江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学试卷-数学
数学-江苏省南通市2023届高三上学期期末模拟数学试题(解析版)
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值法求 的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得 的值有周期性，即可求得 的值，判断D.
【详解】对于A，令 ，则由 可得 ，
故 或 ，故A错误；
对于B,当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
【详解】直线 过抛物线焦点 ，设 ， ，
则 ， ， ， ，
，A错误；
中点坐标为 ， ， ，
圆方程为： ，取 得到 ， ，B正确；
不妨取 ， ，
故 ， 不共线，故 是钝角，C正确；
， ，
，D正确；
故选：BCD
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，对任意的 ， ，恒有 ，则下列说法正确的有（）
A. B. 必为奇函数
上两式相加得： ，
故有： ，
在 中由正弦定理得： ，
因此 ， .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（）
A.若随机变量 服从两点分布， ，则
B.若随机变量 的方差 ，则
D选项： ， ，D选项错误；
故选：BC
11.设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（）
A. B.
C. 是钝角D. 的面积小于 的面积
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算 ，A错误；计算圆方程为： ，计算得到B正确；计算 ，得到C正确； ， ，D正确；得到答案.
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
南通、泰州、扬州2012届高三第一次调研测试 数学试题
a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. （2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22log y x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 311=， 33129+=，By1A 2OBCF 1F 2Dxy (第13题)33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭 圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.A（第16题）BCDD 1C 1B 1A 12Cy..16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： （1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲AE BCDO·（第21－A 题）（本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）F B xyO ACD M N（第23题）a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 答案：22． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，OBDCy x（第9题）11 A 2O BCF 1F 2Dxy (第13题)面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b =．从而2s iAC B =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M整理得a c =，即1a c=. …………………………………………………………………7分 （2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4s AC A C=-， ………………………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠， 所以t a taA C =-．………………………………………………………………………14分 16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以B ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ， 所以1AA ⊥.…………………………………………………………………………7分（2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD平面11D D CC D D=，……………………11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；……………………………………………2分 B组活动所需时间12001002()5252g x x x⨯==--．……………………………………………4分xyO1C 2CC1l2l令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l的方程为43x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-． 化简得30x y +-=，即动圆圆心C在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得31223 222x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，；或31223 2 2.2x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ………………………………6分（2）当a ≤时，()s i n f x x x a x x=+≥≥恒成立．………………………………………8分当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2(2a g -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α；AE BCDO ·（第21－A 题）2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以12ααα==，不妨记12αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是()(32)1133211k k k a a a αα----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a αααα------====，()1313233339111k k k k k a a a t a a αααα----====， 所以()131n n a a α-=，故{na }为等比数列．……………………………………………16分南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠= ．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠ ．而60ABD ∠= ，故30C BDC ∠==∠ ．所以3DB BC ==． 在△O中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分代入直线y kx =，得x ky ''=． 将点(P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()co s 1ρθπ+=4化成普通方程为20x y --=． ……………………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．…………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥ 327abc =⋅ 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． （1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………4分②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，F BxyO ACD M N（第23题）所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x'=．所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M Nx x =，即MN⊥x轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB过定点(1 0)-，．………………………………………………………………10分。
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。
2024-2025学年江苏省南通市高三(上)调研数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A，B，若A={−1,1}，A∪B={−1,0,1}，则一定有( )A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B=⌀D. 0∈B2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.函数f(x)=(e x+e−x)sinx−2x在区间[−2,2]的大致图象为( )A. B. C. D.4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB. 若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥αC. 若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m5.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=2，A1A与平面ABC所成角为π4，则该三棱台的体积为( )A. 523B. 283C. 143D. 736.设a=2π，b=log2π，c=π，则( )A. c<b<aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c7.若函数f(x)={log2(x+1),−1<x≤3x+ax,x>3，在(−1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A. [−3,9]B. [−3,+∞)C. [0,9]D. (−∞,9]8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为4的是( )A. y=lnx+4lnxB. y=2x+22−xC. y=4|sinx|+1|sinx|D. y=x2+5x2+110.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)−f(x)=f(1)，则( )A. f(1)=0B. f(1−x)+f(1+x)=0C. f(1+2x)=f(1−2x)D. ∑20i=1f(i)=1011.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则( )A. MN//平面ADD1A1B. MN⊥AC1C. 直线MN与平面AA1C1C所成角为π4D. 平面MND1经过棱A1B1的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
