 的一个零点，∴()10f =，∵()1,g x x =-∴(1)0g =，∴点(1,0)是函数()f x 和函数()g x 的图像的一个交点． ·········································· 10分结合函数()f x 和函数()g x 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数()f x 和函数()g x 的图像只有一个交点(1,0)时，()()f x g x >的解集为(,1)-∞．即方程组321,1y x y x ax a =-⎧⎨=-++-⎩（１）只有一个解10x y =⎧⎨=⎩． ··········································· 11分 由3211x ax a x -++-=-，得()()()321110x a x x ---+-=．即()()()()()2111110x x x a x x x -++--++-=．即()()()21120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦．∴1x =或()()2120x a x a +-+-=． ··········································································· 12分由方程()()2120x a x a +-+-=， （２）得()()2214227a a a a ∆=---=+-．∵32a >，当0∆<，即2270a a +-<，解得312a << ···················································· 13分此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解10x y =⎧⎨=⎩．所以312a <<时，()()f x g x >的解集为(,1)-∞．············································· 14分 （Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知()321f x x ax a =-++-，且32a >．∵1是函数()f x 的一个零点()2()(1)11f x x x a x a ⎡⎤∴=--+-+-⎣⎦又()()f x g x >的解集为(,1)-∞，()()2()()(1)120f x g x x x a x a ⎡⎤∴-=--+-+->∞⎣⎦解集为-，1··························· 10分 ()2120∴+-+->x a x a 恒成立 ················································································ 11分 ()()214120a a ∴∆=--⨯⨯-< ················································································ 12分 ()2227018a a a ∴+-<∴+<33311222⎛⎫>∴<<∴ ⎪⎝⎭a a a 又的取值范围为 ······································· 14分。
高数卷
天津轻工职业技术学院2010 —2011 学年度第一学期期末考试试卷 (A)科目：《 高等数学 》命题教师：谷秀珍一、选择题（每小题2分，共20分）1、设f(x)=ln5，则f(x+2)- f(x)=（ ）。
A 、ln7-ln5B 、ln7C 、ln5D 、0 2、当x →∞时，下列变量中是无穷小量的是（ ）.A 、x1B 、cosxC 、2x 2+ 1D 、x e3、11lim1--→x x x =（ ）。
A 、-1B 、1C 、0D 、不存在 4、如果lim ()x f x A -→=0，lim ()x f x A +→=0，则函数f(x)在x=0处（ ）。
A 、一定有定义B 、一定有极限C 、一定连续D 、一定间断 5、函数f(x)=│x-1│在x=1处（ ）。
A 、不连续 B 、连续但不可导 C 、连续且'f (1)=-1 D 、连续且'f (1)=1 6、当y=f(x)在点x 处取极值，则必有（）。
A 、 'f (x 0)=0B 、'f (x 0)不存在C 、''f (x 0)=0D 、'f (x 0)=0 或'f (x 0)不存在 7、下列等式中正确的是（ ）。
A 、()dx d x x -=211 B 、 ln ()xdx d x=1C d =D 、sin (cos )xdx d x =8. 函数()f x 在0x 可导，则0'()f x 等于（ ）A.00()()0limf x x f x x x -∆-∆∆→ B.00()()20limf x x f x x x -∆-∆∆→C.00()()0limf x x f x x x -∆--∆∆→ D.00()()lim f x x f x x x x -∆-+∆∆∆→9. f(x)的一个原函数为lnx ，则'f (x)=（ ） A 、xlnx B 、x 1 C 、-21xD 、x e 10、24xdxx =+⎰=（ ） A. 21ln(4)2x C ++ B. 2ln(4)x C ++C. 1arctan 22x C +D. arctan 22x xC +二、填空题(每小题2分，共20分)1、y=ln()x -12的定义域为 。
天津市西青区2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
天津市西青区2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ）A B 1 C ．3- D 14．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒5．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭6．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=7．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4C ．12D ．88．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离9．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝10． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元12．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1 一1. --------------------------------------------------------------------- （5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数-------------------------------------------------- =（）1_1A . 2+i B. 2 - i C.- 1+2i D . - 1 - 2i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式.【解答】解：复数= -：：'=2 - i1-i （1-i）（1+i） 2故选B .【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目.2 22. （5分）（2011?天津）设x, y€R，贝U X丝且y多堤x +y台”的（）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C.充分必要条件D •既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.2 2 2 2【分析】由X支且y多”推出X +y台”可证明充分性；由满足X +y台”可举出反例推翻X多且y 支”，则证明不必要性，综合可得答案.【解答】解：若X》且y呈，则x2台,y2呂，所以x2+y2%，即x2+y2呂；2 2 右x +y台，则如（-2,- 2）满足条件，但不满足x支且y支.2 2 所以X呈且y支”是X +y绍”的充分而不必要条件.故选A .【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义.3. （5分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）£7 = J X CT*1/输出］L/A . 3B . 4C . 5D . 6【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图.【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 , a=2; 经第二次循环得到 i=2, a=5;经第三次循环得到 i=3, a=16;经第四次循环得到 i=4, a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律.4. （ 5分）（2011?天津）已知｛a n ｝为等差数列，其公差为- 2,且a 是a s 与a 9的等比中项, S n 为｛an ｝的前n 项和，n€N ，则S io 的值为（ ）A . - 110B . - 90C . 90D . 110【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】 通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，求出【解答】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3?a 9,T ｛a n ｝公差为-2,二 a 3=a 7- 4d=a 7+8, a 9=a 7+2d=a 7 - 4,所以 a 7 = （a 7+8） （a 7 - 4）,所以 a 7=8，所以 a 1 =20, 所以 S 10=「「二亠八 ' 「-=110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前 n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型.故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.【考点】二项式定理. 【专题】二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 2的系数，即得答案.【解答】解：展开式的通项为 T r+1= （- 1） r 22r -6C 6r x 3-rx 的指数为2，求出展开式中,令 3 - r=2 得 r=1所以项展开式中,x 2的系数为-..\ '-° O5. （ 5分）（2011?天津）在x 2的系数为（2V5 r V6BD _ BC * c _ 3V6sinC sin-ZBDC 4逅兀 3故选：D .【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、 识解三角形的问题， 反复运用正弦定理、 余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识, 选择基本工具解决问题.7. （ 5 分） （2011?天津）已知二:r 丄. 八］则（ ）5A . a > b > cB . b > a > cC . a > c >bD . c > a > b 【考点】指数函数的单调性与特殊点.【专题】函数的性质及应用.6. （5分）（2011?天津）如图，在 △ ABC 中，D 是边AC 上的点，且 AB=AD , 2AB= ■:BD ,BC=2BD ，则sinC 的值为（ A .匚3【考点】【专题】【分析】B .亘C .丄D .6 3三角形中的几何计算.解三角形.根据题中条件，在 △ ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ,利 用正弦定理可求 sin /BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可 【解答】解：设AB=x ，由题意可得 AD=x , BD=—■，.-V3 <3△ ABD 中，由余弦定理可得cosA=2 _ 4 X 2AB 2 + AD 2- BD 2 2x ~~_1••• sinA = _△ ABD 中，由正弦定理可得AB1? sin / ADB=sin^ADB sinA霁in 么孟X 竽暮V3BC △ BDC 中，由正弦定理可得同角基本关系式等知 并能灵活【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小,指数幕的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到b ,再借助于中间值log 2丄进行比较大小，从而得到结果.，3【解答】解:••Tog 23.4 > 1, Iog 43.6v 1, 又y=5x 是增函数，••• a > b ,沁)W5103T Y二5影>5】呃昇二51=5"隔4〉5"阴"归b而 ge |og J >IogJ'，• a > c故 a >c >b . 故选C .【点评】此题是个中档题.本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.自，a - b^l.设函数fb, a - bJ>l2 2(x ) = (x - 2) ? (X - x ), x €R .若函数y=f (x )- c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则 实数c 的取值范围是()A .| 一 •； 1. " 1 B. ' 一. . 二2 4C .-二「「D.'-卩：■-4444【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用.【分析】根据定义的运算法则化简函数f (x ) = (x 2- 2) ? (x - x 2)的解析式，并求出 f(x )的取值范围，函数 y=f (x ) - c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为 y=f (x ), y=c 图 象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围.£ a - b<l【解答】解：•••已毗二J|、■.，b, a ~ b^>l.X.由图可知，当 函数f (x )与y=c 的图象有两个公共点, ••• c 的取值范围是 -,｛•函数 f ( x ) = (x 2- 2)(x - x 2)Iog 43.6v 1, Iog 23.4> 1，利用分数- K £4【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想.属于基础题.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5分）（2011?天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 . 【考点】分层抽样方法.【专题】概率与统计.【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果.