高中数学第一章1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(2)课件新人教B版必修4
第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
π 求函数y＝tan2x－3 的单调区间．
π π x在x∈－2＋kπ，2＋kπ
1.3.2（二）
跟踪训练2
解 ∵y＝tan
本 课 时 栏 目 开 关
(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即－ ＋ <x< ＋ ，k∈Z. 12 2 12 2
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.2（二）
1＋tan x≠0， 只需 π x≠2＋kπ
(k∈Z)．
∴函数的定义域为 π π x|x∈R，x≠kπ＋ 且x≠kπ－ ，k∈Z. 2 4 (2)由 3－tan x>0，得tan x< 3. π π 根据正切函数图象，得－ ＋kπ<x< ＋kπ (k∈Z)， 2 3 π π x|－ ＋kπ<x< ＋kπ，k∈Z. ∴函数的定义域是 2 3
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跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280° )与tan 1 680° ； (2)tan 1，tan 2，tan 3.
本 课 时 栏 目 开 关1. Nhomakorabea.2（二）
解 (1)∵tan(－1 280° )＝tan(－4×360° ＋160° ) ＝tan(180° －20° )＝tan(－20° )， tan 1 680° ＝tan(4×360° ＋240° ) ＝tan(180° ＋60° )＝tan 60° ，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（二）
(3)正切函数的奇偶性： 从正切函数的图象来看， 正切曲线关于 原点 对称； 从诱导公式
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：第一单元 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
函数的性质和有界性求最值.
跟踪训练 2
求实数a的值.
已知函数
π π 2 x ＋ 0 ， y＝acos ＋3，x∈ 的最大值为 3 2
4，
解
当
π π 4π π π 1 ∵x∈0，2，∴2x＋3∈3， 3 ，∴－1≤cos2x＋ ≤ . 3 2
最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.
答案
思考3
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
π π [－ ＋2kπ， ＋2kπ](k∈Z) 2 2 在_______________________ π 单调性 [ ＋2kπ， 2 上单调递增；在___________ 3π ＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 2
最值
π 在 x＝2＋2kπ (k∈Z) 时，ymax 在 x＝2kπ (k∈Z) 时，ymax＝1； π 在 x＝π＋2kπ (k∈Z) 时，ymin ＝1； 在 x＝－2＋2kπ (k∈Z) 时， ＝－1 ymin＝－1
类型二 余弦函数的值域或最值
例2 求函数 y＝3cos2x－4cos
π 2π x＋1，x∈3， 3 的值域.
解
y＝3cos x－4cos
2
x＋1＝3 cos
1 1 x∈－2，2.
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
7
[预习导引] 函数y＝tan x的性质与图象见下表(表中k∈Z)
y＝tan x
图象
定义域
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋2}
8
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
值域 周期
R 最小正周期为 π 奇函数
奇偶性 单调性 对称性 在开区间
π π kπ－ ，kπ＋ 2 2 kπ 对称中心： ，0 2
k∈Z.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
15
(2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
解
∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0，
π π 显然－2<2－π<3－π<1<2，
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
14
要点二
例
正切函数的单调性及应用
解
1 π 2 (1)求函数 y＝tan－2x＋4的单调区间； 1 1 π π y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
π 1 π π 由 kπ－2<2x－4<kπ＋2，k∈Z， π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π，k∈Z， 1 π π 3 ∴ 函数 y ＝ tan －2x＋4 的单调递减区间是 2kπ－2，2kπ＋2π ，
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
(完整版)高中数学各章节内容
第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。
1.3.2余弦、正切函数的图象与性质
