2021-2022年高三下学期4月月考数学(理)试题(I)

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2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题解析版

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好其中真命题的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <；（2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）；若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种），所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ，原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立，其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确；对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确；对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确；对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确，则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=，故选：C 10.C 【解析】【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →，所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色，其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1）由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-，因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--，因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+；若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑，由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=，所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===；此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅，当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增，当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学(理)试题

德阳五中高2021级高二下期4月月考数学试卷（理）（总分150分答题时间120分钟）1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至12题，第Ⅱ卷13——22题，共150分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上)1．复数12z =，则1z =（）A.122i + B.122− C.122−+ D.122i −− 2．在等比数列{}n a 中，已知1394,256a a a ==，则8a 等于（） A ．128B ．64C ．64或−64D ．128或−1283. 函数()2ln 2f x x x =−的单调递增区间是（）A. 11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A ．384πB ．392πC ．398πD ．404π6.已知平面向量)1,(),2,1(m b m a =−+=，若b a ⊥，则=m （） A.2− B.1 C.2−或1 D.0或17．命题p ：已知一条直线a 及两个不同的平面α，β，若a α⊂，则“a β⊥”是“αβ⊥”的充分条件；命题q ：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台．则下列为真命题的是（）A ．()p q ⌝∨B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ⌝∨8．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度9．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行，则绳索长为（） A．B ．C ．D ．10.已知,a b 为正实数，直线2y x a =−与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（）A. 8B. C. 6D. 11.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左,右焦点为21,F F ，且a b F F 2221=，点P 是椭圆C 上异于左右端点的一点，若M 是21F PF ∆的内心，且2211MPF F MF MPF S mS S ∆∆∆−=，则实数=m （）A.25+B.25−C.25−−D.25+− 12.已知xxx f ln )(=，若关于x 的方程020242023)()20232024()]([2=−+−+m x f m x f 有三个不同的实根321,,x x x 且321x x x <<，则)](1)][(1[)](1[321x f x f x f −−−的值为 ( )A.20242023lnB.20232024ln C.1− D.1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上. 13.πsin d x x =⎰14.已知复数i z )53(cos sin 54−+−=θθ为纯虚数（其中i 是虚数单位），则=θtan .15.若点),(y x P 是曲线132322=++y xy x 上的点，则22y x +的最小值为 . 16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，CD AD ⊥，AB BD ==E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B______.三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分）已知函数13)(3−−=ax x x f 在1−=x 处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当]1,2[−∈x 时，求)(x f 的最小值.18.（12分）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下䘚记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3660≤≤a ，∈a Z .（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值.参考公式：回归方程ˆˆˆ=+ybx a 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ()()()1122211ˆˆˆ,.====−−−===−−−∑∑∑∑n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx 参考数据：222222116220320425530636582;12345691⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=.19.（12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C −中,90,2,1,ABC CA CB M ∠===是1CC 的中点,1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长;(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3212x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3,1)，求AM AN +.21．（12分）在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴正半轴交点为A ，不过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数()21x f x e x =−．（1）判断函数()f x 的零点个数；（2）若()22ln a x af x x x≥+，求a 的值． CMC 1B 1BA 1A德阳五中高2021级高二下期4月月考数学（理）参考答案题号123456789101112答案BDBCACBABAAD13、214、43-15、2116、3π17．解：（1）()()22333f x x a x a '=-=-，∵()f x 在1x =-处取得极值，∴()()213130f a '-=⨯--=，解得：1a =；经检验，当1a =时满足题意，所以1a =．（2）由（1）得：()331f x x x =--，()2330f x x '=-=，解得：1x =±，()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：x－2()2,1--－1()1,1-1()f x '9＋0－0()f x －3单调递增1单调递减－3所以()f x 的最小值为－3．18.解（1）因为3660≤≤a ，且∈a Z .所以a 的取值共有25种情况.又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在5711==+≥∑∑ii i i ya z .即16202025303616222526323535++++++≥++++++a ，得44≥a .所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a 的取值共有17情况.所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725.（2）由题设可知61116220320425530636582==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x y，123456716202025303649,6262++++++++++====x y .所以7495826274927722ˆˆ,114972729164-⨯⨯===-=-⨯=-⨯ ba y bx ，所以y 关于序号x 的线性回归方程为27117y x =+.当7=x 时，27711387y =⨯+=，估计小明第7天成功次数a 的值为38.19解(1)取1BB 中点N ,连接,MN AN ,则//M N BC ,1BB ⊥ 平面1,ABC BB BC ∴⊥,又,BC BA BC ⊥∴⊥平面11ABB A ,故M N ⊥平面11,ABB A AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影,又11,AM BA BA AN ⊥∴⊥,故Rt 11Rt ,BN ABABN A AB AB AA ∴= ,而1413,26AB AA AB =-=∴==;(2)连接1AB ,由(1)知11B C ⊥平面11ABB A ,故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角,111111106410,1,sin ,.1010AC B C C AB ∠=+==∴=即所求角的正弦值为20解()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线232:212x t l y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 得2222121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21．解：（1）设点()00,P x y ，(,)Q x y ，2DQ PQ = ，0012x x y y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，2201x y += ，2214x y +=．（2）由（Ⅰ）知(0,1)A ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由0AM AN ⋅= ，()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=+--=．当直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，且90MAN ∠<︒，不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为：y kx b =+，由2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，化简得：()222148440k x kbx b +++-=，()()22222206441444014k b k b b k ∆>⇒-+->⇒<+，122814kbx x k-+=+，21224414b x x k -=+，()22121212(1)(1)AM AN x x k x x k b x x b ∴⋅=++-++-，()()()22222222144(1)148(1)0141414k b b k k b b k k k +--+-=-++++()()()222221448(1)(1)140k b k b b b k ∴+---+-+=，35b =-．∴直线I 的方程为：35y kx =-，恒过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．解：（1）因为()21xf x e x =-，该函数的定义域为{}0x x ≠，且()221x x e f x x -=，令()21xg x x e =-，所以()()2x g x x x e '=+.当(),2x ∈-∞-时，()0g x '>，所以()g x 在(),2-∞-上单调递增；当()2,0x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 在()2,0-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增；因为()22410g e --=⋅-<，()010g =-<，()110g e =->，所以()g x 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；（2）因为()22ln a x af x x x≥+，所以2212ln xa x a e x x x-≥+，则212ln 0x x e a x ax ---≥，即()22ln 10x x x e a x e -->，令2x t x e =，其中0x >，则()220xt x x e '=+>，所以，函数2x t x e =在()0,∞+上单调递增，当0x >时，20x t x e =>，令()ln 1h t t a t =--，则()0h t ≥对任意的0t >恒成立，因为()10h =，()()min 10h t h ∴==，且()1a t a h t t t-'=-=.①若0a ≤，则()0h t '>对任意的0t >恒成立，所以，函数()h t 在()0,∞+上为增函数，此时函数()h t 无最小值，不合乎题意；②若0a >，由()0h t '<，可得0t a <<，此时函数()h t 单调递减，由()0h t '>，可得t a >，此时函数()h t 单调递增，所以，()()min h t h a =，所以，1a =.综上所述，1a =.。

