特殊平面法向量的求法

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法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。

在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。

一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。

设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。

2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。

常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。

对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。

例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。

而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。

二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。

例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。

2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。

曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。

例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。

3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。

而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。

切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。

4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。

对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。

5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。

对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。

平面法向量的求法法向量怎么求

点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系

平面法向量的快速求法叉乘

平面法向量的快速求法叉乘平面法向量的快速求法叉乘---------------------------------平面法向量（Plane Vector）是现代几何学中一种重要的概念，它被广泛应用于工程、科学、数学等多个领域。

平面法向量定义为一组三个元素的数组，由一条有向线段的起点（A）和终点（B）构成。

它可以用来表示一个平面上的向量或一个三维空间中的向量。

叉乘（Cross Product）是一种常见的矢量运算，它通常用来求两个三维向量的叉乘积。

平面法向量的叉乘也是一种有用的运算，它可以用来求出两个向量在平面上的叉乘结果。

在求解平面法向量叉乘时，最常用的方法是使用叉乘定理，即使用另外两个向量来表示原始向量，然后将这两个向量分别叉乘，最后将叉乘的结果相加求得最终的叉乘结果。

这是一种相对比较复杂的计算方法，而且在计算大量数据时会耗费大量时间。

为了解决上述问题，人们开发了快速求法叉乘法（Fast Cross Product Method），这是一种计算平面法向量叉乘的新方法。

该方法不需要使用叉乘定理，而是直接使用原始向量来计算叉乘。

其核心思想是：将原始向量分别作为三个平面法向量，然后将这三个向量相乘，最后得出最终的叉乘结果。

在实践中，使用快速求法叉乘的方法可以很大地提高计算效率。

因为它不需要使用叉乘定理来计算叉乘，而是直接使用原始向量来计算叉乘，这样就能大大减少计算时间。

此外，该方法还具有较好的计算准确性，因为它不会出现因叉乘定理而产生误差的情况。

总之，快速求法叉乘法是一种有效的计算平面法向量叉乘的新方法。

该方法不仅能够大大提高计算效率，而且还具有较好的计算准确性。

因此，快速求法叉乘法已成为计算平面法向量叉乘的常用方法。

平面的法向量定义

平面的法向量定义平面的法向量是指垂直于该平面的矢量。

在数学和物理学中，法向量是研究平面性质和解决与平面相关问题的重要工具。

本文将介绍平面的法向量的概念、性质和应用。

一、概念平面的法向量是指与该平面垂直的矢量，它垂直于平面的每一个点。

平面上的每个点都有一个唯一的法向量。

法向量可以用有序数对或坐标表示，也可以用矢量符号表示。

通过法向量，我们可以确定平面的方向和倾斜程度。

二、性质1. 平面的法向量与平面上的任意两个不重合的向量都垂直。

2. 平面的法向量与平面上的任意两个平行的向量也平行。

3. 平面的法向量的模长等于平面上任意两个不重合向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。

三、求法向量的方法1. 已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量运算求出平面的法向量。

设向量AB=a，向量AC=b，则平面的法向量n=a×b，其中“×”表示向量的叉乘。

2. 已知平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以用系数A、B、C构成的向量作为平面的法向量。

四、应用1. 判断平面的位置关系：通过比较两个平面的法向量可以判断它们的位置关系，如平行、垂直或相交。

2. 求直线与平面的交点：直线与平面相交时，可以使用平面的法向量和直线的方向向量求解交点的坐标。

3. 求平面的方程：已知平面上的一点和法向量，可以利用点法式或一般方程求解平面的方程。

4. 求平面的倾斜度：平面的法向量可以用来表示平面的倾斜程度，根据法向量的大小可以判断平面的倾斜程度。

总结：平面的法向量是垂直于该平面的矢量，它可以用来描述平面的方向和倾斜程度。

通过法向量，我们可以判断平面的位置关系、求解直线与平面的交点、求解平面的方程以及判断平面的倾斜程度。

熟练掌握平面的法向量的概念、性质和应用，对于解决与平面相关的问题具有重要意义。

法向量的快速求法

法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。

2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。

设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。

向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。

3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。

曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。

切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。

平面法向量的求法

平面法向量的求法教学目的:掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务; 教学重点:熟练应用速算方法求出法向量教学难点:平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量教学过程: ,,aa,,1、定义:如果，那么向量叫做平面的法向量。