π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
张喜林制1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质教材知识检索考点知识清单1．把正弦函数x y s i n =的图象 个单位就得到余弦函数的图象．用“五点法”作]2,0[,cos π∈=x x y 的图象，五点坐标为2．余弦函数的定义城是 ，值域是 ，周期是 ，奇偶性是 函数，单调增区间是 ，单调减区间是 3．一般地，函数,)(cos(R x x A y ∈+=ϕω其中ϕω、、A 为常数且)0,0>=/ωA 的周期为 4．正切函数x y tan =的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，单调区间是 ，单调性是 函数，奇偶性是 函数．)tan(5ϕω+=⋅x A y 的最小正周期为要点核心解读1．余弦函数的图象),)(2sin(cos R x x x y ∈+==π由此可知，余弦函数x y cos =图象与正弦函数=y )2(π+x n 的图象形状相同．于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象．余弦函数x y cos =的图象叫做余弦曲线．由图1-3 -2 -1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：⋅-)1,2()023(1)0,2).(1,0(ππππ、、）、、（我们可利用这5个点画出余弦函数的简图． 2．余弦函数的性质(1)余弦函数的定义域与值域．余弦函数的定义域为R ，值域从图象上可以看出是[ -1，1]． (2)余弦函数的周期性．①余弦函数的周期可参照诱导公式：x k x cos )2cos(=+π),(z k ∈因而周期是⋅=/∈)0(2k Z k k 且π 最小正周期是2π .②一般地，函数ϕωϕω、、A x A y <+=)cos(为常数且,0=/A )0>ω的最小正周期为⋅=ωπ2T(3)余弦函数的奇偶性，①由图象可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数． ②也可由诱导公式x x cos )cos(=-知，余弦函数为偶函数， (4)余弦函数的单调性．由余弦曲线可以知道：余弦函数x y cos =在每一个闭区间)](2,)12[(z k k k ∈-ππ上，都从-1增大到1，是增函数，在每一个闭区间)]()12(,2[Z k k k ∈+ππ上，都从1减小到-1，是减函数，也就是说，余弦函数R x x y ∈=,cos 的单调区间是]2,)12[(ππk k -及).]()12(,2[Z k k k ∈+ππ3．正切函数的性质正切函数x y tan =有以下主要性质： (1)定义域：},2|{z k k x x ∈+=/ππ(2)值域：从图1-3 -2 -2的正切线可以看出，在区间)2,2(ππ-内，当x 小于,2π并且无限接近2π时，x tan 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况记作.tan +∞→x 读作x tan *趋向于正无穷大”；当戈大于,2π-并且无限接近2π-时，x tan 无限减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作.tan -∞→x 读作x tan 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数x y tan =的值域是实数集R ．(3)周期性：周期是π．(4)奇偶性：由,tan )tan(x x -=-知正切函数是奇函数，它的图象关于原点成中心对称． (5)单调性：正切函数在每一个开区间)2,2(ππππk k ++-)(z k ∈内都是增函数．4．正切函数的图象用单位圆上的正切线来作正切函数x y tan =在开区间)2,2(ππ-内的图象（如图1-3 -2 -3）．由诱导公式,,2,,tan )tan(z k k x R x x x ∈+=/∈=+πππ且知道正切函数是周期函数，并且π是它的一个周期，又可证明π是它的最小正周期．根据正切函数的周期性，我们可把图象向左、向右连续平移，得出z k k k x x y ∈++-∈=),2,2(,tan ππππ的图象正切曲线（如图1-3 -2 -4），可以看出，正切曲线是由通过点))(0,2(z k k ∈+ππ且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的．典例分类剖析考点1图象及其应用命题规律(1)作图象并研究其性质．(2)借助图象解三角不等式．[例1] 画出函数x x y tan |tan |+=的图象，并指出定义域、值域、最小正周期和单调区间． [解析] 先根据绝对值定义去掉绝对值符号，再作图象，)(),2,[,tan 2],,2(,0tan |tan |z k k k x x k k x x x y ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∈-∈=+=ππππππ故可作如图1-3 -2 -5所示的图象，由图象可知，定义域为R x x ∈|{且},,2z k k x ∈+=/ππ值域为),,0[+∞周期,π=T 单调增区间为+ππk k ,[).)(2z k ∈π1．