幂级数求和函数的类型与解法
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3.期刊论文 周正迁 关于求幂级数的和函数 -科技信息2010(15)
在函数项级教中,幂级数占有重要的地位,而求幂级数的和函数又是其中不可或缺的内容.本文通过一些典型的例题介绍了求幂级数和函数的一般方法.
4.期刊论文 张锦来.ZHANG Jin-lai 幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用 -延边大学学报（自然科学版）2008,34(2)
No. 9.2010
北京电力高等专科学校学报
教育研究 D
幂级数求和函数的类型与解法
邓俊兰 李 鑫 （南阳师范学院数学与统计学院，河南 南阳 473061）
摘 要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。
关键词：幂级数；和函数；几何级数
中图分类号：O1-0
，
幂级数求和函数的类型与解法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
邓俊兰， 李鑫 南阳师范学院数学与统计学院,河南,南阳,473061
北京电力高等专科学校学报(社会科学版) BEIJING DIANLI GAODENG ZHUANKE XUEXIAO XUEBAO 2010，27(9) 0次
根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进 而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值.
5.期刊论文 解烈军.XIE Lie Jun 一类幂级数求和函数的代数方程方法 -高等数学研究2010,13(3)
参考文献(2条) 1.同济大学教学系 高等数学 2007 2.朱来义 微积分 2004
相似文献(10条)
1.期刊论文 解烈军 求幂级数和函数的微分方程方法 -高等数学研究2009,12(3)
按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函 数问题化为微分方程初值问题来求解.
(-1< <1) （三）结论：
(-1 <1) (-1 <1)
则
（- < <+ ）
（法 三） 转 化 为 的 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题：
， 0 Hale Waihona Puke Baidu1，解微分方程，得
（- < <+ ）
（5）
要掌握幂级数求和函数需要记住常用级数的和函数，以
（6） （7）
及本文所总结的四种基本类型及其解法，很多题都可以化为 本文中的基本类型。此外，很多题还可以一题多解，要注意 积累总结。
内 先 逐 项 求 导，再 逐 项 积 分 的 方 法 求 和 函 数 ： 题，求解即得所求和函数。
(-1< <1)
例5求
的和函数 。
则
(-1< <1)
解：（法一）
由和函数 在收敛域内连续得：
(-1< <1) （法二）化为几何级数的和函数的积分求之：
（法二）收敛域为（- ,+ ），
(-1< <1) （法三）化为常用级数的标准形式求之：
等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求
和函数。其中，常用级数的和函数为：
则
,
,
（-1< <1）
,
,
.
所以
（-1< <1）
例1求
的和函数 。
（法二）更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导
解：容易求得收敛域为（ 为（ ，+ ）。
，+ ）, 则和函数
定义域 数而求之：
（-1< <1）
（ < <+ ）. 二、类型二：求
求解过程。 解①（法一）收敛域为（-1，1）,对级数逐项积分再逐项求
导：
（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常
。
用级数，特别是几何级数（又叫等比级数） ），求出转化后 的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂 级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常 见类型，并给出了各种类型下的解法。
No. 9.2010
北京电力高等专科学校学报
教育研究 D
求之，过程略；也 可化为几何级数和函数的导数求之：
由 在收敛域内连续得：
。
三、类型三：求 项式
的和函数
,（-1< <1）。 ，其中 为 的多
四、类型四：求含阶乘因子的幂级数的和函数 （一）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利 用 ，sin 及 cos 的幂级数展开式，求其和函数。一般分母的 阶乘为 ！ 的幂级数常用 的展开式来求其和函数；分母的
建立幂级数和函数相关的代数方程,给出形如∑∞n=0anxn(其中an为以n为变元的多项式)的幂级数求和函数的一种方法.
6.期刊论文 张玉灵 由通项公式求一类幂级数的和函数 -高等数学研究2009,12(3)
利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式.
文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2010）-09-0137-02
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的
因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①、④的
和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题，对于学生来说 是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研 究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算
（二）逐项求导、逐项积分法
（二）基本题型：求① ②
③
的和函数 。
（三）微分方程法：含阶乘因子的幂级数（特别是形如
因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①的求
（ =2,3……））的和函数 ，常用解 满足的常微分
解过程.
方程的初值问题而求之。为此先求收敛域，求出和函数的各
解：①（法一）收敛域为[-1，1），对级数在收敛区间（-1，1） 阶导数以及在点 0 处的值，建立 的常微分方程的初值问
例4求
的和函数 。
解：收敛域为[-1，1] ，可以对级数先逐项求导两次，再逐 项积分两次的方法求和函数 ，方法与上类似，过程略，也 可直接利用上面的结论（5）、（6），则当(-1 <1)时，
参考文献: [1]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社,2004. [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.
2.期刊论文 徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li 幂级数和函数的解法综述 -山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1)
本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或 "先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数.
