四川省邛崃一中高二数学 球及球面距离 课件
高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》4PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
教学设计【课时安排】第1课时【教学对象】高二（下）学生【教材分析】由地球上经纬度的定义在航海与空中飞行中，如何寻找球面上两点最短路线。
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）求球面上两点距离。
这一节课体现了数学在实际问题的应用，立几方法的代数求解，学生掌握球面上现两点距离与方法，探索解决问题的一般思路和运用公式的本质，本节课的教学定位是：既是球面中立几的边线关系的理解运用，又是公式发现的探索思路，问题思考解决是关键；既强调学习该内容涉及的数学思想方法，又渗透问题解决的数学转化思想。
【学情分析】★认知基础：①已经学习了立几中解三角形的方法②空间想象行基本能力逐步形成③有一定解决应用问题的能力★认知障碍：①如何把各种解在不同图形中转化②解决不同图形中解决部题主法的切入点。
【教学目标】★知识与技能①了解球面上两点距离的应用背景，探索与证明球面上两点距离；②分不同认知层面掌握求球面上两点距离的方法。
③总结求球面上两点距离的方法与从不同角度认识距离公式。
★过程与方法①经历观察发现、比较，并求解两点的距离的过程，领悟问题发现的探索思路，学习由特殊到一般的思维方式；②通过尝试公式的证明，领悟分类讨论和等价转化，化归的数学思想。
★情感态度价值观①感受数学公式的统一美、对称美；②体会数学概念的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神。
【教学重点】球面上两点距离定义与距离的求法【教学难点】定义的理解，距离的求解【教学关键】比较不同环境下数量关系；求解化归问题等价与转化。
【教学方法】以问题驱动，目标的比较为主【教学手段】板书、计算机、PPT、几何画板【教学流程】球面距离的计算及其计算公式问题提出：一．球面上两点距离的定义1）定义：在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）2）问题说明与推导如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心，⊙O为过A、B的大圆，⊙O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设2AOB，2BOA，球半径为R，半径为r．则有AB大圆弧长RL2，AB小圆弧长rl2raRrRlL22（1）但sin2sin2rRAB，即sinsinrR（2）将（2）代入（1）得sinsinsinsinalL（3）∵rR，由（2）式知.由于20，故只需证明函数xxxfsin在2.0内为单调递减即可.∴0tancossincos22xxxxxxxxxf,∵当2,0x时，有xxtan）∴xf在2,0单调递减,由（3）式不难得到1lL，即lL.故大圆劣弧最短。
高二数学球的概念球的性质球面距离课件
新疆
经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴 。 确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面 所成的二面角的度数
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平 面所成角的度数
O
O1
4．两点的球面距离及其公式：
B
球面上两点AB之间的最
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面的关系:
A
r R d
2
2
3．经度、纬度：
王新敞
奎屯
O' A R O
，设 O 为 北纬 45 圈的圆心， AOB
B
2 2 2 R ， ∴ 2 R 4 R ， 4 ， ． ， ∴ ，∴ AB 2r R 2 ∴ ABC 中， AOB
∴
r
，
3
所以， A, B 两点的球面距离等于
王新敞
奎屯 新疆
§9．9球(1)
高二数学备课组
球的概念
问题1：*圆是怎样定义的？ 答：在一个平面内到一个定点的距离为定长的 点的集合是一个圆．
*圆是否包括圆周以内的点？ 答：不包括． *谁来给圆面下个定义？ 答：在一个平面内到一个定点的距离小于或等 于定长的点的集合是一个圆面．
球的概念
问题2：谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？ 答：在空间，到一个定点的距离为定长的点的集 合是一个球面；在空间，到一个定点的距离小于或等 于定长的点的集合是一个球．
高二数学球及球面距离课件
且OAB为Rt 即AOB 900
A、B的球面距离为：
2 2
22
返回
4
M C B
A
R2
7 ( 4
2 4
R)2
R2
2, S
8
1、(04北京卷)某地球仪上北纬30°纬线的
长度为12 cm，该地球仪的半径是
____cm。
r=6
OAO 300
在RtOAO中
O/
A
O
R4 3
返回
2、(09湖南卷)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（正三角形的外心即中心，直角三角形的外心 为斜边的中点）
