河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题03 折叠与落点有迹性含答案
在Rt△A’EG中,由勾股定理得:EG= ,
∴DH=AG=AE+EG=3 ,
在Rt△A’HF中,由勾股定理得:A′F=6,
在Rt△AEF中,由勾股定理得:EF=4 ;
故答案为:4或4 .
4.(2019·三门峡二模)在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为.
,
解得:x=10,即BP=10;
综上所述,答案为:10或 .
【变式】(2019·偃师一模)如图,在边长为3的等边三角形ABC中,点D为AC上一点,CD=1,点E为边AB上不与A,B重合的一个动点,连接DE,以DE为对称轴折叠△AED,点A的对应点为点F,当点F落在等边三角形ABC的边上时,AE的长为.
9.(2019·中原名校大联考)如图,边长为1的正方形ABCD,点P为边AD上一动点(不与点A重合).连接BP,将△ABP沿直线BP折叠,点A落在点A′处,如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上,则AP的长为.
【答案】 .
【解析】解:由题意知,A’落在对角线BD上,连接A'D,
则B、A’、D在同一直线上,
【答案】1或5- .
【解析】解:第一步确定落点,AC的三等分点有两个,所以有两种情况;第二步根据落点确定折痕,方法:作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线;
(1)如下图所示,
由折叠性质得:∠B=∠EDP=60°,
∴∠CDE+∠ADP=120°,
∵∠A=∠C=60°,
∴∠ADP+∠APD=120°,
河南中考黑白卷狂押到底(数学)
狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,点P在线段BC上运动,现将纸片折叠,使点A 与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),设BP=x,当点E落在线段AB 上,点F落在线段AD上时,x的取值范围是.第1题图第2题图2.已知三角形纸片(△ABC)中,AB=AC=5,BC=8,点E、F分别为线段AB、BC上的动点,将三角形沿折痕EF折叠,使得点B落在边AC上,记为点B΄,若以点B΄、F、C为顶点的三角形与△ABC,则CF的长为.题型二特殊四边形的探究题1.如图,已知∆ABC,过点B作DB∥AC,且DB=12AC,E是AC的中点,连接DE.(1)求证:BC=DE;(2)填空:①连接AD、BE,当△ABC满足条件,四边形DBEA是矩形,②在①的条件下,当∠C=______.四边形DBEA是正方形.第1题图2.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线BD =8cm ,AC =4cm ,点E 从点B 出发沿BD 方向以1cm/s 的速度向点D 运动,同时点F 从点D 出发沿DB 方向以同样的速度向点B 运动,设点E 、F 运动的时间为t (s ),其中0<t <8. (1)求证:△BEC ≌△DF A ; (2)填空:①以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是 形;②当t 的值为 时,以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形.第2题图题型三 类比、拓展探究题1.类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图①,在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 是BC 边上一点,AE 与BD 交于点G ,过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F . 若2=CE BE ,求EGEF的值.第1题图(1)尝试探究在图中①,过点E 作EM ⊥BD 于点M ,作EN ⊥AC 于点N ,则EM 和EN 的数量关系是 ,EGEF的值是 . (2)类比延伸如图②,在原题的条件下,若n CE BE =(n >0),则EGEF的值是 (用含n 的代数式表示),试写出解答过程.(3)拓展迁移 如图③,在矩形ABCD 中,过点B 作BH ⊥AC 于点O ,交AD 于点H ,点E 是BC 边上一点,AE 与BH 相交于点G ,过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F ,若a CE BE =,b ABBC=(a >0,b >0),则EGEF的值是 (用含a 、b 的代数式表示).2.已知∆ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD 为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.(1)如图①,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;(2)如图②,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;(3)如图③,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.第2题图创新题猜押命题点函数关系式如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,12BE DE=,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是()A.3+xy=-(44)B.121xyx=--B.C.3+xy=-(44)D.124xyx=--命题点几何动点问题如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,点D为BC 的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<4),连接DE,当△BDE是直角三角时,t的值为 .名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质(2015信阳中学模拟8题3分)如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,其对称轴为x =-3,且过点(-3,0).下列说法:①abc <0;②2a -b =0; ③4a +2b +c <0;④若(-5,y 1),(25,y 2)是抛物线上两点,则y 1>y 2,其中说法正确的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个命题点 概率计算(2015平顶山一模13题3分)一个口袋中有四个完全相同的小球,把他们分别标号为1、2、3、4,随机地摸出一个小球,然后放回,在随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 .狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1.5-21≤x ≤22.1340 题型二 特殊四边形的探究题1.【思路分析】(1)由已知判定四边形DBEA 是平行四边形即可求证;(2)①从矩形的判定着手,对角线相等的四边形是矩形解题;②由①和四边形DBEA 是正方形判断△BEC 是等腰直角三角形即可求解.(1)证明:∵E 是AC 的中点,∴EC =12AC , 又∵DB =12AC ,∴DB =EC , 又∵DB ∥AC ,∴四边形DBCE 是平行四边形, ∴BC =DE ;(2)①AB =BC ;②45°. 【解法提示】①△ABC 添加BA =BC ,同(1)可证四边形DBEA 是平行四边形,又∵BA =BC ,BC = DE ,∴AB =DE ,∴四边形DBEA 是矩形;②∵四边形DBEA 是正方形,∴BE =AE ,∠BEC =90°,∴△BEC 是直角三角形,又∵E 是AC 的中点,∴AE =EC ,∴BE =EC ,又∵△BEC 是直角三角形,∴△BEC 是等腰直角三角形,∴∠C =45°. 2.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,AD ∥BC , ∴∠EBC =∠FDA . 在△BEC 和△DF A 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BC FDA EBC DF BE , ∴△BEC ≌△DF A .(2)解:平行四边形;2或6.【解法提示】①平行四边形,理由如下:连接CF ,AE , 由(1)得:∠BEC =∠DF A ,EC =AF , ∴∠FEC =∠AFE ,即EC ∥AF∴以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是平行四边形.②2或6,理由如下: ∵四边形AECF 为矩形, ∴AC =EF ,∵BD =8cm ,AC =4cm , ∴EF =4,BE =2cm 或6cm . ∵速度为1cm/s , ∴t=2或6.题型三 类比、拓展探究题1.(1)解:EM =2EN ,12. 【解法提示】∵四边形ABCD 是平行四边形,AC 、BD 是对角线, ∴∠MBE =∠NCE =45°, 又∵EM ⊥BM ,EN ⊥CN , ∴∠EMB =∠ENC =90°, ∴△EMB ∽△ENC , ∴2EM EBEN EC==即EM =2EN. 由正方形性质得BD ⊥AC 于点O ,则四边形OMEN 为矩形, ∴∠MEN =90°, 又∵AE ⊥EF ,∴∠GEM +∠GEN =90°,∠FEN +∠GEN =90°, ∴∠MEG =∠FEN ,又∵∠EMG =∠ENF =90°,∴△EMG ∽△ENF ,1.2EF EN EG EM ∴==(2)解:1n. 【解法提示】如解图①,过点E 分别作EM ⊥BD 于点M ,EN ⊥AC 于点N . ∴∠BME =∠CNE =90°,∵四边形ABCD 是正方形,AC 、BD 是对角线, ∴∠OBC =∠OCB =45°, ∴△BME ∽△CNE , ∴.EM EBn EN EC== ∴∠MEG +∠NEG =90°,∠NEF +∠NEG =90°, ∴∠MEG =∠FEN ,又∵∠EMG =∠ENF =90°, ∴△EMG ∽△ENF ,,EM EGn EN EF ∴== 1.EF EG n ∴=第1题解图① (3)解:1.ab解法提示:如解图②,分别作EM ⊥BO 交BO 于点M ,EN ⊥AC 交AC 于点N . ∴∠ENC =∠BME =90°,又∵BH ⊥AC 于点O ,则EN ∥BM , ∴∠NEC =∠MBE , ∴△BME ∽△ENC , ∴.BM BEa EN EC==又∵EN ⊥AC , ∴△CEN ∽△CAB ,即,EN CNAB BC=∴1EN AB CN BC b==,又∵△BME ∽△ENC ,则1BM EN ME CN b==,即BM =ME b , ∴.MEMEb a ab EN EN==,即 ∵AE ⊥EF , AC ⊥BH , ∴∠AOG =∠AEF =90°, 又∵∠GAO =∠F AE ,∴Rt △AGO ∽Rt △AFE ,∴∠AGO =∠NFE , 又∵∠MGE =∠AGO ,∴∠MGE =∠NFE , ∵EM ⊥BO ,FN ⊥AC , ∴∠EMG =∠ENF =90°, ∴△EMG ∽△ENF ,1,.EG EM EF ab EF EN EG ab===∴即第1题解图② 2.解:(1)证明:如解图①,∵四边形ADEF 是菱形,∴AF =AD , ∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC =BC ,∠BAC =60°=∠DAF , ∴∠BAC -∠DAC =∠DAF -∠DAC ,即∠BAD =∠CAF , 在△BAD 和△CAF 中AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAD ≌△CAF ,∴CF =BD ,即证BD =CF ;∴AC =BC =BD +CD =CF +CD ,即证AC =CF +CD ; (2)如解图②,AC =CF +CD 不成立,AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF -CD ,理由是:由(1)知:AB =AC =BC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =60°, ∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ,即∠BAD =∠CAF , ∵在△BAD 和△CAF 中AC AB BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAD ≌△CAF ,∴BD =CF ,∴CF -CD =BD -CD =BC =AC ;即AC =CF -CD . (3)AC =CD -CF . 【解法提示】如解图③,∵∠BAC =∠DAF =60°,∴∠DAB =∠CAF , ∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC DAB FAC AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF (SAS ),∴CF =BD ,∴CD -CF =CD -BD =BC =AC ,即AC =CD -CF .第2题解图创新题猜押命题点 函数关系式A命题点 几何动点问题2或3.5名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质B命题点 概率计算163狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图,已知矩形ABCD,点M、N分别为AB、CD的中点,连接MN,点E为线段BC上的动点,将△ABE沿AE折叠使得点B落在MN上,点B的对应点为B',若AB=3,则折痕AE的长为.第1题图2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,点D在线段AC上,点F是线段AB上的动点,将△ABC沿DE折叠,使点C落在AB上的F处,并且FD∥BC,则CD的长为.第2题图题型二与特殊四边形判定有关的证明及计算如图,已知∆ABC,在边BC的同侧分别作三个正方形.它们分别是正方形ABDI,BCFE,ACHG,连接AD、DE、EG,试探究:(1)求证四边形ADEG是平行四边形;(2)填空:①当∠BAC= 时,四边形ADEG是矩形;②在①的条件下,AC与AB满足条件时,四边形ADEG是正方形.题型三 类比、拓展探究题已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点(与点A 、B 不重合). (1)操作发现如图①,现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ;再在AD 上取一点F ,将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ,并使得线段PE 、PG 重合,试问FG 与CE 的位置关系为 ; (2)猜想论证在(1)中,如图②,连接FC ,取FC 的中点H ,连接GH 、EH ,请你猜想线段GH 和线段EH 的大小关系,并说明你的理由; (3)拓展延伸 如图③,分别在AD 、BC 上取点F 、C ′,使得∠APF =∠BPC ′,将△P AF 沿PF 翻折得到△PFG ,并将△PBC ′ 沿PC' 翻折得到△PEC ′,连接FC ′,取FC ′的中点H ,连接GH 、EH ,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由创新题猜押1.抛物线与x 轴交于A(1x ,0)、 B(2x ,0)两点,且1x <2x ,与y 轴交于点C (0,-4),其中1x ,2x 是方程01242=--x x 的两个根,则抛物线的解析式 . 2.如图,已知AB 为⊙O 的直径,过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ,AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ,连接BC ,CF ,AC . (1)求证:BC =CF ;(2)若AD =3,DE =4,求BE 的长;第2题图名校内部模拟题命题点 实数的相关概念(2015郑州一模1题3分)下列各组数中,互为相反数的两个数是 ( )A.-3和+2B.5和51C.-6和6D.2131和 命题点 阴影部分图形的面积计算(2015平顶山二模15题3分)如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A'B'C',当两个三角形重叠的面积为32时,则它移动的距离AA' 等于 .命题点 实际应用题(2015平顶山二模21题10分)节能灯在城市已基本普及,今年我省面向县级农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表: 类别进价(元/只) 售价(元/只) 甲型25 30 乙型 45 60(1)如何进货,进货款恰好为46000元?(2)若何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1. 22.940 题型二 与特殊四边形判定有关的证明及计算【思路分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS 证得△BDE ≌△BAC ,所以全等三角形的对应边DE =AG .然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA +∠DAG =180°,易证ED ∥GA ;最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论;(2)根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG =90°.然后由周角的定义求得∠BAC =135°;(3)由“正方形的内角都是直角,四条边都相等”易证∠DAG =90°,且AG =AD .由正方形ABDI 和正方形ACHG 的性质证得,AC =2AB .证明:图中四边形ADEG 是平行四边形.理由如下:∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形,∴AC =AG ,AB =BD ,BC =BE ,∠GAC =∠EBC =∠DBA =90°.∴∠ABC =∠EBD (同为∠EBA 的余角).在△BDE 和△BAC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE ABCDBE BA BD∴△BDE ≌△BAC (SAS ),∴DE =AC =AG ,∠BAC =∠BDE .∵AD 是正方形ABDI 的对角线,∴∠BDA =∠BAD =45°.∵∠EDA =∠BDE -∠BDA =∠BDE -45°,∴∠DAG =360°-∠GAC -∠BAC -∠BAD =360°-90°-∠BAC -45°=225°-∠BAC ,∴∠EDA +∠DAG =∠BDE -45°+225°-∠BAC =180°,∴DE ∥AG ,∴四边形ADEG 是平行四边形(一组对边平行且相等).(2)①135°;②AC =2AB .【解法提示】①当四边形ADEG 是矩形时,∠DAG =90°,则∠BAC =360°-∠BAD -∠DAG -∠GAC =360°-45°-90°-90°=135°,即当∠BAC =135°时,平行四边形ADEG 是矩形;②当四边形ADEG 是正方形时,∠DAG =90°,且AG =AD .由(2)知,当∠DAG =90°时,∠BAC =135°. ∵四边形ABDI 是正方形,∴AD =2AB .又∵四边形ACHG 是正方形,∴AC =AG ,∴AC =2AB ,∴AC =2AB 时,四边形ADEG 是正方形.题型三 类比、拓展探究题解:(1)FG ∥CE ;【解法提示】在矩形ABCD 中,∠A =∠B =90°,由题意得∠G =∠A =90°,∠PEC =∠B =90°.∴∠GEC =90°,∴∠G =∠GEC ,∴FG ∥CE .(2)GH =EH .如解图①,延长GH 交CE 于点M ,由(1)得FG ∥CE ,∴∠GFH =∠MCH .∵H 为CF 的中点,∴FH =CH .又∵∠GHF =∠MHC∴△GFH ≌△MHC (ASA ),∴GH =HM =21GM , ∵∠GEC =90°,∴EH =21GM , ∴GH =EH .解图① 解图②(3)(2)中的结论还成立.如解图②,取PF 的中点M ,PC ′的中点N ,连接GM ,EN ,HM ,HN ,∵∠FGP =90°,M 为PF 的中点,∴GM =21PF ,PM =21PF ,HM ∥PC', ∴GM =PM ,∴∠GPF =∠MGP ,∴∠GMF =∠GPF +∠MGP =2∠GPF .∵H 为FC ′的中点,M 为PF 的中点,∴HM =21PC'. 同理HN =21PF ,EN =21PC',HN ∥PF ,∠ENC'=2∠EPC', ∴GM =HN ,HM =EN .∵∠GPF =∠FP A ,∠EPC ′=∠BPC ′.∴∠BPC ′=∠APF ,∴∠GPF =∠EPC ′,∴∠GMF =∠ENC ′.∵HM ∥PC ′,HN ∥PF ,∴四边形HMPN 为平行四边形,∴∠HMF =∠HNC ′,∴∠GMH =∠HNE .∵GM =HN ,HM =EN ,∴△GMH ≌△HNE ,∴GH =HE .创新题猜押 1.434312--=x x y 2.(1)证明:如解图,连接OC ,∵ED 切⊙O 于点C ,∴CO ⊥ED ,∵AD ⊥EC , ∴CO ∥AD ,∴∠OCA =∠CAD ,∵∠OCA =∠OAC , ∴∠OAC =∠CAD ,∴»»BC CF =,∴BC =CF ;第2题解图(2)在Rt △ADE 中,AD =3,DE =4,则根据勾股定理得AE =5,∵CO ∥AD ,∴△EOC ∽△EAD ,∴ADOC EA EO =, 设⊙O 的半径为r ,则OE =5-r ,∴553r r -=,解得815=r , ∴EB =5-2r =45. 名校内部模拟题命题点实数的相关概念C命题点阴影部分图形的面积计算4或8命题点实际应用题解:(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200–x)只,由题意,得25x+45(1200﹣x)=46000,解得:x=400,∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只.答:购进甲型节能灯400只、购进乙型节能灯800只,进货款恰好为46000元;(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200–a)只,商场的获利为y元,由题意,得y=(30–25)a+(60–45)(1200–a),y=–10a+18000.∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,∴–10a+18000≤[25a+45(1200–a)]×30%,∴a≥450.∵y=–10a+18000,∴k=–10<0,∴y随a的增大而减小,∴a=450时,y最大=13500元.∴商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.。
河南省中考数学压轴题全揭秘 专题03 折叠与落点有迹性(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题03 折叠与落点有迹性【例题】(2018·河师大附中模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =5,BC =8,点P 是射线BC 上一动点,连接AP ,将△ABP 沿AP 折叠,当点B 的对应点B ’落在线段BC 的垂直平分线上时,则BP 的长等于【答案】10或52. 【解析】解:点B ’的运动轨迹是以点A 为圆心以AB 的长为半径的圆,圆与BC 的垂直平分线的交点即为所求的落点B ’,如图作出图形,分两种情况计算:①连接BB ’,过B ’作B ’E ⊥BC 于E ,如下图所示,B由题意知,BB ’=B ’C ,BP =B ’P ,BE =EC =4,BB ’⊥AP ,∴∠B ’BC =∠B ’CB ,∠B ’BC +∠APB =90°,∠B ’CB +∠CB ’E =90°,∴∠APB =∠CB ’E ,∴△CB ’E ∽△APB , ∴'AB BP CE B E=,即54'BP B E =, 设BP =x ,则B ’P =x ,EP =4-x ,B ’E =45x , 在Rt △B ’PE 中,由勾股定理得:()222445x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 解得:x =10(舍)或x =52, 即BP =52; ②过A 作AH ⊥MN 于H ,如图所示,∵AB =AB ’=5,AH =4,GH =5,∴B ’H =3,B ’G =8,设BP =x ,则B ’P =x ,PG =x -4,在Rt △PGB ’中,由勾股定理得:()22284x x =+-,解得:x =10,即BP =10;综上所述,答案为:10或52. 【变式】(2019·偃师一模)如图,在边长为 3 的等边三角形ABC 中,点D 为AC 上一点,CD =1,点EM为边AB 上不与A ,B 重合的一个动点,连接DE ,以DE 为对称轴折叠△AED ,点 A 的对应点为点 F ,当点 F 落在等边三角形ABC 的边上时,AE 的长为.【答案】1或5.【解析】解:第一步:确定落点,点F 在以D 为圆心,以线段AD 的长为半径的弧上,如下图所示,第二步,根据落点确定折痕(对称轴)(1)∵AD =DF =2,∠A =60°,∴△ADF 是等边三角形,∵DE 平分∠ADF ,∴AE =EF =1;(2)如下图所示,由对称知,∠EFD =∠A =60°,∴∠EFB +∠DFC =120°,∵∠DFC +∠FDC =120°,∴∠EFB =∠FDC ,∵∠B =∠C =60°,∴△BEF ∽△CFD ,BCF DF CD设AE =x ,则BE =3-x , 即321x x BF CF -==, ∴BF =2x ,CF =()23x x -, ∵BF +CF =3, 即2x +()23x x -=3,解得:x x =5,综上所述,答案为:1或51.(2019·某某二模)如图,P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点,沿过点 P 的直线折叠∠B ,使点 B 落在 AC 上,对应点为 D ,折痕交 BC 于点 E ,点 D 是 AC 的一个三等分点,PB 的长为.【答案】1或5.【解析】解:第一步确定落点,AC 的三等分点有两个,所以有两种情况;第二步根据落点确定折痕,方法:作BD 的垂直平分线即为折痕所在的直线;(1)如下图所示,由折叠性质得:∠B =∠EDP =60°,∴∠CDE +∠ADP =120°,∵∠A =∠C =60°,∴∠ADP +∠APD =120°,∴∠APD =∠CDE ,∴△CED ∽△ADP , ∴CE CD DE AD AP DP==, 设BP =DP =x ,则AP =3-x ,13x x-∴CE=23x-,DE=23xx-,∵DE=BE,∴CE+DE=CE+BE=3,即23x-+23xx-=3,解得:x=75;(2)如下图所示,当CD=1时,同理可得:∴CE CD DE AD AP DP==,设BP=DP=x,则AP=3-x,∴123CE DEx x==-,∴CE=23x-,DE=3xx-,∴23x-+3xx-=3,解得:x=74;综上所述,PB的长为75或74.2.(2017·新野一模)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=6,E.F分别是线段AD,BC上的点,连接EF,使四边形ABFE为正方形,若点G是AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,对应点为P,则线段AP的长为.【答案】4或4﹣.【解析】解:如图1所示:由翻折的性质可知PF=CF=4,∵ABFE为正方形,边长为2,∴AF.∴PA=4﹣.如图2所示:由翻折的性质可知PF=FC=4.∵ABFE为正方形,∴BE为AF的垂直平分线.∴AP=PF=4.故答案为:4或4﹣.3.(2018·某某一模)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E为AB上一点,AE F在AD 上,将△AEF沿EF折叠,当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时,折痕EF的长为.【答案】4或【解析】解:第一步,确定落点,以E 为圆心,AE 的长为半径画弧,与BC 的垂直平分线的交点即为A ’,第二步,作出折痕,求解.(1) 如下图所示,由折叠性质知:A ′E =AE,AF =A ′F ,∠FA ′E =∠A =90°,AM =12AD =3, 过E 作EH ⊥MN 于H ,则四边形AEHM 是矩形,∴MH =AE由勾股定理得:A ′H∴A ′M由MF 2+A ′M 2=A ′F 2,得(3﹣AF )2+)2=AF 2,解得:AF =2,在Rt △AEF 中,由勾股定理得:EF =4;(2)如下图所示,可得:A′E=AE AF=A′F,∠FA′E=∠A=90°,过A′作HG∥BC交AB于G,交CD于H,则四边形AGHD是矩形,∴DH=AG,HG=AD=6,A′H=A′G=3,在Rt△A’EG中,由勾股定理得:EG∴DH=AG=AE+EG在Rt△A’HF中,由勾股定理得:A′F=6,在Rt△AEF中,由勾股定理得:EF;故答案为:4或4.(2019·某某二模)在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为.【答案】8+,8-【解析】解:由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE,∵点B、C′、D′在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在Rt△BC′E中,∠C′BE=30°,①当点C′在B、D’之间时,过E作EG⊥AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,∴EG=AB=6,AG=BE=8,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,∴∠BEC′=60°,由折叠的性质得,∠C′EF=′CEF,∴∠C′EF=∠CEF=60°,∵AD∥BC∴∠HFE=∠CEF=60°,∴△EFH是等边三角形,∴在Rt△EFG中,EG=6,GF=∴AF②当点D′在B、C’之间时,过F作FG⊥AD于G,D′F交BE于H,同理可得:AF=8﹣故答案为:8+或8-5.(2019·某某模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为.【答案】15或53.【解析】解:第一步:确定落点,以A为圆心,AB的长为半径画弧,交射线CD于B’,分两种情况讨论;第二步,根据落点作出折痕,求解;(1)如下图所示,由折叠知:AB ′=AB =5,B ′E =BE , ∴CE =3﹣BE ,∵AD =3,∴DB ′=4,B ′C =1,由勾股定理知:B ′E 2=CE 2+B ′C 2, ∴BE 2=(3﹣BE )2+12,∴BE =53;(2)如下图所示,AB ′=AB =5,∵CD ∥AB ,∴∠1=∠3,∵∠1=∠2,A CE∴∠2=∠3,∵AE 垂直平分BB ′,∴AB =BF =5,∴CF =4,∵CF ∥AB ,∴△CEF ∽△ABE , ∴CF CE AB BE=, 即453CE CE =+, ∴CE =12,∴BE =15, 故答案为:53或15.6.(2019·某某模拟)如图,在等边三角形ABC 中,AB =,点M 为边BC 的中点,点N 为边AB 上的任意一点(不与点A ,B 重合),若点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边上,则BN 的长为cm .【解析】解:∵N 不与A 重合,∴B 落点不会在BC 上,分两种情况讨论:(1)当B 关于直线MN 的对称点B '落在AB 边上时,此时,MN ⊥AB ,即∠BNM =90°,∵△ABC 是等边三角形,AB =M 是BC 中点,∴∠B =60°,BM∴BN =12BM ; (2)当点B 关于直线MN 的对称点B '落在边AC 上时,则MN ⊥BB ′,可得:四边形BMB ′N 是菱形,∴BN =BM =12BC. 7.(2019·某某二模)在矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,点P 在AB 上.若将△DAP 沿DP 折叠,使点A 落在矩形对角线上的A ′处,则AP 的长为. 【答案】32或94. 【解析】解:矩形对角线有两条,AC 、BD ,所以先以D 为圆心以AD 的长为半径作弧,与对角线AC 、BD 的交点即为A ’点;再作出AA ’的垂直平分线即为折痕;(1)点A 落在矩形对角线BD 上时,由AB =4,BC =3,得:BD =5,根据折叠的性质,AD =A ′D =3,AP =A ′P ,∠A =∠PA ′D =90°,∴BA ′=2,设AP =x ,则BP =4﹣x ,由勾股定理得:BP 2=BA ′2+PA ′2,(4﹣x )2=x 2+22,解得:x =32, ∴AP =32; ②点A 落在矩形对角线AC 上,根据折叠的性质可知:DP ⊥AC ,易证:∠ACB =∠APD ,∴tan ∠ACB = tan ∠APD ,∴AP =AD BC AB=94. 故答案为:32或94. 8.(2019·枫杨外国语三模)如图,在▱ABCD 中,∠A =60°,AB =8,AD =6,点E 、F 分别是边AB 、CD 上的动点,将该四边形沿折痕EF 翻折,使点A 落在边BC 的三等分点处,则AE 的长为.【答案】32或94. 【解析】解:第一步确定落点,因为BC 的三等分点有两个,所以分两种情况讨论,第二步,确定落点后,画出折痕EF ,求解.(1)如下图所示过点A ’作A ’H ⊥AB 交AB 的延长线于H ,则∠A ’BH =60°,∵A ’B =2,∴BH =1,A ’H设AE =A ’E =x ,则BE =8-x ,EH =9-x ,在Rt △A ’EH 中,由勾股定理得:()2229x x =-+,解得:x =143, 即AE =143; (2)如下图所示,过点A ’作A ’H ⊥AB 交AB 的延长线于H ,则∠A ’BH =60°,∵A ’B =4,∴BH =2,A ’H,设AE =A ’E =x ,则BE =8-x ,EH =10-x ,在Rt △A ’EH 中,由勾股定理得:()(22210x x =-+,解得:x =5.6, 即AE =5.6; 综上所述,答案为:143或5.6. 9.(2019·中原名校大联考)如图,边长为1的正方形ABCD ,点P 为边AD 上一动点(不与点A 重合).连接BP ,将△ABP 沿直线BP 折叠,点A 落在点A ′处,如果点A ′恰好落在正方形ABCD 的对角线上,则AP 的长为.1.【解析】解:由题意知,A ’落在对角线BD 上,连接A 'D ,则B、A’、D在同一直线上,∴∠A=∠PA'B=∠PA'D=90°,AP=A'P,AB=A'B=1,∴BD,∴DA'=BD﹣BA'=BD﹣AB1,由正方形性质知,∠PDA’=∠A’PD=45°,∴AP=A’P=A’D﹣1,﹣1.10.(2017·某某一模)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为.【答案】(10,3).【解析】解:∵四边形A0CD为矩形,D(10,8),∴AD=BC=10,DC=AB=8,由折叠性质知:AD=AF=10,DE=EF,在Rt△AOF中,由勾股定理得:OF=6,∴FC=4,设EC=x,则DE=EF=8﹣x,在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3,∴点E的坐标为(10,3),故答案为:(10,3).。
河南中招折叠专题
