向量小测试题
高二数学空间向量测试题.doc
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC ，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么点O 一定是△ABC的 。
向量测试题
向量测试题1. 向量加法问题：- 给定两个向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 和 \( \vec{b} = (1, 2) \)，求它们的和 \( \vec{a} + \vec{b} \)。
2. 向量减法问题：- 如果 \( \vec{a} = (2, 5) \) 和 \( \vec{b} = (-1, 3) \)，求 \( \vec{a} - \vec{b} \)。
3. 向量数乘问题：- 计算 \( 2 \vec{a} \)，其中 \( \vec{a} = (-1, 3) \)。
4. 向量点乘问题：- 给定 \( \vec{a} = (x, y) \) 和 \( \vec{b} = (z, w) \)，写出它们点乘的公式，并计算 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 当\( \vec{a} = (1, 2) \) 和 \( \vec{b} = (3, 4) \)。
5. 向量叉乘问题：- 假设 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 是三维空间中的向量，求 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的叉乘 \( \vec{a} \times\vec{b} \)，其中 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (4, 5, 6) \)。
6. 向量模长问题：- 求向量 \( \vec{a} = (3, 4, 5) \) 的模长。
7. 向量方向问题：- 给定向量 \( \vec{a} = (2, -3) \)，求它的单位向量。
8. 向量投影问题：- 在向量 \( \vec{b} = (4, 5) \) 上，求向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 的投影。
9. 向量角度问题：- 如果 \( \vec{a} = (1, 0) \) 和 \( \vec{b} = (0, 1) \)，求它们之间的夹角。
初中数学向量的线性运算经典测试题及解析
初中数学向量的线性运算经典测试题及解析一、选择题1．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，即a c b +=-r r r故选D ．5．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-rrrra b a bD ．()()++=++r r r r r r a b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.6．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．7．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大8．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．13．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．若2a b c +=rr，3a b c -=r r，而且c r ≠0，a r 与rb 是（ ）A ．a r 与rb 是相等向量B ．a r 与rb 是平行向量C ．a r 与rb 方向相同，长度不等D ．a r 与rb 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．16．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.17．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．18．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确， D 、因为5a b =rr，所以||5||a b =r r；故该选项说法正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．19．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b ⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +r rB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可．【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心，∴23AO AD =，∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．。
第三章向量专项测试题(1)
爱启航在线考研第三章 向量1. 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则向量组（ ）A. 12233441,,,++++αααααααα线性无关B. 12233441,,,−−−−αααααααα线性无关C. 12233441,,,+++−αααααααα线性无关D. 12233441,,,++−−αααααααα线性无关2. 设向量组123,,ααα线性无关，且1234k ++ααα，1232+−ααα，23+αα线性相关，则k =__________.3. n 维列向量12,,,s ααα线性无关的充要条件是（ ） A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0 B. 添加向量β后，12,,,,s αααβ线性无关 C. 去掉任一向量i α后，111,,,,,i i s −+αααα线性无关 D. 121311,,,,s −−−ααααααα线性无关4. 判别下列向量组是否线性相关： （1）()()()()12342,0,0,0,2,1,1,1,1,1,2,1T T T T ====−αααα； （2）()()()1231,2,1,2,2,3,1,3,4,1,1,7T T T =−=−=−βββ； （3）()()()123,1,,0,0,,0,,2,3,,4,,5,6T T T a b c d e f ===γγγ.爱启航在线考研5. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）.(A) A 中两行（列）对应元素成比例；(B) A 中任意一行为其它行的线性组合；(C) A 中至少有一行元素全为零；(D) A 中必有一行为其它行的线性组合. 6. 设A 为n 阶方阵，()r r n =<A ，则在A 的n 个列向量中（ ）. (A) 必有r 个列向量线性无关； (B) 任意r 个列向量线性无关； (C) 任意r 个列向量都构成极大无关组； (D) 任意一个列向量都能由其他r 个列向量线性表示. 7. 若向量组,,αβγ线性无关,,,αβδ线性相关,则( ) (A) α必可由,,βγδ线性表示； (B) β必不可由,,αγδ线性表示； (C) δ必可由,,αβγ线性表示； (D) δ必不可由,,αβγ线性表示. 8. 设()()()1231,1,1,1,2,3,1,3,T T T t ===ααα，问：t 为何值时123,,ααα线性相关？t 为何值时123,,ααα线性无关？爱启航在线考研9.1122133123,3,2=+=−=−−βααβααβααα，试证123,,βββ线性相关.10. 设012,,,,s αααα是线性无关向量组，证明向量组001020,,,,s +++ααααααα 也线性无关. 11. 设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组=Ax 0的t 个线性无关的解向量（即i =A α0），向量β不是方程组=Ax 0的解（即≠A β0）.试证明:向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.爱启航在线考研12. 设向量12,,,n ααα为两两正交的非零向量，证明12,,,n ααα线性无关，并举例说明逆命题不正确.13. 设12,,,(2)n n ≥ααα线性无关，证明：当且仅当n 为奇数时， 12231,,,n +++αααααα线性无关. 14. 下列命题正确的是（ ） （A ）若12,,,n ααα两两正交，则12,,,n ααα一定线性无关. （B ）若12,,,n ααα线性无关，则12,,,n ααα一定两两正交. （C ）设1234,,,αααα是3维列向量，且两两正交，则其中至少有一个零向量. （D ）若12,,,n ααα线性相关，则其中任一向量都可由其余向量线性表示. 15. 设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.爱启航在线考研16. 