7.期刊论文 张雪梅.封功能 求函数极限方法研究 -科技信息2009(27)
求极限是高等数学中最基本的运算之一,由于题型多变,所以方法灵活,技巧性强,本文结合教学实践,讨论了求函数极限的几种常用方法,揭示了极限理论广泛而深刻的内涵.
8.期刊论文 桂曙光.GUI Shu-guang 利用差分法求一类幂级数的和函数 -安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4)
（一）解法：1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函 数 ，积 分 时，不 要 漏 掉 0 （或 0 ） 的 值，即
；2、也可化为几何级数的和函数的积分 求之。
阶乘为（2 +1）！ 或（2 ）！的幂级数常用 sin 及 cos 的展开 式来求其和函数。求和过程中要注意利用标号变换，将待求 级数化为 ，sin 及 cos 的幂级数展开式的标准形式。
项式
, 的和函数 ，其中 为 的多
（三）结论：
（-1< <1） （1） （-1< <1） （2） （-1< <1） （3）
（一）解法：1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和
（-1< <1） （4）
函数 。积分总是从收敛中心（
收敛中心为 0，
例2求
的和函数 。
收敛中心为 0 ）到 积分；2、也可化为几何级数
下载时间：2011年6月19日
解：由（4）式得：
，
的和函数的导数而求之，这时不必再积分。
（-1< <1）。
（二） 基本题型：求级数①
②
③
④
例3求
的和函数 。
的和函数 。
解：收敛域（-1，1），可先逐项积分两次再逐项求导两次
作者简介：邓俊兰（1981-），女，陕西人，学士，河南省南阳市南阳师范学院数学与统计学院助教；李鑫（1979-），男，河南南阳 人，助教，硕士，从事数学教育、图像处理等研究。
一、类型一：通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 函数
则
（-1< <1）。
（法二）将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：
（-1< <1）
④（法一）收敛域为（-1，1），在收敛域内对级数先逐项积 分两次，再逐项求导两次求之：
计算幂级数的和函数，首先要牢记常用级数的和函数，
在此基础上，借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换
10.期刊论文 李高明 利用拆项法求一类幂级数的和函数 -高等数学研究2009,12(3)
利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjdlgdzkxxxb201009083.aspx 授权使用：湖北经济学院(hbjjxy)，授权号：c283de2e-f500-45e9-a96d-9f0700edfce2
利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数.
9.期刊论文 周宏安.ZHOU Hong-an 幂级数和函数分析性质的一种证明 -陕西工学院学报2000,16(2)
作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性 .
在函数项级教中,幂级数占有重要的地位,而求幂级数的和函数又是其中不可或缺的内容.本文通过一些典型的例题介绍了求幂级数和函数的一般方法.
4.期刊论文 张锦来.ZHANG Jin-lai 幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用 -延边大学学报（自然科学版）2008,34(2)
No. 9.2010
北京电力高等专科学校学报
教育研究 D
幂级数求和函数的类型与解法
邓俊兰 李 鑫 （南阳师范学院数学与统计学院，河南 南阳 473061）
摘 要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。
关键词：幂级数；和函数；几何级数
中图分类号：O1-0
，
幂级数求和函数的类型与解法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
邓俊兰， 李鑫 南阳师范学院数学与统计学院,河南,南阳,473061
北京电力高等专科学校学报(社会科学版) BEIJING DIANLI GAODENG ZHUANKE XUEXIAO XUEBAO 2010，27(9) 0次
根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进 而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值.
5.期刊论文 解烈军.XIE Lie Jun 一类幂级数求和函数的代数方程方法 -高等数学研究2010,13(3)
参考文献(2条) 1.同济大学教学系 高等数学 2007 2.朱来义 微积分 2004
相似文献(10条)
1.期刊论文 解烈军 求幂级数和函数的微分方程方法 -高等数学研究2009,12(3)
按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函 数问题化为微分方程初值问题来求解.
(-1< <1) （三）结论：
(-1 <1) (-1 <1)
则
（- < <+ ）
（法 三） 转 化 为 的 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题：
， 0 Hale Waihona Puke Baidu1，解微分方程，得
（- < <+ ）
（5）
要掌握幂级数求和函数需要记住常用级数的和函数，以
（6） （7）
及本文所总结的四种基本类型及其解法，很多题都可以化为 本文中的基本类型。此外，很多题还可以一题多解，要注意 积累总结。
内 先 逐 项 求 导，再 逐 项 积 分 的 方 法 求 和 函 数 ： 题，求解即得所求和函数。
(-1< <1)
例5求
的和函数 。
则
(-1< <1)
解：（法一）
由和函数 在收敛域内连续得：
(-1< <1) （法二）化为几何级数的和函数的积分求之：
（法二）收敛域为（- ,+ ），
(-1< <1) （法三）化为常用级数的标准形式求之：
等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求
和函数。其中，常用级数的和函数为：
则
,
,
（-1< <1）
,
,
.
