直线和椭圆的位置关系课时一授课
直线与椭圆的位置关系第一课时
这是求解直线与二 次曲线有关问题的 通法。
•消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的 横坐 标或纵坐标
>0
=0 <0
方程组有两解
方程组有一解 方程组无解
两个交点
一个交点 无交点
相交
相切 相离
小菜一碟：
1 1.已知直线 y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关 2
系。 解：联立方程组
x2 y2 m取何值时 1表示椭圆？ 25 m m>0且m≠25
思路二：使（0,1）点在椭圆内部或椭圆上即可，
02 12 + 1 25 m
得m 1
恒过点（0，1）
直线 y kx 1 有何特征？
已知直线 y=x位置关系。
1 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的 2
解：联立方程组 1 y x 消去y 2 5 x 2 4 x 1 0 ----- (1) x2+4y2=2 因为 ∆=36>0， 所以方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
1若椭圆ax2 by 2 1 与直线y 1 x交于A B 、
两点，
3 过原点与线段AB的中点的直线的斜率为 2
a 则 b
解：
A
M
设A(x1,y1 ),B(x2 ,y2 ),AB中点为M(x0 ,y0 )
B
y0 3 y1 -y2 ， = 1 由题意可得： x0 2 x1 -x2
过点P(2，1)引一弦，使弦在这
点被平分，求此弦所在直线的方程.
x2 y2 1 1如图：已知斜率为1的直线L过椭圆 4 的右焦
点，交椭圆于A，B两点，求
3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)
讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
a 2 b2
RJ·A
图形
(, )
(, )
(−, )
o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围
a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,
第二节 直线与椭圆的位置关系(一) 复习讲义
第二节 直线与椭圆的位置关系(一)一、直线与椭圆的位置关系 1.若直线斜率不存在,数形结合分析.2.若直线斜率k 存在,设直线方程为y=kx+m,联立222222,y kx m b x a y a b=+⎧⎨+=⎩得关于x 的方程(b 2+a 2k 2)x 2+2kma 2x+a 2(m 2-b 2)=0,则有 直线与椭圆相交⇔有两个交点⇔Δ>0, 直线与椭圆相切⇔有一个交点⇔Δ=0, 直线与椭圆相离⇔没有交点⇔Δ<0.1.概念理解(1)直线与椭圆位置关系的判定有两种方法:几何法和代数法,几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定,代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程,然后再判定直线与椭圆的关系,解题时应根据情况,进行判定.(2)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切,过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切,过椭圆内一点的直线均与椭圆相交,这与直线与圆的位置关系类似.2.与直线与椭圆的位置相关的结论(1)若P 0(x 0,y 0)在椭圆22x a +22y b =1上,则过P 0的椭圆的切线方程是02x x a +02y y b =1.(2)若P 0(x 0,y 0)在椭圆22x a +22yb =1外,则过点P 0作椭圆的两条切线,切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是02x x a +02y y b =1.二、直线与椭圆相交问题的处理方法 1.常规方法(通法)(1)设直线y=kx+m 与椭圆22x a +22yb =1的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2);(2)把直线与椭圆方程联立,得方程组;(3)消去y 得关于x 的一元二次方程(或消去x 得关于y 的一元二次方程);(4)由韦达定理得x 1+x 2,x 1·x 2的值(或y 1+y 2,y 1·y 2的值); (5)求解(用中点公式、弦长公式等). 2.点差法Ⅰ型 (1)设直线y=kx+m与椭圆22x a +22y b =1的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2);(2)把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB ,弦长公式·|x 1-x 2|y 1-y 2|.3.点差法Ⅱ型(弦AB 的中点为(a,b)) (1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y); (2)把点的坐标代入椭圆方程; (3)作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法,运算量较大,运算应细心,按步骤整理,避免出错.在涉及中点、斜率问题时,可考虑点差法.设出点的坐标,在遇到垂直、夹角问题时,可考虑运用向量法进行解题,基本思路是先设元(设点的坐标),后消元. 2.与直线与椭圆相交问题相关的结论 (1)AB 是椭圆22x a +22y b =1的不平行于对称轴的弦,M(x 0,y 0)为AB 的中点,则k OM ·k AB =-22b a ,即k AB =-202b x a y .(2)若P 0(x 0,y 0)在椭圆22x a +22y b =1内,则被P 0所平分的中点弦的方程为02x x a +02y y b =202x a +202y b .1.已知椭圆216x +24y =1,过点P(2,1)且被点P 平分的椭圆的弦所在的直线方程是( B )(A)8x+y-17=0 (B)x+2y-4=0 (C)x-2y=0 (D)8x-y-15=0解析:设过点P(2,1)且被点P 平分的椭圆的弦为AB, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又因为A,B 两点均在椭圆上, 所以21x +421y =16,22x +422y =16,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 所以1212yy xx --=-12124()x x y y ++=-12, 即弦AB 所在的直线的斜率为-12,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-1=-12(x-2),整理得x+2y-4=0. 