2022-2023学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．若，则的虚部为（）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是a b 30x ax b ++=（）A ．方程没有实根30x ax b ++=B ．方程至多有一个实根30x ax b ++=C ．方程至多有两个实根30x ax b ++=D ．方程恰好有两个实根30x ax b ++=【答案】A【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．【详解】方程至少有一个实根的反面是方程没有实根，30x ax b ++=30x ax b ++=因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假a b 30x ax b ++=设是“方程没有实根”.30x ax b ++=故选：A.3．设函数．则值为（）()31f x x =+()π2π2f x dx-⎰A ．B ．C ．D ．1π62+01π【答案】D【分析】利用微积分基本定理可求得所求定积分的值.【详解】因为，则()31f x x =+()()πππ22342πππ2221d 1d 4f x x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.441ππ1πππ422422⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：D.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a xx -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．如图所示，在平行六面体中，M 为与的交点.若，，1111ABCD A B C D -11A C 11B D AB a =AD b =，则下列向量中与相等的向量是（）1AA c = BMA ．B ．1122-++a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+【答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c=+=+=+-=-++根据空间向量基本定理可知：只有与相等.1122-++a b c BM故选：A.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，()*11112321n n n +++⋯+<∈-N ()*1,n k k k =>∈N 推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（）1n k =+A ．B ．C ．D ．k 12k -2k12k +【答案】C【分析】分析当、时，不等式左边的项数，作差后可得结果.n k =1n k =+【详解】用数学归纳法证明“”,()*11112321n n n ++++<∈-N 当时，左边，共项，n k =11112321k=++++- ()21k -当时，左边，共项，1n k =+111112321k +=++++- ()121k +-所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，()*1,n k k k =>∈N 1n k =+不等式左边应增加的项数为.()()121212k k k+---=故选：C.9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，0000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B12．下列不等式成立的有（）个．①；②；③；④．0.2etan 0.21>+1819e 16<sin180.3︒>311cos324<A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】分别构造新的函数，利用导函数分析单调性，即可判断不等式的正误.【详解】解：令，()πe tan 1012x f x x x ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭则，()2cos e 1x f x x '=-()32sin co e s xx f x x ''=-当时，，，π012x <<πsin sin 12x <πcos cos12x >所以，33π2sin2sin12πcos cos 12x x<而，πππππππ1sin sin sin cos cos sin 123434342⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭πππππππ1coscos cos cos sin sin 123434342⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭所以，3π2sin12561πcos 12=====-<则，所以在上单调递增，()32sin 0c s e o x x f x x ''=->()f x 'π0,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，则在上单调递增，()()02100co 0e s f x f ''>=-=()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()0e tan 0100.20f f >--==所以，即，①正确；0.2etan 0.210-->0.2e tan 0.21>+令，可得，()3e 12x f x x =--()3e 2x f x '=-因为，，所以函数在上单调递减，()030e 02f '=-<103f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭()f x 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即，可得，②错误；()108f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭18310e 128>-⨯-1819e 16>如图，是顶角为的等腰三角形，D 为BC 的中点ABC 36则，()118036722B ∠=⨯-=AD BC⊥设，，则，即，1BC =AB AC x ==sin cos BAD B ∠=112sin18cos 722x x ===由正弦定理可得，sin sin AC BCB BAC =∠即，11cos36sin 72sin 362sin 36cos36sin 362x x x =⇒=⇒=又由余弦定理可知，22222121cos3622x x x x x x +--==⋅所以，则，23222121022x xx x x -=⇒-+=()()2110x x x ---=解得（舍），（舍），，11x BC =<2x =<3x =，③正确；sin180.3∴===> 令，可得，()211cos 2f x x x =--()sin f x x x '=-+时，，所以函数在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦则，即，可得，④正确；()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭1101cos 324>--311cos 324<综上所述，①③④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数，并选择合适的定义域，利用求导分析函数的单调性及最值，进而证明不等式，属于难题.二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i+14．若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最21sin 24y x x =+()11,Ax y ()22,B x y 12x x -小值为________．【答案】##π212π【分析】化简可得范围内，即可得出切线1πsin 223y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭[1,1]-斜率必须一个是1，一个是，即可求出.1-【详解】， 2111cos 21πsin 2sin 2sin 244223x y x x x x +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∴πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭曲线的切线斜率在范围内，∴[1,1]-又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.()11,A x y ()22,B x y 1-不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有，，()111π22πZ 3x k k +=∈()222π22ππZ 3x k k +=+∈则可得，()()1212ππππZ 22x x k k k k -=--=-∈所以.12minπ2x x -=故答案为：.π215．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B ，则的取值范围______．OA OB OA OB-=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a a n a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a na a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a 所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．已知函数，，若函数有且仅有3个零点，则2()ln 2(1ln )f x a x x x =+-R a ∈22()e ()2g x f x a =-的取值范围______．a 【答案】()2e,e 【分析】根据函数的导数，分四种情况①若，②若，③若，④若，讨论函0a ≤01a <<1a =1a >数的单调性；令，得，问题可转化为函数与的图像有3个()f x ()0g x =222()e a f x =()y f x =222e a y =不同的交点，根据单调性可得或，分两种情况①当时，②当时，讨()f x 01a <<1a >01a <<1a >论即可得出答案．【详解】函数的定义域为，且，()f x (0,)+∞()2ln 1a f x x x ⎛=-'⎫ ⎪⎝⎭①若，则，当时，，单调递增，0a ≤10a x -<(0,1)x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ②若，当时，，01a <<(0,)x a ∈()0f x '<当时，，(,1)x a ∈()0f x '>当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增，()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a ③若，则，1a =()0f x '≤所以在上单调递减，()f x (0,)+∞④若，当时，，1a >(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x a ∈()0f x '>当时，，(,)x a ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增；()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a 令，则，()0g x =222()e a f x =所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点，()y f x =222e a y =则有必有或，01a <<1a >①当时，在和上单调递减，在上单调递增，01a <<()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a 所以的极大值为，()f x ()1f 2=的极大值为，的极小值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+又，()f a 22222(ln 2ln 2)[(ln 1)1]e a a a a a a a =-+=-+>>函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意，()y f x =222e a y =②当时，在和上单调递减，在上单调递增，1a >()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a所以的极小值为，的极大值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以必须有成立，22222(ln 2ln 2)e a a a a <<-+因为，所以，2222e a <e a >所以，2222(ln 2ln 2)e a a a a <-+所以，222ln 2ln 2ea a a <-+(*)下面求不等式的解集，(*)令，则不等式等价于，ln a x =(*)222e22x x x -<-+令函数，22()22e 2x h x x x -=--+则，2()222e x h x x -=--'令，有，2222e x y x -=--222ex y -=-'函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，2222ex y x -=--(,-∞2](2,)+∞又，所以，()2y 0=2222e 0x y x -=--≤即恒成立，故函数单调递减，()0h x '≤()h x 又，()2h 0=所以当且仅当时，，2x <()0h x >所以不等式的解集为，222e 22x x x -<-+(,2)-∞即不等式的解集为．(*)2(0,e )所以的取值范围为．a ()2e,e故答案为：．()2e,e 三、解答题17．已知函数．1()ln ln f x x x =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)求证：．21e ()ln x f x x ->-【答案】(1)的单调增区间，，单调减区间，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令，得，确定区间，，，()0f x '=121,e e x x ==10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e 导函数符号，即可得函数的单调区间；()e,+∞（2）将所证不等式转化为，构造函数，，求导确定函数的2e ln 0x x -->2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞单调性及取值情况，即可证得结论.【详解】（1）定义域，，()()0,11,+∞ 222111(ln )1()(ln )(ln )x f x x x x x x -'=-=⋅令，即，解得()0f x '=()2ln 10x -=121,e e x x ==当，时，，当，时，，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e,x ∈+∞()0f x '>1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,e x ∈()0f x '<所以的单调增区间，，单调减区间，．()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e （2）证明：要证，即证21e ()ln x f x x ->-2e ln 0x x -->设函数，，则，2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞21()e x x x ϕ-='-令，则恒成立，所以在上单调递增．()21e x m x x -=-()221e 0x m x x -'=+>()x ϕ'()0,∞+又由，知，在上有唯一实数根，且()11e 10ϕ--'=<()0112e 022ϕ'=-=>()0x ϕ'=()0,∞+0x ，则，即．012x <<()02001e 0x x x ϕ--'==0201e x x -=当时，，单调递减；当时，，单调递增，()00,x x ∈()0x ϕ'<()x ϕ()0,x x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ所以，结合，知，()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-0201e x x -=002ln x x -=-所以，则，故原不等式()()()2200000000121120x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>()2e ln 0x x x ϕ-=->得证.21e ()ln xf x x ->-18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定AD ⊥PDC 理，证得，从而得到平面；//AD l l ⊥PDC （2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之(,0,1)Q m 后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面QCD PB cos ,n PB <> PB 所成角的正弦值的最大值.QCD 【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，ABCD //AD BC AD ⊄PBC BC ⊂PBC 所以平面，又因为平面，平面平面，//AD PBC AD ⊂PAD PAD ⋂PBC l =所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且//AD l P ABCD -ABCD ,,AD DC l DC ⊥∴⊥平面，所以PD ⊥ABCD ,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为，所以平面．CD PD D = l ⊥PDC （2）［方法一］【最优解】：通性通法因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：,,DP DA DC D xyz -因为，设，1PD AD ==(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B 设，则有，(,0,1)Q m (0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===- 设平面的法向量为，QCD (,,)n x y z = 则，即，00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 00y mx z =⎧⎨+=⎩令，则，所以平面的一个法向量为，则1x =z m =-QCD (1,0,)n m =-cos ,n PB n PB n PB ⋅<>== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>==时取等号，所以直线与平面=≤≤=1m =PB .QCD ［方法二］：定义法如图2，因为平面，，所以平面．l ⊂PBC Q l ∈Q ∈PBC 在平面中，设．PQC PB QC E = 在平面中，过P 点作，交于F ，连接．PAD PF QD ⊥QD EF 因为平面平面，所以．PD ⊥,ABCD DC ⊂ABCD DC PD ⊥又由平面，平面，所以平面．又平,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ PAD AD ⊂PAD DC ⊥PAD PF ⊂面，所以．又由平面平面，所以PAD DC PF⊥,,PF QD QD DC D QD ⊥=⊂ ,QOC DC ⊂QDC 平面，从而即为与平面所成角．PF ⊥QDC FEP ∠PB QCD 设，在中，易求．PQ a =PQD △PF =由与相似，得，可得PQE BEC1PE PQa EB BC ==PE =所以，当且仅当时等号成立．sin FEP ∠==≤=1a =［方法三］：等体积法如图3，延长至G ，使得，连接，，则，过G 点作平面，CB BG PQ =GQ GD //PB QG GM ⊥QDC 交平面于M ，连接，则即为所求．QDC QM GQM∠设，在三棱锥中，．PQ x =Q DCG -111()(1)326Q DCG V PD CD CB BG x -=⋅⋅+=+在三棱锥中，．G QDC-111323G QDC V GM CD QD GM -=⋅⋅=由得Q DCG G QDC V V --=11(1)63x GM+=解得，GM ===≤当且仅当时等号成立．1x =在中，易求，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为Rt PDB△PB QG ==sin MQG ∠==【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等QCD n PB cos ,n PB <> 式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 与平面QCD 所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB 与平面QCD //PB QG 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．20．设函数，（）．2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R(1)若在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围．[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)12a =(2)1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将在定义域上单调递增，转化为在区间上恒成立，分类讨论a ()f x ()0,∞+()0f x '≥并，令，求导分析的单调性即可；()2(1)ln g x a x x =--()f x '（2），令，分析单调性可知，进而得到()2(1)ln f x a x x '=--()ln 1h x x x =-+ln 1≤-x x ，分类讨论a ，求出在上的单调性，即可判断是否恒成立.()(21)(1)f x a x '≥--()f x [)1,+∞()0f x ≥【详解】（1），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--若在定义域上单调递增，则在区间上恒成立，，()f x ()0,∞+()0f x '≥()10f '=当，在单调递减，显然不合题意．0a ≤()f x '()0,∞+令，，()2(1)ln g x a x x =--121()2ax g x a x x -'=-=当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a >当时，，在单调递减，112x a <<()0g x '<()g x 11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递减，则在上，不合题意，()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=当时，由得；由得；12a =()0g x '<01x <<()0g x '>1x >所以在上单调递减，上单调递增，则，满足题意，()g x ()0,1()1,+∞()()()10f x g x g '=≥=当时，，1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a <当时，，在单调递增，112x a <<()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递增，则在上有，不合题意．()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=综上所述．12a =（2），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--令，，则，()ln 1h x x x =-+0x >()11h x x '=-当时，；当时，，01x <<()0h x '>1x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()h x (]0,1[)1,+∞在处有最大值，则，1x =()()1ln1110h x f ≤=-+=即，所以，ln 10x x -+≤ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x '≥---=--当即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，，符合题意．所以．()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以．时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x 11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()10f x f ≤=102a <<综上可得：．1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆C ：的焦距为．()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭(1)求椭圆方程；(2)A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形AEF 的面积．【答案】(1)2214x y +=(2)或者6425S =3215S =【分析】（1）先利用题给条件列方程求得，，进而得到椭圆方程；24a =21b =（2）先分别设出直线AE ，AF 的方程，再与椭圆方程联立，利用设而不求的方法分别求得的代数表达式，利用列方程求得直线AE 的斜率，进而求得三角形AEF 的面,AE AF AE AF=积．【详解】（1）椭圆C 过点，则，又，12⎫⎪⎭223114a b +=2c =223a b =+所以，解之得，，则椭圆方程为．2231134b b +=+24a =21b =2214x y +=（2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线AE ：y ＝kx ＋1，令，11(,)E x y 由整理得：，则22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221480k x kx ++=1218140A Ak xx k x x ⎧+=-⎪+⎨⎪=⎩=设直线AF ：，令，11y x k =-+22(,)F x y 由整理得：，则221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()22480k x kx +-=222840A A k xx k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩==由题知得：，AE AF =221144k kk =++不妨设k ＞0，化简方程知：，()2(1)310k k k --+=解之得k ＝1，k =又因为，()()()()()22222211144323224k AE AFS k k k k k ++=+⋅+==+将k ＝1，代入得三角形面积为，或者．k =6425S =3215S =22．已知．2()e 2x a f x x x =--(1)若在x ＝0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点，（），判断的正负，并说明理()f x 1x 2x 12x x <122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭由．（为的二阶导数）．()f x ''()f x 【答案】(1)(),1-∞(2)小于0，理由见解析122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可求解.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，当x ＞0时，，()()00f x f ''<=()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞所以当时，，当时，，()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在上单调递增，()f x R 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x④当a ＞1时，，由（Ⅰ）知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，当时，，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()0,ln x a ∈()()00f x f ''<=所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2），为的零点，则，，，1x 2x ()e 1x f x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e xf x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1e e ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故，故原不等式得证．()g t ()0,∞+()()0g t g <故小于0．122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论参数情况。