根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集：;1tan )1(-≥x .12tan )2(-≤x考点2定义域问题 命题规律求含有x x tan cos 的函数的定义域． [例2] 求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=;tan 11)2(x y += .tan 3)3(x y -=[解析] (1)要使函数有意义，则有,21cos ,0cos 21≤≥-x x 则其定义域为⋅∈+≤≤+},35232|{z k k x k x ππππ (2)要使函数x y tan 11+=有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅∈+=/=/+)(2,0tan 1z k k x x ππ即,4ππ-=/k x 且⋅∈+=/)(2z k k x ππ 所以函数的定义域为,|{R x x ∈且⋅∈+=/-=/},2,4z k k x k x ππππ,3tan ,0tan 3)3(≤∴≥-x x⋅∈+≤<-∴)(32z k k x k ππππ∴ 其定义域为⋅∈+≤<-},32|{z k k x k x ππππ2．求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=⋅-+=)tan 1lg(tan )2(x x y考点3单调性问题 命题规律(1)求单调区间．(2)比较大小．[例3] (1)求x y 2cos =的单调区间．(2)比较 138tan 与o 143tan 的大小． [解析] (1)函数x y 2cos =的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定⋅∈+≤≤∈≤≤-)(222),(222z k k x k z k k x k ππππππ⋅∈+≤≤∈≤≤-∴)(2),(2z k k x k z k k x k ππππππ∴ 函数x y 2c o s =的单调递增区间、单调递减区间分别为⋅∈+∈-)](2,[)](,2[z k k k z k k k N ππππππ,27014313890)2( <<<而x y tan =在,90( ∈x )270o 上是增函数，.143tan 138tan <∴[点拨] (1)形如)tan(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中)0,0>=/ωA 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把”“)0(>+ωϕωx 视为一个“整体”；)0(0<>A A ②时，所列不等式的方向与=y )(cos ).(tan R x x y R x x ∈=∈的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．如，函数)12cos(+-=x y 的递减区间可以由不等式)(2122z k k x k ∈≤+≤-πππ确定． 课本上研究x y cos =的单调区间为++ππππk k k 2[],2,2[⋅∈+)](22,z k k πππ(2)利用三角函数的单调性进行三角函数的大小比较，一般来说有以下两种情况：①比较同名三角函数值的大小，首先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数，运用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小．②比较不同名的三角函数的大小时，应先运用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性，或数形结合或用三角函数图象作比较． 3．(1)求下列函数的单调区间：);46tan(3;cos 1x y x y -=-=π②①⋅∈=/+=),2)(22tan(z k k x x y ππ③ (2)比较下列各数的大小．⋅--)815cot(),76cot(,513tan ,56tanππππ 考点4周期性与奇偶性 命题规律(1)求给定函数的周期．(2)判断给定函数的奇偶性． [例4] (1)函数)0(cos=/=ab x aby 的周期为(2)函数x x x y cos 2tan +⋅=为____（填“奇”或“偶”）函数．[解析] .|2|||2)1(ππb aab T ==(2)函数定义域},42|{z k k x x ∈+=/ππ关于原点对称， 又)cos()2tan()(x x x x f -+-⋅-=-⋅=+⋅⋅=)(cos 2tan x f x x x∴ 此函数为偶函数． [答案] π|2|)1(ba(2)偶 4．（1)函数)33ta n(π+=ax y 的周期为,2π则a 的值为 (2)判断函数xxx y tan 1cos tan 2--=的奇偶性．(3)判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：;,2cos 3R x x y ∈=① .|tan |x y =②考点5值域与最值命题规律求含有x x tan cos ≡的函数式的值域或最值． [例5] (1)求1tan 4tan 2-+=x x y 的值域； (2)若)23tan(],3,6[x k y x -+=∈πππ的值总不大于零，求实数后的取值范围， [解析] (1)设,tan x t =则转化为关于t 的二次函数求最值(2)由0≤y 得),23tan(x k --≤π因此，只要求出)23tan(x -π的范围即可．[答案] (1)设,55)2(14,tan 221-≥-+=-+==t t t Jy x t λ1tan 4tan 2-+=∴x x y 的值域为).,5[+∞-(2)由,0)23tan(≤-+=x k y π得⋅-=--≤)32tan()23tan(ππx x k⋅∈-∴∈]3,0[32],3,6[ππππx x由正切函数的单调性得.3)32tan(0≤-≤πx∴ 要使)32tan(π-≤x k 恒成立，只要0≤k 即可，即k 的取值范围为].0,(-∞[点拨] (1)与二次函数有关的三角问题，常常使用“换元法”． (2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”，5.（1） 求函数1tan tan 1tan tan 22+++-=x x x x y 的最大值与最小值．