所以
（-1< <1）
例1求
的和函数 。
（法二）更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导
解：容易求得收敛域为（ 为（ ，+ ）。
，+ ）, 则和函数
定义域 数而求之：
（-1< <1）
（ < <+ ）. 二、类型二：求
求解过程。 解①（法一）收敛域为（-1，1）,对级数逐项积分再逐项求
导：
（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常
。
用级数，特别是几何级数（又叫等比级数） ），求出转化后 的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂 级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常 见类型，并给出了各种类型下的解法。
No. 9.2010
北京电力高等专科学校学报
教育研究 D
求之，过程略；也 可化为几何级数和函数的导数求之：
由 在收敛域内连续得：
。
三、类型三：求 项式
的和函数
,（-1< <1）。 ，其中 为 的多
四、类型四：求含阶乘因子的幂级数的和函数 （一）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利 用 ，sin 及 cos 的幂级数展开式，求其和函数。一般分母的 阶乘为 ！ 的幂级数常用 的展开式来求其和函数；分母的
建立幂级数和函数相关的代数方程,给出形如∑∞n=0anxn(其中an为以n为变元的多项式)的幂级数求和函数的一种方法.
6.期刊论文 张玉灵 由通项公式求一类幂级数的和函数 -高等数学研究2009,12(3)
利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式.
文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2010）-09-0137-02
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的
因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①、④的
和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题，对于学生来说 是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研 究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算
（二）逐项求导、逐项积分法
（二）基本题型：求① ②
③
的和函数 。
（三）微分方程法：含阶乘因子的幂级数（特别是形如
因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①的求
（ =2,3……））的和函数 ，常用解 满足的常微分
解过程.
方程的初值问题而求之。为此先求收敛域，求出和函数的各
解：①（法一）收敛域为[-1，1），对级数在收敛区间（-1，1） 阶导数以及在点 0 处的值，建立 的常微分方程的初值问
例4求
的和函数 。
解：收敛域为[-1，1] ，可以对级数先逐项求导两次，再逐 项积分两次的方法求和函数 ，方法与上类似，过程略，也 可直接利用上面的结论（5）、（6），则当(-1 <1)时，
参考文献: [1]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社,2004. [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.
2.期刊论文 徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li 幂级数和函数的解法综述 -山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1)
本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或 "先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数.
7.期刊论文 张雪梅.封功能 求函数极限方法研究 -科技信息2009(27)
求极限是高等数学中最基本的运算之一,由于题型多变,所以方法灵活,技巧性强,本文结合教学实践,讨论了求函数极限的几种常用方法,揭示了极限理论广泛而深刻的内涵.
8.期刊论文 桂曙光.GUI Shu-guang 利用差分法求一类幂级数的和函数 -安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4)
（一）解法：1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函 数 ，积 分 时，不 要 漏 掉 0 （或 0 ） 的 值，即
；2、也可化为几何级数的和函数的积分 求之。
阶乘为（2 +1）！ 或（2 ）！的幂级数常用 sin 及 cos 的展开 式来求其和函数。求和过程中要注意利用标号变换，将待求 级数化为 ，sin 及 cos 的幂级数展开式的标准形式。
项式
, 的和函数 ，其中 为 的多
（三）结论：
（-1< <1） （1） （-1< <1） （2） （-1< <1） （3）
（一）解法：1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和
（-1< <1） （4）
函数 。积分总是从收敛中心（
收敛中心为 0，
例2求
的和函数 。
收敛中心为 0 ）到 积分；2、也可化为几何级数
下载时间：2011年6月19日
解：由（4）式得：
，
的和函数的导数而求之，这时不必再积分。
（-1< <1）。
（二） 基本题型：求级数①
②
③
④
例3求
的和函数 。
的和函数 。
解：收敛域（-1，1），可先逐项积分两次再逐项求导两次
作者简介：邓俊兰（1981-），女，陕西人，学士，河南省南阳市南阳师范学院数学与统计学院助教；李鑫（1979-），男，河南南阳 人，助教，硕士，从事数学教育、图像处理等研究。
一、类型一：通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 函数
则
（-1< <1）。
（法二）将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：
（-1< <1）
④（法一）收敛域为（-1，1），在收敛域内对级数先逐项积 分两次，再逐项求导两次求之：
计算幂级数的和函数，首先要牢记常用级数的和函数，
在此基础上，借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换
10.期刊论文 李高明 利用拆项法求一类幂级数的和函数 -高等数学研究2009,12(3)
利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjdlgdzkxxxb201009083.aspx 授权使用：湖北经济学院(hbjjxy)，授权号：c283de2e-f500-45e9-a96d-9f0700edfce2
利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数.
9.期刊论文 周宏安.ZHOU Hong-an 幂级数和函数分析性质的一种证明 -陕西工学院学报2000,16(2)
作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性 .