高一数学4
高一数学上：必修4答案
高一数学上：必修4答案高中数学新课程讲学练参考答案高一（上）：必修4一、数学④§1.1.1 任意角1.D；2.A；3.C；4.A；5.B；6.二；7.1110；8.-π7.π；44 = 56.176.296。
k|kγ360+135≤α≤kγ360+180 orkγ360+315≤α≤kγ360+360.k∈Z}k|kγ360+150≤α≤kγ360+210.k∈Z}α]9.(1) 一或三；(2) 一或二或三；10.β11.(1) α ∈ [β。
β+π)；(2) α ∈ (-π。
π]，α ≠ β12.(1) {β|β=k·360°。
k∈Z}；(2) {β|β=k·360°+180°。
k∈Z}；3) {β|β=k·180°。
k∈Z}；(4) {β|β=k·90°。
k∈Z}13.(1) -50，(2) 310，(3) 670二、数学④§1.1.2 弧度制1.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.三；7.(2)、(3)；8.-π8；9.2kπ-π6.k∈Z；10.{β|β=π+2kπ。
k∈Z}；11.(1) β ∈ [0.π) or β ∈ [2kπ-π。
2kπ)。
k∈Z；2) (β+π) ∈ [0.π) or (β+π) ∈ [2kπ-π。
2kπ)。
k∈Z；12.(1) l = 8α/10π/3.when α=2.S_max=1π。
S=50(-)；2) S = 4+4α+α2/33π(dm)；the total area of the sector is π(dm2)13.XXX XXX:三、数学④§1.2.1 任意角的三角函数1.A；2.C；3.B；4.D；6.7.±π/133.±。
8.-4322；9.{3.-1}；10.2kπ+π/3 or 2kπ+2π/15.k∈Z；11.(1) β ∈ (2kπ-π/3.2kπ+π/3)；(2) β ∈ (-π/2+2kπ。
高一数学必修4第一章三角函数(正弦型函数以前部分)
正弦型函数一．正弦函数y=sinx图像:二．正弦函数y=sinx性质:1.定义域：2.值域：3.奇偶性：4.周期性：5.单调增区间：单调增区间：6.对称中心：对称轴：三.正弦型图像与性质①y=sinx------→------------→②y=sinx------→------------→sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>sin()(0,0)y A x Aωφω=+>>跟踪综合训练一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3πB ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．2-B ．2C ．12D ． 12-6、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ）A ．y=|sin x |B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |8 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒ 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数12、函数y =的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2()66k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．72,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦13、已知αβαππβαπ2,3,3则-<-<-<+<的取值范围是 . 14、)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 .15、函数2sin()([,])863y x x πππ=-∈的最小值是 ． 16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、（8分）已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19、（8分）已知N （2，2）是函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标（6，0），求此函数的解析表达式.20、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+21、（10分）求函数2(x)sin 2sin 5f x a x =++的值域(其中a 为常数)22、（8分）给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位； ④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。
高一数学必修4总复习课件
y
P(x,y)
r
o
●
x
2 2
r x y
当点P在单位圆上时，r =1 (2) 三角函数值的符号：
y y y
O
x
O
x
O
x
sin
cos
tan
6. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系：sin cos 1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘积
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b非零向量
AB
x2 x1 y2 y1
2
2
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b非零向量
(1)垂直:
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
(2)平行:
a // b b a x y x y
定理 (1)有关向量共线问题: 的应 (2)证明三点共线的问题: 用:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD 直线AB // 直线CD AB与CD不在同一直线上
平面向量基本定理:
如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
(二)二倍角公式
C2 cos 2 cos2 sin 2 2 tan T2 tan 2 1 tan
高一数学(人教版)必修4三角函数知识点
三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r >，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15 周期问题◆()()()()()()ωπωϕωωπωϕωπωϕωωπωϕωωπωϕωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T, 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A yR ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
