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平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
《平方根》PPT(第1课时)
+2 4
-2
4
+2
-2
+3 9
-3
9
+
-3
底
x2
指数
根号
a
被开
数
a=x2
x a
方数
a为x的平方 x为a的平方根
幂（x的平方）
a的平方根
平方运算与开平方运算互为逆运算.
典例精析
例 小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同 的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
解：设每块地砖的边长为x米，
由题意得：
x2
10.8
0.09, x
120
0.09 0.3.
答：每块的地砖的边长是0.3米.
当堂练习
1.下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没 有，说明理由.
（1）64；
（2）6 1 ;
4
（3）0；
（4）
2 3
2
；
（5） 16 .
25
解： （1）有平方根，±8；
（2）有平方根，± 2 ； 5
负数有平方根吗？因为正、负、0的平方都不是负数，所以 负数没有平方根. 如：-81无意义.
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
二 开平方运算
开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
平方
开平方
+1 1
-1
1
+1
-1
问题2 根据上面的研究过程填表：
x2
1
16
36
49
4 25
x
1 4 6 7
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
《平方根》ppt课件
一般地，如果一个数x的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 a的一个平方根是3，则另一个平方根 9 。 是 -3 ，a= 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） − 4 2 （3） (−3) （4） ) ( −3
合起来，一个正数a的平方根就用“± a”表示， （读作“正、负根号a”）。
平方根与算术平方根的联系与区别： 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系 具有包含关系:平方根包含算术平方根， （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种。 平方根是平方根的一种。 存在条件相同： （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非 负性 的平方根和算术平方根都是0 （3） 0的平方根和算术平方根都是0。 区别 定义不同： 如果一个数 的平方等于a 一个数X （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那 么这个数X叫做a的平方根” 如果一个正数 么这个数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等 a,即 =a,那么这个正数 叫做a的算术平方根” 于a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 个数不同：一个正数有两个平方根， 有两个平方根 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数 的算术平方根只有一个 只有一个。 的算术平方根只有一个。 表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ a， 而正数a的平方根表示为± 而意义及表示方法。 掌握平方根的意义及表示方法。 2 能够求一个数的平方根。理解开平方运 能够求一个数的平方根。 算与乘方运算之间的互逆关系。 算与乘方运算之间的互逆关系。 3 掌握平方根的性质并能加以运用。 掌握平方根的性质并能加以运用。 4 明确平方根与算术平方根的区别和联系。 明确平方根与算术平方根的区别和联系。 重点：平方根的意义和求数的平方根。 重点：平方根的意义和求数的平方根。 难点：平方根与算术平方根的区别及联系。 难点：平方根与算术平方根的区别及联系。
平方根(算术平方根)ppt课件
0.09=0.32= 0.3(m ) 30(cm )
答 ： 每 块 地 砖 的 边 长 是 3 0 c m .
7、填空：
一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的___2__倍；
面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的___3__倍；
面积变为原来的100倍，它的边长变为原来的__1_0__倍；
4.2 平方根
--算术平方根
学习目标：
1、理解算术平方根的概念，会用根号表示一 个数的算术平方根。
2、能熟练求一个非负数的算术平方根。并能 运用算术平方根的定义解决实际问题。
可编辑课件PPT
1
问题
观察如右的螺形图， 填空：
x2=___2 ___ y2=___3 ___ z2=___4 ___ w2=__5____
x,y,z,w,z中哪些是有理数？哪些是无理数？
可编辑课件PPT
2
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
记为 a 读作“根号a”，a叫做被开放数.
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 0 =0.