P
A
O
C
B
返回
例一、(09全国卷Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA 的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表
7
面得到圆C。若圆C的面积等于 面积等于_________
4
，则球O的表
简析： r 2 7 OM R
4
2
O
OMC 450 d OC 2 R
BOA 900 OAO 450 C
OBO 450
OA OB
2R 2
AB R AOB
3 d R
3
B
O/
A
O
1、(05山东卷)设地球半径为R，若甲地位于北纬
450 东经 1200 ，乙地位于南纬 750 东经 1200 ，
两点的球面距离为 3 ，则球心O到平面
ABC的距离为
3
R 3
3 AOC 3 AOC
球面距离(说课课件)
教 学 目 标
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
（1）教学重点 教 学 点 、 难 点 重 球面距离发现过程及激励学生主动参与、 球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协 作的精神，并能够解决实际问题。 作的精神，并能够解决实际问题。 （2）教学难点 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 突出重点，突破难点的策略： 突出重点，突破难点的策略：
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
引导---探究” “引导---探究”教学模式 引导---探究
教 学 方 法 本节课从知识结构呈现的角度看， 本节课从知识结构呈现的角度看 ， 为了实现教学 目标， 我采用“ 情境引入--- 探索思考------探索思考 ----问题解决 目标 ， 我采用 “ 情境引入 --- 探索思考 ---- 问题解决 数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 知识运用及巩固强化----（数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 的学习模式， 结”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成 与发展的过程，也符合学生的认知规律。 与发展的过程，也符合学生的认知规律。从教学内容 的性质出发，充分利用实际问题， 的性质出发，充分利用实际问题，尽可能的增强教学 的互动性和可操作性， 的互动性和可操作性，强调学生的动手操作能力和团 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 以合作学习促自主探究。 以合作学习促自主探究。
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
教 学 程 序 设 计
情境引入
探索思考
问题解决 数学建模） （数学建模）
课堂小结
知识运用 及巩固
高三上册第15章简单几何体15.6球面距离 课件
处。——东方 孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。
3．求解巩固练习（2）.
4．课本书后练习题1.
5．课本书后练习题2.
（二）选做题
1 . 长 方 体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 的 顶 点 均 在 同 一 个 球 面 上 ， A B = A A 1 = 1 ， B C = 2 ， 求 A ,B 两 点 的 球 面 距 离 .
开 罗 ： 东 经 31o,北 纬 30o
A（上海）
O A’
四、巩固练习
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国
台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大
的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371
千米.
（1）求中国台北到上海的
O’
距离.答（ ）．（结果
A上海
C亚特兰大
课题 球面距离(1)
一、形成概念 已知上海的位置约为 东经1 2 1 o ,
北纬 3 0 o ， 开罗的位置约为 东经 3 1 o ,
北纬 3 0 o ，你能求出开罗到上海的距离吗？
（结果精确到1千米）
经度 ——本地经线平面与本初子午线平面的夹 角（二面角）。
北极
地东
0
度
轴 地心
经
经
121
线 121度 度
精确到1千米）
B中国台北
A. 3336km O
B. 2780km
C. 319km
D. 556km
巩固练习：
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国 台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大 的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371 千米.