2.若直线y=kx+1与椭圆25x +2y m=1总有公共点,则m 的取值范围是( D )(A)m>1 (B)m>0 (C)0<m<5且m ≠1 (D)m ≥1且m ≠5 解析:由221,550,y kx mx y m =+⎧⎨+-=⎩消去y 整理得(5k 2+m)x 2+10kx+5(1-m)=0.由题意知Δ=100k 2-20(1-m)(5k 2+m)≥0对一切k ∈R 恒成立, 即5mk 2+m 2-m ≥0对一切k ∈R 恒成立, 由于m>0且m ≠5,所以m ≥1且m ≠5. 故选D.3.F 1,F 2是椭圆22x +y 2=1的左、右焦点,过F 2作倾斜角为π4的弦AB,则△F 1AB 的面积为( C )(A)12 (B)1 (C)43(D)2 解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由已知得AB 的方程为y=x-1, 代入椭圆方程得3x 2-4x=0, 则x 1+x 2=43,x 1x 2=0.所以|x 1-x 2|=43,|y 1-y 2|=43.所以1F ABS∆=12AF F S∆+12BF F S∆=12|F 1F 2||y 1-y 2| =43. 故选C.4.已知A,B 是椭圆3x 2+y 2=m(m>0)上不同两点,线段AB 的中点为N(1,3),则m 的取值范围为 ,AB 所在的直线方程为 .解析:由题意,N(1,3)在椭圆3x 2+y 2=m(m>0)内, 所以3×12+32<m,得m>12.又由点差法得直线AB 斜率为k=-1, 所以AB 所在的直线方程为x+y-4=0. 答案:(12,+∞) x+y-4=0考点一 直线与椭圆的位置关系及弦长问题【例1】 (1)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:24x +22y =1,试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C:①有两个不重合的公共点; ②有且只有一个公共点;③没有公共点.(2)求直线l:x-y+b=0被椭圆23x +y 2=1所截得的弦MN 的长度的最大值. 解:(1)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组222,(i)1,(ii)42y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 将(i)代入(ii),整理得9x 2+8mx+2m 2-4=0,(iii) 方程(iii)根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m 2-4) =-8m 2+144. ①当Δ>0,即,方程(iii)有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.②当Δ=0,即m=±,方程(iii)有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. ③当Δ<0,即,方程(iii)没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 将x-y+b=0与23x +y 2=1联立,得220,1,3x y b x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得4x 2+6bx+3b 2-3=0, x 1+x 2=-32b,x 1x 2=2334b -,由Δ>0得-2<b<2,又1-x 2,故当b=0时,|MN|(1)直线与椭圆公共点个数的讨论,是直线与椭圆位置关系等其他问题的基础.(2)依据直线与椭圆的交点个数,求参数时,联立方程并消元得到一元二次方程,将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解. (3)当直线斜率存在时,则可用弦长公式求弦长.1.已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解:(1)由2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得5x 2+2mx+m 2-1=0. 因为直线与椭圆有公共点, 所以Δ=4m 2-20(m 2-1)≥0,解得m所以m 的取值范围是(2)设直线与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点, 由(1)知5x 2+2mx+m 2-1=0. 由根与系数的关系,得x 1+x 2=-25m,x 1x 2=15(m 2-1). 所以被椭圆截得的弦长所以当m=0时,d 最大,此时直线方程为y=x.2.(2018·衢州模拟)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率,直线l 交椭圆于M,N 两点.(1)若直线l 的方程为y=x-4,求弦MN 的长;(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l 方程的一般式.解:(1)由已知得b=4,且ca 即22c a =15,所以222a b a -=15, 解得a 2=20,所以椭圆方程为220x +216y=1.将4x 2+5y 2=80与y=x-4联立, 消去y 得9x 2-40x=0, 所以x 1=0,x 2=409,所以所求弦长|x 2-x 1.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0),设线段MN 的中点为 Q(x 0,y 0),由三角形重心的性质知BF =2FQ ,又B(0,4),所以(2,-4)=2(x 0-2,y 0),即0022(2),42,x y =-⎧⎨-=⎩故得x 0=3,y 0=-2, 即Q 的坐标为(3,-2). 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1+x 2=6,y 1+y 2=-4,且2120x +2116y =1,2220x +2216y =1,以上两式相减得1212()()20x x x x +-+1212()()16y y y y +-=0,所以k MN =1212y y xx --=-45·1212x x yy ++=-45×64-=65, 故直线MN 的方程为y+2=65 (x-3), 即6x-5y-28=0.