高一数学必修4周期知识点
高一数学必修4周期知识点高一数学必修4是学习高中数学的关键阶段，其中的周期知识点在学习中占据着重要的地位。
本文从周期函数的定义入手，分别讨论了正弦函数和余弦函数的基本特点，以及各种周期函数的图像和性质。
周期函数是指存在一个常数 T，使得对于函数 f(x) 来说，对于任意自变量 x，有 f(x+T)=f(x) 成立。
周期函数的研究主要集中在正弦函数和余弦函数上。
正弦函数的周期是2π，而余弦函数的周期也是2π。
这两个函数都属于三角函数的一种，其定义域是整个实数集，值域在[-1,1]之间。
首先讨论正弦函数。
正弦函数的图像呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足 f(-x)=-f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，其中心对称轴为 y 轴。
2. 最值：正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
3. 零点：正弦函数的零点是π 的整数倍，即 f(x)=0 当x=nπ，其中 n 为整数。
4. 增减性：正弦函数在[0,π/2] 上是单调递增的，在[π/2,π] 上是单调递减的。
接下来是余弦函数。
余弦函数的图像也呈现为波浪形状，它具有以下特点：1. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足 f(-x)=f(x)。
这意味着余弦函数关于 y 轴对称，其中心对称轴为 y 轴。
2. 最值：余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
3. 零点：余弦函数的零点是π/2 的整数倍，即 f(x)=0 当x=(2n+1)π/2，其中 n 为整数。
4. 增减性：余弦函数在[0,π/2] 上是单调递减的，在[π/2,π] 上是单调递增的。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他的周期函数，如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等。
它们都属于三角函数的一种，有着各自的特点和性质。
例如，正切函数的定义域是整个实数集除去π/2 的整数倍，值域是整个实数集；余切函数和正切函数是互为倒数的，即tan(x)=1/cot(x)。
而正割函数和余割函数也是互为倒数的，即sec(x)=1/csc(x)。
高一数学必修四知识点：三角函数诱导公式
【导语】⼈⽣要敢于理解挑战，经受得起挑战的⼈才能够领悟⼈⽣⾮凡的真谛，才能够实现⾃我⽆限的超越，才能够创造魅⼒永恒的价值。
以下是©⽆忧考⽹⾼⼀频道为你整理的《⾼⼀数学必修四知识点：三⾓函数诱导公式》，希望你不负时光，努⼒向前，加油！ 【公式⼀】 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式⼆】 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意⾓α与-α的三⾓函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 【公式四】 利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 【公式五】 利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 【公式六】 π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 【⾼⼀数学函数复习资料】 ⼀、定义与定义式： ⾃变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的⼀次函数。
高一数学必修四教案(6篇)
高一数学必修四教案(6篇)高一数学必修四教案(6篇)高一数学必修四教案1 教学准备教学目的1·掌握平面向量的数量积及其几何意义；2·掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3·理解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4·掌握向量垂直的条件·教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1·向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结〔1〕请学生回忆本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？〔2〕在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
〔3〕你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2·4 A组2、7题课后小结〔1〕请学生回忆本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？〔2〕在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
〔3〕你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2·4 A组2、7题板书高一数学必修四教案2 教学准备教学目的o理解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量·o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别·o通过学生对向量与数量的识别才能的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的才能·教学重难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量·教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联络·教学过程〔一〕向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
高一数学必修4课件：1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象
伸长后的图象向上平移 3 个单位长度就得到函数的图象.
x
0
π 2Leabharlann π3π 22π
cosx 1 0 －1 0 1
3＋2cosx 5 3 1 3 5
命题方向 2 三角函数的图象变换
利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]． (2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图 象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移 1个单位．如图(1)所示．
(2)按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cosx 1 0 －1 0 1
cosx－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
