1.20解三角形周测

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高一周测试题数学(解三角形)2018-4

高一周测试题数学(解三角形)2018-4一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，下列等式不成立的是( )A ．c ＝a 2＋b 2－2ab cos C B.a sin A ＝bsin B C ．a sin C ＝c sin A D ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22abc2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°3．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( )A ．76B ．219C ．27D ．274．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2，则三角形的最大内角是( )A ．135°B ．120°C ．60°D ．90°6．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c 设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 7．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >C B ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定 8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形 9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3 B ．6 C ．3 6 D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________. 14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12. (1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求AB 的值； (2)求sin(2A ＋C )的值．20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A (3,4)、B (0,0)、C (c,0)．(1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．21．(12分)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60 °，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A .高一数学测试（解三角形）2018-4一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，下列等式不成立的是( ) A ．c ＝a 2＋b 2－2ab cos C B.a sin A ＝b sin B C ．a sin C ＝c sin A D ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22abc 答案 D解析很明显A ，B ，C 成立；由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以D 不成立． 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°答案 B解析由S △ABC ＝33＝12×3×4sin C ，得sin C ＝32，又角C 为锐角，故C ＝60°. 3．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27 D ．27 答案 B解析由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝76，所以b ＝219. 4．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 答案 D解析由正弦定理，得a sin A ＝b sin B .所以sin B ＝b a sin A ＝434sin30°＝32.又a <b ，则A <B ，所以B ＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2，则三角形的最大内角是( ) A ．135° B ．120° C ．60° D ．90°答案 B 解析a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，则长为a 2＋ab ＋b 2的边所对的角最大．由余弦定理，得cos α＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°. 6．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c 设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，则b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以C ＝π3.7．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( ) A ．B >C B ．B ＝C C ．B <C D ．关系不确定答案 B8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形答案 B9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( ) A ．8,10 B ．10,10 C ．8,12 D ．12,8答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A . 由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c，将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8. 12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6答案 C解析由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ， OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2. 在△AOB 中，由余弦定理，得 AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 2π3＝6.∴AB ＝6，故△ABC 的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________. 答案 4 2解析 B ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a ＝sin A sin B b ＝sin30°sin45°×8＝4 2. 14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________. 答案 3解析在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC ＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________. 答案 725解析由题意，得S ＝12CA ×CB sin C ，则12＝12×5×8sin C .所以sin C ＝35.则cos2C ＝1－2sin 2C ＝725.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.答案 2034033解析如下图所示，甲楼高为AB ，乙楼高为CD ，AC ＝20 m.则在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝20(m)，所以AB ＝AC tan60°＝203(m)，在△BCD 中，BC ＝40(m)，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC ＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，所以CD ＝sin ∠CBD sin ∠BDCBC ＝4033.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思路分析 (1)转化为求cos A ；(2)求出bc 的值即可．解析 (1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12， ∴cos(B ＋C )＝12.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝12.∴cos A ＝－12. 又∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A . 则(23)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos 2π3. ∴12＝16－2bc －2bc ·(－12)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×4×32＝ 3.18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4. 故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin B AC ＝3 2. 所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2. 19．(12分)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34. (1)求AB 的值； (2)求sin(2A ＋C )的值．解析 (1)由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝4＋1－2×2×1×34＝2. ∴AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34且0<C <π，得sin C ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，解得sin A ＝BC sin C AB ＝148.所以cos A ＝528.由倍角公式，得sin2A ＝2sin A cos A ＝5716，且cos2A ＝1－2sin 2A ＝916.故sin(2A ＋C )＝sin2A cos C ＋cos2A sin C ＝378.20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A (3,4)、B (0,0)、C (c,0)．(1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．解析 (1)方法一 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5，sin B ＝45.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5.根据正弦定理，得|BC |sin A ＝|AC |sin B ⇒sin A ＝|BC ||AC |sin B ＝255.方法二 ∵A (3,4)、B (0,0)，∴|AB |＝5.当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5.根据余弦定理，得cos A ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB ||AC |＝55.sin A ＝1－cos 2A ＝255. (2)已知△ABC 顶点坐标为A (3,4)、B (0,0)、C (c,0)，根据余弦定理，得cos A ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB ||AC |. 若∠A 是钝角，则cos A <0⇒|AB |2＋|AC |2－|BC |2<0，即52＋[(c －3)2＋42]－c 2＝50－6c <0，解得c >253.21．(12分)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60 °，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2＝1.414，6≈2.449)．解析在△ABC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B 、D 的距离约为0.33 km22．(12分)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A .解析 (1)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x .所以当2x ＝－π2＋2k π，即x ＝－π4＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13，求得sin B ＝223.由此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36.。

高中数学第一章解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试(含解析)新人教A版必修

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《解三角形的实际应用举例—距离问题》同步测试一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆BA,间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB）测得∠=50°，则BACBA,间的距离应为（）A．15︒tan米D．15︒50cot米5050cos米 C．15︒sin米 B．15︒502、已知有长为100米的斜坡AB，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD，则DB的长是__________米。

3、如图，某船向东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．214海里 C．7海里D．14海里7海里B．22．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为3. 隔河可看到两目标BC,两点，并测得A,，但不能到达，在岸边选取相距3km的D∠30ADC,︒=ADB，（D∠45=∠45=BCD，︒∠75︒ACB，︒=,,在BCA,同一平面内)，求两目标BA,之间的距离。

解三角形。数列周测题(含答案)

解三角形.数列周测题一选择题:（5′×10=50′）1、已知ABC ∆的三边满足ab c b a 3222-=+，则此三角形的最大的内角为（）A 、︒150B 、︒135C 、︒120D 、︒602、等腰三角形的一个腰长是底边长的2倍，则它的顶角的正切值为（） A 、23 B 、3 C 、815 D 、7153、已知ABC ∆的三边c b a ,,成等差数列，ABC ∆的面积为︒=∠30,23B ，那么=b （）A 、231+ B 、31+ C 、232+ D 、32+4、已知钝角三角形三内角的度数成等差数列，若其最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是（）A 、)2,1(B 、),2(+∞C 、),3(+∞D 、),3[+∞5、数列}{n a 中，11=a ，对于所有的*,2N n n ∈≥都有221n a a a n =⋅⋅⋅ ，则53a a +等于（） A 、1661 B 、925 C 、1625 D 、15316、已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足85<<k a ，则=k （）A 、9B 、8C 、 7D 、67等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足4020S S =，下列结论中正确的是（）A 、 30S 是n S 中的最大值B 、30S 是n S 中的最小值C 、030=SD 、060=S 8、已知d c b a ,,,成等比数列，且抛物线322+-=x x y 的顶点是（c b ,），则ad 等于（） A 、3 B 、2 C 、1 D 、-29、设)(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若n n f a a n (),(,211==为常数），则数列}{n a 的前n 项和n S 的取值范围是（）A 、 )2,21[B 、]2,21[C 、]1,21[D 、)1,21[10若}{n a 是等差数列，首项0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a ，，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是（）二、填空题：（5′×4=20′） 11、已知ABC ∆的面积)(41222c b a S -+=，则C ∠的度数为＿＿＿。