【解答】解：：•田径队有男运动员48人，女运动员36人，•••这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，•每个个体被抽到的概率是——84 4•••田径队有男运动员48人，•••男运动员要抽取48X =12人，4故答案为：12.【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题.10. （5分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则这个几何体的体积为6+ n m3.正视圏犒视圏【考点】由三视图求面积、体积.【专题】立体几何.【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积.【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2,高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3, 1贝U V圆锥=* ? n?= nV长方体=1 >2X3=6则V=6+ n故答案为：6+ n【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键.11. （5分）（2011?天津）已知抛物线C的参数方程为X=St（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4）2+y2=r2（r> 0）相切，则r=_ . ：_ .【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程.f 2【分析】由抛物线C的参数方程为X"St我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率L y=8t为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x- 4）2+y2=r2（r>0）相切，我们根据直线与圆相切，贝U 圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案.【解答】解：•••抛物线C的参数方程为，x=St则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2, 0）又•••斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为 y=x - 2,即经x - y - 2=0 由直线与圆（x - 4） 2+y 2=r 2，则故答案为：-其中根据直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径， 求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r 的方程，是解答本题的关键.12. （ 5分）（2011?天津）如图，已知圆中两条弦 AB 与CD 相交于点F , E 是AB 延长线上 一点，且 DF=CF= 二 AF : FB : BE=4 : 2: 1.若CE 与圆相切，则 CE 的长为.【考点】圆的切线方程. 【专题】直线与圆.【分析】 设出AF=4k , BF=2k , BE=k ，由DF?FC=AF?BF 求出k 的值，禾U 用切割定理求出 CE .2 1【解答】 解：设 AF=4k , BF=2k , BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF ，得 2=8k ，即 k=,2••• AF=2 , BF=1 , BE= , AE=,2 22 17 7由切割定理得CE =BE?EA= =—，2 2 4• CE ==.2【点评】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况， 常考题型.13. （ 5 分）（2011?天津）已知集合 A={x €R||x+3|+|x - 4|电}, B= . T _ I ： — - |I ' ，则集合 A QB= _【考点】交集及其运算. 【专题】集合.【分析】 求出集合A ，求出集合B ,然后利用集合的运算法则求出 A AB .【解答】 解：集合A={x €R||x+3|+|x - 40}，所以A={x| - 4纟老}; 集合-.■' -'. ■ . ； .•-，--_ -■■■■. '| _ _ - - - ■-- ,当且仅当t=〔时取等号，所以 B={x|x A 2},2所以 A AB={x| - 4$W5} A{x|x A 2}={x| - 2$老}, 故答案为：{x| - 2<x<5}.r=4-2【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系,抛物线的简单性质及抛物线的参数方程,【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力.14. (5 分)(2011?天津)已知直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ ADC=90 ° AD=2 , BC=1 ,P是腰DC上的动点，则|的最小值为 5 .【考点】向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA , DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系，则A (2, 0), B (1 , a) , C (0 , a) , D (0 , 0),设P (0 , b) (0电弟)，求出包+3瓦,根据向量模的计算公式，即可求得_ J : ：■.<■' | ,利用完全平方式非负，即可求得其最小值.【解答】解：如图，以直线DA, DC分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A (2 , 0), B (1 , a) , C ( 0 , a) , D (0 , 0)设P ( 0 , b) ( 04)毛)则」■■= (2 , - b), -1= (1, a- b),•••「'd「用=(5 , 3a- 4b)••• C「二* 「一二；l.. .「为.故答案为5.【点评】此题是个基础题•考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.三、解答题(共6小题，满分80分)15. (13 分)(2011?天津)已知函数f (x) =tan (2x+——),(1 )求f (x)的定义域与最小正周期；(2)设a€ ( 0,——)，若f (二)=2cos2 a ,求a 的大小.4 2【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用； 二倍角的余弦；正切函数的定义域.【专题】解三角形.【分析】(I)利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；(n)通过f (2) -2cos2Cl ，化简表达式，结合 a€ ( 0,丄L ),求出a 的大小.241解答,解：⑴由吩 即n 迪.所以x 专呼，k 厘.所以f (x )的定义域/. f (x )的最小正周期为:sin ( a +令)---------- 二2 (co s 2a - si cos ( □ +—)4整理得—L' ] 1 J _ 二 i -二二: cos a 一 sin Cl(cos a+sind )因为 a€ (0,匹)，所 4以 sin a +cos a 0 因此(COS a — sin a) 即 sin2 a —因为 a€ (0,二_),2 4所以a_—12【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、 式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力.16. (13分)(2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个 箱子里各随机摸出 2个球，若摸出的白球不少于 2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中，(i) 摸出3个白球的概率； (ii) 获奖的概率；(n)求在2次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E (X ).【考点】离散型随机变量的期望与方差； 互斥事件与对立事件； 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计.【分析】(1)( i )甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，事件数是 C 52C 32,摸出3个白球事件数为C 32C 21C 21；由古典概型公式，代入数据得到结果，(ii )获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据(i )求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算为:2_丄=:正切函数公式，同角三角函数的基本关系 - ■-.-：=：'得 tan (=2cos2 a,要正确，因为第二问要用本问的结果.(II )连在2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、1、2,根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望.【点评】此题是个中档题. 本题考查古典概型及共概率计算公式， 离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.17. (13分)(2011?天津)如图所示，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 伯伯 的 中心，AA 仁2*：「，C 1H 丄平面 AA 1B 1B ，且 C 1H=".(1) 求异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2) 求二面角 A - A 1C 1 - B 1的正弦值；(3) 设N 为棱B 1C 1的中点，点 M 在平面AA 1B 1B 内，且MN 丄平面A 1B 1C 1,求线段BM【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.【解答】解：(I) (i )设 在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i= , 0, 1, 2, 3),则2 1 C3 c 21P (A 3).(ii )设 在一次游戏中获奖2 2 11 C 电 C 9C C nP (A 2)=厂 丁- - - ■ c 5 c 3 c 5”为事件B , 1.一-3则 B=A 2U A 3,又且 A 2、A 3 互斥，所以 P ( B ) =P (A 2)(H)由题意可知 X 的所有可能取值为+P ( A 3)=:」］ 0, 1, 2.P (X=0 )==(1 - \ 2=,10 100P (X=2 )==(')「，10 10012.p910021 50 49 100X 的数学期望E (X ) =0X " . ■ 一100 50100^5P (X =1)"吒(1 甘疇，所以X 的分布列是【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.(I)求出心中的有关向量，然后求出异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值；□二0T(H)利用,「: 求出平面AA i C i 的法向量IT ,通过*AA ［二 0 的法向量」然后利用MN-AiBi=O(川)设N 为棱B i C i 的中点，设M ( a, b, 0),利用MN 丄平面A i B i C i,结合［一 fHN-A^^O求出a , b ,然后求线段BM 的长.方法二：(I )说明/ C i A i B i 是异面直线AC 与A i B i 所成的角，通过解三角形 C i A i B i ,利 用余弦定理， cosZC l A l B l- 2A 1C 1-A 1B 1-3求出异面直线 AC 与A i B i 所成角的余弦值为士I3(II )连接AC i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ，连接B i R ，说明/ ARB i 为二面角A - A i C iA "+E E - AB !-B i 的平面角.连接 AB i ,在厶ARB i 中，通过「 • •,1ZAK* D j K求出二面角A -A i C i - B i 的正弦值为 -7(III )首先说明MN 丄A i B i .取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点，推出ND 丄A i B i .证明A i B i 丄平面MND ,连接MD 并延长交A i B i 于点E ,延长EM 交AB 于点F,_连接NE .连接BM ，在Rt △ BFM 中，求出【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点. 依题意得A (2^2. 0, 0) ,B (0, 0, 0),C (近，-伍，真)A t (2A /2 * 2^2* 0)，B ］ (CL 2品 0) , Cj (V2 * V2 * Vs )cos 疋，盘磴［B ；〉二,一.’, ----- .,1 1|人1匚1二Q求出平面 A I B I C I i 二0［一求二面角A - A i C i - B i 的正弦值；(I )解：易得-- 冷「 —.:—► -------►AC p A 1B 14 V?是， 所以异面直线AC 与A 1B1所成角的余弦值为匚.(H )解：易知.I .... ■--: =匸设平面AA 1C 1的法向量 =(x , y , z ),不妨令」二，可得.. - ■ 同样地，设平面 A i B i C i 的法向量-i=(x , y , z ),n p A t C t =0( -^/2x - V23^V5Z ~0、 厂则* f ______ * 即《 不妨令尸，n-A^^O l - 2V2K =0.可得-厂•「 ■■: 1所以二面角A - A 1C 1 - B 的正弦值为in* Ai Ci=O则-丄即(■后-品*12727=0.从而:j(III )解：由N 为棱B i C i 的中点,方法二：(I )解：由于AC // A 1C 1，故/ C i A i B i 是异面直线AC 与A I B I 所成的角. 因为CiH 丄平面AAlBlB ,又H 为正方形AAlBlB 的中心， 「.二-C . H--可得 A i C 仁B i C i =3 .因此-M--G 曲厶n 1 2打所以异面直线AC 与A i B i 所成角的余弦值为 1.3(II )解：连接 AC i ，易知 AC I =B I C I , 又由于 AA I =B I A I , A i C i =A i C i ,所以△ AC i A i ^A B i C i A i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ,连接B i R ，于是B i R 丄A i C i ，故/ ARB i 为二面角A - A i C i - B i 的平面角.