四川省成都市石室阳安学校2023-2024学年高三下学期4月月考数学(理)试题

D． b < a < c
二、填空题 13．一组样本数据12,15,12,13,18,10,16,19,15,12 的众数为，中位数为．
14．已知定义域为[1- 3a, a +1] 的奇函数 f ( x) = x3 + bx2 + x ，则 f (3x + b) + f ( x + a) ³ 0
的解集为_______．
答案第21 页，共22 页
【详解】对于
A，由题意可知
P
(
AÈ
B)
=
P
(
A)
+
P
(B)
-
P
(
AB )
=
1 2
+
2 3
-
P
(
AB )
=
5 6
，
所以
P
(
AB
)
=
1 3
=
P
(
A)
×
P
(
B
)
，所以事件
A
与
B
相互独立，即
A
正确；
对于 B，由独立性检验的基本思想可知其正确；
对于 C，由题意可知 D (h ) = 4D (x ) ，故 C 错误；
四川省成都市石室阳安学校 2023-2024 学年高三下学期 4
月月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在复平面内，复数
z1
，
z2
对应的向量分别是
uuur OA
，
uuur OB

2021-2022学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（）()o sin 1020=-A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】.()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（）,a b 23π||3,||4a b ==2ab +=A ．49B ．7C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；a b ⋅ a +【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o32c s a ba b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a+= ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ．B ．(,0)4k k Zππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ．D ．(,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ，4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（）()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以，2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以，2π3cos 035θ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，2π4sin 35θ⎛⎫-==⎪⎝⎭又因为，π2ππ()33θθ+=--所以.π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可.【详解】原式2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin sin cos cos sin sin coscos sin3333xx x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（）．α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；（ⅱ）取等于3进行计算．πA ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，2π160001000=所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上B ．在平分线所在的直线上AB C ∠C ．在边的中线所在直线上D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断.BA OC ⊥ 【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()0BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC ⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上，20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ．B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由，得对称轴，()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴.0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a=若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a=-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则，()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则，()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，.1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（）,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解.【详解】因为，，1sin 2α=-所以或，112,6k k Zπαπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为，1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Zπαβπ-=+∈442,3k k Zπαβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Zπβπ=-+-∈或，()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Zπβπ=+-∈因为范围不定，,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a bλ+=⋅ ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅a c= 1a b ⋅= 1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】仍是向量，不是向量，A 错；()+a bλ a b ⋅ 不妨取，，，则，()1,1a =()2,2b =()3,3c =()()()43,312,12a b c ⋅⋅==，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错.()2,1a = ()1,1b =- 1a b ⋅= 1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（）2221AB BC CD DA DC ===⋅= 12⋅=BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD+=-C ．D ．AD = BD CD ⋅=【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可.【详解】由已知可得，1AB BC CD ===又由，可得，12⋅=BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则，故A 正确；21AC = 由，得，2CD DA DC =⋅ ()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD+=- 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C⎛⎫ ⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，，12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（）A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为(||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x 2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A错误；()4f x πϕ=+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x xπ=+=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D错．()2())22g x x x xππ+=+=故选：BC ．三、填空题13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=--，20sin 20=- cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：.1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅= a b c ()c a b⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c ()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅= 1cos 2θ=所以在方向上的投影向量，a b 2cos 3b c a bb θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,ABAC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点.34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求.223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）.4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解.sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解.【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m <|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则tan 1β=-所以.4sin tan 5αβ⋅=（2）22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且 4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式.3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+（2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b - c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=-(1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2）2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅< 3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以．(2)a b - c 650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，3π（）．CF CD λ=01λ≤≤(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值．EF λ【答案】(1)24(2)38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1），BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cos nx x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；()f x π3()g x ()g x (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值．,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得，()()cos sin 5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin 5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x=-．6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以．()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期．()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，．()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得，2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为，()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，．()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数的部分图像如图所示.()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式；()f x(2)设为锐角，的值.,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得,ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角，()cos sin αααβαβ==>+=∴+，()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===.7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）.5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =恒成立，转化为，成立()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1），()2sin 23fx x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332xx x ππ+=+-，1sin 2222x x x =，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，，sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，，22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，，5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），()sin 23πfx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得，6πsin 2sin 263x xππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式，()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即，()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立，()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，，()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，，0p >()()max sin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x xx xx x +----==+设，则，cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则，211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以，即，132p >06p <<+综上，.(,6p ∈-∞+。

2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+，所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-，故选：B2．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()2a b c +⋅=（） A ．(－15，12) B ．0C ．－3D ．－11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】()()()25,63,215123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 故选：C3．已知正ABC ，则ABC 的直观图111A B C △的面积为（）A B C ．D 【答案】D【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．【详解】由题意21sin 26ABCSπ=⨯⨯=，所以直观图111A B C △的面积为S ==故选：D ．4，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.【详解】如图，圆锥的体积21333V r h ππ== ①，由侧面展开图是一个半圆得2l r ππ= ②，又222r h l += ③，联立①②③，即可解得2l =. 故选：C552，则该四棱锥的内切球的表面积为（） A ．π B ．3π C ．43π D ．4π【答案】C【分析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，由正四棱锥的性质和三角形知识求得6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，求得3r =. 【详解】解：在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，如下图所示，则PH ⊥面ABCD ，PG BC ⊥52，所以()2222512PG PB BG --，2222213PH PG HG --所以在Rt PHG △中，1sin 2HG HPG PG ∠==，所以6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，则,2OH OQ r PO r ===，所以+33PO OH r ==3r =所以该四棱锥的内切球的表面积为22344433S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．若向量()2cos ,2sin a θθ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ- D ．θ【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为α，所以2sin 3cos sin cos 212a b a bθπαθθ⋅-⎛⎫===-=- ⎪⨯⎝⎭⋅，因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而[0,]απ∈，函数cos y x =在[0,]x π∈上是单调递减函数，所以32παθ=-，故选：A8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：C9．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得：31m n+的最小值是12. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4=== 233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心 2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =， ∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1AO A ==11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣. 故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（）A B C D 【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =，则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ，连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ，作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEFMNFE S SS =+AEF △中，13,AE AF ==62EF =故AEF △的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯617=四边形MNFE 的面积 134(322)2S =917=， 2117. 故选:B.【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14．正三棱锥-P ABC 的侧棱长为2，30APB APC BPC ∠=∠=∠=︒．E ，F 分别是BP 、CP 上的点，AEF △周长的最小值____．【答案】22【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出AEF △周长的最小值．【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：AEF △的周长即为AE 、EF 、FA 三者的和，从图中可见：为使三角形AEF 的周长的值最小，只需让A 、E 、F 、A '四点共线即可；根据题中给出的条件知：30APB BPC CPA '∠=∠=∠=︒，90APA '∴∠=︒，222222AA '=+ AEF ∴周长的最小值为2故答案为：2215．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 【答案】221##122+【分析】求出P 点到i 对应点的距离，再加上半径1可得．【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心，1为半径的圆，222i i 22i 2(2)22--=-=+-= 所以max 221PZ =．故答案为：221．16．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin 3sin b A C B =，则ac 的最小值为________．【答案】12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+， ∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+， ∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++， ∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=，因为23sin sin 3sin 2sin 2sin 2b A C B B B ==⨯=， ∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号， ∴ac 的最小值为为12. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 2sin 2sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：(1)//EG 平面11BDD B ；(2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接SB ，∵,E G 分别是,BC SC 的中点，∴//EG SB .又∵SB ⊆平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，∴直线//EG 平面11BDD B .（2）连接SD ，∵,F G 分别是,DC SC 的中点，∴//FG SD .又∵SD ⊆平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，∴//FG 平面11BDD B ，由(1)知，//EG 平面11BDD B ，且EG ⊆平面EFG ，FG ⊆平面EFG ，EGFG G =，∴平面EFG ∥平面11BDD B .18．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，||3AB →=，6AC =.(1)用,AB AC →→表示AD →和EB ；(2)求向量EB 与EC →夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC →→→=+，2136EB AB AC →→→=- (2)7130【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）∵D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，∴11()33BD BC AC AB ==- ∴2133AD AB BD AB AC =+=+， ∵E 为AD 的中点，∴12AE AD =， ∴112121()223336EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=- （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+，如图，以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,3),(6,0)B C ，∴21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=-， ∴(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，145,25126EB EC =+==+=7130cos ,||526EB EC EB EC EB EC ⋅===⋅⋅19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）68π；（2）1403π. 【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，214282S ππ=⨯⨯=半球， 22(25)4(52)35S ππ=++-=圆台侧，2525S ππ=⨯=圆台底.故所求几何体的表面积为8352568ππππ++=.（2）()()2222122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球，所求几何体体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为3（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）98π. 【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，所以3R故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，223AO AB OB -=，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，2r ⎛=-+ ⎝⎭，所以，当r =32h =时，圆柱的侧面积最大，此时298V r h ππ==圆柱.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.21．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b B A B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(2.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.22．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）AR AB的值为35，证明见解析．【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明//BC AD ，1//PQ MD ，又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊂/平面11A D DA ，证明//PQ 平面11A D DA ；（2）R 是AB 上的点，当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ，通过证明//PR 平面11A D DA ，又PQ R P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =，即有23BR RA =，故BR BP RA PD=．所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．。

安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

A． -2
B． -1
C．
1 2
D．1
5．在我国古代，杨辉三角（如图 1）是解决很多数学问题的有力工具，从图 1 中可以归纳
出等式： C11
+ C12
+
C13
+L+
C1n
=
C2 n +1
､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图
2，该“刍童垛”共 2021 层，底层如图 3，一边 2023 个圆球，另一边 2022 个圆球，向上逐
设 t = sin x + cos x =
2
sin
æ çè
x
+
π 4
ö ÷ø
Î
éë-
2,
2 ùû ，
答案第31 页，共22 页
则
g
(t
)
=
2t
æç1 è
-
t
2
-1 2
ö ÷ ø
=
-t 3
+
3t
，从而
g
¢
(t)
=
-3t
2
+
3
，
由 g¢(t) > 0 ，得 -1 < t < 1；由 g¢(t) < 0 ，得 - 2 £ t < -1 或1 < t £ 2 ；
D． 2x - 3y - 32 = 0
8．函数 f (x) = sin x - sin 3x + sin 2x cos x + 2 cos3 x 的值域是（）
A．[- 2, 2]
B． [-2, 2]
C．[- 2, 2]
D．[-2, 2]
二、多选题