可编辑课件PPT
3
应用举例
例1 求下列各数的算术平方根：
探究 ： a （表示a的算术平方根）
双重非负性：a≥0, a ≥0
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数 不存在算术平方根，即当 a<0时， a 无意义。
一个非负数的算术平方根永可编远辑课件是PPT 非负数，即 a ≧0 9
自学检测2:
1、下列各式中无意义的是（ D ）
A.- 5
B. ( 1 ) 2 C. 0
1 0.09
3
解：81= 92=9
《平方根》PPT课件
第六章 实数
6.1.3 平方根
判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们 的算术平方根。
9 100；1 6 ；0.25 ; 0 ； －25； 9 ；
解：因为102 100 ，所以100的算术平方根是10，即 100 10
因为
3 4
2
的算术平方根是 4 ，即
9 16
(1)100
9
(2) 16
(3) 0.25
9
100 16
3
算术平方根 10 4
平方根
10
3 4
0.25
0.5
0.5
0 -2 -3 5
0 没有 没有 5 0 没有 没有 5
7 a（a 0）
7
a
7 a
观察这个表格，你发现平方根有什么特点呢？
6．例题解析
例5 说出下列各式的意义，并求 它们的值：
• 32 =__9__
• 3² =__9__
• 42=__1_6_
• 4² =__1_6_
• 52 =__2_5_
• 5² =_2_5__
32= 9
42=16
∵（±3）²=9 ∴±3是9的平方 根，也可以说9的
平方根是±3
52=25
可逆
平方运算
开平方运算
3．例题解析
例1 求下列各数的平方根:
（1）81x2 49 0 ；（2）49x2 1 50
解:(1)原方程变形为x2 49，所以
(2)原方程变形为
x2
81
1
50
,
x2
x 49 7
1
81
, 所以x
9
1
49 49
7
（1） 36 ； （2） 0.81； （3） 49 ． 9
6.1.3 平方根
判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们 的算术平方根。
9 100；1 6 ；0.25 ; 0 ； －25； 9 ；
解：因为102 100 ，所以100的算术平方根是10，即 100 10
因为
3 4
2
的算术平方根是 4 ，即
9 16
(1)100
9
(2) 16
(3) 0.25
9
100 16
3
算术平方根 10 4
平方根
10
3 4
0.25
0.5
0.5
0 -2 -3 5
0 没有 没有 5 0 没有 没有 5
7 a（a 0）
7
a
7 a
观察这个表格，你发现平方根有什么特点呢？
6．例题解析
例5 说出下列各式的意义，并求 它们的值：
• 32 =__9__
• 3² =__9__
• 42=__1_6_
• 4² =__1_6_
• 52 =__2_5_
• 5² =_2_5__
32= 9
42=16
∵（±3）²=9 ∴±3是9的平方 根，也可以说9的
平方根是±3
52=25
可逆
平方运算
开平方运算
3．例题解析
例1 求下列各数的平方根:
（1）81x2 49 0 ；（2）49x2 1 50
解:(1)原方程变形为x2 49，所以
(2)原方程变形为
x2
81
1
50
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x2
x 49 7
1
81
, 所以x
9
1
49 49
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（1） 36 ； （2） 0.81； （3） 49 ． 9
《平方根》精品ppt课件4共22页
《平方根》精品ppt课件4
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
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、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
《平方根》完整版PPT5
而< < ，
2. 估计 17 在 而 < < ，
所以大正方形的边长是 dm. (2)因为6>4，所以 > 2，所以
> =1.
(C)
估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
A. 2～3之间 B. 3～4之间 被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值。
如设图大， 正把方两形个的小边正长方为形x d沿m对，角则线x 2剪=开2. ，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形.
C.在3和4之间 (举1)例说与明；如何估算算术平方根的大小．
设例n1：为估正算整数，-且2的n<值 ( <n) ＋1，则n的值为( ) (理2)解因被为开6>方4，数所扩以大（或> 缩2，小所）以与它的>算术平=方1. 根扩大（或缩小）的规律。
课堂小结
1.被开方数增大或缩小用夹值的方法来求出算术平 方根的近似值。 2.利用计算器求任意正数的算术平方根的近似值。 3.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环 的小数。
谢谢观看
你是怎样判断出 2 大于1而小于2的？
因为 12 1 ，22 4 ，
而 1 < 2 <4 ，
所以 1 2 2．
2 大于1而小于2
你能不能得到 2 的更精确的范围？
探究新知 因为1.42 1.96,1.52zxxkw 2.25,1.96 2 2.25, 1.4 2 1.5; 因为1.412 1.988 1,1.422 2.016 4,1.988 1 2 2.016 4， 1.41 2 1.42;
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填空：32来自=( 9 )2
(－3 ) = ( 9 ) 1 2 1 (2 ) =( 4 ) 1 1 2 (－ ) =( 4 ) 2 2 0 =( 0 ) 什么叫乘方？什么叫幂？
( ±3 ) = 9
2
1 2 1 (± ) = 4 2 2 ( 0 ) =0
( ) =－4 不存在
2
已知底数、指数，求幂。 已知幂、指数，求底数。
再 见!