数学-南通市通州区2012届高三重点热点专项检测(数学)
2012届通州区高三重点热点专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．已知集合{1,cos }A θ=，1{0,,1}2B =，若A B ⊆，则锐角θ= ▲ ．2．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为 纯 虚 数，则 实 数 a 的 值为 ▲ ．3．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ ．4．命题p ：函数tan y x =在R 上单调递增，命题q ：A B C ∆中，A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件，则p q ∨是 ▲ 命题．（填“真”“假”）5．平面向量a与b的夹角为120︒，(0,2)a = ，||1b =，则a b +=▲ ．6．执行如图的程序框图，若输出5n =，则整数p 的最小值是 ▲ ． 7．设231,0()27,0x x x f x x x ⎧--=⎨-+<⎩≥，若()3f a >，则实数a的取值范围是 ▲ ． 8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少▲个单位，可得一个偶函数的图像． 9．设函数1()1f x x b=+-，若,,a b c成等差数列（公差不为零），则()()f a f c += ▲ ．10．设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β． 其中正确命题的序号有 ▲ ．11．在A B C ∆中，3A B A C =，AD 是A ∠的平分线，且AD m AC =，则实数m 的取值范围 是 ▲ ． 12．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为▲ ．13．已知,a b R ∈，1C ：2224250x y x y a +-+-+=与2C ：22(210)2x y b x by +---+2210160b b -+=交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121212120x x y y y y x x -++=-+，则实数b 的值为 ▲ ．14．已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()(0,)102πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．16．（本小题满分14分）已知PA ⊥矩形ABC D所在平面，PA AD ==，E 为线段PD 上一点，G 为线段PC 的中点．（1）当E 为PD 的中点时，求证：BD C E ⊥； （2）当2PE ED=时，求证：BG //平面AEC ．17．（本小题满分14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现 有两个奖励方案的函数模型：（1）2150x y =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．PABCDEG18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为2-焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．19．（本小题满分16分） 函数ln ()a x f x x x=-，其中a 为常数．（1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值．20．（本小题满分16分）数列{}n a 中，11a =，37a =，且11(2)1n n na a n n +-=-≥．（1）求2a 及{}n a 的通项公式；（2）设k a 是{}n a 中的任意一项，是否存在,()r p N r p k *∈>>，使,,k p r a a a 成等比 数列？如存在，试分别写出p 和r 关于k 的一个．．表达式，并给出证明； （3）证明：对一切n N *∈，21176ni ia=<∑．2012届高三重点热点专项检测数学附加题21．本题包括高考A ，B ，C ，D 四个选题中的B ，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—1：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．C ．选修4—4：极坐标与参数方程 将参数方程cos sin ,(sin 2x y θθθθ=+⎧⎨=⎩为参数)化为普通方程．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．由数字1，2，3，4组成五位数12345a a a a a ，从中任取一个．（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数()15j j ≤≤，至少存在另一个正整数(15k k ≤≤，且)k j ≠，使得j k a a =”的概率；（2）记ξ为组成该数的相同数字的个数的最大值，求ξ的概率分布列和数学期望．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．求证：对于任意的正整数n ，(2n +的形式，其中s N *∈.2012届高三重点热点专项检测数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3π 2．833．220 4．真 5．6．8 7．{|0a a <或}4a >8．512π 9．2 10．①②③④ 11．3(0,)212．3413．5314．1}二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）∵a b ⊥，∴sin 2cos 0θθ-=， 又22sin cos 1θθ+=，且(0,)2πθ∈，∴sin 5θ=，cos 5θ=． …………………………6分（2）∵(0,)2πθ∈，(0,)2πϕ∈，∴(,)22ππθϕ-∈-，又sin()10θϕ-=，∴cos()10θϕ-= …………………………10分∴[]cos cos ()ϕθθϕ=--cos cos()sin sin()θθϕθθϕ=-+-25105102=． …………………………14分16．（1）过点E 作EQ AD ⊥于Q ，连结CQ ，则tan 2C D D BC BC∠==tan 2D Q Q C D C D∠==所以DBC QCD ∠=∠，又90QDC BCD ∠=∠=︒， ∴Rt DBC Rt QCD ∆∆ ，则易得BD CQ ⊥． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又//P A EQ ， ∴BD EQ ⊥，又CQ EQ Q = ，∴BD ⊥平面ECQ ， ∴BD C E ⊥. …………………………7分（2）取PE 的中点F ，连接GF ，BF ， ∵G 为PC 的中点， ∴GF //CE ，又G F ⊄平面ACE ，C E ⊂平面ACE ， ∴GF //平面ACE ，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ． ∵E 为DF 的中点， ∴BF //OE ，又BF ⊄平面ACE ，O E ⊂平面ACE ∴BF //平面ACE ，∵F GF BF = ， ∴平面BGF //平面AEC . 又BG BG F ⊂平面，∴BG //平面AEC ． …………………………14分17．解：设奖励函数模型为y ＝f (x )，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件： 当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③1()5f x x ≤恒成立．①对于函数模型()2150x f x =+：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<．所以f (x )≤9恒成立． …………………………3分 因为函数()12150f x x x=+在[10，1000]上是减函数，所以m ax ()121150105f x x ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦．从而1()5f x x ≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分 ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=． 所以f (x )≤9恒成立． …………………………9分设g (x )＝4lg x －35x -，则4lg 1()5e g x x'=-.当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x--'=-=<≤，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0， 所以4lg x －35x -＜0，即4lg x －3＜5x ，所以1()5f x x ≤恒成立．故该函数模型符合公司要求． …………………………14分18．解：（1）由题意知22a c a c b c⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22142xy+=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621kx x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线M N 的斜率存在时，设直线M N 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N mx x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N my y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+ 222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++．因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈-- ．当过点Q 直线M N 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得2M，(1,2N -． 此时12OM ON ⋅=- ．所以OM ON ⋅ 的取值范围是1[4,]2--．…………………………16分19．解：（1）令ln 0x =，得1x =，且(1)1f =，∴函数()y f x =图像恒过定点(1,1)． …………………………2分 （2）当1a =时，ln ()x f x x x=-，∴21ln ()1x f x x-'=-，即22ln 1()x x f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =．∴min ()(1)1f x f ==∵()20f x b +≤在(0,x ∈+∞）上有解，∴min 2()b f x -≥，即21b -≥，∴实数b 的取值范围为1(,]2-∞-．…………………9分 （3）2ln ()1a a xf x x-'=-，即22ln ()x a x af x x+-'=，令2()ln g x x a x a =+-，由题意可知，对任意[,0)a m ∈，()f x '≥0在(0,)x ∈+∞恒成立， 即2()ln 0h x x a x a =+-≥在(0,)x ∈+∞恒成立．∵22()2a x ah x x x x+'=+=，令()0h x '=，得x =列表如下：∴h ∴m 的最小值为32e -． …………………16分 20．解：（1）23211a a -=，故24a =． …………………1分2n ≥时，1111()111n n n a a a n nn n n n+-==-----∴1111n n aa n n +--=-，∴11n a n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为常数列． ………………………4分∴141121na n --=--，所以32(2)n a n n =-≥．又11a =也满足上式，∴{}n a 的通项公式为32()n a n n N *=-∈． ………………………6分（2）当42p k =-，1610r k =-时满足,,k p r a a a 成等比数列． 证明如下：424(32)p k a a k -==-，161016(32)r k a a k -==-，显然,,k p r a a a 成等比数列． …………………………10分 （3）证明：2k ≥时，22111111()(32)(34)(31)33431ka k k k k k =<=------， …………………12分∴当2n ≥时，221211111111111325583431n ni i iiaa n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑1117132316n ⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭． …………………………15分又1n =时，211716a =<，∴对一切n N *∈，21176ni ia =<∑． …………………16分附加题参考答案21B ．解：设矩阵ab A cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100ab c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②， …6分 由①②得1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,, ……………8分解得2101a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………10分 21C ．解：cos sin (1)sin 2(2)x y θθθ=+⎧⎨=⎩，将(1)式平方得21sin 2(3)x θ=+，将（2）式代入（3）式得21x y =+， ……………8分所以所求的普通方程为21(y x x =-≤. ……………10分 22．解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数12345a a a a a 共有54个数，满足条件的数分为 两类：①只有一个数组成共有4个；②由两个数字组成，共有22452120C C ⋅⋅=个， ∴所求的概率为5124314256p ==. ……………4分（2） ξ的可能取值为2,3,4,5， 则1332124543545150(2)4256C A C C C C P ξ⋅+⋅⋅⋅===，312545390(3)4256C C P ξ⋅⋅===， 411543515(4)4256C C C P ξ⋅⋅===，541(5)4256P ξ===. ……………6分∴ξ的分布为：∴6352(2)3(3)4(4)5(5)256E P P P P ξξξξξ=⋅=+⋅=+⋅=+⋅==. ……………9分答：ξ的数学期望为635256． ……………10分23．解：由二项式定理可知，121122(22222nnnn n n n n n n C C C C --+=++++ ,设(2n x +=+=，而若有(2n +=+,a b N *∈，则(2n -=,a b N *∈， …………………6分∵(2(21n n ⋅=+⋅-=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-． …………………9分∴(2n +必可表示成s N *∈． …………………10分 注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．。
南通市2012届高三第一学期期末调研测试详解
2012届高三自主检测语文Ⅰ试题（2月25日）一、语言文字运用（15分）1.下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．．的一组是（3分）（▲）A.参．差/疑信参．半调．试/色彩调．和钥．匙/两京锁钥．B.隽．秀/意味隽．永芳菲．/妄自菲．薄道行．/风行．水上C.拾．掇/拾．级而上封禅．/谈禅．论道解．嘲/解．甲归田D.校．勘/校．短量长脊椎．/椎．心泣血蹊．跷/独辟蹊．径1.（3分）B (jùn/juàn、fēi/fěi、hãng/xíng A.cēn/cān、tiáo、yào/yuâ C.shí/shâ、shàn/chán、jiě D.jiào、zhuī/chuí、qī/xī)2.下列各句中，加点的成语使用恰当．．的一句是（3分）（▲）A.中国电影如今已迈入所谓的大片时代，明星片酬的飞涨、外国团队的加盟、3D技术的普及，使得影片制作成本突飞猛进．．．．。
B.24日，济南市泉城路新华书店举办了乔布斯唯一授权的传记——《史蒂夫·乔布斯传》首发式，现场人满．．，气氛异常火爆。
．．为患C.自从“百家讲坛”问世以来，观众对它的评论一直没有间断。
有的评论见解深刻，语言犀利，真可谓难得的空谷足音．．．．。
D.横亘在我国西北部新疆和青海间的昆仑山有着“万山之祖”的美誉，它高耸挺拔，龙飞凤．．．舞．，生态环境独特，自然景色壮观。
2.（3分）D（龙飞凤舞：多形容书法笔势有力，舒展活泼；也形容山势蜿蜒雄壮。
A.突飞猛进：形容事业、学问等进展非常迅速。
用错对象。
B.人满为患：因人多造成的困难，强调人多的坏处。
犯“贬词褒用”的错误。
C.空谷足音：指在寂静的山谷里听到脚步声，比喻极难得到的音信、言论或来访。
犯“语意重复”的错误）3.下面是一段介绍微信的文字，请概括其四个方面的特点。
（每点不超过6个字）（4分）微信是腾讯公司于2011年初推出的一款新型手机聊天软件。
1 南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线21x y =-相切”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数18011522Y开始 1i ←360i G ≥i i N G 打印， 1i i ←+N50i >N10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（03a <<）．DC '（1）若32a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）D如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6； 6. 2b =-； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. 4327； 11. 737322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，； 12. 12； 13. 12； 14.3． 答案解析1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5； 2. 3z z z =⋅=；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 易得12b =，且0b <，即2b =-；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k =，则t a n B k =，tan 3C k =，且0k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=4； 9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积()22422112326x V x x x =-=-，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max 4327V =；法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当33t =时，max 239y =，此时max 4327V =；11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，u u r u u u r u u u r△ABC 中，由余弦定理得3AB =uu u r ， 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ，且72OM =，故12737322c OC OC ⎡⎤-+⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，uuu r uuu u r ； 12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13. 易得22211144442ab h a b a b a b b a b a==++⋅≤≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）； 14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a k x ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+， 故22222222221111a k a k AB k AC a k a k k =⋅+=⋅+++，， 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t t∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或329716a +=（舍去），所以3a =．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．O AB2CM1C （第11题图）（1）易得()2221()sin 3sin 2sin cos 2f x x x x x =++-1cos213sin 2cos222x x x -=+-13s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分） 所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分） （2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()015πcos 264x -=，（11分） 此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-315114242=-⨯+⨯1538-=．