考点二 椭圆中弦的相关问题【例2】 (1)求直线l:x-y+b=0被椭圆23x +y 2=1所截得的弦MN 的中点轨迹方程.(2)已知点A(0,-1),能否找到一条直线l:x-y+b=0与椭圆23x +y 2=1交于两个不同的点M,N,使得AM ⊥AN,若存在,求出b 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), MN 的中点P(x,y),直线x-y+b=0与椭圆23x +y 2=1联立得220,1,3x y b x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得4x 2+6bx+3b 2-3=0, 由Δ>0得-2<b<2, 又x 1+x 2=-32b, x=122xx +=-34b,-32<x<32, y=122yy +=1222x x b ++=4b . 消去参数b,得y=-13x(-32<x<32). 所以弦MN 的中点的轨迹方程为y=-13x(-32<x<32). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由220,13x y b x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得4x 2+6bx+3b 2-3=0, 所以x 1+x 2=-32b, x 1·x 2=23(1)4b -.又因为AM ⊥AN,所以AM ·AN =0,即(x 1,y 1+1)·(x 2,y 2+1)=0, 又因为y 1=x 1+b,y 2=x 2+b,故2x 1x 2+(1+b)(x 1+x 2)+b 2+2b+1=0, 整理得2b 2+b-1=0, 所以b=-1或b=12.当b=-1时,直线过A(0,-1),不符合题意, 所以当b=12时,存在满足题意的直线l.(1)直线与椭圆相交,常设一些中间变量而并不解出这些变量,利用这些变量架起已知量与未知量之间的桥梁,从而使问题得到解决,这种方法称为设而不求法,点差法和消参法都是设而不求法的一种,注意使用这些方法.(2)直线与椭圆相交,与弦相关的垂直、夹角问题,可考虑引入向量,利用向量的坐标运算能简化一些繁杂的运算.设椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0),左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为D,离心,且1DF ·2DF =-2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设E 是x 轴正半轴上的一点,过点E 任作直线l 与C 相交于A,B 两点,如果21EA+21EB是定值,试确定点E 的位置,并求S △DAE ·S △DBE 的最大值.解:(1)1DF ·2DF =a 2-2c 2=-2,又c a,易得a 2=6,c 2=4,b 2=2,所以椭圆C 的方程为26x +22y =1. (2)设AB 的方程为x=ty+m,2236,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩所以(t 2+3)y 2+2tmy+m 2-6=0. 所以y 1+y 2=-223tmt +,y 1·y 2=2263m t -+,所以21EA+21EB=211t+(211y +221y ) =211t +21212212()2()y y y y y y +- =222222(212)6(6)(6)(1)m t m m t +---+,所以它满足Δ>0,所以这时1+y 21y 2=-233t +, S △DAE ·S △DBE令,则S △DAE ·S △DBE2≤94, 这时考点三 椭圆中的对称问题【例3】 已知椭圆C 的方程为24x +23y =1,试确定m 的取值范围,使得椭圆C 上有不同的两点关于直线l:y=4x+m 对称.解:法一 设椭圆上A,B 两点关于直线l 对称,且直线AB 交l 于M, 则由已知可设直线AB 的方程为y=-14x+n,解方程组4,1,4y x m y x n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得x M =417(n-m).由221,4143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,得13x 2-8nx+16n 2-48=0,(*) 所以x M =2ABxx +=413n ,所以417 (n-m)=413n,即n=-134m. 又A,B 在椭圆上,所以(*)中Δ=64n 2-4×13(16n 2-48)>0, 即4n 2<13,所以4×16916m 2<13, 所以.即m 的取值范围为).法二 设A,B 关于直线l 对称,且直线AB 交l 于M, 则由已知可设直线AB 的方程为y=-14x+n. 解方程组4,1,4y x m y x n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得x M =417(n-m).由221,4143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y,得13x 2-8nx+16n 2-48=0, 所以x M =2ABxx +=413n ,所以417(n-m)=413n,即n=-134m. 所以413(),1343,M Mx m m y m ⎧=⨯-=-⎪⎨⎪=-⎩即M(-m,-3m).因为A,B 在椭圆上,所以M 在椭圆内,所以2()4m -+2(3)3m -<1, 解得.即m 的取值范围为).法三 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), AB 与l 的交点M(x 0,y 0), 则214x +213y =1,①224x +223y =1.②①-②得1212yy xx --=-34×1212xx y y ++=-0034x y=-14, 所以y 0=3x 0.③又M ∈l,所以y 0=4x 0+m,④联立③④解得M(-m,-3m).因为A,B 在椭圆上,所以M 在椭圆内,所以2()4m -+2(3)3m -<1,解得.即m 的取值范围为).