(2)如果函数)0(cos 1>-=b x b a y 的最大值是,23最小值是,21-求函数bx a y 3sin 42-=的最大值．优化分层测训学业水平测试)252cos(1π+=⋅x y 的一条对称轴为( )． 0.=x A 4.π=x B 8.π=x C 83.π=x D 2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是( )．2.π=x A 2.π-=x B 4.π=x C 8.π=x D3．下列点中，能成为函数R x x y ∈+=)(5tan(π且,103ππ+=/k x )z k ∈的一个对称中心的是( )． )0,0(⋅A )0,5.(πB )0,54.(πC )0,.(πD4．将x y cos =的图象向____平移____个单位得到=y )3cos(π-x 的图象．5．直线m m y <=为常数）与函数)0(tan >=ωωx y 的图象相交且相邻两交点间的距离为2π ，则=ω6．利用五点法作出下列函数的简图（只作一个周期长度）：;cos 1)1(x y +=).62cos(3)2(π-=x y高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分） 1．要得到函数)621cos(π+=x y 的图象，可将x y cos =的图象( )． A ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 B ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移⋅3π个单位C ．向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍D ．向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍2．（2009年广东高考题）函数1)4(cos 22--=πx y 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 3．（2009年全国高考题）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为( )．6π⋅A 4π⋅B 3π⋅C 2π⋅D4．（2009年四川高考题）已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )．A ．函数)(xf 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数5．（2009年江西高考题）函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为( )．π2.A 23.πB π.C 2π⋅D 6．（2008年浙江高考题）在同一平面直角坐标系中，函数=y ])2,0[)(232cos(ππ∈+x x 的图象和直线21=y 的交点个数是( )．0.A 1.B 2.C 4.D )tan(sin 7x y =⋅的值域为( )．]4,4.[ππ-A ]22,22.[-B ]1tan ,1tan .[-c D ．以上均不对 8．（2011年山东理）函数x xy sin 22-=的图象大致是( )．二、填空题（5分×4 =20分） 9．函数)42tan(π-=x y 的单调递增区间是10．已知函数)2tan()(φ+=x x f 的图象的一个对称中心为),0,3(π若,2||πϕ<则P 的值为11.给出下列命题：①函数x y sin =在第一、四象限都是增函数； ②函数)cos(ϕω+=x y 的最小正周期为;2ωπ③函数)2732sin(π+=x y 是偶函数； ④函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到)42sin(.π+=x y 的图象，其中正确的命题的序号是12．（2010年福建高考题）已知函数>-=<ωπω)(6sin(3)x x f )0和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的对称轴完全相同，,0[∈x ],2π则)(x f 的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分） 13.求下列函数的定义域：;)sin(cos )1(x y = .lgcos 36)2(2x x y +-=11 / 1114．已知函数b x a y += cos 的最大值为1，最小值为-3，求)3tan()(π+=ax b x f 的单调区间．15.（2010年广东高考题）已知函数,0)3sin()(><+=A x A x f ϕ)0),,(πϕ<<+∞-∞∈x 在12π=x 时取得最大值4．(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的解析式．16.（2011年北京理）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f (1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值，。
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
函数值由－1增大到1； 当x∈ [2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z 时，余弦函数y＝cos x是减函数， 函数值由1减小到－1. 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有： 当且仅当x＝ 2kπ，k∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x＝ (2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1.