用“五点法”作出函数 y＝3＋2cosx 在一个周期内的图 象．
[解析] 先用“五点法”原理作出函数 y＝cosx 的图象，如
图虚线所示，然后横坐标不变纵坐标伸长到原来的 2 倍，再把
自主预习 认真阅读教材P30－33回答下列问题． 1．正、余弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图 象，是把角x的 正弦线 向右平移，使它的起点与x轴上的点x重 合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到 函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向 左、 右 平行移动(每次2π个单 位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．
2．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x ∈R的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示．
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
人教新课标a版高一数学必修4
人教新课标a版高一数学必修4人教新课标A版高一数学必修4是高中数学学习中非常重要的一部分，它涵盖了多个重要的数学概念和技能。
以下是该课程的主要内容概述：1. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质、图像和应用。
学生将学习如何利用三角函数解决实际问题，如测量、导航等。
2. 三角恒等变换：这部分内容涉及到三角函数之间的基本关系，如和差公式、倍角公式、半角公式等，以及它们在简化表达式和解决复杂问题中的应用。
3. 解三角形：学生将学习如何使用正弦定理和余弦定理来解决三角形的问题，包括已知两边和夹角求第三边，或者已知三边求角度等。
4. 数列：数列是数学中的一个重要概念，学生将学习等差数列和等比数列的定义、通项公式、求和公式以及它们的应用。
5. 不等式：包括不等式的基本性质、解法和应用。
学生将学习如何解一元一次不等式、一元二次不等式以及更复杂的不等式系统。
6. 立体几何：这部分内容将介绍空间中的点、线、面之间的关系，包括直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等。
7. 空间向量：学生将学习如何使用向量来描述空间中的点、线和面，以及如何利用向量解决几何问题。
8. 解析几何：包括直线和圆的方程，以及如何利用这些方程来解决几何问题。
9. 概率与统计初步：学生将学习基本的概率概念，如样本空间、事件、概率的计算，以及统计的初步知识，如数据的收集、整理和描述。
10. 算法初步：这部分内容将介绍算法的概念，包括算法的描述、设计和实现。
通过学习人教新课标A版高一数学必修4，学生不仅能够掌握高中数学的核心知识，还能够培养逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力。
这些技能对于学生未来的学术和职业生涯都是非常宝贵的。
高一数学必修四集合知识点
高一数学必修四集合知识点一、引言数学是一门抽象而又具有严密逻辑的学科，而在高中数学中，集合论则是数学的一个重要分支。
集合论作为一种基本的数学工具，不仅在高考中扮演重要角色，而且在后续的学习中也有着重要的作用。
本文将重点介绍高一数学必修四中的集合知识点，帮助同学们更好地理解和运用集合论。
二、集合的概念集合是指把具有为某种特定性质的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
常用的集合表示法有列举法、描述法和解决法三种。
例如集合A = {1, 2, 3, 4}是用列举法表示的集合，集合B = {x | x 是偶数,x ≤ 10}是用描述法表示的集合。
三、集合间的关系在集合论中，我们经常需要研究集合之间的关系。
常见的集合间的关系有包含关系、相等关系、交集、并集、差集等。
包含关系表示一个集合是否包含于另一个集合，用符号“⊆”表示；相等关系表示两个集合的元素完全相同，用符号“=”表示；交集表示两个集合中共有的元素所组成的集合，用符号“∩”表示；并集表示两个集合中所有元素的集合，用符号“∪”表示；差集表示两个集合中不同元素的集合，用符号“-”表示。
熟练掌握这些关系是解决集合运算问题的基础。
四、集合运算与应用集合运算是指集合之间的运算关系，包括并、交、差以及补运算。
并运算表示将两个集合的元素合并起来，用符号“∪”表示；交运算表示两个集合共有的元素，用符号“∩”表示；差运算表示两个集合有差别的元素，用符号“-”表示；补运算表示一个集合中不包含在另一个集合中的元素，用符号“'”或“C”表示。
在日常生活中，集合运算有着广泛的应用。
例如，在人口统计中，我们可以利用集合运算求出不同人群之间的交集和并集，从而更好地研究社会现象和问题。
此外，在概率论和数理统计中，集合运算也有着广泛的应用，可以帮助我们计算复杂的概率和统计问题。
五、空集和全集在集合论中，空集和全集是两个特殊的集合。
空集是指没有任何元素的集合，用符号“Ø”表示；全集是指我们研究的对象的集合，用符号“U”表示。
高一数学第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结(解析版)
第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结重点一 指数对数的运算【例1】（2022·江苏）化简与求值： (1)123(31)(3)8π-(2)23log 3312514log 8lg lg25lg e 162-⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭(1)213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(2)2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+ 【答案】(1)π; (2)1121551918；(4)2 【解析】（1）原式1331π3(2)=+-+π=.（2）原式232log 32252log 8lg +lg25lg8ln e 16=----161393lg(25)582=-+⨯⨯-36lg102=+-112=.（3）213102270.00210(51)8π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭()2313125150010123---⎡⎤+⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦45555192=++1551918=； （4）2lg25lg2lg50(lg2)+⋅+()22lg5lg21lg5(lg2)=+++()2lg5lg2lg2lg2lg5=+++()2lg2lg5=+2=【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()223666661log 2log 33log 2log 18log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．