,2、法向量坐标的求法(1)方程法ABCD例1:(2010浙江理数)如图，在矩形中，点分别在线段EF,ABAD,2EF上，.沿直线将AEEBAFFD,,,,43''AEFBEF,平面,AEF翻折成，使平面. ,AEF'(?)求二面角AFDC,,的余弦值;【评析】(2)含0速算法如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。

ABC例2、(08陕西卷理科第19题)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几,ABC何体如图所示，截面为，，平面，，，,BAC90ABCAA,AA,311111AC,2，，((?)求二面角的大小( AB,2AC,1ACCB,,111zC1 A1 B1A y C Bx【评析】【探究】已知 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC的一个法向量为(3)公式法:已知平面 ,a,(x,y,z),b,(x,y,z),的两个非零不共线向量111222则面,的一个法向量n,已知平面 ,a,(1,3,4),b,(2,6,3),练习:的两个非零不共线向量则面,的一个法向量n,【评析】3、应用练习:ABCABC,111E如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，BCCC1CF是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合(设CAFE,,,tan,二面角的大小为，求的最小值(。

平面法向量公式

平面法向量公式
平面法向量是指平面上一组向量，也称平面方向向量，它指向平面正方向。

平面法向量公式指出三个不同的点之间的关系。

如果A，B，C是三个点，则平面法向量公式为： N= (B-
A)X(C-A)
算法法向量是根据空间几何学中夹角的定义引入的，它由夹角旁的对边构成，表示该夹角的正方向，也就是平面的正方向。

平面法向量的计算依赖于向量的知识，具体来说，要确定任意三点组成平面的法向量，首先需要确定三点坐标，例如三点 A，B，C的坐标分别为(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)。

法
向量表示为N，可以采用叉乘公式计算：N= (A2-A1)X(A3-
A1) 。

法向量表示多维物体旋转或平移的方向，在计算机图形学、力学、热力学中都广泛应用。

在计算机图形学中，法向量用于求解光照系统，确定视角变换，确定Bézier曲面等。

力学中，
可以利用法向量来计算滑动及接触方向，以及单位磁场和单位耗散磁场，确定磁力线分布等。

热力学中，可以利用法向量求解相变平衡的条件，确定温度、流量及压力等变量的关系。

总之，平面法向量公式被广泛应用于多个领域，有助于计算几何学中相当复杂的问题，可以用于碰撞检测，模拟对象的重力行为，以及物理系统的仿真等。

以上就是对平面法向量公式的介绍，从定义它的基本原理，到它在各领域的重要作用，都有了更深入的认识。

可以看出，平面法向量公式是一个有效的工具，可以用于重要的研究与实践，相信它会带给我们更多新的应用。

高中平面法向量的求法

高中平面法向量的求法高中物理中，平面法向量是一个十分重要的概念。

在日常物理学习中，无论是解析几何还是向量的求解，都会涉及到平面法向量的计算。

平面法向量的求法有多种，下面将会对其进行归纳总结，供大家参考学习。

一、什么是平面法向量在空间中，一个平面的正面和反面是分别存在的，通过平面法向量就可以确定平面的朝向。

平面法向量是一个与平面垂直的向量，其长度可以为任意值，但方向必须与平面法线一致。

平面法向量的两端点可以位于平面上的任意两个不同点，因此平面法向量不唯一。

二、平面法向量的求法1.已知平面方程式求平面法向量如果已知平面方程式Ax+By+Cz+D=0，则平面法向量可以由系数A、B、C直接读出，即法向量的坐标为(A,B,C)。

2.已知平面上的三点求平面法向量如果已知平面上的三点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)，则可以通过叉乘运算得到平面法向量。

具体步骤如下：1）连接P1和P2两点，得到向量v1=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)；2）连接P1和P3两点，得到向量v2=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)；3）通过叉乘得到平面法向量n=v1×v2。

需要注意的是，如果向量v1和v2所在的直线平行，则无法通过叉乘求得平面法向量。

3.已知平面上一点和平面法向量求平面方程式如果已知平面上的一点P(x0,y0,z0)和平面法向量n，平面方程式可以通过点法式直接得到：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量n 的坐标，D为-Ax0-By0-Cz0。