河南中招折叠专题一.填空题(共38小题)1.如图,在直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,2),过点A的直线l⊥线段AB,P是直线l上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为C,把△ACP沿AP翻折180°,使点C落在点D处,且以点A,D,P为顶点的三角形与△ABP相似,则所有满足此条件的点P的坐标是.2.若抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=5,与x轴一交点为A(3,0),则不等式ax2+bx+c>0的解集是.3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=8,AD是∠BAC的平分线,点E是斜边AC上的一点,且AE=AB,沿△DEC的一个内角平分线折叠,使点C 落在DE所在直线上,则折痕的长度为.4.如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转,DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P,Q.当△BDQ为等腰三角形时,AP的长为.5.如图所示,AB=4,AD=3,点E在CD上(不含端点C,D)的任一点,把△EBC 沿BE折叠,当点C落在矩形ABCD的对角线上时,CE=.6.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,AE=4,点F是边BC上一点,将△ABF 沿AF折叠,使点B落在BE上的点B′处,射线DC与射线AF相交于点M,若点N是射线AF上一动点,则当△DMN是等腰三角形时,AN的长为.7.如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,且AB ∥MN,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M是AD边上距D点最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N=.8.如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为.9.如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A、B重合),过A、P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE、EC,当△CDE为等腰三角形时,AP=.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2.将△ABC绕点C逆时针,当点A的对应点A'落在AB边上时,旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′C数是度,阴影部分的面积为.11.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD 的长为.12.已知如图所示,矩形ABCD,P为BC上的一点,连接AP,过D点做DH⊥AP 交AP与H,AB=2,BC=4,当△CDH为等腰三角形时,则BP=.13.如图所示,在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,另两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形面积为cm2.14.如图,P为正方形ABCD内一点,且PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′.若BP的长为整数,则AP=.15.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是.16.矩形纸片ABCD中,AB=5,AC=3,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B′处,折痕为AE.在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等距离为.17.如图,Rt△ABC中,BC=AC=2,D是斜边AB上一个动点,把△ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的A′处,当A′D平行于Rt△ABC的直角边时,AD的长为.18.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在y轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,则A2014的坐标是.19.如图所示,⊙I是Rt△ABC的内切圆,点D、E、F分别是切点,若∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,则⊙I的周长为cm.20.如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,直线l垂直平分BF,垂足为D,当△AFC是等腰三角形时,BD的长为.21.如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是.22.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点E是边BC上一动点,把△DCE沿DE折叠得△DFE,射线DF交直线CB于点P,当△AFD为等腰三角形时,DP 的长为.23.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC的余弦值为.24.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=.25.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′处,则AP的长为.26.如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=7,点E为DC上一动点,△ADE沿AE折叠,点D落在矩形ABCD内一点D′处,若△BCD′为等腰三角形,则DE的长为.27.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0),点D 是x轴上一个动点,以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为.28.如图,等边△ABC的边长为10,点M是边AB上一动点,将等边△ABC沿过点M的直线折叠,该直线与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D 处,且BD:DC=1:4,折痕为MN,则AN的长为.29.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE 折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为.30.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第二象限作正方形ABCD,点D在双曲线上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后,点C恰好也落在此双曲线上,则a的值是.31.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是对角线BD上一动点(不与点B、D重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上,当△DEF为直角三角形时,CN的长为.32.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为.33.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.34.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,DC上的一个动点,以EF为对称轴折叠△CEF,使点C的对称点G落在AD上,若AB=3,BC=5,则CF的取值范围为.35.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上的一点,点F是边CD上一点,将平行四边形ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGC,点A的对应点为点C,点D的对应点为点G,则△CEF的面积.36.如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=10,点E是CD中点,将这张纸片依次折叠两次;第一次折叠纸片使点A与点E重合,如图2,折痕为MN,连接ME、NE;第二次折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落到B′处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG=.37.在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C、D的对应点分别为C′、D′,折痕与边AD交于点F,当点B、C′、D′恰好在同一直线上时,AF的长为.38.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=10,点P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别为E、F,要使折痕始终与边AB、AD有交点,则BP的取值范围是.三.解答题(共1小题)39.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求直线AB和OB的解析式.(2)求抛物线的解析式.(3)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.问△BOD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值并写出此时点D的坐标;若不存在说明理由.参考答案与试题解析一.填空题(共38小题)1.如图,在直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,2),过点A的直线l⊥线段AB,P是直线l上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为C,把△ACP沿AP翻折180°,使点C落在点D处,且以点A,D,P为顶点的三角形与△ABP相似,则所有满足此条件的点P的坐标是P(5,2),P(8,8),P(0,﹣8),P (3,﹣2).【解答】解:∵直线l过点A(4,0),且l⊥AB,∴直线L的解析式为;y=2x﹣8,∠BAO+∠PAC=90°,∵PC⊥x轴,∴∠PAC+∠APC=90°,∴∠BAO=∠APC,∵∠AOB=∠ACP,∴△AOB∽△PCA,∴=,∴==,设AC=m,则PC=2m,∵△PCA≌△PDA,∴AC=AD,PC=PD,∴==,如图1:当△PAD∽△PBA时,则=,则==,∵AB==2,∴AP=4,∴m2+(2m)2=(4)2,∴m=±4,当m=4时,PC=8,OC=8,P点的坐标为(8,8),当m=﹣4时,如图2,PC=8,OC=0,P点的坐标为(0,﹣8),如图3,若△PAD∽△BPA,则==,PA=AB=×2=,则m2+(2m)2=()2,∴m=±1,当m=1时,PC=2,OC=5,P点的坐标为(5,2),当m=﹣1时,如图4,PC=2,OC=3,P点的坐标为(3,﹣2);则所有满足此条件的点P的坐标是:P(5,2 ),p(8,8),P(0,﹣8),P(3,﹣2).故答案为:P(5,2 ),p(8,8),P(0,﹣8),P(3,﹣2).3.若抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=5,与x轴一交点为A(3,0),则不等式ax2+bx+c>0的解集是3<x<7.【解答】解:如图所示:∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=5,与x轴一交点为A(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为:(7,0),∴不等式ax2+bx+c>0的解集是:3<x<7.故答案为:3<x<7.4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=8,AD是∠BAC的平分线,点E是斜边AC上的一点,且AE=AB,沿△DEC的一个内角平分线折叠,使点C 落在DE所在直线上,则折痕的长度为和.【解答】解:∵∠ABC=90°,AC=10,BC=8,∴AB==6,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠EAD,在△ABD与△AED中,,∴△ABD≌△AED,∴∠AED=∠B=90°,BD=DE,如图1,过M作MP⊥DE于P,∵EM平分∠PEC,∴∠PEM=45°,∴PE=PM,∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的,∴EC′=EC=AC﹣AE=4,设PE=PM=x,则PC′=4﹣x,∵tanC=tanC′=,∴,解得:x=,∴EM=PM=;如图2,∵tanC=,∴DE=BD=3,∴CD=C′D=5,∴C′E=2,∵tanC′=tanC=,∴EM=,∴DM===.综上所述:折痕的长度为:和.故答案为:和.5.如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转,DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P,Q.当△BDQ为等腰三角形时,AP的长为或或.【解答】解:(1)当BD=BQ,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,则AB=5,过D作DM⊥BC与M,DN⊥AC于N,如图,∵D为AB的中点,∴DM=AN=AC=,BD=AB=,DN=BM=BC=2,∴BQ=BD=,QM=﹣2=,∴∠3=90°﹣∠B,而∠2+∠3=90°,∴∠2=∠B,又∵Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B,而∠1+∠EDF+∠2=90°,∴∠1=∠B,即∠1=∠2,∴△DQM∽△DPN,∴PN:QM=DN:DM,即PN:=2:,∴PN=,∴AP=+=;(2)当DB=DQ,则Q点在C点,如图,DA=DC=,而Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠EDF=∠A,∴△CPD∽△CDA,∴CP:CD=CD:CA,即CP:=:3,∴CP=,∴AP=3﹣=;(3)当QB=QD,则∠B=∠BDQ,而∠EDF=∠A,∴∠EDF+∠BDQ=90°,即ED⊥AB,如图,∴Rt△APD∽Rt△ABC,∴AP:AB=AD:AC,即AP:5=:3,∴AP=.故答案为或或.6.如图所示,AB=4,AD=3,点E在CD上(不含端点C,D)的任一点,把△EBC 沿BE折叠,当点C落在矩形ABCD的对角线上时,CE=.【解答】解:∵AB=4,AD=3,∴BD=5,∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E,,∴C′E=CE,BC′=BC=AD=3∵当点C落在矩形ABCD的对角线上,∴D,C′,B三点共线,∴C′D=2,∠DC′E=90°,∵DE=4﹣CE,∵DE2=DC′2+C′E2,即(4﹣CE)2=22+CE2,∴CE=.故答案为:.7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,AE=4,点F是边BC上一点,将△ABF 沿AF折叠,使点B落在BE上的点B′处,射线DC与射线AF相交于点M,若点N是射线AF上一动点,则当△DMN是等腰三角形时,AN的长为2或5或18.【解答】解:由题意可知,AF⊥BE,∴∠BAF+∠ABE=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°,∴∠BAF+∠DAM=90°,∴∠DAM=∠ABE,∴△ABE∽△DAM,∴=,∴=,∴DM=8,AM===10,①当MN=MD时,AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18,②当ND=NM时,易知点N是AM中点,所以AN=AM=5,综上所述,当AN=2或5或18时,△DMN是等腰三角形.8.如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,且AB ∥MN,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M是AD边上距D点最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N=.【解答】解:∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠,A落在MN上,落点记为A′,∴A′B=AB=1,∵AB∥MN,M是AD边上距D点最近的n等分点,∴MD=NC=,∴BN=BC﹣NC=1﹣=,在Rt△A′BN中,根据勾股定理得,A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣()2=,所以,A′N==.故答案为:.9.如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为或.【解答】解:如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作⊥BC交BC于点PD′P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上,∴MD′=PD′,设MD′=x,则PD′=BM=x,∴AM=AB﹣BM=7﹣x,又折叠图形可得AD=AD′=5,∴x2+(7﹣x)2=25,解得x=3或4,即MD′=3或4.在Rt△END′中,设ED′=a,①当MD′=3时,AM=7﹣3=4,D′N=5﹣3=2,EN=4﹣a,∴a2=22+(4﹣a)2,解得a=,即DE=,②当MD′=4时,AM=7﹣4=3,D′N=5﹣4=1,EN=3﹣a,∴a2=12+(3﹣a)2,解得a=,即DE=.故答案为:或.10.如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A、B重合),过A、P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE、EC,当△CDE为等腰三角形时,AP=﹣1或.【解答】解:连接AE,∵四边形ABCD、APEF是正方形,∴A、E、C共线,①当CD=CE=时,AE=AC﹣EC=2﹣,∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时,∠DEC=90°,∠EDC=∠ECD=45°,EC=CD=1,∴AE=AC﹣EC=1,∴AP=AE=.∴当△CDE为等腰三角形时,AP=﹣1或.故答案为﹣1或.11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2.将△ABC绕点C逆时针,当点A的对应点A'落在AB边上时,旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′C数是60度,阴影部分的面积为.【解答】解:∵AC=A′C,且∠A=60°,∴△ACA′是等边三角形.,∴∠ACA′=60°﹣60°=30°,∴∠A′CB=90°∵∠CA′D=∠A=60°,∴∠CDA′=90°,﹣30°=60°,∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°,∴∠CB′D=30°∴CD=CB′=CB=×2=1,∴B′D==,∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=,S扇形B′CB==,则阴影部分的面积为:﹣,故答案为:﹣.12.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD 的长为.【解答】解:作AD′⊥AD,AD′=AD,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD与△CAD′中,,∴△BAD≌△CAD′(SAS),∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=,∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=,∴BD=CD′=,故答案为:.13.已知如图所示,矩形ABCD,P为BC上的一点,连接AP,过D点做DH⊥AP 交AP与H,AB=2,BC=4,当△CDH为等腰三角形时,则BP=4﹣2、2或2.【解答】解:①当HD=HC时,过点H作HE⊥CD于点E,延长EH交AB于点F,连接DP,如图1所示.∵HD=HC,∴点E为CD的中点,∵EF∥AD,∴FH为△ABP的中位线,∴AH=HP.∵DH⊥AP,∴△DAP为等腰三角形,∴AD=DP.设BP=a,则CP=4﹣a,由勾股定理得:DP2=CD2+CP2,即16=8+(4﹣a)2,解得:a=4﹣2,或a=﹣4﹣2(舍去);②当DH=DC时,如图2所示.∵DC=AB=2,∴DH=2.在Rt△AHD中,AD=4,DH=2,∴AH==2,∴AH=DH,∴∠DAH=∠ADH=45°.∵AD∥BC,∴∠APB=∠DAH=45°,∵∠B=90°,∴△ABP为等腰直角三角形,∴BP=AB=2;③当CH=CD时,过点C作CE⊥DH于点E,延长CE交AD于点F,如图3所示.∵CH=CD,CE⊥DH,∴DE=HE=DH.∵DH⊥CF,DH⊥AP,∴CF∥AP,∵AF∥CP,∴四边形AFCP为平行四边形,∴AF=CP.∵EF∥AH,DE=HE,∴DF=AF=AD=2,∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2.综上所述:BP的长度为4﹣2、2或2.故答案为:4﹣2、2或2.14.如图所示,在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,另两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形面积为2或cm2.【解答】解:如图1,等腰三角形面积为:×2×2=2,如图2,等腰三角形的高为:=,则其面积为:×2×=.故答案为:2或.15.如图,P为正方形ABCD内一点,且PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′.若BP的长为整数,则AP=或1.【解答】解:∵△BP'C是由△BPA旋转得到,∴∠APB=∠CP'B=135°,∠ABP=∠CBP',BP=BP',AP=CP',∵∠ABP+∠PBC=90°,∴∠CBP'+∠PBC=90°,即∠PBP'=90°,∴△BPP'是等腰直角三角形,∴∠BP'P=45°,∵∠APB=∠CP'B=135°,∴∠PP'C=90°,设BP=BP'=a,AP=CP'=b,则PP'=a,在RT△PP'C中,∵PP'2+P'C2=PC2,且PC=3,∴CP'==,∵BP的长a为整数,∴满足上式的a为1或2,当a=1时,AP=CP'=,当a=2时,AP=CP'=1,故答案为:或1.16.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是或4.【解答】解:根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况,有两种情况:①△B′FC∽△ABC时,=,,又因为AB=AC=6,BC=8,B′F=BF所以=,解得BF=;②△B′CF∽△BCA时,=,,又因为AB=AC=6,BC=8,B′F=CF,BF=B′F又BF+FC=8,即2BF=8,解得BF=4.故BF的长度是或4.故答案为:或4.17.矩形纸片ABCD中,AB=5,AC=3,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B′处,折痕为AE.在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等距离为.【解答】解:如图所示,设PF⊥CD,∵BP=FP,由翻折变换的性质可得BP=B′P,,∴FP=B′P∴FP⊥CD,∴B′,F,P三点构不成三角形,∴F,B′重合分别延长AE,CD相交于点G,∵AB∥CD,∴∠BAG=∠AGD,∵∠BAG=∠B′AG,∴∠AGD=∠B′AG,,∴GB′=AB′=AB=5∵PB′(PF)⊥CD,∴PB′∥AC,∴△ACG∽△PB′G,∵Rt△ACB′中,AB′=AB=5,AC=3,∴B′C==4,∴CB′=5﹣4=1,CG=CB′+B′G=4+5=9,∴△ACG与△PB′G的相似比为9:5,∴AC:PB′=9:5,∵AC=3,∴PB′=.故答案为:.18.如图,Rt△ABC中,BC=AC=2,D是斜边AB上一个动点,把△ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的A′处,当A′D平行于Rt△ABC的直角边时,AD的长为2或2﹣2.【解答】解:Rt△ABC中,BC=AC=2,,∴AB=2,∠B=∠A′CB=45°①如图1,当A′D∥BC,设AD=x,∵把△ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的A′处,,A′D=AD=x,∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°∵∠B=45°,⊥AB,∴A′C∴BH=BC=,DH=A′D=x,∴x+=2,∴x=2﹣2,∴AD=2﹣2;②如图2,当A′D∥AC,∵把△ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的A′处,∴AD=A′D,AC=A′C,∠ACD=∠A′CD,∵∠A′DC=∠ACD,∴∠A′DC=∠A′CD,,∴A′D=A′C∴AD=AC=2,综上所述:AD的长为:2或2﹣2.19.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在y轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,则A2014的坐标是(2014,2016).【解答】解:过B1向x轴作垂线B1C,垂足为C,由题意可得:A(0,2),AO∥A1B1,∠B1OC=30°,∴CO=OB1cos30°=,∴B1的横坐标为:,则A1的横坐标为:,连接AA1,可知所有三角形顶点都在直线AA1上,∵点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,AO=2,∴直线AA1的解析式为:y=x+2,∴y=×+2=3,∴A1(,3),同理可得出:A2的横坐标为:2,∴y=×2+2=4,∴A2(2,4),∴A3(3,5),…A2014(2014,2016).故答案为:(2014,2016).20.如图所示,⊙I是Rt△ABC的内切圆,点D、E、F分别是切点,若∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,则⊙I的周长为2πcm.【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,∴AC=3cm,设⊙I的半径为x,∵⊙I是Rt△ABC的内切圆,∴AE=3﹣x,BF=4﹣x,故3﹣x+4﹣x=5,解得:x=1,故⊙I的周长为2πcm.故答案为:2π.21.如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,直线l垂直平分BF,垂足为D,当△AFC是等腰三角形时,BD的长为或﹣1.【解答】解:∵等腰Rt△ABC中,AB=AC=2,∴BC=2,分两种情况:①当AF=CF时,∠FAC=∠C=45°,∴∠AFC=90°,∴AF⊥BC,∴BF=CF=BC=,∵直线l垂直平分BF,∴BD=BF=;②当CF=CA=2时,BF=BC﹣CF=2﹣2,∵直线l垂直平分BF,∴BD=BF=﹣1;故答案为:或﹣122.如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是6﹣π.【解答】解:连接AD,∵BC是切线,点D是切点,∴AD⊥BC,∴∠EAF=2∠EPF=100°,∴S扇形AEF==π,S△ABC=AD?BC=×2×6=6,∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π.故答案为:6﹣π.23.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点E是边BC上一动点,把△DCE沿DE折叠得△DFE,射线DF交直线CB于点P,当△AFD为等腰三角形时,DP 的长为或.【解答】解:∵AD=BC=4,DF=CD=AB=6,∴AD<DF,故分两种情况:①如图所示,当FA=FD时,过F作GH⊥AD与G,交BC于H,则HG⊥BC,DG=AD=2,∴Rt△DFG中,GF==4,∴FH=6﹣4,∵DG∥PH,∴△DGF∽△PHF,∴=,即=,解得PF=﹣6,∴DP=DF+PF=6+﹣6=;②如图所示,当AF=AD=4时,过F作FH⊥BC于H,交DA的延长线于G,则Rt△AFG中,AG2+FG2=AF2,即AG2+FG2=16;Rt△DFG中,DG2+FG2=DF2,即(AG+4)2+FG2=36;联立两式,解得FG=,∴FH=6﹣,∵∠G=∠FHP=90°,∠DFG=∠PFH,∴△DFG∽△PFH,∴=,即=,解得PF=﹣6,∴DP=DF+PF=6+﹣6=,故答案为:或.24.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC的余弦值为.【解答】解:设⊙A与x轴的另一个交点为D,连接CD,∵∠COD=90°,∴CD是直径,即CD=10,∵C(0,5),∴OC=5,∴OD==5,∵∠OBC=∠ODC,∴cos∠OBC=cos∠ODC===.故答案为:.25.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.【解答】解:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=(180°﹣∠BAE)+(180°﹣∠ABC)+(180°﹣∠BCD)+(180°﹣∠CDE)+(180°﹣∠DEA)=180°×5﹣(∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA)=900°﹣(5﹣2)×180°=900°﹣540°=360°.故答案为:360°.26.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′处,则AP的长为或.【解答】解:①点A落在矩形对角线BD上,如图1,∵AB=4,BC=3,∴BD=5,,根据折叠的性质,AD=A′D=3,AP=A′P,∠A=∠PA′D=90°∴BA′=2,设AP=x,则BP=4﹣x,∵BP2=BA′2+PA′2,∴(4﹣x)2=x2+22,解得:x=,∴AP=;②点A落在矩形对角线AC上,如图2,根据折叠的性质可知DP⊥AC,∴△DAP∽△ABC,∴,∴AP===.故答案为:或.27.如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=7,点E为DC上一动点,△ADE沿AE折叠,点D落在矩形ABCD内一点D′处,若△BCD′为等腰三角形,则DE的长为或.【解答】解:①:CD'=BD'时,如图,由折叠性质,得AD=AD′,∠DAE=∠D′AE,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,∵△BCD′为等腰三角形,,∠D′BC=∠D′CB,∴D′B=D′C∴∠DCD′=∠ABD′,在△DD′C和△AD′B中,,∴△DD′C≌△AD′B,∴DD′=AD′,,∴DD′=AD′=AD∴△ADD′是等边三角形,∴∠DAD′=60°,∴∠DAE=30°,∴DE=AE,设DE=x,则AE=2x,(2x)2﹣x2=42,解得:x=,即DE=.②:当CD'=CB时,如图,连接AC,由于AD'=4,CD'=4,而AC==>4+4;故这种情况不存在.③当BD'=BC时,如图过D'作AB的垂线,垂足为F,延长D'F交CD于G,由于AD'=BD',D'F=D'F;易知AF=BF,从而由勾股定理求得D'F===,又易证△AD'F∽△D'EG,设DE=x,D'E=x,∴,即;解得x=综上,故答案为:或.28.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0),点D 是x轴上一个动点,以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为(2,2)或(2,4)或(2,2)或(2,﹣2).【解答】解:连接EC.∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE,∴BD=EC.∠ABD=∠ACE=45°,∵∠ACB=45°,∴∠ECD=90°,∴点E在过点C垂直x轴的直线上,且EC=DB,①当DB=DA时,点D与O重合,BD=OB=2,此时E(2,2).②当AB=AD时,BD=CE=4,此时E(2,4).③当BD=AB=2时,E(2,2)或(2,﹣2),故答案为(2,2)或(2,4)或(2,2)或(2,﹣2).29.如图,等边△ABC的边长为10,点M是边AB上一动点,将等边△ABC沿过点M的直线折叠,该直线与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D 处,且BD:DC=1:4,折痕为MN,则AN的长为7或.【解答】解:①当点A落在如图1所示的位置时,∵△ACB是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°,∵∠MDC=∠B+∠BMD,∠B=∠MDN,∴∠BMD=∠NDC,∴△BMD∽△CDN.∴得==,∵DN=AN,∴得==,∵BD:DC=1:4,BC=10,∴DB=2,CD=8,设AN=x,则CN=10﹣x,∴==,∴DM=,BM=,∵BM+DM=10,∴+=10,解得x=7,∴AN=7;②当A在CB的延长线上时,如图2,与①同理可得△BMD∽△CDN.∴得==,∵BD:DC=1:4,BC=10,∴DB=,CD=,设AN=x,则CN=x﹣10,∴==,∴DM=,BM=,∵BM+DM=10,∴+=10,解得:x=,∴AN=.故答案为:7或.30.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE 折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为2或1.【解答】解:连接B′D,过点B′作B′M⊥AD于M.∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上,∴设DM=B′M=x,则AM=7﹣x,又由折叠的性质知AB=AB′=5,∴在直角△AMB′中,由勾股定理得到:AM2=AB′2﹣B′M2即(7﹣x)2=25﹣x2,解得x=3或x=4,则点B′到BC的距离为2或1.故答案为:2或1.31.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第二象限作正方形ABCD,点D在双曲线上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后,点C恰好也落在此双曲线上,则a的值是2.【解答】解:过点CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G,过点D作DF⊥x轴于点F,在y=2x+4中,令x=0,解得:y=4,即B的坐标是(0,4).令y=0,解得:x=﹣2,即A的坐标是(﹣2,0).则OB=4,OA=2.∵∠BAD=90°,∴∠BAO+∠DAF=90°,又∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°,∴∠DAF=∠OBA,在△OAB和△FDA中,,∴△OAB≌△FDA(AAS),同理,△OAB≌△FDA≌△BEC,∴AF=OB=EC=4,DF=OA=BE=2,∴D的坐标是(﹣6,2),C的坐标是(﹣4,6).将点D代入y=得:k=﹣12,则函数的解析式是:y=﹣.∴OE=6,则C的纵坐标是6,把y=6代入y=﹣得:x=﹣2.即G的坐标是(﹣2,6),∴CG=4﹣2=2.∴a=2.故答案为:2.32.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是对角线BD上一动点(不与点B、D重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上,当△DEF为直角三角形时,CN的长为或.【解答】解:分两种情况:①如图所示,当∠DFE=90°时,△DEF为直角三角形,∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°,∴∠CDF=∠EFN,由折叠可得,EF=EB,∴∠EFN=∠EBN,∴∠CDF=∠CBD,又∵∠DCF=∠BCD=90°,∴△DCF∽△BCD,∴=,即=,∴CF=,∴FN==,∴CN=CF+NF=+=;②如图所示,当∠EDF=90°时,△DEF为直角三角形,∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°,∴∠CDF=∠CBD,又∵∠DCF=∠BCD=90°,∴△DCF∽△BCD,∴=,即=,∴CF=,∴NF==,∴CN=NF﹣CF=﹣=,综上所述,CN的长为或.故答案为:或.33.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2.【解答】解:当∠APB=90°时(如图1),∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB?sin60°=4×=2;当∠ABP=90°时(如图2),∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP===2,在直角三角形ABP中,AP==2,情况二:如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2,故答案为:2或2或2.34.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.【解答】解:延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,如图所示:∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,∴∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解得:x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF?sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得:y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.35.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,DC上的一个动点,以EF为对称轴折叠△CEF,使点C的对称点G落在AD上,若AB=3,BC=5,则CF的取值范围为≤CF≤3.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,BC=AD=5,CD=AB=3,当点D与F重合时,CF最大=3,如图1所示:当B与E重合时,CF最小,如图2所示:在Rt△ABG中,∵BG=BC=5,AB=3,∴AG==4,∴DG=AD﹣AG=1,设CF=FG=x,在Rt△DFG中,∵DF2+DG2=FG2,∴(3﹣x)2+12=x2,∴x=,∴≤CF≤3.故答案为≤CF≤3.36.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上的一点,点F是边CD上一点,将平行四边形ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGC,点A的对应点为点C,点D的对应点为点G,则△CEF的面积.【解答】解:如图1,作CK⊥AB于K,过E点作EP⊥BC于P.∵∠B=60°,∴CK=BC?sin60°=4×=2 ,∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离,∴点E到CD的距离是2 ,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠D=∠B,∠A=∠BCD,由折叠可知,AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG,∴BC=GC,∠B=∠G,∠BCD=∠ECG,∴∠BCE=∠GCF,在△BCE和△GCF中,,∴△BCE≌△GCF(ASA);∴CE=CF,∵∠B=60°,∠EPB=90°,∴∠BEP=30°,∴BE=2BP,设BP=m,则BE=2m,∴EP=BE?sin60°=2m×=m,由折叠可知,AE=CE,∵AB=6,∴AE=CE=6﹣2m,∵BC=4,∴PC=4﹣m,在Rt△ECP中,由勾股定理得(4﹣m)2+(﹣m)2=(6﹣2m)2,解得m=,∴EC=6﹣2m=6﹣2×=,∴CF=EC=,∴S△CEF=××2 =,故答案为.37.如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=10,点E是CD中点,将这张纸片依次折叠两次;第一次折叠纸片使点A与点E重合,如图2,折痕为MN,连接ME、NE;第二次折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落到B′处,。