(4)7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++；lg 10lg 0.1⨯【答案】(1)0 (2)3 (3)1 (4)7 (5)4-【解析】（1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=． （3）原式()()3226666318log 2log 33log 2log 2=++⨯()()2236666log 2log 33log 2log 9=++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()626log 2log 31=+=． （4）原式()3lg 2542527=+⨯+=+=；（5）原式()21128125lg lg1025411lg10lg102-⨯⨯===-⨯-⨯． 2．（2022·湖北）计算下列各式的值： (1)已知13x x -+=，求：221122x x x x--+-．(2)721163log 0.253432927211.58223lg25lg4()log3?4637-⎛⎫⎛⎫⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)7±(2)115【解析】（1）因为()22212927x x x x--+=+-=-=，而21112221x x x x --⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以11221x x --=±，所以2211227x x x x--+=±-．（2）原71111313333log 223442332222223lg1007log 3log 224272212333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯-+++=++⨯-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115=． 3．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-= ⎪⎭- ⎪⎝⎝⎭________；（2）化简：12112133265a b a b a b---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅________． 【答案】221a【解析】（1）())()242233330.123331228-⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭421331322431332192⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⨯-⨯⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦4913212294=+⨯-=．（2）原式111111111533221032623615661a b ababa b aa b-----+--⋅⋅⋅==⋅=⋅=⋅．故答案为22，1a重点二 指数函数【例2】（2022·广东·深圳市）已知函数()()240,12x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =(2)()1,1-(3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x x x x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+，所以22021x -<-<+，所以211121x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()220xmf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t =-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥，所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【一隅三反】1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)()(),41,-∞-+∞(3)()(),11,k ∈-∞-+∞【解析】（1）由题意得：()40102f a=-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x xx f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x <所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-， 因为2()121xf x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或4x <-，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121xk-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x <<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021xf x =-∈-+，且()00f =， 所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-，故()()11,00,1k ∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x f xb a （,a b 为常数，0a >，且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，3,24B ．(1)试确定函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()32xf x =⨯(2)5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为函数x f xb a 的图象经过点()1,6A 和3,24B ，可得3624ab b a =⎧⎨⋅=⎩，结合0a >，且1a ≠，解得2,3a b ==， 所以函数()f x 的解析式为()32xf x =⨯．（2）要使1123xxm 在区间(],1-∞上恒成立，只需保证函数1123x xy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上的最小值不小于m 即可，因为函数1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(],1-∞上单调递减，所以当1x =时，1123xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取得最小值，最小值为56，所以只需56m即可，即实数m 的取值范围为5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．3．