椭圆上有A,B 两点关于直线l 对称,可转化为三个已知条件:(1)直线AB ⊥直线l,即k AB ·k l =-1;(2)由弦AB 的中点在直线l 上,即求得弦AB 中点坐标代入直线l 方程,方程成立;(3)点A,B 在椭圆上,即设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则点的坐标代入椭圆方程成立,从而可用点差法解题.(2018·台州模拟)已知椭圆22x +y 2=1上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称. (1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解:(1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y=-1m x+b.由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y,得(12+21m )x 2-2b mx+b 2-1=0. 因为直线y=-1mx+b 与椭圆22x +y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+24m >0,①将AB 的中点M(222mb m +,222m b m +)代入直线方程y=mx+12,解得b=-2222m m +, ②由①②得或.(2)令t=1m ∈,0)∪),则t 2∈(0,32).则22t +且O 到直线AB 的距离为21t +设△AOB 的面积为S(t),所以S(t)=12|AB|·d=12,当且仅当t 2=12时,等号成立, 此时满足t 2∈(0,32). 故△AOB.考点四 椭圆中与三角形相关的问题【例4】 已知椭圆C:22x a + 22yb =1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN,求k 的值.解:(1)由已知条件得a=2,e=ca故椭圆C 的方程为24x +22y =1. (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则由22(1),142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-4=0.因为直线y=k(x-1)过椭圆内的点(1,0), 所以直线y=k(x-1)与椭圆C 恒有两个不同交点, 由根与系数的关系得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222412k k -+,S △AMN =12×1×|y 1-y 2|=12×|kx 1-kx 2|=2k=2k×即7k 4-2k 2-5=0,解得k=±1.(1)椭圆中涉及三角形面积可考虑用S △=12×底×高求面积,这时三角形底一般是直线与椭圆相交弦的长,用弦长公式求得,高一般用点到直线的距离公式求得;(2)求三角形面积时,可根据具体问题选择便于求出底边长及高的情况进行求解,这也是求三角形面积应注意的问题;(3)四边形面积可以通过分割的方法转化为求三角形的面积.直线与椭圆相交弦问题【例题】 已知椭圆G:24x +y 2=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值. 解:(1)由已知得a=2,b=1,所以.所以椭圆G 的焦点坐标为,0),离心率为e=c a(2)由题意知|m|≥1.当m=1时,切线l 的方程为x=1,点A,B 的坐标分别为此时.当m=-1时,同理可得当|m|>1时,设切线l 的方程为y=k(x-m).由22(),14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(1+4k 2)x 2-8k 2mx+4k 2m 2-4=0.设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=22814k mk +, x 1x 2=2224414k m k -+.又由l 与圆x 2+y 2=1相切,即m 2k 2=k 2+1. 所以.由于当m=±1时,所以,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为m m+≤2,且当m=,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.规范要求:(1)求离心率e,要紧扣其定义e=c a.(2)联立方程组,利用根与系数的关系、弦长公式求解是此类问题的常用解法.温馨提示:解答本题时易忽略的步骤 (1)对m 的范围不作出判断.(2)判断出m 的范围后不去分m=-1,m=1,|m|>1进行讨论.(3)化简时,易忽略m 的范围而化简(4)对|AB|的最值求法不会使用基本不等式变形求最值.对于直线与椭圆的综合问题,因为其综合性强,运算量大,能力要求较强,注意平时训练要严谨,以提高综合解题能力.【规范训练】(2018·天津卷)设椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l 与直线AB交于点Q.若AQ PQsin ∠AOQ(O 为原点),求k 的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有22c a =59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b. 由已知可得由|FB|·可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以椭圆的方程为29x +24y =1.(2)解设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0, 故|PQ|sin ∠AOQ=y 1-y 2.又因为|AQ|=2sin y OAB ∠,而∠OAB=π4, 所以2.由AQ PQ∠AOQ,可得5y 1=9y 2.由方程组22,1,94y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,可得y 1易知直线AB 的方程为x+y-2=0,由方程组,20,y kx x y =⎧⎨+-=⎩消去x,可得y 2=21k k +. 由5y 1=9y 2,可得两边平方,整理得56k 2-50k+11=0,解得k=12或k=1128. 所以k 的值为12或1128.类型一 直线与椭圆的位置关系问题1.已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x 轴上,且右焦点到直线的距离为3,则椭圆的方程为 .解析:由已知b=1,设椭圆方程为22x a +y 2=1(a>1),右焦点坐标为F(c,0), 因右焦点到直线l 的距离为3,=3,得2=3.