第4章简单统计推断

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1．总体均值的区间估计

（1）总体方差已知情况下

（2）总估计1
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行 监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否 符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测 得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布 ，且总体标准差为 10克。试估计该批产品平均重量的置信区 间，置信水平为95%。
2未知，且小样本

2. 使用t 统计量
X μ0 t ~ t( n 1 ) S n
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例6. 机器性能是否良好

某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解 机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为 样本 ，测得平均厚度为5.3cm,标准差为 0.3cm，试分别以0.05，0.01的显著性水平 检验机器性能良好（即厚薄合乎规定）的 假设。
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1. 点估计的常用方法

点估计的常用方法主要有：
矩估计法
顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
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二、区间估计

什么是区间估计： 区间估计是在点估计的基础之上，把置信 水平与置信区间联系起来，由样本统计量 推断总体参数的一种统计方法，是参数估 计的主要方法。
根据被估计的总体参数的不同，区间估计 也有不同的内容。
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（5）根据计算结果作出统计决策：
-2.83
图1 加工零件椭圆度差异性决策示意图 由图中可见，计算出的 Z 值落入了拒绝域，显然，我们 应当拒绝原假设，接受备择假设，即我们可以认为新机床 加工零件的椭圆度总体均值与以前相比发生了显著差异。
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2. 总体方差σ2未知

1. 假定条件
总体为正态分布
2. 3.
将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较 得出拒绝或不拒绝原假设的结论
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三、一个正态总体均值的检验
检验统计量的确定
是
总体 是否已知
否
大
样本容量n
小
用样本标准 差S代替σ
z 检验
z 检验
t 检验
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1. 总体方差σ2已知
1. 假定条件

总体服从正态分布 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n30) 2 已知：
应用统计
第四章 简单统计推断
第四章 简单统计推断
§1 参数估计 §2 假设检验

§1 参数估计

一、点估计

二、区间估计
3
一、点估计

点估计即是设总体随机变量 X 的分布函数 形式为已知，但它的一个或多个参数未知， 若从总体 X 中抽取一组样本观察值x1，
x2，…，xn，用该组数据直接估计总体参数， 称该估计为参数的点估计。
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什么是检验统计量？

检验统计量—— 用于假设检验进行决策的统计量
•
检验统计量的基本形式为
X μ0 Z σ n
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3、规定显著性水平α
(significant level) 统计上把α定义为显著性水平，是指当原 假设为正确时人们却把它拒绝了的概率 或风险。即弃真错误。

显著性水平α是人为确定的，它实际代表 人们在进行假设检验时愿意承担的犯弃 真错误的风险，通常取α=0.05，α=0.01
x μ0 5.3 5 t 3.16 s n 0.3 10
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（3）规定显著性水平α，并确定临界值： 当α=0.05，自由度n-1=9时，查表得 tα/2(9)=2.2622 此时，t=3.16＞tα/2(9)=2.2622，因此，应当 拒绝原假设H0，接受备择假设H1，说明该机器的性 能不够好。
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用软件实现区间估计
Excel：工具-数据分析-描述统计-汇总统计/ 平均数置信度 Spss：analyze-descriptive statfrequencies

例2灯泡使用寿命的区间估计 例3下岗职工中女性比例的区间估计
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§2 假设检验

一、假设检验的基本思想 二、假设检验的一般步骤 三、一个正态总体均值的假设检验 四、一个正态总体比例的假设检验 五、双侧检验和单侧检验
25袋食品的重量 112.5 101.0 103.0 102.0 100.5
102.6
100.0
107.5
123.5
95.0
102.0
108.8
101.6
115.6
102.2
116.6 136.8
95.4 102.8
97.8 101.5
108.6 98.4
105.0 93.3
8
总体均值的区间估计
解 ： 已 知 : X ~ N( ， 102) ， n=25, 1- = 95% ，
例4. 新生儿体重问题