π x x π y＝3cos3－2＝3cos2－3.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
小结 确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的 基本思想是整体换元思想．即将 ωx＋φ 看作一个整体，利用基
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π x y＝3cos3－2的单调递增区间．
1.3.2（一）
解
x π 由 2kπ－π≤2－3≤2kπ(k∈Z) 4 2 解得 4kπ－3π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， π x 4 2 ∴函数 y＝3cos 3－2 的单调递增区间为 4kπ－3π，4kπ＋3π (k∈Z)．
利用上述结论解决下列问题： x π ①函数 f(x)＝sin2＋2 的一条对称轴方程是 A．x＝－π
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1.3.2（一）
( D )
π B．x＝－ 2
π D．x＝2π 2 x x 解析 y＝cos .由 ＝kπ，k∈Z 得 x＝2kπ，k∈Z.故选 D. 2 2 π ②函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点－6，0中心对称，则 φ 的一 C．x＝
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1.3.2（一）
小结 求三角函数最值的两种基本类型： (1)将三角函数式化为 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的形式，结合有界性
高一数学 三角函数的图像及性质
三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.结论：如果函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的周期T=2k ；如果函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的对称轴是k x k k x x =-++=2)()(3.图象的平移对函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）＋k （A ．＞．0．，． ω．＞．0．，． ϕ．≠0．．，． k ．≠0．．）．，其图象的基本变换有： （1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的.A ＞1，伸长；A ＜1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的.ϕ＞0，左移；ϕ＜0，右移. （4）上下平移（纵向平移变换）： 是由k 的变化引起的.k ＞0， 上移；k ＜0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法：① 化为求代数函数的值域；② 化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域； ③ 化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）．3.函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=()k ∈Z ； 函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z函数cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=； 函数cos()y A x ωϕ=+为奇函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z4.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出； 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出， 单调减区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出.5.对称性：（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法） （2）函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法）（3）函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2kx ωϕπ+=()k ∈Z 解出， 对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为2π的是（ ） A.sin 2x y = B.sin 2y x =C.cos4x y = D.cos 4y x =答案：D例2.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A.关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B.关于直线x π=4对称 C.关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D.关于直线x π=3对称 答案：A.解析：由题意知2ω=，所以解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经验证可知它的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭.例3.函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π，1B.π2C.2π，1D.2π2答案：A.解析：x x x x x y 2cos 232sin 212cos 212cos 232sin =⋅-⋅+⋅+⋅=，∴T =π，y max =1 例4.函数[]()sin 3(π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ）A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，答案：D.解析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=3sin 2)(x x f ，.0,6656,0),(65262),(22322符合题意由此可得得令得令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π≤≤π-=∈π+π≤≤π-π∈π+π≤π-≤π-πx k k k x k k k x k Z Z例5.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 答案：A.解析：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.例6.函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 答案：C解析：法一：∵函数sin y x =的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0， 又函数sin y x =是以π为周期的函数，∴函数sin y x =的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ2,k k （k ∈Z ）.当k =1时，函数sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C. 法二：作出函数sin y x =的图象，由图易知sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值， 所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C.例7.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案： ω=3例8.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同.若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是 . 答案：3[-,3]2解析：由题意知，2ω=，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin (-)=-62π，最大值为3sin =32π， 所以()f x 的取值范围是3[-,3]2. 例9.定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 . 答案：23解析“线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23. 故线段P 1P 2的长为23.例10.设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)mx =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合.解析：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，. 例11. 已知函数()sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，2π]上是单调函数，求ϕ和ω的值. 解析：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，故sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立， 且0,cos 0.ωϕ>∴=依题设0≤ϕ≤π，cos .2πϕ∴=由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ取0)43(),43()43(0=∴-==πππf f f x 得 0)43cos(),43cos()243sin()43(=∴=+=x x x f ωωπωπ又0>ω，得......2,1,0,243=+=k k x ππω ...2,1,0),12(32=+=∴k k ω当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数.当1=k 时，)22sin()(,2πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数. 当k ≥2时，)2sin()(,310πωω+==x x f 在]2,0[π上不是单调函数. 所以，综合得32=ω或2=ω.四、课后作业1.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A.233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2.