则椭圆方程为23x +y 2=1. 答案:23x +y 2=1类型二 直线与椭圆的弦长问题2.已知以F1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( C )解析:根据题意设椭圆方程为224x b ++22y b =1(b>0),则将y-4代入椭圆方程,得4(b 2+1)y 22y-b 4+12b 2=0,因为椭圆与直线有且仅有一个交点,所以Δb2)2-4×4(b 2+1)·(-b 4+12b 2)=0,即(b 2+4)(b 2-3)=0, 所以b 2=3,长轴长为故选C.3.斜率为1的直线l 与椭圆24x +y 2=1相交于A,B 两点,则|AB|的最大值为( C )(A)2解析:设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 直线l 的方程为y=x+t,由2244,,x y y x t ⎧+=⎨=+⎩消去y,得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0,则x 1+x 2=-85t,x 1x 2=24(1)5t -. 所以1-x 2|当t=0时,|AB|max.4.已知椭圆:29y +x 2=1,过点P(12,12)的直线与椭圆相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( B ) (A)9x-y-4=0 (B)9x+y-5=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+y-5=0解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为A,B 在椭圆29y +x 2=1上,所以221122221,91,9y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得22129y y -+21x -22x =0,即1212()()9y y y y -++(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0, 又弦AB 被点P(12,12)平分, 所以x 1+x 2=1,y 1+y 2=1, 将其代入上式得129y y -+x 1-x 2=0,即1212yy xx --=-9,即直线AB 的斜率为-9,所以直线AB 的方程为y-12=-9(x-12),即9x+y-5=0.5.已知A(0,-1),直线l:x+y-b=0与椭圆23x +y 2=1交于两个不同的点M,N,当∠MAN 为锐角时,b 的取值范围是 ,当∠MAN 为钝角时,b 的取值范围是 .解析:由220,13x y b x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得4x 2-6bx+3b 2-3=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),AM=(x 1,y 1+1),AN =(x 2,y 2+1),当∠MAN 为锐角时,AM ·AN >0, 即2b 2+b-1>0, 故b<-1或b>12. 又Δ=48-12b 2>0, 即-2<b<2,所以-2<b<-1或12<b<2. 同理∠MAN 为钝角时,解得-1<b<12. 答案:(-2,-1)∪(12,2) (-1,12) 类型三 椭圆中与三角形相关的问题6.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,其上顶点为A,△F 1AF 2是边长为2的正三角形,则椭圆的方程为 .解析:因为△F 1AF 2是边长为2的正三角形,所以a=2,c=1,b 2=3, 椭圆方程为24x +23y =1. 答案:24x +23y =17.椭圆225x +216y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,弦AB 过点F 1,若△ABF 2的内切圆周长为π,点A,B 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 2-y 1|= .解析:根据椭圆方程,可知a=5,b=4,所以c=3,左、右焦点F 1(-3,0),F 2(3,0),△ABF 2的内切圆周长为π,则内切圆的半径为r=12,而△ABF 2的面积=△AF 1F 2的面积+△BF 1F 2的面积=3|y 2-y 1|,又△ABF 2的面积=12×r(|AB|+|BF 2|+|AF 2|)= 12×12(2a+2a)=a=5,即3|y 2-y 1|=5,|y 2-y 1|=53. 答案:53。
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆(经典公开课课件)
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4
已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为
3 2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
ac＝ 23， 由题意可得2b＝2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为
则|AB|＝ 1＋14× x1＋x22－4x1x2 ＝ 54－m2＝ 5， 解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
命题点2 中点弦问题 例3 已知P(1,1)为椭圆 x42＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x＋__2_y_－__3_＝__0_.
(2)直线l的斜率为12 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ 5 ，求直线l的 方程.
设 l 的方程为 y＝12x＋m， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx8＝ 2＋12y2x2＋＝m1，， 整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
y＝x－ 3， 联立x42＋y2＝1， 消y得，5x2－8 3x＋8＝0，
则 x1＋x2＝853，x1·x2＝85， 所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
即弦 AB 的长为85.