高一数学解三角形数列周测试题

高一数学解三角形、数列周测试题1.（2007重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（） A.33- B.2 C.2 D.33+2.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）33.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（）A ．14B ．34C ．24D ．234．（2005北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形5．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（） A ．231+ B ．31+ C ．232+D ．32+6．（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（）（A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-7．（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（）（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）358．（2010辽宁文数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）69．（2010辽宁理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

解三角形周末+Word版含解析

第05周解三角形（测试时间：60分钟，总分：90分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1,3,30a b A === ，则B = A ．60 或120 B ．60 C ．120D ．30或150【答案】A 【解析】∵sin sin a b A B =，∴13sin30sin B=︒，∴3sin 2B =，∵b a >，∴60B =︒或120 ，故本题选A.2．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2c =，221a b =+，则cos a B =A ．58 B ．54C ．52D ．5【答案】B【解析】由余弦定理得，2222212cos 154cos a b a c ac B a a B=+=+-+=+-554cos 0cos 4a B a B ⇒-=⇒=,故选B. 3．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于 A ．32 B ．2 C ．43D ．3【答案】B【解析】2sin 23sin b A a B =4sin cos 3sin 4sin sin cos 3sin sin b A A a B B A A A B ⇒=⇒=2224cos 343,2b c a A bc+-⇒=⇒⋅=22c b a b =∴= ，，选B.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 4．在中，，，分别为角，，的对边，若2a b +=，，则角的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得，又()2221211cos 12222a b ab c ab C ab ab ab +---===-≥-,时等号成立.所以120C =︒时为最大值.选C ．5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()sin sin 2sin2C B A A +-=，且2c =，π3C =，则ABC △的面积为 A ．233B ．3C ．433D ．533【答案】A6．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，60,1A b == ，这个三角形的面积为3，则ABC △外接圆的直径是 A ．39B ．393 C ．396D ．2393【答案】D【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基础题；由已知利用三角形面积公式可解得c ，由余弦定理即可求得a 的值，利用正弦定理即可得ABC △外接圆的直径2R .7．在中，若，,则一定是A ．钝角三角形B ．正三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰直角三角形【答案】B【解析】在ABC △中,∵22,sin sin sin a b c A B C =+=,∴由正弦定理可得2a =b +c ,且a 2=bc .再由余弦定理可得：()2222222222421cos 2222b c bc a b c a a a a A bcbc a +--+---====,3A π∴=. 再根据()()22224440b c b c bc a a -=+-=-=，可得b =c ，故ABC △一定是等边三角形，故本题选择B 选项.【名师点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．8．在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o sc o s 23s i n3s i n B C A b c C+=，cos 3sin 2B B +=，则a c +的取值范围是A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】cos cos 23sin 23sin 23cos cos 3sin 3sin 3B C A bc A c B b C ab b c C C +=∴+==，，()23sin 3sin sin 32b A B C A b ∴+==∴=，，πcos 3sin 2,,21,3sin b B B B R B+=∴=∴== ()2π33π2sin sin 1sin sin sin cos 3sin ,3226a c R A C A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=⨯+-=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ2π3π30,,3sin 3,32663262A A A a c ⎛⎫<<∴<+<∴<+≤∴<+≤ ⎪⎝⎭. 故选A.【名师点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若::7:8:13a b c =，则C =__________. 【答案】120【解析】设7,8,13a k b k c k ===，则由余弦定理得22222(78131cos ,1202)782k k C C +-==-=⋅⋅.10．已知ABC △的内角所对的边分别为，若3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则=____________. 【答案】34π11．如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】由正弦定理有：10sin sin 45k A =，则，，结合图象可得，当时满足题意，此时.12．ABC △的三个内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，R 是ABC △的外接圆半径，则下列四个条件：（1）()()3a b c a b c ab +++-=；（2）sin 2cos sin A B C =；（3）cos ,cos b a C c a B ==；（4）()()222sin sin 2sin R A C a b B -=-.有两个结论：甲：ABC △是等边三角形；乙：ABC △是等腰直角三角形. 请你选出给定的四个条件中的两个作为条件，两个结论中的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题是__________．【答案】（1）（2）⇒甲或（2）（4）⇒乙或（3）（4）⇒乙【解析】以（1）（2）作为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：由()()3a b c a b c ab +++-=，变形得：22223a b ab c ab ++-=,即222a b c ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又C 为三角形的内角，∴C =60°，又()sin sin sin cos cos sin 2cos sin A B C B C B C B C =+=+=，∴()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=，∵B C -π<-<π，∴B −C =0，即B =C ，则A =B =C =60°，∴ABC △是等边三角形；以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：化简得：()sin sin sin cos cos sin 2cos sin A B C B C B C B C =+=+=，即()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=， ∵B C -π<-<π，∴B −C =0，即B =C ，∴b =c ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入()()222sin sin 2sin R A C a b B -=-得：()222222442a c b R a b R R R⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭，整理得：2222a c ab b -=-,又b =c ，∴2222a b ab b -=-，即22a ab =，∴2a b =，∴a 2=2b 2,又2222b c b +=，∴a 2=b 2+c 2，∴90A ∠=︒，则三角形为等腰直角三角形；以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入()()222sin sin 2sin R A C a b B -=-得：()222222442a c b R a b R R R⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭，整理得：2222a c ab b -=-,即2222b c a ab -=+，又2222cos b c a ab C =+-，2cos 452C C ∴=∴=︒，, 由cos cos b a C c a B ==，，根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos B A C C A B ==：，， ∴sin sin cos cos B CC B=，即sin cos sin cos B B C C =，∴sin 2sin 21B C ==，∴45B =︒，则三角形为等腰直角三角形.故正确的命题是：（1）（2）⇒甲或（2）（4）⇒乙或（3）（4）⇒乙.三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos πb A c a B =+-.（1）求角B 的大小；（2）若4b =，ABC △的面积为3，求ABC △的周长.【答案】（1）2π3;（2）425+．【解析】（1）∵()()cos 2cos πb A c a B =+-， ∴()()cos 2cos b A c a B =+-，由正弦定理可得：()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--， ∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=. 又角C 为ABC △内角， ∴sin 0C >， ∴1cos 2B =-．又()0,πB ∈， ∴2π3B =．（2）由1sin 32ABC S ac B ==△，得4ac =，又()222216b a c ac a c ac =++=+-=，∴25a c +=，所以ABC △的周长为425+．14．已知锐角ABC △中内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，满足226cos a b ab C +=，且2s i n 23s i ns i n.C A B = （1）求角C 的值；（2）设函数()()πsin cos 06f x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ωωω，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.【答案】（1）π6;（2）3(,0).2- 【解析】（1）因为226cos a b ab C +=，由余弦定理知2222cos a b c ab C +=+，所以2cos 4c C ab=，又因为2sin 23sin sin C A B =,则由正弦定理得：223c ab =，所以2233cos 442c ab C ab ab ===，所以π.6C =（2）()πππ33sin cos sin cos cos sin cos sin cos 66622f x x x x x x x x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭ωωωωωωωπ3sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω，由已知2ππ,2==ωω，则()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π3sin 23f A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π,6C =ππ0,022A B <<<<，所以ππ.32A <<所以π4ππ233A <+<,所以()30.2f A -<<即()f A 的取值范围是3(,0).2-15．如图所示，MCN 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为43平分千米的三角形主题游戏乐园ABC ，并在区域CDE 建立水上餐厅.已知120ACB ∠=，30DCE ∠=.（1）设AC x =，AB y =，用x 表示y ，并求y 的最小值；（2）设ACD θ∠=（θ为锐角），当AB 最小时，用θ表示区域CDE 的面积S ，并求S 的最小值.【答案】（1）2225616,y x x =++y 的最小值为43;（2）432sin 2S =+θ,S 的最小值为843-.（2）由（1）可知，434AB AC BC ===，，所以30BAC ∠=︒，在ACD △中，由正弦定理，sin 4sin 302sin sin(150)sin(150)AC DAC CD ADC ⋅∠︒===∠︒-︒-θθ，在ACE △中，由正弦定理，sin 4sin 302sin sin(120)sin(120)AC EAC CE AEC ⋅∠︒===∠︒-︒-θθ，所以，114sin 2sin(150)sin(120)32sin 2S CD CE DCE =⋅⋅∠==︒-⋅︒-+θθθ．因为θ为锐角，所以当π4=θ时，S 有最小值843-．。