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R 的函数 2()2xxb f x a-=+ 是奇函数. (1)求a 、b 的值；(2)证明f (x )在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围 【答案】(1)1a =，1b =；(2)证明见解析；(3)13k <-【解析】（1）由已知1(0)01b f a -==+，1b =，12()21x x f x -=+， 121(1)22f a a -==-++，1112(1)1122f a a --==++，所以110221a a -+=++，解得1a =， 12()21x x f x -=+，此时()f x 定义域是R ，1221()()2112x xxxf x f x -----===-++，()f x 为奇函数． 所以1a =，1b =；（2）由（1）12()21x x f x -=+2121x=-++， 设任意两个实数12,x x ，12x x <，则1202121x x <+<+，12222121x x >++，所以1222112121x x -+>-+++，即12()()f x f x >，所以()f x 是减函数；（3）不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，则有22(2)(2)f t t f t k -<-+， ()f x 是减函数，所以2222t t t k ->-+，所以2211323()33k t t t <-=--恒成立，易知2113()33t --的最小值是13-，所以13k <-．重点三 对数函数【例3】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数()()32log 2axf x a R x -=∈-的图象关于原点对称． (1)求a 的值；(2)当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a =-(2)()1,+∞【解析】(1)函数()32log 2axf x x -=-的图象关于原点对称，则函数()32log 2axf x x -=-为奇函数，有()()f x f x -=-， 即3322log log 22ax ax x x +-=----，即322log 022ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪---⎝⎭，即222414a x x 解得1a =±，当1a =时，不满足题意，∴1a =-． (2)由()()3log 2f x x k <+，得()332log log 22xx k x +<+-，即222x k x x +>--，令()24122x g x x x x x +=-=+---，易知()g x 在[]3,5x ∈上单调递减， 则()g x 的最大值为()32g =．又∴当[]3,5x ∈时，()()3log 2f x x k <+恒成立， 即222x k x x +>--在[]3,5x ∈恒成立，且20x k +>，∴22k >，1k >， 即实数k 的取值范围为()1,+∞． 【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()212log 23f x x ax =-+．(1)若函数()f x 的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，求实数a 的值； (2)若函数()f x 的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值； (3)若函数()f x 在(],1-∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2a =(2)实数a 的值为1或1-(3)[)1,2 【解析】（1）令()223u x x ax =-+，则由题意可知1，3为方程2230x ax -+=的两个根，所以函数()u x 的图像的对称轴方程为213222a x -+===-，即2a =． （2）由题意，对于方程2230x ax -+=，()224130a ∆=--⨯⨯<，即33a <<由函数()f x 的值域为(],1-∞-，可得当x a =时，()()212log 231f a a a a =-⨯+=-，解得1a =或1-．故实数a 的值为1或1-． （3）函数()f x 在(],1∞-上单调递增，则()223u x x ax =-+在(],1∞-上单调递减．易知函数()u x 的图像的对称轴为直线x a =，所以1a ≥． 易知()u x 在1x =时取得最小值，当1x =时，有()11230u a =-+>，得2a <， 所以实数a 的取值范围是[)1,2．2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()log 1a f x bx =+（0a >且1a ≠），()11f =，()32f =． (1)求函数()f x 的解析式；(2)请从∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =--，∴()()y f x f x =+-这三个条件中选择一个作为函数()g x 的解析式，指出函数()g x 的奇偶性，并证明． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)()()2log 1f x x =+；(2)答案见解析.【解析】（1）依题意，()()log 11log 132a a b b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2113a ba b =+⎧⎨=+⎩，而0a >且1a ≠，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以函数()()2log 1f x x =+.（2）选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =+--，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-， 又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=--+=-+--=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数． 选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =--+，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()()()()2222log 1log 1[log 1log 1]g x x x x x g x -=+--=---+=-， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的奇函数．选择∴，()()()22log 1log 1g x x x =++-，则有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即()g x 的定义域为()1,1-，又()()()22log 1log 1()g x x x g x -=-++=， 所以函数()g x 是定义在()1,1-上的偶函数． 