设向量组()()()()1231,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,2,0,4,2,5,T T T T ===−=αααβ 问： β是否可表示为123,,ααα的线性组合？.17. 设向量组()()()()12341,0,2,3,1,1,3,5,1,1,2,1,1,2,4,8,T T T T a a ===+=+αααα ()1,1,3,5T b =+β ，问： （1）b a ,为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为1234,,,αααα的线性组合？ 18. 设向量组()()()()123,2,10,2,1,5,1,1,4,1,,T T T T a b c ==−=−=αααβ. 问：当,,a b c 满足什么条件时， （Ⅰ）β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ （Ⅱ）β不能由123,,ααα线性表出？ （Ⅲ）β可由123,,ααα线性表出，且表示法不唯一？爱启航在线考研19. 设()()1,0,1,2,0,1,0,2T T=−=αβ ，矩阵T =A αβ，则()r =A ___________.20. 求向量组()()()()12341,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,2,2,4,T T T T =−===−αααα()52,1,5,10T =α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 21. 设n 维向量组12,,,m ααα（m n <）线性无关，则n 维列向量组12,,,m βββ线性无关的充分必要条件为( ) （A ）向量组12,,,m ααα可由向量组12,,,m βββ线性表示. （B ）向量组12,,,m βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示. （C ）向量组12,,,m ααα与向量组12,,,m βββ等价 （D ）矩阵()1,m =A αα，与矩阵1(,)m =B ββ，等价 22. 设,A B 为n 阶方阵，,P Q 为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）. （A ）若=B AQ ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价 （B ）若=B PA ，则A 的行向量组与B 的行向量组等价 （C ）若=B PAQ ，则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价 （D ）若A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价，则A 与B 等价爱启航在线考研23. 设向量组（I ）：1(1,0,2)T =α，2(1,1,3)T =α，3(1,1,2)Ta =−+α和向量组（II ）：1(1,2,3)T a =+β，2(2,1,6)T a =+β，3(2,1,4).T a =+β试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？24. 设矩阵101112011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123,,ααα为线性无关的3维列向量组. 则向量组1A α，2A α，3A α的秩为 25. 设向量组（I ）：12,,,s ααα的秩为1r ，向量组（II ）：12,,,s βββ的秩为2r ，且向量组（II ）可由向量组（I ）线性表示，则（ ） （A ）向量组1122,,,s s +++αβαβαβ的秩为12r r + （B ）向量组1122,,,s s −−−αβαβαβ的秩为12r r − （C ）向量组1212,,,,,,,s s αααβββ的秩为2r （D ）向量组1212,,,,,,,s s αααβββ的秩为1r爱启航在线考研26. 设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，问1122,++αβαβ是否一定线性相关？试举例说明.27. 设12,,,n ααα是一组n 维向量，试证明它们线性无关的充要条件是：任一个n 维向量都可由它线性表示. 28. （仅数一）设123112211,,10102a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2，则a =___________. 29. （仅数一）已知三维向量空间的一组基为()()()1231,1,0,1,0,1,0,1,1T T T ===ααα，则向量()2,0,0T =β在上述基下的坐标是__________. 30. （数一）设1231110,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭εεε和1231100,1,2241⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 为三维空间的两组基，则从基123,,εεε到基123,,e e e 的过渡矩阵为___________.爱启航在线考研31. （数一）设三维向量空间的两组基1231110,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα及1231232,3,4143⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ，向量γ在基123,,βββ下的坐标为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求γ在基123,,ααα下的坐标. 32. （数一）设三维向量空间3R 中的向量ξ在基1231032,1,2111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且1123212,,y x x x y x x =−−=−+3132y x x =+，求从基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵.。
向量的线性运算经典测试题附答案
向量的线性运算经典测试题附答案一、选择题1．在ABCD中，AC与BD相交于点O，AB a=，AD b=，那么OD等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．2．如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a用单位向量e表示为（）A．12a e=B．2a e=C．12a e=-D．2a e=-【答案】C 【解析】由向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12， ∴12a e =-． 故选C ．3．已知3a →=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→=B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=- 【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反 ∴32a b =-故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D 【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．6．下列说法正确的是（ ）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b -B ．()12b a -C ．()12a b +D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.8．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A．++B．-+C．+-D．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥bC．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．11．如图，在ABC 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =,BC b =，那么AD 等于（ ）A ．a b +B ．2233a b +C ．23a b -D ．23a b + 【答案】D【解析】【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b == ∴23AD AB BD a b =+=+故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ） A ．AB BA =- B ．AB BA = C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.13．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.14．