云南省曲靖市麒麟区六中2024学年高三下学期第一次在线月考数学试题

云南省曲靖市麒麟区六中2024学年高三下学期第一次在线月考数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}2．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（）A ．3B ．32C ．6D ．623．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒4．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．126．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．127．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年8．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种B．27种C．37种D．47种9．函数1()ln1f xx x=--的图象大致是( )A．B．C．D．10．函数22cosx xyx x--=-的图像大致为（）.A ．B ．C ．D ．11．函数()()1ln 12f x x x=++-的定义域为（） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,212．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题

广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos cos cos cos b c B C B C+=，则=a （）A ．12B C ．1D ．23．在0,1,2,3,4中不重复地选取4个数字，共能组成（）个不同的四位数. A ．96B ．18C ．120D ．844．“0x 是函数()f x 的一个极值点”是“()f x 在0x 处导数为0”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数1z ，2z 的模长为1，且1212z z z z +=，则12z z +的值是（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，γ⊂n ，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能7．已知正实数,a b 满足21a b += ）A ．(B ．()0,1C ．(D ．(8．已知在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2211221:1,0x y E a b a b -=>的右焦点为F ，点D 为双曲线右支上一点，直线OD 交双曲线于另一点G ，且,2GF DF OD DF ⊥=，直线GF 经过椭圆()2222222:10x y E a b a b +=>>的下顶点，记1E 的离心率为12,e E 的离心率为2e ，则（）A ．2212117e e += B ．22121115e e += C ．221212115e e += D ．22124115e e +=二、多选题9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量x （单位为天），以监测到的病例总数为因变量y ，选择以下两个回归模型拟合y 随x 的变化：回归模型一：11(0)y k x b x =+>；回归模型二：2(0)mxy k e x =>，通过计算得出1125.14,16.3; 2.5,0.2k b k m ==-==，则下列说法正确的是（）A ．使用回归模型一拟合的决定系数2R 大于使用回归模型二的决定系数2RB ．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程C ．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右D ．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人10．函数()f x 和()g x 的定义域为R ，若()f x 的最小正周期为(),a g x 的最小正周期为b ，则（）A ．()()f x g x +为周期函数B ．()()f x g x 为周期函数C ．x x f g b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数D ．x x f g b a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数11．如图所示，在五面体EBDCA 中，,,ABE BCE DCE V V V 都是等腰直角三角形，2AB AE DE DC ====，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ，则下列说法正确的有（）A ．AD //平面BECB ．五面体EBDCA 的外接球半径为2C ．五面体EBDCA 的体积为D ．五面体EBDCA三、填空题12．直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，直线1l 不与直线2l 垂直，且直线1l 和直线2l 夹角的角平分线的斜率为122k k +，则1k 的取值范围是 . 13．在平面直角坐标系中，若以原点为中心的双曲线经过旋转变换后为函数()f x 的图象，函数()g x 的定义域为()0,∞+且()()(0)g x f x x =>，若()g x 在定义域内存在反函数，则双曲线离心率的取值范围为 .14．已知实数,a b 满足()e cos aa b a ++=，则a 的值是，b 的取值集合是 .四、解答题15．已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且ABC V 的面积cos S B =．（1）求角B 的大小; （2）若2a =，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围．16．如图，已知长方形ABCD 中，2,1,AB AD M ==为DC 的中点.将ADM △沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：AD BM ⊥；(2)若(01)DE DB λλ=<<u u u r u u u r ，当二面角E AM D --大小为π3时，求λ的值.17．在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有()2n n ≥个服务区.现有一辆车从第n 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第(1)k k n <≤个服务区开出后，将等可能地停靠在第11k ~-个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量n X 为这辆车全程一共进入的服务区总数.(1)求3X 的分布列及期望；(2)证明：()()11n n E X E X +⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是等差数列.18．已知椭圆2222:1(,0)x y E a b a b +=>的焦距为(),1,,2,1A B D ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有两点在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 上有三点,,G S T ，直线ST 过点()2,2C ，直线GS 与y 轴交于()0,h ，点M 为GS 中点，,,M O C 三点共线，直线GT 与直线OC 的交点为Q ，求三角形QGS 的面积关于h 的表达式.19．对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数()f x ，若对在()f x 定义域内的给定常数a ，存在数列{}n a 满足1a 在()f x 的定义域内且1a a >，且对()*2,,n n y f x ∀≥∈=N 在区间()1,n a a -的图象上有且仅有在n x a =一个点处的切线平行于()(),a f a 和()()11,n n a f a --的连线，则称数列{}n a 为函数()f x 的“a 关联切线伴随数列”.(1)若函数()2f x x =，证明：(),a f x ∀∈R 都存在“a 关联切线伴随数列”；(2)若函数()()31g x x =-，数列{}n a 为函数()f x 的“1关联切线伴随数列”，且11a =，求{}n a 的通项公式；(3)若函数()36sin h x mx x =+，数列{}n b 为函数()f x 的“b 关联切线伴随数列”，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：当1,0m b ≥≥时，()112n n S b n b b +≥-+.。

长春市第二实验中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试卷(PDF版)

长春二实验中学2022-2023学年度下学期月考高一数学试题2023年4月本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页。

考试时间为120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷客观题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．以下说法正确的是（）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥2．在中，若cos aB c =，则的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,3P ，()24,0P ，且P 是线段12PP 的一个三等分点（靠近1P 点），则向量OP =（）A ．（2，2）B ．（3，-1）C ．（6，6）D ．（3，1）4．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知1A O B O C O ''''''===，则的周长为（）A ．6B．2+C ．8D．2+5．在平行四边形ABCD 中，G 为的重心，AG xAB y AD =+，则3x y +=（）A.103 B.2C.53D.16.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.mD.m7．已知i 是虚数单位，复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且1z =，则i z 的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．48．记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 是的重心，若,56BG CG b c ⊥=则cos A 的取值是（）A ．5975B ．5775C ．1115D ．6175二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量)2,1(-=a ,)1,(t b =，则下列说法错误的是（）A.若a b ∥，则t 的值为12-B.与a垂直的单位向量一定为255,55⎛ ⎝⎭C.的最小值为3D.若b 在a（e 为与向量a同向的单位向量），则5t =10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则下列结论错误的是（）A.sin cos A B=B.若4b =，则ABC ∆内切圆的半径为2C.若4b =，则9AB BC ⋅=D.若P 为ABC ∆内一点满足02=++PC PB P A ，则APC △与BPC △的面积相等11.下列说法中正确的有（）A．已知a 在b 上的投影向量为b 215=，则225=⋅b a ；B．已知()()1,2,1,1a b == ，且a 与a b λ+ 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；C．若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b + 的夹角是30 .D．在中，若0AB BC ⋅>，则B ∠为锐角；12.在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos cos c B b C a +=，则下列说法正确的是（）A.若B +C =2A，则面积的最大值为34B.若π4A =，且只有一解，则b 的取值范围为(]0,1C.若C =2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.O 为的外心，则12BC BO ⋅=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知i 为虚数单位，复数满足()234z i i +=+，记z 为z 的共轭复数，z =_______14.在中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，且面积为332，若b c +=，则=a ______．15.如图，在△ABC 中，已知AB=2,AC=5, 60=∠BAC ,BC,AC 边上的两条中线AM,BN 相交于点P，则∠MPN的余弦值为_______．16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图②）．已知正六边形的边长为1，点M 满足AM AB AF =+，则||AM = _______；若点P 是正六边形ABCDEF 边上的动点（包括端点），则AM BP ⋅的最大值为_______．第Ⅱ卷主观题四．解答题：本小题共6小题，共70分。

湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)数学试题及答案

长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A. B. C.D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-2. 已知复数满足，为虚数单位，则（）z ()1i 1i z -=+i z =A. B. C. D. i 11i 22+1i +3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（）()1,0E A. B. C. D. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,14. 若，且，则（） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A. B. C. D. 2-3--5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()(()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l 1.1，则（）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.76. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（）A. B. C. D.12π16π18π20π7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅（）A. B. C. D. 18-116-116188. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （） A. B. C. D. 133********二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.12. 已知，为正实数，且，则（）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项．n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABCA cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，． P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．P AB C --21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值．N OM ON ⋅ 22. 已知函数，． ()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值；1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值．()f x xa a长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A.B. C. D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】,{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- 所以.{}2,1M N =- 故选：A.2. 已知复数满足，为虚数单位，则（）z ()1i 1i z -=+i z =A.B. C. D. i 11i 22+1i +【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的，即可求解. 1i 1i z +==-【详解】， 1i 1i z +===+-故选：B3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（）()1,0E A. B. C. D.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D ，求坐标即可.GH GH BC【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,,F E ,AC BC ,G H 连接，交于，则D 点即为所求，如图，GH BCD因为所在直线方程为，，设，AC 3y x =+(1,0)F -()G x y ,则，解得，即， 132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩3,2x y =-=(3,2)G -由所在直线方程为，，同理可得，BC 3y x =-+(1,0)E (3,2)H 所以直线方程为，由解得， GH 2y =32y x y =-+⎧⎨=⎩(1,2)D 故选：C4. 若，且，则（） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A.B. C. D. 2-3--【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为，所以， ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭tan 1α<-由，得，即， 23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭21cos sin 22αα+=-222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+所以，即，解得 212tan 11tan 2αα+=-+2tan 4tan 30αα++=或(舍).tan 3α=-tan 1α=-故选：C.5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l1.1，则（）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作l y 答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速l y 度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和， 1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为， 1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解得l ˆ1.1y x a=+ˆ4 1.13a =⨯+， ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则， 1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（）A.B. C. D. 12π16π18π20π【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，设底面的外心为，外接球的球心为，PA ⊥ABC ABC A G O 为的中点，可得四边形为平行四边形，所以，在中，由余弦定理及正弦定理D PA ODAG 1OG =ABC 可求，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.AG 【详解】因为，，平面,PA AB ⊥PA AC ⊥,,AB AC A AB AC =⊂ ABC 所以平面.PA ⊥ABC设底面的外心为，外接球的球心为，则平面，所以. ABC A G O OG ⊥ABC //PA OG 设为的中点，DPA因为，所以.OP OA =DO PA ⊥因为平面，平面,PA ⊥ABC AG ⊂ABC 所以，所以.PA ⊥AG //OD AG 因此四边形为平行四边形，所以. ODAG 112OG AD PA ===因为，，120BAC ∠=︒2AB AC ==所以,BC ===由正弦定理，得. 242AG AG ==⇒=所以该外接球的半径满足,R )()2225R OG AG =+=故该外接球的表面积为.24π20πS R ==故选:D.7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅ （）A.B. C. D. 18-116-11618【答案】A【解析】【详解】首先设与所成角为，根据题意得到OA BC θ，再根据()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 求解即可. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥-【点睛】如图所示：设与所成角为，OA BCθ因为， ()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 因为，112cos 2BC BCO BC OC ∠== 所以 211cos 22AC BC BC BC θ⋅=- 因为，当时，等号成立. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥- 0θ= 因为，所以当时，取得最小值为， 02BC ≤≤ 12BC = 21122BC BC - 18-所以当时，取得最小值为. 12BC = AC BC ⋅ 18-故选：A8. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （）A. B. C. D. 133********【答案】B【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据()2f x x +()f x x -()2f x x x =-，作出函数的图象即可求解. ()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()g x【详解】因为是奇函数，是偶函数， ()2f x x +()f x x -所以，解得，()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩()2f x x x =-由， ()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩当时，则，所以， ()1,2x ∈()10,1x -∈()()()2121gx g x f x =-=-同理：当时，，()2,3x ∈()()()()214242g x g x g x f x =-=-=-以此类推，可以得到的图象如下：()gx由此可得，当时，，()4,5x ∈()()164g x f x =-由，得，解得或， ()3g x ≤()()16453x x --≤174x ≤194x ≥又因为对任意的，恒成立，[]0,x m ∈(3g x ≤所以，所以实数的最大值为. 1704m <≤m 174故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间上单调递增 ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】由，得，再根据函数在区间上有且仅有条对称轴，[]0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,π3可得，可求出的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ． 5ππ7ππ242ω≤+<ω【详解】由，得， []0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上有且仅有条对称轴，()f x []0,π3所以，解得，故A 正确； 5ππ7ππ242ω≤+<91344ω≤<对于B ，，， (0,π)x ∈ ∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，在区间上有且仅有个不同的零点； π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x (0,π)2当时，在区间上有且仅有个不同的零点，故B 错误； π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x (0,π)3对于C ，周期，由，则， 2πT ω=91344ω≤<414139ω<≤， ∴8π8π139T <≤又，所以的最小正周期可能是，故C 正确； 84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 4π5对于D ，，， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又，， 91344ω≤<∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭所以在区间上一定单调递增，故D 正确． ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ACD.10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到，进而求出1A y =A x =从而得到的面积，B 正确；由得到，，表达出AOF A 0OA OB ⋅=4A B x x =-4A B y y =，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，由焦半径公式得到，结合余弦定理，基本不等式得到的最小值. ,AF a BF b ==2a b DE +=AB DE【详解】的焦点为，准线方程为，故A 错误； 22x y =F ⎛ ⎝12y =-由焦半径公式可知：，解得， 1322A AF y =+=1A y =故，故 222A A x y ==A x =所以的面积为，B 正确； AOF A 111222A OF x ⋅=⨯=若，则，即，解得：， 0OA OB ⋅= 0A B A B x x y y +=22104A B A B x x x x +=4A B x x =-则，4A B y y =故 ()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+，32264A B A B x x y y =+⋅=故，当且仅当时，等号成立，C 错误；8OA OB ⋅≥A B A B x y y x =过点作⊥l 于点，过点B 作⊥l 于点，A 1AA 1A 1BB 1B设，所以， ,AF a BF b ==2a b DE +=因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab =+-∠=++=+-， ()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭所以. AB ≥故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，,AC BD O O AC BD 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，ABCD A α= C α2O α1又到平面的距离为，B α1所以平面，即平面，即A 正确；//BO α//BD α设平面，ABCD l α= 所以，//BD l 因为是正方形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，因为平面，1AA BD ⊥11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂1A AC 所以平面，因此有平面，而，BD ⊥1A AC l ⊥1A AC l ⊂α所以平面平面，因此选项B 正确；1A AC ⊥α设到平面的距离为，1B αd 因为平面，是正方形，点，B 到的距离分别为，1，11AA B B A α= 11AA B B 1A α3所以有， 31422d d +=⇒=设正方体的棱长为，1111ABCD A B CD -a设直线与所成角为，所以， 1AB αβ14sin AB β===设直线与所成角为，所以， 1AA αγ133sin AA aγ==因为，因此选项C 不正确；3>sin sin βγβγ<⇒<因为平面平面，平面平面，1A AC ⊥α1A AC ⋂A α=所以在平面的射影与共线，1,C A α,E F A显然，如图所示：1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥由，11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠， 111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=由， 2212249cos sin 112ECA A AF a a a ∠+∠=⇒+=⇒=因此选项D 正确，故选：ABD 12. 已知，为正实数，且，则（）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为，26ab a b ++=所以，62ab a b ab =++≥+当且仅当时取等号，2a b =令，则有，0t =>260t +-≤解得，又因为， t -≤≤0t =>所以，即0t <≤0<≤的最大值为2，故A 选项正确；ab 对于B ：因为，26ab a b ++=所以， ()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤⨯++当且仅当时取等号，2a b =令，则有，20t a b =+>28480t t +-≥解得或（舍去），4t ≥t 12≤-即，所以的最小值为4，24a b +≥2a b +故B 选项错误；对于C ：因为，26ab a b ++=所以， 12111888b b a ++==++所以，81221119888111a b b b +++≥=+++=++当且仅当，即时等式成立， 2118b b +=+3b =所以的最小值为，故C 选项正确； 1211a b +++98对于D ：当，时，， 14a =225b =()4.150,3a b -=∉所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 【答案】2-【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上()00,x y 即可得解.【详解】设切点为，()00,x y ， 1y x '=-则，所以， 0011x x y x ==-=-'01x =所以切点为，()1,a 又切线为，10x y ++=所以，解得.110a ++=2a =-故答案为：.2-14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有种方案.36C 20=故答案为：20. 15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210,0x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b【解析】【分析】作出图象，设的内切圆的圆心为，易知在的平分线上，过分别作OAB A M M AOB ∠Ox M 于，于，则有四边形为正方形，则，MN OA ⊥N MT AB ⊥T MTAN 2||||3b NA MN ==2||3b ON a =-，由，可得，由斜率公式即可得答案. tan MNb AOF ON a∠==2a b =【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知，其中为点到渐近线的距离，， AF d b ===d (c,0)F b y x a =||OF c =所以， ||OA a ===设的内切圆的圆心为，OAB A M 则在的平分线上，M AOB ∠Ox 过分别作于，于，M MN OA ⊥N MT AB ⊥T 又因为于，FA OA ⊥A 所以四边形为正方形，MTAN所以， 2||||3b NA MN ==所以， 2||||||3b ON OA NA a =-=-又因为， 2||3tan 2||3bMN b AOF b ON aa ∠===-所以， 2233a b a =-，2a b =所以，22225c a b b =+=所以， c =所以. c e a ===. 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P 所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】 16π3+【解析】【分析】根据图形与，建立直角坐标系，画出图形，()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程，中， ()()22cos sin 4x y θθ-+-=0πθ≤≤令，则有， 0x =222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=所以，其中， 12sin y yθ=-0πθ≤≤所以，所以， []sin 0,1θ∈[]12sin 0,2y y θ=-∈解得，1y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦所以，，，， (A ()0,3E ()0,1G -(0,D 令，则有，0θ=()2214x y -+=所以，，()1,0C ()3,0N 令，则有πθ=()2214x y ++=所以，. ()1,0B -()3,0M -由，，易得与线段()3,0M -()3,0N ()0,3E A MEN MN 组成的图形为的上半圆，229x y +=由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由的上半圆减去上半圆 229x y +=()2214x y -+=与上半圆相交的部分形成， ()2214x y ++=即与线段组成的面积，设为. A BACBC S 水滴上部由，，三点易得 (A ()1,0B -()1,0C 为边长为2的等边三角形，ABC A所以 212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=-A 弓形所以，4π23ABC AnC S S S =+=A 弓形水滴上部设第一、二象限的阴影面积为， 1S 则. 19π9π4π19π2236S S =-=-+=+水滴上部由，，易得与线段 ()1,0B -()1,0C ()0,1G -A BGCBC 组成的图形为的下半圆， 221x y +=设在第三象限中的阴影面积为， 2S 则有， 2π4MOD MpD S S S =+-A 弓形由图知11322MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=A ，，11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯=A 2π3MBD ∠=所以，214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=A 弓形所以，2π4ππ13π43412MOD MpD S S S =+-=+-=A 弓形所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：. 1219π13π16π226123S S S ⎛=+=⨯=+ ⎝故答案为：. 16π3+【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项． n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由等比中项得，进而由递推式计算出，并得到，得数列()214n n a S +=11a =12n n a a --=是等差数列，进而可求解；{}n a (2)由，从第二项开始放缩即可证明. ()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-【小问1详解】∵是4与的等比中项，∴①． 1n a +n S ()214n n a S +=当时，，∴． 1n =()2111144a S a +==11a =当时，②，2n ≥()21114n n a S --+=由①-②得，， ()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=∴， ()()1120n n n n a a a a ----+=∵，∴，0n a >12n n a a --=∴数列是首项为l ，公差为2的等差数列， {}n a ∴的通项公式． {}n a 21n a n =-【小问2详解】由（1）得，2111a =当时，，2n ≥()222111111444121n a n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪--⎝⎭-∴ 22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．【答案】（1） π3A =（2） AN =【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得，再结合三角形()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】由题意知中，， ABC A cos sin a C C b c +=+由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C，()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++， sin cos sin sin A C A C C =+∵，()0,πC ∈∴， sin 0C ≠cos 1A A -=∴，∴， π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，， ()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以，即． ππ=66A -π3A =【小问2详解】如下图所示，在中，为中线，ABC A AM∴， 2AM AB AC =+∴，()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ∴． 2212b c bc ++=∵， ABC S =△1sin 2bc A ==3bc =∴，b c +==∵， ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴． ()1πsin 26b c AN AN =+=AN =19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=【答案】（1）甲被录用的概率为，乙被录用的概率为2332p p -2333p p -（2）不存在；理由见解析【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构ξ造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可. 【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为，得， X ()~3,X B p 则甲被录用的概率为，()2232313C 132P pp p p p =-+=-乙被录用的概率为． ()222332C 133P p p p p =-=-【小问2详解】的可能取值为0，1，2，ξ则，()()()12011P P P ξ==--， ()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==∴ ()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦，23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=设，()()321101230f p p p p +=<<-则．()23024f p p p '=-∴当时，单调递减，405p <<()f p 当时，单调递增，415p <<()f p 又，，，()03f =()11f =4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭所以不存在的值，使得.p 0p ()00f p =20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小． P AB C --【答案】（1）证明见解析（2）6π【解析】【分析】(1) 分别取，的中点，，连接，，，证明出，可得AB CD E F PE EF PF PC PD =，由此可证得结论成立；PAD PBC ≌△△(2)先根据条件推出为二面角的平面角，设，建立空间直角坐标系，利用PEF ∠P AB C --PEF α∠=空间向量法结合基本不等式求出直线与平面所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即PA PCD 可求解. 【小问1详解】分别取，的中点，，连接，，， AB CD E F PE EF PF ∵，为的中点，∴．PA PB =E AB PE AB ⊥∵四边形为正方形，则且，∴． ABCD AB CD ∥AB CD =CD PE ⊥∵，分别为，的中点，∴，∴，E F AB CD EF AD ∥EF CD ⊥∵，∴平面．EF PE E ⋂=CD ⊥PEF∵平面，∴． PF ⊂PEF CD PF ⊥在中，PCD A ∵为的中点，，∴． F CD CD PF ⊥PC PD =又∵，，∴， PA PB =AD BC =PAD PBC ≌△△从而可得． PAD PBC ∠=∠【小问2详解】由（1）可知，，PE AB ⊥EF AB ⊥∴为二面角的平面角，且，PEF ∠P AB C --PE ==以点为坐标原点，，所在直线分别为x ，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，E EB EFy设，其中，PEF α∠=0απ<<则，，，，，，()1,0,0A -()1,0,0B ()1,2,0C ()1,2,0D -()0,2,0F ()P αα，，．()AP αα= ()2,0,0DC =u u ur()FP αα=- 设平面的法向量为，PCD (),n x y z =由，即，取， 00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩y α=则，，∴，2z α=-0x=(),2n αα=-cos ,n AP n AP n AP⋅<>==⋅==令，(77t α-=∈-+则， cos α=则，cos ,n AP <>==≤=当且仅当时，即当时，等号成立．1t =cos α=6πα=所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角为．PA PCD P AB C --6π21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值． N OM ON ⋅【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知，得动点P 的轨迹以，F 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=C 为焦点的椭圆；（2）将直线与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案. l Γ【小问1详解】圆：，圆心为，半径为4，C ()22116x y -+=)1,0因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以， PD PF =所以， 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以，F 为焦点的椭圆， C 则，，.242a a =⇒=221c c =⇒=2223b a c =-=故轨迹方程为：．22143x y +=【小问2详解】依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，将其与方程联立：l l ()0x my t m =+≠Γ，消去x 得. 22143x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463120m y mty t +++-=方程判别式，设，，则，()2248430m t+->()11,A x y ()22,B x y ()22,B x y '-由韦达定理有，，122634mt y y m -+=+212231234t y y m -=+则直线的方程为，AB '()121112y y y y x x x x +-=--令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y yy x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++，则，得.2312426t m t mt t -=⋅+=-40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴．即为定值4．44OM ON t t ⋅=⋅= OM ON ⋅ 22. 已知函数，．()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值； 1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值． ()f x xa a 【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间1a =()()F x f x x =-()()()121e x x x x F x --=-'()F x '的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；()F x ()()F x f x x =-（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时()≥f x a x ()0f x ax -≥()()()121e x x xx F x --=-'构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.()1ex g x x -=-1x =()ln g ax x -ln 1ax x -=【小问1详解】当时，令，，1a =()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=()0,x ∈∞则，()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x x F xx x ------+-'==-⋅-+-=令，，则，()1ex g x x -=-x ∈R ()1e 1x g x -'=-易知在上单调递增，且，()g x 'R ()10g '=∴当时，，在区间上单调递减，且，()0,1x ∈()0g x '<()g x ()0,1()()110e x g x x g -=->=当时，，在区间上单调递增，且，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞()()110e x g x x g -=->=∴当时，，在区间上单调递减， ()0,1x ∈()()()121e 0x x x F x x --'=-<()F x ()0,1当时，，在区间上单调递增，()1,x ∈+∞()()()121e 0x x x F xx --'=->()F x ()1,+∞当时，取得极小值，也是最小值，，1x =()F x ()()11mine 1ln1101F x F -==+-=∴当时，函数的最小值为. 1a =()f x x -0【小问2详解】由已知，的定义域为， ()f x ()0,∞+若函数的最小值为，则有，∴，， ()f x x a ()≥f x a x()f x ax ≥()0f x ax -≥令，即的最小值为，()()h x f x ax =-()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=0由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，1x =()1ex g x x -=-()10g =∴当且仅当时，取得最小值， ln 1ax x -=()ln g ax x -0又∵，()()()l 1l 1n 1n n e e ln ln ln ee ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=+-=∴只需令有解，即有解， ln 1ax x -=ln 1x a x+=令，，则， ()ln 1x H x x+=()0,x ∈+∞()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-当时，，在区间上单调递增， ()0,1x ∈()2ln 0xH x x '=->()H x ()0,1当时，，在区间上单调递减， ()1,x ∈+∞()2ln 0xH x x'=-<()H x ()1,+∞∴， ()()ln 111x a H x H x+==≤=综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为. ()f x xa a 1【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.()1ex g x x -=-()()ln g ax x h x -=。