3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)当()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1a =-(2)[)1,-+∞(3)[]1,1- 【解析】（1）因为函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，所以()()0f x f x +-=，即114411log log 011ax axx x -++=---， 所以1411log 011ax ax x x -+⎛⎫⨯= ⎪---⎝⎭恒成立， 所以11111ax ax x x -+⨯=---恒成立， 即22211a x x -=-恒成立，即()2210a x -=恒成立，所以210a -=，解得1a =±，又1a =时，()141log 1axf x x -=-无意义，故1a =-．（2）因为()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m +-<恒成立，所以()11441log log 11x x m x ++-<-恒成立， 所以()14log 1x m +<在()1,x ∈+∞上恒成立，因为()14log 1y x =+是减函数，所以当()1,x ∈+∞时，()()14log 1,1x +∈-∞-，所以1m ≥-，所以实数m 的取值范围是[)1,-+∞． （3）因为()114412log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭在[]2,3上单调递增，()()14log g x x k =+在[]2,3上单调递减，因为关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，所以()()()()22,33,f g f g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩即()()11441144log 3log 2,log 2log 3,k k ⎧≤+⎪⎨≥+⎪⎩ 解得11k -≤≤，所以实数k 的取值范围是[]1,1-．重难点四 零点定理【例4-1】（2022·课时练习）函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】3-【解析】解法一：因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1， 将(1,0)代入得230a a ++=，解得1a =-． 所以223y x x =--+．令2x 2x 30--+=，解得11x =，23x =-， 所以函数的另一个零点为3-．解法二：由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-，所以另一个根为3-．故函数的另一个零点为3-． 故答案为：3-.【例4-2】（2022·山东）方程ln 42x x =-的根所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【答案】B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增， 又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，， 所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，. 故选：B【例4-3】（2022·全国·高一课时练习）函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】函数()sin 21f x x x π=-在(]0,3上零点的个数即方程sin 210x x π-=在(]0,3x ∈上解的个数， 方程sin 210x x π-=化简可得sin 2x π=1x， 所以方程方程sin 210x x π-=的解的个数为函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象交点的个数，其中(0,3]x ∈，在同一坐标系中作出函数sin 2y x π=与函数y =1x的图象如图所示， 由图可知在区间(]0,3上，两函数图象有4个交点， 故函数()sin 21f x x x π=-在区间(0,3]上的零点个数为4， 故选：C ．【例4-4】（2021·全国·高一期末）已知函数2,()5,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5【答案】A【解析】()()4g x f x x =-有三个零点()y f x ∴=与4||y x =的图象有三个交点. 因为0a >，所以当0x ≤时，24x x x -=-，得3x =-或0x =，所以()y f x =与4||y x =的图象有两个交点，则当0x >时，()y f x =与4||y x =的图象有1个交点. 当0x >时，令45x x =-，得1x =，所以01a <<符合题意；令24x x x =-，得5x =，所以5a 符合题意.综上，实数a 的取值范围是()[)0,15,+∞.故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】因为3ln ,==-y x y x 为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，所以3()ln f x x x=-为()0,x ∈+∞上的单调递增函数，因为()31ln1301=-=-<f ，()32ln 202=-<f ，()33ln 303=->f ，由零点存在定理，(2,3)上必有唯一零点.故选：B ．2．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【答案】B【解析】sin sin()13y x x π=-+-，13sin 12=-x x ，sin()13x π=--，令sin()13x π-=，得232x k ππ-=+π，Z k ∈，526x k ππ∴=+，Z k ∈，()f x ∴在(0,2)π上的零点为5.6π故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(1)-∞，B ．(02)，C ．(0)+∞，D ．[12)，【答案】D【解析】因为()(),1f x x x a x =-≥时至多有一个零点，单调函数()2,1x f x a x =-<至多一个零点，而函数2,1()(),1x a x f x x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩恰有2个零点，所以需满足()(),1f x x x a x =-≥有1个零点，()2,1x f x a x =-<有1个零点，所以2log 11a a <⎧⎨≥⎩，解得12a ≤<，故选：D4．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数()||3f x x a =--，若函数(())f f x 无零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)-∞- B ．(,6]-∞- C ．(,0)-∞ D ．(,0]-∞【答案】A【解析】令()t f x =，则()||30f t t a =--=的解为：3t a =±，由题意可知：()f x t =无解， 又()||33f x x a =--≥-，即min ()t f x <，又min ()3f x =-，即3333a a +<-⎧⎨-<-⎩，解得：6a <-．