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||5||a b =【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A 、50a b -=，故该选项说法错误B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．15．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =；B ．a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=． 【答案】D【解析】【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】 解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(3,1)OH =-D ．(22,4)OM =；(22,2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.20．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D、3544++-=-，故D选项正确；a b a b a b故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。
向量测试题及答案
向量测试题及答案一、选择题1. 在平面直角坐标系中，向量\( \overrightarrow{AB} \)的坐标表示为\( (3, 4) \)，向量\( \overrightarrow{BC} \)的坐标表示为\( (-1, 2) \)，则向量\( \overrightarrow{AC} \)的坐标表示为：A. \( (2, 6) \)B. \( (4, 6) \)C. \( (2, 2) \)D. \( (4, 2) \)2. 若向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)共线，则下列哪个说法是正确的？A. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的模长相等B. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的方向相反C. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的点积为零D. \( \overrightarrow{a} \)是\( \overrightarrow{b} \)的标量倍二、填空题3. 若向量\( \overrightarrow{v} \)的模长为5，向量\( \overrightarrow{v} \)与向量\( \overrightarrow{u} \)的夹角为60°，则向量\( \overrightarrow{v} \)与向量\( \overrightarrow{u} \)的点积为________。
4. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (1, 2) \)，向量\( \overrightarrow{b} = (3, 4) \)，求向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)的叉积的模长。
高中数学平面向量测试题及答案
高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。
以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。
给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。
给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。
给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。
给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。
给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。
给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。
给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。
给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。
给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。
给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。
以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。
解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。
选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。
解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。
空间向量的计算测试题
空间向量的计算测试题一、填空题1. 已知三维空间中向量A = (2, -1, 3)，B = (4, 2, -1)，求 A + B = ( 6, 1, 2)。
2. 若向量A = (3, -2, 5)，求2A = (6, -4, 10)。
3. 已知向量A = (2, -3, 1)，求||A|| = √(2² + (-3)² + 1²) = √14。
4. 设向量A = (1, 2, -1)，向量B = (3, -1, 2)，求 A·B = 1×3 + 2×(-1) + (-1)×2 = -2。
5. 已知两条直线的方向向量分别为 A = (2, -1, 3)，B = (3, 2, -1)，求两直线的夹角的余弦值cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||) = ((2×3) + (-1)×2 + 3×(-1)) / (√(2² + (-1)² + 3²) × √(3² + 2² + (-1)²)) = -1/√35。
二、简答题1. 请简要说明向量的数量性质和方向性质之间的关系。
答：向量的数量性质是指向量的模或长度，方向性质是指向量的方向。
两个向量相等当且仅当它们的数量性质和方向性质都相等。
2. 简要概述向量的线性运算规则。
答：向量的线性运算规则包括向量加法和数量乘法。
向量加法满足交换律和结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)和 A + B = B + A。
向量的数量乘法满足结合律和分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA，k(mA) = (km)A。
三、证明题已知向量A = (a, b, c)，B = (d, e, f)，C = (g, h, i)，证明向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的线性运算经典测试题含答案解析
向量的线性运算经典测试题含答案解析一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =，AD b =，则下列选项与1122a b -+相等的向量是（ ）． A ．MA B ．MBC ．MCD ．MD【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =，AD b =，∴AC AB AD a b =+=+,BD AD AB b a =-=-,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴()11112222a M AC ab A b =+==----，故A 不符合题意； ()11112222MB BD b a a b =-=--=-，故B 不符合题意；()11112222a M AC ab C b =+=+=，故C 不符合题意； ()11112222MD BD b a a b ==-=-+，故D 符合题意. 故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．【详解】根据相等向量的定义，分析可得，A. 方向不同，错误，B. 方向不同，错误，C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，正确；故选D.【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.3．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．下列命题中，真命题的个数为( )①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.【详解】解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.5．