由MN 丄平面A I B I C I ，得、MN-B!=0连接 AB I ，在△ ARB I 中，上 「门-一 A7.:.-AR 2+B 1R 2 - ABj 2祁•石百=°c在Rt △ A IRBI中，•-…..-(I)求椭圆的离心率 e ;【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.所以二面角A - A i C i - B i 的正弦值为-7(III )解：因为 MN 丄平面A i B i C l ，所以MN 丄A i B i . 取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点， 所以 ND // C i H 且、一-厂--.2 2又C i H 丄平面AA i B i B , 所以ND 丄平面AA i B i B ，故ND 丄A i B i . 又 MN AND=N ,所以A i B i 丄平面MND ，连接MD 并延长交A i B i 于点E , 则 ME 丄A iB i ，故 ME // AA i .得---：--，延长EM 交AB 于点F ,2可得-_ ：)2在 Rt △ ENM 中，ND 丄 ME ，故 ND 2=DE?DMD 厝晋 F 闻所以可得BM ，在 Rt △ BFM 中，：丫_ y 二］；一 . 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.连接 i8. (i3分)(20ii?天津)在平面直角坐标系2 2F2分别为椭圆1的左、右焦点.已知a 2b 2xOy 中，点 P (a , b ) (a > b > 0)为动点,△ F i PF 2为等腰三角形.F i ,(H)设直线PF 2与椭圆相交于 A , B 两点,M 是直线PF 2上的点，满足f ；：,.连接NE .点M 的轨迹方程.【分析】(I)直接利用△ F 1PF 2为等腰三角形得 离心率e ;将① 代入化简得18x 2- 16 7y - 15=0, ? y='代入① 化简得c=丄」>0.所1&V3X16x以 x >0 , 因此点M 的轨迹方程为18x 2- 16 ■:xy - 15=0 (x >0). 【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力.219. (14分)(2011?天津)已知a >0，函数f (x ) =lnx - ax , x >0. (f (x )的图象连续不 断)(I)求f (x )的单调区间；(n)当 手g 时，证明：存在Xo € (2, + 8),使f (耳)=f (冷);(川)若存在均属于区间［1,3］的a 且B- a 丰,使(a)=f( B),证明 — ■ ■-：一匚一5 3|PF 2|=|F 1F 2|,解其对应的方程即可求椭圆的 (n)先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ,B 两点的坐标， 代入二,即可求点M 的轨迹方程.【解答】解：(I)设 F i (- c , 0) , F 2 (c , 0)(C >0).由题得 |PF 2|=|F i F 2|，即:'=2c ，整理得 2a2+ :-仁0,得：=-1 (舍),或=,a 2所以e=.2(n)由(I)知a=2c , b= 7c ,可得椭圆方程为y 2=12c 2 Cx-d '消y 并整理得5x 2- 8xc=0 ,3x 2+4y 2=12c 2，直线方程为 y= '； (x - c ).解得x =0, x鲁得方程组的解为x=08c5v=—■—c不妨设 A ( c 二一c ), B (0, - 7 c )5 5*p设点M 的坐标为(x , y ),则AH = (x - — c , 5y -— c ) , M= (x , y+■:c )5由.「，丫 * f'= - 2 即(x -x+ (y --C) 5(y+* ?c ) =- 2.A ,B 的坐标满足方程组①，由 Y =W (x - c ) 得 c=x -【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明.【专题】导数的综合应用.【分析】(I)求导数f/(x)；在函数的定义域内解不等式f/(x)> 0和f/(x)v 0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.(II )由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, +8)内单调递减•令-二.■' I I .利用函数f (x)在(0, 2)内单调递增，得到2.■- ■ .- 「•最后取I:「「一「从而得到结论;(III )先由f (a) =f (份及( :1)的结论知P，从而f (x )在［a, 3上的最小值为f (a).再依1Wa2<B3建立关于a的不等关系即可证得结论.2【解答】解: (I) : :. - ・■X X令-:< ■.-11^ /'.za当x变化时，f (x), f (X)的变化情况如下表：x(0, ^^)2a 7 2刁2a(V^, + 8)2af' (x) +0—f ( x) 增极大值减所以，f( x)的单调递增区间是I I, --1 . ，:的单调递减区间是2a(II )证明：当-厂"「一丄' :, •s y由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, + 8)内单调递减.令H ；■一•'':.由于f (x)在(0, 2)内单调递增，故..取:,'■■■■ ■' : - -J- -'r- 1.1所以存在x°€ (2, x'),使g (xo) =0,即存在- . . ' : 1■, -1 ,.(说明：x'的取法不唯一，只要满足x'> 2，且g (x')v 0即可)(Ill )证明：由f (a) =f (B)及(I )的结论知,, 2a 从而f (x )在［a B 上的最小值为f (a ). 又由 a 1 a, ^€［1 , 3］，知 1 Wa 2^B 3.,,ff (2) Af ( Ct ) >f (1) An fln2 -- af (2) CP) C3) . ^In2 - 4a^ln3 - 9a.【点评】本小题主要考查导数的运算、禾U 用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点 等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.20. (14分)(2011?天津)已知数列｛a n ｝与｛b n ｝满足:(I)求 a 3, a 4, a 5 的值；(n)设 C n =a 2n -1+a 2n+1, n €N ，证明：｛c n ｝是等比数列;(川)设 S k =a 2+a 4+ --+a 2k , k€N ，证明:【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)要求a 3, a 4, a 5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可.(n)化简出a 2n - 1+a 2n+1, a 2n+1+a 2n+3的关系，即：C n+1与C n 的关系，从而证明｛C n ｝是等比 数列；就是利用(I)的 b 二'1" 吟覚豎，用2n — 1, 2n , 2n+1 ,替换n匕且为偶数1,.r -———中的n ,化简出只含a n'的关系式，就是a 2n-1+a 2n +2a 2n+1=0,① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0,② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0,③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3= —(a 2n - 1+a 2n+1),得到5+1= — C n ( n €N ),从而证明｛C n ｝是等比数列； (川)先研究通项公式a 2k ,推出S k 的表达式，然后计算 '，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a 2k -1+a 2k+1= (— 1) k ,对任意k+1k€N 且k 多，列出n 个表达式，利用累加法求出 a 2k = (— 1) (k+3).化简S 2k = ( a 2+a 4)、 / x . . <KI * 3 兀 JJ r 场m-3 ^4jn-2 1 】皿计+ (a 6+a 8)+ ••+ ( a 4k -2+a 4k ) = — k , k €N ，二k=l a k m=l两皿-？屯1 対皿加 S T , 7通过裂项法以及放缩法证明：::\'k=i a k 6【解答】20、满分14 分.b n a n +an+l + b n +l a n+2=°7''■'，n €N *，且 a 1=2,a 2=4.% Si, 7可得b =(lf n?Sn u，ii为偶数又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0,当n=l时，a1-l-a2+2a3=：0i由31~2, a2=4s可得a3= - 3；当口二£时，2a2 + a3+a4=0* 可得a4= - 5i当HF3时,&3+a4+2a5=0* 可得屯=4.(II)证明：对任意n€N , a2n-i+a2n+2a2n+仁0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0, ②a2n+l+a2n+2+2a2n+3=0,③②-③，得a2n=a2n+3-④将④ 代入①，可得a2n+1+a2n+3=-( a2n- 1+a2n+1)即C n+1= - c n ( n€N )又c1 =a1+a3= - 1,故C n M D,因此:. ■ ■I是等比数列.c n n（III ）证明：由（II）可得a2k- 1+a2k+1= （- 1）, 于是，对任意k €N*且k逖有aj + a^ - l t-（巧+叫）二巧+ a亍~1，(-1 ) k ( a2t-3+ a2k - 1^ = _ 1-将以上各式相加，得a1+ (- 1) k a2k-1= -( k - 1),即a2k-1= (- 1) k+1(k+1),k+1此式当k=1时也成立.由④ 式得a2k= (- 1) ( k+3).从而S2k= (a2+a4) + (a6+a8) + ••+ ( a4k-2+a4k) = - k, S2k-仁S2k- a4k=k+3.所以，对任意n €N*, n老芒( 3如「3 | S如_2 ] $仏「打5-机)(2nH~2 _ 加- 1 _ 2nrh3 十2m)k=l a k Jii=l 为m-3 ^-2 1 m=l 加2时2 2^1 2nr+3「： =... . =—(——+____________________ 3 _______ )2*3 ±2 加(2nri-l) (2时2) (2时3). =3急(2m-l) (2^1) (2^2) (2时3)孚订(1-1) + (1-1) +…+] ——-2 ------------- —3 2 3 5 5 7 2n- 1 2n+l (2n+2) (2n+3)^5.5 ] 3 _______飞陀2*2n+l (2n+2) (2n+3)对于n=1，不等式显然成立.【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用.。
西青区2011～2012学年度第一学期高一数学期末试卷
高一数学试卷 第1页（共8页）西青区2011～2012学年度第一学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分100分. 考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，将正确答案填在下表中.1．下列各项不可以组成集合的是A. 所有正数B. 等于2的数C. 平方值等于1-的数D. 接近于零的数 2．计算︒1755sin 的值等于A ．22 B ．22-C ．2D ．2-3．在四边形ABCD 中，若D A B A C A+=,则四边形ABCD 是A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰梯形 4．下列函数在区间[)2,1上有零点的是A.543)(2+-=x x x f B.55)(3--=x x x f C. 63ln )(+-=x x x f D. 63)(-+=x e x f x高一数学试卷 第2页（共8页）5．将函数x x f sin )(=的图像先向左平移32π个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短为原来的21倍，所得函数的解析式为A. ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322sin )(πx x f C. ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322sin )(πx x f 6．已知216log -=x ，则x 的值等于A ．21 B ．2 C ．41 D ．47．已知2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +的值等于A ．2B ．21 C ．2- D ．21-8．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数y =)(x f 的定义域为R ，最大值是21；②函数y =)(x f 在]1,0[上是增函数；③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象的对称中心是（0，0）. 其中正确命题的序号是A ．①② B. ②③ C ．①④ D. ①③高一数学试卷 第3页（共8页）第Ⅱ卷（非选择题 共76分）9．已知函数221)(xxx f +=，则=)1(f .10．计算:︒⋅︒-︒⋅︒26cos 34cos 26sin 34sin = .11．设全集{}5,4,3,2,1=U ，{}2=B A ，{}4=B A C U ,()(){}5,1=B C A C U U ,则集合A 等于 .12．下列关于幂函数的命题正确的是 ．① 函数x y 2= 和2x y =都是幂函数； ② 幂函数的图象都经过点()1,1；③ 幂函数不是奇函数就是偶函数； ④ 所有幂函数在区间()+∞,0上都是增函数.13．已知平面上三个向量c b a ,,的模均为1，每两个向量的夹角均为︒120，则b a+2与ab +2的夹角为 . 14．已知函数()ax y a-=2log 在[]1,0 上是减函数，则a 的取值范围是 .二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.高一数学试卷 第4页（共8页）三、解答题：本大题共6个小题，共58分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.已知54cos -=α，),2(ππα∈.（Ⅰ）求αtan 的值;（Ⅱ）求)32sin(πα+的值.已知集合A 时函数()x y 24log3-=的定义域，集合B 是函数24xy-=的值域.（Ⅰ）求集合A 和集合B ； （Ⅱ）求集合B A 和B A .15. （本小题满分8分）16.（本小题满分8分）高一数学试卷 第5页（共8页）已知向量()()1,2,2,1==b a.（Ⅰ）求b a 2+与b a-的夹角的余弦值； （Ⅱ）求与a ，b 的夹角相等的单位向量c的坐标.17. （本小题满分10分）高一数学试卷 第6页（共8页）已知函数xx x f +-=11lg )(.（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性；（Ⅲ）判断函数f(x)的单调性并证明你的结论.18. （本小题满分10分）高一数学试卷 第7页（共8页）已知函数已知向量3(sin ,),2a x = (cos ,1)b x =- .（Ⅰ）当向量a与向量b 共线时，求tan x 的值；（Ⅱ）求函数()2()f x a b b =+⋅的最大值,并求函数取得最大值时的x 的值； （Ⅲ）求函数()2()f x a b b =+⋅的单调递增区间.高一数学试卷 第8页（共8页）已知函数563)(2--=x x x f . （Ⅰ）求不等式4)(>x f 的解集；（Ⅱ）设mx x x f x g +-=22)()(，其中R m ∈，求)(x g 在区间[]3,1上的最小值； （Ⅲ）若对于任意的[]2,1∈a ，关于x 的不等式()b a x a x x f +++-≤62)(2在区间[]3,1上恒成立，求实数b 的取值范围.。