东华高级中学高二数学第一周周测(解三角形过关题)

2013-2014学年度东华高级中学高二数学周测（一）班级：___________姓名：___________总分：___________一、选择题1．ABC ∆中，10,30,45=︒=︒=a B A ，则b 等于A ．25 B. 210 C. 610 D. 652．如图，要测出山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得60=AC m ，塔顶B 的仰角︒=45α，塔底C 的仰角︒15，则井架的高BC 为A ．220mB ．230mC ．320mD ．330m3．设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若C c b a cos )(+=,则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 4．下列判断中正确的是( )A. ABC ∆中,︒===30,14,7A b a ,有两解B. ABC ∆中, ︒===150,25,30A b a ,有一解C. ABC ∆中, ︒===45,9,6A b a ,有两解D. ABC ∆中, ︒===60,10,9A b a ,无解5．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,若AbB a cos cos =，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 6．在ABC ∆中，1,60,30=︒=︒=c C B ，则最短边的边长等于A.33 B. 26C.217．已知ABC ∆C 的大小为A.︒30 B . ︒45 C. ︒60 D. ︒758．ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ,,的对边，如果b c +=60A =，ABC ∆，那么a 为A.10B.6C.10D.69．已知ABC ∆的面积为3,3,23π=∠=ABC AC ，则ABC ∆的周长等于A ．33+B ．33C ．32+D 10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，S 表示ABC ∆的面积，若)(41,sin cos cos 222a cb S Cc A b B a -+==+,=B A ．︒90 B ．︒60C ．︒45D ．︒30二、填空题11．在ABC ∆中，3,7,2π===B AC BC ,则=AB ______；ABC ∆的面积是______．12．在ABC ∆中，如果2,30,sin 3sin =︒==b B C A ，则ABC ∆的面积为13．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，若321,222+=-+=b c bc c b a ，则B t a n 的值等于．14．在ABC ∆中, a =b =1cos 3C =，则ABC S =△_______三、解答题15．在ABC ∆中（1）︒===30,6,32A b a ，解三角形（2）5,3,7===c b a ，求最大角和C sin16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边长，B a A b c cos cos )2(=-. (Ⅰ)求角A 的大小； (II)若2=a ，ABC ∆的面积为1，求c b ,.17．设锐角三角形ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a sin 2=．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围．18．如图，货轮每小时230海里的速度向正东方航行，快艇按固定方向匀速直线航行，当货轮位于1A 处时，快艇位于货轮的东偏南︒105方向的1B 处，此时两船相距30海里，当货轮航行30分钟到达2A 处时，快艇航行到货轮的东偏南︒45方向的2B 处，此时两船相距)13(15-海里。

解三角形单元测试题及答案-精品.pdf

5，
BC＝
7，则
sin sin
B的值为 C
(
)
8
5
5
3
A. 5
B. 8
C.3
D.5
6．已知锐角三角形的边长分别为 2,4， x，则 x 的取值范围是 ( )
A ． 1<x< 5
B. 5<x< 13 C．1<x<2 5
7．在△ ABC 中， a＝ 15， b＝ 10， A＝ 60°，则 cos B 等于 (
13．在△ ABC
中，若
sin a
A＝
cos b
B，则
B＝ ________.
14．在△ ABC 中， A＝ 60°， AB＝ 5， BC＝ 7，则△ ABC 的面积为 ________．
15．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 64 海里的 M
处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 ________海里 /小时．
3,
2
3
2
1 即 cos B cos B
2
由 A ,知 B
3
6
3
3
sin B
，即得 sin B
2
2
6
5
, . 于是 B
,或 B
66
63
3 .
2 2 .
63
所以 B ，或 B .
6
2
若B
,则C
. 在直角△ ABC中， sin
1 ，解得 c
6
2
3c
若B
, 在直角△ ABC中， tan
1 , 解得 c
3.

