2020_2021学年高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用同步课件新人教A版必修5.ppt
高中数学第三章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题aa高二数学
• [点评] 不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两 次使用基本不等式等号不能同时成立的情形，要通过合理 的变形，“重新组合”或者“1的代换”等技巧．构造能 够运用基本不等式的条件．
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命题方向2 ⇨求参数的取值范围问题
例题 2 设a>b>c且a－1 b＋b－1 c≥a－m c恒成立，求m的取值范围．
[分析]
原不等式恒成立，
由于a－c>0，
a－c a－b
＋
a－c b－c
≥m恒成立，则问题转
化为求
a－c a－b
＋
a－c b－c
的最小值问题．观察其构成规律可以发现a－c＝(a－b)＋(b－
c)．即可得出符合基本不等条件的形式．
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[证明] 由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0． 因此，原不等式等价于aa－－bc＋ab－ －cc≥m， aa－－bc＋ab－ －cc＝a－ba－＋bb－c＋a－bb－＋cb－c＝2＋ab－－bc＋ab－－bc ≥2＋2 ab－－bc·ab－－bc＝4． 当且仅当ab－－bc＝ab－－bc，即当2b＝a＋c或a＝c(舍去)时，等号成立，∴m≤4．
[证明] ∵a>2，所以loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0， 又loga(a－1)≠loga(a＋1)， ∴ logaa－1·logaa＋1<logaa－1＋2 logaa＋1 ＝12loga(a2－1)<12logaa2＝1， ∴loga(a－1)·loga(a＋1)<1．
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忽视等号成立的条件而致误
2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版
A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
【解析】m2＋1－2m＝(m－1)2≥0， 当且仅当 m＝1 时，等号成立．
【答案】A
2．已知 x>0，则 y＝3x＋4x有( )
A．最大值 4 3
B．最小值 4 3
C．最大值 2 3
D．最小值 2 3
【解析】∵x>0，∴y＝3x＋4x≥2 3x·4x＝4 3，当且仅当 3x＝4x， 即 x＝233时，等号成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.3基本不等式的实际应用作业课件北师大版必修5
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 20 (m)．
解析：如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知 DBCE ＝ 4x0 ＝
AD AB
＝
AF AH
，则AF＝x，故FH＝40－x.则矩形面积S＝x(40－
站的距离x(km)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到
车站的距离x(km)成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，费用
y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站( A )
A．5 km处
B．m处
解析：由题意知y1＝
k1 x
解析：C＝
t22＋0t4＝
20 t＋4t
.因为t>0，所以t＋4t
≥2
4 t·t
＝4(当且仅当t
＝
4t ，即t＝2时等号成立)，所以C＝
20 t＋4t
≤240
＝5，即当t＝2时，C取得
最大值．
11．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 56 dm2.
小．设这种汽车使用n年报废最合算，n年汽车的维修总费用为0.2
＋0.4＋0.6＋…＋0.2n＝0.2n＋nn2－1×0.2＝0.1(n2＋n)(万元)，年
平均费用y＝
10＋0.9n＋0.1n2＋n＝10＋
n
n
1n0＋1≥2
1n0·1n0＋1＝
3，当且仅当1n0＝1n0，即n＝10时取等号．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车
2021-2022学年人教版高中数学必修五教材用书：第三章 不等式 3.4 基本不等式
3.4基本不等式：ab ≤a ＋b2基本不等式[提出问题]问题1：若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？ 提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，等号何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？ 提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，等何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立． [导入新知] 1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明：由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. [类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必需有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．留意多次运用基本不等式时等号能否取到． [活学活用]设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取得最大值64. (2)∵x ＞3， ∴x －3＞0，4x －3＞0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取得最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x＝2xy，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2.法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y(2x ＋y )＝3＋2x y ＋yx≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 以下同法一． [类题通法]1．利用基本不等式求最值，必需依据“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件：a >0，b >0.(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必需存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不行．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用](1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取得最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x＋9＝y x＋9xy＋10.又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2 y x ·9xy＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy， 即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.利用基本不等式解应用题[例3] 如图所示，利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)设每间虎笼第为x m ，宽为y m. 法一：由条件知S ＝xy ＝24， 设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应留意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)依据实际背景写出答案． [活学活用]某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，估计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从其次年开头每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式． (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16.∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．7.基本不等式应用中的易误点[典例] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2ab ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C [易错防范]1．解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab ≤a ＋b24＝1.又y ＝1a ＋4b ≥24ab ＝41ab，又ab ≤1， ∴y ≥411＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这明显是不能同时成立的，故不正确． 