2019版高考数学二轮复习 专题三 三角 2.3.3 三角大题课件 文

B,c=2Rsin C.其中 R 是△ABC 外接圆的半径.
(2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 的变形为 cos A=������2+2������������2������-������2.当
b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角 A 为锐角(直角,钝角).
3.三个等价关系:在△ABC 中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.
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考向一 考向二 考向三 考向四
解: (1)在△ABC 中,由正弦定理si���n��������� = si���n���������,可得 bsin A=asin B.又由
bsin A=acos
������-
π 6
,得 asin B=acos
������-
π 6
,即 sin B=cos
(1)若 sin∠BAC=14,求 sin∠BCA; (2)若 AD=3AC,求 AC.
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考向一 考向二 考向三 考向四
解:
(1)由正弦定理得,sin���∠���������������������������
=
sin���∠���������������������������,即
3
所以 cos∠ADB=
1-
2 25
=
523.
(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB= 52. 在△BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠
BDC=25+8-2×5×2 2 × 52=25.
所以 BC=5.
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解题心得在三角形中,已知两角一边能应用正弦定理求其余的边; 已知两边及其夹角求夹角的对边或已知两边及一边的对角求另一 边都能直接利用余弦定理来解决.
=12-8cos2A-4
2cos������-
1 2
2
=-16cos2A+4 2cos A+11
=-16
cos������-
2 8
2 + 223.
∵2( 2-1)<BD<4,
∴12-8 2<BD2<16,
∴12-8 2<12-8 2cos A<16,
解得- 2<cos A<1,
4
∴当
cos
A=
2 8
∵A∈(0,π),∴A=23π.
(2)由(1)知 B=C=π6,在△BCD 中,∠BDC=34π,∠BCD=π6. 又 BC=2 3,
故由正弦定理得s2in334π = s���i���n������π6,
∴BD= 6.
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利用正、余弦定理解四边形
例 3(2018 广东佛山二模,理 17)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB= 2,BC= 3,AB⊥AD,AC⊥CD.
因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=1t+atna2n���2���-���t���atann(���(������+���+���������)���)=-121.
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解题心得解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为 同,目的是消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异 角、异次化为同名、同角、同次;如在三角函数求值中,把未知角 用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角;对于三角函 数式中既有正弦、余弦函数又有正切函数,化简方法是切化弦,或 者弦化切,目的是化异为同.
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解: (1)在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=12-8 2cos A; 在△BCD 中,BD2=BC2+CD2-2×BC×CD×cos C=8-8cos C, 所以 12-8 2cos A=8-8cos C, 整理得: 2cos A-cos C=12.
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(2)由题意������12= 12AB×AD×sin A 2=8sin2A,������22= 12CB×CD×sin C
2=4sin2C.
������12 + ������22=8sin2A+4sin2C=8(1-cos2A)+4(1-cos2C)=12-8cos2A-4cos2C
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考向一 考向二 考向三 考向四
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对点训练 2(2018 山东济宁一模,文 17)在△ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,a= 3b,且 sin B=sin C.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=2 3,角 B 的平分线交 AC 于点 D,求线段 BD 的长度.
(2)因为 α,β 为锐角,所以 α+β∈(0,π).又因为 cos(α+β)=- 55,所以
sin(α+β)= 1-cos2(������ + ������) = 255,
因此 tan(α+β)=-2.
因为 tan α=43, 所以 tan 2α=12-ttaann2������������=-274,
正、余弦定 理,勾股定理, 面积公式
解三 角形
等价转 换
已知三角形角平分 线及边与线段关系 求两角正弦之比;已 知一角求另一角
正弦定理,内 角关系,和角 公式
解三 等价转 角形 换
3
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年份 卷别 设问特点
2016 没有考查 2017 没有考查 2018 没有考查
涉及知识点
题目 类型
解题思想 方法
-
3 5
,-
4 5
,得 sin α=-45,
所以 sin(α+π)=-sin α=45.
(2)由角 α 的终边过点 P
-
3 5
,
-
4 5
,得 cos α=-35,由 sin(α+β)=153,
得 cos(α+β)=±1123.
由 β=(α+β)-α,得 cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
2A=2sin Acos A=473,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin
2Acos
B-cos
2Asin
B=473
×
1 2
−
1 7
×
3 2
=
3143.
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解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可直接将等式两边的边化为角;也
考向一 考向二 考向三 考向四
解: (1)在△ABD 中,由正弦定理得si���n������∠��������� = sin∠������������������������������. 由题设知,sin455° = sin∠2������������������, 所以 sin∠ADB= 52. 由题设知,∠ADB<90°,
������-
π 6
,可得
tan B= 3.又因为 B∈(0,π),所以 B=π3.
(2)在△ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=π3,有 b2=a2+c2-2accos
B=7,故 b= 7.
由 bsin A=acos
������-
π 6
,可得 sin A=
37.因为 a<c,故 cos A= 27.因此 sin
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考向一 考向二 考向三 考向四
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解: (1)由 sin B=sin C 及正弦定理知 b=c.
又 a= 3b,由余弦定理得 cos A=������2+2������������2������-������2 = ������2+2���������2���2-3������2=-12.
1
=
sin∠2������������������,
4
解得 sin∠BCA=126.
(2)设 AC=x,AD=3x,在 Rt△ACD 中,CD= ������������2-������������2=2 2x,
∴sin∠CAD=������������������������ = 232.
在△ABC 中,由余弦定理得 cos∠BAC=������������22+·������������������������·2������-������������������2 = 2������22-1������,
所以 cos β=-5665或 cos β=1665.
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考向一 考向二 考向三2(2018全国卷1,理17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2 2 ,求BC.
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对点训练 3(2018 湖南衡阳一模,文 17)如图,在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=BC=CD=2,AD=2 2.
(1)求 2cos A-cos C 的值; (2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是 S1 与 S2,求������12 + ������22的最大值.
①
由于∠BAC+∠CAD=90°,
∴cos∠BAC=sin∠CAD.