必修5《解三角形》综合测试题及解析【教师版】

专题复习正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．高考模拟1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于___5___．解析 ∵S ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×c ×sin 45°＝2. ∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b 2＝25，b ＝5.2．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是____等腰或直角____三角形．解析由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于____－34____．解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于___725_____．解析先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解．由b sin B ＝c sin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为___6365___．解析依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)· cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝___4___.解析在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝___－12__. 解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32和sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__[2，5]___．解析因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －a 2bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －sin A ，得b c ＋cb＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋cb 的取值范围是[2，5]．9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β. (1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β＝hd ＋H(H －h )d≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值． (1)证明因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)解因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.11．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.《解三角形》综合测试题（A ）Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是【 A 】A ．B ．C ．D ．答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =.故选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于【 D 】 A ．o 105 B ．o60 C ．o15 D ．o105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C =，得sin sin c A C a ==，则o 45C =或o135C =.故当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于【 D 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅= ||AB ⋅ ||cos(BC π )B -=1975()1935⨯⨯-=-.故选D .4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A .5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =， 6c =，o 60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是【 B 】A ．①②B ．①④C ．①②③D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是【 A 】A ．2B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin 8A =，故1242S =⨯⨯82=.故选A . 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++t a n t a nA B =⋅，则ABC ∆的面积为【 C 】A ．32 B ． C D ．52 答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即t a n ()A B +=又A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.故选C . 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos 3B =，1a =，则b =_________.解析：由cos B =，得sin 3B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =o 120B =，则a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a +-0=，解得a =(舍去负值).11.如果ABC ∆的面积是222S =C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.. 解析：由o 11sin sin 6022S bc A c ===4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =故sin sin sin a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =- ，(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________.答案：6π或o30.解析：由m n ⊥ 得0m n ⋅=sin 0A A -=，即sin 0A A -=，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin aB b A cC +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o60C ∠=时，o o 180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =.当o120C ∠=时，o o 180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =.故1b =，o60C ∠=，o75B ∠=或1b =，o120C ∠=，o15B ∠=.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =，5b =，S =c .解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=sin C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-.（1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =；（2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =综上可知c .20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数；（2）求边c 的长度；（3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==12222⨯⨯=.《解三角形》综合测试题（B ）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.在ABC ∆中，已知sin 1B =，3b =，则此三角形【 D 】A .无解B .只有一解C .有两解D . 解的个数不确定答案：D .解析：由sin 1B =得o90B =，只知一边3b =，故三角形解的个数不确定.故选D .2.在ABC ∆中，已知o60A =，19b =，ABC ∆的面积S =，则a 等于【 C 】 A .84 B .48 CD答案：C . 解析：由o 11sin 19sin 6022S bc A c ==⋅⋅=84c =，故222a b c =+o 2cos60bc - 5821=，故a =故选C .3.在ABC ∆中，o60A =，a =b =B 等于【 A 】 A . o45 B .o 135 C .o 45或o135 D . 以上答案都不对答案：A .解析：由正弦定理可求得sin B =<b a ，故o <60B A =，故o45B =.故选A . 4.在ABC ∆中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆一定是【 B 】A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 以上都有可能答案：B .解析：由已知根据正、余弦定理得22222222b c a a c b a b cac ab+=+-+-+，整理得2222()()b a b c a c -+- ()bc b c =+，即233()()()()b c a b c bc b c bc b c +=+++=+，故22222a b bc c bc b c =-++=+，故ABC ∆为直角三角形. 故选B .5.在ABC ∆中，lg lg lg(sin )a b B -==-B 为锐角，则A 为【 D 】 A . o90 B . o45 C . o60 D . o30 答案：D . 解析：由已知得sin a B b ==，又B 为锐角，故o45B =；又sin sin a A b B ==，故1sin 2A =，故o 30A =.故选D .6.在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设2B A =，则ba的取值范围是【 D 】 A . (2,2)- B . (0,2) C .D. 答案：D .解一：因2B A =，故o o 1801803C A B A =--=-，故o o o o o o o 0<<900<2<900<1803<90A A A ⎧⎪⎨⎪-⎩，解得o30<o <45A，故sin 2cos sin b BA a A==∈，故选D . 解二：由正弦定理得sin sin 22cos sin sin b B A A a A A ===，因02<<B π，故022<<A π，即0< 4<A π，又A B C π++=，故3C A π=-，由题意得032<<A ππ-，故63<<A ππ，又04<<A π，故64<<A ππ<cos <A<2cos <A ，即2cos A ∈，即ba∈.故选D . 7.在ABC ∆中，若3sin 4B =，10b =，则边长c 的取值范围是【C 】A . 15(,)2+∞B . (10,)+∞C . 40(0,]3D . (0,10)答案：C .解析：由正弦定理可得40sin 3c C =，因0<sin 1C ≤，故400<3c ≤.故选C . 8.在ABC ∆中，若223coscos 222C A a c b +=，则a 、b 、c 的关系是【 A 】 A .2a c b += B . a b c += C . 2b c a +=D . a b c ==答案：A . 解析：由已知得1cos 1cos 3222C A a c b ++⋅+⋅=，即(1cos )(1cos )3a C c A b +++=，由正弦定理，得sin (1cos )sin (1cos )3sin A C C A B +++=，故sin sin cos sin A A C C +++sin cos C A3sin B =，即sin sin sin()3sin A C A CB +++=，又sin()sin AC B +=，故sin sin A C += 2sin B ，由正弦定理，得2a c b +=.故选A .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上）9.三角形一边长为14，它的对角为60，另两边之比为8:5，则此三角形的面积为____________.答案：解析：设另两边的长为8x 和5x ，由余弦定理，得222o2(8)(5)14cos6080x x x +-=，解得2x =，则另两边的长为16和10，故此三角形的面积为o11610sin 602S =⨯⨯⨯=10.在ABC ∆中，50a =，o 30B =，o120C =，则BC 边上的高的长度是__________.答案：.解析：由已知得o30A =，由正弦定理得o o 50sin 30sin120AB=，解得AB =BC 边上的高12AD AB == 11.三角形的两边分别为5和3，它们的夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的面积S 为___________. 答案：6.解析：由方程解得3cos 5α=-，则4sin 5α=，故1453625S =⨯⨯⨯=.12.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是_________.解析：由2220b bc c --=，得2b c =；由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，得2246c c +-7228c c =⨯⨯⨯，解得2c =，故4b =，故1242S =⨯⨯= 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知3sin 5A =，sin cos <0A A +，a =5b =.求c .解：因为sin cos <0A A +，且3sin 5A =，故4cos 5A ==-；又a =5b =，故由2222cos a b c bc A =+-，得2224525()5c c =+-⨯⨯⨯-，即28200c c +-=，解得2c =或10(c =-舍去).故2c =. 点评：解此题的关键是由3sin 5A =求出cos A ，应注意根据sin cos <0A A +先判断cos A 的正负，以防产生漏解.18．（本题满分14分）设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.解：（1）由2sin a b A =根据正弦定理，得sin 2sin sin A B A =，故1sin 2B =.因ABC ∆为锐角三角形，故6B π=.（2）1cos sin cos sin()cos sin()cos cos 662A C A A A A A A πππ+=+--=++=++2A)3A π=+.由ABC ∆为锐角三角形，知<<22B A ππ-，而226B πππ-=-3π=，故<<32A ππ，故25<<336A πππ+，故1<sin()<232A π+，<)23A π+3<2.故cos sin A C +的取值范围是3()22.。