本文列举了平面法向量的三种求法，希望能够对广大高中生以及学习物理的同学有所帮助。

在平面法向量的学习过程中，重要的是理解其概念以及如何进行计算，而不是死记硬背公式。

只有通过深入理解，我们才能够在学习中游刃有余，事半功倍。

特殊平面的法向量及应用

则
一（ａ６０，一，，）
一（口０ｃ，一，，）
设平面ＡＣ的法向量为ｍ：（Ｙ）Ｂｚ，，，
由｛由ｆ Ⅷ＿得ｆ船＋ｙ０ＡＣＢ。：＋一ｂ得ｉ一。一
．ｍ — ｏ
适当的坐标系，取特殊平面，可能使所需点在选尽坐标轴上或由坐标系确定的平面上；妙利用特巧
￣１５／０
．
由
・＝０得一衄＋ｂｍｙ一０．
令一得一，以一百）丢丢垅（，，所１．ｏ
从上述定理还可得到如下推论：推论１若Ｙ轴 ∥ 平面ＡＢＤ，面ＡＤＣ平ＢＣ
截Ｘ轴、轴的截距分别为ｎ，，平面ＡＤ的一ｚｃ则ＢＣ个法向量为（，，）三０三．
∞
棱柱ＡＤ—Ａ１１１中，Ｂ一１Ｂ一 √ ＋ＢＣＢＣＤ１Ａ，Ｂ１３１Ｅ为Ｂ上使ＢＥ一１，Ｂ的点．面Ｃ交ＤＤ平于Ｆ，ＡＤ交的延长线于Ｇ求二面角Ａ— ＣＧ— ．Ａ的正切值．解：图３延长Ａ交Ａ于Ｍ，如，ＥＢ连接ＭＧ，则ＭＣＧ三点共线，由已知得：
经过类比推理不难得到上例中的错因：
２Ｌ２
不仅能拓展其思维的领域，而且有助于发展学生
的创造性思维和能力．当然，正如引文所述，类推
法有时也是一把 “ 刃剑 ” 但只要我们在运用类双，

平面法向量的快速求解方法

平面法向量的快速求解方法
咱先得知道啥是平面法向量。

简单说呢，平面法向量就是跟这个平面垂直的向量。

那咋求它呢？
有一种挺好用的方法哦。

假如说咱们有一个平面，这个平面是由两个不共线的向量确定的，比如说向量a和向量b。

那这个平面的法向量n就可以设成（x，y，z）。

然后呢，根据法向量和这两个向量都垂直的性质来列方程。

啥叫垂直呢？就是它们的点积为0呀。

那就是n·a = 0，n·b = 0。

这就得到了两个方程，像如果向量a =（a1，a2，a3），向量b =（b1，b2，b3），那就有a1x + a2y+ a3z = 0和b1x + b2y + b3z = 0。

这时候咋解呢？宝子们可别慌。

咱们可以给x或者y或者z先随便赋个值。

比如说，咱令x = 1，然后把这个值代入到那两个方程里，就变成了关于y和z的方程组啦。

解这个方程组就能求出y和z的值啦，这样法向量n就求出来了。

还有一种特殊情况呢。

要是这个平面在坐标轴上有特殊的关系，那求法向量就更简单了。

比如说平面平行于某一个坐标轴，那法向量在这个坐标轴方向上的分量就为0。

就像平面平行于x轴，那法向量就是（0，y，z）这种形式，再根据平面上的向量关系求出y和z就好啦。

宝子们，求解平面法向量其实没那么可怕，只要掌握了这些小技巧，就像找到了小捷径一样。

多做几道题，熟练了之后，一看到求平面法向量，心里就有底了，再也不会抓耳挠腮啦。

加油哦，宝子们，数学的小怪兽咱一个个打败！。

法向量的计算公式

法向量的计算公式平面的法向量怎么求建立恰当的直角坐标系；设平面法向量n=（x，y，z）；在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3），b=（b1，b2，b3）；根据法向量的定义建立方程组n·a=0与n·b=0；解方程组，取其中一组解即可。

1平面法向量的具体步骤（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0②n·b=05、解方程组，取其中一组解即可。

法向量公式是：由向量AB和BC可知，当B=(0，0，0)，则A(x1，y1，z1)，C(x2，y2，z2)。

则直线AB：x/x1=y/y1=z/z1，直线CB：x/x2=y/y2=z2。

因此，过B和直线AB垂直的面方程为：x1x+y1y+z1z=0，过B和直线CB垂直的面方程为：x2x+y2y+z2z=0，联立上述两方程可得过B和直线AB，CB都垂直的直线方程：x/(y2z1-y1z2)=y/(x1z2-x2z1)=z/(x2y1-x1y2)。