从1990年的新生儿中随机抽取30个，测得其平 均体重为3210克。根据1989年的统计资料，新 生儿的平均体重为3190克，问1990年新生儿与 1989年相比，体重有无显著差异。
22

原假设：“1990年出生的新生儿与1989年 出生的新生儿在体重上没有差异”。即：

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小概率原理

假设检验的基本思想是应用小概率的原理。 小概率原理是指，发生概率很小的随机事 件在一次实验中是几乎不可能发生的。 根据这一原理，可以作出适当的假设，并 根据在一次抽样中这种假设是否发生，进
而做出我们是否应当接受原假设的决定。


小概率是由人们在检验前指定的。
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二、假设检验的步骤
z/2=1.96。根据样本数据计算得： x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为 σ 10 x zα 2 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92
101.44 ,109.28
该 食 品 平 均 重 量 的 置 信 区 间 为 101.44 克 ~109.28克之间，置信水平为95%。
批灯泡平均使用寿命95%的置信区间 16只灯泡使用寿命的数据 1510 1520 1480 1450 1480 1510 1480 1490 1530 1460 1460 1470
1500 1520 1510 1470
11
总体均值的区间估计
解： 已知 X ~ N ( ， 2) ， n=16, 1- = 95% ， t/2=2.131。根据样本数据计算得： x 1490 s 24.77 ，总体均值 在 1- 置信水平 下的置信区间为 σ 24.77 x tα 2 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8 ,1503.2 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为 1476.8 ～ 1503.2小时，估计的置信水平为95%。
市场调查 第四篇 第16章
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一、假设检验的基本思想

假设检验的基本思路包含有两种重要的思 想

反证法思想和小概率思想。
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反证法思想

反证法思想是指，在进行假设检验时，先假定原 假设为真，然后抽取样本进行测量，根据样本数 据判断原假设是否成立，如不成立则拒绝原假设， 而接受备择假设。 由于反证是在样本数据的基础上作出的，其反证 的正确性有或然性，或者说是在一定概率基础上 的反证，因此，是一种包含有概率性质的反证法。
2.
使用Z-统计量

X μ0 Z ~ N ( 0 ,1 ) σ n

2 未知：
X μ0 Z ~ N ( 0 ,1 ) S n
30
例5（总体方差已知的检验）

某机床厂加工一种零件，根据经验知道， 该厂加工的零件的椭圆度渐近服从正态分 布，其总体均值为0.081mm，总体标准差为 0.025mm。今另换一种新机床进行加工，取 200个零件进行检验，得到椭圆度均值为 0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度总 体均值与以前有无显著差别。
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（3）给出显著性水平： 根据假设检验的一般要求，设显著性水 平为α=0.05，因为是双侧检验，查Zα/2， 查表结果为： Zα/2＝±1.96 （4）计算检验统计量的值： 将上述已知条件代入Z 统计量，可得：
0.076 0.081 Z 2.83 0.025 200
实际上，这一步骤与第（2）步确定统计量可以合为一 个步骤。
或 α=0.001等。
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4、计算检验统计量的值

在提出了原假设H0和备择假设H1，确定了检验统 计量，并规定了显著性水平α以后，接下来就要 根据样本数据计算检验统计量的值。如例8-4的 问题中，计算检验统计量的基本公式为：
x μ Z σ/ n
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5、作出统计决策
1.
根据给定的显著性水平，查表得出相应的临界 值z或z/2， t或t/2
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总体方差σ2未知
1.
假定条件


总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)*
Xμ t ~ t( n 1 ) S n
2.
使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X tα 2 n
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例2. 总体均值的区间估计2
已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中 随机抽取16只，测得其使用寿命 (小时) 如下。建立该

1、提出原假设H0和备择假设H1； 2、确定适当的检验统计量；
3、规定显著性水平α； 4、计算检验统计量的值； 5、作出统计决策。
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1、提出原假设和备择假设

在统计学中，把需要通过样本去推断其正 确与否的命题称为原假设，用H0表示。

与原假设相对立的假设是备择假设，用H1