已知函数()f x =Acos （x ωϕ+）的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） A.23-B .23 C.32 D. 32-3. 设ω>0，函数f （x ）=2sinωx 在]4,3[ππ-上为增函数，那么ω的取值范围是 .4.判断方程sinx=π100x实数解的个数.5.求函数y=2sin )4(x -π的单调区间.6.已知函数()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.100л7.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值.8.设()f x = x x 2sin 3cos 62-， （1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α54的值.9. 求下列函数的值域： （1）y=x x x cos 1sin 2sin -； （2）y=sinx+cosx+sinxcosx ； （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.10.已知函数f （x ）=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f （x ）=0有实数解时，求a 的取值范围； （2）若x ∈R ，有1≤f （x ）≤417，求a 的取值范围.11.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.参考答案： 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：203ω<≤ 4.答案：199 解析：方程sinx=π100x 的实数解的个数等于函数y=sinx 与y=π100x 的图象交点个数， ∵|sinx|≤1∴|π100x|≤1， |x|≤100л 当x≥0时，如下图，此时两线共有100个交点， 因y=sinx 与y=π100x都是奇函数，由对称性知当x≤0时，也有100个交点， 原点是重复计数的，所以只有199个交点. 5.解析：y=2sin )4(x -π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ），得-2k π-4π≤x ≤-2k π+43π （k ∈Z ）. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π 的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π （k ∈Z ）， 得2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π（k ∈Z ）， 解得-2k π-45π≤x ≤-2k π-4π （k ∈Z ），即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π的递增区间. 综上可知：y=2sin )4(x -π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）. 6.解析：由题意知cos2x≠0，得2x≠k π+2π， 解得x≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以()f x 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x x ,42ππ且,. 又()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos )1)(cos 1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称， ∴()f x 是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x≠42ππ+k ，k ∈Z . ∴-sin 2x≠-21.所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.7.解析：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此，函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）解法一：因π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上增，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上减，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-.解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8.解析：（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 故()f x的最大值为3；最小正周期22T π==π.（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π.从而4tan tan 53απ==.9.解析：（1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=xx x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21(cos +x -21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4，但cosx≠1，∴y ＜4，且y min =-21，当且仅当cosx=-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx ，则有t 2=1+2sinxcosx ，即sinxcosx=212-t .有y=f （t ）=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f （t ）=1)1(212-+t （-2≤t≤2）， 从而知：f （-1）≤y≤f （2）， 即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos )3(x +π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx =23⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6cos(π+x ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.10.解析：（1）f （x ）=0，即a=sin 2x －sinx=（sinx －21）2－41∴当sinx=21时，a min =－41，当sinx=－1时，a max =2， ∴a ∈[41-，2]为所求.（2）由1≤f （x ）≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a∵ u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤3 ∴ 3≤a≤4.11.解析：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3()2f x f x ==，∴.（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，.12.解析：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］， 而f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b . 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b 解之得a =6，b =－5.当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b 解之得a =－6，b =1.。
课件4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
答案：A
3.试比较
23
cos－ 5 π与
17
cos－ 4 π的大小．
23
解：cos－ 5 π＝cos
17
cos－ 4 π＝cos
23
3
3
5 π＝cos(4π＋5π)＝cos 5π，
的图象也可由 y＝cos x 的图象通过变换得到，变换规
律相同．
3.研究函数 y＝Acos (ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的
思想．如当 ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时，它取得最大值；当 ωx＋φ
＝2kπ＋π(k∈Z)时，它取得最小值.
4.正切函数的图象
π
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻
∴函数
1
π
π
3
y＝tan－2x＋4的单调递减区间是2kπ－2，2kπ＋2π(k∈Z)，
最小正周期 T＝
π
1＝2π.
－
2
小结 函数 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把
π
π
ωx＋φ 看成一个整体，解－2＋kπ<ωx＋φ<2＋kπ，k∈Z
即可．当 ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调
(
π
A.6
π
B.4
π
C.3
π
D.2
)
解析：由
f
4π
，0
y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
10
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一
余弦函数的单调性
π x y＝3cos3－2的单调递增区间．
3－2＝3cos2－3.
x π 由 2kπ－π≤2－3≤2kπ(k∈Z)， 4 2 解得 4kπ－3π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， π x 4 2 － ∴函数 y＝3cos 3 2 的单调递增区间为[ 4kπ－3π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ 答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的
图象关于y轴对称．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
6
[预习导引]
正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
12
跟踪演练 1
解
求函数 y＝log
π x cos3－2的单调递增区间．
x π y＝cos2－3的
根据复合函数“同增异减”的规律， 即求函数
单调递减区间，
同时 x 应使
x π cos2－3>0.