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得32C O CO '==，而32CC '=，所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，， 解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），（第16题图） DC 'A B CO E所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为()325625--+，、()325625-+-，，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验()325625D -+-，适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x xf x x x⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c 为常数. 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-，y x11-22-O （第19题图）2 2-所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c 均小于3．假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④，x(21)--, 1-(11)-,1(12), y '-0 + 0 -y↘ 极小值2-↗极大值2↘④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=233， 所以BC 233=．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分） 当且仅当12313a a a ===时等号成立， 所以1239111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，则（）A.BA ⊆ B.AB ⊆ C.ϕ=B A D.B ∈02.已知命题11,>+∈∀x R x p ：；命题x x x q =>∃3,0：，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.函数()()x x ee xf xx2sin -+=-在区间[]2,2-的大致图象为（）4.设α是空间中的一个平面，n m l ,,是三条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若n l n m ⊥⊥⊂，，αα，则m l ∥B.若m l ∥，n m ∥，α⊥l ，则α⊥nC.若m l ∥，α⊥m ，α⊥n ，则n l ⊥D.若n l m l n m ⊥⊥⊂⊂，，，αα，则α⊥l 5.在正三棱台111C B A ABC -中，2411==B A AB ，，A A 1与平面ABC 所成角为4π，则该三棱台的体积为（）A.352 B.328 C.314 D.376.设π2=a ，π2log =b ，π=c ，则（）A.ab c << B.ac b >> C.bc a >> D.cb a >>7.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+<<-+=3,31,1log 2x x ax x x x f ，在()∞+-，1上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[]93，- B.[)∞+-，3 C.[]9,0 D.(]9，∞-8.设函数()()x b ax x x f ln 2++=，若()0≥x f ，则a 的最小值为（）A.2- B.1- C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中最小值为4的是（）A.xx y ln 4ln += B.xxy -+=222C.xx y sin 1sin 4+= D.1522++=x x y 10.定义在R 上的偶函数()x f ，满足()()()12f x f x f =-+，则（）A.()01=f B.()()011=++-x f x f C.()()x f x f 2121-=+ D.()10201=∑=i i f 11.在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为B A AC 1,的中点，则（）A.∥MN 平面11A ADD B.1AC MN ⊥C.直线MN 与平面C C AA 11所成角为4πD.平面1MND 经过棱11B A 的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“0>xy ”是“y x y x +=+”的.（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为.14.已知ba323+=，则b a -2的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，F E D ,,分别为B B BC AB 1,,的中点.（1）证明：∥11C A 平面DE B 1；（2）若1=AB ，AC AB ⊥，F A D B 11⊥，求点E 到平面11FC A 的距离.16.（本小题满分15分）已知函数()xxx f +-=11log 2.（1）判断并证明()x f 的奇偶性；（2）若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈31,31x ，[]2,2-∈t ，不等式()62-+≥at t x f 恒成立，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为菱形，⊥PB 平面ABCD .（1）证明：平面⊥P AC 平面PBD ；（2）若PC P A ⊥，二面角C BP A --的大小为120°，求PC 与BD 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）设函数()cx bx ae x f x++=2.（1）若1=a ，1-==c b ，求证：()x f 有零点；（2）若0=a ，1-=b ，是否存在正整数n m ,，使得不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，若存在，求n m ,；若不存在，说明理由.（3）若0≠b ，非空集合(){}()(){}00=∈==∈x f f R x x f R x ，求c a +的取值范围.19.（本小题满分17分）已知有限集{}()N n n a a a A n ∈≥=,2,,,21 ，若n n a a a a a a 2121=+++，则称A 为“完全集”.（1）判断结合{}222,1221+---，，是否为“完全集”，并说明理由；（2）若集合{}b a ,为“完全集”，且b a ,均大于0，证明：b a ,中至少有一个大于2；（3）若A 为“完全集”，且*N A ⊆，求A .参考答案一、单选题1.D 解析：∵{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，∴B ∈0.2.B解析：命题p ：0=x 时，11=+x ，假命题；命题q ：0=x 或1或1-，真命题，则p ⌝和q 都是真命题.3.C解析：()x f 为奇函数，图象关于原点对称，排除AB，2π=x 时，0222>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππe e f ，排除D，故选C.4.B解析：αα⊥⊂n m ，，则n m ⊥，又n l ⊥，m 与l 可能相交，A 错.m l ∥，n m ∥，则n l ∥，α⊥l ，则α⊥n ，B 正确.5.C解析：延长111CC BB AA ，，交于S 点，1AA 与平面ABC 所成角为SAO ∠，∴SO AO =，而3344233232=⋅⋅==AD AO ，3321=OO ,34234421=⨯⨯⨯=∆ABC S ，3232221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，()3143323233431=⨯++⨯=V .6.C解析：22>=πa ，()2,1log 2∈=πb ，()2,1∈=πc ，a 最大.设()x x x f ln =，则()2ln 1xxx f -='，令()0='x f ，解得e x =，∴()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∵e <<2π，∴()()2f f <π，即22ln ln <ππ，即22ln 2ln <ππ，∴2ln ln <ππ∴ππ<2ln ln ，即ππ<2log ，即c b <，∴b c a >>.7.A解析：∵()x f 在()∞+，3上单调递增，∴()012≥-='x ax f 在()∞+，3上恒成立，∴9≤a ，∵()x f 在()∞+-，1上单调递增，∴()3313log 2a+≤+，∴3-≥a ，综上，a 的取值范围是[]93，-.8.B解析：∵()0≥x f 恒成立，则1是02=++b ax x 的根，即01=++b a ，∴ab --=1则()()()()x a x x x b ax x x f ln 11ln 2++-=++=,∵01≥++a x ，∴01≥+a ，即1-≥a ，∴a 的最小值为1-.二、选择题9.BCD解析：选项A，()1,0∈x 时，0ln 4ln <+=xx y ，A 错误；选项B，4222222=≥+=-xxy ，当且仅当x x -=222，即1=x 时“=”成立.B 正确；选项C，242sin 1sin 4=≥+=x x y ，当且仅当xx sin 1sin 4=，即21sin ±=x 时“=”成立，C 正确；选项D，4421411412222=≥+++=+++=x x x x y ，当且仅当14122+=+x x ，即32=x 时“=”成立.D 正确.10.AC解析：当1-=x 时，()()()111f f f =---，∴()()011==-f f ，A 正确；∴()()02=-+x f x f ，即()()x f x f -=+2，即()x f 关于1=x 对称，则()()x f x f +=-11，∴B 错，C 对；()()x f x f =+2，则()x f 的周期为2，无法判断()0f 的值，()10201=∑=i i f 的值无法判断，故D 错.11.ABD解析：∵M 分别为AC 的中点，∴M 也是BD 中点，又N 分别为B A 1的中点，∴MN 为D BA 1∆的中位线，则D A MN 1∥，又⊂D A 1平面11A ADD ,⊄MN 平面11A ADD ,∴∥MN 平面11A ADD ，故A 正确；如图建系，设正方体的边长为1，则()()11000,11，，，，C A ,()()0001011，，，，，D A∴()1111，，-=AC ,()1011--=，，D A ，∴011=⋅AC D A ,即11AC D A ⊥,∴1AC MN ⊥，B 正确；平面C C AA 11的垂线为BD ，而D A 1与BD 所成角为3π，∴直线MN 与平面C C AA 11所成角为6π，C 错误；()10021,2110,21,211，，，，，D N M ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=210,21，MN ，⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,11N D ,设平面1MND 的法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅02121021211c b a N D n c a MN n，不妨设1=a ，则1,3-=-=c b ，∴()1,3,1--=n，11B A 靠近1A 的三等分点⎪⎭⎫ ⎝⎛1311，，P ，则⎪⎭⎫⎝⎛=0,3111，P D ,∴01=⋅n P D ，∈P 平面1MND ，D 正确.