输流管道非线性流固耦合振动的数学建模_张立翔

∫ ∫
′ ′ 2 ′ 2 -f Y ′ -2 - ( 1+ [Y′ (Y′ Y″ ) ]+ 2 U v ( 1+ Y ) + v f Y″ Y )
a
+ U vf ( 1 - a ) Y″ ( 1+
3 -′ 2 -2 - Y )+ Y″ ( 2 U Y′ Y″ + v f Y′ Y″ + 2 1
1
∫
1 ′ 2 - 2 co sK -f( 4a ) U vf Y ) da= a K 2
″ ″ ″ ″ 2
( 2b)
mu - E Ap u″ - ( E Ap - T 0 ) w′ w = 0 ( 2c) 式中 , T0为作用在管道轴向的外力 ; X z 为轴向应变。 该方程最为明显的假设是: ① 运动不受重 力影响 ; ② 流动为定常 ; ③ 弯矩与曲率为线性关系。 显然 , 难以反映系统的真实的运动状态 。 [3 ] Paidoussi s a nd Issid 综合了当时的几种模型 , 得到曾被广泛用于研究非线性动力系统稳 定性的方程: * ″ ″ ″ ″ 2 E I w + E Iw + { m f v f - T + p Af ( 1 - 2 g W ) - ( m g - m f v f ) ( L - z ) } w″ + 2 m f v f w′ + m gw′ + Ek w + Cd w + m w = 0 ( 3) 式中 , E 为包含管壁材料 Kelvin -Voig t 阻尼的弹性模量 ; Ek 为地基变形模量 ; Cd为管壁材料 粘性阻尼系数 ; L 为管长 ; z 为沿管轴的坐标 ; g 为 Poisso n 比 ; W 为取 0 或 1,代表管端不可滑 动或可滑动。 [4 ] Semler -Li -Pai doussi s 利用中线不可伸长理论导出比方程 ( 3) 更为完善的分析模型: 1 ′ 2 Y 2 ) + Y″ [m f v 2 f ( 1+ Y′ ) m Y + 2m f v f Y′ ( 1+ Y′2 ) + mg Y′ ( 1+ 2
″ ″
″ ″
′ 2
″ ″
″ 3
张立翔等 : 输流管道非线性流固耦合振动的数学建模
119 ( 6b)
连续方程 : ( p A f )′+ m f c2 F ( v′ f - 2 g u′ )= 0 动量方程 : ( p A f )′+ m f ( g w w′ + gz + v f + v f v′ f + f vf | v f| )= 0 2D
张立翔等 : 输流管道非线性流固耦合振动的数学建模
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位移 ; “′ ” 代表对坐标的导数 ; 变量头上的 “· ” 代表对时间的导数。 Bo urri eres 方程假设: ① 中线不可伸长 ; ② 管道的径向刚度为无穷大 ; ③ 流体的流动是定常的 ; ④ 轴向位移和横向位 移对振动的贡献相同 , 具有一种 “对称 ”特性 ; ⑤ 重力不影响流动 ; ⑥ 管内压力沿程不变 ; ⑦ 流 动和管道运动无耦合 ; ⑧ 不考虑流体的粘性。 Bourrieres 的模型在一定程度上反映了输流管道 的运动特性 , 但这项成果由于第二次世界大战的影响而未引起人们的重视 ,直至 1973 年才被 再次发现 。 在此之前 , Ashley & Havi la nd[ 1] 为研究横跨 Arabi an 海的输油管道的振动问题重复 了 Bourrieres 的工作。 T hurm an and M ot e[ 2] 导出了考虑管道轴线可伸长的非线性动力模型 , 即: T0 1+ X z = + ( 1+ u′ ) 2 + w′2 ( 2a ) EA p m w + 2m f v f w′ + E Iw - ( T 0 - m f v f ) 3 ′2 ″ ″ ″ ″ ″ ″ - ( EA p - T0 ) ( 2 w w + u′ w + u w′ )= 0