π x π ∴2kπ≤2－3<2kπ＋2(k∈Z)．
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．如何快速做出余弦函数的图象？ π 答 (1)依据诱导公式 cos x＝sinx＋2，要得到 y＝cos x 的图象， π 只须把 y＝sin x 的图象向左平移2个单位长度即可．余弦函数的图
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象
1.3.3 已知三角函数值求角预习导航1．已知正弦值，求角对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arcsin_y 11,22y x ππ⎛⎫-≤≤-≤≤⎪⎝⎭． 注意：(1)arcsin y 的含义：表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y 的那个角，即sin(arcsin y )＝y (－1≤y ≤1)．(2)当0<y ≤1时，arcsin y ∈0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦； 当y ＝0时，arcsin y ＝0； 当－1≤y <0时，arcsin y ∈,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． (3)arcsin(－y )＝－arcsin y ． 2．已知余弦值，求角对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)．注意：(1)符号arccos y 的含义：①arccos y 表示一个角；②－1≤y ≤1，且0≤arccosy ≤π．③cos(arccos y )＝y ．(2)当0<y ≤1时，arccos y ∈0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭；当y ＝0时，arccos y ＝2π；当－1≤y <0时，arccos y ∈,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦． (3)arccos(－y )＝π－arccos y ．如cos x ＝23，则x ＝arccos 23，若cos x ＝－23，则x ＝arccos 23⎛⎫-⎪⎝⎭＝π－arccos 23，则x ＝arccos y 表示[0，π]内的一个角． 3．已知正切值，求角如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )，且x ∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y ,22y R x ππ⎛⎫∈-<< ⎪⎝⎭． 注意：(1)arctan y 的含义：①arctan y 表示一个角；②y ∈R ，且－2π<arctan y <2π；③tan(arctan y )＝y ．(2)当y <0时，arctan y ∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当y ＝0时，arctan y ＝0； 当y >0时，arctan y ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭． (3)arctan(－y )＝－arctan y ． 4．已知三角函数值求角的基本类型 剖析：提示：已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：第一步，确定角x可能是第几象限角．第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1．第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2π)内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π．第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．。
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不等式的 x 的取值范围是
π π
π π -4,4
.
π π
因为 y=tan x 的周期为 kπ(k∈Z),所以所求 x 的范围是 ������π- 4 ,������π + 4 (k∈Z),即此函数的定义域为 ������π- 4 ,������π + 4 (k∈Z). 反思求三角函数的定义域,应归结为解三角不等式,可利用三角函 数的图象及单位圆中的三角函数线直观地求得解集.
π
π
1.正切函数与正弦函数、余弦函数的比较 剖析 正切函数 y=tan x,x≠kπ+2,k∈Z,其定义域不是 R,又正切函 数与正弦函数、余弦函数对应法则不同,因此一些性质与正弦函数、 余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦函数、余弦函数的值域是 [-1,1],而正切函数的值域是 R;正弦函数、 余弦函数是连续函数,反映 在图象上是连续无间断点,而正切函数在 R 上不连续,它有无数条渐 近线
π π π
法作图,又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图,这里三个点 为(kπ,0), ������π + 4 ,1 , ������π- 4 ,-1 ,两线为直线 x=kπ+2(k∈Z),直线 π x=kπ-2(k∈Z),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到 y=tan x 在一 个周期上的简图.正弦函数、 余弦函数与正切函数都是中心对称图形 (注意:正弦函数、余弦函数同时也是轴对称图形).