四川省成都市树德中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学(理)试题

四川省成都市树德中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数1i z =−，则21z z −=（） A ．31i 2−−B ．11i 2−−C ．11i 2−D ．11i 2+2．若1:10l x my −−=与2:(2)310l m x y −−+=是两条不同的直线，则“12l l ∥”是“3m =”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．在区间(2,1)−上，()f x 是增函数B ．当2x =时，()f x 取到极小值C ．在区间(1,3)上，()f x 是减函数D ．在区间(4,5)上，()f x 是增函数4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为1x ，2x ，则12x x <5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算 π的近似值（其中P 表示π的近似值）”.若输入8n =，输出的结果P 可以表示为A ．11114(1)35711P =−+−+−B ．11114(1)35713P =−+−++C ．11114(1)35715P =−+−+−D ．11114(1)35717P =−+−++ 6．椭圆22221x y a b+=与直线10x y +−=相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则ab=（）A ．2BC D ．27．已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =−++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．238．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B -ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1 BCD9．已知点()()2,0,1,0M N −，若在圆221:()(1)4C x a y −+−=上存在点P 满足2PM PN =，则正实数a 的取值范围是（） A ．[]2,4B．1⎡⎢⎣⎦C．22⎡+⎢⎣⎦ D ．59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的右顶点为A ，抛物线2:12C y ax =的焦点为F .若在双曲线E 的渐近线上存在点P ，使得0PA PF ⋅=，则双曲线E 的离心率的取值范围是（） A ．()1,2B．1,3⎛ ⎝⎦C ．()2,+∞D．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =−，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．()()523e f f <−B ．()()523f e f <−C ．()()523e f f −> D ．()()523f e f −<12．已知函数2,1,()eln 52,1,xx f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪−−≤⎩若函数2[()](24)()1y f x a f x =+−+恰有5个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．491,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．91,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知呈线性相关的变量x 与y 的部分数据如表所示：若其回归直线方程是 1.050.85y x =+，则m =______．14．若实数x ，y 满足约束条件30201x y x y y +−≤⎧⎪−+≥⎨⎪≥⎩，设2x y +的最大值为a ，则11(2)d a x x x +=⎰______．15．已知点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上一点，若点P 到y 轴和到直线34120x y −+=的距离之和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．16．若关于x 的不等式2121ln n mx e x−≥+在1[,)2+∞上恒成立，则n m 的最大值为__________．三、解答题17．已知命题p ：复数()()2226i z m m m m =++−−，R m ∈．复数z 在复平面内对应的点在第四象限．命题q ：关于x 的函数21y x mx =++在[)1,+∞上是增函数．若p q ∨是真命题，p ⌝是真命题，求实数m 的取值范围．18．已知函数()()312R 3f x x ax a =−+∈，且()20f '=．(1)求函数()f x 在3x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在[]0,3上的最大值与最小值．19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间[)20,40，9：40~10：00记作[)40,60，10：00~10：20记作[)60,80，10：20~10：40记作[]80,100，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？20．如图1，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，AB AD ⊥，2AB =，3BC =，4=AD ，线段AD 的垂直平分线与AD 交于点E ，与BC 交于点F ，现将四边形CDEF 沿EF 折起，使C ，D 分别到点G ，H 的位置，得到几何体ABFEHG ，如图2所示．(1)判断线段EH 上是否存在点P ，使得平面PAF ∥平面BGH ，若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由．(2)若AH =，求平面ABH 与平面BGH 所成角的正弦值．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)，且离心率为2．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过()1,0T 作斜率之积为1的两条直线1l 与2l ，设1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 于C ，D 两点，AB ，CD 的中点分别为M ，N ．试问：直线MN 是否恒过定点？若是，请求出OMN 与TMN △的面积之比；若不是，请说明理由．22．已知函数()ln f x x ax =−． (1)求()f x 的单调区间．(2)若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，且12x x <<。