2021新高考数学专题20 解三角形附参考答案2

方法技巧专题20 解三角形学生篇一、解三角形问题知识框架二、解三角形题型分析（一）三角形中的求值问题1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．2．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( ) A ． 3 B ．2 C ．2 2 D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.[来源学+科+网Z+X+X+K]2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【练习3】在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（） A ．273B ．5C ．73D ．25【例3】已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋32c sin C ＝2R ，则△ABC 面积的最大值为( )A ．25B ．45C ．255D ．125【例4】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos Ccos cos cos 2ab Ac A B +=，ABC ∆的面积为3，则ABC ∆周长的最小值为______. 2.巩固提升综合练习【练习1】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,23)C ．(22,3)D ．(22,4)【练习2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．【练习3】已知ABC ∆的面积为21+,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______. 【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l 与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1.例题【例1】在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【例3】某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B地晚217秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)三、课后自我检测1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则cb sin B ＝()A．32B．233C．33D． 32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝23，b sin A＝a cos⎪⎭⎫⎝⎛+6πB则b＝() A．1 B. 2C. 3D. 53．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝32，tan B＝2tan A，则△ABC的面积为()A．2 B．3C．3 2 D．4 23．如图，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A等于()A．223B．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________． 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

2019-2020年高中数学第一章解三角形测评(A卷)新人教B版必修5

2019-2020年高中数学第一章解三角形测评（A 卷）新人教B 版必修5 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，∠C＝120°，则sinA∶sinB 的值是A.53B.35C.37D.57答案：A 由正弦定理知sinA ∶sinB ＝a ∶b ＝5∶3.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，∠B＝120°，则a 等于 A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案：D 由正弦定理6sin120°＝2sinC ，∴sinC ＝12.∴∠C ＝30°.∴∠A ＝30°.∴a ＝c ＝ 2.3．在△AB C 中，a ＋b ＋10c ＝2(sinA ＋sinB ＋10sinC)，∠A＝60°，则a 等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定答案：A 由正弦定理易得△ABC 的外接圆半径为1， ∴asinA ＝2R ＝2.∴a ＝2sinA ＝ 3.4．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B＝60°，那么∠A 等于A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°答案：C 由正弦定理，得2sinA ＝3sinB ，∴sinA ＝23·sin60°＝22.∵a<b ，∴∠A<∠B.∴∠A ＝45°.5．在△ABC 中，已知a ＝2，则bcosC ＋ccosB 等于A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案：C bcosC ＋ccosB ＝b·a2＋b2－c22ab ＋c·a2＋c2－b22ac ＝2a22a ＝a ＝2. 6．在△ABC 中，∠A＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为A ．43sin(B ＋π3)＋3 B ．4sin(B ＋π3)＋3C ．6sin(B ＋π3)＋3D ．6sin(B ＋π6)＋3答案：D 令AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，a ＋b ＋c ＝3＋b ＋c ＝3＋2R(sinB ＋sinC)＝3＋3sin π3[sinB＋sin(120°－B)]＝3＋63(sinB ＋32cosB ＋12sinB)＝3＋6sin(B ＋π6)． 7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a2＋c2－b2)·tanB＝3ac ，则∠B 的值为A.π3B.2π3C.π6D.π3或2π3答案：D 由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac 得a2＋c2－b22ac ＝3cosB 2sinB，即cosB ＝32·cosB sinB ， ∴sinB ＝32. 又∠B ∈(0，π)， ∴∠B ＝π3或2π3. 8．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：A9．伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离32a 的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是 A.64a B.62a C.38a D.32a 答案：A ∵∠ADC ＝∠ACD ＝60°，∴△ADC 是正三角形． ∴AC ＝32a.在△BDC 中，由正弦定理得 BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC，即BC＝32a·1222＝64a.∴在△ABC中由余弦定理得AB2＝(32a)2＋(64a)2－2·32a·64acos45°＝38a2，∴AB＝64a.10．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是A．2 3 B.436 C.3417 D.2321答案：D 设正三角形边长为a，AB与l2夹角为θ，易知，1＝asinθ，2＝asin(60°－θ)；于是2asinθ＝a·sin(60°－θ)，∴32cosθ－52sinθ＝0.∴tanθ＝35，cosθ＝527.∴sinθ＝327.∴a＝273＝2321.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝72，那么BC＝__________.答案：9 如图，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形．AE＝2AD＝7，在△ACE 中，cos ∠ACE ＝72＋42－722×7×4＝27， ∴cos ∠BAC ＝－27. 在△ABC 中，BC2＝72＋42＋2×7×4×27＝81， ∴BC ＝9.12．已知平面上有四点O 、A 、B 、C ，满足O A ＋O B ＋O C ＝0，O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，则△ABC 的周长是__________．答案：3 6 由已知，得O 是△ABC 的外心，|O A |＝|O B |＝|O C |，又O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，故∠AOB ＝∠BOC ＝∠BOA ＝2π3，|O A |＝|O B |＝|O C |＝2，∴△AOB 为等腰三角形．在△AOB 中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 2π3＝6， ∴AB ＝ 6.∴△ABC 的周长为3 6.13．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝________.答案：π6∵m ⊥n ，∴3cosA －sinA ＝0. ∴32cosA －12sinA ＝0. ∴cos(A ＋π6)＝0. ∵∠A ＋π6∈(π6，7π6)， ∴∠A ＋π6＝π2. ∴∠A ＝π3. 由正弦定理acosB ＋bcosA ＝csinC 可化为sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin2C ，∴sin(A ＋B)＝sin2C.而sinC ＝sin(A ＋B)≠0，∴sinC ＝1.∴∠C ＝90°.∴∠B ＝π2－∠A ＝π6. 14．在△ABC 中，三个角∠A，∠B，∠C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bccosA＋cacosB ＋abcosC 的值为__________．答案：612 在△ABC 中，由余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc ，有bccosA ＝b2＋c2－a22，同理accosB ＝a2＋c2－b22，abcosC ＝a2＋b2－c22， ∴原式＝a2＋b2＋c22＝612.三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)在△ABC 中，(1)若a ＝6，b ＝2，c ＝3＋1，求∠A、∠B、∠C 及S△ABC；(2)已知b ＝4，c ＝8，∠B＝30°，求∠C、∠A 与a.答案：解：(1)由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝22＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴∠A ＝60°，cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝22， ∴∠B ＝45°. ∴∠C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12bc·sinA＝12×2×(3＋1)sin60°＝3＋32. (2)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝8sin30°4＝1. 又30°<∠C<150°，∴∠C ＝90°. ∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C)＝180°－120°＝60°.∴a ＝c2－b2＝4 3.16.(10分)(xx 全国高考卷Ⅰ，文18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.已知a2－c2＝2b ，且sinB ＝4cosAsinC ，求b.答案：解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.①由正弦定理得b c ＝sinB sinC，又由已知得sinB sinC＝4cosA ，所以b ＝4ccosA.②故由①②解得b ＝4.17．(10分)(xx 海南、宁夏高考，理17)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．答案：解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM ＝dsin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN ＝dsin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM2＋AN2－2AM ×ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM ＝dsin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN ＝dsin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝BM2＋BN2＋2BM ×BNcos(β2＋α2).18．(12分)在锐角三角形中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＝223. (1)求tan2B ＋C 2＋sin2A 2；(2)若a ＝2，S△ABC＝2，求b 的值．答案：解：(1)在锐角△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，sinA ＝223， ∴cosA ＝13，则tan2B ＋C 2＋sin2A 2＝sin2B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin2A 2 ＝1－cos(B ＋C)1＋cos(B ＋C)＋12(1－cosA) ＝1＋cosA 1－cosA ＋13＝73. (2)∵S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bcsinA ＝12b·c·223＝2， ∴bc ＝3.将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入a2＝b2＋c2－2bccosA ，得b4－6b2＋9＝0，解得b ＝ 3.19．(12分)已知k 是正整数，钝角三角形的三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.(1)若方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，求k 的值；(2)对于(1)中的k 值，若sinC ＝k 2，且有关系式(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，试求角A 、B 、C 的度数．答案：解：(1)∵方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，∴Δ＝4k2－4(3k2－7k ＋3)≥0，即2k2－7k ＋3≤0.∴12≤k ≤3，又k ∈N ＋. ∴k ＝1,2,3.(2)在钝角△ABC 中，0<sinC<1，∴k ＝1，sinC ＝22. ∴∠C ＝45°或∠C ＝135°.∵(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，得(c －b)a2＋b3－c3＝0，即(b －c)(b2＋c2－a2＋bc)＝0，∴b ＝c 或b2＋c2－a2＋bc ＝0.当b ＝c 时∠B ＝45°或135°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾，∴b2＋c2－a2＋bc ＝0.由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12， ∴∠A ＝120°，∠C ＝45°，∠B ＝180°－(∠A ＋∠C)＝15°.。