2．使用基本不等式求最值，其失误的真正缘由是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．3．在运用重要不等式时，还要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．[成功破障](福建高考)下列不等式肯定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1＞1(x ∈R)解析：选C 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排解A ；取x ＝3π2，则sin x ＝－1，故排解B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排解D.[随堂即时演练]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋1－x－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞ b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号． 又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ，bc a ＋abc≥2 b 2acac＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c . [课时达标检测] 一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝3·x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时，等号成立． 二、填空题6．已知x ，y 都是正数．(1)假如xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)假如x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由于x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立． 答案：①②③ 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝32x ＋y3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. ∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(2)已知x >0，求y ＝2－x －4x的最大值；(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ， 即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x >0，∴y ＝2－x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 的最大值为－2.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋， ∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋3x ＋y4y＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． ∴1x ＋3y 的最小值为1＋32.11.如右图，某公园方案建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求：(1)x 的取值范围；(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0， 即最少需要约34.0米铁丝网． 12．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0. ∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4 ＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤ －2－2x ＋2·－1x ＋2－4＝－22－4. 当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t，由f (t )＝t ＋1t(t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0， ∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2基本不等式与最大(小)值高一数学
利用基本不等式求最大值或最小值的注意事项 (1)x，y 一定都是正数． (2)求积 xy 最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 最 小值时，应看积 xy 是否为定值． (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．
12/13/2021
1.(1)已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值 为________． (2)设 0<x≤2，则函数 f(x)＝ x（8－2x）的最大值为________． 解析：(1)依题意得 y＝t＋1t －4≥2 t·1t －4＝－2，等号成立 时 t＝1， 即函数 y＝t2－4tt＋1(t>0)的最小值是－2.
第三章 不等式
3．2 基本不等式与最大(小)值
12/13/2021
基本不等式与最值 已知 x，y 都为正数， (1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值
s2 4； (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值
2p ．
12/13/2021
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值．( √ ) (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值．( √ ) (3)对任意的 a，b∈R，若 a 与 b 的和为定值，则 ab 有最大 值．( × ) (4)若 xy＝4，则 x＋y 的最小值为 4.( × ) (5)函数 f(x)＝x2＋x2＋2 1的最小值为 2 2－1.( √ )
12/13/2021
(2)因为 0<x≤2，所以 0<2x≤4，8－2x≥4>0， 故 f(x)＝ x（8－2x） ＝ 12·2x·（8－2x） ＝ 12· 2x·（8－2x）≤ 12×82＝2 2， 当且仅当 2x＝8－2x， 即 x＝2 时取等号， 所以当 x＝2 时，f(x)＝ x（8－2x）的最大值为 2 2. 答案：(1)－2 (2)2 2
高中数学第三章不等式3.4基本不等式(第2课时)课件新人教A版必修5
4 1 9 ( 2)已 知a b 0, a b 1, 则 的最小值为 ___ a b 2b
方法点拨:常数“1”的代换
例题讲解
1 4 例3.对 任 意 的 (0, ),不 等 式 2 2x 1 2 2 sin cos 恒成立 ,则 实 数 x的 取 值 范 围 是 ( D ) A. 3,4 B.0,2 3 5 C . , 2 2 D. 4,5
a7 a6 2a5 , 若 存 在 两 项 am , an , 使 得 am an 4a1 , 1 4 3 5 9 25 则 的最小值为 ( A ) A. B. C . D. m n 2 3 4 6
变题
改条件 am an 2a1，则最小值在计算时有 何不同？
课堂小结
基本不等式
ab 若a , b 0, 则 ab (当 且 仅 当 a b时, 等 号 成 立 ) 2
基本不等式及其应用的运用的原则： （1）结构为王 （2）配凑变形为辅（3）成立条件 保障
（备用例题）
1.设已知实数a, b R, 若a 2 ab b 2 3, 则 (1 ab) 2 的值域为_______ 2 2 a b 1
作业：
配套练习
例题讲解 例1. 试着构造一个最小值为2的函数, “□”内 可填入常数或是x相关的式子
f ( x)
x 2
2
x 1
( x 1)
x 1 2 f ( x) ( x 1) 2 x 1 x f ( x) x 2 ( x 1) x 1 x2 f ( x) 2( x 1) x 1
例题讲解
例4.关 于x的 二 次 不 等 式 ax2 2 x b 0的 解 集 为 1 a 2 b2 2 2 的最小值为 ________ x x , 且a b, 则 a ab
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
2019-2020年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步练习 新人教B版