三、填空题12.充分不必要解析：∵0>xy ，∴y x ，同号，∴y x y x +=+，∴是充分条件，由y x y x +=+，则0≥xy ，∴是不必要条件，∴“0>xy ”是“y x y x +=+”的充分不必要条件.13.π3解析：球的直径为2，半径为1，设圆柱底面圆半径为r ，∴1412=+r ，∴23=r ，∴ππ312=⋅=r S 侧.14.8log 3解析：方法一：()ba 32log 3+=,∴()()b b b a bb-+⋅=-+=-3ln 32ln 232log 223，令()()x x f x-+⋅=32ln 3ln 2，则()23233232321323ln 33ln 2+-=+--⋅=-+⋅⋅='xx xx x x x x f ，令()0='x f ，解得2log 3=x ，∴()x f 在()2log 3，∞-上单调递减，在()∞+，2log 3上单调递增，∴()()8log 2log 4ln 3ln 22log 333=-⋅=≥f x f .方法二：由bba322323⋅≥+=可得：b a3832⋅≥，可得832≥-ba ，∴8log 23≥-b a ，当且仅当2log 3=b ，4log 3=a 时“=”成立.∴b a -2的最小值为8log 3.四、解答题15.解：（1）证明：∵E D ,分别为BC AB ,的中点，∴AC DE ∥.又∵11C A AC ∥，∴DE C A ∥11，∵⊄11C A 平面DE B 1，⊂DE 平面DE B 1，∴∥11C A 平面DE B 1.（2）法一：设O D B F A =11 ，∵F A D B 11⊥，∴︒=∠+∠9021，又∵︒=∠+∠9032，∴31∠=∠，又∵︒=∠=∠90111BD B F B A ，∴BD B F B A 111~∆∆，设m BF F B ==1，∴2121mm =，∴21=m ，∵∥DE 平面11FC A ，∴点D 到平面11FC A 的距离即为点E 到平面11FC A 的距离，由AB AC ⊥，A A AC 1⊥，A A A AB =1 ，∴⊥AC 平面AB A 1，∴DO AC ⊥，即11C A DO ⊥，又∵F A DO 1⊥，∴⊥DO 平面11FC A ，且254111=+=DB ，5525211==OB ，∴1053=OD ，即点E 到平面11FC A 的距离为1053.法二：建立如图所示空间直角坐标系，设m BF =，∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0212,0,1,0,12,0,011，，，，D m B m F m A ，∴()m F A m D B -=⎪⎭⎫⎝⎛--=,0,12,0,2111，，∴0221211=+-=⋅m F A D B ，解得21=m .设n AC =，∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2,21,1,021011,0,011n E n C F A ，，，，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,,1210111n FC F A ，，，，设平面11FC A 的一个法向量()z y x n ,,=，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-021021z ny x z x ，∴()2,0,1=n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,2,211n E A ，∴点E 到平面11FC A的距离1053523===d .16.解：（1）由对数函数的定义可得011>+-xx，即()()011<+-x x ，∴11<<-x ，∴函数()x f 的定义域为()1,1-，关于原点对称，∵()()01log 11log 11log 222==+-+-+=+-xxx x x f x f ，∴()()x f x f -=-，∴()x f 为奇函数.（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++-=x x x x f 121log 121log 22，由复合函数的单调性可知，()x f 在⎦⎤⎢⎣⎡-31,31上单调递减，由题意知()()max 2min 6-+≥at t x f ，∴()1316max2-=⎪⎭⎫⎝⎛≤-+f at t.法一：由162-≤-+at t 在[]2,2-∈t 上恒成立，可得052≤-+at t 恒成立，令()52-+=at t t g ，只需()()⎩⎨⎧≤-+=≤--=-0524205242a g a g ，解得2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.法二：当0=t 时，16-≤-显然成立；当[)0,2-∈t 时，25t at -≤，即215max-=⎪⎭⎫⎝⎛-≥t t a ；当(]2,0∈t 时，25t at -≤，即215min =⎪⎭⎫⎝⎛-≤t t a ；∴2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.17.解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，又∵⊥PB 平面ABCD ，∴AC PB ⊥，又B PB BD = ，∴⊥AC 平面PBD ，又∵⊂AC 平面P AC ，∴平面⊥P AC 平面PBD .（2）∵⊥PB 平面ABCD ，∴AB PB ⊥，BC PB ⊥，∴ABC ∠即为二面角C BP A --的平面角，即︒=∠120ABC ，建立如图所示空间直角坐标系，设m PB BC AB ===，2，由222AC PC P A =+，∴124422=+++m m ，解得2=m ，∴()()()()0,31000002200，，，，，，，，，，D B C P ，∴()()0,31202，，，，=-=BD PC ，设PC 与BD 所成角为θ，∴66262cos =⨯==θ.∴PC 与BD 所成角的余弦值为66.18.解：（1）当1=a ，1-==c b 时，()x x e x f x --=2，∵()0222<-=--e f ，()ef 11=-，且()x f 在R 上连续，由零点存在定理知，()x f 在()12--，上存在零点.（2）当0=a ，1-=b 时，()cx x x f +-=2，不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，由图知m c cx x =-+-2的两根为n m ,，且442--≥c c n ，即02=++-c m cx x 的两根为n m ,，∴⎩⎨⎧+==+cm mn c n m ，∴mn n m =+2，即121=+n m ，∴2,1>>n m ，∴()()222=---n n m ，即()()221=--n m ，由n m <知⎩⎨⎧=-=-2211n m ，解得⎩⎨⎧==42n m ，此时6=c ，且满足442--≥c c n ，∴存在4,2==n m 符合题意.（3）由题意知()0=x f 的根均为()()0=x f f 的根，设0x 为()0=x f 的一个根，即()00=x f ，∴()()00=x f f ，∴()00=f ，∴0=a ，∴()()c bx x cx bx x f +=+=2，∴()()()()()()[]()()c bcx x b x f c x bf x f x cf x bfx f f ++=+=+=222，令()c bcx x b x g ++=22，当0=c 时，()0=x f 的两根b c x x -==21,0，而()00≠g ，022≠=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c c c c b c g ，∴必有()x g 中04222<-=∆c b c b ，∴40<<c ，综上40<≤c .∴[)4,0∈=+c c a ，即c a +的取值范围为[)4,0.19.解：（1）∵()()()2222212212221221=+⨯-⨯-⨯-=++-+--，∴{}222,1221+---，，为“完全集”.（2）∵集合{}b a ,为“完全集”，∴ab b a =+，0,>b a ，∴ab b a ab 2≥+=，∴4≥ab ，∵b a ≠，∴4>ab .假设2,0≤<b a ，则40≤<ab ，这与4>ab 矛盾，故b a ,中至少有一个大于2.（3）若2=n ，设{}b a A ,=，∵A 为完全集，∴ab b a =+，且*,N b a ∈，b a ≠，由()()111=---b b a ，∴()()111=--b a ，∴⎩⎨⎧=-=-1111b a ，解得2==b a ，这与b a ≠矛盾，舍去.若3=n ，设{}c b a A ,,=，∵A 为完全集，∴abc c b a =++，且*,N c b a ∈，，c b a ≠≠，不妨设c b a <<，∴c abc 3<，∴3<ab ，故2,1==b a ，∴c c 23=+，∴3=c ，∴{}3,2,1=A 符合.若4≥n ，设{}n a a a A ,,,21 =，不妨设n a a a <<< 21，∵A 为完全集，，∴n n n na a a a a a a <=+++ 2121，∴n a a a n <-121 ，①另一方面()()!1121121-=-⋅≥-n n a a a n ，下证：()n n >-!1，4≥n ，∵4≥n 时，()()()022421!12>≥+-=---≥--n n n n n n n ，∴()n n >-!1，这与①矛盾，舍去.综上，{}3,2,1=A .。
江苏省南通市2024届高三第一次适应性调研考试(南通1.5模)数学含答案解析
