数学九年级下浙教版3.2三角形的内切圆4课件

A 镇 商 业 区 D
.M
F B
C
E 镇工业区
A 镇 商 业 区 D C
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离 相等
∴点M是△ABC的内心，连结AM、 BM、CM，设⊙M的半径为r米， ⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、 F，则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，则MD= ME= MF=r，
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
1 1 = 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A 2 2
例2：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c， s=（a+b+c）/2，内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， B 三边中垂线 它是三角形 的交点。
1 2、定义：和三角形各边都相切的圆
A
． O
C
图1
D
． I
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这
三角形的内切圆
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A A B B C C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论： （1）作圆的关键是什么? （2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三 角形三边都相切，圆心I应满足什么 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
B A
N I M
D
C
（4）圆心I确定后半径如何找？
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
E
F
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样 的数量关系？请说明理由。
A
1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A 2
理由： ∵点O是△ABC的内心，
O
B C
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = 2 （∠ABC+ ∠ACB） 1 1 = （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
2 2
1 1 ∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB 2 2 1
图2 圆的外切三角形 。 个三角形叫做 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
E
F
形
角平分线
的交点。
A
三角形内心的性质：
B
I． C
D ． O
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
三角形外心的性质：
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作 法. 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心” 与 “外心”的区别， 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
A
D 三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c a+b-c R= — r =—— 2 2 B O c a I A b
C
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角 地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知 雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC， BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
O B
1.OA=OB=OC； 2.外心 不一定在三角形的内 部．
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
三角形 三条角 平分线 的交点
B
A
O C
1.到三边的距离相等；2.OA、 OB、OC分别平分 ∠BAC、 ∠ABC、∠ACB； 3.内心在三角形内部．
判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（错）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错）
3、等边三角形的内心和外心重合； （对） 4、三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ） 5、菱形一定有内切圆（对） 6、矩形一定有内切圆（ 错）
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心，
.M
F
B E 镇工业区
1 1 ∵ △ABC的面积为 AC· BC= × 40×30= 600，又∵ △ABC 2 2 1
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50
的面积为
2
（AC· MD+BC · ME+AB · MF）=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 21 2
A
O
C
同理 ∠OCB= ∠OCA=
∠ACB=35 ° B
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC=
130
度。
度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20