已知233m a b =-，1124n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．823a b -B ．443a b -C ．423a b -D ．843a b -【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-． 故选A ．6．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是（ ） A ．AB BA =； B ．AB BA =；C ．0AB BA +=；D ．0AB BA +=.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB 是非零向量, ∴AB BA = 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大7．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=B ．如果a b =，那么a b =C ．若向量a 与b 均为单位向量，那么a b =D ．对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，那么//a b 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.8．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设ABa,BCk ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12ab B ．2133a b C ．2233a b D ．1124a b 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b ，∴11BD BC b 22． ∴1b 2ADAB BD a又∵点O是△ABC的重心，∴23AO AD，∴221 AO AD a b333．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD是解题的关键．9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A．++B．-+C．+-D．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．已知a、b和c都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b的是()A ．2a b =B ．//a c ，//b cC ．||||a b =D ．12a c =，2bc =【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意；D 选项：由12a c =，2bc =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．11．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.12．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ）A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b -+ D ．12a b -- 【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．13．下列各式正确的是（ ）． A ．()22a b c a b c ++=++ B ．()()330a b b a ++-= C ．2AB BA AB += D ．3544a b a b a b ++-=-【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误； B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.14．已知非零向量a 、b 、c ，在下列条件中，不能判定a //b 的是（ ） A ．a //c ，b //c B ．2a c =，3b c = C ．5a b =-D ．||2||a b =【答案】D 【解析】详解：A．∵a∥c b，∥c，∴a b，故本选项，不符合题意；B．∵a=2c b，=3c，∴a b，故本选项，不符合题意；C．∵a=﹣5b，∴a b，故本选项，不符合题意；D．∵|a|=2|b|，不能判断a b，故本选项，符合题意．故选D．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．15．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（）=A．AB BA=-B．AB BA+=+C．AB BC AC D．AB BC AB BC【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A选项，AB BA=-，成立；=，成立；B选项，AB BAC选项，AB BC AC，成立；+=+不一定成立；D选项，AB BC AB BC故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.16．已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，那么向量a与b的方向关系是（）A．a∥b，并且a和b方向一致B．a∥b，并且a和b方向相反C．a和b方向互相垂直D．a和b之间夹角的正切值为5【答案】B【解析】【分析】【详解】∵已知a ，b 为非零向量，如果b ＝﹣5a ， ∴a ∥b ，a 与b 的方向相反， 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．17．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ） A ．a ∥b B ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =， ∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误， 故选C.18．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB+=故选B.19．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ） A ．2a b =-B ．a c =，3b c =C ．2a b c +=，a b c -=-D ．2a b =【答案】D【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求 【详解】A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．20．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=，正确； B 、0a 0⋅=，正确； C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-，正确； 故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
向量单元专题测试
A、
B、
C、
D、
3．在 OAB 中， OA =a， OB =b，M 为 OB 的中点，N 为 AB 的中点，ON，AM 交于点 P， 则 AP = A． （ ） B．-
路程最短，小船应朝________方向行驶。 3．如果向量 与 b 的夹角为 θ，那么我们称 × b 为向量 与 b 的“向量积”， × b 是一个向 量，它的长度| × b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, · b=-2，则| × b|=______。 4、已知向量 a (2 cos ,2 sin ) ， (
B． a // b
C． a = b D． a b
14.若平面四边形 ABCD 满足 AB + CD 0,( AB - AD ) AC 0, 则该四边形一定是 （ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 （
）
15．已知向量 a (1,2)和b ( x,1),若向量a 2b与2a b平行, 则实数x 等于 A．
）
C
P A
2
B.9；
C. 9 ；
2
D.－9；
O
B
7.在平面直角坐标系中， i , j 分别是与 x , y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点 A、B、C 满足， AB 4i 3 j , AC ki 1 j 当 A、B、C 三点构成直角三角形时，实数 k 的可能值的
高二数学空间向量测试题
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3 D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC，点P是平面ABC外的一点，点O是点P在平面ABC上的射影，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，那么点O一定是△ABC的。