2019-2020年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步练习 新人教B 版必修5一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >c D ．a >c >b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a ≠c ， ∴a 2＋c 2>2ac ， 又∵a 2＋c 2＝2bc ， ∴2bc >2ac ，∵c >0，∴b >a ，排除A 、B 、D ， 故选C ．2．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11[答案] D[解析] ∵a n >0，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21， ∴a 11＝a 1＋a 212＝b 1＋b 212≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }、{b n }均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6 [答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用． 由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5.4．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 2R 1＋R 2＝R 1－R 22R 1＋R 2>0，所以R A >R B ．5．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18[答案] B[解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，又lg a ＋lg b ＝6，∴lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 二、填空题7．已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y ≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6.8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1. 又∵xy ≤(x ＋y2)2， ∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1，即34(x ＋y )2≤1. ∴(x ＋y )2≤43.∴－233≤x ＋y ≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． [解析] ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)． 10．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： (a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.[解析] ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≤a 2＋b 2，∴(a ＋1)＋(b ＋1)≤a ＋2＋b ＋2，又∵a ＋b ＝1， ∴3≤a ＋2＋b ＋2，∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x ≥52，∴x －2＞0，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －≥1， 等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立． 3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38. ∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab>2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，∴2aba ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1 760. 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y4＝1，∵x，y∈R＋，∴1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋1x)·(1＋1y)≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝1＋1x＋1y＋1xy＝1＋x＋yxy＋1xy＝1＋2xy≥1＋2x＋y22＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．证法二：∵x＋y＝1，∴左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝(1＋x＋yx)(1＋x＋yy)＝(2＋yx)(2＋xy)＝5＋2(yx＋xy)≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．8．已知a、b、c∈R＋，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[解析] ∵a、b、c∈R＋，a2b，b2c，c2a均大于0，又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，b2c＋c≥2b2c·c＝2b，c2a＋a≥2c2a·a＝2c，三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，a2 b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.∴。
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5
一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把������+2������叫做 a,b 的算术平均数,把 ������������叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1������2≥2 3������·1������2=2 36=12. 当且仅当 3x=1������2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ������������=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
������������.
2.填空: 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修
式模型,再使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析 当堂检测
1.将本例
3
中所证的不等式左边改为“������������2
+
������2 ������
+
���������2��� ”,其他均不变,
又将如何证明呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析 当堂检测
证明:∵a,b,c,������������2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析 当堂检测
变式训练 1 已知 x<2,求函数 f(x)=x+������4-2的最大值. 解:∵x<2,∴2-x>0,
∴f(x)=x+������4-2=-
(2-������)
+
4 2-������
+2
≤-2
(2-������)
4 2-������
+2=-2,
一
二
三
二、均值定理
【问题思考】
1.填空:
(1)如果 a,b>0,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立.这也 叫基本不等式.
(2)对任意两个正实数 a,b,数������+2������叫做 a,b 的算术平均值,数 ������������ 叫做 a,b 的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术
,
������+������ 2
,
������������, 1������+21������,b 的大小.
高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用学案5
第2课时基本不等式的应用键能力·合作学习类型一“1”代换求最值（逻辑推理、数学运算、数学建模）1.已知mn>0，2m+n=1,则+的最小值是(）A.4B.6 C。
8 D。
16【解析】选C。
因为mn>0,2m+n=1，则+=(2m+n)=4++≥4+2=8，当且仅当=且2m+n=1即m=，n=时取等号，此时取得最小值8.2.已知x+2y=xy（x〉0,y〉0)，则2x+y的最小值为（)A。
10 B.9 C.8 D。
7【解析】选B.由x+2y=xy(x〉0,y>0）,可得+=1,则2x+y=(2x+y）=5++≥5+4=9,当且仅当=且+=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9。
3。
已知实数a〉0，b〉0，是8a与2b的等比中项，则+的最小值是______.【解析】因为实数a〉0,b>0，是8a与2b的等比中项,所以8a·2b=2,所以23a+b=2,解得3a+b=1.则+=(3a+b）=5++≥5+2=5+2，当且仅当b=a=-2时取等号.答案：5+2常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:（1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为“1"。
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.（4）利用基本不等式求解最值。
【补偿训练】1.若a〉0，b〉0，2a+b=6,则+的最小值为（）A。
B。
C. D.【解析】选B。
因为a〉0，b>0,2a+b=6,则+=(2a+b)=≥×(4+4）=,当且仅当=且2a+b=6,即a=,b=3时取得最小值.2。
已知x>0，y〉0,2x-=—y，则2x+y的最小值为(）A.B。
2C。
3D。
4【解析】选C.由x〉0,y>0,2x-=-y,可得2x+y=+,即有(2x+y）2=（2x+y）=10++≥10+2=18,即有2x+y≥3,当且仅当y=2，x=时等号成立,故2x+y的最小值为3.3.设正实数x,y满足x+2y=1,则+的最小值为（)A。
新教材2020-2021学年数学高中必修一苏教版课件：3.1不等式的基本性质
性质4
可乘性
性质5 性质6
同向可加性
同向同 正可乘性
性质内容
a>b⇒b<a a>b,b>c⇒_a_>_c_ a>b⇒_a_+_c_>_b_+_c_
a+b>c⇒a>c-b
aa>>bb,,cc<>00⇒⇒_aa_cc_><_bb_cc_ a>b,c>d⇒_a_+_c_>_b_+_d_
c>d>a0>⇒b>_a0_c,_>_b_d_
(2)a>b且c>d,则a-c>b-d.