河南省2019年中考数学专题复习专题三 几何图形的折叠与动点问题训练(含答案)
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE 并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为________.【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论.【自主解答】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE =∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB 中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A′E=8,由勾股定理,得AB2=BC2-AC2,∴AB=82-42=43;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为43或4.图①图②1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D′,连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形,则DE=________________.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时,BE的长为______.3.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C 为直角三角形,则BM的长为__________.4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MN⊥AC,垂足为P,把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形,则AP的长为____________.5.(2017·三门峡一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C′,连接C′D交AB于点E,连接BC′.当△BC′D是直角三角形时,DE的长为______.6.(2018·盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=23+4,点M、N分别在线段AC、AB上.将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为__________.7.(2018·乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=23,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F,若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD 为等腰三角形时,AP的长为______.9.(2018·濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC 上两个动点.若将∠C沿DE折叠,点C的对应点C′恰好落在AB上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时CD的长为__________.类型二点的位置不确定(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为________.【分析】 根据勾股定理,可得EB ′,根据相似三角形的性质,可得EN 的长,根据勾股定理,可得答案.【自主解答】 由翻折的性质,得AB =AB ′,BE =B ′E .①当MB ′=2,B ′N =1时,设EN =x ,得B ′E =x 2+1.由△B ′EN ~△AB ′M ,EN B′M =B′E AB′,即x 2=x 2+13,x 2=45,BE =B ′E =45+1=355; ②当MB ′=1,B ′N =2时,设EN =x ,得B ′E =x 2+22,△B ′EN ∽△AB ′M ,EN B′M =B′E AB′,即x 1=x 2+43,解得x 2=12,BE =B ′E =12+4=322,故答案为:322或355.1.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使D 点落在BC 边上的点E 处,折痕为GH .若点E 是BC 的三等分点,则线段CH 的长是_______.2.(2018·林州一模)在矩形ABCD 中,AB =4,BC =9,点E 是AD 边上一动点,将边AB 沿BE 折叠,点A 的对应点为A ′.若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则AE 的长为__________.3.(2015·河南)如图,矩形ABCD 中,AD =5,AB =7,点E 为DC 上一个动点,把△ADE 沿AE 折叠,当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时,DE 的长为______.4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形ABCD 中,AD =5,AB =8,点E 为射线DC 上一个动点,把△ADE 沿直线AE 折叠,当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时,则DE 的长为__________.5.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把△PBC 沿PC折叠,当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时,BP=________.6.(2018·河南模拟)如图,△ABC中,AB=5,AC=5,tan A=2,D是BC中点,点P是AC 上一个动点,将△BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半,则AP的长为____________.7.在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为__________________.类型三根据图形折叠探究最值问题如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.【分析】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE.当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,根据折叠的性质可知A′E=1,在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CE -A′E即可求出结论.例3题解图【自主解答】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,如解图所示.根据折叠可知:A ′E =AE =12AB =1.在Rt △BCE 中,BE =12AB =1,BC =3,∠B =90°,∴CE =BE 2+BC 2=10,∴A ′C 的最小值=CE -A ′E =10-1.故答案为10-1.1.(2019·原创)如图,在边长为10的等边三角形△ABC 中,D 是AB 边上的动点,E 是AC 边的中点,将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ,连接BA ′,则BA ′的最小值是__________.2.在矩形ABCD 中,AD =12,E 是AB 边上的点,AE =5,点P 在AD 边上,将△AEP 沿EP 折叠,使得点A 落在点A ′的位置,如图,当A ′与点D 的距离最短时,△A ′PD 的面积为________.3.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,F 是BC 边上的动点,将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ,连接B ′D .则当B ′D 取得最小值时,tan ∠BEF 的值为__________.4.(2017·河南模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =6,点D 是边BC 的中点,点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合),沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处,连接AF ,则线段AF 的长取最小值时,BF 的长为_________.参考答案类型一针对训练 1.3+1或23-2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时,过点E 作EF ⊥CD 于F ,如解图①,设CF =x ,第1题解图①∵∠ABC =30°,∴∠BCD =150°.∵△BCD ′是等边三角形,∴∠DCD ′=90°.由折叠可知,∠ECD =∠D ′CE =45°,∵EF =CF =x ,在直角三角形DEF 中,∠D =30°,∴DE =2x ,∴DF =3x ,∴CD =CF +DF =x +3x =2,解得x =3x -1,∴DE =2x =23-2.(2)当E 在DA 的延长线上时,如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ,根据折叠可知,∠ED ′C =∠D =30°,又∵三角形BD ′C 是等边三角形,∴D ′E 垂直平分BC ,∵AD ∥BC .∴D ′E ⊥AD ,∵∠ABC =30°∴∠BAF =30°,又∵AB=2,∴AF = 3.令D ′E 与BC 的交点为G ,则易知EF =BG =12BC =1,∴AE =3-1,∴DE =3+1,综上所述,DE 的长度为3+1或23-2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中,∵∠C =90°,AB =5,AC =4,∴BC =3.沿直线EF 将∠B 折叠,使点B 恰好落在BC 上的D 处,当△ADE 恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:BE =DE ,设BE =x ,则DE =x ,AE =5-x ,①当∠ADE =90°时,则DE ∥BC ,∴DE CB =AE AB ,∴x 3=5-x 5,解得x =158;②当∠AED =90°时,则△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC ,∴x 3=5-x 4,解得x =157,故所求BE 的长度为:158或157.3.122+12或1 【解析】①如解图①,当∠B ′MC =90°,B ′与A 重合,M 是BC 的中点,∴BM =12BC =122+12;②如解图②,当∠MB ′C =90°,∵∠A =90°,AB =AC ,∴∠C =45°,∴△CMB ′是等腰直角三角形,∴CM =2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点为B ′,∴BM =B ′M ,∴CM =2BM .∵BC =2+1,∴CM +BM =2BM +BM =2+1,∴BM =1,综上所述,若△MB ′C 为直角三角形,则BM 的长为122+12或1.图①图②第3题解图 4.433或23-2 【解析】①如解图①,当A ′D =A ′C 时,∠A ′DC =∠A ′CD =30°,∴∠AA ′D =60°.又∵∠CAD =30°,∴∠ADA ′=90°,在Rt △ADA ′中,AA ′=AD cos 30°=432=833,由折叠可得AP =12AA ′=433;图①图②第4题解图②如解图②,当CD =CA ′=4时,连接BD 交AC 于O ,则Rt △COD 中,CO =CD ×cos 30°=4×32=23,∴AC =43,∴AA ′=AC -A ′C =43-4,由折叠可得AP =12AA ′=23-2;故答案为433或23-2. 5 .32或34【解析】如解图①所示,点E 与点C ′重合时.在Rt △ABC 中,BC =AB 2-AC 2=4.由翻折的性质可知;AE =AC =3、DC =DE ,则EB =2.设DC =ED =x ,则BD =4-x .在Rt △DBE中,DE 2+BE 2=DB 2,即x 2+22=(4-x )2.解得x =32.∴DE =32.图①图②第5题解图如解图②所示:∠EDB =90°时.由翻折的性质可知:AC =AC ′,∠C =∠AC ′D =90°.∵∠C =∠AC ′D =∠CDC ′=90°,∴四边形ACDC ′为矩形.又∵AC =AC ′,∴四边形ACDC ′为正方形.∴CD =AC =3.∴DB =BC -DC =4-3=1.∵DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BCA .∴DE AC =DB CB =14,即ED 3=14.解得DE =34.点D 在CB 上运动,∠DBC ′<90°,故∠DBC ′不可能为直角.故答案为:32或34. 6.23+43或6 【解析】分两种情况:①如解图①,当∠CDM =90°,△CDM 是直角三角形,∵在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠A =60°,AC =23+4,∴∠C =30°,AB =12AC =3+2,由折叠可得,∠MDN =∠A =60°,∴∠BDN =30°,∴BN =12DN =12AN ,∴BN =13AB =3+23,∴AN =2BN =233+43,∵∠DNB =60°,∴∠ANM =∠DNM =60°,∴∠ANM =60°,∴AN =MN =23+43.②如解图②,当∠CMD =90°时,△CDM 是直角三角形,由题可得∠CDM =60°,∠A =∠MDN =60°,∴∠BDN =60°,∠BND =30°,∴BD =12DN =12AN ,BN =3BD ,又∵AB=3+2,∴AN =2,BN =3,过N 作NH ⊥AM 于H ,则∠ANH =30°,∴AH =12AN =1,HN =3,由折叠可得∠AMN =∠DMN =45°,∴△MNH 是等腰直角三角形,∴HM =HN =3,∴MN =6,故答案为23+43或 6.图①图②第6题解图7.3或145 【解析】∴∠C =90°,BC =23,AC =2,∴tan B =AC BC =223=33,∴∠B =30°,∴AB =2AC =4.∵点D 是BC 的中点,沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置,B ′D 交AB 于点F ,∴DB =DC =3,EB ′=EB ,∠DB ′E =∠B =30°.设AE =x ,则BE =4-x ,EB ′=4-x ,当∠AFB ′=90°时,在Rt △BDF 中,cos B =BF BD ,∴BF =3cos 30°=32,∴EF =32-(4-x )=x -52.在Rt △B ′EF 中,∵∠EB ′F =30°,∴EB ′=2EF , 则4-x =2(x -52),解得x =3,此时AE 为3;第7题解图当∠FB ′A =90°时,作EH ⊥AB ′于H ,连接AD ,如解图,∵DC =DB ′,AD =AD ,∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ,∴AB ′=AC =2.∵∠AB ′E =∠AB ′F +∠EB ′F =90°+30°=120°,∴∠EB ′H =60°.在Rt △EHB ′中,B ′H =12B ′E =12(4-x ),EH =3B ′H =32(4-x ),在Rt △AEH中,∵EH 2+AH 2=AE 2,∴34(4-x )2+[12(4-x )+2]2=x 2,解得x =145,此时AE 为145.综上所述,AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =5,∠DAC =∠BAC .∵EF ⊥AA ′,∴∠EPA =∠FPA ′=90°,∴∠EAP +∠AEP =90°,∠FAP +∠AFP =90°,∴∠AEP =∠AFP ,∴AE =AF .∵△A ′EF 是由△AEF 翻折,∴AE =EA ′,AF =FA ′,∴AE =EA ′=A ′F =FA ,∴四边形AEA ′F 是菱形,∴AP =PA ′.①当CD =CA ′时,∵AA ′=AC -CA ′=3,∴AP =12AA ′=32.②当A ′C =A ′D 时,∵∠A ′CD =∠A ′DC =∠DAC ,∴△A ′CD ∽△DAC ,∴A′C AD =DC AC,∴A ′C =258,∴AA ′=8-258=398,∴AP =12AA ′=3916,故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①,当∠ADC ′=90°时,∠ADC ′=∠C ,第9题解图①∴DC ′∥CB ,∴△ADC ′∽△ACB .又∵AC =3,BC =4,∴AD DC′=34,设CD =C ′D =x ,则AD =3-x ,∴3-x x =34,解得x =127,经检验:x =127是所列方程的解,∴CD =127;②如解图②,当∠DC ′A =90°时,∠DCB =90°,第9题解图②由折叠可得,∠C =∠DC ′E =90°,∴C ′B 与CE 重合,由∠C =∠AC ′D =90°,∠A =∠A ,可得△ADC ′∽△ABC ,在Rt △ABC 中,AB =5,∴AD C′D =AB CB =54,设CD =C ′D =x ,则AD =3-x ,∴3-x x =54,解得x =43,∴CD =43.综上所述,CD 的长为127或43. 类型二针对训练1.4或52 【解析】设CH =x ,则DH =EH =9-x ,当BE ∶EC =2∶1时,BC =9,∴CE =13BC=3.在Rt △ECH 中,EH 2=EC 2+CH 2,即(9-x )2=32+x 2,解得x =4,即CH =4.当BE ∶EC=1∶2时,CE =23BC =6.在Rt △ECH 中,EH 2=EC 2+CH 2,即(9-x )2=62+x 2,解得:x =52,即CH =52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图,过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ,则四边形ABNM 是矩形,∴AB =MN =4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,∴A ′M =1,A ′N =3或A ′M =3,A ′N =1.①当A ′M =1,A ′N =3时,在Rt △BA ′N 中,BN =42-32=7,∴AM =BN =7.由△A ′EM ~△BA ′N ,∴EM A′N =A′M BN ,∴EM 3=17,∴EM =377,∴AE =477;②当A ′M =3,A ′N =1时,同理可得AE =4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图,连接BD ′,过D ′作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,CD 于点N ,作D ′P ⊥BC 交BC 于点P .∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上,∴MD ′=PD ′.设MD ′=x ,则PD ′=BM =x ,∴AM =AB -BM =7-x ,又由折叠图形可得AD =AD ′=5,∴x 2+(7-x )2=25,解得x =3或4,即MD ′=3或4.在Rt △END ′中,设ED ′=a ,①当MD ′=3时,AM =7-3=4,D ′N=5-3=2,EN =4-a ,∴a 2=22+(4-a )2,解得a =52,即DE =52;②当MD ′=4时,AM =7-4=3,D ′N =5-4=1,EN =3-a ,∴a 2=12+(3-a )2,解得a =53,即DE =53.综上所述,DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况:①如解图①,当点F 在矩形内部时,∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上,∴AN =4.∵AF =AD =5,由勾股定理得FN =3,∴FM =2.设DE 为x ,则EM =4-x ,FE =x ,在△EMF 中,由勾股定理,得x 2=(4-x )2+22,∴x =52,即DE 的长为52;图①图②第4题解图②如解图②,当点F 在矩形外部时,同①的方法可得FN =3,∴FM =8,设DE 为y ,则EM =y -4,FE =y ,在△EMF 中,由勾股定理,得y 2=(y -4)2+82,∴y =10,即DE 的长为10.综上所述,点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时,DE 的长为52或10. 5.3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上,如解图①,∵在矩形ABCD 中,AB =8,BC =6∴∠ABC =90°,AC =BD ,∴AC =BD =62+82=10.根据折叠的性质,得PC ⊥BB ′,∴∠PBD =∠BCP ,∴△BCP ∽△ABD ,∴BP AD =BC AB ,即BP 6=68,解得BP =92;②点A 落在矩形对角线AC 上,如解图②,根据折叠的性质,得BP =B ′P ,∠B =∠PB ′C =90°,∴∠AB ′A=90°,∴△APB ′∽△ACB ,∴B′P BC =AP AC ,即BP 6=8-BP 10,解得BP =3,故答案为:3或92.图①图②第5题解图6.2或5-5 【解析】分两种情况:①当点B ′在AC 的下方时,如解图①,∵D 是BC 中点,∴S△BPD=S△PDC,∵S△PDF=12S△BPD,∴S△PDF=12S△PDC.∴F是PC的中点,∴DF是△BPC的中位线,∴DF∥BP,∴∠BPD=∠PDF,由折叠得:∠BPD=∠B′PD,∴∠B′PD=∠PDF,∴PB′=B′D,即PB=BD,过B作BE⊥AC于E,在Rt△ABE中,tan A=BEAE=2,∵AB=5,∴AE =1,BE=2,∴EC=5-1=4,由勾股定理,得BC=BE2+EC2=22+42=25,∵D为BC的中点,∴BD=5,∴PB=BD=5,在Rt△BPE中,PE=1,∴AP=AE+PE=1+1=2;图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时,如解图②,连接B′C,同理得:F是DC的中点,F是PB′的中点,∴DF=FC,PF=FB′,∴四边形DPCB′是平行四边形,∴PC=B′D=BD=5,∴AP=5-5,综上所述,AP的长为2或5- 5.7.8+23或8-23【解析】由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE.∵点B、C′、D′在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在Rt△BC′E中,BEC′E=2,∴∠C′BE=30°.①当点C′在BC的上方时,如解图①,过E作EG⊥AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,∴EG=AB=6,AG=BE=8,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,∴∠BEC′=60°,由折叠的性质得,∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC,∴∠HFE =∠CEF=60°,∴△EFH是等边三角形,∴在Rt△EFG中,EG=6,∴GF=23,∴AF=8+23;②当点C′在BC的下方时,如解图②,过F作FG⊥AD于G,D′F交BE于H,同①可得,四边形ABGF是矩形,△EFH是等边三角形,∴AF=BG,FG=AB=6,∠FEH=60°,在Rt△EFG中,GE=2 3.∵BE=8,∴BG=8-23,∴AF=8-2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1.53-5 【解析】如解图,连接BE .第1题解图∵AB =BC =AC =10,∴∠C =60°.∵AB =BC ,E 是AC 的中点,∴BE ⊥AC .∴BE =BC 2-EC 2=102-52=5 3.∵AC =10,E 是AC 边的中点,∴AE =5.由翻折的性质可知A ′E =AE =5.∵BA ′+A ′E ≥BE ,∴当点B 、A ′、E 在一条直线上时,BA ′有最小值,最小值=BE -A ′E =53-5. 2.403【解析】连接DE ,DE =52+122=13,∵将△AEP 沿FP 折叠,使得点A 落在点A ′的位置,∴EA ′=EA =5,∵A ′D ≥DE -EA ′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时,取等号),∴当A ′与点D 的距离最短时,A ′点在DE 上,∴DA ′=13-5=8,设PA ′=x ,则PA =x ,PD =12-x ,在Rt △DPA ′中,x 2+82=(12-x )2,解得x =103,∴△A ′PD 的面积=12×8×103=403. 3.1+52【解析】在Rt △ADE 中,DE =22+42=25,当B ′在ED 上时,B ′D 最小,在ED 上截取EB ′=EB =2,连接B ′F ,FD ,则B ′D =ED -EB ′=25-2,设BF =x ,则B ′F =x ,CF =4-x ,在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中,利用勾股定理,可得DB ′2+B ′F 2=DF 2=CF 2+DC 2,即(25-2)2+x 2=(4-x )2+42,解得x =5+1,∴Rt △BEF 中,tan ∠BEF =BF BE =1+52.第3题解图 4.1255【解析】由题意得:DF =DB ,第4题解图∴点F 在以D 为圆心,BD 为半径的圆上,作⊙D ; 连接AD 交⊙D 于点F ,此时AF 值最小,∵点D 是边BC 的中点,∴CD =BD =3;而AC =4,由勾股定理得:AD 2=AC 2+CD 2,∴AD =5,而FD =3,∴FA =5-3=2,即线段AF 长的最小值是2,连接BF ,过F 作FH ⊥BC 于H ,∵∠ACB =90°,∴FH ∥AC ,∴△DFH ∽△DAC ,∴DF AD =DH CD =HF AC ,即35=DH 3=HF 4,∴HF =125,DH =95,∴BH =245,∴BF =BH 2+HF 2=1255.。
2019河南中考数学专题训练—几何图形的折叠与动点问题