20一模解三角形学生

一模解三角形丰台16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin B C 的取值范围.西城17.(本小题满分14分)已知ABC ∆满足，且,32,6π==A b 求C sin 的值及ABC ∆面积从①4π=B ②3=a ③B a sin 23=这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分石景山18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3π=A ② 13a ③ 15c ④1sin 3C (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；(Ⅱ)求ABC △的面积.平谷16.(本小题14分)在△ABC 中，,3B b π∠==______ 求BC 边上的高.(1)sin A =②sinA=3sinC ，③a-c=2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

密云16在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ,,的对边，并且bc a c b =-+222，(1)已知计算ABC ∆的面积请从①7=a ②2=b ③B C sin 2sin =这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答，注意只需选择其中一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分(2)求C B cos cos +的最大值东城（16）（本小题14分）在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若D 为BC 上一点，且，求sin ADB ∠的值．从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．大兴（16）（本小题14分）在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若D 为BC 上一点，且，求sin ADB ∠的值．从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．朝阳（16）（本小题14分）在△ABC 中，sin cos()6b Aa B π．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c，．求a . 从①7b ， ②4C π这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

解三角形周测试卷j及答案

一、填空题50分（每个5分，共10个）1．在△ABC 中，若222c bc b a ++=，则=A _________．2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62 b ，A ＝2B ，则cos B 等于_________.3.在△ABC 中，若13:8:7sin :sin :sin =C B A ，则=C _____________. 4．若△ABC 中，10103cos ,21tan ==B A ，则角=C __________． 5．在△ABC 中，60,7,1===B b a ，则=c ___________． 6．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于_____________．7．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是_____________．8．三角形的三内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，设向量),(a b a c m --=，),(c b a n +=, 若n m //，则角B =_______．9．在△ABC 中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan _________． 10．在锐角△ABC 中，若3,2==b a ，则边长c 的取值范围是_________．二、解答题共24分，（每个12分，共2个）11．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知5522cos =B ，且10=ac . （1）求ABC ∆的面积；（2）若7=+c a ，求b 的值．12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且c a >，已知3,31cos ,2===⋅b B BC BA . （1）求a 与c 的值；（2）求)cos(C B -的值．1．0120 ；2.64 ；3．0120 ；4. 43π；5.c ＝3；6．36；7.等腰三角形；8．3π=B ；9．2；10． . 11.【分析】（1）因为5522cos=B ，π<<B 0，所以220π<<B ，所以552sin =B . 所以542cos 2sin 2sin ==B B B ，因为10=ac ，所以4sin 21==∆B ac S ABC .（2）因为5522cos=B ，所以5312cos 2cos 2=-=B B ，因为10=ac ，7=+c a ，所以17)cos 1(2)(cos 22222=+-+=-+=B ac c a B ac c a b ，所以17=b . 12.【分析】解（1）由2=⋅，得2cos =B ac ，又31cos =B ，所以6=ac . 由余弦定理得B ac b c a cos 2222+=+，又3=b ，所以1322=+c a ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,13,622c a ac 得⎩⎨⎧==,3,2c a 或⎩⎨⎧==,2,3c a 因为c a >，所以⎩⎨⎧==.2,3c a（2）在ABC ∆中，322sin =B ，由正弦定理得CcB b sin sin =，所以924sin =C . 因为c a >，所以角C 为锐角，所以97cos =C ，所以27239243229731sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-C B C B C B .。

2020版一轮复习理数通用版：“解三角形”双基过关检测

“解三角形”双基过关检测一、选择题1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12， ∴C ＝120°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c 的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 (a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝ (a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3 解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0，故(a －c )2＝0，可得a ＝c ，所以△ABC 的形状为等边三角形．答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB， ∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→·AC―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6，所以bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积．解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B. 又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.。

山东省菏泽市高中数学第一章解三角形第二章数列周测题新人教A版必修5

解三角形.数列一、选择题(本大题共10小题，共50分)1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．4．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣5．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+18．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．39．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B．C．4n﹣1 D．10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱二、填空题(本大题共4小题，共20分)11．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．12．已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n= ．13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c= ．14．2011年3月11日，日本9.0级地震造成福岛核电站发生核泄漏危机．如果核辐射使生物体内产生某种变异病毒细胞，若该细胞开始时有2个，记为a0=2，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，…，记n小时后细胞的个数为a n，则a n= （用n表示）．三、解答题(本大题共4题，共50分)15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．17．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．一．填空题：（每题5分，共50分）二、填空题：（每题5分，共20分）11 12、13、 14、三、解答题（12+12+13+13共50分）15、16、17、解三角形.数列答案一．选择题（共10小题）1．B ；2．A ；3．B ；4．C ；5．D ；6．C ；7．A ；8．C ；9．D ；10．B ；二．填空题（共4小题）11．2；12．6或7；13．4；14．2n +1；三．解答题（共4小题）15. 解：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，133sin C 22ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为57+．16. 解：（1）设a 1=a ，由题意可得，解得，或，当时，a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1；当时，a n =（2n+79），b n =9•；（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1，∴c n ==，∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．17.解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．。