()
(3) 若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( )
(4)a>b>0,且c>d>0,则 a＞b . ( )
cd
2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则 ( )
A.ad>bc
B.ac>bc
C.a-c>b-d
D.a+c>b+d
【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A、B两项;同向不等式相减,结果未必
2a
若a>2,根据不等式的性质4,得x< 2a .
2a
类型二 判断或证明不等式(逻辑推理)
角度1 利用不等式的性质判断命题真假
【典例】设a,b,c∈R,且a>b,则 ( )
A.ac2>bc2 C.a4>b4
B. 1＜1
ab
D.a+c>b+c
【思路导引】根据不等式的基本性质或取特殊值判断.
新教材高中数学第3章不等式3-23-2-1基本不等式的证明课件苏教版必修一
a＋b 1.如何证明不等式 ab≤ 2 (a，b≥0)? [ 提 示 ] 因 为 a ＋ b － 2 ab ＝ ( a )2 ＋ ( b )2 － 2 a · b ＝ ( a － b)2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立， 所以 a＋b≥2 ab， 所以 ab≤a＋2 b， 当且仅当 a＝b 时，等号成立．
1.设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大 值为________，此时 x＝________，y＝________.
400 20 20 [由 ab≤a＋2 b知 xy≤420，所以 xy≤400.此时 x＝y ＝20.]
知识点 2 两个重要的不等式 若 a，b∈R，则(1)ab≤a2＋2 b2，即 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时， 等号成立)； (2)ab≤a＋2 b2(当且仅当 a＝b 时，等号成立)．
NO.2
合作探究·释疑难
类不等式证明不等式 类型4 利用基本不等式求最值
类型 1 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下面三个推导过程：
①因为 a，b 为正实数，所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2；
②因为 a∈R，a≠0，所以4a＋a≥2 4a·a＝4；
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b≥0 时， 不等式 a＋b≥2 ab成立．
(2)根据基本不等式，才有不等式 a＋a1≥2 a·1a＝2 成立，当且仅 当 a＝1 时取等号．
(3)因为 ab≤a＋2 b，所以 ab≤a＋2 b2. [答案] (1)× (2)× (3)√
2.当 a、b 满足什么条件时，a2＋b2＝2ab？a2＋b2>2ab? [提示] 当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，a、b∈R 时 a2＋b2>2ab.
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最大值时, b =________.
a
【解题指南】(1)根据基本不等式求出x+2y的最小值, 从而得到关于m的不等式,进而求得m的取值范围. (2)利用分离常数法和基本不等式求出m的最大值,以及 m取最大值时a与b的关系,再计算 b 的值.
a
【解析】(1)选D.x+2y=(x+2y) ( 2 1 ) 2 4y x 2 8,
xy
xy
当且仅当 4y x ,即4y2=x2时等号成立.
xy
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.
(2)a>0,b>0时,不等式 4 1 m 可化为
a b a 4b
(4 1) (a+4b)≥m,即m≤8+ a 16b ;
ab
ba
又 a 16b ≥2 a 16b =8,当且仅当a=4b时取等号,
2 44
4
方法二:由基本不等式,得s=x+y≥2 xy，所以xy≤ s2 ,
当x=y时,xy取得最大值 s2 ,又因为x>0,y>0,
4
4
所以0<xy≤ s2 .