几何图形的折叠与动点问题1. 如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =9,点E 在BC 上,CE =4,点F 是AD 上的一个动点,若把△BEF 沿EF 折叠,点B 落在点B ′处,当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上,则AF 的长为________.第1题图3或 113 【解析】如解图①,当点B ′落在边AD 上时,则易证四边形BEB ′F 为菱形,∴BF =BE =9-4=5,由勾股定理易求AF =3;如解图②,当点B ′落在边CD 上时,BE =B ′E =9-4=5.由勾股定理易求B ′C =3,∴B ′D =4-3=1.设AF =x ,则FD =9-x .根据折叠的性质得BF =B ′F ,∴x 2+42=(9-x )2+12,解得x =113,∴AF =3或 113.第1题解图2.如图,矩形纸片ABCD 中,AB =4,AD =6,点P 是边BC 上的动点,现将纸片折叠,使点A 与点P 重合,折痕与矩形边的交点分别为E 、F ,要使折痕始终与边AB 、AD 有交点,则BP 的取值范围是________.第2题图6-25≤BP≤4【解析】①如解图①,当F、D重合时,BP的值最小,根据折叠的性质可知:AF=PF=6,在Rt△PFC中,PF=6,FC=4,则PC=25,∴BP min=6-25;②如解图②,当E、B重合时,BP的值最大,根据折叠的性质即可得到AB=BP=4,即BP的最大值为4;故BP的取值范围是6-25≤BP≤4.第2题解图3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=6,E,F分别是线段AD、BC上的点,连接EF,使四边形ABFE为正方形,若点G是AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,对应点为P,则线段AP的长为__________.第3题图4或4-22【解析】当C落在BE的延长线上时,对应点为P1,如解图①,连接FP1,AP1,过P1点作P1H⊥FC,垂足为点H,交AD于点N,设FH=x,∵∠P1BH=45°,∴P1H=BH=x+2,由折叠性质可得P1F=FC=6-2=4,在Rt△P1HF中,x2+(x+2)2=42,解得x=7-1或x=-7-1(舍去),∴P1H=2+7-1=7+1,P1N=7+1-2=7-1,在Rt△P1NA 中,AP1=AN2+P1N2=(7+1)2+(7-1)2=4;当点C落在F A 的延长线上时,对应点为P2,如解图②,易知P2F=CF=4,AF=22+22=22,∴AP2=P2F-AF=4-2 2 .第3题解图4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AB与CD不平行,AB=CD=5,BC=12,点E是BC上的动点,将∠B沿着AE折叠,使点B落在直线AD上的点B′处,DB′=1,直线BB′与直线DC交于点H,则DH=________.第4题图5 11或513【解析】如解图①所示,∵AD∥BC,∴△HB′D∽△HBC,∴HDHC=DB′CB,∵AB=CD=5,BC=12,DB′=1,∴HD5+HD=112,解得:HD=511;如解图②所示,∵AD∥BC,∴△HB′D∽△HBC,∴HDHC=DB′BC,∵AB=CD=5,BC=12,DB′=1,∴HD5-HD=112,解得:DH=513.故DH的长度为511或513.5.如图,已知AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB =8,点E 为射线BC 上一个动点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点B ′处,过点B ′作AD 的垂线,分别交AD ,BC 于点M ,N .当点B ′分线段MN 为3∶5的两部分时,EN 的长为________.第5题图 35511或53913【解析】由翻折的性质,得AB =AB ′,BE =B ′E .①当MB ′=3,B ′N =5时,设EN =x ,得B ′E =x 2+25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ,∴EN B ′M =B ′E AB ′,即x 3=x 2+258,解得x 2=4511,∴EN =x =35511;②当MB ′=5,B ′N =3时,设EN =x ,得B ′E =x 2+9,由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ,∴EN B ′M =B ′E AB ′,即x 5=x 2+98,解得x 2=7513,∴EN =x =53913,故EN 的长为35511或53913.6.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6,BC =8,点P 是对角线BD 上一动点,将纸片折叠,使点C 与点P 重合,折痕为EF ,折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点),当△PDF 为直角三角形时,FC 的长为________.第6题图247或 83 【解析】在矩形ABCD 中,AB =CD =6,BC =AD =8,在Rt △BCD 中,由勾股定理得BD =10.由折叠得PE =EC ,PF =CF ,∠EPF =∠FCE =90°.∵∠PDF <90°,∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况:(Ⅰ)如解图1,当∠PFD =90°时,∵∠FCE =∠FPE =∠PFC =90°,∴四边形PECF 是矩形.∵PF =FC ,∴四边形PECF 是正方形,∴PF ∥BC ,∴△DPF ∽△DBC ,∴PF BC =DF DC .设FC =PF =x ,则DF =6-x ,∴x 8=6-x 6,解得:x=247,即FC =247;(Ⅱ)如解图2,当∠DPF =90°时,∵∠FPE =∠FCB =90°,∴此时点E 与点B 重合,∴BP =BC =8,∴PD =10-8=2.∵∠PDF公用,∠DPF =∠DCB =90°,∴△DPF ∽△DCB ,∴PF BC =PD DC ,即:PF 8=26,解得:PF = 83,∴FC =83.综上所述,FC 的长为247或83.7.如图,正方形的边长为4,E 是BC 的中点,点P 是射线AD 上一动点,过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似,则P A =________.第7题图2或5 【解析】分两种情况:如解图①,当△EFP ∽△ABE 时,则有∠PEF =∠EAB ,∴PE ∥AB ,∴四边形ABEP 为矩形,∴P A =EB =2;如解图②,当△PFE ∽△ABE 时,则有∠PEF =∠AEB ,又∵∠P AF =∠AEB ,∴∠PEF =∠P AF ,∴PE =P A ,∵PF ⊥AE ,∴点F 为AE 的中点,∵AE =42+22=25,PE AE =EF EB ,即PE 25=52,得PE =5,∴P A =5,∴当P A =2或P A =5时,以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似.第7题解图8.如图,矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,E 是AD 中点,点P 在射线BD 上运动,若△BEP 为等腰三角形,则线段BP 的长度等于____________.2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,E 是AD 的中点,∴∠BAD =90°,AE =DE =1,∴△ABE 是等腰直角三角形,∴BE =2AB = 2.若△BEP 为等腰三角形,则分三种情况:①当BP =BE 时,显然BP =2;②当PB =PE 时,如解图①,连接AP .∵PB =PE ,AB =AE ,∴AP 垂直平分BE ,∵△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAP =∠EAP =45°,作PM ⊥AB 于点M ,设PM =x ,∵S △ABD =S △ABP +S △APD ,∴12×1×2=12×1×x +12×2×x ,解得x =23,∴PM =23,∴BP =PM sin ∠ABD =2325=53;③当EB =EP 时,如解图②,过点A 作AF ⊥BD 于点F ,过点E 作EG ⊥BD 于点G ,在Rt △ABF 中,AF =AB ·sin ∠ABF =1×25=255,∵AE =ED ,EG ∥AF ,∴EG =12AF =55,在Rt △BEG 中,∵BE =2,EG =55,∴BG =BE 2-EG 2=355,∵EB =EP ,EG ⊥BP ,∴BP =2BG =655.综上所述,线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图,在▱ABCD 中,∠B =30°,AB=AC ,O 是两条对角线的交点,过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ;点M 是边AB 的一个三等分点.则△AOE 与△BMF 的面积比为__________.第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图,连接AF 、MF ,∵AB =AC ,∠B =30°,∴∠ACB =∠B =30°, ∵点O 是对角线的交点,EF ⊥AC ,∴AF =FC ,∴∠ACB =∠F AC =30°,∴∠F AB =90°,∴BF =2AF =2FC ,∵点M 为AB 的三等分点,如解图①,当BM =13AB 时,设S △BMF =a ,则S △AMF =2a ,S △ABF =3a ,∴S △AFC =3a 2,∴S △AOE =3a 4,∴S △AOE ∶S △BMF =3a 4∶a =3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4;如解图②,当BM =23AB 时,S △AOE ∶S△BMF =3a 4∶2a =3∶8.综上所述:△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =2,E 为斜边AB 的中点,点P 是射线BC 上的一个动点,连接AP 、PE ,将△AEP 沿着边PE 折叠,折叠后得到△EP A ′,若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ,当EF =14AB 时,则BP 的长为________.第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB =90°,∠B =30°,AC =2,E 为斜边AB 的中点,∴AB =4,AE =12AB =2,BC =2 3.①若P A ′与AB 交于点F ,连接A ′B ,如解图①,由折叠可得S △A ′EP =S △AEP ,A ′E =AE =2,∵点E 是AB 的中点,∴S △BEP =S △AEP =12S △ABP .∵EF =14AB ,∴S △EFP =12S △BEP =12S △AEP =12S △A ′EP ,∴EF =12BE =BF ,PF =12A ′P =A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形,∴BP =A ′E =2;②若EA ′与BC 交于点F ,连接AA ′,交EP 于H ,如解图②.同理可得FP =12BP =BF ,EF =12×2=1.∵BE =AE ,∴EF =12EA ′=12AP =1,∴AP =2=AC ,∴点P 与点C 重合,∴BP =BC =2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。
中考专题复习:几何图形折叠和动点问题.doc
几何图形的折叠与动点问题类型一点位置不确定1. 如图,矩形纸片ABCD 屮,AB=4, AD=6,点、P 是边EC 上的动点,现将纸 片折叠,使点4与点P 重合,折痕与矩形边的交点分别为E 、F,要使折痕始终 与边AB 、AD 有交点,则的取值范围是 ____________2. (2017呼和浩特改编)如图,在期BCD 中,ZB=30° , AB=AC f O 是两条对 角线的交点,过点O 作AC 的垂线分别交边AD. BC 于点E 、点M 是边4B 的一个三等分点.则AAOE 与的面积比为 __________________ ・第2题图 第3题图3. 如图,在矩形ABCD 中,AB=2f BC=4, F 为线段BC 上的一动点,且不和B 、C 重合,连接刚,过点F 作FELFA 交CD 所在直线于点E,将AFEC 沿FE 翻折到ZXFEG 位置,使点G 落到AD±,则BF= ___________ ・ 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6, AD=2书,E 是AB 边上一点,AE=2,F 是直线CD 上一动点,将AAEF 沿肓线EF 折叠,点A 的对应点为点",当点 E 、A'、C 三点在一条直线上时,DF 的长度为 __________第1题图5.(2017开封模拟)如图,在边长为30的等边AABC中,点M为线段AB上一动点,将等边AABC沿过点M的直线折叠,直线与AC交于点N,使点A落在直线BC的点D处,口BD: DC=1 : 4,设折痕为MM 则AN的长为__________ .6.如图,在矩形ABCD中,BC=6, CD=8,点、P是AB上(不含端点A, B)任意一点,把APBC沿PC折叠,当点B的对应点落在矩形ABCD对角线上吋,BP= ________ ・第6题图第7题图7•如图,在矩形ABCD中,AD=5, AB=8,点、E为DC上的一个动点,把△ADE 沿直线AE折叠,当点D的对应点D'恰好落在线段4B的垂直平分线上吋,DE 的长为试题演练1・6—2书WBPW4【解析】①如解图①,当F 、D 重合时,肿的值最小,根 据折叠的性质可知AF=PF=6,在RtAPFC 屮,PF=6, FC=4,则PC=2y[5, ・・・BP=6—2品②如解图②,当E 、B 重合时,BP 的值最大,根据折叠的性质 即可得到AB=BP=4,即BP 的最大值为4.故BP 的取值范围是6_2逛WBPW第1题解图2.3 : 4 或 3: 8 【解析】如解图,连接 AF 、MF, 9:AB=AC, ZB=30° , Z. ZACE=ZB =30° ,・・•点 O 是对角线的交点,EFA.AC, :.AF=FC, :. ZACB = ZFAC =30° , :.ZFAB=90° , :.BF=2AF=2FC,・.•点 M 为 AB 的三等分点,女口解图①,当 时,设 S HBMF =Q ,则 S/\ABF =3CI , . _ 3cz . _ 3(7 • • -- - ,• • =\AOE2 4综上所述:AAOE 与的面积比为3 : 4或3 : 8.图① 图②(E)E P C图②:.S'AOE • —:a=3 : 4.则 AAOE 与△BMF 4 的面积比为3 : 4;如解图②,当时2o=3 : 8.第2题解图23•亍或2【解析】过点尸作FH丄AD于H,如解图,设BF=x,则CF=4—兀,•・・FE丄朋,・・・Z2+Z3 = 90。
31_专题三 折叠与动点
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一、选择题 1.(2018河南中原名校一模)如图,正方形ABCD中,AB=1,M,N分别 是AD,BC边的中点,沿BQ将△BCQ折叠,若点C恰好落在MN上的
点P处,则PQ的长为 ( B )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2
3
3
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答案 B ∵∠CBQ=∠PBQ= 1 ∠PBC,BC=PB=2BN=1,∠BPQ=
专题突破
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类型一 与三角形有关的折叠与动点问题
例1 (2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC= 2 +1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,将△MBN沿边MN折叠,使
点B的对应点B'始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM
2 1
的长为 2 或1 .
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4.(2017河南许昌一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC= 3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E
33
处,DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为 2 或 4
.
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答案 3 或 3
24
解析 ∵点D在CB上运动, ∴∠DBE一定是锐角. 所以,当△DEB为直角三角形时,∠DEB为直角或∠EDB为直角. (1)∠DEB=90°时,点E与点F重合,如图所示.
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答案 15°或75°
解析 由折叠的性质可知,∠ACP=∠A'CP= 1∠ACA'.分两种情况
2
讨论.①如图1,当点A'与点A在BC的同侧时, ∵A'B=A'C,A'C=AC=BC,∴A'B=A'C=BC,∴△A'BC是等边三角形, ∴∠A'CB=60°,∴∠A'CA=90°-60°=30°,∴∠ACP=15°; ②如图2,当点A'与点A在BC的异侧时,同理可知∠A'CB=60°,∴∠ A'CA=90°+60°=150°,∴∠ACP=75°. 综上可知,∠ACP的度数为15°或75°.
中考数学专题题型讲练过关题型04 几何图形的折叠与动点问题
1.如图,等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是边AB,AC上的点,沿DE所在的直线折叠∠A,使点A的对应点P始终落在边BC上,若△BDP是直角三角形,则AD的长为.(第1题)(第2题)2.[2018周口地区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,D是BC上一动点(点D不与点B,C重合),连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为.3.[2018新乡一模]如图,菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M,N分别在边AD,AB上,且MN⊥AC,垂足为点P,把△AMN沿MN折叠得到△A'MN,若△A'DC恰为等腰三角形,则AP 的长为.4.[2018郑州外国语三模]如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=,BC=4,点D从点A出发,以每秒个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.5.[2017郑州适应性]如图,在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,1),过点A的直线l垂直于线段AB,点P是直线l上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为点C,把△ACP沿AP翻折180°,使点C落在点D处,若以A,D,P为顶点的三角形与△ABP相似,则所有满足此条件的点P的坐标为.6.[2017郑州八中三模]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P是射线BC上一个动点,连接AP,将△ABP沿AP折叠,当点B的对应点B'落在BC的垂直平分线上时,则BP的长为.7.[2017许昌二模]如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=15,点E是AD边上一点,连接BE,把△ABE沿BE折叠,使点A落在点A'处.点F是CD边上一点,连接EF,把△DEF沿EF折叠,使点D落在直线EA'上的点D'处.当点D'落在BC边上时,AE的长为.8.[2018信阳二模]在矩形纸片ABCD中,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线分别交边CD,AB于点E,F,则EF的长为.9.[2018平顶山二模]如图,已知矩形ABCD,AB=2,AD=6,点E,F分别是线段AD,BC上的点,且四边形ABFE是正方形,若点G是线段AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠,使得点C的对应点P落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,则线段AP的长为.10.[2018许昌一模]如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,点P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形的边交于E,F两点,要使折痕始终与边AB,AD有交点,BP 的取值范围是.11.[2017平顶山二模]如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=2,点P在线段AB上运动,设AP=x.现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原,则四边形EPFD为菱形时,x的取值范围是.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M,E在边AD上,点F在边AB上,并且DM=1,现将△AEF沿着直线EF折叠,使点A落在边CD上的点P处,则当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.[2019原创]如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点E,F分别是BC,AD上的动点,∠FEC为钝角,沿直线EF翻折矩形,点C,D的对应点分别为C',D',若C',D',B在同一条直线上,且=,则AF的长为.14.[2018四川泸州]如图,等腰三角形ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为.15.[2018河南省实验三模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB 的中点,P是射线BC上的一个动点,连接AP,PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EPA',若折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的,则此时BP的长为.参考答案1.4-6或3-∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.由折叠可知,AD=DP,设AD=DP=x,则BD=2-x.当∠DPB=90°时,DP=BDsin B,即x=(2-x),解得x=4-6;当∠BDP=90°时,DP=BDtan B,即x=(2-x),解得x=3-.故AD的长为4-6或3-.2.或在Rt△ABC中,BC===4.由折叠可知AE=AC=3,DC=DE.分三种情况讨论.①当∠DEB=90°时,如图(1)所示,点E与点F重合,EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4-x)2,解得x=,∴DE=.②当∠EDB=90°时,如图(2)所示,由折叠可知∠AED=∠C=90°,又∠EDB=90°,∴四边形ACDE为矩形,又∵AC=AE,∴矩形ACED为正方形,∴CD=AC=3,∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BCA,∴=,即=,解得DF=.③当∠EBD=90°时,AC∥BE,此时点A到BE的距离为BC的长,而AE=AC<BC,故此种情况不存在.综上可知,DF的长为或.图(1)图(2)3.或2-2由题意可知,当A'D=CD时,点A'与点A或点C重合,不符合题意,故需分以下两种情况讨论.①如图(1),当A'D=A'C时,∠A'DC=∠A'CD=30°,∴∠AA'D=60°,又∵∠CAD=30°,∴∠ADA'=90°,∴AA'===.由折叠可得AP=AA'=.②如图(2),当CA'=CD=4时,连接BD交AC于点O,则在Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×=2,∴AC=4,∴AA'=AC-A'C=4-4.由折叠可得AP=AA'=2-2.综上可知,AP的长为或2-2.图(1)图(2)4.,或根据题意可得AD=t,BE=4t,则BD=-t,CE=4-4t.易证△BDE∽△CEF,∴=,∴BD·CF=CE·BE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F在线段AC上,且AF=AD=t时,CF=BD=-t,∴(-t)2=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F在CA的延长线上,且AF=AD=t时,CF=+t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F在CA的延长线上,且DF=AD=t时,过点B作BM⊥AC,垂足为点M,设AM=x,由勾股定理可得AB2-AM2=BC2-CM2,即()2-x2=42-(+x)2,解得x=.取AF的中点H,连接DH,则∠HDA=∠MBA,∴sin∠HDA=sin∠MBA,即=,∴=,解得AH=t,∴AF=t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).综上所述,t的值为,或.图(1)图(2)图(3)5.(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4)∵点A(2,0),点B(0,1),∴OA=2,OB=1,AB==.由题意可得,△ACP≌△ADP,要使△ADP与△ABP相似,则△ACP与△ABP相似.由PA⊥AB,PC⊥x轴,易得△ACP∽△BOA,则==.(1)如图(1),当点P在x轴的上方时,设AC=m,则PC=2m,PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2+=,∴点P的坐标为(,1);②当△ACP∽△BAP时,有=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2+2=4,∴点P的坐标为(4,4).(2)如图(2),当点P在x轴的下方时,设AC=m,则PC=2m,则PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2-=,∴点P的坐标为(,-1);②当△ACP∽△BAP,∴=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2-2=0,∴点P的坐标为(0,-4).综上所述,点P的坐标为(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4).图(1)图(2)6.或如图,作BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.(1)当点P在线段BC上时,如图(1),过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F,易得AF=BE=BC=2,AB'=AB=3.设BP=B'P=x,B'E=m,则PE=2-x.易证△AB'F∽△B'PE,∴=,即=,∴m=x.在Rt△PB'E中,B'P2=PE2+B'E2,则x2=(2-x)2+(x)2,解得x1=,x2=(不合题意,舍去),此时BP的长为.(2)当点P在BC的延长线上时,如图(2),过点B'作B'M⊥BA交BA 的延长线于点M,过点P作PN⊥MB'交MB的延长线于点N,则四边形MBEB'是矩形,MB'=BE=2,AB=AB'=3,∴AM=.设BP=B'P=y,则NB'=y-2.易证△MAB'∽△NB'P,∴=,即=,则NP=.在Rt△NPB'中,由勾股定理,得NP2+B'N2=B'P2,即+(y-2)2=y2,解得y=(不合题意,舍去)或y=.图(1)图(2)7.或设AE=x,则DE=15-x,根据折叠的特征,得A'E=AE=x,D'E=DE=15-x,∠AEB=∠A'EB,A'B=AB=8,∴D'A'=15-2x.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠D'EB=∠CBE,∴D'B=D'E=15-x.在Rt△BA'D'中,由勾股定理,得A'B2+A'D'2=D'B2,即(15-x)2=82+(15-2x)2,解得x=.8.6或2分以下两种情况讨论.①如图(1),当点P在CD上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6,∴CP=BC,∴点C与点E重合,∴四边形PFBE是正方形,∴EF=6.②如图(2),当点P在AD上时,连接BP,过点E作EQ⊥AB于点Q,∵PD=3,AD=6,∴AP=3,∴PB===3.易得△ABP∽△QEF,∴=,即=,解得EF=2.综上,EF的长为6或2.图(1)图(2)9.4或4-2由折叠知PF=CF.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,BC=AD=6.∵四边形ABFE是正方形,∴AE=EF=FB=AB=2,∴FC=BC-FB=6-2=4,AF=2,∴FP=4.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点P落在BE的延长线上时,由正方形的性质可知,直线BE垂直平分线段AF,∴AP=FP=4.②如图(2),当点P落在EB的延长线上时,同理可得AP=FP=4.③如图(3),当点P落在FA的延长线上时,AP=FP-AF=4-2.综上,线段AP的长为4或4-2.图(1)图(2)图(3)10.1≤BP≤3①如图(1),当点F,D重合时,BP的值最小.根据折叠的性质知,PF=AF=5.在Rt△PFC中,PF=5,FC=3,则PC=4,∴BP=1.②如图(2),当点E,B重合时,BP的值最大.由折叠的性质可得BP=AB=3.故BP的取值范围是1≤BP≤3.图(1)图(2)11.2≤x≤5由题意知,DE=EP,DF=PF,要使四边形EPFD为菱形,只需DE=DF即可.如图(1),若点E在AD上,点F在BC上,此时DE≤2,而DF>5,∴DE≠DF,四边形EPFD不是菱形;如图(2),若点E在AD上,点F在CD上,∠EDF=90°,若DE=DF,则∠DEF=∠DFE=45°,此时四边形EPFD为正方形,则点E与点A重合,即图(3)为图(2)的特殊情形,此时AP=2;如图(4),若点E 在AB上,点F在CD上.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠PEF.由折叠的性质可知,∠DEF=∠PEF,∴∠DEF=∠DFE,∴DE=DF,此时四边形EPFD总是菱形.综上所述,当2≤x≤5时,四边形EPFD是菱形.图(1)图(2)图(3)图(4)12.如图,作点M关于直线CD的对称点M',连接M'B交CD于点P,此时PB+PM的值最小.∵四边形ABCD为矩形,∴DP∥AB,∴△M'DP∽△M'AB,∴=,即=,∴DP=.由折叠的性质可知AE=EP,设EM=a,则DE=1-a,EP=AE=1+a.在Rt△DEP中,DE2+DP2=EP2,即(1-a)2+()2=(1+a)2,解得a=.故当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.连接BF,∵=,∴=.∵D'C'=DC=4,∴BD'=2.设AF=x,则FD'=9-x.∵BF为Rt△ABF和Rt△BD'F的公共边,∴AB2+AF2=BD'2+D'F2,∴42+x2=22+(9-x)2,解得x=.14.18连接AD,∵EG垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴DF+DC=DF+AD,∴当A,D,F三点共线时,DF+DC的值最小,最小值就是线段AF的长.过点A作AH⊥BC于点H,∵BC·AH=120,BC=20,∴AH=12.∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH=10.∵BF=3FC,∴CF=FH=5,∴AF===13,∴DF+DC的最小值为13,∴△CDF周长的最小值为13+5=18.15.2或2∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,∴AB=4,AE=AB=2,BC=2.分以下两种情况讨论.①若PA'与AB交于点F,连接A'B,如图(1).由折叠的性质可知S△A'EP=S△AEP,A'E=AE=2.∵点E是AB的中点,∴S△BEP=S△AEP=S△ABP.由题可知S△EFP=S△ABP,∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A'EP,∴EF=BE=BF,PF=A'P=A'F,∴四边形A'EPB是平行四边形,∴BP=A'E=2.②若EA'与BC交于点G,连接A'B,如图(2).同理可得GP=BP=BG,EG=EA'=×2=1,∴四边形A'BEP是平行四边形,∴A'P=BE=AE,且A'P∥BE,∴四边形A'PAE是平行四边形,∴AP=A'E=2,∴AP=AC,即点P与点C重合,∴BP=BC=2.综上所述,BP的长为2或2.图(1)图(2)。
河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN=90°.点C在边AM上.AC=4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________.【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况:①∠A′EF=90°.②∠A′FE=90°进行讨论.【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况:①当∠A′EF=90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C=AC=4.∠ACB=∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE=∠MAN=90°.∴∠CDE=∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB=∠A′EC.∴∠A′CB=∠A′EC.∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC=2A′E=8.由勾股定理.得AB2=BC2-AC2.∴AB=82-42=43;②当∠A′FE=90°时.如解图②.∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC=∠CBA′=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB=AC=4;综上所述.AB的长为43或4.图①图②1.如图.四边形ABCD是菱形.AB=2.∠ABC=30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE=________________.2.如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=5.AC=4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______.3.(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A=90°.AB=AC.BC=2+1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________.4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB=60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________.5.(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=5.AC=3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______.6.(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B=90°.∠A=60°.AC=23+4.点M、N分别在线段AC、AB 上.将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________.7.(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.BC=2 3.AC=2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________.8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB =5.AC =8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______.9.(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C=90°.AC =3.BC =4.点D.E 为AC.BC 上两个动点.若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________.类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB =3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________.【分析】 根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案.【自主解答】 由翻折的性质.得AB =AB′.BE =B′E.①当MB′=2.B′N=1时.设EN =x.得B′E=x 2+1.由△B′EN~△AB′M .EN B′M =B′E AB′.即x 2=x 2+13.x 2=45.BE =B′E=45+1=355; ②当MB′=1.B′N=2时.设EN =x.得B′E=x 2+22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M =B′E AB′.即x 1=x 2+43.解得x 2=12.BE =B′E=12+4=322.故答案为:322或355.1.如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______.2.(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB=4.BC=9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________.3.(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD=5.AB=7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______.4.(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD=5.AB=8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________.5.如图.在矩形ABCD中.BC=6.CD=8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP=________.6.(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB= 5.AC=5.tan A=2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________.7.在矩形ABCD中.AB=6.BC=12.点E在边BC上.且BE=2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________.类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB=2.AD=3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________.【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E=1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE-A′E即可求出结论.