平面向量测试题及详解
平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17 D.174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关 7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53D ．1 12．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________． 16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B 2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB→＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa ＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10， 又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522. 17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3. 18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析](1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1.20.[解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x . (2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝422.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
2022学年高三上(编号：1-25)向量小题汇编(教师版)
2022学年高三上（编号：1-25）向量小题汇编（教师版）一、选择题1：（2023届如皋市高三上期初调研解析第4题）1：黄金分割（Golden Sec tion ）是一种数学上的比例关系，黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0．618，就像圆周率在应用时取3．14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人民还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0．618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0．618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形（Golden Re tan c gle ）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1．618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达⋅芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．在矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，BF AC ⊥，DH AC ⊥，AE BD ⊥，CG BD ⊥，512BE BO -=，则BF = （ ）A 355510BG -++B 355510BG --+C 515510BG --+ D 3555BG -+ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理及其应用、向量的加法、减法、数乘运算分析：本题考查数学文化、平面向量的线性运算与平面向量基本定理，属于基础题． 解析：因为512BE BO -=，所以5510BO BG +=，因为 ()515122BF BA AF BA AO BA BO BA --=+=+=+- 5135512235BA BOBO -+-=+-． 所以35525BF BA BG -=+，故选D2：（2023届如皋市高三上期初调研解析第5题） 2：（2022⋅全国⋅月考试卷）在ABC ∆中，3,2,3AB AC A π===，过ABC ∆的外心O 的直线（不经过点A ）分别交线段,AB AC 于,DE ，且,AD AB AE AC λμ==，则λμ+的取值范围是（ ）A ．11461310⎤+⎥⎣⎦ B ．11462315⎤+⎥⎣⎦C ．14361310⎤+⎥⎣⎦ D ．14362315⎤+⎥⎣⎦ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理的应用，利用导数求函数的最值（不含参）、平面向量共线定理与三点共线问题、余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用分析：本题考查了正弦、余弦定理的综合应用、平面向量基本定理以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于难题．解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2227BC AB AC AB AC BAC +-⋅⋅∠ 再由正弦定理得2212sin BC AO BAC ==∠，即21AO ． 设BAO θ∠=，则2cos 221ABAO θ==，解得sin 27θ=作平行四边形AFOG ，如图，在AFO ∆中，2,333AFO AOF OAG ππππθ∠=-=∠=∠=-． 由正弦定理得：2sinsin 33AF AOππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 即2131423322127AF ⎫=-⨯=⎝． 再由正弦定理：2sin sin 3FO AOπθ=，解得13FO AG ==． 故41,96AFAG AF AB AB AG AC AC AC AC====． 因为,,O D E 三点共线，结合向量加法的平行四边形法则，的 ()()411196AO t AD t AE t AB t AC AB AC λμ=+-=+-=+． 由平面向量基本定理得()49116t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．解得()49161t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．结合01,01λμ<≤<≤可解得4596t ≤≤．令()()4145,96196f t t t t λμ=+=+≤≤-．则()()224145',99661f t t t t =-+≤≤-． 由()'0f t =可得826t -=48269⎛- ⎝⎭上()f t 单调递减，在区间82656⎫-⎪⎪⎝⎭上()f t 单调递增，由4138261146523,910615f f f -+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．知λμ+的取值范围是11462315⎤+⎥⎣⎦。
平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。
b-1/2a。
B。
a-1/2b。
C。
b+1/2a。
D。
a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。
若a-b=0，则a=bB。
若ab=0，则a=0或b=0C。
若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。
若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。
-2.B。
2.C。
-1/2.D。
不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。
a+b=a-b。
B。
a+b=a+b。
C。
a-b=a-b。
D。
a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。
3/2.B。
-3/2.C。
1/2.D。
06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。
3.B。
3/2.C。
53.D。
53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。
长方形。
B。
平行四边形。
C。
菱形。
D。
梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。
(π/3，-3)。
B。
(π/6，3)。
C。
(π/12，-3)。
D。
(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。
4.B。
1.C。
3.D。
向量的线性运算经典测试题及解析
a =3， b =5，
b =5 a , 3
b 与 a 的方向相反, b 5 a.