文章编号 : 1000-4874( 2000) 01-011613
输流管道非线性流固耦合振动的数学建模
张立翔 , 黄文虎
(哈尔滨工业大学 137 信箱 , 哈尔滨 150001)
⒇
摘 要 本文利用 Hamilto n 变分原理和变形体内流体运动的 N -S 方程建立了描述输流管道 非线性流固耦合振动的控 制方程 ,形成 描述弱约束管道 , 输送可压缩 流体 、具有定 常或非定常流动 状态系统的非线性 4方程模型 。模型全面考虑了管道中流体的喘振特性 , 并包括了各种耦合机理 。 通过对现有代表性模型的讨论和比较可以看 出 ,本文导出的全耦合 4方程模型是 目前较完善的描 述输流管道流固耦合运动的非线性动力模型 。 关 键 词 管道 ; 流体结构相互作用 ; 喘振 ; 非线性振动 中图分类号 O 353. 1 文献标识码 : A
0
∫
′ 2
1 ′ 2 ′ 2 ′ - Y″ ( 2 m f v f Y + 2m f v f Y Y′ + m f v f Y Y″ ) ds = 0 s
2 2
∫
( 4)
该模型中 , 积分元 ds 为曲线 , 即存在 ds = ( dX ) + ( d Y ) 的关系。但作者在对 Hamil to n 变 [5 ] 分作分部积分时 , 忽略了这一关系 ,将曲线积分元下的曲线积分当作普通积分处理。 Semler 等对上述模型作了改进 ,在方程中增加了 Kelvi n-Voig t 阻尼项 。还可注意到 , Sem ler 的模型与
DOI : 10. 16076 /j . cnki . cjhd. 2000. 01. 014
A辑第 15 卷第 1 期 2000年 3月
水 动 力 学 研 究 与 进 展 Ser. A, V o l. 15, N o. 1
M ar. , 2000 JOU RN AL O F HYDRODYN AM ICS
( 6c) ( 6d)
式中 , Af 为过流面积 ; g w为重力加速度在位移方向上的分量 ; f 为摩擦系数 ; D 为管道直 径 ; cF 为压力波动速度。这是第一个描述流固耦合运动的非线性模型 ,但可以注意到 ,该模型中 管道轴向和横向运动间无耦合 , 并且遗漏了较多的已被证实对系统非线性动力学行为有重要 影响的项 ,是一个十分简化的模型。 本文利用 Hami lt on 变化原理和变形体内流体运动的 N -S 方程建立了输流管道非线性全 耦合动力模型 ,该模型与目前唯一的 Lee-Pak-Ho ng 模型相比 , 作了许多的改进。
a
1 -jf - 1 | vf + (T j| v + U
1- 1 -′2 ′ 2 v f ) v f = - U [Y Y′- ( 1 Y ) ] [ ( Y′ Y′ + Y ) da]da 2 2 0 0
1
∫
∫
- 2 sin -f + U a K K Y′ da
0
∫
( 4b)
式中 , U为质量比 ; T j 为与流体粘性摩擦相关的系数 ; j = 1 为层流摩擦系数 ; j = 2为紊流摩擦 系数。 该模型沿用了 Semler 等的思路 , 但增加了流体粘性对系统的影响 , 并考虑管道支座简谐 运动对系统的激励作用。方程推导过程中 , 为了简化处理 , 作者采用了这样的假设: u = v f 。即 认为管道轴向运动的速度等于流体的流速 ! 这一假设显得过于牵强。 [4 ] Semler-Li -Pai doussi s 利用 Hami lt on 变分导出了目前较为全面的非线性动力模型 : 2 mu + m f v f + 2m f v f u′ + m f v f u″ + m f v f u′
⒇
Байду номын сангаас
收稿日期 : 199907-13 基金项目 : 云南省自然科学基金资助项目 ( 97E0003G) ; 水利部重点水利科技项目 ( SZ9830) 作者简介 : 张立翔 ( 1959 ～ ) ,男 , 教授 ,博士 , 博导 ; 黄文虎 ( 1926～ ) , 男 ,教授 , 博导 ,院士 。