西青区2010～2011学年度第一学期高二(理)科数学期末试卷答案
西青区2010～2011学年度第一学期期末考试高二数学（理）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，将正确答案填在下表中.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11. 若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数 12. π4 13. 1-14. 65 15. 223 16.126三、解答题：本大题共5个小题，共52分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17.(Ⅰ)⊥AB 平面11ADD A ,⊂D A 1平面11ADD A ………………………………………1分 AB D A ⊥∴1……………………………………………………………………………2分又A AD AB AD D A =⊥111, ……………………………………………………4分⊥∴D A 1平面11ABC D …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）设D A 1与A D 1相交于点Q ，连接PQ ，由(Ⅰ)知⊥Q A 1平面11ABC D ………6分则PQ A 1∠即为所求…………………………………………………………………7分在PQ A RT 1∆中，515cos 11==∠QA PQ PQ A (公式写对给1分)………………9分所以，直线P A 1与平面⊥11ABC D 所成角的余弦值为515……………………10分18.（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为：1+=kx y ………………………………………………1分圆心到直线的距离为122113222+-=++-=k k k k d …………………………………2分由已知 1<d ， 即11222<+-k k …………………………………………………3分解得374374+<<-k …………………………………………………………4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，则)1,(),1,(2211-=-=y x AN y x AM …………5分 ⎩⎨⎧=-+-+=1)3()2(122y x kx y 则07)1(4)1(22=++-+x k x k ……………6分 由韦达定理 22122117,1)1(4kx x kk x x +=⋅++=+………………………………7分)1()1(2121-⋅-+⋅=⋅y y x x AN AM …………………………………………8分721221=+⋅=x x k x x …………………………………………………9分∴AM ·AN 为定值……………………………………………………………10分19.（Ⅰ）所求x 的范围是102≤≤-x ……………………………………………….. 5分 （Ⅱ）依题意，p 是q 的充分不必要条件…………………………………………….6分 ⎩⎨⎧>+-<-∴10121m m ……………………………………………………………………7分解得 9>m ……………………………………………………………………...8分 当9=m 时，命题108:≤≤-x q ，符合要求………………………………..9分所求m 的取值范围是9≥m ……………………………………….…………..10分20.（Ⅰ）依题意⊥1CC 平面ABC ,又⊂AC 平面ABC1CC AC ⊥∴…………………………………………………………………………..1分 又C CC CB CB AC =⊥1, ， ⊥∴AC 平面11CBB C …………………………2分 又⊂EB 平面11CBB C ，EB AC ⊥∴…………………………………………. 3分 （Ⅱ）设AB 的中点为F ，连结EF CF ,AB CF AB EF EB EA CB CA ⊥⊥∴==,,, …… …………………………..4分 EFC ∠∴就是二面角C AB E --的平面角………………………………………..5分 在EFC RT ∆中，33cos ==∠EFCF EFC (写对公式给1分)……………………..6分∴二面角C AB E --的余弦值是33………………………….…… …….……. 7分（Ⅲ）体积法 11B B E A A B EBV V --= …………………………………………………….8分 332=∴h （写对公式给1分）…………………………………………………. 9分求1B 到平面ABE 的距离为332………………………………………………….10分21.（Ⅰ）122=-y x（可以列等式求动点轨迹方程，也可以直接利用第二定义） ……….. …. 3分 （Ⅱ）依题意，直线AB 不与x 轴垂直，设其斜率为k∴直线AB 的方程为：1+=kx y ………………………………………………..4分⎩⎨⎧=-+=∴1122y x kx y ()022122=---∴kx x k 5分 令0=∆，解得2±=k ， 双曲线的渐近线斜率为1±…………………….6分由已知交点A,B 在y 轴左侧，21<<∴k ………………………...…………8分.（Ⅲ）设),(),,(2211y x B y x A , 由（Ⅱ）中方程，22112kk x x -=+………………..9分∴221(,)11k N kk-- 22121011222++-=+---=∴k kk k k k PN…………….............……10分∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x k ky ,令0=x ，2222d k k =-++……... 11分令2()22f k k k =-++，则()f k 在（1）上为减函数﹒∴()(1)f f k f <<，且()0f k ≠∴(2d <-+或2d > …………………….12分。
浙江省宁波市2011届高三数学上学期期末试题 理
宁波市2010学年第一学期期末试题高三数学（理科）试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=kkn p C (1-p )n -k (k =0,1,2,…n ) 台体的体积公式球的表面积公式 )2211(31S S S S h V ++=S =4πR 2 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积， 球的体积公式 h 表示台体的高V =34πR 3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 (A) (1)(1)i i ++-(B) (1)(1)i i +--(C) (1)(1)i i +-(D)11ii+- (2) 已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则6a ＝(A) -8 (B) 0 (C)2 (D) 8(3) “a ≠0”是“函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有零点”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积等于(A)2123πcm 3 (B) 70πcm 3 (C) 3263πcm 3 (D) 100πcm 3(5) 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是正视图 俯视图侧视图(A) ,,x y z 为直线 (B) ,,x y z 为平面(C) ,x y 为直线，z 为平面 (D)x 为直线，,y z 为平面 (6)设双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点.若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点A (不同于O 点)，则△OAF 的面积为(A) ab (B) bc (C) ac (D)2a bc(7) 14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为(A) 2293C A(B) 2295C A(C)2297C A(D) 2797C A(8) 已知数列{}n a 满足：11a =，212a =，且2121n n n n a a a a +++=+ (n ∈N *)，则右图中第9行所有数的和为(A) 90 (B) 9! (C)1022(D)1024(9) 已知函数241log x y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于点A 对称，则点A 的坐标为(A)(0,2) (B)1(,2)8 (C) 1(,2)4(D) 1(,2)2(10)函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1(),()0(),M x M f x x M ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩（其中M 为非空数集且MR ），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足A B =∅ ，则函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为(A) {0} (B) {1} (C) {0,1} (D) ∅第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分。
西青区2013～2014学年度高三第一学期期末考试(理)答案
西青区2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，将正确答案填在下表中.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 2-; 10. 2； 11.213-； 12.332； 13. 22； 14. 147三、解答题：本大题共6个小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 15. （Ⅰ）由条件结合正弦定理得，sin sin a cA C==……………………………………2分从而sin C C =，tan C = ……………………………………………………………4分 ∵0C π<<，∴3C π=………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）知23B A π=-…………………………………………………………………………7分cos A B -2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=--…………………………………8分1cos 22A A =+sin()6A π=+………………………………………10分 ∵203A π<<，∴5666A πππ<+<当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值1 ………………………………………12分此时,33A B ππ==………………………………………………………………………………13分16. (Ⅰ)由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.05.182325.05.17735.05.172125.05.16705.05.162x05.05.187⨯ ……………………………………………………………………………………2分174.750=（cm ） ………………………………………………………………………………4分(Ⅱ) 由频率分布直方图可知,所抽取的样本中身高在170~175cm 之间的人数为14405070.0=⨯⨯人 ………………………5分 所抽取的样本中身高在170cm （含170cm ）以上的人数为33405)010.0020.0065.0070.0(=⨯⨯+++人 ……………………………………………6分所以X 的可能取值为0,1,2……………………………………………………………………7分,52891)2(,528266)1(,528171)0(233214019233114119233014219=========C C C X P C C C X P C C C X P ……………………………………………………10分所以X 的分布列为………………………………………………………11分X 的数学期望为,332852844825289115282660528171==⨯+⨯+⨯=X E …………………………………………………13分17. （Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD⊥，AB AD =，//AB DC， ∴四边形ABFD 为正方形，∵O 为BD 的中点，∴O为,AF BD 的交点，∵2PDPB ==， PO BD ⊥，……………………1分∵BD == PO ==12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥ ……………………………………………2分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ……………………………………………………………4分ADOCPBE F(Ⅱ)连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点，∴//OE PF ………………………………………5分 ∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面 …………………………………………………7分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又A B A D ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -，(1,1,0)F(1,3,0)C，P ，11(,,)222E --……………………………………………………………8分设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为n = ……………………………10分又(2,2,0)CB =--………………………………………………………………………………………11分则sin cos ,3θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC所成角的正弦值为3. ………………………………………………13分18. （Ⅰ）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，…………………………………………………………2分解得2=q ，11a = ……………………………………………………………………………………4分 故数列{}n a 的通项为12n n a -= ……………………………………………………………………6分（此题方程组解法很多，可酌情给分）(Ⅱ)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n-=-++ …………………………………9分 ∴n T 112231111111111121212121212121n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n=-+………………………………………………………………………12分 ∵0121>+n， ∴n T 11221n =-+21>………………………………………………………………13分19. (Ⅰ)设()0,c F -，由33=a c 知，c a 3=……………………………………………………………1分 过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆方程中，解得36by ±= ……………………2分 由已知334362=b ，解得2=b …………………………………………………………………3分 又222c b a +=，解得3=a ，1=c ………………………………………………………………5分所以，椭圆是方程为12322=+y x ………………………………………………………………6分(Ⅱ)设()()2211,,,y x D y x C因为()0,1-F ，所以过点F 且斜率为k 的直线方程为()1+=x k y ………………………………7分联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=123122yx x k y ，代入化简为 ()0636322222=-+++k x k x k …………………8分 由韦达定理得222122213263,326k k x x k k x x +-=⋅+-=+ ……………………………………………10分因为()()0,3,0,3BA -，所以，由已知可得()()()()8,3,3,3,311222211=--⋅++--⋅+y x y x y x y x …………11分代入化简解得2±=k ………………………………………………………………………………14分20.（Ⅰ） ()()()()a x x a x a x x f -+=--+=11'2……………………………………………… ……2分∵ 0>a ， ∴ ()01f x x '>⇔<-或x a >，()01f x x a '<⇔-<< ……… ……3分 函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞，单调递减区间为(1,)a -……………… ……4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知，函数)(x f 在(2,1)--内单调递增，在(1,0)-内单调递减………………… … 5分 所以， 只要()()()00,01,02<>-<-f f f 即可……………………………………………………7分 解得310<<a ……………………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)当1a =时()1313--=x x x f ，()()()111'2-+=-=x x x x f ……………………………10分()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减…………………………………………11分当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈⇒=-≤-= 4()(1)(1)3g t f f ⇒≥--=……………………………………………………………………12分 当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈⇒=-= 4()(1)(1)3g t f f ⇒=--=……………………………………………………………………13分 所以，函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为43………………………………………………14分。
天津市五区县高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A
天津市五区县2011—2012学年度高三第一学期期末考试数 学 试 题（理）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．i 是虚数单位，复数31ii-+=（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +2．若命题:|1|2p x +<，命题2:2q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 （ ） A ．240 B ．60 C ．48 D ．16 4．设0.521.512,0.5,()2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<5．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是37a a 与的等比中项，832S =，则S 10等于（ ）A ．18B ．24C ．60D ．906．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的解析式是（ ）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin 2y x =C ．2sin(4)6y x π=-D ．2sin 4y x =7．定义在R 上的偶函数[)()0,f x +∞在上递增，若1()03f =，则满足18(log )0f x >的x的取值范围是（ ）A ．1(0,)(2,)2+∞ B ．(0,)+∞C ．11(0,)(,2)82D ．1(0,)28．已知O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．2B ．3CD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市五区县高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版)
天津市五区县2013届高三数学上学期期末考试试题文（扫描版）新人教A版天津市五区县2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．A9．11 10．22 11．20134025 12．π1812+ 13．27 14．)1,32[ 15．（1）∵ c b a << ∴A 是ABC ∆中的最小内角，∴20π<<A ∵ 135sin =A ∴ 1312sin -1cos 2==A A …………………………………2分 ∵ 54cos =B , π<<B 0 ∴ 53cos -1sin 2==B B ………………………4分 ∵ )(B A C +-=π ∴ )sin(sin B A C += …………………………………5分 ∴ 655653131254135sin cos cos sin sin =⨯+⨯=+=B A B A C …………………6分 （2）∵ 5,sin 2-sin 3sin ==a C B A∴ 由正弦定理得 c b a 2-3= ∴ 52-3=c b ……………………………………7分 ∵ 3π=B ，∴ 由余弦定理得B ac c a b cos 2-222+= ∴c c b 5-2522+= ……9分以上二方程联立消去b 得04013-2=+c c ，解得5=c 或8=c …………………11分 当5=c 时，5=b 与c b a <<矛盾，应舍去。
……………………………………12分 当8=c 时，7=b 符合c b a <<，∴ 8=c ………………………………………13分16．（1）483442414=⨯⨯==A A n ………………………………………………………2分 奇数的个数为183********=⨯⨯==A A A a ……………………………………………4分 ∵ n 个3位数中每个被取中都是等可能的 …………………………………………5分∴ 这个数为奇数的概率为834818==n a ………………………………………………6分 （2）54321、、、、=X …………………………………………………………………………7分261441434142414141415=++++=A A A A A A A A A m ……………………………8分∴ 26148261)3(,26116261)2(,2615261)1(2414141415=========A A X P A A X P A X P 26196261)5(,26196261)4(44143414======A A X P A A X P ……………………………10分 ∴X 的分布列为 ………………………………………………………………11分∴ 261261526142613261226151=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………………13分 17．（1）∵O 是棱AB 的中点，D 是棱1AA 中点∴ OD 是AB A 1∆的边B A 1的中位线 ∴ OD ∥B A 1 ……………………1分 ∵ B A 1⊂平面BC A 1，OD ⊄平面BC A 1 ……………………………………2分 ∴ OD ∥平面BC A 1 …………………………………………………………3分（2）∵AB A 1∆为正三角形，∴ 平行四边形11A ABB 为菱形 ∴ B A AB 11⊥ ……4分 ∵ OD ∥B A 1 ∴ OD AB ⊥1 ………………………………………………5分 ∵ 在正CAB ∆中，O 是AB 的中点 ∴ AB CO ⊥∵ 平面⊥11A ABB 平面ABC=AB 平面ABC I 平面11A ABB ∴ ⊥CO 平面11A ABB ………………………6分 ∵ 1AB ⊂平面11A ABB ∴ CO AB ⊥1 ………………………………………7分 ∵ OD CO ,是平面DCO 内的两条相交直线 ∴ ⊥1AB 平面DCO …………8分（3）解法1．连接1OA ,由以上证明可知，1,,OA OA OC 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OA OC 所在方向依次为z y x ,,轴的正方向，建立空间直角坐标系 ………9分 不失一般性,可设2=AB ,则 )0,0,3(C ,)3,2,0(),0,1,0(),0,1,0(),3,0,0(11--B A B A ………………………10分 ∵⊥1AB 平面DCO ∴ )3,3,0(1-=AB 为平面DCO 的法向量 …………11分设平面BC A 1的法向量为),,(z y x m =ϖ,∵ BC m C A m ⊥⊥ρϖ,1∴ 0,01=⋅=⋅BC m C A m ρϖ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-⋅0)0,1,3(),,(0)3,0,3(),,(z y x z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-03033y x z x ，令1=x ， 则)1,3,1(-=m ϖ………………………………………………………………12分 设平面DCO 与平面BC A 1所成的锐二面角为θ 则552|||||,cos |cos 111==><=AB m AB m ϖϖϖθ …………………………13分 解法2．过点C 作CE ∥OD ∴ O D E C ,,,四点共面∵ OD ∥B A 1 ∴CE ∥B A 1∴ B A E C ,,,1四点共面，∴ CE 是平面DCO 与平面BC A 1的交线，…10分 ∵ ⊥CO 平面11A ABB ，⊂OD 平面11A ABB ∴ OD CO ⊥ ∴ CE CO ⊥ 作B A CF 1⊥,F 是垂足，∴CE CF ⊥∴ OCF ∠是平面DCO 与平面BC A 1所成的二面角 ……………………11分连OF , 在直角OCF ∆中，21323tan ===∠OC OF OCF …………12分 ∴ 552cos =∠OCF ………………………………………………………13分 18．（1）设椭圆C 的左、右焦点依次为1F 、2F ,依题意)0,3(),0,3(1F F -………1分 ∴ 421274141)32(||||2221=+=++=+=AF AF a ∴ 2=a …3分 ∴ 122=-=c a b ………………………………………………………4分∴ 椭圆C 的方程为11422=+y x ………………………………………………5分 （2）∵ 直线l 的倾斜角为3π ∴ 直线l 的斜率为3 …………………………6分 ∴ 直线l 的方程为)3(321-=-x y ，即253-=x y …………………7分 与椭圆方程联立得，021320132=+-x x ………………………………8分 ∴ 133203=+B x ∴ 1337=B x ∴ B 点为)2623,1337(- …………9分 ∴ 13312)212623()31337(||22=--+-=AB …………………………10分 点)0,3(F 到直线l 的距离为412|253|=-就是FAB ∆边AB 的高 ………12分 ∴ FAB ∆的面积为2633411331221=⨯⨯ …………………………………13分19．（1）点))0(,0(f 即（0,1），该点在直线l 上，代入b x y +=2得1=b ………2分 x e a x a x x f )]1()2([)(2----=' …………………………………………3分 ∵ 2)0(='f ∴ 2)1(=--a ∴1-=a …………………………………4分（2）x e a x x x f )]1()[1()(--+='，令0)(='x f ，则1-=x 或1-=a x …5分 当11->-a 即0>a 时，令0)(>'x f ，得1->a x 或1-<x …………6分 ∴ 函数)(x f 的单调增区间为),1(),1,(+∞---∞a …………………………7分 当11-<-a 即0<a 时，令0)(>'x f ，得1->x 或1-<a x ……………8分 ∴ 函数)(x f 的单调增区间为),1(),1,(+∞---∞a ……………………9分 当11-=-a 即0=a 时，0)1()(2≥+='x e x x f ，∴ 函数)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞ …………………………………10分（3）∵ 函数)(x f 在区间)2,0(上不单调，∴0)]1()[1()(=--+='x e a x x x f 在区间)2,0(上至少有一个实根 ……………………………………………11分 ∵ 0)(='x f 的根)2,0(1∉- ∴ )2,0(1∈-a …………………………13分 ∴ 210<-<a ∴ 31<<a 即为所求 …………………………………14分20．（1）∵11,n a b n ==，n n n a a b -=+1 ∴ n a a n n =-+1∴ 11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=---Λ……2分 )2(211)1(21112212+-=+-=++++-+-=n n n n n n Λ ……4分 （2）（i ）∵ 11(2)n n n b b b n +-=≥，121,2b b == ∴ 21,21,1,26543====b b b b …………………………………………………………………………………5分 易知0≠n b ∴ 11-+=n n n b b b ∴ n nn n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b ======+++++++++++112134344561 （1≥n ） …………7分∴ +-+-+-=-=-++++++-++26363646465616561n n n n n n n n n n a a a a a a a a c c ++++=-+-+-++++-+++162636461666161626n n n n n n n n n n b b b b a a a a a a 7561234166=+++++=+-b b b b b b b b n n ……………………………9分 ∴ 数列}{n c 是公差为7的等差数列 ………………………………………10分 （ii ）1122334451a a a a a a a a a c +-+-+-+-= 1112346a a b b b b +=++++= ………………………………11分 ∴ 171-+=a n c n …………………………………………………………12分 ∵ 数列}{n c 为递增数列，109S S >且1011S S ≥ ∴ 010<c 且011≥c …13分 ∴ 01701<-+a 且01771≥-+a ，解得69761-<≤-a ……………14分。