故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）函数()2ln 3f x x x =+-的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-， 故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∴()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个， 故答案为：16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()22,2,1,2,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】()0,1【解析】作出函数()f x 的图像和直线y k =，如图所示:由图可知，当()0,1k ∈时，函数()f x 的图像和直线y k =有三个交点，所以()0,1k ∈． 故答案为：()0,1或01k <<.。
高一数学第4单元知识点
高一数学第4单元知识点一、函数与方程1. 函数的概念函数是数学中用于描述两个变量间关系的工具。
可以将函数看作一个黑盒子，输入一个值，经过某种变换关系后，得到一个输出值。
函数的定义域和值域是关键概念，其中定义域是指函数的输入值的集合，而值域是指函数的输出值的集合。
2. 一次函数一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，纵截距为b。
一次函数的方程有多种形式，如y = -2x + 3、f(x) = 4x - 1等。
3. 二次函数二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c 为常数而且a不等于0。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的顶点坐标是一个重要的概念，顶点的横坐标为-x0，其中x0为抛物线的对称轴的横坐标。
4. 对数函数对数函数是指形如f(x) = loga(x)的函数，其中a为底数，x为大于0的实数。
对数函数的图像是一条平滑的曲线。
对数函数具有一些特殊性质，如loga(1) = 0、loga(a) = 1等。
二、函数的性质1. 奇偶性若对于函数f(x)有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于函数f(x)有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
奇偶性是函数的一种对称性质，可以通过函数的图像来判断函数的奇偶性。
2. 单调性若对于函数f(x)，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，则称f(x)为增函数；若对于函数f(x)，当x1 < x2时有f(x1) > f(x2)，则称f(x)为减函数。
函数的单调性可以通过函数的图像来判断，增函数的图像是上升的曲线，减函数的图像是下降的曲线。
3. 函数的最值函数的最大值和最小值称为函数的最值。
在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，一定存在最大值和最小值。
最值可以通过函数的图像来判断，最大值是函数图像的最高点，最小值是函数图像的最低点。
高一数学第4章知识点归纳
高一数学第4章知识点归纳第4章数列的概念与数列的性质数列是指按照一定规律排列的一组数。
在高一数学的学习中，数列是一个重要的概念，它涉及到很多数学问题的解法。
本章主要介绍了数列的概念、数列的性质以及数列运算等知识点。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
数列可以看作是对一般函数的简化，它只涉及到自变量为正整数的情况。
数列的一般表示形式为{an}或者(a1, a2, a3, ...)，其中an表示数列的第n个数。
二、数列的性质1. 公式与通项数列可以用公式来表示，这个公式可以描述数列中的每一项与其下标之间的关系。
通项是指数列中的第n个数的一般表示形式。
通过得到数列的通项公式，我们可以方便地求出数列的任意项。
2. 递推关系数列中的每一项都与它前面的某些项有关，这种关系称为递推关系。
通过递推关系我们可以得到数列中的每一项，从而利用这些项进行数列的相关问题的求解。
3. 数列的有界性数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列的所有项都在某个范围内变动的数列，无界数列则是指数列中的项无限地趋向于正无穷或负无穷。
4. 数列的单调性数列可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
单调增加的数列是指数列的每一项都大于前一项，单调减少的数列则是指数列的每一项都小于前一项。
三、数列运算1. 数列的四则运算数列之间可以进行加减乘除运算，这与我们在初中学习的四则运算是类似的。
对于两个数列进行加减乘除运算，我们只需要对相应的项进行对应的运算即可。
2. 数列的和与积数列的和指的是数列中所有项的和，数列的积则是指数列中所有项的乘积。
求数列的和与积可以通过数列的通项公式以及数列中项的个数来计算。
四、数列的应用1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是相等的数列。
等差数列在数学中有很多应用，特别是在代数运算以及几何问题中经常会用到。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是相等的数列。
等比数列在数学中也有广泛的应用，特别是在比例问题和指数函数中经常会用到。
高一数学四区间知识点
高一数学四区间知识点在高中数学中，四区间是一个非常重要的概念和知识点。
四区间是指将数轴分成四段，并在每段上确定一个数作为代表，这四个数就分别称为四个区间的端点。
接下来，我将详细介绍与四区间相关的知识以及其在解决实际问题中的应用。
首先，我们来看一下四区间的四个端点。
假设数轴上的四个端点分别是a，b，c，d，并且满足a < b < c < d。
则四个端点将数轴分为以下四段：1. (-∞，a)：表示小于a的所有实数构成的区间；2. (a，b)：表示大于a且小于b的所有实数构成的区间；3. (b，c)：表示大于b且小于c的所有实数构成的区间；4. (c，d)：表示大于c且小于d的所有实数构成的区间；5. (d，+∞)：表示大于d的所有实数构成的区间。
接下来，我们来看一下四区间在解决实际问题中的应用。
四区间的概念在数学中的一个重要应用是不等式的解集表示法。
通过将不等式转化为四区间的交集或并集，我们可以准确地表示出不等式的解集。
举个例子，假设我们要解不等式3x + 2 > 5。
我们可以通过以下步骤来表示出不等式的解集：1. 首先，将不等式中的等号去掉，得到3x + 2 - 5 > 0；2. 然后，化简不等式，得到3x - 3 > 0；3. 接下来，把不等式转化为四区间的表示形式，得到3x - 3在(0，+∞)上大于0；4. 最后，解出不等式的解集为x > 1。
通过以上示例，我们可以看出四区间在解不等式中起到了关键的作用。
它提供了一种直观和准确的方式来表示不等式的解集。