π 3π D. ������π- 4 ,������π + 4 ,k∈Z π π π 解析: 令 kπ-2<x+4<kπ+2(k∈Z),解得单调增区间为 3π π kπ- <x<kπ+ (k∈Z). 4 4 π π
π
)
C. ������π- 4 ,������π + 4 ,k∈Z
3π
π
答案:C
【做一做 3】 要得到 y=tan 2x 的图象,只需把 y=tan 2������ + 图象( )
x≠kπ- 4,且 x≠kπ+2(k∈Z). 故函数的定义域为 ������ ������∈R,且������ ≠ ������π- 4 ,且������ ≠ ������π + 2 ,������∈Z .
π π
答案: ������ ������∈R,且������ ≠ ������π- 4 ,且������ ≠ ������π + 2 ,������∈Z
π x=kπ+2,k∈Z,图象被这些渐近线分隔开来;正弦函数、余弦函 π π π
数既有单调递增区间又有单调递减区间,而正切函数在每一个单调 区间 ������π- 2 ,������π + 2 (k∈Z)上都是增函数.它们也存在大量的共性:
π 言,T= ,y=tan ������
如均为周期函数,均具有奇偶性,且对 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)而 x 是奇函数,它的图象既可以类似地用正切线的几何方
π + ������π,������∈Z 2
的
3.教材中的“思考与讨论” 正切函数在整个定义域内都是增函数吗? 剖析 正切函数在整个定义域内不是增函数,可取特殊值来说明. 例如取
π 2π π 2π x1=4,x2= 3 ,显然 x1<x2,但 y1=tan4=1,y2=tan 3 =-
3,y1>y2,不
2.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性质
剖析 (1)定义域:将 ωx+φ 视为一个整体,令 ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解 得 x; (2)值域:R; (3)周期性:函数 y=Atan(ωx+φ)
������π
π 2
ω≠0,A≠0,ωx+φ≠ +kπ,k∈Z
π
π 2
的周期与常数 ω 的值有关,最小正周期 T=|������|; (4)奇偶性:当 φ= 2 (k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性; (5)单调性:将 ωx+φ 视为一个整体,若 ω<0,一般先用诱导公式化 为 ω>0,使 x 的系数为正值,然后求单调区间.当 A>0(A<0)时,函数 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调性与 y=tan x ������∈R,������ ≠ 单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.
π A.向左平移8个单位长度 π B.向右平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 16 π D.向右平移 个单位长度 16
π 8
的
答案:D
【做一做 4】 函数 y=1+tan������的定义域是
解析: 要使函数
π π 1 y=1+tan������有意义,则有
1
.
1 + tan������ ≠ 0, π 即 ������ ≠ ������π + 2 (������∈Z),
【做一做 1】 函数 y=tan2 017x 的最小正周期为(
A.4 034 C.4 034π 答案:B B.2 017 D.2 017π
π
)
【做一做 2】 函数 f(x)=tan ������ + 4 的单调增区间为 ( A. ������π- 2 ,������π + 2 ,k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
第2课时
正切函数的图象与性质
π π 1.能画出y=tan x的图象,借助图象理解正切函数在区间 - 2 , 2 上的性质. 2.了解正切函数的周期性. 3.掌握正切函数的性质,会求正切函数的定义域、值域、单调区 间及周期,会用函数的图象和性质解决复杂的综合问题.
函数y=tan x的图象与性质
函数 y=tan x
符合增函数的定义.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
求函数的定义域
【例 1】 求函数 y= tan������ + 1+lg(1-tan x)的定义域.
分析根据式子有意义,列出不等式组求解即可. tan������ + 1 ≥ 0, π π 解 由题意,得 即-1≤tan x<1.在 - 2 , 2 内,满足上述 1-tan������ > 0,
图象 ������ x x ≠ k������ + ,������∈Z 2 R π
定义域 值域 周期
奇偶性 奇π + 2 (k∈Z)上都是增函数
π π
名师点拨对于正切函数,其相关的一些性质不能由正弦函数、余 弦函数的结论推广得到,需论证后加以应用,例如,y=|sin x|的周期是 y=sin x的周期的一半,而y=|tan x|与y=tan x的周期却相同,均为π.