冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：18等差数列与等比数列基本量的问题(含解析)

专题18 等差数列与等比数列基本量的问题【自主热身，归纳提炼】1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＝2，S 2＋S 4＝1，则a 10＝________． 【答案】. 8【解析】：思路分析 列方程组求出a 1和d ，则a 10＝a 1＋9d.设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2，2a 1＋d ＋4a 1＋6d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.所以a 10＝a 1＋9d ＝8.2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________． 【答案】： －9解后反思 解法1利用等差数列基本量；解法2利用等差数列的性质：①等差数列项数与项数的关系：在等差数列{a n }中，若m ，n ，p ，q ∈N *且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②等差数列任两项的关系：在等差数列{a n }中，若m ，n ∈N *且其公差为d ，则a m ＝a n ＋(m －n )d .3、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________． 【答案】： 3【解析】：由a 8＝a 6＋6a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋6a 2q 2，则有q 4－q 2－6＝0，所以q 2＝3(舍负)，又q>0，所以q ＝3，则a 3＝a 2q ＝ 3.解后反思 等差、等比数列基本量的计算是高考常考题型，熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题的关键，值得注意的是等比数列的通项公式的推广“a n ＝a m qn －m(n>m)”的应用．4、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．【答案】：. 94【解析】：思路分析 两个已知等式均可由a 3和公比q 表示． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧S 6S 3＝1＋q 3＝－198，a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1q ＝－158，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－32，a 3＝94.5、记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为________． 【答案】： 6 【解析】：由S 2m －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2m －12·(2m －1)＝[a 1＋(m －1)d](2m －1)＝(2m －1)a m得，110＝10(2m －1)，解得m＝6.6、已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3，6a 5成等差数列，且a 3＝3a 22，则S 3＝________． 【答案】：. 1327【解析】：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q>0，且a 1>0，由4a 4，a 3，6a 5成等差数列，得2a 3＝4a 4＋6a 5，即2a 3＝4a 3q ＋6a 3q 2，解得q ＝13.又由a 3＝3a 22，解得a 1＝13，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝13＋19＋127＝1327. 7、知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．【答案】2或6 【解析】由1264S S =，当1,q =左边=12224,⨯=右边=显然不成立，所以1q ≠，则有，因为101a q≠-，所以,即，所以63q =或1q =-，所以.【易错警示】若用到等比数列的前n 项公式，要讨论公比是否为1；方程两边，若公因数不为0，可以同时约去，若不确定是否为0，要移项因式分解，转化成乘积为0的形式再求解，否则会漏解.8、《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 【答案】：. 1322【解析】：设该等差数列为{a n }，则有S 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即a 8＝43，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，a 1＋7d ＝43，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，a 1＋7d ＝43，解得a 1＝1322.9、 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．10、若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ．【答案】：．8【解析】： 因为a 3－a 1＝2，所以，即()1q >所以，设，即21q t =+，所以，当且仅当1t =，即q =.【问题探究，变式训练】例1、已知公差为d 的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________． 【答案】：. 179【解析】：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.【变式1】、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则69SS = ． 【解析】 由3613S S =，得633S S =，由S 3，S 6- S 3，S 9- S 6成等差数列， 故S 6- S 3 = 2S 3，S 9- S 6 = 3S 3 = S 6，解得69S S =12．【变式2】、 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则520S S = ．