3
故选：D. 【点睛】 考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
17．已知非零向量 a 、 b ，且有 a 2b ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． | a | 2 | b | ； B． a ∥ b ；
D. BO OD ，故该选项错误；
故选：C． 【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
14．已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，那么向量 a 与 b 的方向关系是（ ）
A． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向一致
B． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向相反
A． a
B． a
【答案】B
C． a
D． a
【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a ,
所以答案为 B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
6．如图， ABCD 中，E 是 BC 的中点，设 AB a, AD b ，那么向量 AE 用向量 a、b
C． a 和 b 方向互相垂直
【答案】B 【解析】
D． a 和 b 之间夹角的正切值为 5
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，
∴ a ∥ b ， a 与 b 的方向相反，
故选：B． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给的已知条件 与 是平行向量，可得 AB 与 CD 是平行的，且不确定 与
向量的线性运算经典测试题及答案
向量的线性运算经典测试题及答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A 【解析】 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ；令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴∴.故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.3．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．已知向量，且则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B． A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【解析】【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点【详解】解：由向量的加法原理知所以A、B、D三点共线.【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.5．下列等式正确的是（ ） A ．AB +BC ＝CB +BA B ．AB ﹣BC ＝ACC ．AB +BC +CD ＝DA D ．AB +BC ﹣AC ＝0【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形法则即可判断. 【详解】∵AB BC AC +=，∴0AB BC AC AC AC +-=-= ， 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.6．下列判断不正确的是（ ） A ．如果ABCD ，那么ABCDB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k ，那么a 与b 平行或共线D ．AB BA【答案】D【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA可判断D 错误【详解】 A 、如果ABCD ，那么AB CD =，故此选项正确；B 、a b b a +=+，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k，那么a 与b 平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA，故此选项错误；故选：D ．【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=-- D ．km k m =【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误； B. 00a ⋅=，故本选项错误； C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误. 故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．8．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b = ∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==-∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+ 故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=B ．a b b a +=+C ．如果()0a k b k =⋅≠，那么b 与a 平行D ．如果a b =，那么a b = 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠，根据实数与向量乘积的意义可知：a ∥b ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =，但a 与b 方向不同，则a b ≠，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a ∥e → B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量()12m n +相等的向量是（ ）.A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==，然后由三角形法则，求得AC 与BD ，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==，∴AC ＝AB BC m n +=+，=BD AD AB n m -=-， ∴()11=-22OA AC m n =-+，()11=22OC AC m n =+ ()11=-22OB BD n m =--，()11=22OD BD n m =-故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．13．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD = B ．AC BD =C ．AO OD =D ．BO OD =-【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-，故该选项错误；B. AC BD =，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =，故该选项正确；D. BO OD =，故该选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．14．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0aB ．如果a +b =2c ，a -b =3c ，其中0c ≠，那么a ∥bC ．设e 为单位向量，那么|e |=1D ．如果|a |=2|b |，那么a =2b 或a =-2b 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a ，故本选项不符合题意．B 、由a +b =2c ，a -b =3c 得到：a ＝52c ，b ＝﹣12c ，故两向量方向相反，a ∥b ，故本选项不符合题意．C 、e 为单位向量，那么|e |=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．15．下列说法不正确的是( ) A ．设e 为单位向量，那么||1e =B ．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =-，那么//a bC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e 为单位向量，那么||1e =，此选项说法正确；B. 已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =-，那么//a b ，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．16．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a //b B ．a -2b =0C ．b =12a D ．2ab =【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误. 故选B.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =- B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b =C ．1a e a=D ．11a b a b= 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.19．已知a 、b 、c 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b 的是（ ） A ．a b = B ．3a b =C ．//a c ，//b cD ．2,2a c b c ==-【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =只能说明a 与b 的模相等，不能判定a ∥b ，故本选项符合题意; B 、3a b =说明a 与b 的方向相同，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; C 、a ∥c ，b ∥c ，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意;D 、2a c =，2b c =-说明a 与b 的方向相反，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．20．化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）． A ．QP B ．OQC ．SPD ．SQ【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++ =Q O ， 故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.。
向量的认识练习题
向量的认识练习题
1. 问题描述：
现假设有两个向量a和b，a=（1，2，3），b=（4，5，6），请计算以下结果：
a +
b = ?