除了不等式的解集表示外，四区间还可以应用于数据分析。
例如，我们可以将数据按照大小分成四个区间，并计算每个区间中数据的频数和相对频率。
通过对数据的分布情况进行观察和分析，我们可以更好地理解数据的特征和规律。
另外，四区间还可以应用于数列的分段求和。
假设我们有一个数列{an}，并且要求在四个区间上的求和，即求sum(an)，其中n的取值分别在(-∞，a)，(a，b)，(b，c)，(c，d)和(d，+∞)。
高一上册数学第4章知识点
高一上册数学第4章知识点高一上册数学第4章知识点回顾在高一上学期的数学学习中，我们已经掌握了许多基础的数学知识和技巧。
在第4章中，我们进一步学习了一些重要的数学知识点，包括函数、函数的图像和方程的解法等。
在本文中，我们将回顾这些知识点，加深我们的理解和应用能力。
1. 函数概念及其图像函数在数学中非常重要，也是数学学习的基石之一。
一个函数可以看作是一个输入输出的规则，给定一个输入值，函数能够计算出对应的输出值。
函数通常用 f(x) 或 y 表示。
我们可以通过函数的图像来直观地理解函数的性质。
函数的图像可以通过绘制函数的点来得到，其中横轴表示输入值，纵轴表示输出值。
函数的图像有许多形状，包括直线、抛物线、指数曲线等。
通过观察函数的图像，我们可以得出函数的特点，如定义域、值域、单调性等。
2. 一次函数及其性质一次函数是最简单也是最重要的函数之一。
它的数学表达式为 f(x)= ax + b，其中 a 和 b 是常数。
一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
我们可以通过斜率来判断一次函数的性质。
当斜率为正时，函数是递增的；当斜率为负时，函数是递减的。
当斜率为零时，函数是水平线，不增不减。
另外，斜率的绝对值越大，直线越陡峭。
3. 二次函数及其性质二次函数是一种抛物线，经常在自然界和物理学中出现。
二次函数的数学表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线，其顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
通过观察二次函数的图像，我们可以得到一些性质。
当 a > 0 时，函数开口向上；当 a < 0 时，函数开口向下。
函数的顶点坐标决定了曲线的位置。
此外，二次函数的对称轴是一个垂直于横轴的直线。
4. 方程的解法在数学中，方程是一个等式，通常包含一个或多个未知数。
方程的解是使等式成立的未知数的值。
解方程是求解未知数的过程。
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课题：1.2.3 三角函数的诱导公式（2）（新授）
备课人：沈利峰 赵鹏 审核人：吴文辉
班级：_______________ 姓名：______________ 编号：07
【学习目标】
1．借助单位圆推导正、余弦的诱导公式，并结合同角三角函数关系推出正切的诱导公式；
2．能正确应用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，并解决有关化简、求值和
证明的问题；
3．通过公式运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．
【教学重点、难点】
1．诱导公式五的推导；
2．诱导公式的应用；
3．三角函数的奇偶性．
【教法学法】问题讨论法
【活动过程】
一．预学单
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
公式五：
公式六：
1．由公式一，对任意的角α，都有sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α．分别考察f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝tan x 三个函数的奇偶性：①定义域；②f (－x )与f (x )的关系．
例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝1- cos x ；（2）g (x )＝x -sin x ．
练习3：判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝x sin ；（2）f (x )＝sin xcosx ．
2．tan π7＋tan 2π7＋tan 3π7＋tan 4π7＋tan 5π7＋tan 6π7
＋tan π= ． 3．=++-)2sin()cos(απ
απ ．
4．给出下列等式：
ααπααπααπsin )23cos()3(;tan )tan()2(;cos )23sin()1(=+=-=-其中正确的等式是 ．
二．教学单
【活动一】新课导入
问题1．还有一类重要的终边对称关系，就是关于直线y ＝x 对称．一个角为α，另一个角最简单的形式为 ．
在单位圆中，OP 为角α的终边，则OP /
为角 的终边．
点P (cos α，sin α)，P /( ， )． 由P ’与P 关于直线y ＝x 对称，则P /
( ， )． 故得公式五：
这组公式是初中直角三角形中两锐角间三角函数关系的推广．
问题2．还有几组公式，留给学生自己尝试推导：
公式六：
在公式的记忆上： ．
公式七： 公式八：
问题3．八组公式，合起来观察，所有的公式都可以看作是π2
·k ＋α，k ∈Z ，当k 为偶数时，为前四组公式，函数名不变；当k 为奇数时，后四组公式，函数名改变．
所有公式可归纳为“奇变偶不变，符号看象限”．
【活动二】知识板块教与学
例2．化简：①sin(π＋2)＋cos(π2－2)； ②1＋2cos(π2－α)·cos(π＋α)sin 2(π－α)－sin 2(3π2
－α)． 点评： 在应用三角函数诱导公式时，要注意理解口诀“奇变偶不变，符号看象限”．
例3求值：①已知tan(3π2＋α)＝3，求cos 2(3π2
－α)的值． ②已知f (π2＋x )＝tan x ，求f (π3)，f (5π6
)．
例4．已知41)6sin(=+x π，求)3
(sin )65sin(2x x -+-ππ的值
【活动四】课堂检测
1．= 1110sin ．
2．已知53)4sin(=-
πα，则=+)4cos(πα ．
3．已知02,53)2sin(<<-=+αππα，则=-)4
cos(πα ．
【活动五】课堂总结
三．训练巩固单
1．=-)1920cos( ．
2．已知a =αcos ，则=+
)2sin(πα=+)cos(πα ．
3．化简=-+--)3tan()2sin()
sin()2cos(απαπαππα ．
4．已知,31sin =
x 则=-+-)2sin(2)23cos(x x ππ ．
5．已知,2
1)2sin(
-=+x π则=-)4cos(x π ．
6．已知20,51)4sin(
ππ<<-=-x x ，则=+)4
sin(x π ． 7．已知3)1(),tan()2cos()(-=-++
=f x b x a x f ππ，则=-)1(f ．
8．已知 18090,53)40cos(<<=
-x x ，则=+)50cos(x ．
9．已知的值试求x x x x x 2tan )2
3cos()2tan()5cos(,91sin ++--=πππ．
10．已知的值试求）（)sin()cos(2)2sin(5)2cos(
),4cos(23sin ααπαπ
αππααπ--+++--=+．。