【解析】 由51013S S =，得1053S S =，由S 5，S 10- S 5，S 15- S 10，S 20- S 15成等差数列， 故S 10- S 5 = 2 S 5，S 15- S 10 = 4S 5，S 20- S 15 = 8S 5， 所以，1557S S =，20515S S =，故520115S S =． 【变式3】、 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51020a a +=，则2010S S = ．【解析】 由51020a a +=，得512q =-，则．【关联1】、设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝________.【解析】： 4思路分析 求出a 1及a n ＋1与a n 间的递推关系．由S n ＝2a n －2和S n ＋1＝2a n ＋1－2，两式相减得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n .又a 1＝S 1＝2，所以数列{a n }是首项为2、公比q ＝2的等比数列，所以a 8a 6＝q 2＝4. 【关联2】、S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________. 【答案】： 35解法1 由S n S 2n ＝n ＋14n ＋2可得，n a 1＋an22n a 1＋a 2n 2＝a 1＋a n a 1＋a 2n ＝n ＋12n ＋1，当n ＝1时，2a 1a 1＋a 2＝23，所以a 2＝2a 1. d ＝a 2－a 1＝a 1，所以a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3a 15a 1＝35.解法2 S n S 2n ＝n ＋14n ＋2＝n 2＋n4n 2＋2n，观察发现可令S n ＝n 2＋n ，则a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，所以a 3a 5＝2×32×5＝35.【关联3】、 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别是A n 和B n ，且5513n n A n B n +=+，使得nn b a 为整数的正整数n 的个数为 ．【解析】，所以，，要使得nnb a 为整数，则n +1为18的因数， n =1，2，5，8，17， 所以，使得nnb a 为整数的正整数n 共有5个． 例1、已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】： (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分)(2) ①因为b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n －n ＋＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， (6分)即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15，…b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1，(9分) 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.(11分)解后反思 对于研究与整数有关的问题，一般地，可利用整数性或通过求出某个变量的限制范围，利用整数的性质进行一一地验证．【变式1】、设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足，S 7 =7（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得13m m m a a a ++为数列{a n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则，得，因为d ≠ 0，所以430a a +=，又由S 7 = 7得a 4 = 1，解得a 1 = -5，d = 2， 所以27n a n =-，．（2），令21m t -=，则，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当t = 1，m = 1时，1315m m m a a a ++=，是数列{}n a 中的项； 当t = -1时，m = 0（舍）， 所以，满足条件的正整数m = 1．【变式2】、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1) 若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2) 若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 思路分析 (2) 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则a n ＋1－S n n ＝n ＋12d ，a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝n ＋22d ，所以b n ＝c n＝12d .因此要先证b n ＝c n ＝λ是常数．【解析】： (1) 若数列{a n }是公差为2的等差数列，则S n n ＝a 1＋a n2.(2分)所以(n ＋2)c n ＝a n ＋1－a 1＋a n ＋2－a n2＝n ＋2，得c n ＝1.(4分)(2) 由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ， 从而(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1.两式相减，得(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1－n (n ＋1)b n ＝(n ＋1)a n ＋2－(n ＋1)a n ＋1， 即(n ＋2)b n ＋1－nb n ＝a n ＋2－a n ＋1.(*)(6分) 又(n ＋2)c n －(n ＋1)b n ＝a n ＋2－a n ＋12，所以2(n ＋2)c n －2(n ＋1)b n ＝(n ＋2)b n ＋1－nb n ， 整理，得c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．