2011届高三数学上学期期末考试 理
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（A ）{13}x x -≤<（B ）{13}x x -<<（C ）{1}x x <- （D ）{3}x x > 2. 已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//AB a ，则实数y 的值为 （A ）5（B ）6（C ）7（D ）8 3.已知ABC ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（A ）150（B ）90（C ）60（D ）304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 （A ）cos ρθ=（B ）sin ρθ=（C ）cos 1ρθ=（D ）sin 1ρθ= 5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞-（B ）[2,1]-- （C ）[1,2]-（D ）[2,)+∞6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是 （A ）35a a （B ）35S S （C ）nn a a1+（D ）n n S S 1+7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C '∠=（C ）CA '与平面A BD '所成的角为30（D ）四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2xf x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，ABCD判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 为虚数单位，则22(1i)=+______.10.在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____.11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12.如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则PT =_____.13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值.17.（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率； （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列.18.（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若e =（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围. ABCC 11B 1A 1D19.（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（理科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 80 11. 412.3 13. 0x y ±=，3± 14.2注：13、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2()3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱. ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥. ……………3分 因为1111CC B C C =,所以1A D ⊥平面11BB C C . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结OD ，因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为11B C 中点，所以OD 为11AB C ∆中位线， 所以1//AB OD ， ………………6分 因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC . ………………8分(Ⅲ)解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -. 设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，.1111(,,0),(0,11)22A D AC ==-，， ………………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n . ………………10分又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分1cos ,33AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分 因为二面角1D A C A --是钝角， 所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536. ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=. ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===， 243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====. ………………12分所以，随机变量X………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得32c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x . ………………4分（Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， ………………6分 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分 将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-. ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. ………………11分 所以218k ≥，即2(,(,]4k ∈-∞+∞. ………………13分19.（本小题满分14分） 解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. ………………2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-. ………………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n-⨯=+=-+. ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+.………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， ………………5分 所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分（ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i ii k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii i a a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列；②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111{,,,,}63236=--， 当B a ∈1时，数列}{n an 中必有某数重复出现无数次.当B a ∉1时，}6{6i k ai k ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{nan 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分。
高三数学第一学期期末考试理试题
昌平区2010－2011学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）考生注意事项：1、本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、考试编号填写清楚。
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不得在答题卡上作任何标记。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知全集R U =,集合M={x| x<3},N = { x| x 2≤} 那么集合)(N C M U ⋂等于A. φB. {x| 2≤x 0<x<3}C. {x | 32<≤x }D. {x | 2<x<3}2.623sinπ等于 A.23- B. 21-C. 21D. 233. 已知向量a = (6, 2 ) ,向量b = (x ,3 ) ,且b a //, 则x 等于 A.9 B. 6 C.5 D.34. 函数)(x f 的定义域为（a,b ），导函数 )('x f 在（a ,b ）内的图像如图所示，则函数)(x f 在（a,b ）内有极小值点的个数为A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个5. 设{na } 是公差为正数的等差数列，若,80,15321321==++a a a a a a 则131211a a a ++等于A.120B. 105C. 90D.756. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是.A.32B.6C. 34D. 127．下图中的三个直角三角形是一个体积为40cm 3的几何体的三视图，则h 等于A.8B. 6C. 4D. 28.已知满足条件122≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则21S S 与的关系是A. 21S S <B. 21S S =C. 21S S >D. 321+=+πS S第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）h（单位：cm ）6正(主)视图俯视图侧（左）视图ybaxo)('x f y =开始结束1,1,1i M N ===6≥i ?1i i =+ M N M =+ N N M =+输出,M N是否9. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________10. 已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a=2, b=6, A+C=2B,则A=_____________11.已知点P(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥82y x x y x ，点O 为坐标原点，那么|PO|的最大值等于____________.12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别 为 ．13. 已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，且与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，则其焦点坐标为 _________,双曲线的方程是____________.14.某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.1 1 1 1 1 1 … 1234 56 …1 3 579 11 …147 10 13 16 …1 59 13 17 21 …16 11 16 21 26 …… … … … … … …此表中，数列1，3，7，13，21，…的通项公式为 ;编码51共出现 次.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分13分）设函数x x x x f 2cos cos sin )(+=． （1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．16. (本小题满分13分)甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