a -
b = ?
b - a = ?
2a = ?
2. 解答过程：
a +
b = （1 + 4，2 + 5，3 + 6）= （5，7，9）
a -
b = （1 - 4，2 - 5，3 - 6）= （-3，-3，-3）
b - a = （4 - 1，5 - 2，6 - 3）= （3，3，3）
2a = 2 * （1，2，3）= （2，4，6）
3. 结果验证：
根据计算结果可知：
a +
b = （5，7，9）
a -
b = （-3，-3，-3）
b - a = （3，3，3）
2a = （2，4，6）
验证结果无误。
4. 总结：
通过以上练习题，我们加深了对向量加减法的理解，并得出了以下结论：
- 向量的加法：两个向量相加，就是将相同位置的元素进行相加，得到新的向量。
- 向量的减法：两个向量相减，就是将相同位置的元素进行相减，得到新的向量。
- 向量的数乘：一个向量乘以一个标量，就是将向量的每个元素都乘以这个标量，得到新的向量。
- 向量的加减法满足交换律，即 a + b = b + a，a - b ≠ b - a。
以上就是向量的认识练习题的解答过程和结果验证，通过这些练习题的实践，我们可以更好地理解和掌握向量的基本操作。
希望这些内容对您有所帮助。
新初中数学向量的线性运算经典测试题(1)
新初中数学向量的线性运算经典测试题(1)一、选择题1．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r B ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC=-u u u r u u u r u u u r D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确.故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．4．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键5．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键6．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项与1122a b -+rr 相等的向量是（ ）．A ．MA u u u rB ．MB u u u rC ．MC u u u u rD ．MD u u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴()11112222a M AC ab A b =+==----u u u r u u u r r rr r ，故A 不符合题意；()11112222MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r rr r ，故B 不符合题意；()11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r rr ，故C 不符合题意；()11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r rr r ，故D 符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C.【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．9．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =r r可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.13．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r； C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u r r r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．14．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v v v -= 故错误.故选B.15．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r +=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误； D 、AC CB AB +=u u u ru u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．16．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．3,1)OG =u u u r ；(3,1)OH =-u u u rD ．(22,4)OM =u u u u r ；(22,2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.18．若a v ＝2e v ，向量b v 和向量a v 方向相反，且|b v |＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ） A ．|a v|＝2 B ．|b v|＝4C ．b v＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v ＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v＝-12b v，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．20．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r r D ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r=2c b rr，=3c r，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．。
高中数学向量专题测试题附答案解析
高中数学向量专项练习一、选择题1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-若(2).a b b -⊥则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+++的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．84．已知向量(1,1)a =-，(1,)b m =，若(2)4a b a -⋅=，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．设向量(12)a =-，,(1)b m =，，若向量a 与b 平行，则a b ⋅= A ．27- B ．21- C ．23 D ．256．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．2133AC AB +8．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 （ ）．A ．6B ．12C ．24D ．48 9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→→=+=+若()()m n m n →→→→+⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,6-D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,3 13．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为A ． 1B ．2C ．3D ．314．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 15．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-16．