例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示.根据折叠可知:A′E=AE=12AB=1.在Rt△BCE中.BE=12AB=1.BC=3.∠B=90°.∴CE=BE2+BC2=10.∴A′C的最小值=CE-A′E=10-1.故答案为10-1.1.(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________.2.在矩形ABCD中.AD=12.E是AB边上的点.AE=5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________.3.如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________.4.(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=4.BC=6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________.参考答案类型一针对训练1.3+1或23-2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF=x.第1题解图①∵∠ABC=30°.∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′=90°.由折叠可知.∠ECD=∠D′CE=45°.∵EF=CF=x.在直角三角形DEF中.∠D=30°.∴DE=2x.∴DF=3x.∴CD=CF+DF=x+3x=2.解得x=3x-1.∴DE=2x=23-2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C=∠D=30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°.又∵AB=2.∴AF= 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF =BG =12BC =1.∴AE=3-1.∴DE=3+1.综上所述.DE 的长度为3+1或23-2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C=90°.AB =5.AC =4.∴BC=3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质:BE =DE.设BE =x.则DE =x.AE =5-x.①当∠ADE=90°时.则DE∥BC .∴DE CB =AE AB .∴x 3=5-x 5.解得x =158;②当∠AED=90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC=AE AC .∴x 3=5-x 4.解得x =157.故所求BE 的长度为:158或157. 3.122+12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC=90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM=12BC =122+12;②如解图②.当∠MB′C=90°.∵∠A=90°.AB =AC.∴∠C=45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM=2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM=B′M .∴CM=2BM.∵BC=2+1.∴CM +BM =2BM +BM =2+1.∴BM=1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122+12或1.图①图②第3题解图 4.433或23-2 【解析】①如解图①.当A′D=A′C 时.∠A′DC=∠A′CD=30°.∴∠AA′D=60°.又∵∠CAD=30°.∴∠ADA′=90°.在Rt△ADA′中.AA′=AD cos 30°=432=833.由折叠可得AP =12AA′=433;图①图②第4题解图②如解图②.当CD =CA′=4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO =CD×cos 30°=4×32=2 3.∴AC =4 3.∴AA′=AC -A′C=43-4.由折叠可得AP =12AA′=23-2;故答案为433或23-2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时.在Rt△ABC 中.BC =AB 2-AC 2=4.由翻折的性质可知;AE =AC =3、DC =DE.则EB =2.设DC =ED =x.则BD =4-x.在Rt△DBE 中.DE 2+BE 2=DB 2.即x 2+22=(4-x)2.解得x =32.∴DE=32.图①图②第5题解图如解图②所示:∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:AC =AC′.∠C=∠AC′D=90°.∵∠C=∠AC′D =∠CDC′=90°.∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′.∴四边形ACDC′为正方形.∴CD=AC =3.∴DB=BC -DC =4-3=1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC =DB CB =14.即ED 3=14.解得DE =34.点D 在CB 上运动.∠DBC′<90°.故∠DBC′不可能为直角.故答案为:32或34. 6.23+43或 6 【解析】分两种情况:①如解图①.当∠CDM=90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B=90°.∠A=60°.AC =23+4.∴∠C=30°.AB =12AC =3+2.由折叠可得.∠MDN=∠A=60°.∴∠BDN=30°.∴BN=12DN =12AN.∴BN=13AB =3+23.∴AN=2BN =233+43.∵∠DNB=60°.∴∠ANM =∠DNM=60°.∴∠ANM=60°.∴AN=MN =23+43.②如解图②.当∠CMD=90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM=60°.∠A=∠MDN=60°.∴∠BDN=60°.∠BND=30°.∴BD=12DN =12AN.BN =3BD.又∵AB=3+2.∴AN=2.BN = 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH=30°.∴AH=12AN =1.HN = 3.由折叠可得∠AMN=∠DMN=45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM=HN = 3.∴MN= 6.故答案为23+43或 6.图①图②第6题解图7.3或145 【解析】∴∠C=90°.BC =2 3.AC =2.∴tan B=AC BC =223=33.∴∠B=30°.∴AB=2AC =4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB=DC = 3.EB′=EB.∠DB′E=∠B=30°.设AE =x.则BE =4-x.EB′=4-x.当∠AFB′=90°时.在Rt△BDF 中.cos B =BF BD .∴BF=3cos 30°=32.∴EF=32-(4-x)=x -52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F=30°.∴EB′=2EF. 则4-x =2(x -52).解得x =3.此时AE 为3;第7题解图当∠FB′A=90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC=DB′.AD =AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′=AC =2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°.∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中.B′H=12B ′E =12(4-x).EH =3B′H=32(4-x).在Rt△AEH 中.∵EH 2+AH 2=AE 2.∴34(4-x)2+[12(4-x)+2]2=x 2.解得x =145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB=BC =CD =AD =5.∠DAC=∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA=∠FPA′=90°.∴∠EAP+∠AEP=90°.∠FAP+∠AFP=90°.∴∠AEP=∠AFP .∴AE=AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE=EA′.AF =FA′.∴AE=EA′=A′F=FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP=PA′.①当CD=CA′时.∵AA′=AC -CA′=3.∴AP =12AA′=32.②当A′C =A′D 时.∵∠A′CD =∠A′DC =∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD =DC AC .∴A′C=258.∴AA′=8-258=398.∴AP=12AA′=3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′=90°时.∠ADC′=∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC=3.BC =4.∴AD DC′=34.设CD =C′D=x.则AD =3-x.∴3-x x =34.解得x =127.经检验:x =127是所列方程的解.∴CD=127;②如解图②.当∠DC′A=90°时.∠DCB=90°.第9题解图②由折叠可得.∠C =∠DC′E =90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C =∠AC′D =90°.∠A =∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB =5.∴AD C′D =AB CB =54.设CD =C′D=x.则AD =3-x.∴3-x x =54.解得x =43.∴CD=43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1.4或52 【解析】设CH =x.则DH =EH =9-x.当BE∶EC=2∶1时.BC =9.∴CE=13BC =3.在Rt△ECH 中.EH 2=EC 2+CH 2.即(9-x)2=32+x 2.解得x =4.即CH =4.当BE∶EC=1∶2时.CE =23BC =6.在Rt△ECH 中.EH 2=EC 2+CH 2.即(9-x)2=62+x 2.解得:x =52.即CH =52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB=MN =4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M=1.A′N=3或A′M=3.A′N=1.①当A′M=1.A′N =3时.在Rt△BA′N 中.BN =42-32=7.∴AM =BN =7.由△A′EM~△BA′N .∴EM A′N =A′M BN .∴EM 3=17.∴EM=377.∴AE=477;②当A′M=3.A′N=1时.同理可得AE =4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′=PD′.设MD′=x.则PD′=BM =x.∴AM=AB -BM =7-x.又由折叠图形可得AD =AD′=5.∴x 2+(7-x)2=25.解得x =3或4.即MD′=3或4.在Rt△END′中.设ED′=a.①当MD′=3时.AM =7-3=4.D′N=5-3=2.EN =4-a.∴a 2=22+(4-a)2.解得a =52.即DE =52;②当MD′=4时.AM =7-4=3.D′N=5-4=1.EN =3-a.∴a 2=12+(3-a)2.解得a =53.即DE =53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况:①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN =4.∵AF=AD =5.由勾股定理得FN =3.∴FM=2.设DE 为x.则EM =4-x.FE =x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2=(4-x)2+22.∴x=52.即DE 的长为52;图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN =3.∴FM=8.设DE 为y.则EM =y -4.FE =y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2=(y -4)2+82.∴y=10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5.3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB =8.BC =6∴∠ABC=90°.AC =BD.∴AC=BD =62+82=10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD=∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD =BC AB.即BP 6=68.解得BP =92;②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP =B′P .∠B=∠PB′C =90°.∴∠AB′A=90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC =AP AC .即BP 6=8-BP 10.解得BP =3.故答案为:3或92.图①图②第5题解图6.2或5- 5 【解析】分两种情况:①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD =S △PDC .∵S △PDF =12S △BPD .∴S △PDF =12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD=∠PDF .由折叠得:∠BPD=∠B′PD .∴∠B′PD=∠PDF .∴PB′=B′D .即PB =BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A =BE AE=2.∵AB= 5.∴AE=1.BE =2.∴EC=5-1=4.由勾股定理.得BC =BE 2+EC 2=22+42=2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD= 5.∴PB=BD = 5.在Rt△BPE 中.PE =1.∴AP=AE +PE =1+1=2;图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得:F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF=FC.PF =FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC=B′D=BD= 5.∴AP=5- 5.综上所述.AP的长为2或5-5.7.8+23或8-2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′=∠C=90°.C′E=CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E=90°.∵BC=12.BE=2CE.∴BE=8.C′E=CE=4.在Rt△BC′E中.BE C′E=2.∴∠C′BE=30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG=AB=6.AG=BE=8.∵∠C′BE=30°.∠BC′E=90°.∴∠BEC′=60°.由折叠的性质得.∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC.∴∠HFE=∠CEF=60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG=6.∴GF=23.∴AF=8+23;②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF=BG.FG=AB=6.∠FEH=60°.在Rt△EFG 中.GE=23.∵BE=8.∴BG=8-2 3.∴AF=8-2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1.53-5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB=BC=AC=10.∴∠C=60°.∵AB=BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE=BC2-EC2=102-52=53.∵AC=10.E是AC边的中点.∴AE=5.由翻折的性质可知A′E=AE=5.∵BA′+A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值=BE-A′E=53-5.2.403【解析】连接DE.DE=52+122=13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′=EA=5.∵A′D≥DE-EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′=13-5=8.设PA′=x.则PA =x.PD =12-x.在Rt△DPA′中.x 2+82=(12-x)2.解得x =103.∴△A′PD 的面积=12×8×103=403. 3.1+52【解析】在Rt△ADE 中.DE =22+42=2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′=EB =2.连接B′F .FD.则B′D=ED -EB′=25-2.设BF =x.则B′F=x.CF =4-x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2+B′F 2=DF 2=CF 2+DC 2.即(25-2)2+x 2=(4-x)2+42.解得x =5+1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF=BF BE =1+52.第3题解图4.1255【解析】由题意得:DF =DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD=BD =3;而AC =4.由勾股定理得:AD 2=AC 2+CD 2.∴AD=5.而FD =3.∴FA=5-3=2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB=90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD =DH CD =HF AC.即35=DH 3=HF 4.∴HF=125.DH =95.∴BH=245.∴BF=BH 2+HF 2=1255.。
河南省2021年中考数学总复习课件:专题三 几何图形的折叠与动点问题(共18张PPT)
4.如图,菱形ABCD的边长为10,∠BAD=60°,点P是对角 线AC上一动点,连接DP,BP,当△ADP是直角三角形时,AP 的长为__________.
∴EM= 1 BF,∠B′MF=∠B′FM, ∴B′M=2 B′F.
设BF=x,则B′M=B′F=BF=x,EM= 1 x,EB′= 3 x.
2
2
在Rt△AEB′中,根据勾股定理得32+( 3 x)2=62,
பைடு நூலகம்
2
解得x=2 3 ,即BF=2 3 .
当B′在竖对称轴上时,此时AM=MD=BN=CN=4,如图2所 示. 设BF=x,B′N=y,则FN=4-x.
类型二 特殊图形边或角不确定 这类题型一般考查折叠中直角三角形、等腰三角形等
特殊图形的判定,由于边或角不确定,针对此类问题,关 键在于画出所有符合题意的图形,联系已知条件结合图形 特点,找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系 和数量关系,建立方程模型或函数模型进行求解,注意多 种情况分类讨论.
①当A′C=CD时,A′C=5,AA′=AC-A′C=8-5=3,
∴AP=
1 2
AA′=
3 2
.
②当A′D=A′C时,∠A′DC=∠A′CD=∠BCA=∠BAC,
∴△A′CD∽△BAC,
3.(2017·焦作模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB= 5,BC=3,D是边AB的中点,点E在边AC上,将△ADE沿DE翻 折,使点A落在点A′处,当A′E⊥AC时,A′B=_________.
类型一 点的位置不确定 这类问题通常考查线段长度的计算,由于折叠中的点的
位置不确定,解决此类问题一般运用三角形全等、直角三角 形、相似三角形等知识及方程思想,设一条边的长为x,再用 含x的代数式来表示其他的边,最后设法用勾股定理或相似性 质来求线段的长度,注意一般涉及多种情况要分类讨论.
2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 综合训练 训练1 折叠综合训练 课件
6. 如图,M,N分别是矩形ABCD的边AB,CD上的动点,连接MN,将 矩形沿MN折叠,点B,C的对应点分别为E,F,若AB=9, BC=CN=4,当点D,E,F在同一条直线上时,BM的长为_83_或__1_36_.
解题关键点 需分点D在EF的延长线上和点D在线段EF上两 种情况讨论.
第6题图
7. 若一个三角形的三边长之比为3∶4∶5,则称这个三角形为“勾股三角 形”.如图,在矩形ABCD中,AD=12,点G在边DC上,将△ADG沿AG 所在直线折叠,得到△AD′G,再将△AD′G沿过点A的直线折叠,使AD′ 与AG重合,点D′的对应点为点E,折痕与D′G 交于点F.若△GEF 是“勾股 三角形”,则AF的长为_4__1_0或__6__5_.
2. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,D是边AB上的三等分点,E是BC上 一点,连接DE,将△BDE沿DE折叠得到△B′DE,连接CB′,若AB=BC =6,则CB′的最小值为_2__1_0___2或 __2__1_3___4__.
第2题图
3. 如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠ABC=120°,E,F分别是AD,A B上一动点,且AE=AF,将△AEF沿EF折叠,点A落在点A′处(点A′与点 A不重合),当△A′CD是等腰三角形时,AA′的长为 _5__3__5_或__1_0_3_3_.
第1题图
(1)如图①,当∠DCE=30°时,则线段CF,DE,BF之间 的数量关系为_C_F__=__D_E_+__B__F_;
【解法提示】 由折叠的性质可知,∠FCE=∠DCE=30°,
∵四边形ABCD是正方形,
第1题图①
∴BC=CD,∠BCD=∠B=90°,∴∠BCF=90°-30°-30°=30°.
2024河南中考数学复习专题 综合与实践与折叠有关的探究 (课件)
∴AD∥BC,CD∥AB,AB=BC=CD=AD,∠B=∠D,
∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D=120°.
由折叠可知,AF=A′F,
∵∠A=60°,∴△AFA′是等边三角形,
同理,△CGC′是等边三角形,
∴∠AFA′=60°.
∵AF=CG,
例题图①
∴AA′=AF=CG=C′C=A′F=C′G,
∴BF=BC′=DG=DA′.
60°,∴EG=FG= 3 x,AE=2x,∵AB=2,F是AB的中点,∴AF=1,∴x+ 3
x=1,解得x= 3 1 ,∴AE= 3 -1;②如解图③,当A′F⊥AD,即A′F⊥BC
2
时,设A′F交AD于点H,则∠AHF=90°,∵∠A=60°,∴HF=
3 AF=
3,
由折叠的性质得A′F=AF=1,∠A′=∠A=60°,∴A′H=1- 3 ,2 ∴AE=A2′E=
在Rt△FBM中,∵∠BFC′=30°, ∴设BF=x,则FM= 3 x,
2 ∴FC′= 3 x,∴AF=A′F= 3 x, ∵AF+BF=2,∴ 3 x+x=2, ∴x= 2 = 3 1 ,∴AF= 3 x=3- 3 ,
3 1 ∴当四边形A′FC′G是正方形时,AF=3- 3 ;
例题解图①
例 (2023河南逆袭卷)综合与实践 问题情境:
2024中考备考重难专题课件
综合与实践
与折叠有关的探究
目 录
1 典例精讲 2 课堂练兵 3 课后小练
考情分析
年份 题号 题型 分值 折叠次数
设问形式
解题关键点
(1)直角三角形斜边上中线
等于斜边一半
(1)写出图中30°的角 (2)①△QMB≌△QCB,
2023 23
2024河南中考数学复习 轴对称与折叠 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习轴对称与折叠强化精练基础题1. (2023甘肃省卷)如图,将矩形纸片ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为()第1题图A. 2B. 4C. 5D. 62. 如图,在平面直角坐标系中,菱形AOBC的边OB在x轴上,∠AOB=60°,B(4,0),点D,E分别是边OB,OA上的点.将∠OED沿DE折叠,使点O的对应点F落在边AC上,若AE=AF,则点F的坐标为()第2题图A. (23,23)B. (23,4)C. (3,4)D. (23,3)3. (2023绍兴)如图,在矩形ABCD中,O为对角线BD的中点,∠ABD=60°.动点E在线段OB上,动点F在线段OD上,点E,F同时从点O出发,分别向终点B,D运动,且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB的对称点为E1,E2;点F关于BC,CD的对称点为F1,F2.在整个过程中,四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第3题图A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形4. (2023宜昌)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A′处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A′EBC的周长为________.第4题图5. 如图,正方形ABCD的边长为4,点F为CD边的中点,点P是AD边上不与端点重合的一动点,连接BP.将∠ABP沿BP翻折,点A的对应点为点E,则线段EF长的最小值为________.第5题图拔高题6. 如图,在∠ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,点E是边BC上一点,且BE=5,点F是边AB上一动点,连接EF,作点B关于直线EF对称的点P,连接BP,EP,FP,当点P恰好在直角∠ABC直角边的垂直平分线上时,BP的长为________.第6题图7. (2023齐齐哈尔)矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点M在AD边所在的直线上,且DM=1,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点M重合,折痕与AD,BC分别交于点E,F,则线段EF的长度为________.参考答案与解析1. B 【解析】∵由折叠的性质可得,四边形EFGH 是菱形,∴FH =AB =2,EG =BC =4,∴S 菱形EFGH =12 FH ·EG =12×2×4=4. 2. A 【解析】如解图,过A 作AH ⊥OB 于点H ,过A 作AG ⊥EF 于点G ,∵四边形AOBC 是菱形,B (4,0),∴OA =OB =4,∵∠AOB =60°,∴∠OAH =30°,∠OAC =120°,∴OH =12OA =2,AH =3 OH =23 ,∴A (2,23 ),∵AE =AF ,∴∠AEF =∠AFE =30°,EG =12 EF ,∴cos 30°=EG AE ,即32 =EG AE ,∴EG =32 AE ,∴12 EF =32AE ,∴EF =3 AE ,由折叠的性质得OE =EF =3 AE ,∵OE +AE =OA =4,∴3 AE +AE =4,解得AE =23 -2,∴AF =23 -2,∵A (2,23 ),AF ∥x 轴,∴F (23 ,23 ).第2题解图3. A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∠ABD =60°,∴AB ∥CD ,∠BAD =∠ABC =90°,∴∠BDC =∠ABD =60°,∠ADB =∠CBD =90°-60°=30°,∵OE =OF ,OB =OD ,∴DF =EB ,由对称的性质得DF =DF 2,BF =BF 1,BE =BE 2,DE =DE 1,∴E 1F 2=E 2F 1.由对称的性质得∠F 2DC =∠CDF =60°,∴∠EDA =∠E 1DA =30°,∴∠E 1DB =60°,同理∠F 1BD =60°,∴DE 1∥BF 1,∵E 1F 2=E 2F 1,∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形,如解图①所示,当E ,F ,O 三点重合时,DO =OB ,∴DE 1=DF 2=AE 1=AE 2,即E 1E 2=E 1F 2,∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形;如解图②所示,当E ,F 分别为OB ,OD 的中点时,在Rt △ABD 中,设AB =2,则AD =23 ,BD =4,连接AE ,AO ,∵∠ABO =60°,BO =2=AB ,∴△ABO 是等边三角形,∵E 为OB 中点,∴AE ⊥OB ,BE =1,∴AE =22-12 =3 .根据对称性可得AE 1=AE=3 ,∴AD 2=12,DE 21 =9,AE 21 =3,∴AD 2=AE 21 +DE 21 ,∴△DE 1A 是直角三角形,且∠E 1=90°,四边形E 1E 2F 1F 2是矩形;如解图③所示,当F ,E 分别与D ,B 重合时,易得△BE 1D ,△BDF 1都是等边三角形,则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形,∴在整个过程中,四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形.图①图②图③第3题解图4. 16 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∠AED =∠A ′DE ,由折叠得∠ADE =∠A ′DE ,AD =A ′D ,AE =A ′E ,∴∠ADE =∠AED ,∴AD =AE ,∴AD =AE =A ′D =A ′E ,∴AB -AE =CD -A ′D ,∴A ′C =BE ,∴四边形A ′EBC 是平行四边形,∴四边形A ′EBC 的周长=2(A ′C +A ′E )=2(A ′C +A ′D )=2CD =16.5. 25 -4 【解析】如解图,连接BF ,∵四边形ABCD 是边长为4的正方形,∴∠C =90°,AB =BC =CD =4,∵点F 为CD 边的中点,∴CF =DF =12 CD =12×4=2,∴在Rt △BCF 中,BF =BC 2+CF 2 =42+22 =25 ,∵将△ABP 沿BP 翻折,点A 的对应点为点E ,∴EB =AB =4,∵EF +EB ≥BF ,∴EF +4≥25 ,∴EF ≥25 -4,∴EF 的最小值为25 -4.第5题解图 6. 215 或25 【解析】由题意得,△FPE 与△FBE 关于直线EF 对称,∴PE =BE =5,如解图①,当点P 在BC 的垂直平分线上时,过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ,则BQ =12BC =6,EQ =BQ -BE =1,∠PQB =90°,∴PQ =PE 2-EQ 2 =52-12 =26 ,在Rt △BPQ 中,BP =BQ 2+PQ 2 =62+(26)2 =215 ;如解图②,当点P 落在边AB 的垂直平分线上时,且点F 在线段AB 上时,过点P 作PN ⊥BC 于点N ,则PN =12AB =4,∠PNB =∠PNE =90°,在Rt △PEN 中,EN =PE 2-PN 2 =52-42 =3,∴BN =BE -EN =2,BP =PN 2+BN 2 =42+22 =25 ,当点P ′落在边AB 的垂直平分线上时,同理可得BN ′=5+3=8,∴BP ′=(P ′N ′)2+BN ′2 =82+42 =45 ,此时点F ′在BA 的延长线上,故舍去.综上所述,BP 的长为215 或25 .第6题解图7. 154 或352【解析】由折叠的性质可知,BE =EM ,BF =FM ,EF ⊥BM ,∴∠EMB =∠EBM ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EMB =∠CBM ,∴∠EBM =∠CBM ,∴BE =BF ,∴四边形EBFM 是菱形,设AE =a ,已知DM =1,AB =3,BC =5,①如解图①,当点M 在线段AD 上时,则EM =BE =4-a ,BM =AB 2+AM 2 =32+42 =5.在Rt △ABE 中,AB 2+AE 2=BE 2,即32+a 2=(4-a )2,解得a =78 ,∴BE =EM =BF =258 ,∴12·BM ·EF =AB ·BF ,即12 ×5EF =3×258 ,解得EF =154;②如解图②,当点M 在AD 的延长线上时,EM =BE =6-a ,AM =6,在Rt △ABE 中,AB 2+AE 2=BE 2,即32+a 2=(6-a )2,解得a =94,∴BF =BE =EM =6-a =154 ,BM =AB 2+AM 2 =32+62 =35 ,∴12 ·BM ·EF =AB ·BF ,即12 ×35 EF =3×154 ,解得EF =352 .综上所述,EF 的长度为154 或352.第7题解图。
§8.2 与动点有关的几何图形折叠题型 五年中考三年模拟 (河南中考数学复习)
BBMC ,∴
BE1 =
5 3
.
10 2 , 易 得 △BME1 ∽ △BCF1 , ∴
BE1 BF1
=
②作 GE2 ⊥BC 于点 E2 ,则四边形 ABE2 G 为矩形,∴ BE2 = AG = 2.
③作 GE3 ⊥BF3 于点 H,交 BC 于点 E3 ,在等腰三角形 GBF3
中,BH = F3 H.易证△GHF3 ≌△E3 HB,∴ BE3 = GF3 = GB = 5 . ④由折叠的对称性可知,当点 E( E4 ) 与点 C 重合时,点 F
Байду номын сангаас答案
5 3
或2或
5.
例 2 (2018 洛阳三模,15) 如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB =
45°,AB = 8,P 为线段 AB 上一动点,过点 P 作 PE⊥AB 交直线 AD
于 E,沿 PE 将∠A 折叠,点 A 的对称点为点 F,连接 EF、DF、CF,
当△CDF 为直角三角形时,AP = .
§ 8.2 与动点有关的几何图形折叠题型
对应学生用书起始页码 184 页
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题型特点 1.与动点有关的几何图形的折叠问题,是指以动手操作为
背景而设计的一类问题,此类问题通过具体动手操作对图形变 化获得感性认识,再利用数学知识进行归纳、思考、探究,运用逻 辑推理解决问题.与动点有关的几何图形折叠问题具有较强的实 践性与思维性,能够有效考査学生的实践能力、直觉思维能力和 发散思维能力等综合素质.