2021-2022学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年四川省成都市高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）．(){}ln 10A x x =-<{}2320B x xx =-+≤A B = A ．B ．{}12x x ≤<{}12x x ≤≤C ．D ．{}12x x <≤{}12x x <<【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：∵，，{}12A x x =<<{}12B x x =≤≤∴，{}12A B x x ⋂=<<故选：D ．2．中心在原点的双曲线C 的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C 的方程为（）()2,0A ．B ．C ．D ．2213xy -=21x =2213x y -=2213y x -=【答案】D【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．a c 【详解】解：设双曲线的方程为．C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由已知得：，，1a =2c =再由，，222+=a b c 23b ∴=双曲线的方程为：．∴C 2213y x -=故选：D ．3．若复数z 满足，则（）．()1i 13iz -=+z =A ．B ．12i -+12i +C ．D ．12i --12i-【答案】C【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.z 【详解】因为，故.()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+z =12i --故选：C ．4．已知，则外接圆的方程为（）((0,3)A B C ABC A ．B ．C ．D ．22(1)2x y -+=22(1)4x y -+=22(1)2x y +-=22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.ABC 【详解】设外接圆的方程为ABC ()222()x a y b r -+-=则有，解之得()()()222222222()0)0(0)3a b r a b ra b r ⎧+-=⎪⎪+-=⎨⎪-+-=⎪⎩012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则外接圆的方程为ABC 22(1)4x y +-=故选：D5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（）9.56A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺16.513 3.5 2.5【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.{}n a 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，{}n a 49.5a =春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为.76a =71042 2.5a a a =-=故选：D6．下列四个命题：①，使；0x ∃∈R 200230x x ++=②命题“”的否定是“”；00,lg 0x R x ∃∈>,lg 0x R x ∀∈<③如果，且，那么；,a b R ∈a b >22a b >④“若，则”的逆否命题为真命题，其中正确的命题是（）αβ=sin sin αβ=A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【详解】中故不存在，使，①错；2230x x ++=441380, =-⨯⨯=-<0x R ∈200230x x ++=命题“”的否定是“”，故②错；00,0x R lgx ∃∈>,lg 0x R x ∀∈≤如果，且，那么，故③错；,a b R ∈0a b >>22a b <“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.αβ=sin sin αβ=本题选择D 选项.7．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（）A ．样本的众数约为1672B ．样本的中位数约为2663C ．样本的平均值约为66D ．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学75kg 生频数约为200人【答案】C【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.【详解】对于A ，样本的众数为，A 对；657016722+=对于B ，设样本的中位数为，，解得，B 对；x ()50.0350.05650.060.5x ⨯+⨯+-⨯=2663x =对于C ，由直方图估计样本平均值为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，C 错误；66.75=对于D ，2000名男生中体重大于的人数大约为，D 对.75kg 200050.02200⨯⨯=故选：C.8．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段N ABCD ECD ∆ECD ⊥,ABCD M 的中点，则EDA ．，且直线是相交直线BM EN =,BM ENB ．，且直线是相交直线BM EN ≠,BM ENC ．，且直线是异面直线BM EN =,BM END ．，且直线是异面直线BM EN ≠,BM EN 【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作于，连接，过作于．EO CD ⊥O ON M MF OD ⊥F 连，平面平面．BF CDE ⊥ABCD 平面，平面，平面，,EO CD EO ⊥⊂CDE EO ∴⊥ABCD MF ⊥ABCD与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，MFB ∴∆EON ∆12EO ON EN ==，故选B ．5,2MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．9．已知，，，则以下不等式正确的是（）ln 22a =1e b =ln 55c =A ．B ．C ．D ．c b a >>a b c>>b a c>>b c a>>【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再1ln e e e b ==ln ()(0)xf x x x =>利用单调性比较大小即可【详解】，，，ln 22a =1ln e e e b ==ln 55c =令，则，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<所以在上递增，在上递减，()f x (0,e)(e )+∞，因为，2e 5<<所以，，(2)(e)f f <(e)(5)f f >因为，ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 25(2)(5)0251010f f ---=-==>所以，(2)(5)f f >所以b a c >>故选：C10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F 1F 与在轴上方的交点为.若，则的离心率是（）l C x A 112AF F F ＝CA ．BCD 23【答案】A【分析】结合条件及余弦定理可得，然后利用椭圆的定义即求.2AF c=【详解】设，则，12AF F α∠=tan α=7cos 8α=又，112=2AF F F c=在中，由余弦定理可得，12AF F △222227442228AF c c c c c =+-⋅⋅⋅=∴，2AF c=∴，1223a AF AF c=+=∴，23c e a ==故选：A.11．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式R ()f x '()f x '()()ln 20f x f x ->()14f =的解集为（）()22x f x ≥A ．B ．C ．D ．[]1,2[)1,+∞(],1-∞(]0,1【答案】B 【分析】首先设，从而得到在上为增函数，将等价于，再()()2x f x g x =()g x R ()22x f x ≥()()1g x g ≥利用单调性解不等式即可.【详解】设，，()()2x f x g x =()()()ln 202x f x f x g x '-'=>所以在上为增函数.()g x R 又因为，所以，()14f =()(1)122f g ==所以.()()()2112xf xg x g x ≥⇒≥⇒≥故选：B12．点，，，在同一个球面上，，若球的表面积为，则四面A B C D AB BC ==2AC =254π体体积的最大值为ABCDA ．B ．C ．D ．1234231【答案】C【分析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC 距离，最后可得四面体体积的最大值.ABCD 【详解】因为球的表面积为，所以,254π225π54π44R R =∴=因为所以三角形ABC 为直角三角形，222224AB BC AC +=+==，从而球心到平面ABC ,34==因此四面体体积的最大值为，选C.ABCD 13512()(34423⨯+⨯=【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．设各项为正的等比数列的前n 项和，若，，成等差数列，则数列的公比为{}n a n S 1S -2S3a {}n a ______．【答案】3【分析】根据条件可得，然后可得关于公比的方程，解出即可.1322S a S =-+q 【详解】因为，，成等差数列，所以，1S -2S 3a 1322S a S =-+所以，因为，所以，解得或（舍），()211112a a q a a q +=-+10a ≠()2211q q +=-+3q =1q =-故答案为：314．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为____【答案】##6π30︒【分析】根据正方体性质有，则直线PB 与AD 1所成的角为，进而计算其正弦值11//AD BC 1PBC ∠得大小.【详解】由，连接，故直线PB 与AD 1所成的角为，11//AD BC 1PC 1[0,2PBC π∠∈若正方体棱长为2，则11BC PC PB ===所以，故，则，22211PC PB BC +=1PC PB⊥1111sin 2PC PBC BC ∠==故.16PBC π∠=故答案为：6π15．已知函数在处取得极值，则实数_________．()ln f x x =1x ==a 【答案】2-【分析】求出导函数，由求得值，并检验此时是极值点．()f x '()01f '=a 1x =【详解】∵()ln ,0f x x x =>∴，则，，1()f x x '=02(1)1af '+==2a =-当时，，2a =-1()f x x'==时，，时，，01x <<()0f x '>1x >()0f x '<所以时，取得极值，1x =()f x 所以实数.=a 2-故答案为：.2-16．已知抛物线，过焦点F 的弦AB ，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交点P 的横坐24x y =标为1，则直线AB 的斜率为______．【答案】##0.512【分析】设，，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得交点横坐标结合条件即得.【详解】抛物线方程为，24x y =抛物线的焦点，∴()0,1F 由题意，直线AB 的斜率存在，设，，，:1AB l y kx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，得，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=，124x x k ∴+=由，得，求导得，24x y =24x y =2x y '=，即 ①∴()21111:42x x l y x x -=-21124x x y x =-同理②2222:24x x l y x =-由①②得，由题可得，即，∴1222x x x k +==12212x x x k +===12k =所以直线AB的斜率为.12故答案为：.12三、解答题17．为积极贯彻落实国家教育的“双减”政策，我市各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某初中学校为了解该校学生上学期来参加学业辅导、体育锻炼、综合实践三大类别的课后服务情况，德育处从全校七、八、九年级学生中按照1：2：3分层抽样的方法，抽取容量为240的样本进行调查.被抽中的学生分别对参加课后服务进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，德育处将八、九年级学生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：八年级学生评分结果频率分布表分数区间频数[)50,602[)60,70m[)70,8017[)80,9038[)90,10020(1)根据上述统计图表信息试求m和n的值；(2)为了便于调查学校开展课后服务“满意度"情况是否与年级高低有关，德育处把评分不低于70分的定义为“满意”，评分低于70分的定义为“不满意”，通过样本将七年级和九年级学生对课后服务“满意度"情况汇总得到下表：年级七年级九年级合计满意情况满意30不满意合计()20P K k ≥0.100.0500.0100k 2.706 3.841 6.635请补充上表，并判断是否有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关?附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】(1)，；3m =0.015n =(2)列联表见解析，没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．【分析】（1）由题干数据结合频率和为1，八年级学生总数即可得解；（2）由题干数据完善列联表，计算卡方，对比即可得解.【详解】（1）由已知八年级抽取人数为，，224080123⨯=++8021738203m =----=由频率和为1得，．(0.0050.020.040.02)101n ++++⨯=0.015n =（2）七年级人数为，九年级不满意人数为，1240406⨯=(0.0050.015)1012024+⨯⨯=列联表如下：年级满意情况七年级九年级合计满意3096126不满意102434合计40120160，22160(30241096)0.448 2.7061263440120K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E，F 分别在AD ，CD 上，，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到的位置，54AE CF ==D EF ' OD '=(1)证明：平面平面ABCD ；D EF '⊥(2)求三棱锥的体积．B D AC '-【答案】(1)证明见解析；(2)12.【分析】（1）由题可得，然后利用菱形的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得//EF AC 平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即得；D H '⊥（2）利用锥体的体积公式即得.【详解】（1）∵ABCD 是菱形，AD ＝DC ，又，54AE CF ==∴，则，DE DF EA FC =//EF AC 又由ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ，则EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，则，EF D H '⊥∵AC ＝6，∴AO ＝3，又AB ＝5，AO ⊥OB ，∴OB ＝4，∴，则，1AE OH OD AD =⋅=3DH D H '==∴，则，又，平面ABCD ，222OD OH D H ''=+D H OH '⊥OH EF H = ,OH EF ⊂∴平面ABCD ，平面，D H '⊥D H '⊂D EF '所以平面平面ABCD ；D EF '⊥（2）由题可知，，11641222ABC S AC OB =⋅=⨯⨯= 3D H '=所以三棱锥的体积为.B D AC '-111231233B D AC D BAC ABC V V S D H ''--'==⋅=⨯⨯=19．在△中，ABC b a=cos A =(1)求证：△为等腰三角形；ABC (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的ABC b值.条件①：；π6B ∠=条件②：△的面积为；ABC 152条件③：边上的高为.AB 3注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析.【分析】（1）把转化为边a 、b 之间的倍数关系，把a 、b 、c 之间b a =cos A =的关系，综合可得证；（2）条件①,与已知cos A =条件②，通过三角形面积公式解得a ，可使△存在且唯一；ABC 条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.ABC【详解】（1）在△中，由ABC b a =b =则由cos A =2222a c =+-即，故有()(35)0a c a c -+=c a=故△为等腰三角形.ABC （2）选择条件①：时，由（1）知，则有，π6B ∠=c a =512A C π∠=∠=此时，5cos cos cos()1264A πππ==+=≠与已知矛盾，三角形无解.不能选；选择条件②：△的面积为时，ABC 152由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===故有，解得，,21315252a ⨯=5a =5c=b =三角形存在且唯一，可选.选择条件③：边上的高为.AB 3由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===可得，则有,3353sin 5a B ===5c =b =三角形存在且唯一，可选.综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b =选择条件③时，三角形存在且唯一，b =20．设函数，，()1x f x e kx =--0x ≥R k ∈（1）求的单调递增区间；()f x （2）当，时，求证：.1k =12a ≤2()f x ax ≥【答案】（1）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是1k ()f x (0,)+∞1k >()f x ；（2）证明见解析(ln ,)k +∞【分析】（1）对函数进行求导，再对进行分类讨论，即可得到答案；k （2）由，只需证，设，又，只需证12a ≤21()2f x x ≥2211()()122x g x f x x e x x =-=---(0)0g =，利用恒成立，即可证明结论.()0g x '≥1x e x ≥+【详解】（1）， ()x f x e k '=-①当时，在恒成立，1k ()0f x ' (0,)+∞在单调递增；∴()f x (0,)+∞②当时，，，1k >'()0ln f x x k >⇒>'()00ln f x x k <⇒<<在单调递增，∴()f x (ln ,)k +∞综上，当时，的单调递增区间是，1k ()f x (0,)+∞当时，的单调递增区间是；1k >()f x (ln ,)k +∞（2）因为，要证，只需证，12a ≤2()f x ax ≥21()2f x x ≥设，2211()()1,022x g x f x x e x x x =-=---≥，令恒成立，()1x g x e x '=--()1,()10,0x x u x e x u x e x '=--=-≥≥所以在上单调递增，所以，()u x [0,)+∞()(0)0u x u ≥=即上恒成立，()0,[0,)g x x '≥∈+∞所以单调递增，，(),[0,)g x x ∈+∞()(0)0g x g ≥=即，得证.21()()02g x f x x =-≥【点睛】证明指对不等式要注意常用不等式的应用，如，等1,,ln 1x x e x e ex x x ≥+≥≥+ln(1)x x ≥+等，以及注意端点函数值与不等式的关系.21．已知椭圆分别为椭圆的上、下顶点，且2222:1(0)x y E a b a b +=>>,A B E .2AB =(1)求椭圆的标准方程；E (2)设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜率之和为，l E ,M N ,A B AM AN 2判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.l 【答案】(1)2214x y +=(2)直线经过定点．l (1,1)--【分析】（1）根据离心率和，求出，，从而求出椭圆方程；（2）先2AB =222a b c =+2a =1b =考虑直线斜率存在时，设直线，()，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，:l y kx t =+1t ≠±求出，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案.1t k =-【详解】（1c a=因为为椭圆的上、下顶点，且，所以即，,A B 2AB =22b =1b =又222a b c =+解得：2a =所以椭圆的标准方程为E 2214x y +=（2）直线经过定点，证明如下：l ()1,1--①当直线的斜率存在时，设，()，l :l y kx t =+1t ≠±由，得，2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(14)8440k x ktx t +++-=则得：222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+->2241t k <+设1122(,),(,)M x y N x y 则，， 122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则1212121212112(1)()AM AN y y kx x t x x k k x x x x --+-++=+=8(1)24(1)(1)k t t t -==+-所以，经检验，可满足，1t k =-2241t k <+所以直线的方程为，即l 1y kx k =+-()11y k x =+-所以直线经过定点．l ()11--，②当直线的斜率不存在时，设，，，l :l x m =(,)M M m y (,)M N m y -则112M M AM AN y y k k m m---+=+=解得，此时直线也经过定点1m =-l ()11--，综上直线经过定点．l (1,1)--【点睛】直线过定点问题，需要设出直线方程，与曲线联立方程后用韦达定理得到两根之y kx b =+和，两根之积，利用题干中条件得到等量关系，找到与的关系，或者求出的值，从而确定所k b b 过的定点，注意考虑直线斜率不存在的情况.22．已知函数，函数()21f x x =-()ln g x a x =(1)如果曲线与在x ＝1处具有公共的切线，求a 的值及切线方程；()y f x =()y g x =(2)当时，讨论的零点个数．2a ≥()()()h x f x g x =-【答案】(1)；；2a =220x y --=(2)当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【分析】（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解a 的值，()y f x =()y g x =1x =以及切线l 的方程；（2）分和讨论，利用导数研究函数的性质结合条件及零点存在定理即得.2a =2a >【详解】（1）由题可知，()2,()(0)a f x x g x x x ''==>由题意，公共切线的斜率，即，(1)(1)k f g ''==2a =又因为，(1)0f =所以切线方程为，即；()21y x =-220x y --=（2）因为函数，2()()()1ln (0)h x f x g x x a x x =-=-->则，22()2a x a h x x x x -'=-=当时，令，解得，2a =()0h x '=1x =与的变化情况如下：()h x '()h x x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 减函数增函数所以在上单调递减，在上单调递增，()h x (0,1)(1,)+∞所以当时，，1x =min ()(1)0h x h ==故有且仅有一个零点，()y h x =1当时，令，解得，2a >()0h x '=x 与的变化情况如下：()h x '()h x所以在上单调递减，在上单调递增，()hx ⎛ ⎝⎫∞⎪⎪⎭所以当，x=()min h x h = 因为，(1)0h =1> 所以函数在上存在一个零点，且，⎛ ⎝()10h h <=又，222e e 1ln e e 12a a a a a h a ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭令，则，()2e 1,22aa t a a =-->()e a t a a '=-设，则，在上单调递增，()()e a s a t a a '==-()e 10a s a ='->()s a ()2,a ∈+∞则，故，在上单调递增，()()22e 20s a s >=->()0t a '>()t a ()2,a ∈+∞所以，即，又，在上单调递增，()()22=e 30t a t >->2e 0a h ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭0h <()h x ⎫∞⎪⎪⎭所以存在，使得，20,e a x ∈⎫⎪⎪⎭0()0h x =所以，当时，函数存在两个零点；2a >()y h x =01,x 综上，当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.。