即所求法向量为(y2z1-y1z2，x1z2-x2z1，x2y1-x1y2)。

垂直于一个面的向量就是这个面的法向量先表示出这个面中两个不平行的向量设法向量n=(x,y,z)然后用n点乘找出的两个向量都等于零得出一个不等式组，里面有三个未知数令x,y,z其中任意一个为1，然后就可以表示出法向量n了，n可以为不同的值。

也可以相反，只要垂直这个面的就行然后任何一个向量与n相乘为O就与n垂直，也就与此面平行如果一个向量可以表示成λn（λ是任意实数，n是刚才的法向量），那么就与n平行，也就与此面垂直。

平面法向量的求法

轴平行轴平行轴平行
② 单○r 就是面谁○谁垂r 直若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴谁非谁平行
② 单○就是面谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成：三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出：面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1）面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0）面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur

法向量的算法与举例

法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。

然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。

[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。

[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。

如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。

关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。

由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。

二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。

由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。

例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。

平面法向量的求法法向量怎么求

mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
证明：平面A1AD平面BCC1B1；求二面角ACC1B的正切值．
BD1
．DC2
B1
A1
C1
A B
C
D1
3．如图，正四棱柱ABCDABC111D1中，AA12AB4，A1
5.平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC//
1
AD，
1
1
点E在CC1上且C1E3EC．BE//
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:

法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法法向量是指与平面或曲面相切且垂直于切平面或切曲面的向量。

在数学和物理领域中，法向量的求法和应用非常广泛。

本文将介绍法向量的求法以及在几何学、物理学和计算机图形学中的应用方法。

一、法向量的求法1.平面的法向量：给定平面方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，可以直接读取得到。

这是最常见也是最简单的求法。

2.曲面的法向量：对于一般的曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是曲面方程的函数，可以使用梯度算子求解法向量：-计算曲面方程在其中一点(x0,y0,z0)处的梯度矢量：∇F(x0,y0,z0)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，其中∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z是偏导数。

-梯度矢量就是曲面在该点处的法向量。

3.曲线的法向量：对于曲线方程F(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线的参数，可以使用导数求解法向量：-对曲线方程求导得到F'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，其中x'(t)、y'(t)、z'(t)是曲线的导数。

-导数矢量就是曲线在该点处法向量的方向。

二、法向量的应用方法1.几何学中的应用：法向量是几何学中一个重要的概念，它可以用来判断两个平面或曲面的关系，如判断两个平面是否相交、平行或垂直。

在几何图形的旋转、平移和投影中，法向量也起到了重要的作用。

此外，法向量还可以用来计算曲面的面积和曲线的弯曲性等几何属性。

2.物理学中的应用：在物理学中，法向量有广泛的应用。

例如在力学中，力的方向可以通过物体表面的法向量来表示。

在光学中，光线的传播也可以通过曲面上的法向量来描述。

在电磁学中，电场和磁场的变化也可以通过法向量来表示。

法向量还可以用来计算曲面的斜率、曲率和高斯曲率等物理量。

3.计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，法向量通常用于表达物体表面的方向，以便进行光照和着色计算。

平面法向量的求法及其应用

平面法向量的求法及其应用四川省华蓥中学叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。

1、平面法向量的求法：先来看看比较笨的方法。

(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。

例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。

求面AMC 的一个法向量。

析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则：标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2）其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。

说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。

综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2）说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。