逐一解决后再将结果汇总,得出问题的完整答案. 命题趋势 1.对于与动点有关的几何图形折叠问题, 学生在解题过程
中考数学考前专题复习几何图形的折叠和动点问题
中考数学考前专题复习几何图形的折叠和动点问题学校:___________姓名:___________班级:___________考生__________评卷人得分一、单选题1.如图,已知//AD BC,AB BC⊥,3AB=,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE△沿AE折叠,点B落在点B'处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于M,N两点,当B'为线段MN的三等分点时,BE的长为()A.32B.322C.32或322D.322或355 2.如图,在矩形ABCD中,CD=4,E是BC的中点,连接AE,tan∠AEB43=,P是AD边上一动点,沿过点P的直线将矩形折叠,使点D落在AE上的点D处,当APD'△是直角三角形时,PD的值为()A.23或67B.83或247C.83或307D.103或187 3.如图菱形OABC,在平面直角坐标系中,点A(8,0),∠C=60°,点P为OA上的一点,且点P(3,0),Q是BC边上的一个动点,将四边形OPQC沿直线PQ折叠,O的对应点O',当BO'的长度最小时,则点Q的坐标为()A.(﹣1,43)B.(﹣2,43)C.(﹣3,43)D.(0,43)4.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将矩形ABCD折叠后,A点的对应点A'落在CD边上,EF为折痕,A A'和EF交于G点,当AG+BG取最小值时,此时EF的值为()A.154B.32C.213D.55.如图1,有一张矩形纸片ABCD,已知AB=10,AD=12,现将纸片进行如下操作:先将纸片沿折痕BF进行折叠,使点A落在BC边上的点E处,点F在AD上(如图2);然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕BF上的点G处,点H在BC上(如图3),给出四个结论:∠AF的长为10;∠BGH的周长为18;∠23BGGF=;∠GH的长为5.正确的个数是()A.1B.2C.3D.46.如图,矩形ABCD中,3AB=,4BC=,点E是AB边上一点,且AE=2,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG,CG,则三角形AGC的面积的最小值为()A.32B.43C.54D.3评卷人得分二、填空题7.如图,腰长为22+2的等腰ABC中,顶角∠A=45°,D为腰AB上的一个动点,将ACD沿CD折叠,点A落在点E处,当CE与ABC的某一条腰垂直时,BD的长为_______.8.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上,且AM13=AD,BN13=BC,E为直线BC上一动点,连接DE,将DCE沿DE所在直线翻折得到DC E',当点C'恰好落在直线MN上时,tan∠DEC的值是_______.9.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AB=x,点E在边CD上,且CE59=x,将BCE 沿BE折叠,若点C的对应点C'落在矩形ABCD的边上,则x的值为_______.10.如图,等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一点,且PB=6,直线l经过点P,把ABC沿直线l折叠,点B的对应点为点B',在直线l变化的过程中,则ACB'△面积的最大值为_______.11.如图,等边ABC 的边长为6,点D 是AB 上一动点,过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ,将BDE 沿着DE 翻折得到B DE ',连接AB ',则AB '的最小值为________.12.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC =4,点E 是AD 的中点,点F 是AB 上一动点将AEF 沿直线EF 折叠,点A 落在点A ′处在EF 上任取一点G ,连接GC ,GA ',CA ',则CGA '△的周长的最小值为________.13.如图,矩形ABCD 中,22AB =,4=AD ,点E 是AB 的中点,点F 是直线BD 上的一动点,将BEF 沿EF 所在直线翻折,得到B EF ',则B C '长的最小值是______.14.如图,在ABC 中,AB =AC =6,∠BAC =120°,点E 是AB 边上不与端点重合的一个动点,作ED ∠BC 交BC 于点D ,将BDE 沿DE 折叠,点B 的对应点为F ,当ACF 为直角三角形时,则BE 的长为_______.15.如图,平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =1,∠ADC =60°,将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠,使点D 落到AB 边上的点D 处,折痕交CD 边于点E .若点P 是直线l 上的一个动点,则PD '+PB 的最小值_______.16.矩形纸片OABC,长AB =8cm ,宽AO =4cm ,折叠纸片,使折痕经过AB 上点D ,点A 落在点A '处,展平后得到折痕OD ,同时得到线段OA ',DA ',不再添加其它线段,当图中存在30°角时,A '的坐标为________.17.如图,在Rt ABC 中,∠C =90°,23BC =,AC =2,点D 是BC 的中点,点E 是边AB 上一动点,沿DE 所在直线把BDE 翻折到B DE '的位置,B D '交AB 于点F .(1)连接AD ,若AB B F ''⊥,则∠ADE =________; (2)若AB F '为直角三角形,则AE 的长为________.18.如图,折叠矩形纸片ABCD 时,进行如下操作:∠把△BCE 翻折使点B 落在DC 边上的点F 处,折痕为CE ,点E 在AB 边上;∠把纸片展开并铺平;∠把△CDH 翻折使点D 落在线段AE 上的点G 处,折痕为CH ,点H 在AD 边上.若13DH DC =,BC =6,则EG 的长为______.19.在五边形纸片ABCDE中,AB=2,∠A=120°,将五边形纸片ABCDE沿BD折叠,点C落在点P处;在AE上取一点Q,将ABQ,EDQ分别沿BQ,DQ折叠,点A,E恰好落在点P处,如图1.(1)∠BPQ=______°;(2)∠BCD+∠QED=_______°;(3)如图2,当四边形BCDP是菱形,且Q,P,C三点共线时,BQ=_______.20.如图,矩形纸片ABCD,AD=12,AB=4,点E在线段BC上,将∠ECD沿DE向上翻折,点C的对应点C′落在线段AD上,点M,N分别是线段AD与线段BC上的点,将四边形ABNM沿MN向上翻折,点B恰好落在线段DE的中点B′处.则线段MN的长____.参考答案:1.D【解析】【分析】因为点'B为线段MN的三等分点,没有指明线段'B M的占比情况,所以需要分两种情况讨论:∠1'3B M MN=;∠2'3B M MN=.然后由一线三垂直模型可证'AMB∠'B NE,再根据相似三角形的性质求得EN的值,最后由BE BN EN=-即可求得BE的长.【详解】当点'B为线段MN的三等分点时,需要分两种情况讨论:∠如图1,当1'3B M MN=时,∠AD∠BC,AB BC⊥,MN BC⊥,∠四边形ABNM为矩形,∠11'133B M MN AB===,22'233B N MN AB===,BN AM=.由折叠的性质可得'3A B AB==,'90AB E ABC∠=∠=︒.在'Rt AB M中,'2222'3122AM AB B M=-=-=.∠''90AB M MAB∠+∠=︒,''90AB M EB N∠+∠=︒,∠''EB N MAB∠=∠,∠'B NE∠'AMB,∠''EN B N B M AM =,即 2122EN =,解得 22EN =, ∠2322222BE BN EN =-=-=. ∠如图2,当2'3B M MN =时, ∠AD ∠BC ,AB BC ⊥, MN BC ⊥, ∠四边形ABNM 为矩形, ∠22'233B M MN AB ===, 11'133B N MN AB ===, BN AM =. 由折叠的性质可得'3AB AB ==,'90AB E ABC ∠=∠=︒. 在'Rt AB M 中,2222''325AM AB B M =-=-=. ∠''90AB M MAB ∠+∠=︒, ''90AB M EB N ∠+∠=︒, ∠''EB N MAB ∠=∠, ∠'B NE ∠'AMB , ∠''EN B N B M AM =,即 125EN =,解得255EN =,∠2535555BE BN EN =-=-=. 综上所述,BE 的长为322或 355.故选:D . 【点睛】本题考查了矩形的判定,勾股定理,相似三角形的判定和性质,由'B 为线段MN 的三等分点,分两种情况讨论线段'B M 的占比情况,以及利用K 型相似进行相关计算是解决此题的关键. 2.B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到AB =CD ,∠B =90°,根据勾股定理求得AE ,当∠APD '是直角三角形时,分两种情况分类计算即可; 【详解】∠四边形ABCD 是矩形, ∠AB =CD ,∠B =90°,∠CD =4,tan∠AEB 43=,∠BE =3, 在Rt ∠ABE 中,AE 2222345AB BE =+=+=, ∠E 是BC 的中点, ∠AD =6,由折叠可知,PD =PD ',设PD =x ,则PD '=x ,AP =6﹣x , 当∠APD '是直角三角形时, ∠当∠AD 'P =90°时, ∠∠AD 'P =∠B =90°, ∠AD ∠BC , ∠∠P AD '=∠AEB , ∠∠ABE ∠∠PD 'A , ∠AP PD AE AB'=, ∠654x x-=, ∠x 83=,∠PD 83=;∠当∠APD '=90°时, ∠∠APD '=∠B =90°, ∠∠P AE =∠AEB , ∠∠APD '∠∠EBA , ∠AP PD BE AB'=, ∠634x x-=, ∠x 247=, ∠PD 247=; 综上所述:当∠APD '是直角三角形时,PD 的值为83或247;故选:B .【点睛】本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,准确计算是解题的关键.3.C【解析】【分析】连接BP,设BC交y轴于T,首先求出PB的长,由题意,当点O′落在BP上时,BO′的值最小,此时∠OPQ=∠QPB,证明BQ=BP=7,可得结论;【详解】如图,连接BP,设BC交y轴于T.∠A(8,0),四边形OABC是菱形,∠OA=OC=BC=8,∠∠C=60°,∠OTC=90°,∠CT12=OC=4,OT22228443OC CT=-=-=,∠B(4,43),∠P(3,0),∠PB()221437=+=,∠OP=PO′=3,∠当点O′落在BP上时,BO′的值最小,此时∠OPQ=∠QPB,∠BC∠OA,∠∠BQP=∠OPQ,∠∠BPQ=∠BQP,∠BQ=BP=7,∠CQ=BC﹣BQ=8﹣7=1,∠Q(﹣3,43);故选:C.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,坐标与图形对称变化,翻折变换,等边三角形的判定与性质,准确计算是解题的关键.4.A【解析】【分析】过点G作GM AD⊥于M,由翻折的性质知点G为AA'的中点,则GM为ADA'∆的中位线,可知G在GM上运动,当AG BG+取最小值时,此时A'与C重合,利用勾股定理和相似求出EG的长即可解决问题.【详解】解:过点G作GM AD⊥于M,将矩形ABCD折叠后,A点的对应点A'落在CD边上,∴点G为AA'的中点,GM∴为ADA'∆的中位线,A'在CD上运动,G∴在GM上运动,∴当AG BG+取最小值时,此时A'与C重合,22345AA'=+=,52AG∴=,AGE ADC∠=∠,GAE DAC∠=∠,AGE ADC∴∆∆∽,∴EG CDAG AD=,∴3542EG =,158EG ∴=, 在BFG ∆和DEG ∆中,FBG EDG BG DG BGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()BFG DEG ASA ∴∆≅∆,EG GF ∴=,15152284EF EG ∴==⨯=, 故选:A .【点睛】本题主要考查了矩形的性质,翻折的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,解题的关键是证明G 在GM 上运动.5.C【解析】【分析】 根据题意过G 点作MN ∠AB ,交AD 、BC 于点M、N ,可知四边形ABEF 为正方形,可求得AF 的长,可判断∠,且∠BNG 和∠FMG 为等腰三角形,设BN =x ,则可表示出GN 、MG 、MD ,利用折叠的性质可得到CD =DG ,在Rt ∠MDG 中,利用勾股定理可求得x ,再利用∠MGD ∠∠NHG ,可求得NH 、GH 和HC ,则可求得BH ,容易判断∠∠∠,可得出答案.【详解】解:如图,过点G 作MN ∠AB ,分别交AD 、BC 于点M 、N ,∠四边形ABCD 为矩形,∠AB=CD=10,BC=AD=12,由折叠可得AB=BE,且∠A=∠ABE=∠BEF=90°,∠四边形ABEF为正方形,∠AF=AB=10,故∠正确;∠MN∠AB,∠∠BNG和∠FMG为等腰直角三角形,且MN=AB=10,设BN=x,则GN=AM=x,MG=MN﹣GN=10﹣x,MD=AD﹣AM=12﹣x,又由折叠的可知DG=DC=10,在Rt∠MDG中,由勾股定理可得MD2+MG2=GD2,即(12﹣x)2+(10﹣x)2=102,解得x=4,∠GN=BN=4,MG=6,MD=8,又∠DGH=∠C=∠GMD=90°,∠∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°,∠∠NGH=∠MDG,∠∠DMG=∠GNH,∠∠MGD∠∠NHG,∠MGNHMD DGGN GH==,即1486NH GH==,∠NH=3,GH=CH=5,∠BH=BC﹣HC=12﹣5=7,故∠正确;又∠BNG和∠FMG为等腰直角三角形,且BN=4,MG=6,∠BG=42,GF=62,∠∠BGH的周长=BG+GH+BH=42+5+7=12+42,∠422362BGGF==,故∠不正确;∠正确;综上可知正确的为:∠∠∠.故选:C.【点睛】本题考查翻折及矩形的性质以及平行线性质和构造等腰直角三角形,利用方程思想在Rt∠GMD中得到方程,求得BN的长度是解题的关键.6.A【解析】【分析】先确定出EG AC⊥且E、G、H三点共线时,ACGS∆中高GH最小,所以ACGS∆最小.再利用三角函数求出EH的长,最后1GH EH=-得高.最后求得面积.【详解】解:四边形ABCD为矩形,3CD AB∴==,4AD BC==,90ABC D∠=∠=︒.由勾股定理得:22345AC=+=.3AB=,2AE=,∴点F在BC任意一点时,点G始终在AC下方,设点G到AC的距离为h.1522ACGS AC h h∆=⋅=.∴当h最小时,ACGS∆最小.点G是以点E为圆心,1BE=为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,∴当EG AC⊥时,GH h=最小,此时E、G、H三点共线,如图所示.4sin5BC EHBACAC AE∠===.48255EH∴=⨯=.83155h EH EG∴=-=-=.55332252ACGS h∆∴==⨯=.故选:A.【点睛】本题考查了翻折变换,矩形性质,勾股定理,确定ACG∆面积的最小值时点G的位置是本题关键,点G的运动轨迹是圆,动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”结合“垂线段最短”的性质求解.7.2或22【解析】【分析】分两种情况:当CE ∠AB 时,设垂足为M ,在Rt ∠AMC 中,∠A =45°,由折叠得:∠ACD =∠DCE =22.5°,证明∠BCM ∠∠DCM ,得到BM =DM ,证明∠MDE 是等腰直角三角形,即可得解;当CE ∠AC 时,根据折叠的性质,等腰直角三角形的判定与性质计算即可;【详解】当CE ∠AB 时,如图,设垂足为M ,在Rt ∠AMC 中,∠A =45°,由折叠得:∠ACD =∠DCE =22.5°,∠等腰∠ABC 中,顶角∠A =45°,∠∠B =∠ACB =67.5°,∠∠BCM =22.5°,∠∠BCM =∠DCM ,在∠BCM 和∠DCM 中,90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∠∠BCM ∠∠DCM (ASA ),∠BM =DM ,由折叠得:∠E =∠A =45°,AD =DE ,∠∠MDE 是等腰直角三角形,∠DM =EM ,设DM=x,则BM=x,DE2=x,∠AD2=x.∠AB=22+2,∠2x2x=22+2,解得:x2=,∠BD=2x=22;当CE∠AC时,如图,∠∠ACE=90°,由折叠得:∠ACD=∠DCE=45°,∠等腰∠ABC中,顶角∠A=45°,∠∠E=∠A=45°,AD=DE,∠∠ADC=∠EDC=90°,即点D、E都在直线AB上,且∠ADC、∠DEC、∠ACE都是等腰直角三角形,∠AB=AC==22+2,∠AD22=AC=22,BD=AB﹣AD=(22+2)﹣(22)2=,综上,BD的长为2或22.故答案为:2或22.【点睛】本题主要考查折叠的性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,注重分类讨论思想的运用是解题的关键.8.2或12【解析】【分析】分两种情况讨论:当E 点在B 点左侧时,求出tan ∠C 'DM =34,再求出∠C 'DM =∠EC 'M ,可求EN =6,CE =10,则tan ∠DEC =12CD EC =;当E 点在B 、C 之间时,设CE =x ,则NE =4-x ,在Rt ∠NEC '中,求出EC =52,则tan ∠DEC =CD EC=2. 【详解】解:如图1,当E 点在B 点左侧时,由折叠可知,CD =C 'D ,∠AB =5,BC =6,AM 13=AD ,BN 13=BC ,∠AM =2,BN =2,∠MD =4, 在Rt ∠DMC '中,C 'M 222516C D MD =-=-'=3,∠tan ∠C 'DM 34=, ∠∠C 'DM +∠MC 'D =90°,∠MC 'D +∠EC 'M =90°,∠∠C 'DM =∠EC 'M ,∠''tan tan C DM EC M ∠=,∠34EN C N '=, ∠348EN =, ∠EN =6,∠CE =10,∠tan ∠DEC 51102CD EC ===; 如图2,当E 点在B△C 之间时,由折叠可知,CD=C'D=5,∠MD=4,∠C'M=3,∠C'N=2,设CE=x,则C'E=x,NE=4﹣x,在Rt∠NEC'中,C'E2=NE2+C'N2,∠x2=(4﹣x)2+4,∠x52 =,∠EC52 =,∠tan∠DEC552CDEC===2;综上所述:tan∠DEC的值为2或12,故答案为:2或12.【点睛】本题考查图形的折叠,熟练掌握图形折叠的性质,矩形的性质,直角三角形的性质,数形结合,分类讨论是解题的关键.9.65或185【解析】【分析】分两种情况进行解答,即当点C'落在AD边上和点C'落在AB边上,分别画出相应的图形,利用翻折变换的性质,勾股定理进行计算即可.【详解】解:如图1,当点C'落在AD边上,由翻折变换可知,59CE C E x='=,5499DE CD CE x x x=-=-=,在Rt∠C DE'中,由勾股定理得,223193C D C E DE x x'='-==,123AC x∴'=-,在'Rt ABC△中,由勾股定理得,222AB AC AC+'=',即2221(2)23x x+-=,解得65x=,或0x=(舍去),如图2,当点C'落在AB边上,由翻折变换可知,四边形BCEC'是正方形,∴529x=,185x∴=,故答案为:65或185.【点睛】本题考查翻折变换,解题的关键是掌握翻折变换的性质以及勾股定理是解决问题的前提.10.24+43##43+24【解析】【分析】由对称性可知,PB=PB',过点P作PH∠AC交于H,当B'、P、H三点共线时,S△ACB'的面积最大,根据三角函数的定义求解即可得解;【详解】由对称性可知,PB=PB',∠B'在以P为圆心,PB为半径的圆上,过点P作PH∠AC交于H,当B'、P、H三点共线时,S△ACB'的面积最大,∠∠BAC=60°,PB=6,AB=8,∠AP=2,在Rt∠APH中,PH=AP•sin60°=2332⨯=,∠B'H=63+,∠S△AB'C12=⨯8×(63+)=24+43;故答案为:24+43.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,等边三角形的性质,解直角三角形,准确计算是解题的关键.11.3【解析】【分析】先找出B'点变化的规律,可发现B'在∠ABC的角平分线上运动,故AB'取最小值时,B'点在AC中点上.【详解】如图,∠DE∠AC,∠ABC是等边三角形,∠∠BDE是等边三角形,折叠后的∠B′DE也是等边三角形,过B作DE的垂直平分线,∠BD=BE,B′D=B′E,∠BB′都在DE的垂直平分线上,∠AB′最小,即A到DE的垂直平分线的距离最小,此时AB′∠BB′,∠AB′=12AC=12×6=3,即AB′的最小值是3.故答案为:3.【点睛】本题主要考查等边三角形和垂直平分线的性质,掌握和理解等边三角形性质是本题关键.12.2102213-+【解析】【分析】连接AC交EF于G,连接A′G,此时∠CGA′的周长最小,最小值=A′G+GC+CA′=GA+GC+CA′=AC+CA′.当CA′最小时,∠CGA′的周长最小,求出CA′的最小值即可解决问题.【详解】解:如图,连接AC交EF于G,连接A′G,连接EC,由折叠的性质可知A′G=GA,此时∠A′GC的周长最小,最小值=A′G+GC+CA′=GA+GC+CA′=AC+CA′.∠四边形ABCD是矩形,∠∠D=90°,AD=BC=4,CD=AB=6,∠AC22=+=213,64∠∠A′CG的周长的最小值213=+CA′,当CA′最小时,∠CGA′的周长最小,∠AE=DE=EA′=2,∠CE2262=+=210,∠CA′≥EC﹣EA′,∠CA′≥210-2,∠CA′的最小值为210-2,∠∠CGA′的周长的最小值为210-2213+,故答案为:2102213-+.【点睛】本题考查翻折变换,矩形的性质,勾股定理,最短路径问题等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.13.22【解析】【分析】如图,连接CE,根据折叠的性质可知B′E=BE,可知点B'在以E为圆心,BE为半径的圆上,当点B′在线段CE上时,B′C的长取最小值,在Rt∠BCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CE−B'E即可求出结论.【详解】∠22AB=,点E是AB的中点,∠BE=2,∠AD=4,∠2232CE BE BC=+=,∠将BEF沿EF所在直线翻折,得到B EF',∠BE=B′E,∠点B'在以E为圆心,BE为半径的圆上,∠当B'在线段CE上时,B C'最短,B C'长的最小值是CE-B′E=22.故答案为:22【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理,利用作圆,找出B′C取最小值时点B′的位置是解题的关键.14.2或3##3或2【解析】【分析】分两种情况进行解答,即当∠CAF=90°或当∠AFC=90°时,分别画出相应的图形,利用等腰三角形的性质,特殊角的直角三角形的边角关系及翻折变换的性质求解即可;【详解】∠当∠CAF=90°时,如图1,∠AB=AC=6,∠BAC=120°,∠∠B=∠C=30°=∠BAF,∠AF32=AC=23=BF,由翻折可知,BD=DF3=,在Rt ∠BDE 中,∠B =30°,BD 3=,∠BE cos30BD ==︒2; ∠当∠AFC =90°时,如图2,由翻折变换可知,BD =DF ,∠EDF =90°=∠AFC ,∠DE ∠AF ,∠BE =AE 12=AB =3, 综上所述,BE 的长为2或3,故答案为:2或3.【点睛】本题主要考查了翻折变换,等腰三角形的性质,特殊角的三角函数值,准确计算是解题的关键.15.7【解析】【分析】不管P 点在l 上哪个位置,PD 始终等于PD ',故求PD '+PB 可以转化成求PD +PB ,显然当D 、P 、D '共线时PD + PB 最短.【详解】过点D 作DM ∠AB 交BA 的延长线于点M ,∠四边形ABCD 是平行四边形,AD =1,AB =2,∠ADC =60°,∠∠DAM =60°,由翻折变换可得,AD =AD ′=1,DE =D ′E ,∠ADC =∠AD ′E =60°,∠∠DAM =∠AD ′E =60°,∠AD ∠D ′E ,又∠DE ∠AB ,∠四边形ADED ′是菱形,∠点D 与点D ′关于直线l 对称,连接BD 交直线l 于点P ,此时PD ′+PB 最小,PD ′+PB =BD ,在Rt ∠DAM 中,AD =1,∠DAM =60°,∠AM=12AD=12,DM=32AD=32,在Rt∠DBM中,DM=32,MB=AB+AM=52,∠BD=DM2+MB2=322+522=7,即PD′+PB最小值为7,故答案为:7.【点睛】本题考查平行四边形性质和菱形性质,掌握这些是本题解题关键.16.(23,2)或(23,2)或(2,23)【解析】【分析】根据翻折可得∠AOD=∠A′OD,分3种情况讨论:当∠AOD=30°时或当∠ADO=30°时或当∠AOA′=30°时求A'的坐标.【详解】解:根据翻折可得∠AOD=∠A′OD,作A'E∠OC于E,∠当∠AOD=30°时,则∠A'OC=30°,∠A'E=A'O•sin∠A'OC=2cm,OE=A'O•cos∠A'OC=23cm,∠A'的坐标为(23,2);∠当∠ADO=30°时,则∠AOD=60°,∠∠AOA'=120°,即A'在第四象限且∠A'OC=30°,∠A'E=A'O•sin∠A'OC=2cm,OE=A'O•cos∠A'OC=23cm,∠A'的坐标为(23,﹣2);∠∠AOD=15°时,∠AOA′=30°,∠A'OC=60°,∠A'E=A'O•sin∠A'OC=23cm,OE=A'O•cos∠A'OC=2cm,∠A'的坐标为(2,23).故答案为:(23,2)或(23,﹣2)或(2,23).【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质,解决本题的关键是分类讨论以及解直角三角形.17.90°3或145【解析】【分析】(1)由折叠的性质可得BDE B DE'∠=∠,BD B D'=,由D是BC的中点,则有BD CD B D'==,结合90C AB D'∠=∠=︒,AD AD=,利用HL可判定'Rt ACD Rt AB D≌,从而有ADC ADB'∠=∠,则有90ADE ADB B DE''∠=∠+∠=︒;(2)利用三角函数的定义得到30B∠=︒,4AB=,再利用折叠的性质得3DB DC==,EB EB'=,30DB E B∠'=∠=︒,设AE x=,则4BE x=-,4EB x'=-,讨论:当90AFB∠'=︒时,则33cos302BF∴=︒=,则35(4)22EF x x=--=-,于是在Rt∠B EF'中利用2EB EF'=得到542()2x x-=-,解方程求出x得到此时AE的长;当90AB F∠'=︒时,作EH AB⊥'于H,连接AD,如图,证明'Rt ADB Rt ADC≌得到2AB AC'==,再计算出60EB H∠'=︒,则1(4)2B H x'=-,3(4)2EH x=-,接着利用勾股定理得到22231(4)[(4)2]42x x x-+-+=,方程求出x得到此时AE的长.【详解】解:(1)连接AD,如图所示:由题意得:BDE B DE'∠=∠,BD B D'=,点D是BC的中点,BD CD B D'∴==,AB B F'⊥',90AB D'∴∠=︒,90AB D C'∴∠=∠=︒,在Rt ACD△和'Rt AB D中,CD B DAD AD'=⎧⎨=⎩,'()Rt ACD Rt AB D HL∴≌,ADC ADB'∴∠=∠,180BDB CDB''∠+∠=︒,22180B DE ADB''∴∠+∠=︒,2()180B DE ADB''∠+∠=︒,即2180ADE∠=︒,90ADE∴∠=︒;故答案为:90︒;(2)90C∠=︒,23BC=,2AC=,23tan323ACBBC∴===,30B∴∠=︒,24AB AC∴==,点D是BC的中点沿DE所在直线把BDE∆翻折到∠B DE'的位置,B D'交AB于点F 3DB DC∴==,EB EB'=,30DB E B∠'=∠=︒,设AE x=,则4BE x=-,4EB x'=-,当90AFB∠'=︒时,在Rt BDF中,cosBFBBD=,33cos302BF∴=︒=,35(4)22EF x x∴=--=-,在Rt∠B EF'中,30EB F∠'=︒,2EB EF∴'=,即542()2x x-=-,解得3x=,此时AE为3;当90AB F∠'=︒时,作EH AB⊥'于H,连接AD,如图,由(1)可知'Rt ADB Rt ADC≌,2AB AC∴'==,9030120AB E AB F EB F∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒,60EB H∴∠'=︒,在'Rt EHB△中,11(4)22B H B E x'='=-,33(4)2EH B H x='=-,在Rt AEH中,222EH AH AE+=,∴22231(4)[(4)2]42x x x-+-+=,解得145x=,此时AE为145.综上所述,AE的长为3或145.故答案为:3或145.【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理.18.2【解析】【分析】利用折叠的性质得EF=BE,BC=CF,∠CFE=∠B=∠BCF=90°,则可判断四边形BEFC 为正方形,所以BE=BC=6,再根据折叠的性质得∠AGH∠∠BCG,根据相似比求出AG、AH、BG即可.【详解】解:∠把∠BCE翻折,点B落在DC边上的点F处,∠EF=BE,BC=CF,∠CFE=∠B=∠BCF=90°,∠四边形BEFC为正方形,∠BE=BC=6,∠把∠CDH翻折,点D落在AE上的点G处,折痕为CH,∠∠HGC=90°,DH=HG,CG=CD,∠∠CGB+∠AGH=90°,∠∠AHG +∠AGH=90°,∠∠CGB=∠AHG,∠∠B=∠A=90°,∠∠AGH∠∠BCG,∠13 AG AH GHBC BG GC===,∠BC=6,∠AG=2,设AH=x,则DH=HG=6-x,∠x2+22=(6-x)2,解得83x ,∠BG=3AH=8.EG= BG- BE=2,故答案为:2.【点睛】本题考查了折叠的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,解题关键是证明三角形相似,依据相似三角形的性质求线段长.19.1202406【解析】【分析】(1)由折叠的性质可得∠A=∠BPQ=120°;(2)由周角的性质可得∠BPD+∠QPD+∠BPQ=360°,即可求解;(3)由菱形的性质可得BQ=QD,QH∠BD,BH=DH,由“SSS”可证∠ABQ∠∠EDQ,可得∠AQB=∠BQP=∠EQD=∠PQD=45°,由直角三角形的性质可求解.【详解】解:(1)∠将五边形纸片ABCDE沿BD折叠,∠∠A=∠BPQ=120°,∠QED=∠QPD,∠BCD=∠BPD,故答案为:120;(2)∠∠BPD+∠QPD+∠BPQ=360°,∠∠BPD+∠QPD=240°,∠∠BCD+∠QED=240°,故答案为:240;(3)如图,连接PC,交BD于H,∠四边形BPDC 是菱形,∠PC 是BD 的垂直平分线,BP =PD =BC =CD ,∠Q ,P ,C 三点共线,∠QC 是BD 的垂直平分线,∠BQ =QD ,QH ∠BD ,BH =DH ,由折叠可知:∠A =∠BPQ =120°,AB =BP =2=DE =DP ,∠AQB =∠BQP ,∠EQD =∠PQD ,AQ =QP =QE ,∠∠BPH =60°,∠∠PBH =30°,∠PH 12=BP =1,BH 3=PH 3=, 在∠ABQ 和∠EDQ 中,AB DE QA QE BQ QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∠∠ABQ ∠∠EDQ (SSS ),∠∠AQB =∠EQD ,∠∠AQB =∠BQP =∠EQD =∠PQD ,∠∠AQE =180°,∠∠AQB =∠BQP =∠EQD =∠PQD =45°,∠∠QBH =∠BQP =45°,∠BH =QH 3=,∠BQ 2=BH 6=,故答案为:6.【点睛】本题考查了翻折变换,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质等知识,掌握折叠的性质是解题的关键.20.4265【解析】【分析】作'B F BC ⊥于F ,连接BB '交MN 于G ,连接BM ,根据正方形的性质可得CF =EF =B 'F =12CD =2,BF =10,应用勾股定理计算得出BB ',再根据折叠的性质得到BN =B 'N ,在Rt ∠B 'BF 中根据勾股定理求得B 'N 长度,最后根据等面积法计算求得MN 的长度.【详解】如图,作'B F BC ⊥于F ,连接BB '交MN 于G ,连接BM ,四边形ABCD 是矩形90C CDA ∴∠=∠=︒将∠ECD 沿DE 向上翻折,点C 的对应点C ′落在线段AD 上,1452CDE CDA ∴∠=∠=︒,90EC D C CDC ''∠=∠=∠=︒, 'CD C D ∴=,∴四边形CDC E '是正方形,B ′是线段DE 的中点,122CF EF B F CD '∴====, 12210BF BC FC =-=-=,在Rt BB F '△中,2222210226BB B F BF ''=+=+=,设BN B N x '==,则10NF BF BN x =-=-,在Rt B NF '△中,222B N NF B F ''=+,即222(10)2x x =-+,解得265x =, 即265BN =, 根据折叠的性质,可得1262BG B G BB ''===,BB MN '⊥,1122BMN S BN AB MN BG =⨯=⨯△, 2644526526BN AB MN BG ⨯⋅∴===.故答案为:4265. 【点睛】 本题考查了折叠的性质,正方形的性质,矩形的性质,勾股定理,添加辅助线,利用勾股定理是解题的关键.。