解三角形与等比数列周末亲子测试卷含详解

《解三角形等比数列》周末亲子测试卷2021.4.17姓名：________班级：___________学号：_____ 组名：_________得分：_________家长签字：________每题3分，共120分。

考试时间：70分.亲子测试活动：1、意义：搭建家长与孩子沟通、了解数学的学习情况。

2、家长亲自打印（试卷）、监考（禁止手机等）、拍照（考试打卡发送班级群）、（红笔）批改、统分、督促（错题纠正）、签字（家长名字），最后提醒孩子装订好带到学校上交老师。

家长辛苦了！！！同学们，既然选择了诗和远方，请坚持自己的选择，相信自己，加油！请在横线上工整抄写“诚信考试，舞弊可耻。

错题订正，关键搞懂，不懂多问，多问必达！”1．已知ABC ∆的三个角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，3a =，b =60A ︒∠=，则B 等于（）.A ．30︒B ．45︒2．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是则c 等于（）A ．1B C D ．23．在ABC 中，100a =，80b =，45A =︒，则此三角形解的情况是（） A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解4．在ABC 中，若3a =，cos A =ABC 外接圆的半径为（）A ．6B ．C ．3D5．在ABC 中，若满足222sin sin sin sin A B B C C =+⋅+，则A 等于（） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．在ABC 中，60A ︒∠=，2AB =，且ABC 则AC 的长为（）A B ．1C D ．27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，b =1cos 3C =，则ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D8．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝（）A ．14B ．34C D 9．在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且::3:5:7a b c =,则此三角形中的最大角的大小为（） A ．150︒B ．120︒C ．90︒D ．135︒10．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin a A b B =，则ABC 一定为（） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形11．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是（A ．10海里B ．5海里12,21,n +51 ）A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项13．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（）A ．3B ．4C ．5D ．614．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，410S =，515S =，则5a =（） A ．5B ．5-C ．3D ．3-15．设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-16．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且21nn S =+，则3a 的值是（）A ．4B ．8C ．2D ．917．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n S S n +-=∈N ，11a=，则7S =（）A ．255B ．63C ．128D ．12718．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（）A ．7-B ．3-C ．3D ．719．若等差数列{}n a ，首项189890,00a a a a a >+>⋅<，，则使前n 项和0n S >成立的最大的自然数n 是（） A ．8B ．9C ．16D ．1720．若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，已知73n n S nT n =+，则66a b =（） A ．23B ．112C ．7D ．14321．已知数列{}n a 满足：()()638,6,6n n a n n a n N a n +-⎧--≤⎪=∈⎨>⎪⎩，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,3B ．[)2,322．已知数列{}n a 满足递推关系，1111,2n n n n a a a a a ++⋅=-=，则2020a =（） A ．12018B ．12019C ．12020 D ．1202123．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5＝（） A ．1123B ．112C ．12127D ．12124．各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则4534a a a a ++的值为（） ABCD25．已知数列{}n a 是正项等比数列，且2414a a =，又2a ，41a +，5a 成等差数列，则{}n a 的通项公式为（）A ．112n n a -=B ．12n na =C ．2nn a =D ．12n na26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d >且2217a a =，则n S 取得最小值时，n的值为（） A ．3B ．4C ．3或4D ．4或527．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4825S S =，则816S S =（） A ．514B ．726 C ．35D ．2528．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17180,0S S <>，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．8B ．9C ．16D ．1729．实数 1-，x ，y ，t ，4-等比数列，则xyt 等于（） A ．-4B ．1C ．8D ．-830．数列{}n a 是等比数列，363,81a a ==，则5a =（） A ．15B ．16C ．27D ．2531．在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，则1a =（）． A ．0B ．1C ．2D ．432．在等比数列{}n a 中，若246816a a a a =，则5a =（） A ．2-B ．3C ．2-或2D ．433．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212227log log log 7a a a +++=，则2635a a a a +=（）A ．16B ．14C ．8D ．434．在等比数列{}n a 中，若()13468a a a a +=+，则该数列的公比是（） A ．12B ．14C ．2D ．435．在正项等比数列{}n a 中，2256892100a a a a ++=，则59a a +=（）A ．5B ．10C ．20D ．5036．已知数列{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，则以下数列：△{}2na ，△{}2na ，△21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，△{}2n a 中等比数列的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个37．数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若()*12n n S a n N +=-∈，则2020a =A ．20192B ．20202C ．20212D ．2022238．已知n S 是数列{}n a 的前项和，若()*24n n S a n =-∈N ，则n a =（）A ．12n +B ．2nC ．12n -D ．2 2n -39．已知等差数列{}n a 共有()*2n n N∈项，若数列{}na 中奇数项的和为190，偶数项的和为210，11a =，则公差d 的值为（） A ．2B ．4C ．54D ．5240．等差数列共有21n 项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于（） A ．6 B ．8C ．10D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案1．A 【分析】利用正弦定理，可得sin B ∠，然后根据大角对大边，可得结果. 【详解】在ABC ∆中，由sin sin a bA B=∠∠ 又3a =，b =60A ︒∠=所以1sin 2B ∠=由a b >，所以060B <∠< 故30B ∠= 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理的应用，审清题干，把握细节，属基础题. 2．D 【分析】利用三角形内角和得6C π=，结合正弦定理求c 即可.【详解】由题意知：()6C A B ππ=-+=，△△ABC 中，有sin sin c bC B=，则1sin 2sin 2b Cc B ⋅===.故选：D 3．A 【分析】根据正弦定理可判断. 【详解】根据正弦定理有sin sin a b A B=，则sin 22sin 5b A Ba， a b >，A B ∴>，∴这样的B 只有一个，即此三角形有一个解.故选：A. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，属于基础题. 4．C 【分析】利用正弦定理可得ABC 外接圆的半径．【详解】在ABC 中，若3a =，cos 2A =，所以1sin 2A =，由正弦定理2sin a R A=，所以33122R ==⨯．故选：C 5．D 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos A的值，进而求得A . 【详解】由正弦定理得222222,a b c b c a =+++-=，222cos 2b c a A bc +-==，由于0180A <<︒︒，所以150A =︒. 故选：D 6．B 【分析】由三角形面积公式即可求出. 【详解】1sin 2ABCSAB AC A =⨯⨯⨯，即12222AC =⨯⨯⨯， 1AC ∴=.故选：B. 7．C 【分析】先利用同角三角函数关系求sin C ，再根据面积公式求ABCS .【详解】解：因为1cos 3C =，0C π<<，所以sin 3C ==因为a =，b =所以11sin 223ABCSab C ==⨯=，故选：C 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系求角的正弦值、利用三角形面积公式求面积，是基础题. 8．B 【分析】利用余弦定理求cos B 即可. 【详解】由b 2＝ac ，又c ＝2a ，得222b a =，由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-＝222423224a a a a a +-=⋅.故选：B. 9．B 【分析】根据三角形的三边比,设出三条边.由余弦定理即可求得三角形中的最大角. 【详解】ABC 中::3:5:7a b c =设()3,5,70a k b k c k k ===>,由余弦定理可得2222222925491cos 2302a b c k k k C ab k +-+-===-. 因为C 为三角形的内角,所以此三角形中的最大角120C =︒, 故选:B. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题. 10．A 【分析】利用正弦定理角化边，即可得出答案. 【详解】由sin sin a A b B =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角函数的形状，属于基础题.熟记正弦定理==2sin sin sin a b cR A B C=是解本题的基础. 11．C 【分析】先根据A ∠和B 求出C ∠，再根据正弦定理求BC 即可. 【详解】由题意可得：60A ∠=，75B ∠=，所以180607545C ∠=--=，在ABC 中，根据正弦定理可得：sin 60sin 45BC AB=，所以sin 60sin 4522AB BC =⨯== 故选：C 12．D 【分析】n . 【详解】由数列的通项公式n a ==25n =25项. 故选：D. 13．A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