西青区高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且对称轴为$x = -1$，则下列说法正确的是（）A. $a > 0$，$b < 0$，$c$可以为任意实数B. $a > 0$，$b > 0$，$c$可以为任意实数C. $a < 0$，$b < 0$，$c$可以为任意实数D. $a < 0$，$b > 0$，$c$可以为任意实数2. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z|^2$的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -13. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10} = 100$，$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10} + a_{11} = 110$，则$a_{11} = $（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{1}{2}$，$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin C = 1$，则三角形ABC 的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形5. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，若$f'(x) = 0$，则$x = $（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A. $a_n = \frac{n}{n+1}$B. $a_n = \frac{n+1}{n}$C. $a_n = \frac{n^2}{n^2+1}$D. $a_n = \frac{n^2+1}{n^2}$7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为$(2,3)$，点Q在直线$y = 2x - 1$上，若$|PQ| = 5$，则点Q的坐标为（）A. $(3,5)$B. $(1,1)$C. $(5,9)$D. $(7,11)$8. 若不等式$\frac{x+2}{x-1} > 0$的解集为（）A. $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$B. $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$D. $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$9. 若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$在区间$[0,1]$上的最大值为$M$，则$M = $（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{3}$C. $\frac{1}{4}$D. $\frac{1}{5}$10. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，若$a_1 + a_2 + a_3 +\ldots + a_{10} = 10$，$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10} + a_{11} = 20$，则$a_{11} = $（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知复数$z = 2 - 3i$，则$|z|^2 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。
西青区期末数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个数加上它的倒数等于3，那么这个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：设这个数为x，则x + 1/x = 3，解得x = 2。
2. 下列哪个数不是有理数（）A. 1/2B. -3C. √2D. 0答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而√2是无理数，不能表示为两个整数之比。
3. 下列哪个图形的面积是16平方厘米（）A. 正方形B. 长方形C. 矩形D. 平行四边形答案：A解析：正方形的面积公式为边长的平方，若面积为16平方厘米，则边长为4厘米。
4. 下列哪个等式成立（）A. 3a + 2 = 5a - 1B. 2x - 3 = 3x + 2C. 4y + 5 = 2y - 1D. 5z - 2 = 3z + 4答案：A解析：将等式两边的同类项合并，得到3a - 5a = -1 - 2，化简得-2a = -3，解得a = 1.5。
5. 下列哪个函数是奇函数（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^4答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，将x替换为-x，得到y = (-x)^3 = -x^3，满足奇函数的定义。
6. 下列哪个方程无解（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 2C. 4x + 1 = 0D. 5x - 2 = 3答案：D解析：将等式两边的同类项合并，得到5x - 2 - 3 = 0 - 2，化简得5x - 5 = -2，移项得5x = 3，解得x = 0.6，所以方程有解。
7. 下列哪个数是负数（）A. -3/4B. 2/3C. -5/6D. 1/2答案：C解析：负数是小于0的数，-5/6小于0，所以是负数。
8. 下列哪个图形的周长是18厘米（）A. 正方形B. 长方形C. 矩形D. 平行四边形答案：A解析：正方形的周长公式为4边长，若周长为18厘米，则边长为4.5厘米。
天津市西青区高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
M本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 将正确答案填在下面的表格内. 1．已知集合{}3,2,1=M ，{}4,3,2=N ，全集 {}5,4,3,2,1=I ，则图中阴影部分所表示的集合为A. {}1 B. {}4 C. {}5 D. {}3,2 2．命题“054,2≤++∈∃x x R x ”的否定是A ．054,2>++∈∃x x R x B ．054,2≥++∈∃x x R x C ．054,2>++∈∀x x R x D ． 054,2≥++∈∀x x R x3．如右图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别 以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧 与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内 随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为A.4π B. 2πC. 41π-D. 22π-图1俯视图4．已知322sin =α ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2πα= A. 61 B. 31 C. 21 D. 325．执行右边的程序框图，若4=p ，则输出的=S A ．87 B ．1615 C ．3231 D ．6463 6．已知变量y x , 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-01033032y y x y x ，若目标函数ax y z -=仅在点()0,3-处取到最大值，则实数a 的取值范围是 A ．()5,3 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 C ．()2,1- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,317．若直线01=+-by ax 平分圆0142:22=+-++y x y x C 的周长，则ab 的取值范围是A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41, B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-81, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛81,08. 从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0这10个数字中任取3个不同数字构成空间直角坐标系中的点的坐标()z y x ,,，若z y x ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．42B ．72C ．216D ．252第Ⅱ卷（非选择题 共110分）9．已知i 是虚数单位，则复数i 21-的虚部为 . 10．某空间几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 体积是 .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11．在极坐标下，已知直线l 的方程为213cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ，则点⎪⎭⎫⎝⎛2,1πM 到直线l 的距离为 .12．如右图所示，已知,C D 是半圆周上的两个三等分点， 直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF 的长为 ．13．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则 . 14．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D . 若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin a A = （Ⅰ）求角C 的大小；cos A B -的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．15．（本小题满分13分）BA o xy OCBAFD得 分 评卷人为了调查本市某中学高三男生的身高情况，在该中学高三男生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下： （Ⅰ）估计该校高三男生的平均身高；（Ⅱ）从身高在170cm （含170cm ）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170~175cm 之间的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.（167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325=139.00）得 分 评卷人如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）ADOCPBE设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和.已知73=S ，23a 是31+a 和43+a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()111++=+n n n n a a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21<n T .18．（本小题满分13分）设椭圆()012222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为334. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设B A ,分别为椭圆的左右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点. 若8=⋅+⋅, 求k 的值.19．（本小题满分14分）已知函数()()R x a a ax x a x x f ∈>---+=,0213123. （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数()x f 在区间()0,2-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1=a 时，设函数()x f 在区间[]3,+t t 上的最大值为()t M ，最小值为()t m ，记()()()t m t M t g -=，求函数()t g 在区间[]1,3--上的最小值.西青区2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，将正确答案填在下表中.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 2-; 10.2； 11.213-； 12.332； 13. 22； 14.147三、解答题：本大题共6个小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 15.（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，sin sin a cA C== ……………………………………2分 从而sin C C=，tan C =……………………………………………………………4分20．