2023~2024学年第二学期高三阶段性调研测试数学2024.02一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z 满足()1i 1i z +=-，则2024z =（）A.iB.-1C.1D.–i2.已知全集U =R ，集合,A B 满足()A A B ⊆⋂，则下列关系一定正确的是（）A.A B =B.B A⊆ C.()U A B ⋂=∅ð D.()U A B ⋂=∅ð3.若5π5sin 1213α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.119169-B.50169-C.119169D.501694.有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，1A 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，2A 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，3A 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，4A 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件5.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（）A.(25πcmB.(225πcmC.(245πcm+ D.(285πcm6.设数列{}n a 满足1lg 1lg n n a a +=+，且412212223242510a a a a a ++++=，则12345a a a a a ++++=（）A.1C.10D.1007.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有()()0f x f x '->，则“2x <”是“()()4e 1e 23xf x f x +>-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件8.离心率为2的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有相同的焦点F ，过F 的直线与C 的右支相交于,A B 两点.过E 上的一点M 作其准线l 的垂线，垂足为N ，若3MN OF =（O 为坐标原点），且MNF 的面积为.则1ABF （1F 为C 的左焦点）内切圆圆心的横坐标为（）A.14B.4C.2D.12二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆221:1C x y +=，圆2222:(3)(4)(0),,C x y r r P Q -++=>分别是圆1C 与圆2C 上的动点，则（）A.若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B.当5r =时，两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=C.当2r =时，PQ 的取值范围为[]2,8D.当3r =时，过P 点作圆2C 的两条切线，切点分别为,A B ，则APB ∠不可能等于π210.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且123(),(),()234P A P B P A B ==+=，则（）A.1()12P AB =B.1(3P AB =C.1()6P BA =∣ D.3()8P AB =∣11.已知正四面体O ABC -的棱长为3，下列说法正确的是（）A.平面OAB 与平面ABC 夹角的余弦值为13B.若点P 满足()1OP xOA yOB x y OC =++--，则OP 的最小值为C .在正四面体O ABC -内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为12D.点Q 在ABC 内，且2OQ QA =，则点Q轨迹的长度为π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()522x x y +-的展开式中62x y 的系数为__________（用数字作答）13.某市统计高中学生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值()1,2,3,,100i x i = 经计算10017200ii x==∑，()1002211007236ii x==⨯+∑.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为__________.（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()()220.9545,330.9973P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈.14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3,cos cos ,,a c B b C P Q ===分别在边AB 和CB 上，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，则PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为15，乙部件出现故障的概率为14.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.16.（15分）已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为12,,1,1n n n n S n S T a T n ==+.（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若1*112(2),n b n n c n a a -+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n c 的前n 项和n P .17.（15分）在五棱锥P ABCFE -中，AB ∥,CF AE ∥,,BC PE PF AB BC ⊥⊥，2,4,6PE PF AE FC BC AB ======，平面PEF ⊥平面ABCFE .（1）求证：PE BF ⊥；（2）若(0)PM PB λλ=> ，且直线AM 与平面PCF 所成角的正弦值为21015，求λ的值.18.（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为1,,,2A B O 分别为椭圆C 的左，右顶点和坐标原点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的一动点，PAB 面积的最大值为23.（1）求C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与C 交于,D E 两点，记ODE 的面积为S ，过线段DE 的中点G 作直线4x =的垂线，垂足为N ，设直线,DN EN 的斜率分别为12,k k .①求S 的取值范围；②求证：12Sk k -为定值.19.（17分）若x m =时，函数()f x 取得极大值或极小值，则称m 为函数()f x 的极值点.已知函数()()2ln ,f x x g x ax x a=+=+a 为正实数.（1）若函数()f x 有极值点，求a 的取值范围；（2）当2120,x x x >>和1x 21x x ，算术平均数为212x x +.①判断2121ln ln x x x x --与2x 和1x 的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；②当1a ≥时，证明：()()f x g x ≤.2023~2024学年第二学期高三阶段性调研测试数学2024.02一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C【解析】2202420241i (1i)i,i,i 11i 2z z z --===-===+，选C.2.【答案】C【解析】()A A B ⊆⋂，则()U ,,A B A A B A B ⋂=∴⊆∴⋂=∅ð，选C.3.【答案】A 【解析】令5π12t α+=，则5π5,sin 1213t t α=-=，()()2π5ππ119cos 2cos 2cos 2πcos212sin 6126169t t t t α⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=--=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选A.4.【答案】B【解析】3A 与4A 互斥但不对立，A 错.()()()()()131********,,,525525P A P A P A A P A P A A =====∴与3A 相互独立，B 对.()()()()()2424242342,,,52525P A P A P A A P A P A A ===≠与4A 不独立，C 错.2A 与4A 可同时发生，2A 与4A 不互斥，D 错，选B .5.【答案】D【解析】O 在面123O O O 上的投影为,M O 为大球球心，123,,O O O 为小球球心.12231312,3O O O O O O O M OM ======，大球半径为R ，2(437,R R =+=∴=，((24π4π108π5S R ∴==⋅+=+表，选：D.6.【答案】B【解析】111lg lg 1,lg1,10n n n n n na aa a a a +++-=∴=∴=，{}n a 是以10为公比的等比数列，202021222324251234510a a a a a q a a a a a ++++==++++2122232425123452010a a a a a a a a a a ++++∴++++==，选B.7.【答案】A【解析】()()0f x f x '->，则()()()()()0,,e ex xf x f x f xg x g x ->='在R 上 .()()()()()()4123123e 1e 23123e e x x x f x f x f x f x g x g x +-+-+>-⇔>⇔+>-1234,"2x x x x ⇔+>-⇔<∴<"是"()()e 1e 23x x f x f x +>-"的充分不必要条件，选A.8.【答案】D【解析】333,222M M p p pMN OF x x p ==⋅+=∴=.()22132,,4,2,022M MMNF py p y S p F ===⋅⋅== ，双曲线中22,2,1,3c c a b a ==∴==，双曲线：2213y x -=.1ABF 内切圆圆心在212a x c ==上，选D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC【解析】圆1C 与圆2C 无公共点，则1212C C r r <+或121,51C C r r -<>+或51r <-，04r ∴<<或6,A r >错.5r =，公共弦：2222(3)(4)125x y x y ⎡⎤+--++=-⎣⎦，即6810x y --=，B 对.2r =时两圆外离，[]12123,3PQ C C C C ∈-+，即[]2,8,PQ ∈C 对.若π2APB ∠=，则[]22111232,1,1PC PC C C C C =∈-+，即[]24,6PC ∈，而[]324,6，存在P 满足π,D 2APB ∠=错.选BC.10.【答案】ACD【解析】1131(()()()(),()23412P A B P A P B P AB P AB P AB +=+-=+-==，对.111()()(),(),()3124P B P AB P AB P AB P A B =+∴=+⋅=错.1()112(),C 1()62P AB P B A P A ===∣对.()()()()()()P B P AB P AB P AB P A P AB =+=+-2111()3(),()()32124()8P AB P AB P A B P A B P B ∴=+-∴⋅===∣，D 对，选ACD.11.【答案】AB【解析】如图建系，面OAB 的一个法向量()11,1,1n =- ，面ABC 的一个法向量()21,1,1n =，设平面OAB 与平面ABC 夹角为1212121,cos cos ,3n n n n n n αα⋅===时，A 对.()1OP xOA yOB x y OC =++--，则,,,P A B C 共面，正四面体棱长为3，则正方体棱长为2，min 2||3OP OD == ，B 对.大正四面体内切球半径3124⋅=，小正四面体棱长为a，此外接球半径4a，3,1,441212a a V a ≥∴≤=≤.