河南中考数学第15题折叠问题
第15题折叠动点问题一.选择题(共1小题)1.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=4,则AF的长为()A.163B.4C.3D.2二.填空题(共20小题)2.如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为.3.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为.4.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE 折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为.5.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为.6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=√2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为.7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC、PD.若△DPC为直角三角形,则BE的长.8.如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,P为AC上一动点,过P作EF⊥AC交AD 于点E,交AB于点F,将△AEF沿EF折叠,使点A落在对角线AC上的点A′处,当△A′CD为直角三角形时,AP的长为.9.如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE 并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.10.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为.11.如图,在等边三角形ABC中,AB=2√3cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合),若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上,则BN的长为cm.12.如图①,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点P是对角线AC上一动点.设PC 的长度为x,PE与PB的长度和为y,图②是y关于x的函数图象,则图象上最低点H 的坐标为.13.如图,点D是Rt△ABC斜边BC上一动点,以D为直角顶点作Rt△DEF,点G是EF 的中点,连接AG.若AB=AC=2,DE=DF=1,设AG=x,则x的取值范围是.14.如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,点F为射线AD上一动点,△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称,连接AC,分别交EA′、EF于点M、N,AB=2√3,AD=2.若△EMN与△AEF相似,则AF的长为.̂于点D,点E为半径OB 15.如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为.16.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1.第一步,在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠,点A落在A'处,如图2;第二步,将纸片沿CA'折叠,点D落在D′处,如图3.当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时,线段A′D′的长为.17.在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E在线段BC上,连接AE,过点B作BF⊥AE 交线段CD于点F.以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF,当点E从B运动到C时,点H运动的路径长为.18.如图,等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=3,点D在CA的延长线上,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,连接EF.则EF的最小值为.19.如图,正方形ABCD边长为6,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点H处,延长EH交CD于点F,过E作∠CEF的平分线交CD于点G,则△EFG的面积为.20.如图,边长为4的菱形ABCD中,∠C=60°,点M是AD的中点,E、F是对角线BD 上的两个动点,且EF=2,则线段MF+AE的最小值为.21.如图,在Rt△ABC中,点M为斜边AB上一个动点,点N为直角边AC上一个动点,已知BC=6,AC=8,BM=MN,当△AMN为直角三角形时,BM的长为.2022年02月13日李思军的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=4,则AF的长为()A.163B.4C.3D.2【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6,AD=BC=8,∠BAD=∠D=90°,通过证明△ABF∽△DAE,可得AFAB =DEAD,即可求解.【解答】解:设BF与AE交于点H,∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=6,AD=BC=8,∠BAD=∠D=90°,由折叠及轴对称的性质可知,△ABF≌△GBF,BF垂直平分AG,∴BF⊥AE,AH=GH,∴∠BAH+∠ABH=90°,又∵∠FAH+∠BAH=90°,∴∠ABH=∠FAH,又∵∠BAD=∠D=90°,∴△ABF∽△DAE,∴AFAB =DEAD,∴AF=48×6=3,故选:C.【点评】本题考查了翻折变换,矩形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握翻折变换和矩形的性质,证明三角形相似是解题的关键.二.填空题(共20小题)2.如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为52或53.【分析】连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P,先利用勾股定理求出MD′,再分两种情况利用勾股定理求出DE.【解答】解:如图,连接BD ′,过D ′作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,CD 于点N ,作D ′P ⊥BC 交BC 于点P∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上,∴MD ′=PD ′,设MD ′=x ,则PD ′=BM =x ,∴AM =AB ﹣BM =7﹣x ,又折叠图形可得AD =AD ′=5,∴x 2+(7﹣x )2=25,解得x =3或4,即MD ′=3或4.在Rt △END ′中,设ED ′=a ,①当MD ′=3时,AM =7﹣3=4,D ′N =5﹣3=2,EN =4﹣a ,∴a 2=22+(4﹣a )2,解得a =52,即DE =52,②当MD ′=4时,AM =7﹣4=3,D ′N =5﹣4=1,EN =3﹣a ,∴a 2=12+(3﹣a )2,解得a =53,即DE =53.故答案为:52或53. 【点评】本题主要考查了折叠问题,解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的.3.如图,已知AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB =3,点E 为射线BC 上一个动点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点B ′处,过点B ′作AD 的垂线,分别交AD ,BC 于点M ,N .当点B ′为线段MN 的三等分点时,BE 的长为 3√22或3√55 .【分析】根据勾股定理,可得EB ′,根据相似三角形的性质,可得EN 的长,根据勾股定理,可得答案.【解答】解:如图,由翻折的性质,得AB =AB ′,BE =B ′E . ①当MB ′=2,B ′N =1时,设EN =x ,得B ′E =√x 2+1.△B ′EN ∽△AB ′M ,EN B′M =B′E AB′,即x 2=√x 2+13, x 2=45,BE =B ′E =√45+1=3√55.②当MB ′=1,B ′N =2时,设EN =x ,得B ′E =√x 2+22,△B ′EN ∽△AB ′M ,EN B′M =B′E AB′,即x 1=√x 2+43, 解得x 2=12,BE =B ′E =√12+4=3√22,故答案为:3√22或3√55.【点评】本题考查了翻折的性质,利用翻折的性质得出AB =AB ′,BE =B ′E 是解题关键,又利用了相似三角形的性质,要分类讨论,以防遗漏.4.如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把∠B 沿AE折叠,使点B 落在点B ′处.当△CEB ′为直角三角形时,BE 的长为 32或3 .【分析】当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.连接AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,所以点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,则EB=EB′,AB=AB′=3,可计算出CB′=2,设BE=x,则EB′=x,CE=4﹣x,然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.②当点B′落在AD边上时,如答图2所示.此时ABEB′为正方形.【解答】解:当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.连接AC,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC=√42+32=5,∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,∴∠AB′E=∠B=90°,当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,∴EB=EB′,AB=AB′=3,∴CB′=5﹣3=2,设BE=x,则EB′=x,CE=4﹣x,在Rt △CEB ′中, ∵EB ′2+CB ′2=CE 2,∴x 2+22=(4﹣x )2,解得x =32, ∴BE =32;②当点B ′落在AD 边上时,如答图2所示. 此时ABEB ′为正方形,∴BE =AB =3. 综上所述,BE 的长为32或3.故答案为:32或3.【点评】本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾股定理.注意本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解. 5.如图,在矩形ABCD 中,AB =1,BC =a ,点E 在边BC 上,且BE =35a .连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上,则a 的值为53或√53.【分析】分两种情况:①点B ′落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB =BE ,即可求出a 的值;②点B ′落在CD 边上,证明△ADB ′∽△B ′CE ,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值. 【解答】解:分两种情况:①当点B ′落在AD 边上时,如图1. ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD =∠B =90°,∵将△ABE 沿AE 折叠,点B 的对应点B ′落在AD 边上, ∴∠BAE =∠B ′AE =12∠BAD =45°,∴AB =BE , ∴35a =1,∴a =53;②当点B ′落在CD 边上时,如图2. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°,AD =BC =a . ∵将△ABE 沿AE 折叠,点B 的对应点B ′落在CD 边上, ∴∠B =∠AB ′E =90°,AB =AB ′=1,EB =EB ′=35a , ∴DB ′=√B′A 2−AD 2=√1−a 2,EC =BC ﹣BE =a −35a =25a . 在△ADB ′与△B ′CE 中,{∠B ′AD =∠EB ′C =90°−∠AB ′D ∠D =∠C =90°, ∴△ADB ′∽△B ′CE , ∴DB′CE=AB′B′E,即√1−a 225a =135a , 解得a 1=√53,a 2=−√53(舍去).综上,所求a 的值为53或√53.故答案为53或√53.【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=√2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为12√2+12或1.【分析】①如图1,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,于是得到结论;②如图2,当∠MB′C=90°,推出△CMB′是等腰直角三角形,得到CM=√2MB′,列方程即可得到结论.【解答】解:①如图1,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,∴BM=12BC=12√2+12;②如图2,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角形,∴CM=√2MB′,∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′,∴BM=B′M,∴CM=√2BM,∵BC=√2+1,∴CM+BM=√2BM+BM=√2+1,∴BM=1,综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为12√2+12或1,故答案为:12√2+12或1.【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.7.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =5,点E 为BC 边上一个动点,连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°,点A 落在点P 处,当点P 在矩形ABCD 外部时,连接PC 、PD .若△DPC 为直角三角形,则BE 的长 3或7+√174.【分析】分两种情形讨论:①如图1中,当∠PDC =90°时.②如图2中,当∠DPC =90°时,作PF ⊥BC 于F ,PH ⊥CD 于H ,设BE =x .分别求解即可. 【解答】解:①如图1中,当∠PDC =90°时,∵∠ADC =90°,∴∠ADC +∠PDC =180°, ∴A 、D 、P 共线,∵EA =EP ,∠AEP =90°, ∴∠EAP =45°, ∵∠BAD =90°, ∴∠BAE =45°, ∵∠B =90°∴∠BAE =∠BEA =45°, ∴BE =AB =3.②如图2中,当∠DPC =90°时,作PF ⊥BC 于F ,PH ⊥CD 于H ,设BE =x ,∵∠AEB +∠PEF =90°,∠AEB +∠BAE =90°, ∴∠BAE =∠PEF , 在△ABE 和△EFP 中,{∠BAE =∠PEF ∠B =∠F =90°AE =EP, ∴△ABE ≌△EFP ,∴EF =AB =3,PF =HC =BE =x , ∴CF =3﹣(5﹣x )=x ﹣2,∵∠DPH +∠CPH +90°,∠CPH +∠CPF =90°, ∴∠DPH =∠CPF , ∵∠DHP =∠PHC , ∴△PHD ∽△CHP , ∴PH 2=DH •CH , ∴(x ﹣2)2=x (3﹣x ),∴x =7+√174或7−√174(舍), ∴BE =7+√174, 综上所述,当△PDC 是直角三角形时,BE 的值为3或7+√174.故答案为:3或7+√174. 【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考常考题型.8.如图,在菱形ABCD 中,AB =5,AC =8,P 为AC 上一动点,过P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交AB 于点F ,将△AEF 沿EF 折叠,使点A 落在对角线AC 上的点A ′处,当△A ′CD 为直角三角形时,AP 的长为 2或78 .【分析】分两种情形①当A ′与O 重合时,△CDA ′是直角三角形,此时AP =12OA =14AC =2.②当A ′D ⊥CD 时,△CDA ′是直角三角形,此时cos ∠DCA ′=CD CA′=OC CD,列出方程即可解决问题.【解答】解:如图,连接BD 交AC 于O .∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,∵EF ⊥AC ,△A ′EF 是由△AEF 翻折得到, ∴PA =PA ′,①当A ′与O 重合时,△CDA ′是直角三角形,此时AP =12OA =14AC =2.②当A ′D ⊥CD 时,△CDA ′是直角三角形, 此时cos ∠DCA ′=CD CA′=OCCD, ∴5CA′=45,∴CA ′=254, ∴AP =12AA ′=12(8−254)=78, 综上所述,满足条件的AP 的长为2或78.【点评】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,是由中考填空题中的压轴题.9.如图,∠MAN =90°,点C 在边AM 上,AC =4,点B 为边AN 上一动点,连接BC ,△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称,点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ,连接A ′E .当△A ′EF 为直角三角形时,AB 的长为 4√3或4 .【分析】当△A ′EF 为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A 'EF =90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A 'C =A 'E =4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC =2A 'E =8,最后利用勾股定理可得AB 的长; ②当∠A 'FE =90°时,如图2,证明△ABC 是等腰直角三角形,可得AB =AC =4. 【解答】解:当△A ′EF 为直角三角形时,存在两种情况: ①当∠A 'EF =90°时,如图1,∵△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称, ∴A 'C =AC =4,∠ACB =∠A 'CB , ∵点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'E=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB=√82−42=4√3;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4√3或4;故答案为:4√3或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.10.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为16或4√5.【分析】根据翻折的性质,可得B′E的长,根据勾股定理,可得CE的长,根据等腰三角形的判定,可得答案.【解答】解:(i)当B′D=B′C时,过B′点作GH∥AD,则∠B′GE=90°,当B′C=B′D时,AG=DH=12DC=8,由AE=3,AB=16,得BE=13.由翻折的性质,得B′E=BE=13.∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5,∴B′G=√B′E2−EG2=√132−52=12,∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4,∴DB′=√B′H2+DH2=√42+82=4√5(ii)当DB′=CD时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合).(iii)当CB′=CD时,则CB=CB′,由翻折的性质,得EB=EB′,∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠,得EF也是线段BB′的垂直平分线,∴点F与点C重合,这与已知“点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点”不符,故此种情况不存在,应舍去.综上所述,DB′的长为16或4√5.故答案为:16或4√5.【点评】本题考查了翻折变换,利用了翻折的性质,勾股定理,等腰三角形的判定.11.如图,在等边三角形ABC中,AB=2√3cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合),若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上,则BN的长为√32或√3cm.【分析】如图1,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时,于是得到MN⊥AB,BN=BN′,根据等边三角形的性质得到=AC=BC,∠ABC=60°,根据线段中点的定义得到BN=12BM=√32,如图2,当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A,C上时,则MN⊥BB′,四边形BMB′N是菱形,根据线段中点的定义即可得到结论.【解答】解:如图1,当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时,则MN ⊥AB ,BN =BN ′, ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB =AC =BC ,∠ABC =60°, ∵点M 为边BC 的中点, ∴BM =12BC =12AB =√3, ∴BN =12BM =√32,如图2,当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边A ,C 上时, 则MN ⊥BB ′,四边形BMB ′N 是菱形, ∵∠ABC =60°,点M 为边BC 的中点, ∴BN =BM =12BC =12AB =√3, 故答案为:√32或√3.【点评】本题考查了轴对称的性质,等边三角形的性质,菱形的判定和性质,分类讨论是解题的关键.12.如图①,在正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点P 是对角线AC 上一动点.设PC 的长度为x ,PE 与PB 的长度和为y ,图②是y 关于x 的函数图象,则图象上最低点H 的坐标为 (4√23,√5) .【分析】如图,连接PD .由B 、D 关于AC 对称,推出PB =PD ,推出PB +PE =PD +PE ,推出当D 、P 、E 共线时,PE +PB 的值最小,观察图象可知,当点P 与A 重合时,PE +PB =3,推出AE =EB =1,AD =AB =2,分别求出PB +PE 的最小值,PC 的长即可解决问题.【解答】解:如图,连接PD .∵B 、D 关于AC 对称, ∴PB =PD , ∴PB +PE =PD +PE ,∴当D 、P 、E 共线时,PE +PB 的值最小,如下图:观察图象可知,当点P 与A 重合时,PE +PB =3, ∴AE =EB =1,AD =AB =2, 在Rt △AED 中,DE =√5, ∴PB +PE 的最小值为√5, ∴点H 的纵坐标为√5, ∵AE ∥CD , ∴PC PA=CD AE=2,∵AC =2√2,∴PC =2√2×23=4√23, ∴点H 的横坐标为4√23,∴H (4√23,√5).故答案为:(4√23,√5).【点评】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.13.如图,点D 是Rt △ABC 斜边BC 上一动点,以D 为直角顶点作Rt △DEF ,点G 是EF 的中点,连接AG .若AB =AC =2,DE =DF =1,设AG =x ,则x 的取值范围是 √22≤x ≤2+√22.【分析】当AD ⊥BC ,且点G 在AD 上时,AG 最小;当点D 与点B 或C 重合,且点A ,B ,G 或A ,C ,G 在同一直线上,点B 在AG 之间时,AG 最大,求出其两个值便可. 【解答】解:如图,显然点G 在以D 为圆心,以 ′√22为半径的圆上,∵点D 在BC 上运动,∴①当AD ⊥BC ,且点G 在AD 上时,AG 最小. 此时,AG =AD ﹣DG =√2−√22=√22,②AG ≤AD +DG ≤AB +BG∴当点D 与点B 或C 重合,且点A ,B ,G 或A ,C ,G 在同一直线上,点B 在AG 之间时,上述等式取等号 此时,AG 最大=2+√22,综上,√22≤x ≤2+√22. 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,关键是确定最大值与最小值的点G 的位置.14.如图,在矩形ABCD 中,点E 为AB 的中点,点F 为射线AD 上一动点,△A ′EF 与△AEF 关于EF 所在直线对称,连接AC ,分别交EA ′、EF 于点M 、N ,AB =2√3,AD=2.若△EMN与△AEF相似,则AF的长为1或3.【分析】分两种情形①当EM⊥AC时,△EMN∽△EAF.②当EN⊥AC时,△ENM∽△EAF,分别求解.【解答】解:①当EM⊥AC时,△EMN∽△EAF,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2,∠B=90°,∴tan∠CAB=BCAB=√33,∴∠CAB=30°,∴∠AEM=60°,∴∠AEF=30°,∴AF=AE•tan30°=√3•√33=1,②当EN⊥AC时,△ENM∽△EAF,可得AF=AE•tan60°=3,故答案为1或3.【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.15.如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BĈ于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为6√2+π3.【分析】利用轴对称的性质,得出当点E 移动到点E ′时,阴影部分的周长最小,此时的最小值为弧CD 的长与CD ′的长度和,分别进行计算即可.【解答】解:如图,作点D 关于OB 的对称点D ′,连接D ′C 交OB 于点E ′,连接E ′D 、OD ′,此时E ′C +E ′D 最小,即:E ′C +E ′D =CD ′, 由题意得,∠COD =∠DOB =∠BOD ′=30°, ∴∠COD ′=90°,∴CD ′=√OC 2+OD′2=√22+22=2√2, CD ̂的长l =30π×2180=π3, ∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3. 故答案为:6√2+π3.【点评】本题考查与圆有关的计算,掌握轴对称的性质,弧长的计算方法是正确计算的前提,理解轴对称解决路程最短问题是关键.16.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1.第一步,在AB 边上找一点D ,将纸片沿CD 折叠,点A 落在A '处,如图2;第二步,将纸片沿CA'折叠,点D落在D′处,如图3.当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时,线段A′D′的长为12或2−√3.【分析】分两种情形解答:①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时,由题意:△ADC≌△A′DC≌△A′D′C,则∠D′A′C=∠DA′C=∠A=60°,A′C=AC=1;A′C垂直平分线段DD′;利用S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE,可求得CE,则A′E=A′C﹣CE,解直角三角形A′D′E可求线段A′D′;②点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时,由题意:△ADC≌△A′DC≌△A′D′C,则∠D′A′C=∠DA′C=∠A=60°,A′C=AC=1,∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=13∠ACB=30°;在Rt△A′D′C中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得结论.【解答】解:①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时,设A′C交AB边于点E,如图,由题意:△ADC≌△A′DC≌△A′D′C,A′C垂直平分线段DD′.则∠D′A′C=∠DA′C=∠A=60°,A′C=AC=1.∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,∴BC=AC•tan A=1×tan60°=√3.AB=2AC=2,∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE,∴CE=√3 2.∴A ′E =A ′C ﹣CE =1−√32.在Rt △A ′D ′E 中, ∵cos ∠D ′A ′E =A′EA′D′, ∴A′E A′D′=12,∴A ′D ′=2A ′E =2−√3.②点D ′恰好落在直角三角形纸片的BC 边上时,如图,由题意:△ADC ≌△A ′DC ≌△A ′D ′C ,∠ACD =∠A ′CD =∠A ′CD ′=13∠ACB =30°;则∠D ′A ′C =∠DA ′C =∠A =60°,A ′C =AC =1. ∵∠D ′A ′C =60°,∠A ′CD ′=30°, ∴∠A ′D ′C =90°,∴A ′D ′=12A ′C =12×1=12.综上,线段A ′D ′的长为:12 或 2−√3.故答案为:12或 2−√3.【点评】本题主要考查了翻折问题,含30°角的直角三角形,直角三角形的边角关系,特殊角的三角函数值,全等三角形的性质.翻折属于全等变换,对应部分相等,这是解题的关键,当点D ′恰好落在直角三角形纸片的边上时,要注意分类讨论.17.在矩形ABCD 中,AB =4,BC =2,点E 在线段BC 上,连接AE ,过点B 作BF ⊥AE 交线段CD 于点F .以BE 和BF 为邻边作平行四边形BEHF ,当点E 从B 运动到C 时,点H 运动的路径长为 √5 .【分析】如图,连接CH .证明△ABE ∽△BCF ,推出AB CB=EB CF=2,由四边形BEHF 是平行四边形,推出FH =BE ,FH ∥BE ,推出∠HFC =∠BCF =90°,推出FH CF=2,推出tan ∠HCF =2,推出∠HCF 是定值,推出点H 的运动轨迹是线段CH ,求出CH ,可得结论.【解答】解:如图,连接CH .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC =BCF =90°, ∵BF ⊥AE ,∴∠ABF +∠EBF =90°,∠ABF +EAB =90°, ∴∠EAB =∠CBF , ∴△ABE ∽△BCF , ∴AB CB=EB CF=2,∵四边形BEHF 是平行四边形, ∴FH =BE ,FH ∥BE , ∴∠HFC =∠BCF =90°, ∴FH CF=2,∴tan ∠HCF =2, ∴∠HCF 是定值,∴点H 的运动轨迹是线段CH ,当当点E从B运动到C时,∴FH=BC=2,∴CF=1,∴CH=√22+12=√5.