高二数学课件：9.10 球5
某点的纬度 就是经过这 点的球半径 点的球半径 与赤道面所 成角的度数. 成角的度数.AΒιβλιοθήκη 北极地P轴
Q O
道 赤
B
两点间的球面距离
Q P
Q P
设地球的半径为R， 设地球的半径为 ， 圈上有A、 在北纬45° 圈上有 、 A B两地，它们的经度 两地， 两地 差为 ，（1）A、 90°） 、 B所在纬度圈上的劣 所在纬度圈上的劣 弧长是多少？ 弧长是多少 ？ （ 2） ） 若轮船要从A到达 到达B， 若轮船要从 到达 ， 则它的航线要尽可 能怎样确定，航程 约为多少？ 约为多少？
若球的截面圆的半径为 常数(小于球的半径), ),则 常数(小于球的半径),则 截面圆的圆心的集合是 球面吗? 球面吗?
？在半径是13cm的 在半径是13cm 13cm的 球面上有 A、B、 三点， C三点，每两点间 C 的平面距离分别 AB=6cm， 为AB=6cm， BC = B 8cm,CA = 10cm, 求过这三点的平 面和球心O的距离。 面和球心O的距离。
B
课后小结 布置作业
小结: (1)球的定义和两个性质 小结: (1)球的定义和两个性质; 球的定义和两个性质; 两点的球面距离 (2) 转化的思想 作业: (1)习题 作业: (1)习题9.10 3、4 习题9.10 3、
推荐作业: 推荐作业: 我们前面所计算的都是两点 在同一纬度圈上两点的球面 距离， 距离，那么若两点不在同一 纬度圈上的球面距离又如何 计算呢？ 计算呢？
球的概念和性质
蓟县城关第四中学
刘晓静
教学目标
(1)理解球的概念 (1)理解球的概念 (2)掌握球的截面的性质 (2)掌握球的截面的性质 (3)理解两点间的球面距 (3)理解两点间的球面距 离的概念
高二数学课件-2020-1-4数学.球(1) 推荐
K
A
O
B
K
A
O
B
例 2 设地球半径为R，在北纬60°圈上有 A、B两地，它们的经度差是120°，求 A、B两地的球面距离。
O′
A
B
O
例 2 设地球半径为R，在北纬60°圈上有 A、B两地，它们的经度差是120°，求 A、B两地的球面距离。
O′
A
B
O
例 2 设地球半径为R，在北纬60°圈上有 A、B两地，它们的经度差是120°，求 A、B两地的球面距离。
Q
O
P
两点的球面距离 球面上两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧 的长度. 我们把这个弧长叫做两点的球面 距离.
Q
O
P
例 1 我国首都靠近北纬40°纬线，求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（ 地球半 径约为6370km）.
K
A
O
B
例 1 我国首都靠近北纬40°纬线，求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（ 地球半 径约为6370km）.
O′
A
B
O
例 3 A、B、C是半径为1的球面上的三点， A与B、B与C、C与A每两点间的球面距离 都为 ，O为球心，求：（1）∠AOB的 大小；2（2）球心O到截面ABC的距离.
例 3 A、B、C是半径为1的球面上的三点， A与B、B与C、C与A每两点间的球面距离 都为 ，O为球心，求：（1）∠AOB的 大小；2（2）球心O到截面ABC的距离.
O
球的性质
球的性质
O
球的性质
O O′
球的性质
O
O′
P
球的性质
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面. 球心和截面圆心的连线垂直于截面.
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3：两个平行平面的距离
A
BA’ຫໍສະໝຸດ B’两个平行平面的公垂线段的长度， 叫做两个平行平面的距离。
例 如图 已知正三角形ABC的边长为6cm， 点D到△ABC各顶点的距离都是4cm，求点D 到这个三角形所在平面的距离。 D 解 设H为点D在平面ABC内 的射影，连接并延长AH交 A BC于E。 因为DA=DB=DC，所以 HA=HB=HC， 即H为△ABC的中心，AE为 BC边上的中垂线
9.8
距离
在几何学里，我们经常会碰到两个图形F，F’ 之间距离的概念
一个图形F内的任意一点与另一图形F’ 内的任意一点的距离中的最小距离,叫做图 形F与图形F’的距离。
设置
疑问:
如何测量教室的日光灯与地面的距离？ 如何测量天花板与地面的距离？
数学欢迎你的加入，有你的参与课堂会更精彩！
1、点到平面的距离
课下自我检测(作业) : 习题9.8 第1、5题，第6题的⑴⑵
你是最 棒的!