(9分)因为b n ≤λ≤c n 对一切n ∈N *恒成立，所以b n ≤λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ对一切n ∈N *恒成立，得c n ＝λ，且b n ＋b n ＋1＝2λ.而b n ≤λ，b n ＋1≤λ，所以必有b n ＝b n ＋1＝λ. 综上所述，b n ＝c n ＝λ对一切n ∈N *恒成立．(12分)此时，由(*)式，得a n ＋2－a n ＋1＝2λ对一切n ∈N *恒成立．(14分) 对(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，取n ＝1，得a 2－a 1＝2λ. 综上所述，a n ＋1－a n ＝2λ对一切n ∈N *恒成立． 所以数列{a n }是公差为2λ的等差数列．(16分)思想根源 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则S n n 是公差为12d 的等差数列．【关联1】、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且对任意的正整数n ，都有S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，其中常数λ>0.设b n ＝a n3n (n ∈N *)﹒(1) 若λ＝3，求数列{}b n 的通项公式；(2) 若λ≠1且λ≠3，设c n ＝a n ＋2λ－3×3n (n ∈N *)，证明数列{}c n 是等比数列；(3) 若对任意的正整数n ，都有b n ≤3，求实数λ的取值范围． 【解析】： 因为S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，n ∈N *，所以当n ≥2时，S n ＝λS n －1＋3n， 从而a n ＋1＝λa n ＋2·3n，n ≥2，n ∈N *﹒又在S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝λa 1＋2×31，满足上式，所以a n ＋1＝λa n ＋2·3n,n ∈N *﹒ (2分) (1) 当λ＝3时， a n ＋1＝3a n ＋2·3n，n ∈N *，从而a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋23，即b n ＋1－b n ＝23，又b 1＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为23的等差数列，所以b n ＝2n ＋13.(4分)(2) 当λ>0且λ≠3且λ≠1时，c n ＝a n ＋2λ－3×3n ＝λa n －1＋2×3n －1＋2λ－3×3n＝λa n －1＋2λ－3×3n －1(λ－3＋3)＝λ(a n －1＋2λ－3×3n －1)＝λ·c n －1, (7分)又c 1＝3＋6λ－3＝λ－λ－3≠0，所以{}c n 是首项为λ－λ－3，公比为λ的等比数列，c n ＝λ－λ－3·λn －1﹒(8分)(3) 在(2)中，若λ＝1，则c n ＝0也可使a n 有意义，所以当λ≠3时，c n ＝λ－λ－3·λn －1.从而由(1)和(2)可知(9分)当λ＝3时，b n ＝2n ＋13，显然不满足条件，故λ≠3.(10分)当λ≠3时，b n ＝λ－1λ－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3n －1－2λ－3.若λ>3, λ－1λ－3>0，b n <b n ＋1，n ∈N *，b n ∈[1，＋∞)，不符合，舍去. (11分)若0<λ<1，λ－1λ－3>0，－2λ－3>0，b n >b n ＋1，n ∈N *，且b n >0.所以只需b 1＝a 13＝1≤3即可，显然成立．故0<λ<1符合条件； (12分) 若λ＝1，b n ＝1，满足条件．故λ＝1符合条件；(13分)若1<λ<3，λ－1λ－3<0，－2λ－3>0，从而b n <b n ＋1，n ∈N *，因为b 1＝1>0.故b n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－2λ－3，要使b n ≤3恒成立，只需－2λ－3≤3即可．所以1<λ≤73. (15分)综上所述，实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，73.(16分) 【关联2】、已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *. (1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．思路分析 第(2)问，由于式子“3T n ＝S 2n ＋2S n ”涉及数列{a n }，{a 2n }的前n 项和，常用相邻项作差法处理，将其转化为数列{a n }的递推式，进而构造等比数列求解；第(3)问，由题意，两个未知量k 和t ，一个等式，属于不定方程问题，通常有以下思考方法：因式分解法、利用整除性质、不等式估计法、奇偶性分析法，本题采用奇偶性分析法求解．规范解答 (1) 由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1＞0，所以a 1＝1.(2分) (2) 因为3T n ＝S 2n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1， ②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1，即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＋2a n ＋1，即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )a n ＋1＋2a n ＋1，因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③(5分) 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2， ④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n≥2时，a n ＋1a n＝2.(8分)又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(10分)(3) 由(2)可知S n ＝2n－1.