4
2.已知x,y都为正数,若xy=p(积为定值),即x+y的取值 范围是什么? 提示:由基本不等式,得x+y≥2 xy 2 p, 当x=y时, x+y取得最小值2 p ,所以x+y≥2 p .
2
所以函数的最小值为0.
答案:0
类型二 利用基本不等式求参数的值、范围
【典例2】(1)若两个正实数x,y满足 2 1 =1,并且
xy
x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4)
D.(-4,2)
(2)已知a>0,b>0,若不等式 4 1 m 恒成立,则m取
3.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,这个矩形的 长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大是多少?
提示:把矩形菜园的长、宽分别记为x,y,则2(x+y)=36, 即x+y=18,由基本不等式得xy≤ ( x y)2 =81,当且仅当
2
x=y=9时,等号成立,即x=y=9 m时矩形菜园的面积最大,
2
所以ab≤（a b）2 ,
4
所以3=ab+a+b≤（a b）2 +(a+b).
4
即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,
解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).
当
a b ab a b 3
时,等号成立,
即a=b=1时,等号成立.
所以a+b的最小值为2.
答案:2
(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2 2xy ,得xy≤2，
第2课时 基本不等式的应用
主题 基本不等式的应用 1.已知x,y都是正数,若x+y=s(和为定值),那么xy的取 值范围是什么?
提示:方法一:因为x+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)
=-y2+sy= (y s )2 s2 s2 , 又x>0,y>0,所以0<xy≤ s2 .
最大为81 m2.
结论: 设x,y为正实数. (1)若x+y=s(定值),则当_x_=_y_=__2s__时,xy有最大值__s42__. (2)若xy=p(定值),则当_x_=_y_=__p__时,x+y有最小值_2__p_.
【拓展延伸】求条件最值的方法 求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不 等式求最值时:①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、 组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必 须指出等号成立的条件.
B.3+ 2
C.2+2 2
D.3
【解析】选A.由题意,因为2m+n=1,则 1 1 =
mn
( 1 1 ) ·(2m+n)=3+
mn
n 2m mn
≥3+2
n 2m =3+2
mn
2,
当且仅当 n 2m ,即n=
mn
2
m时等号成立,所以
1 m
1 n
的最小值为3+2 2 .
3.若x>0,则y=4x+ 9 的最小值为________.
ba
ba
所以m≤16,且m取最大值时,a=4b,此时 b 1 .
a4
答案: 1
4
【方法总结】运用基本不等式求参数的取值范围 (1)若已知不等式,则要先将字母参数分离出来,转化为 求函数的最值问题,从而求出参数的取值范围. (2)若是已知等式,则要用基本不等式得出关于参数的 不等式,从而求出参数的取值范围.
2.利用基本不等式求条件最值的方法
【跟踪训练】 设x>0,则函数y=x+ 2 3 的最小值为________.
2x 1 2
【解析】y=x+ 2 3 (x 1 ) 1 2
2x 1 2
2 x1
2
2
(x
1) 2
1 x
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
0，
2
当且仅当x+ 1
2
=
1 x1
,即x= 1 时等号成立.
2
(x 1)(2y 1) 2xy x 2y 1 2xy 5 2 5 2 5 9，
xy
xy
xy
xy 2 2
当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值
为9.
2
答案: 9
2
【方法总结】 1.利用基本不等式求最值的方法 (1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公 式求解. (2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使 其满足.
xy
【解题指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤（a b）2 ,
4
将ab+a+b=3转化成3≤（a b）2 +(a+b),求解a+b的范围并
4
检验等号成立即可.
(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再对 (x 1)(2y 1) 化简求解.
xy
【解析】(1)因为a,b为正数,
所以 ab≤ a b 成立.
x
【解析】因为x>0,所以y= 4x 9 2 4x 9 2 36 12，
x
x
当且仅当4x= 9 ,即x= 3 时,y=4x+ 9 取最小值.
x
2
x
答案:12
类型一 利用基本不等式求最值、范围 【典例1】(1)若正数a,b满足ab+a+b=3,则a+b的最小值 为________. (2)(2019·天津高考改编)设x>0,y>0,x+2y=4, 则 (x 1)(2y 1) 的最小值为________.
【对点训练】
1.设x>0,y>0且x+4y=40,则xy的最大值是 ( )
A.100
B.50
C.40
D.20
【解析】选A.x·4y≤ ( x 4y)2 =400,即xy≤100,
2
当且仅当x=4y=20时,上式取等号.
2.若正数m,n满足2m+n=1,则 1 1 的最小值为( )
mn
A.3+2 2