2
D
看看你能行吗？ 练习：
知识需要不断的 巩固和再记忆,你一 定要做到!
1.与已知平面的距离等于3cm的所有 点的集合是什么图形？
2.已知两平面平行，且两平面距离为 4cm，与两平面距离相等的所有点集 合是什么图形？
求“距离”方法总结： （空间距离转化为点面距离） • 1、找出或作出垂线段 • 2、证明其符合定义 • 3、归结为几何计算或解三角形。
∴ AD ∥平面PBC ∴ A 到面PBC的距离就 B 是D到面PBC的距离
∵ PA⊥平面ABCD
D
C
∴ 面PAB ⊥平面ABCD
又∵ BC⊥AB, ∴ BC⊥面PBC P ∴面PAB ⊥面PBC 1 E A 过A作AE ⊥PB,则AE ⊥ 面PBC 1 ∴AE即为所求 B 1 C 1 2 在Rt△PAB中, AB=1 ,PA=1.求得AE=
高二数学课件-2020-1-5数学.球(2) 推荐
练习 1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截
面，若OA与该截面所成的角是60°，则
该截面的面积是 π
.
2.已知A、B、C三点在半径为R的球面上，
AC⊥BC，且AB＝R，那么A、B两点的球
面距离为
.球心到平面ABC的
距离为
.
练习 1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截
面，若OA与该截面所成的角是60°，则
△Si
o
o
定理：半径为R的球的表面积是 S 4R 2
例 2 一个正方体的顶点在球面上，它的 棱长为4cm，求这个球的体积和表面积.
C′
o
A
例 2 一个正方体的顶点在球面上，它的 棱长为4cm，求这个球的体积和表面积.
C′
o
A
课后作业
P74 习题9.10 第 5，6，7，8 题
高二年级 数 学 第九章 第十节
球 （2）
—— 球的体积和表面积
授课者：李昌平
练习
1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截
面，若OA与该截面所成的角是60°，则
该截面的面积是
.
2.已知A、B、C三点在半径为R的球面上，
AC⊥BC，且AB＝R，那么A、B两点的球
面距离为
.球心到平面ABC的
距离为
.
该截面的面积是 π
.
2.已知A、B、C三点在半径为R的球面上，
AC⊥BC，且AB＝R，那么A、B两点的球
面距离为 1 R .球心到平面ABC的
3
距离为 3 R .
2
球的体积
0
球的体积
A
0
球的体积
A
0
球的体积
A
四川省邛崃一中高二数学 球及球面距离 学案
•CO MA •O 1O AB•OABPC• 四川省邛崃一中高二数学 球及球面距离 学案了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式． 1.球的概念：到定点的距离 定长的点的轨迹叫做球体，简称球定点叫球心， 定长叫半径，到定点的距离 定长的点的轨迹叫做球面.（注：球的定义也是球的一个性质：若点A 、B 、C 、D...在半径为R 球O 表面上，则OA=OB=OC=OD=...=R) 2.球的性质：（1）平面截球所得的截面是 . 叫做大圆, 叫做小圆。
（2）球心和球面圆心的连线 截面；（3）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系：3.两点的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积公式： ， .5.地球上的经度是 ，纬度是 。
6.三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=P C,则点P 在面ABC 内的射影O 为ABC ∆的 。
（正三角形的外心即中心，直角三角形的外心为斜边的中点）例一、（教材91P 第七题）P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1,求球的体积与表面积。
1、（04北京卷）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是 cm ，表面积是 cm 2.2、(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 球心到平面ABC 的距离为 123、（2009全国卷Ⅱ理）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π. 例二：A 城市位于北纬线030，东经0140，B 城市位于北纬线030，西经0160，设地球半径为R ，求AB 的球面距离。
1、（2005山东卷理）设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为 d（A ）3R (B)6R π(C)56R π (D) 23R π2、（2009陕西卷）如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，12OO =，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则A,B 两点间的球面距离为 .答案:23π知识回顾BCDA N M Oα3、（08辽宁卷）在体积为43π的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC =2，A ，C 两点的球面距离为33π，则球心到平面ABC 的距离为_________．32三、球面距离：紧扣定义，关键是确定球心角AOB ∠ 。