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A 、1b =B 、a b ⊥C 、1a b ⋅=D 、()4C a b +⊥B 17．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ）A 、232a -B 、234a -C 、234aD 、232a18．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( ) A ．1313- B ．1313 C ．21313- D ．2131319．已知向量a =（1，3），b =（-2，-6），|c |=，若（a +b ）·c =5，则a与c 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 20．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为A ．-1B ．7C ．13D ．1121．如图，平行四边形ABCD 中，)2,3(),0,2(-==AD AB ，则=⋅AC BD （ ）4-409A ．6-B ．4C ．9D ．13 22．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)--23．在△ABC 中，角A 为钝角，3,1==AC AB ，AD 为BC 边上的高，已知=AD xAB yAC +，则x 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（ ） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2) 25．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=A ． （5,7）B ． （5,9）C ． （3,7）D ． （3,9） 26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ） A ．－1 B ．2或－1 C ．2 D ．－227．在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133c b -D ．2233b c +28．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(3,6)- B ．(2,0) C ．(6,2) D ．(2,0)- 29．在矩形ABCD 中，4,2,AB AD ==则BA BD BC ++=（ ）A ．12B ．6C ．．30．已知向量(1,2)a = ,(3,1)b = ,则b a -=（ ）． A ．(2,1)- B ．(2,1)- C ．(2,0)D ．(4,3)31．若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （ ）A．21B ．1C ．2D ．2±32．设,,a b c 是单位向量，且0,a b ⋅=则()()a c b c -⋅-的最小值是（ ） A ．12- B ．21- C ．13- D ．31-33．如图所示，D 是ABC 的边AB 上的中点，记,BC a BA c ==，，则向量DC （ ）A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c - D ．12a c +34．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于 （ ）A ．0B ．4C ．8D ．4- 35．已知平面向量b a 与的夹角为3π，1,223,b a b a =+==且则（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．336．已知向量()()3,4,sin ,cos ,a b αα==且a 与b 共线，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 二、填空题37．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝_____________. 38．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 39．空间四边形OABC 中，OB OC =，60AOB AOC ∠=∠=︒，则cos ,OA BC <>=（ ）A ．21 B ．22 C ．12- D ．040．已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是 ．41．化简：= ．42．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cosb C a Bc B =-，，则的面积为．43．已知向量=（1，2），•=10，|+|=5，则||= ．44．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD =+，则x y += ．45．若|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为________。
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2011级数学周测六
时间：50分钟 总分：70分
一、选择题（每题5分，共30分）
134,a b =-=
已知向量（），（2，x ）,
a b a c ⊥
c=(2,y)且//,b c
则与的夹角为（）
A. 30o
B. 45o
C. 60o D . 90o
2、抛物线2
2y x a = 按平移，得到抛物线
2
21222-y x x a =+ ，则等于（ ）
A. (-3,-4)
B. (3,4)
C. (-3,4)
D. (3,-4)
3
、2
2
2
tan .ABC a c b B ∆+-=中，若（）
则B 等于（ ） A. 30o B. 60o C. 30o 或150o D. 60o 或120o
4、ABC a ∆中，、b 、c 成等比数列，c=2a.
则cosB 的值为（ ） A.
14 B. 34 C.
D.
5
、ABC a ∆已知的三边是、b
则ABC ∆的最大角是（ ）
A. 60o
B. 120o
C. 135o
D. 150o
6、将sin (0)y x ωω=>的图象按向量π6a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，0平移，平移后所得图象如图所示，
则平移后所得图象的解析式为（ ）
A ．πsin 6y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．πsin 6y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．πsin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭
D ．πsin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
二、填空题（每小题5分，共20分）
7、0,a b θθ==
向量（1），（cos ，sin ）,
22-|a-b |ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，则 的取值范围是
．
8、3==ABC a ∆已知的三边，b 5，c=6.
ABC ∆则的面积是 ．
9
、120.o
ABC b c B ∆===中， 则a= ． 10、ABC ∆中，已知acosA+bcosB=ccosC ，
ABC ∆则是 三角形.
班别：______ 姓名_________
8、_____________________
9、_____________________
10、____________________
三、解答题（每小题10分，共20分） 11、2=ABC a ∆在锐角中，bsinA.
B ==a （1）求角大小；（2）若c 5，求b.
12、630,.o
ABC a b A ∆===中， 解三角形.。