分别在OA 上取1Q 使11Q A =，延长OA 至2Q 使23Q A =，11222,2Q O Q A Q O Q A ∴==，取12,Q Q 的中点,M Q ∴在以M 为球心，12122Q Q =为半径的球面上，且Q 在ABC 内，作M 在平面ABC 上的射影M '，66301,333MM M Q Q ''∴==∴=为图中 RS ，显然不是一个完整的圆，Q ∴的轨迹长度不为2ππ,D 33⋅=错.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】80【解析】()522x x y +-可看作5个()22x x y +-相乘，有2个括号提供y -，还有3个括号都是()32223262532,C ()C 280x y x x y -⋅=，系数80.13.【答案】97.7%【解析】()1002222211172,1001007236001007236100100i i x x μσ-=⎛⎫==-=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭∑，()72,36,60721272262X N μσ~=-=-⨯=-，()()22110.954520.9772597.7%2222P X P X μσμσμσ-≤≤+≥-=+=+=≈.14.【答案】【解析】222222cos cos ,,22a c b a b c B b C b b ac ab+-+-=∴=⋅∴=2224971π1cos ,,23222323222ABC a c b B B S ac +-+-=====⨯⨯⨯=⨯⨯4PBQ S =，令13,,,3,224BP x BQ y x y xy y x==⋅⋅=∴==，2222203319,3,2323332202x x PQ x y x y x x x <≤⎧⎪∴≤≤=+-⋅⋅⋅=+≥=⎨<≤⎪⎩，min PQ =229x x=即x =时取“=”，min PQ =四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）一个周期内检修费用X 的所有可能取值为0,2,3,5()()4334110,2545545P X P X ==⨯===⨯=()()1331113,554205420P X P X ==⨯====.∴一个周期内的平均检修费用()31310235 1.14552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.（2）记设备出现异常为事件A ，甲部件出现故障为事件B ()()()()()321,1,,555P AB P B A P A P AB P A ==-==∣()115225P B A ∴==∣.16.【解析】（1）()()2121221221212112n n n n n n a S n b T n n n -----====-+，()12121,1,n n n na n a k n a kb n b kn ⎧=-=-⎧⎪∴∴==∴⎨⎨==⎪⎩⎩.（2）111211(2)(2)(2)21212121n n nn c n n n n --⎛⎫=-+=-⋅--⋅ ⎪-+-+⎝⎭1121111111(2)(2)(2)(2)(2)3352121n n n P n n -∴=--⋅+-⋅--⋅++-⋅--⋅-+ 11(2)21n n =--⋅+.17.【解析】（1）证明：延长,AE CF 交于点,D AB ∥,CF AE ∥,BC AB BC⊥∴四边形ABCD 为矩形，2,45,90DE DF DFE CFB BFE ∠∠∠∴==∴==∴= ,BF EF ∴⊥∴平面PEF ⊥平面ABCFE ，平面PEF ⋂平面ABCFE EF=BF ⊂平面,ABCFE BF ∴⊥平面,PEF BF PE ∴⊥，即PE BF ⊥.（2）如图建系，()()()()0,0,0,2,0,2,22,22,0,32,2,0F PC A ∴-()(()0,42,0,2,42,2,2,42,2B PB PM λλλ=--∴=--(()22,2,22,42,2AM AP PM λλλ∴=+=--+--)()222,422,21λλλ=--()2,0,2,22,22,0FP FC ==-设平面PCF 的一个法向量(),,n x y z =，()02201,1,1022220n FP x z n n FC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⇒=-⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ()22242121021015152(2)2(41)2(1)3AM n AM n λλλλ⋅-∴=⇒=++-+-⋅ ()()12140,01,2λλλλ⇒--=<≤∴=.18.【解析】（1）由题意知22212223,3c a a ab C b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒∴⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩的方程为22143x y +=.（2）①设直线DE 方程为()()()1122001,,,,,,x my D x y E x y G x y =+()2222134690,3412x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()()222Δ3636341441m m m =++=+22122211121611223434ODE m m S S y y m m ++∴==⋅⋅-=⋅++ ，2266631,1,11312331t m t t S t t t +=≥∴==≤=+++，S ∴的取值范围为30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.②21200222334,12343434y y m m y x m m m +--==∴=+=+++，222433,,4,343434m m G N m m m --⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭121222221212123333343434344433m m m m y y y y m m m m k k x x my my ++++++++∴-=-=----()()()()121222123333343433m m y my my y m m my my ⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=--()()()22212122222121222333334349183993434m m y y y y m m m m m y y m y y m m ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==--++++++121223,332y y S S k k -==∴=-为定值.19.【解析】（1）()22212()20()()x a x f x x x a x x a '+-=-==++在()0,∞+上有变号零点，即()()22220g x x a x a =+-+=在()0,∞+上有变号零点.①若10a -≤，即1a ≥时，只需()200g a =<矛盾，②若10a ->，即1a <时，只需221Δ(22)44802a a a a =--=->⇒<故a 的取值范围为1,2∞⎛⎫-⎪⎝⎭.（2211221ln ln 2x x x x x x -+<<-，先证右边，⇔证()2211221211212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令21,1x t t x =>⇔证：()21ln 1t t t ->+，令()()21ln 1t g t t t -=-+，()()()22221211(1)0,(1)(1)t t t g t t t t t '+---=-=>++()g t ∴在()1,∞+上()(),10g t g ∴>=再证左边⇔证：<t =⇔证12ln ,1t t t t<->令()()222221111121(1)ln ,102222t t t h t t t h t t t t t t ----⎛⎫⎛⎫=--=-+== ⎪⎪⎝'⎝⎭⎭()h t ∴在()1,∞+上()(),10h t h ∴<= ，证毕!②1a ≥时，()()()()2ln ,f x g x x F a F a x a -=+-+关于a 单调递减()()()21ln 1F a F x H x x ∴≤=+-+()()22221221(1)21H x x x t t '=----++()()()()2222254322222221412222121t t t t t t t tt t t t +--+-+-+-==++()()()()43243222212,2021t t t t t t t t t t t t ϕ---+++==-+++>+()H x ∴在()0,1上(),1,∞+ 上()(),10H x H ∴≤= ，证毕!。
江苏省南通市2023-2024学年高三第一次调研测试数学(解析版)
南通市2024届高三第一次调研测试数学2024.01.24注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}2．已知z＋z＝8，z－z＝6i，则z z＝A．25 B．16 C．9 D．53．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设{a n}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则a4－a7 a2－a5＝A．19B．13C．3 D．95．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为A．1 B．2 C．3 D．4直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为A．202cm B．305cm C．405cm D．602cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题
江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、双空题16．记()R n 表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则()63R =，10的正因数有1，2，5，10，则()510R =，记()()()()()12321n T n R R R R =++++-L ，()2T =______； ()T n =______．EG EF FA AG EB =++= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 正确；对于B，由正六边形的性则向量CDuuu r在ABuuu r上的投影向量为则()0,0A，()2,0B，设P[]22,6AP AB m×=Î-uuu r uuu r，C对于D，由题意知：(0,2 E设()(),002G t t ££，CE \uuu r ()3331CG CE t ×=---=uuu r uuu r 56AG AB =uuu r uuu r ，即56l =，D 故选：AC.12．ABC【分析】对于A 直接计算即可；对于当71063b-<<时,函数()g x有3个零点．20．(1)证明见解析(2)43535【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
江苏省南通市如皋中学2024-2025学年高三上学期期初测试数学试题(含解析)