高中数学必修二 球 精品优选公开课件
球面距离
C D
A
B
两点间的球面距离
Q P
直观的发现：过P,Q的圆中，半径越大， 在P,Q之间的劣弧的长越小！
定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、
B之间的最短距离，就是
经过A、B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
A
EOA3 8 , AOB
E
O 赤道
3 0 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R 6
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度;
D A
D1 A1
C
A
对角面
C
B
2R 3
设为1 O
C1
A1
B1
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
例 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的半径 P
a
高
O
A
C
H
B
解法2：
A B
O
D C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
练 求棱长均为 a 的正四棱锥 P – ABCD 的外接球的半径
O C
P
B
甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条 棱，丙球外接于该正方体，则三球半径之比为( )
高二数学课件球
•球的集合定义
与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的集合叫做球体，简称球.
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§9D.11球和它的性质
2.球的有关概念球的概念
P
➢半圆的圆心叫做球心.
•一个球用它的球心字母
来表示，例如 球O.
A
O
B
➢连结球心和球面上任意一点的
线段叫做球的半径（线段OP). ➢连结球面上两点并经过球心的
直于这个小圆所在平面. （ ） √
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§9.11球和它的性质
课堂练习
课堂练习
1.判断正误：（对的打√，错的打×.）
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆.
(× )
(5)球半径是5，截面圆半径为3,则球心到截 面圆所在平面的距离为4.
（√）
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§9.11球和它的性质
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§9.11球和它的性质
球的概念
观察现实生活中的各种球形
➢篮球
➢保龄球
➢地球仪
➢木星
➢网球
➢足球
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§9.11球和它的性质
球的概念
观察球的形成过程
模 拟 演 示
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§9.11球和它的性质
球的概念
1.球的定义
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲 面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.
线段叫做球的直径（线段AB).
➢ 球体与球面的区别
•球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.
•球(即球体):球面所围成的几何体.
•它包括球面和球面所包围的空间.
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高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》5PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
《球面上的距离》的教学设计课题：球面上的距离教材：高中数学人教A版2003课标版选修3-3球面上的几何第二讲一、球面上的距离教师：齐齐哈尔市民族中学王欣一、教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
本节课是在运用欧式几何的研究方法，研究了球的一些性质后，进一步从球面上的距离和角出发，开始进入球面几何的学习。
而且学生对球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用。
二．教学目标和重点、难点分析学生已经知道球面距离和经度、纬度等概念，这一节将进一步认识数学和实际的联系。
我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1.理解球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：理解球面上的距离的概念，会计算球面上两点间的距离。
教学难点：球面上两点之间最短路径是这两点的一段大圆弧—劣弧，以及地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