（本小题满分14分）∵0C π<<，∴3C π=………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知23B A π=-…………………………………………………………………………7分cos A B -2cos()3A A π=--22coscos sin sin 33A A A ππ=--…………………………………8分1cos 2A A =+sin()6A π=+………………………………………10分 ∵203A π<<，∴5666A πππ<+<当62A ππ+=时，sin()2A B π-+取得最大值1 ………………………………………12分此时,33A B ππ== (13)分16. (Ⅰ)由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.05.182325.05.17735.05.172125.05.16705.05.162x05.05.187⨯ ……………………………………………………………………………………2分174.750=（cm ） ………………………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 由频率分布直方图可知,所抽取的样本中身高在170~175cm 之间的人数为14405070.0=⨯⨯人 ………………………5分所抽取的样本中身高在170cm （含170cm ）以上的人数为33405)010.0020.0065.0070.0(=⨯⨯+++人 ……………………………………………6分所以X的可能取值为0,1,2……………………………………………………………………7分,52891)2(,528266)1(,528171)0(233214019233114119233014219=========C C C X P C C C X P C C C X P ……………………………………………………10分所以X 的分布列为………………………………………………………11分X 的数学期望为,332852844825289115282660528171==⨯+⨯+⨯=X E …………………………………………………13分17. （Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵ABAD ⊥，AB AD =，//AB DC， ∴四边形ABFD 为正方形，∵O 为BD 的中点，∴O为,AF BD 的交点，∵2PD PB==， PO BD ⊥，……………………1分∵BD == PO =12AO BD == 在三角形PAO中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥ ……………………………………………2分∵AO BD O=，∴PO ⊥平面ADOCPBE FABCD ……………………………………………………………4分(Ⅱ)连接PF ，∵O 为AF的中点，E 为PA 中点，∴//OE PF ………………………………………5分∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面 …………………………………………………7分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -，(1,1,0)F(1,3,0)C ，(0,0,2)P ，112(,,)222E --……………………………………………………………8分设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111132020x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得11102y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =……………………………10分又(2,2,0)CB =-- ………………………………………………………………………………………11分则223sin cos ,322θn CB =<>==⨯， ∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为33. ………………………………………………13分 ADOP BE Fxy18. （Ⅰ）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，…………………………………………………………2分 解得2=q ，11a = ……………………………………………………………………………………4分故数列{}n a 的通项为12n n a -= ……………………………………………………………………6分（此题方程组解法很多，可酌情给分）(Ⅱ)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n -=-++ …………………………………9分∴n T 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n =-+………………………………………………………………………12分∵0121>+n ， ∴n T 11221n =-+21>………………………………………………………………13分19. (Ⅰ)设()0,c F -，由33=a c 知，c a 3=……………………………………………………………1分过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆方程中，解得36b y ±= ……………………2分 由已知334362=b ，解得2=b …………………………………………………………………3分又222c b a +=，解得3=a ，1=c ………………………………………………………………5分 所以，椭圆是方程为12322=+y x ………………………………………………………………6分 (Ⅱ)设()()2211,,,y x D y x C因为()0,1-F ，所以过点F 且斜率为k 的直线方程为()1+=x k y ………………………………7分联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=123122y x x k y ，代入化简为()0636322222=-+++k x k x k …………………8分由韦达定理得222122213263,326k k x x k k x x +-=⋅+-=+ ……………………………………………10分 因为()()0,3,0,3BA -， 所以，由已知可得()()()()8,3,3,3,311222211=--⋅++--⋅+y x y x y x y x …………11分 代入化简解得2±=k ………………………………………………………………………………14分20.（Ⅰ） ()()()()a x x a x a x x f -+=--+=11'2...................................................... (2)分∵ 0>a ， ∴ ()01f x x '>⇔<-或x a >，()01f x x a '<⇔-<< ……… ……3分函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞，单调递减区间为(1,)a -……………… ……4分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，函数)(x f 在(2,1)--内单调递增，在(1,0)-内单调递减………………… … 5分所以， 只要()()()00,01,02<>-<-f f f 即可……………………………………………………7分解得310<<a ……………………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)当1a =时()1313--=x x x f ，()()()111'2-+=-=x x x x f ……………………………10分()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减…………………………………………11分当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈⇒=-≤-=4()(1)(1)3g t f f ⇒≥--=……………………………………………………………………12分 当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈⇒=-=4()(1)(1)3g t f f ⇒=--=……………………………………………………………………13分所以，函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为43………………………………………………14分。
天津市五区县2011—2012学年度高三第一学期期末考试数学理.
天津市五区县2011—2012学年度高三第一学期期末考试数 学 试 题（理）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．i 是虚数单位，复数31ii-+=（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +2．若命题:|1|2p x +<，命题2:2q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 （ ） A ．240 B ．60 C ．48 D ．16 4．设0.521.512,0.5,()2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<5．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是37a a 与的等比中项，832S =，则S 10等于（ ）A ．18B ．24C ．60D ．906．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的解析式是（ ）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin 2y x =C ．2sin(4)6y x π=-D ．2sin 4y x =7．定义在R 上的偶函数[)()0,f x +∞在上递增，若1()03f =，则满足18(log )0f x >的x的取值范围是（ ）A ．1(0,)(2,)2+∞ B ．(0,)+∞ C ．11(0,)(,2)82D ．1(0,)28．已知O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．2B．3CD 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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高三数学(理)试卷 第1页（共8页）
西青区2010～2011学年度第一学期期末考试
高三数学（理）试卷
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个
选项是符合题目要求的. 将正确答案填在下面的表格内.
1．化简复数
i
+-2等于
A. i +2
B. i +-2
C. i -2
D. i --2
2．已知α是第二象限的角，且3
4
tan -
=α，则=αsin A ．54 B.5
4
- C.53- D. 53
3. 点)3,2,6(-P 关于点M 的对称点Q 的坐标为)7,4,6(-，则点M 的坐标为 A ．()2,3,0 B ．)2,3,0(- C ．)2,3,0(- D ．)2,3,0(--
4. 设集合{}31<<-=x x M ，(){}
03<-=x x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
高三数学(理)试卷 第2页（共8页）
5．设变量x ，y 满足约束条件21,2,28.≥≤≤x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪-⎩
则目标函数3z x y =+的最大值是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6．执行右面的程序框图，输出的结果是
A ．109 B. 187 C. 98 D. 5
2
7. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力， 随机抽查了20位工人某天生产该产品的 数量，产品数量的分组区间为[)45,55，
[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95．
由此得到频率分布直方图如图，则这20名 工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是
A ．5
B ．8
C ．13
D ．16
8. 已知圆25)2()1(:2
2
=-+-y x C ，直线047)1()12(:=--+++m y m x m l ，则直线l 被圆C 截得的线段最短时直线l 的方程为
A ．052=--y x
B ．052=-+y x
C ．052=+-y x
D ．052=++y x
高三数学(理)试卷 第3页（共8页）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
9. 设全集}{6
,5,4,3,2,1,0=U ，}{4,3,2,1,0=A ，}{6,4,3,2=B ，
则(A C U ）⋃ )B C (U = .
10．已知x ＞0，那么9
2x x
+
+的最小值是
11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，
PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，
则线段PB 的长为 ．
12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，
则此几何体的体积是 3
cm ．
13．已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为)0,5(1-F ,点P 位于双曲线上,线段1PF 的中点坐标为)2,0(,则双曲线方程为 . 14．下面有四个命题：
（1）在ABC ∆中，若2
2
2
OC OB OA ==, 则O 是ABC ∆的外心
（2）在ABC ∆中，若0
=++OC OB OA , 则O 是ABC ∆的重心
（3）在ABC ∆中，若⋅=⋅=⋅, 则O 是的ABC ∆垂心
（4）在ABC ∆中，若)(,+
∈⎫
⎛++=R AC AB λλ，则AP 过ABC ∆的内心 其中正确命是 .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题
中横线上.
高三数学(理)试卷 第4页（共8页）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
已知函数2
()6cos 2f x x x =- （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,6ππ上的值域.
某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（Ⅰ）求q 2的值；
（Ⅱ）求随机变量ξ的数学期望E ξ.
15．（本小题满分13分）
16．（本小题满分13分）
高三数学(理)试卷 第5页（共8页）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面. ︒=∠90ACB ，E 为棱1CC 的中点，且
1BC AC ==，2CC 1=
（Ⅰ）求证：EB AC ⊥；
（Ⅱ）求二面角C AB E --的平面角的余弦值； （Ⅲ） 求1B 到平面ABE 的距离.
B 1
A 1
A
E
B
C 1
高三数学(理)试卷 第6页（共8页）
已知函数c bx x 21x )x (f 23++-=.若)x (f 在1x =处取得极值.
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）讨论函数)x (f 的单调性；
（Ⅲ）若当[]2,0x ∈时，2c )x (f <恒成立，求c 的取值范围.
高三数学(理)试卷 第7页（共8页）
设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，
且111==b a ，2153=+b a ，1335=+b a .
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n S .
高三数学(理)试卷 第8页（共8页）
已知动点M 到定点)0,2(-F 的距离与到定直线2
2
-=x 的距离之比为2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若过定点)1,0(E 的直线与曲线C 在y 轴左侧交于不同两点B A ,，求直线AB 的斜率k 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求过定点)0,2(-P 和线段AB 的中点N 的直线l 在y 轴上的截距d 的取值范围.
20．（本小题满分14分）。