因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，(12分) 所以2t＝(2k )2－3·2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3·2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2. 当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3.(14分) 当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3·2k －2＋1为奇数， 所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3·2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3.(16分)解后反思 数列中不定方程的常见解题策略有因式分解法、利用整除性质、不等式估计法、奇偶性分析法，这些策略有一个共同的特征，就是对等式两边适当的变形选择等式一边的特征进行解题，如整除的性质、范围上界或下界、因式分解的形式、是否为有理数、奇偶性等．【关联3】、在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围． 思路分析 (1) 证明等比数列，一般从等比数列的定义出发，首先要说明它的任意一项均不为0，且相邻两项的比值为非零的常数．(2) 由第(1)问求出数列{a n }的通项公式，由此得到{b n }的通项公式，通过分组求和后得到它的前n 项和．注意到T 3为数列{T n }中的最小项，因此，将它转化为对应的不等式恒成立问题，而要研究数列中的不等式恒成立问题，研究数列的单调性是必然的手段，通过研究数列的单调性后来得到变量λ的取值范围．当n ＝2时，由T 2≥T 3，得λ≥9；(12分)当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立， 所以λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，n ≥4，则f (n ＋1)－f (n )＝3n ＋1n 2－＋n ＋n 2＋3n －n 2＋n －＞0恒成立，故f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时单调递增，所以λ≤f (4)＝814.(15分)综上，9≤λ≤814.(16分)解后反思 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解．【关联4】、已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q .(1) 若k 1＝1，k 2＝3，k 3＝8，求a 1d的值； (2) 当a 1d为何值时，数列{k n }为等比数列？(3) 若数列{k n }为等比数列，且对于任意n ∈N *，不等式a n ＋ak n ＞2k n 恒成立，求a 1的取值范围． 思路分析 (1) 通过等比中项，得到a 1和d 的方程，从而求出a 1d的值；(2) 先由数列{k n }为等比数列，得出k 22＝k 1k 3，再结合ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，得方程[a 1＋(k 1－1)d ][a 1＋(k 3－1)d ]＝[a 1＋(k 2－1)d ]2，化简得a 1d ＝1，再证明当a 1d ＝1时，数列{k n }为等比数列，从而确定a 1d的值为1；(3) 由(2)中结论得出k n ＝k 1q n －1(q ＞1)，代入a n ＋ak n ＞2k n 并分离变量得0＜1a 1＜n ＋k 1q n －12k 1q n －1＝12＋q 2k 1·nq n，再证明n q n 无限小，从而确定12＋q 2k 1·n q n 有下界12，得到0＜1a 1≤12，从而确定a 1的取值范围是[2，＋∞)．【解析】： (1) 由已知可得a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋7d ), (2分)整理可得4d 2＝3a 1d .因为d ≠0，所以a 1d ＝43.(4分)(2) 设数列{k n }为等比数列，则k 22＝k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1＋(k 1－1)d ][a 1＋(k 3－1)d ]＝[a 1＋(k 2－1)d ]2. 整理，得a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d (k 1k 3－k 22－k 1－k 3＋2k 2)． 因为k 22＝k 1k 3，所以a 1(2k 2－k 1－k 3)＝d (2k 2－k 1－k 3)． 因为2k 2≠k 1＋k 3，所以a 1＝d ，即a 1d＝1.(6分) 当a 1d＝1时，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ，所以ak n ＝k n d . 又因为ak n ＝ak 1qn －1＝k 1dqn －1，所以k n ＝k 1qn －1.所以k n ＋1k n ＝k 1q nk 1q n －1＝q ，数列{k n }为等比数列．综上，当a 1d＝1时，数列{k n }为等比数列．(8分)因为ln x ≤1e x ＜12x ，则ln n 1＝2ln n 121＜n 121，解不等式n 121＜n 1ln q ＋ln ε，即(n 121)2ln q －n 121＋ln ε＞0，可得n 121＞1＋1－4ln q ln ε2ln q ，所以n 1＞⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－4ln q ln ε2ln q 2.设[x ]表示不大于x 的最大整数．不妨取n 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－4ln q ln ε2ln q 2＋1，则当n 1＞n 0时，原式得证．所以0＜1a 1≤12，所以a 1≥2，即得a 1的取值范围是[2，＋∞)．(16分)解后反思 本题第(2)问是根据必要条件来解题，由数列{k n }为等比数列，得出前三项成等比，求出a 1d＝1，但要注意要证明当a 1d ＝1时，数列{k n }为等比数列；第(3)问，证明当n →＋∞时，n 1qn 1→0，这里用代数方法严格证明，要认真地体会．。