（2）∵ （0.3） = 0.09
（A）0.09 是 0.3的平方根.
（ C （B）0.09是0.3的3倍.
2
∴
）
（C）0.3 是0.09 的平方根.
拓展延伸
计算：
（1）（ 64 ）
2
（2）（ 100 2 ） 问: 当a是正数时，（ a )2 等于多少？
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 2.本节主要学习了:①平方根的概念； ②平方 根的性质：一个正数有两个平方根，它们互 为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根； ③平方根的表示方法；④求一个数的平方根 的运算—开平方，应分清平方运算与开平方 运算的区别与联系. 3.算术平方根的定义及表示方法
自学课本90至91页回答下列问题
• • • •
1.什么是算术平方根？ 2.算术平方根的表示方法及读法？ 3.算术平方根式中所有名称？ 4.字母的取值范围和算术平方根的取值范 围？ • 5.举例说明？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 那么这个正数x叫做a的算术平方根。 算术平方根的表示方法、读法
a的负平方根，用“ a”表示，（读作“负根号a”）。
合起来，一个正数a的平方根就用“ a”表示，（读作“正、负根号a”）。
例1 求下列各数的平方根
(1) ９
(2) 0
( ) 0.36 ３
(4)-16
请同学们概括一个数的平方根的性质：
得出：
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.零有一个平方根，它是零本身； 3.负数没有平方根。
，
根号
a
（a是非负数, a 也是
被开方数
非负数，这是算术平方根的双重非负性。）
一个正数a的算术平方根，用“ a”表示，（读作“根号a”）。
试一试
1.求下列各数的算术平方根:
(1) 100;
(2) 1;
(3) 0;
(4）-4
通过以上计算你能说出算术平方根的性质吗？
1.正数的算术平方根是一个正数;
2.0的算术平方根是0；
乘方运算
乘方的逆运算 开方运算
:
通过上面讨论并自学课本92页
回答下列问题
1.什么是平方根？
2.平方根的表示方法、读法 3.算术平方根式中所有名称？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 那么这个数x叫做a的平方根。（也叫二次方根） 平方根的表示方法、读法
，
根号
a
被开方数
（a是非负数）
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，（读作“根号a”）。
一等二靠三落空 一想二干三成功
初二数学
你能解决下列问题吗 ？
7米
7米
？
x
100米2
（图一）
（图二）
（1）图一的正方形的面积为＿＿＿＿＿； 72=49
X2=100 （2）图二的正方形的边长为＿＿＿＿＿；
（3）如果有一个正方形的面积为10平方米，那么
它的边长y是多少呢？
算术平方根 和平方根
学习目标
• 1.掌握平方根与算术平方根的概念，能及 时通过开方运算求一个非负数的平方根及 算术平方根，理解平方与开平方互为逆运 算。 • 2.通过对算术平方根和平方根概念及性质 的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学 思想方法，提高数学探究能力和归纳表达 能力 。 • 鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过 程，激发学生求知的欲望，增加学生学习 数学的兴趣与信心。
3.负数没有算术平方根。
练一练
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。 （1）±12 , （3）10
2
144
4
，10
是 是
（2）±0.2 , 0.04 是 （4）14 ，256
不是
2、选择题 （A）0.1
（1） 0.01的平方根是 （ B ） （B）±0.1 （C）0.0001 （D）±0.0001
达标题
1. 判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( × )
（2）49的平方根是7 ；
2
( （
× ) ）
（3）（－2） 的平方根是±2 ；（ √
（4）若X = 16
2
则X = 4
× ）
3 2、⑴9的算术平方根是＿＿ 10 ⑵10的算术平方根是＿＿
3、 问：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没 有，说明为什么 ？