江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试
数学试卷
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（
C. 46
π
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C ：，下列结论中正确的有（ ）A ．若，则C 是椭圆，其焦点在轴上B ．若，则C C ．若，则C 是双曲线，其渐近线方程为D ．若，，则C 是两条直线的轨迹长度为外接球的表面积为
221mx ny +=0m n >>x 0m n =>0mn <y =0m =0n >2π32π3
15. 已知函数．(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
()2e (1)x f x x =+()f x ()f x [,1](3)t t t +>-()g t
111
⎥⎦BDP
，
，对于D ，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面
，
连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
M 1A D AMD V ABCD ⊥11ADD A AC BD O 2OM OA OB OC OD ====M ABCD -AC BD
（舍去）或，
．故答案为：相切，则实数a 的取值范围
443k =-422,0,33⎡
⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥
⎣
⎭⎝⎦
，
，，240m -≠2254
-。
江苏省南通市2024-2025学年高三上学期10月调研考试 数学含答案
2024/2025学年度高三第一次调研测试数学（答案在最后）2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“N x ∀∈，20x >”的否定为（）A.N x ∀∈，20x ≤B.N x ∃∈，20x ≤C.N x ∃∈，20x > D.N x ∀∈，20x <2.已知集合{}2,Z A x x x =<∈，(){}2ln 3B x y x x ==-，则A B = （）A.{}02x x << B.{}23x x -<< C.{1}D.{0,1,2}3.已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=（）A.725B.725-C.2425D.2425-4.已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.0a < B.12a >-C.102a -<< D.102a ≤<5.已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A.()()2ee xxf x x-=- B.()2()ee xxf x x-=+C.()()e exxf x x -=- D.()()e exxf x x -=+6.过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（）A.0条B.1条C.2条D.3条7.锐角α、β满足sin cos()sin βαβα=+，若1tan 2α=，则cos()αβ+=（）A.12B.2C.2D.2-8.若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知011a b <<-<，则（）A .01b << B.a b> C.1a b -< D.14ab <10.已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A.32a >B.120x x <<C .()()13f x f x ''= D.()()()1231110f x f x f x ''++='11.若定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(2,2)成中心对称，且(1)f x +是偶函数，则（）A.()f x 图象关于0x =轴对称B.(2)2f x +-为奇函数C.(2)()f x f x += D.20()42i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()2sin cos 2x af x x +=-是奇函数，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13.“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知α、β为锐角，sin 10α=，1tan 3β=．（1）求tan 2α的值；（2）求2αβ+的大小．16.已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）（1）判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性；（2）若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．17.若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的相邻对称轴距离为π2，且π162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移5π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数=的图象．当∈0,π时，求不等式()24g x g x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭π的解．18.绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a ，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a 时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.（1）如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时）（2）如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计）（参考数据：lg 30.477≈，60.90.53≈）.19.已知函数2()2ln 1f x x ax =-+，0a ≥．（1）若()f x 的最大值为0，求a 的值；（2）若存在(,)k m n ∈，使得()()()()f n f m f k n m '-=-，则称k 为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点”．（ⅰ）当0a =时，若1为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点””，证明：2m n +>；（ⅱ）求证：任意0a >，()f x 在区间(,)m n 上存在唯一“巧点”k ．2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】充分不必要【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）724（2）π4．【16题答案】【答案】（1）奇函数，理由见解析，()f x 图像关于(0,2)中心对称（2）e m >-．【17题答案】【答案】（1）()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）11π012x <≤【18题答案】【答案】（1）不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；（2）第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.【19题答案】【答案】（1）1a =（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析。
南通市2023届高三第一次调研测试数学试题解析版
南通市2023届高三第一次调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[1，4）C．（﹣∞，4）D．[1，+∞）【解答】解：A∩B＝{x|2＜x≤3}＝（2，3]．故选：A．2．（5分）已知向量满足，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：根据题意可得，故选：C．3．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．B．2C．D．4【解答】解：z1＝1﹣i对应的点为（1，﹣1），其中（1，﹣1）关于x﹣y＝0的对称点为（﹣1，1），故z2＝﹣1+i，故．故选：C．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，∴b2＝a2﹣c2＝（S1+R）（S2+R），故，∴，故选：D．5．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝sinα+cosα＝sin（α+）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2×＝，故选：B．6．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：命题乙，丙同真假，由题意可知，四个命题只有一个为假命题，故乙，丙均为真命题，所以μ＝m，P（X＞m+1）＝P（X＜m﹣1）＞P（X＜m﹣2），故甲正确，P（m﹣1＜X＜m）＝P（m＜X＜m+1）＞P（m+1＜X＜m+2），故丁错．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），所以f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）关于x＝1对称，设，，关于x＝1对称，＝＝.，所以f（x+1）＝f（x）+f（x+2），即符合条件，所以．故选：A．8．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）e x的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3）B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3）C．（﹣∞，4e﹣2）D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）【解答】解：设切点，则切线方程为，又切线过（t，0），∴，x0﹣1＝﹣x0（t﹣x0），∴有两个不相等实根x1，x2，其中，∴t＞1或t＜﹣3，，令g（t）＝（1﹣t）e t+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣te t+1，当t＜﹣3时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，﹣3）上递增，在（1，+∞）上递减，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，当t→﹣∞时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。