三．教学问题诊断学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。
本节课的教学难点是对球面上两点间距离的认识，地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
对教学难点的突破我采取了三个策略：1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。
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（A） 3R
(B) R 6
O1
5 R (C) 6
2 R (D) 3
甲
o
C
O2
乙
2、(09陕西卷)如图球O的半径为2，圆 O1 是一小
圆， 1O 2 ，A、B是圆 O1 上两点，若AO1B O
则A,B两点间的球面距离为
O1
2 3
A
2
B
O
返回
3、(08辽宁卷)在体积为 4 3 的球的表面上 有A，B，C三点，AB=1，BC= 2 ，A，C 两点的球面距离为 ABC的距离为
且OAB为Rt 即AOB 90
0
o
A
o
B
o
A
S
back
AOB AOB
AOA OAO
三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC（或PA、 PB、PC与底面所成角相等）,则点P在面 ABC内的射影O为ABC的 外心。
（正三角形的外心即中心，直角三角形的外心 为斜边的中点）
P
A O C 返回
AC r 5 2
R 13
O
d OO 12
A B
O
C
例2 : A城市位于北纬45 ，东经150 , B城市位于北纬45 ， 西经120 , 设地球半径为R，求AB的球面距离
简析：
COA 150 0 COB 120 0
0
BOA 90
OBO 45
45 0 OAO
C
O/
B
A
0
OA OB
2 R 2
O
AB R
d
AOB
3
3
Rห้องสมุดไป่ตู้
1、(05山东卷)设地球半径为R，若甲地位于北纬 0 0 0 75 东经 1200 ， 45 东经 120 ，乙地位于南纬 D 则甲、乙两地球面距离为 _____
球及球面距离
一、高考要求： 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表 面积公式、体积公式．
二、知识回顾 三、典型例题及练习
四、小结
五、作业
一、球的概念
二、球的性质 三、两点的球面距离
四、球的表面积公式： S 4R 球的体积公式：
4R 3 V 3
返回
2
五、其它相关概念及结论
球的概念：
到定点的距离小于或等于 定长的点的轨迹叫 做球体，简称球；定点叫球心，定长叫半径。 到定点的距离 等于 定长的点的轨迹叫做球面. （注：球的定义也是球的一个性质：若点A、 B、C、D...在半径为R的球O的球面上，则 OA=OB=OC=OD=...=R)
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球的截面
O/
r
（1）平面截球所得的截面 圆 是 _____ ；过球心的截面 圆叫做大圆,不过球心的截面 圆叫做小圆。 （2）球心和截面圆心的连线 垂直 _____于截面；
d
O
R
A
（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面
R r d 的半径r的关系：_________
2 2
2
返回
两点间的球面距离
R 2, S 8
1、(04北京卷)某地球仪上北纬30°纬线的 长度为12 cm，该地球仪的半径是 ____cm。
r=6
OAO 30 在 RtOAO 中
0
O/
A
O
R4 3
返回
2、(09湖南卷)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 球心到平面ABC的距离为_________
A
R
B
返回
O
作业：
《活页》306页第10题； 《天府数学》第152-153页1、2、5、 例一、练习一。
D1 A1
C1
C
O
B1
C
A
B
由AB 2, AD 3 , AA1 1 可得：AC1 BD1 2 2
A、B的球面距离为： 2 2 2 2
返回
R OA OB 2
3 ，则球心O到平面 3
R 3
3 3 AOC AOC 3 3
O
A B
O
AC 3
ABC为Rt
C
AC 3 3 2 3 2 d R ( ) r 2 2 2 2
返回
小结：
一、注意概念、结论的理解记忆。 二、球的截面问题：注意特征直角 三角形的构造、利用。 三、A、B两点的球面距离：紧扣定 义，关键：半径与球心角 AOB
定义：球面距离是球面上
过两点的大圆在这两点之 间的劣弧的长度. A、B间的球面距离公式： nR d R 180 注：θ的单位为弧度 n的单位为度
返回
B
R
O
A
关键确定两个量：球心角θ与半径R。
经度与纬度：
经度：是一个二面角的平面角的大小 纬度：是一个线面角的大小
N
A
o
B A
B
例一、(09全国卷Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA 的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表
7 面得到圆C。若圆C的面积等于 ，则球O的表 4
面积等于_________
7 简析： r 4
2
R OM 2
M
O
C
OMC 45
2
0
2 d OC R 4
2
B
A
7 2 2 R ( R) 4 4