解三角形与数列测试题周测

解三角形与数列测试题周测（3）一、选择题：一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知数列1111{},,1(2)4n n n a a a n a -==-≥，则4a = （） A ．45 B ．14C ．14-D ．152.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a +=（） A ．10 B ．18 C ．20 D ．284.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1n n n b a a +=-.若32b =-，1012b =，则8a =（） A.0 B.3 C.8 D.115.在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++等于（）A. 91B. 92 C . 93 D . 946.在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为( )A ．21B ．20C ．42D ．847.在ABC ∆中，若,2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A 则ABC ∆的形状是（） A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形8.已知α是三角形的一个内角且32cos sin =α+α，则此三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，那么10a = ▲ ．10.等差数列{a n }中，a 2=3，S 5=25则公差d = ▲ ．11.设n S 是等差数列{an}的前n 项和，若17959=a a ，则=917S S ▲ ．12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．解三角形与数列测试题周测（3）答案一、选择题：一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知数列1111{},,1(2)4n n n a a a n a -==-≥，则4a = （） A ．45 B ．14C ．14-D ．15答案：1.B2.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案：2.A3.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案：3.C4.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1n n n b a a +=-.若32b =-，1012b =，则8a =（）A.0B.3C.8D.11答案：4.B考点：累加法求数列通项5.在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++等于A. 91B. 92 C . 93 D . 94答案：5.C6.在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为( )A ．21B ．20C ．42D ．84答案：6.A7.在ABC ∆中，若,2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A 则ABC ∆的形状是（） A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形答案：7.D8.已知α是三角形的一个内角且32cos sin =α+α，则此三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：8.C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，那么10a =__________．答案：10.10.等差数列{a n }中，a 2=3，S 5=25则公差d = ▲ ．答案：11.211.设n S 是等差数列{an}的前n 项和，若17959=a a ，则=917S S .答案：12.112.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A =答案：13.3π由正弦定理：b c B C 3sin 3sin =⇒= ，代入bc b a 222=-得：b a b b b a 73222=⇒⨯=-，由余弦定理2132792cos 222222=⨯-+=-+=b b b b b bc a c b A ，∵),0(π∈A ， ∴3π=A三、解答题：(本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足21,111=-+=+na n a a nn . （1）令na b nn =,证明数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的通项公式，并判断190是该数列的第几项. 证明（1）因为2111=-+=-++n a n a b b n n n n ，且1111==ab 所以}{n b 是以1为首项，2为公差的等差数列 …………4分14. (本小题满分10分)数列{a n }是等差数列，S n 是前n 项和，a 4=3,S 5=25 (1)求数列{a n }的通项公式a n . (2)设b n =|a n |,求b 1+b 2+…+b n . 解：(1)a n =11-2n..........5分 (2)(2)设T n =b 1+b 2…+b n①当1≤n ≤5时,T n =a 1+a 2+…+a n =10n-n 2; ②当n ≥6时, T n =a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n ) =2S 5-S n =n 2-10n+50∴T n =⎩⎨⎧10n-n 2(1≤n ≤5) n 2-10n+50(n ≥6)……………10分15.(本题满分12分) 已知函数()R x x x x f ∈-+-=,cos 21)322cos()(2π．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）ABC ∆的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若3(),1,2B f b =-=3,c =且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由．解：………………6分∵0πC <<， ∴π3C =或2π3。

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《解三角形》测试题（2015.1.20）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1、已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )
A ．2
B ．4＋23
C ．4－2 3 D.6－ 2
2、在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6
，则△ABC 的面积等于 ( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34
3、在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
4、在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ ( ) A.817 B.1517 C.1315 D.1317
5、在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
6、在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150°
7、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
8、已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为( )
A. 75°
B. 60° B. 45° D.30°
9、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
10、如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角
(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的
方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为
110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，
则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是（）
A ．5
B ．
C ．10
D ．
11、已知△ABC 的三个内角满足2B A C =+，且AB ＝1，BC ＝4，
则边BC 上的中线AD 的长为（）
A ．
B
C ．2
D ．1
12、三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为（）
A ．78
B ．34
C ．34-
D ．78
- 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

把答案填写在答题纸的相应位置。

13、已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝_______________;
14、在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a c +＝__ ______.
15、已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，C ＝60°，S △ABC ＝83，
则边长c ＝______.
16、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A
的值等于________，AC 的取值范围为________．
13、 14、 15、 16、
三、解答题：本大题共3个小题，合计30分。

解答应写出必要的文字说明和推理过程。

17、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .
18、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45
，b ＝ 3. (1)求sin C 的值；
(2)求△ABC 的面积．
附加题：不计入总分！
19、如图，在ABC △中，ABC ∠＝90°，3=AB ，1=BC ，P 为ABC △内一点，BPC ∠＝90°
（Ⅰ）若2
1=PB ，求PA ；（Ⅱ）若APB ∠＝150°，求PBA ∠tan .。