3的.已弦知长椭为圆1，ay22则＋椭bx22圆＝方1(a程>b为>0_y4)_2的＋__右x_2_＝顶__1点_.为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴
新教材高中数学第三章第2课时直线与椭圆的位置关系pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是(
)
A．相离 B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
y = x + 1， 解析：联立ቐx2 + y2 = 1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，
2
Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．
3．直线x＋2y＝m与椭圆x42＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪ 5， + ∞ ．
易错警示
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此
错，错误答案为[1，＋∞)． 类问题时，一定要排除圆的情况．
y = kx + m，
联立ቐ x2
a2
+
y2 b2
=
1， 消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 __两__解 __一__解 __无__解
Δ的取值 Δ__>__0 Δ__＝__0 Δ__<__0
状元随笔
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
1 + k2
2
＝4k2－2＞0，解
得k＜－ 22或k＞ 22，所以k的取值范围为
−∞， −
2 2
∪
2 2Βιβλιοθήκη ，+∞
.
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题
直线与椭圆的位置关系(教学课件2019)
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
高中数学2.2.3直线与椭圆的位置关系(第一课时)优秀课件
那么原方程组有两组 所以该直线与椭圆相交. 解.
求得交点坐标是为 A(1,1),B(1, 7)
2 5 10
3、直线与圆相切时相关问题和结论
圆 C ： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ( r 0 )圆 , C ( a ,b ) 心 圆 ; 点 P ( 上 x 0 ,y 0 )
94
94 4
当切l斜 线率不存l:在 x时 3,显 ，然和椭圆相 题切 意，符合
当切 l斜 线率存在k时 ,则 l， :y5设 k(为 x3)
由4yx259ky(2x336) 4 x 2 9 (k x 3 k 5 )2 3 6 0 ( 9 k 2 4 ) x 2 1 k ( 3 k 8 5 ) x ( 8 k 2 1 2 k 7 1 ) 0 8 ( 9 *)
2.2.3 直线与椭圆的位置关系〔一〕
1、点圆的位置关系
圆 C ： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ( r 0 )圆 ,C ( a , b )点 心 ; P ( x 0 , y 0 )
P
P
P
C
C
C
点在圆内
点在圆上
点在圆外
|P|C (x0a)2(y0b)2r |P|C (x0a)2(y0b)2r |P|C (x0a)2(y0b)2r
2、求过圆外一点的切线方程.
C P
当切线l斜率不存在时，检验是 否相切 当切线l斜率存在时，设l方程为y-y0=k(x-x0),然后与圆联立 方程组，求(*)方程，由(*)方程的判别式等于0，求得k
直线与椭圆相切时的相关问题和结论
椭 C ： 圆 a x2 2b y2 21 (ab0 );椭圆 点 P (上 x0,y0)y一
1、求过圆上一点的切线方程.
直线与椭圆的位置关系的判断优秀课件
点时，方程设为 ykxc 或 xmycmR
，不需要对 m 分类讨论，当 m 0
1
时直线斜率不存在，当 m 0 时，直线斜率为
m
问题5：椭圆面积公式S：ab
例4
椭圆
x2 y2 1 36 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为16，
例3、已知斜率为；2的直线经过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点
54
F 2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法：
① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
x0 , y0 时，方程设为 ykx b ,yy0kxx0
，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。
(2)使线段AB被
M
(1 ,1) 22
平分.
(3)使以A、B为直径的圆过点。
A P
F1 o F2
Bx
（4）直线 l 和 y 轴交于 点P,
使 PA 1 PB
2
把直线方程代入椭圆方程
得到一元 二次方程
计算判别式
>0 相交
=0 相切
<0 相离
例2、已知直线 l:y2xm ，椭圆
x2 C:
y2
1
42
。试问当 m 取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？
问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 若直线
l:ykxb 与椭圆相交于两点Ax1,y1,Bx2,y2
l ②遇到“直线 与椭圆相交于不同两点A、B”条件时，
必须书写 0 这个隐含条件。
说课稿 直线和椭圆位置关系
直线与椭圆的位置关系（说课稿）各位老师你们好!今天我要为大家讲的课题是直线与椭圆的位置关系。
一.教材分析教材的地位和作用<<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,因而直线椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想。
在新课程数学教学有着不可代替的作用。
本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系二. 教法分析（一）学情分析学生掌握了椭圆的定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，具有了一定的分析问题和解决问题的能力。
从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。
（二）教学方法和手段教学方法：引导发现、探索讨论我们老师不能不仅仅是为了演示教师所要展示的内容，也应该让多媒体成为学生学习的一种手段，我们不追求教学手段的高档化，但要追求学生学习手段的高档化，这样才能改变传统的学习方式，进而突破重难点。
教学手段：多媒体课件辅助教学意图：在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.（三）具体措施本节课采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的形式，以学生为主体，辅以适当的引导。
利用多媒体的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。
三. 教学目标结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系。
能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。
