圆的标准方程

直线 l：x－y＋1＝0 上，求圆心为 C 的圆的标准方程．
解 因为 A(1,1)，B(2，－2)，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 －2－1 3 1 (2，－2)，直线 AB 的斜率 kAB＝ ＝－3，因此线段 AB 的垂 2－1 1 1 3 直平分线 l′的方程是 y＋2＝3(x－2)，即 x－3y－3＝0.圆心 C 的 x－3y－3＝0 x＝－3 坐标是方程组 的解．解此方程组，得 . x － y ＋ 1 ＝ 0 y ＝－ 2
4.1.1
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问题 4 如果把圆看成是点的集合， M(x， y)为这个圆上任意一点，
用坐标表示点 M 适合的条件并化简将得到什么等式？
|MA|＝r，由两点间的距离公式，得 x－a2＋y－b2 ＝r，
答
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
问题 6
如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心坐标为 A(a， b)，
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探究点一
答
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4.1.1
圆的标准方程
问题 1 圆是怎样定义的？
平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆． 定点 就是圆心，定长就是半径． 问题 2 圆作为平面几何中的基本图形， 确定它的要素又是什么
呢？各要素与圆有怎样的关系？
答
问题 3
圆心和半径；圆心：确定圆的位置，半径：确定圆的大小．
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探究点二 问题 圆的标准方程的应用
4.1.1
从圆的标准方程所含的参数上， 你能分析出求圆的标准方程需
要几个条件吗？
本 课 时 栏 目 开 关 Nhomakorabea答
在圆的标准方程中，含有三个参数分别是 a，b，r，因此求
圆的标准方程需要三个已知条件．
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例1
4.1.1
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4.1.1
跟踪训练 2 已知三点 A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以 P(2， －1)为圆心作一个圆，使 A、B、C 三点中一点在圆外，一点 在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程． 解 要使 A、B、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在
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4.1.1
例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1)，B(7，－3)，C(2， －8)．求它的外接圆的方程．
解
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设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
①
因为 A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都 满足方程①.
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4.1.1
1．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定 a，b， r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．
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2．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离 d 与圆 半径 r 比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2 ＋(y0－b)2 与 r2 比较． 3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意 义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数 法求解.
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所以圆心 C 的坐标是(－3，－2)． 圆心为 C 的圆的半径长 r＝|AC|＝ 1＋32＋1＋22＝5. 所以，圆心为 C 的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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小结
本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线
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1．圆心是 O(－3,4)，半径长为 5 的圆的方程为( D )
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A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 解析 将 O(－3,4)，r＝5 代入圆的标准方程可得．
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4.1.1
跟踪训练 1 已知点 A(1,2)在圆 C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2 的内部， 求 a 的取值范围．
解
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∵点 A(1,2)在圆的内部，
∴(1＋a)2＋(2－a)2＜2a2，即 5－2a＜0，
5 ∴a＞ ， 2
5 ∴a 的取值范围是(2，＋∞)．
解
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设 所 求 圆 的 方 程 为 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2. 由 题 意 得 a＝－3 解得b＝－2 r2＝25 .
1－a2＋1－b2＝r2， 2－a2＋－2－b2＝r2， a－b＋1＝0.
所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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3． 圆心在 y 轴上， 半径为 1， 且过点(1,2)的圆的方程为( A ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
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C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 0－12＋b－22＝1，解得 b＝2， 故圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
设圆的圆心坐标为 A(a，b)，半径为 r(其中 a、b、r 都
是常数，r＞0)．设 M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点 M 满足的条件是什么？ 答 |MA|＝r.
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那么圆心为 A 的圆如何表示？ 答 P＝{M||MA|＝r}．
问题 5
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半径为 r 的圆的方程？ 答 若点 M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点 M 的坐标适合
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，反之，若点 M(x，y)的坐标适合方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，这就说明点 M 与圆心 A 的距离为 r，即点 M 在圆心为 A 的圆上． 小结 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心为 A(a，b)，半径为 r
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4.1.1
4.1.1
[学习要求]
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圆的标准方程
1．掌握圆的定义及标准方程； 2．能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的 标准方程． [学法指导] 通过运用圆的定义及两点间的距离公式，推导出圆的标准方程， 提高自己应用解析法研究几何问题的能力； 通过对圆的标准方程 的应用，培养自己观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力.
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2．已知以点 A(2，－3)为圆心，半径长等于 5 的圆 O，则点 M(5，－7)与圆 O 的位置关系是
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( B )
A．点在圆内 C．点在圆外
B．点在圆上 D．无法判断
解析 点 M(5，－7)到圆心 A(2，－3)的距离为 5，恰好等 于半径长，故点在圆上．
的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
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问题 7
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点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的关系如何判断？
答
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用 两点间的距离公式求出了半径．这种思考的方法称为几何法，有些与圆 有关的问题充分利用几何性质求解往往比较简便． 本例也可用待定系数 法求圆的标准方程．
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跟踪训练 3 用待定系数法求例 3 中的圆的标准方程．
5－a2＋1－b2＝r2 2 2 2 于是7－a ＋－3－b ＝r 2－a2＋－8－b2＝r2
小结
a＝2 ，解方程组，得b＝－3 r2＝25
所以，△ABC 的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
本例是用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方 程，把已知条件代入方程，得到关于 a，b，r 的三个方程组成的方程 组，解方程组求出 a，b，r，再将 a，b，r 的值代入标准方程．
圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值．
由于|PA|＝ 10，|PB|＝ 13，|PC|＝ 25. 即|PA|＜|PB|＜|PC|， 所以圆的半径 r＝|PB|＝ 13. 故所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
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例3
4.1.1
已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2， －2)， 且圆心 C 在
写出圆心为 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的方程，并
判断点 M1(5，－7)，M2(－ 5，－1)是否在这个圆上． 解 圆心是 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的标准方程是(x－
2)2＋(y＋3)2＝25.把点 M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y
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＋3)2＝25，左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以 点 M1 在这个圆上；把点 M2(－ 5，－1)的坐标代入方程(x－ 2)2＋(y＋3)2＝25，左右两边不相等，点 M2 的坐标不适合圆的 方程，所以点 M2 不在这个圆上． 小结 判断点与圆的位置关系，通常用两种方法，一种是利 用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来判定， 当 d＞r 时， 点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．另 一种方法是把点 P(x0，y0)代入圆的方程．若(x－x0)2＋(y－y0)2 ＞r2，则点 P 在圆外；若(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，则点 P 在圆 上；若(x－x0)2＋(y－y0)2＜r2，则点 P 在圆内，这种方法实质 上就是第一种方法的另外一种表达形式．