故答案为:√5.【点评】本题考查矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是确定点H的运动轨迹,属于中考常考题型.18.如图,等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=3,点D在CA的延长线上,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,连接EF.则EF的最小值为3√34.【分析】延长DE交BC于G,当BD⊥AC时,证明△BDG是等边三角形,得出BF=GF,证明△EFG是等边三角形,得出∠EFG=60°=∠DBG,证出EF∥AB,得出EF⊥AC,此时EF最小=12B B G=12B B D,由直角三角形的性质求出AD=12B A B=32,BD=√3AD=3√32,即可得出答案.【解答】解:连接EF、BD,延长DE交BC于G,如图所示:∵∠BAC=120°,∠C=30°,DF⊥BC,∴∠BAD=60°,∠ADF=60°,当BD⊥AC时,BD最小,则∠DBG=60°,∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°,∴∠BGD=∠C+∠ADE=60°=∠DBG,∴△BDG 是等边三角形, ∴BG =BD , ∵DF ⊥BC , ∴BF =GF , ∵DE ⊥AB , ∴EF =12BG =GF , ∴△EFG 是等边三角形, ∴∠EFG =60°=∠DBG , ∴EF ∥AB ,∴EF ⊥AC ,此时EF 最小=12BG =12BD , ∵∠ABD =90°﹣60°=30°, ∴AD =12AB =32,BD =√3AD =3√32, ∴EF 的最小值=12BD =3√34. 故答案为:3√34.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键.19.如图,正方形ABCD 边长为6,E 是BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在点H 处,延长EH 交CD 于点F ,过E 作∠CEF 的平分线交CD 于点G ,则△EFG 的面积为154.【分析】如图作GM ⊥EF 于M ,连接AF .想办法求出FG 即可解决问题; 【解答】解:如图作GM ⊥EF 于M ,连接AF .∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD=6,∵AH=AB=AD,AF=AF,∴Rt△AFD≌Rt△AFH,∴DF=FH,设DF=FH=m,在Rt△EFC中,EF=3+m,EC=3,FC=6﹣m,∴(3+m)2=32+(6﹣m)2,∴m=2,∴EF=5,FC=4,∵GE平分∠CEF,GC⊥EC,GM⊥EF,∴GC=GM,设GC=GM=n,在Rt△FMG中,则有(4﹣n)2=n2+22,∴n=3 2,∴FG=4−32=52,∴S△EGF=12•FG•EC=154,【点评】本题考查翻折变换、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用此时构建方程解决问题,属于中考填空题中的压轴题.20.如图,边长为4的菱形ABCD中,∠C=60°,点M是AD的中点,E、F是对角线BD 上的两个动点,且EF=2,则线段MF+AE的最小值为2√7.【分析】取BD的中点P,连接MP,延长MP交BC于N,根据四边形ABCD为菱形,∠C=60°,设FP=a,则PE=2﹣a,得当A、N、E三点共线时,MF+AE取最小值,进而进行求解即可.【解答】解:取BD的中点P,连接MP,延长MP交BC于N,如图所示:∵四边形ABCD为菱形,∴∠C=60°,△ABD,△BCD为等边三角形,∴∠MPD=∠EBN=60°=∠ABD,设FP=a,则PE=2﹣a,∵P为BD的中点,∴BP=12BD=2,∴BE=a=FP,连接EN,∵四边形ABNM为平行四边形,∴BN=AM=2,∴BN=MP,∴△MPF≌△NBE(SAS),∴EN=MF,∴MF+AE=EN+AE,∴当A、N、E三点共线时,MF+AE取最小值,延长AB,过N作NH⊥AB交AB于点H,∵∠NBH=∠C=60°,∴BH=NB•cos60°=1,NH=NB•sin60°=√3,∴AH=AB+BH=5,∴AN=√AH2+NH2=2√7,∴MF+AE的最小值为:2√7,故答案为:2√7.【点评】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,通过构造全等三角形将MF 转化为NE 是解题的关键.21.如图,在Rt △ABC 中,点M 为斜边AB 上一个动点,点N 为直角边AC 上一个动点,已知BC =6,AC =8,BM =MN ,当△AMN 为直角三角形时,BM 的长为 154或307 .【分析】在Rt △ABC 中,AB =√BC 2+AC 2=10,分两种情况①、②,利用相似三角形的线段比例关系即可求解.【解答】解:在Rt △ABC 中,AB =√BC 2+AC 2=10,①当∠MNA =90°时,∵∠MNA =∠C =90°,∠A =∠A ,∴△ABC ∽△AMN ,∴MN BC =AM AB =AB−BM AB =AB−MN AB , ∴MN 6=10−MN 10,∴MN =154, ∴BM =154,②当∠NMA =90°时,∵∠NMA =∠C =90°,∠A =∠A ,∴△ABC ∽△ANM ,∴MN BC =AM AC =AB−BM AC =AB−MN AC , ∴MN 6=10−MN 8,∴MN =307,∴BM =307.综上BM =154或307. 故答案为:154或307.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,熟练掌握相似三角形的判定与性质、分类讨论思想是解决本题的关键.。
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专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为________.【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论.【自主解答】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A′E =8,由勾股定理,得AB2=BC2-AC2,∴AB=82-42=43;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF =∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为43或4.图①图②1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D′,连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形,则DE=________________.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时,BE的长为______.3.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C为直角三角形,则BM 的长为__________.4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MN⊥AC,垂足为P,把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形,则AP的长为____________.5.(2017·三门峡一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C′,连接C′D交AB于点E,连接BC′.当△BC′D是直角三角形时,DE的长为______.6.(2018·盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=23+4,点M、N分别在线段AC、AB上.将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为__________.7.(2018·乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=23,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F,若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中,AB =5,AC =8,点P 是对角线AC 上的一个动点,过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E ,交AB 于点F ,将△AEF 折叠,使点A 落在点A ′处,当△A ′CD 为等腰三角形时,AP 的长为______.9.(2018·濮阳一模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,点D ,E 为AC ,BC 上两个动点.若将∠C 沿DE 折叠,点C 的对应点C ′恰好落在AB 上,且△ADC ′恰好为直角三角形,则此时CD 的长为__________.类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图,已知AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB =3,点E 为射线BC 上一个动点,连接AE ,将△ABE沿AE 折叠,点B 落在点B ′处,过点B ′作AD 的垂线,分别交AD ,BC 于点M ,N.当点B ′为线段MN 的三等分点时,BE 的长为________.【分析】 根据勾股定理,可得EB ′,根据相似三角形的性质,可得EN 的长,根据勾股定理,可得答案.【自主解答】 由翻折的性质,得AB =AB ′,BE =B ′E.①当MB ′=2,B ′N =1时,设EN =x ,得B ′E =x 2+1.由△B ′EN ~△AB ′M ,EN B ′M =B ′E AB ′,即x 2=x 2+13,x 2=45,BE =B ′E =45+1=355; ②当MB ′=1,B ′N =2时,设EN =x ,得B ′E =x 2+22,△B ′EN ∽△AB ′M ,EN B ′M =B ′E AB ′,即x 1=x 2+43,解得x 2=12,BE =B ′E =12+4=322,故答案为:322或355.1.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使D 点落在BC 边上的点E 处,折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点,则线段CH 的长是_______.2.(2018·林州一模)在矩形ABCD中,AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点,将边AB沿BE折叠,点A 的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则AE的长为__________.3.(2015·河南)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时,DE的长为______.4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为__________.5.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把△PBC沿PC折叠,当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时,BP=________.6.(2018·河南模拟)如图,△ABC中,AB=5,AC=5,tan A=2,D是BC中点,点P是AC上一个动点,将△BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半,则AP的长为____________.7.在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D 的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为__________________.类型三根据图形折叠探究最值问题如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.【分析】 以点E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接CE.当点A ′在线段CE 上时,A ′C 的长取最小值,根据折叠的性质可知A ′E =1,在Rt △BCE 中利用勾股定理可求出CE 的长度,用CE -A ′E 即可求出结论.例3题解图【自主解答】 以点E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接CE ,当点A ′在线段CE 上时,A ′C 的长取最小值,如解图所示.根据折叠可知:A ′E =AE =12AB =1.在Rt △BCE 中,BE =12AB =1,BC =3,∠B =90°,∴CE =BE 2+BC 2=10,∴A ′C 的最小值=CE -A ′E =10-1.故答案为10-1.1.(2019·原创)如图,在边长为10的等边三角形△ABC 中,D 是AB 边上的动点,E 是AC 边的中点,将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ,连接BA ′,则BA ′的最小值是__________.2.在矩形ABCD 中,AD =12,E 是AB 边上的点,AE =5,点P 在AD 边上,将△AEP 沿EP 折叠,使得点A 落在点A ′的位置,如图,当A ′与点D 的距离最短时,△A ′PD 的面积为________.3.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,F 是BC 边上的动点,将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ,连接B ′D.则当B ′D 取得最小值时,tan ∠BEF 的值为__________.4.(2017·河南模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =6,点D 是边BC 的中点,点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合),沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处,连接AF ,则线段AF 的长取最小值时,BF 的长为_________.参考答案类型一针对训练 1.3+1或23-2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时,过点E 作EF ⊥CD 于F ,如解图①,设CF =x ,第1题解图①∵∠ABC =30°,∴∠BCD =150°.∵△BCD ′是等边三角形,∴∠DCD ′=90°.由折叠可知,∠ECD =∠D ′CE =45°,∵EF =CF =x ,在直角三角形DEF 中,∠D =30°,∴DE =2x ,∴DF =3x ,∴CD =CF +DF =x +3x =2,解得x =3x -1,∴DE =2x =23-2.(2)当E 在DA 的延长线上时,如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ,根据折叠可知,∠ED ′C =∠D =30°,又∵三角形BD ′C 是等边三角形,∴D ′E 垂直平分BC ,∵AD ∥BC.∴D ′E ⊥AD ,∵∠ABC =30°∴∠BAF =30°,又∵AB =2,∴AF = 3.令D ′E 与BC 的交点为G ,则易知EF =BG =12BC =1,∴AE =3-1,∴DE =3+1,综上所述,DE 的长度为3+1或23-2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中,∵∠C =90°,AB =5,AC =4,∴BC =3.沿直线EF 将∠B 折叠,使点B 恰好落在BC 上的D 处,当△ADE 恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:BE =DE ,设BE =x ,则DE =x ,AE =5-x ,①当∠ADE =90°时,则DE ∥BC ,∴DE CB =AE AB ,∴x 3=5-x 5,解得x =158;②当∠AED =90°时,则△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC ,∴x 3=5-x 4,解得x =157,故所求BE 的长度为:158或157. 3.122+12或1 【解析】①如解图①,当∠B ′MC =90°,B ′与A 重合,M 是BC 的中点,∴BM =12BC =122+12;②如解图②,当∠MB ′C =90°,∵∠A =90°,AB =AC ,∴∠C =45°,∴△CMB ′是等腰直角三角形,∴CM =2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点为B ′,∴BM =B ′M ,∴CM =2BM.∵BC=2+1,∴CM +BM =2BM +BM =2+1,∴BM =1,综上所述,若△MB ′C 为直角三角形,则BM 的长为122+12或1.图①图②第3题解图 4.433或23-2 【解析】①如解图①,当A ′D =A ′C 时,∠A ′DC =∠A ′CD =30°,∴∠AA ′D =60°.又∵∠CAD =30°,∴∠ADA ′=90°,在Rt △ADA ′中,AA ′=AD cos 30°=432=833,由折叠可得AP =12AA ′=433;图①图②第4题解图②如解图②,当CD =CA ′=4时,连接BD 交AC 于O ,则Rt △COD 中,CO =CD ×cos 30°=4×32=23,∴AC =43,∴AA ′=AC -A ′C =43-4,由折叠可得AP =12AA ′=23-2;故答案为433或23-2. 5 .32或34【解析】如解图①所示,点E 与点C ′重合时.在Rt △ABC 中,BC =AB 2-AC 2=4.由翻折的性质可知;AE =AC =3、DC =DE ,则EB =2.设DC =ED =x ,则BD =4-x.在Rt △DBE 中,DE 2+BE 2=DB 2,即x2+22=(4-x)2.解得x =32.∴DE =32.图①图②第5题解图如解图②所示:∠EDB =90°时.由翻折的性质可知:AC =AC ′,∠C =∠AC ′D =90°.∵∠C =∠AC ′D =∠CDC ′=90°,∴四边形ACDC ′为矩形.又∵AC =AC ′,∴四边形ACDC ′为正方形.∴CD =AC =3.∴DB=BC -DC =4-3=1.∵DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BCA.∴DE AC =DB CB =14,即ED 3=14.解得DE =34.点D 在CB 上运动,∠DBC ′<90°,故∠DBC ′不可能为直角.故答案为:32或34. 6.23+43或 6 【解析】分两种情况:①如解图①,当∠CDM =90°,△CDM 是直角三角形,∵在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠A =60°,AC =23+4,∴∠C =30°,AB =12AC =3+2,由折叠可得,∠MDN =∠A =60°,∴∠BDN =30°,∴BN =12DN =12AN ,∴BN =13AB =3+23,∴AN =2BN =233+43,∵∠DNB =60°,∴∠ANM =∠DNM =60°,∴∠ANM =60°,∴AN =MN =23+43.②如解图②,当∠CMD =90°时,△CDM 是直角三角形,由题可得∠CDM =60°,∠A =∠MDN =60°,∴∠BDN =60°,∠BND =30°,∴BD =12DN =12AN ,BN =3BD ,又∵AB =3+2,∴AN =2,BN =3,过N 作NH ⊥AM 于H ,则∠ANH =30°,∴AH =12AN =1,HN =3,由折叠可得∠AMN =∠DMN =45°,∴△MNH 是等腰直角三角形,∴HM =HN =3,∴MN =6,故答案为23+43或 6.图①图②第6题解图7.3或145 【解析】∴∠C =90°,BC =23,AC =2,∴tan B =AC BC =223=33,∴∠B =30°,∴AB =2AC =4.∵点D 是BC 的中点,沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置,B ′D 交AB 于点F ,∴DB =DC =3,EB ′=EB ,∠DB ′E =∠B =30°.设AE =x ,则BE =4-x ,EB ′=4-x ,当∠AFB ′=90°时,在Rt △BDF 中,cos B =BF BD ,∴BF =3cos 30°=32,∴EF =32-(4-x)=x -52.在Rt △B ′EF 中,∵∠EB ′F =30°,∴EB ′=2EF ,则4-x =2(x -52),解得x =3,此时AE 为3;第7题解图当∠FB ′A =90°时,作EH ⊥AB ′于H ,连接AD ,如解图,∵DC =DB ′,AD =AD ,∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ,∴AB ′=AC =2.∵∠AB ′E =∠AB ′F +∠EB ′F =90°+30°=120°,∴∠EB ′H =60°.在Rt △EHB ′中,B ′H =12B ′E =12(4-x),EH =3B ′H =32(4-x),在Rt △AEH 中,∵EH 2+AH 2=AE 2,∴34(4-x)2+[12(4-x)+2]2=x 2,解得x =145,此时AE 为145.综上所述,AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =5,∠DAC =∠BAC.∵EF ⊥AA ′,∴∠EPA =∠FPA ′=90°,∴∠EAP +∠AEP =90°,∠FAP +∠AFP =90°,∴∠AEP =∠AFP ,∴AE =AF.∵△A ′EF是由△AEF 翻折,∴AE =EA ′,AF =FA ′,∴AE =EA ′=A ′F =FA ,∴四边形AEA ′F 是菱形,∴AP =PA ′.①当CD =CA ′时,∵AA ′=AC -CA ′=3,∴AP =12AA ′=32.②当A ′C =A ′D 时,∵∠A ′CD =∠A ′DC =∠DAC ,∴△A ′CD ∽△DAC ,∴A ′C AD =DC AC ,∴A ′C =258,∴AA ′=8-258=398,∴AP =12AA ′=3916,故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①,当∠ADC ′=90°时,∠ADC ′=∠C ,第9题解图①∴DC ′∥CB ,∴△ADC ′∽△ACB.又∵AC =3,BC =4,∴AD DC ′=34,设CD =C ′D =x ,则AD =3-x ,∴3-x x=34,解得x =127,经检验:x =127是所列方程的解,∴CD =127;②如解图②,当∠DC ′A =90°时,∠DCB =90°,第9题解图②由折叠可得,∠C =∠DC ′E =90°,∴C ′B 与CE 重合,由∠C =∠AC ′D =90°,∠A =∠A ,可得△ADC ′∽△ABC ,在Rt △ABC 中,AB =5,∴AD C ′D =AB CB =54,设CD =C ′D =x ,则AD =3-x ,∴3-x x =54,解得x =43,∴CD =43.综上所述,CD 的长为127或43. 类型二针对训练1.4或52 【解析】设CH =x ,则DH =EH =9-x ,当BE ∶EC =2∶1时,BC =9,∴CE =13BC =3.在Rt △ECH 中,EH 2=EC 2+CH 2,即(9-x)2=32+x 2,解得x =4,即CH =4.当BE ∶EC =1∶2时,CE =23BC =6.在Rt △ECH 中,EH 2=EC 2+CH 2,即(9-x)2=62+x 2,解得:x =52,即CH =52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图,过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ,则四边形ABNM 是矩形,∴AB =MN =4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,∴A ′M =1,A ′N =3或A ′M =3,A ′N =1.①当A ′M=1,A ′N =3时,在Rt △BA ′N 中,BN =42-32=7,∴AM =BN =7.由△A ′EM ~△BA ′N ,∴EM A ′N =A ′M BN,∴EM 3=17,∴EM =377,∴AE =477;②当A ′M =3,A ′N =1时,同理可得AE =4155., 第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图,连接BD ′,过D ′作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,CD 于点N ,作D ′P ⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上,∴MD ′=PD ′.设MD ′=x ,则PD ′=BM =x ,∴AM =AB -BM =7-x ,又由折叠图形可得AD =AD ′=5,∴x 2+(7-x)2=25,解得x =3或4,即MD ′=3或4.在Rt △END ′中,设ED ′=a ,①当MD ′=3时,AM =7-3=4,D ′N =5-3=2,EN =4-a ,∴a 2=22+(4-a)2,解得a =52,即DE =52;②当MD ′=4时,AM =7-4=3,D ′N =5-4=1,EN =3-a ,∴a 2=12+(3-a)2,解得a =53,即DE =53.综上所述,DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况:①如解图①,当点F 在矩形内部时,∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上,∴AN =4.∵AF =AD =5,由勾股定理得FN =3,∴FM =2.设DE 为x ,则EM =4-x ,FE =x ,在△EMF 中,由勾股定理,得x 2=(4-x)2+22,∴x =52,即DE 的长为52;图①图②第4题解图②如解图②,当点F 在矩形外部时,同①的方法可得FN =3,∴FM =8,设DE 为y ,则EM =y -4,FE =y ,在△EMF 中,由勾股定理,得y 2=(y -4)2+82,∴y =10,即DE 的长为10.综上所述,点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时,DE 的长为52或10. 5.3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上,如解图①,∵在矩形ABCD 中,AB =8,BC =6∴∠ABC =90°,AC =BD ,∴AC =BD =62+82=10.根据折叠的性质,得PC ⊥BB ′,∴∠PBD =∠BCP ,∴△BCP ∽△ABD ,∴BP AD =BC AB ,即BP 6=68,解得BP =92;②点A 落在矩形对角线AC 上,如解图②,根据折叠的性质,得BP =B ′P ,∠B =∠PB ′C =90°,∴∠AB ′A =90°,∴△APB ′∽△ACB ,∴B ′P BC =AP AC ,即BP 6=8-BP 10,解得BP =3,故答案为:3或92.图①图②第5题解图6.2或5- 5 【解析】分两种情况:①当点B ′在AC 的下方时,如解图①,∵D 是BC 中点,∴S △BPD =S △PDC ,∵S △PDF =12S △BPD ,∴S △PDF =12S △PDC .∴F 是PC 的中点,∴DF 是△BPC 的中位线,∴DF ∥BP ,∴∠BPD =∠PDF ,由折叠得:∠BPD =∠B ′PD ,∴∠B ′PD =∠PDF ,∴PB ′=B ′D ,即PB =BD ,过B 作BE ⊥AC 于E ,在Rt △ABE中,tan A =BE AE=2,∵AB =5,∴AE =1,BE =2,∴EC =5-1=4,由勾股定理,得BC =BE 2+EC 2=22+42=25,∵D 为BC 的中点,∴BD =5,∴PB =BD =5,在Rt △BPE 中,PE =1,∴AP =AE +PE =1+1=2;图①图②第6题解图②当点B ′在AC 的上方时,如解图②,连接B ′C ,同理得:F 是DC 的中点,F 是PB ′的中点,∴DF =FC ,PF=FB′,∴四边形DPCB′是平行四边形,∴PC=B′D=BD=5,∴AP=5-5,综上所述,AP的长为2或5- 5.7.8+23或8-2 3 【解析】由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE.∵点B、C′、D′在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在Rt△BC′E中,BEC′E =2,∴∠C′BE=30°.①当点C′在BC的上方时,如解图①,过E作EG⊥AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,∴EG=AB=6,AG=BE=8,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,∴∠BEC′=60°,由折叠的性质得,∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC,∴∠HFE=∠CEF=60°,∴△EFH是等边三角形,∴在Rt△EFG中,EG=6,∴GF=23,∴AF=8+23;②当点C′在BC的下方时,如解图②,过F作FG⊥AD 于G,D′F交BE于H,同①可得,四边形ABGF是矩形,△EFH是等边三角形,∴AF=BG,FG=AB=6,∠FEH =60°,在Rt△EFG中,GE=2 3.∵BE=8,∴BG=8-23,∴AF=8-2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1.53-5 【解析】如解图,连接BE.第1题解图∵AB=BC=AC=10,∴∠C=60°.∵AB=BC,E是AC的中点,∴BE⊥AC.∴BE=BC2-EC2=102-52=5 3.∵AC=10,E是AC边的中点,∴AE=5.由翻折的性质可知A′E=AE=5.∵BA′+A′E≥BE,∴当点B、A′、E在一条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE-A′E=53-5.2.403【解析】连接DE,DE=52+122=13,∵将△AEP沿FP折叠,使得点A落在点A′的位置,∴EA′=EA=5,∵A′D≥DE-EA′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时,取等号),∴当A ′与点D 的距离最短时,A ′点在DE 上,∴DA ′=13-5=8,设PA ′=x ,则PA =x ,PD =12-x ,在Rt △DPA ′中,x 2+82=(12-x)2,解得x =103,∴△A ′PD 的面积=12×8×103=403. 3.1+52【解析】在Rt △ADE 中,DE =22+42=25,当B ′在ED 上时,B ′D 最小,在ED 上截取EB ′=EB =2,连接B ′F ,FD ,则B ′D =ED -EB ′=25-2,设BF =x ,则B ′F =x ,CF =4-x ,在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中,利用勾股定理,可得DB ′2+B ′F 2=DF 2=CF 2+DC 2,即(25-2)2+x 2=(4-x)2+42,解得x =5+1,∴Rt △BEF 中,tan ∠BEF =BF BE =1+52.第3题解图4.1255 【解析】由题意得:DF =DB ,第4题解图∴点F 在以D 为圆心,BD 为半径的圆上,作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F ,此时AF 值最小,∵点D 是边BC 的中点,∴CD =BD =3;而AC =4,由勾股定理得:AD 2=AC 2+CD 2,∴AD =5,而FD =3,∴FA =5-3=2,即线段AF 长的最小值是2,连接BF ,过F 作FH ⊥BC 于H ,∵∠ACB =90°,∴FH ∥AC ,∴△DFH ∽△DAC ,∴DF AD =DH CD =HF AC ,即35=DH 3=HF 4,∴HF =125,DH =95,∴BH =245,∴BF =BH 2+HF 2=1255.欢迎您的下载,资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等打造全网一站式需求。