重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系；难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。
1.基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制定相应的教学目标。
同时，在新课程理念的指导下，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养2.这里没有用“使学生掌握……”、“使学生学会……”等通常字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材新理念。
2.1.2第二课时 直线和椭圆的位置关系 课件(人教A选修1-1)
y x a ＋b ＝1
2 2 2 2 2 2
②
（ y1＋ y2）（ y1－ y2） ① － ② 得 ＝ － 2 a （ x1＋x2）（x1－ x2） , 2 b
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
y1 － y2 a （x1＋ x2） a2x1＋x2 即 ＝ ＝－ 2 . 2 b y1 ＋ y2 x1－x2 － b （ y1＋ y2） 1 1 ∵ kAB＝ 3,AB 中点(x0,y0),x0＝ ,y0＝－ , 2 2 1 2³ 2 a2 a2 ∴ 3＝－ 2 ＝ 2, 1 b b 2 ³ －2 ∴ a2 ＝ 3b2. 又 a2 － b2 ＝ (5 2)2 ＝ 50,∴ a2 ＝ 75,b2＝ 25, y2 x 2 ∴椭圆方程为 ＋ ＝ 1. 75 25
圆锥曲线与方程
变式训练 1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线
和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
4x ＋ y ＝ 1 解：由 ,得 5x2＋ 2mx＋ m2－ 1＝ y＝ x＋ m
2 2
0. 因为直线与椭圆有公共点, 所以Δ ＝ 4m2－ 20(m2－1)≥ 0. 5 5 解得－ ≤ m≤ . 2 2
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2（只适用于圆）
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线） |AB|=
1 k · x1 x2 1 k · （x1 x2） 4 x1 x2
2 2 2
=
1 1 2 1 2 · y1 y2 1 2 · （y1 y2） 4 y1 y2 k k
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
题型三
弦长问题
例3 ( 本题满分 6分 )已知椭圆 4x2 ＋ 5y2 ＝ 20的 一个焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线l交 椭圆于A、B两点,求弦长|AB|.
直线与椭圆的位置关系PPt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
求解直线与二次曲线有
关问题旳通法
③ 相离 ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 旳位置关系. 2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y 5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为∆=36>0
所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
则x1
x2
83 5
, x1x2
8 5
从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
＝ ２（8 3）2 -４ 8 ＝8
5
55
归纳： 求直线与椭圆旳弦长环节：
①联立方程组 ②消去一种未知数 ③利用弦长公式:
通法 | AB | 1 k 2 | xA xB |
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共点
2
2
探究二：直线与椭圆旳相交弦长旳求法
直线方程为: y kx m ，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交旳弦长：
a2 b2
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
到直线旳距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
直线与椭圆的位置关系(上课课件)
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
人A数学选择性必修第一册
课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
高中数学选择性必修一课件：直线与椭圆的位置关系
则 Δ＝(－8 3)2－4×5×8＝32＞0，故 x1＋x2＝8－x2|＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q 两点，|PQ|＝ 10，则椭圆的方程为_3x_62_＋__y92_＝__1．
(2)设直线交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1162＋y1122＝1①，x1262＋y1222＝1②. ①－②，得x121－6x22＋y121－2y22＝0，化简得 （x1－x2）16（x1＋x2）＝－（y1－y21）2（y1＋y2）. ∴yx11－ －yx22＝－1162（（y1x＋1＋y2x）2）＝－161（2（2y2MxM））＝38. ∴kAB＝yx11－－yx22＝38. ∴所求直线的方程为 y－2＝38(x＋1)，即 3x－8y＋19＝0.
探究 4 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离 是常见题目类型．
思考题 4 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y
＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离． 【解析】 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线方程为 x－y＋a＝
0， 由xx2－＋y8＋y2a＝＝80，， 消 x 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由 Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得 a＝3 或 a＝－3，
【解析】 ∵e＝ 23，∴ac22＝34，即 c2＝34a2，∴b2＝a2－c2＝14a2.∴椭圆的方 程为 x2＋4y2＝a2，与方程 x＋2y＋8＝0 联立并消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0，
由 Δ>0，得 a2>32. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8，x1x2＝64－2 a2. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋kPQ2)·|x1－x2|2＝(1＋kPQ2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 10＝ 54×[64－2(64－a2)]，解得 a2＝36. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝36，即3x62 ＋y92＝1.