*
+ ( m f v f ) - gm ( L - s ) ( 1+
L L
3 Y′2 ) ] + E I [Y″ ″ 2 ( 1+ Y′ ) + 4Y′ Y″ Y + Y″3 ] 2
L
- Y
m( Y ∫ ∫
″ s 0 L
′ 2
+ Y′ Y′ ) dsds + Y′m ( Y + Y′ Y′ ) ds
1 前言
流体喘振是绝大多数工业管道中一种不可避免的非定常流动现象。对于弱约束管道 ,流体 的喘振会激励管道的剧烈振动 , 管道的振动又加剧流体的喘振 , 二者间的这种自激振动构成一 个具有强烈耦合效应的非线性动力学系统 , 是近 50 年来管道流体力学 、非线性动力学领域研 究的热点。 1939 年 , Bo urri eres 研究了输流管道的动力稳定问题 , 导出了第一个描述输流管道的动力 方程: 2 ′ m u + 2m f v f u′ + mfv2 f u″ - EI ( u′ w′ w ′+ u′ w″ w - u w′ w″- w′ u ) - ( pu′ ) - 2EA P u′ u″ = 0
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水 动 力 学 研 究 与 进 展 2000年第 1期
[6 ] Rousselet & Her rmann 的模型十分类似。事实上 , Sem ler 仅仅是改正了 Roussel t-Herrma nn 模型推导中的数学处理的不妥之处。 [7 ] Jensen 用 Hami lt on 变分导出了一个考虑支座扰动的分析模型 (无量纲形式 ): aa ″ ″ Y+ Y + ′ 2 ′ [Y′ ( Y + Y′ Y′ ) da da ]+ 10
″ - EA p u″ - E I ( w′ w″ + w″w )
+ ( T0 - P 0 - EA ) w′ w″- mg = 0
″ m w + m f v f w′ + 2 m f v f w′ + mfv2 f w″ - ( T 0 - P 0 ) w″ + EI w″
( 5a )
- EI ( 3u w″ + 4 ″ w + 2u′ w + w′ u + 2w w + 8w′ w″ w + 2w ) 3 w′2w″ )= 0 ( 5b) 2 该 模型考 虑了管道初始轴 向应变和压力 引起的 “ 刚化 ”效 应对系统 运动的影 响 , 但未 考虑 Poi sson 效应、流体粘性耗能及流体压力势能对系统泛函的贡献 , 也未考虑管道振动对流体喘 振的影响。 [ 8_ 11] 上述几个典型的模型 , 在建模方面代表了两种不同的理论 : 中线可伸长理论 和中 线不可伸长理论。 我们注意到 , 几乎所有的模型均是从管道的角度建模 , 即建模中考虑了流体 喘振对管道的影响 , 但未考虑管道振动对流体运动状态的影响 。 [17 ] Lee-Pak-Ho ng 提出描述输流管道非线性流固耦合运动的 4方程模型: ′ 轴向: E Ap u″ - ( p A f ) - m f ( v f + v f v′ f ) - mgz - m p v = 0 ( 6a ) + ( T 0 - P 0 - E Ap ) ( u″ w′ + u′ w″ + 横向: EI w ′+ ( p A f w′ )′+ m f ( v f w′ + 2v f w′ + v2 f w″ + v f v′ f w′ ) + m gw - m w = 0
2 m w + 2m f v f w′ + mf v2 f w″ - E I ( u′ w ′+ u′ u″ w - u″ w′ w″ - u′ w′ u ′)
- ( pw′ ) - 2E AP w′ w″ = 0 ( 1a , b) 式中 , A p 为管道断面积 ; E 为弹性模量 ; I 为管道截面惯性矩 ; m 为单位长度管道 + 流体的质 量 ; m f 为单位长度管道内流体的质量 ; p 为压力 ; v f 为流速 ; u 为管道轴向位移 ; w 为管道横向