求法向量的方法

求法向量的方法
以“求法向量的方法”为标题，写一篇3000字的中文文章
《求法向量的方法》
法向量是一种重要的数学实体，它主要用于解决多元函数和微分几何问题。

在研究函数本质特性、求解曲面特征、分析多变量问题时，法向量是信息处理的一个基本工具。

由于它的重要性，本文给出了一种法向量求解方法。

首先，正确定义法向量。

“法向量”指在一个几何平面上，一个点与一个直线之间的垂直距离，其单位向量表示为n。

法向量的模的定义是点到直线的距离。

其次，求解法向量的具体方法。

法向量的求解主要分为以下几个步骤：
1.确定函数的切线斜率。

先应用求导的方法确定函数的斜率，记为k；
2.用斜率代入法向量等式。

法向量的公式为n=(k+1, -1)/√
2(k2+1)；
3.计算出法向量。

将斜率代入法向量等式求出法向量数值；
4.求解出结果。

最后求解出法向量的值，它是一个单位向量，表示方向而非大小。

最后，讨论法向量的应用。

求法向量的方法可用于曲面的特征求解、几何位置的定位、最佳路径的求解等。

无论是几何要素的求解还是多元函数的计算，法向量都可以提供一种新的视角。

综上所述，从求法向量的方法来看，法向量在解决多元函数和微分几何问题中具有重要意义。

它可用于函数本质特性的研究、曲面特征的求解、多变量问题的分析以及几何要素的求解及最佳路径的求解等，能够提供更多的信息处理方法。

随着计算机科学的进步，法向量的求解是将为解决和分析更多现实世界难题提供基础。

平面方程求法向量公式

平面方程求法向量公式在空间几何中，平面是一个重要的概念。

平面可以用平面方程来表示，而法向量则是平面的一个重要特征。

本文将介绍如何通过平面方程来求解平面的法向量，并给出相应的公式。

一、平面方程的基本形式平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B和C为平面的系数，D为常数。

这个方程表示了平面上所有点的坐标满足该方程。

二、法向量的定义对于平面上的任意一点P(x, y, z)，过该点的平面的法向量可以表示为一个向量N = (A, B, C)，其中A、B和C为平面方程的系数。

三、求法向量的方法1. 已知平面方程的系数如果已知平面方程的系数A、B和C，那么法向量可以直接由系数得到，即N = (A, B, C)。

例如，对于平面方程2x + 3y - 5z + 4 = 0，法向量可以表示为N = (2, 3, -5)。

2. 已知平面上的三个点如果已知平面上的三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)，那么可以通过这三个点来求解法向量。

可以通过两个向量P1P2和P1P3来构造一个法向量。

向量P1P2可以表示为V1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，向量P1P3可以表示为V2 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)。

然后，将这两个向量进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2。

例如，已知平面上的三个点P1(1, 2, 3)，P2(3, 4, 5)和P3(5, 6, 7)，可以通过这三个点来求解法向量。

向量P1P2可以表示为V1 = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (2, 2, 2)，向量P1P3可以表示为V2 = (5 - 1, 6 - 2, 7 - 3) = (4, 4, 4)。

然后，将向量V1和V2进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2 = (2, 2, 2) × (4, 4, 4) = (-8, 8, 0)。

法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。

平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。

由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。

其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。

、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。

)例 1、已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中，求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。

求平面法向量的一些小技巧

（１，０，０）， ‘ ． ‘ ，ｌ上 ∥．，ｌ・ｅ＝０，即１ｘｘ＋Ｏｘｙ＋Ｏｘｚ＝ｘ＝Ｏ。
一
・
．
解：由题可知ＳＤ、ＤＡ、ＤＣ两两互相垂直，
．
如图２建立空间直角坐标系：
・
．．
Ｓ（、／了 Ⅱ ，０，０），Ａ（０，０，０），Ｂ（０，ｎ，２ａ），Ｃ
面：（０，。，２。）
（０，０，２ａ），Ｄ（０，０，０）
・．．
技巧１：如果某一个平面经过（或平行）于某一坐标轴，则该平面的法向量相应的那一个分坐标可设为零。因为改变一个非零向量的模的大小不会改变其方向，所以还有如下两个小技巧：技巧２：如果某一个平面不平行（不经过）于某一坐标轴（从而其法向量相应的那个分坐标不为零），可设其法向量相应的那个分坐标为１。技巧３：如果求出某一个平面的法向量坐标里有分数，则可用该法向量各分坐标的最小公分母乘以该向量使其坐标整数化。例题：如图１，多面体ＡＢＣＤＳ中，面ＡＢＣＤ为矩
考点聚焦
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● 林延山
我们知道，用空间向量的直角坐标方法解答立体几何问题有其独到的优势，而在用坐标法解答立体几何问题过程中，准确地求出相关平面的法向量是关键。下面笔者根据多年的教学经验，介绍一些求平面法向量的小技巧，利用这些小技巧可以大大减少运算量，从而使得解题过程简便、快捷。先来看一个结论：定理：在空间直角坐标系中，如果一个平面经过（或者平行）于某一坐标轴，则这个平面的法向量相应的那一个分坐标必等于零。证明：不妨假设某一个平面Ｏｌ经过（或者平行）于轴，设平面的法向量为，ｌ＝（，ｙ，ｚ），记口＝