直线与椭圆的位置关系(公开课)
直线与椭圆在物理问题中的应用
天体运动：椭圆轨道描述行星或卫星绕太阳的运动，直线轨道描述火箭发射和着陆的过程。
投篮运动：篮Βιβλιοθήκη 运动员投篮时的弧线轨迹可以近似为椭圆，投篮时需要掌握力度和角度，使篮球沿着近似椭圆的轨迹 飞行。
车辆行驶：高速公路上的车辆行驶轨迹可以近似为直线或抛物线，而城市道路中的车辆行驶轨迹则可能为椭圆或直线。
距离法：通过计算直线与椭圆心之间的距离，然后与椭圆的半径比较，判断位置关系。
直线与椭圆相交的情形
交点个数与判别式的关系
当判别式大于0时， 直线与椭圆有两个 交点
当判别式等于0时， 直线与椭圆有一个 交点
当判别式小于0时， 直线与椭圆没有交 点
交点坐标的求解方法
联立方程组： 将直线方程与 椭圆方程联立， 消元后得到一
桥梁设计：桥梁的支撑结构可以设计成直线或抛物线形状，以承受车辆和行人的重量，保证安全。
感谢您的耐心观看
汇报人：
元二次方程
求解交点：解一 元二次方程，得 到交点的x坐标， 再代入椭圆方程
求得y坐标
验证解：将求 得的解代入直 线方程，验证 是否满足条件
得出结论：根 据交点的坐标， 判断直线与椭 圆的位置关系
直线与椭圆相切的情形
切点个数与判别式的关系
切点个数：1个 判别式：Δ=0 直线与椭圆相切的条件：直线与椭圆有且仅有一个公共点
相交、相切、相离的定义
相交：直线与椭圆 有两个不同的交点
相切：直线与椭圆 只有一个交点
相离：直线与椭圆 没有交点
判断位置关系的方法
代数法：通过联立直线与椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的值判断位置关系。
几何法：通过观察直线与椭圆的位置关系，判断交点个数，从而确定位置关系。
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直线和椭圆的位置关系
目标：1.掌握直线与椭圆的3种位置关系和判断方法.
2.学会用“设而不求”的方法解决弦长问题. 重点：直线与椭圆的位置关系的判断方法,弦长问题. 一、复习回顾
叙述椭圆14
22
=+y x 简单几何性质 二、知识探讨 探究一：直线与椭圆位置关系的判断
在同一坐标系中观察下列直线： y=1，23-
=x y 和该椭圆的位置关系. 通过交流，并解决下面的两个知识点。
直线和椭圆的位置关系判断方法一： ；
请你画出直线5+=x y ,并判断它与椭圆14
22
=+y x 的位置关系. 直线和椭圆的位置关系判断方法二： ；
例1．实数m 分别取何值时，直线l ：m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交、相切、相离？ 探究二：直线和椭圆相交时的弦长的求法.
例2已知直线l :3+=x y 与椭圆14
22
=+y x 1.判断它们的位置关系.2.相交所得弦AB 的弦长是多少？3.求A 、B 的中点M 的坐标. 方法1：求出坐标，用两点间距离公式得到弦长. 方法2：用设而不求的方法得到弦长公式. 练习：
直线l : m x y +=与椭圆1422=+y x ，交于A 、B 两点,弦长AB 为5
64，求直线l 的方程. 直线和椭圆的位置关系
目标：1.掌握直线与椭圆的3种位置关系和判断方法.
2.学会用“设而不求”的方法解决弦长问题.
重点：直线与椭圆的位置关系的判断方法,弦长问题. 一、复习回顾
叙述椭圆14
22
=+y x 简单几何性质 二、知识探讨
探究一：直线与椭圆位置关系的判断
在同一坐标系中观察下列直线： y=1，2
3-=x y 和该椭圆的位置关系. 通过交流，并解决下面的两个知识点。
直线和椭圆的位置关系判断方法一： ；
请你画出直线5+=x y ,并判断它与椭圆14
22
=+y x 的位置关系. 直线和椭圆的位置关系判断方法二： ；
例1．实数m 分别取何值时，直线l ：m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交、相切、相离？ 探究二：直线和椭圆相交时的弦长的求法.
例2已知直线l :3+=x y 与椭圆14
22
=+y x 1.判断它们的位置关系.2.相交所得弦AB 的弦长是多少？3.求A 、B 的中点M 的坐标. 方法1：求出坐标，用两点间距离公式得到弦长.
方法2：用设而不求的方法得到弦长公式. 练习：
直线l : m x y +=与椭圆1422=+y x ，交于A 、B 两点,弦长AB 为5
64，求直线l 的方程.。