河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷

河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020212．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．1285．已知i 是虚数单位，则（） A ．B ．C ．D ．6．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 37．(),0F c -为双曲线2222:1x yE a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（） A 5B ．52C 5D ．58．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36B ．72C ．36-D ．36±10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个A ．170B ．10C ．172D ．1211．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 12．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题

2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题一．选择题：（每小题5分，共计60分）1．已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．6 D ．32．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = （） A. 3 B.32 C. 83 D. 233．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3] B ．(－1，3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A. 2 B ．32 C. 22 D ．125．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4．0 2．5 －0．5 0．5 －2．0 －3．0A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜06．设变量,x y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．22 D ．237．当5n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ).2A .4B .7C .11D8．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．[0，34)C ．[0，34]D ．(0，34)9．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A. 963B. 163C. 243D. 48311．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C ．[－3，3]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 12．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是（）．A ．1 B.2 C.1或2 D.-1或2 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．()211111= ()1014．已知向量(1,)a m =，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于15．某程序框图如右图所示,该程序运行后, 输出的x 值为31,则a 等于__ ___ 16.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设,A B 为两个定点，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线。

2021-2022年高二数学下学期第一次月考(4月)试题理

2021-2022年高二数学下学期第一次月考（4月）试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A．6 B．12 C．18 D．242.已知随机变量服从正态分布,则A.0.21B. 0.58C. 0.42D. 0.293.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中最多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为A. B. C. D.4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A．B．C．D．5.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5 个车站，乘客下车的可能方式有A：种 B：种 C：50 种 D：以上都不对6.在(｜x ｜+-2)3的展开式中的常数项是( ) A.12 B.-12 C.-20 D.207.在(1-x)11的展开式中，x 的奇次幂的项的系数之和是( )A.-211B.-210C.211D.210-18.从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任ABCDE 五种不同的职务，规定女生不担任B 职务，不同的分配方案有( )A.A 102A 403B.C 102A 31A 44C 403C.C 152C 403A 55D.C 102C 4039.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（）A. B. C. D.10.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A ．种B ．种C ．种D ．种11. 以平行六面体的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率是（）A ．B ．C ．D ．12.设a,b ∈｛1,2,3,4,5,6｝，则有不同离心率的椭圆，(a ＞b)的个数为（）Ａ．30 Ｂ．15 Ｃ．11Ｄ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量满足=2,则___________14.设函数则导函数的展开式项的系数为______________15．4个男生，3个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数___________.16．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.连续6次射击，把每次命中与否按顺序记录下来。

山东省2022-2021年高三4月月考数学理

高三下学期4月月考试题数学（理工类）（考试用时：120分全卷满分：150分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B ⋂=A ．{0}B ．{2}C ．{0,1,2}D ．φ2.复数，，则在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数f （x ）=cos （2x+ϕ）满足f （x ）≤f （1）对x ∈R 恒成立，则 A ．函数f （x+1）一定是偶函数, B ．函数f （x-1）一定是偶函数 C ．函数f （x+1）一定是奇函数, D ．函数f （x-1）一定是奇函数 4. 下列结论正确的．．．是 A ．命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”； B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为假; C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D. 若3(2n x x的展开式中第四项为常数项，则n =55. 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为 A. ①系统抽样，②分层抽样 B. ①分层抽样，②系统抽样 C. ①系统抽样，②简单随机抽样 D. ①分层抽样，②简单随机抽样6.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为A ．2B ．23C ．3D ．227.将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则A ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称 B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()y f x =的图象关于点(,0)2π对称 D ．()f x 在(,)36ππ-单调递增 8.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为A eB ．13e + C ．1 D ．1e -9．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N=n （bmodm ），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．20B ．21C ．22D ．2310. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x x x x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g 的根的个数不可能为 A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个11．已知a ∈{0，1，2}，b ∈{﹣1，1，3，5}，则函数f （x ）=ax 2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

江苏省南京市宁海中学2023届高三下学期4月月考数学试题

值时， DNA 的数量 X n 与扩增次数 n 满足 lg Xn n lg1 p lg X0 ，其中 p 为扩增效率，
X 0 为 DNA 的初始数量.已知某被测标本 DNA 扩增10 次后，数量变为原来的100 倍，那么
该样本的扩增效率 p 约为（）
(参考数据：100.2 1.585 ，100.2 0.631)
cos nx Pn (cos x) ，这些多项式 Pn (t) 称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（）
A． P3(t) 4t3 3t C． a1 a2 a2 an 2
B．当 n 3 时， a0 0 D． sin18 5 1
4
三、填空题
13．已知点
试卷第 2 页，共 7 页
给出下列说法，其中正确的是（） A．从 2016 年至 2020 年国内生产总值逐年递增； B．从 2016 年至 2020 年国内生产总值增长速度逐年递减； C．从 2016 年至 2020 年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增； D．从 2016 年至 2020 年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
BN 分别交 e C ：x2 y 12 1于异于点 B 的点 P ，Q ，设直线 PQ 的斜率为 k2 ，直线 BM ，
BN 的斜率分别为 k3, k4 ． ①求证： k3 k4 为定值； ②求证：直线 PQ 过定点. 22．已知函数 f (x) ln(2x 1) m(2x 1) 1 . （1）若 y f (x) 在 x 2 处的切线与直线 3x y 2017 0垂直，求 y f (x) 的极值；（2）若函数 y f (x) 的图象恒在直线 y 1的下方. ①求实数 m 的取值范围； ②求证:对任意正整数 n 1，都有 ln[(2n)!] 4n(n 1) .

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2021-2022年高三下学期4月月考数学（理）试题(I)
一、选择题
1．设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
2．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c 【答案】D 3．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若；
②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则
③如果是异面直线，那么n 与α相交；
④若,//,,,m n m n n αβαβ=⊄⊄且则。

其中正确的命题是 ( ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】D
4．“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的 ( ）A．充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件
【答案】B
5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为
（）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】C
6．已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（）
A．［5.5，7.5） B．［7.5，9.5）C．［9.5，11.5）D．［11.5，13.5）
【答案】D
7．若││=2sin150,││=4cos150, 与的夹角为，则•的值是( )
A． B．C．2 D．
【答案】D
8．若，恒成立，则△ABC的形状一定是 ( ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
解析:根据遇模平方，恒成立可以转化为:
2222
22
k R k BC kBA BC BA BC BC BA BC BC BA BC BC
∀∈∴-+-≥∴--≤,220,()(2)0 22222
∴--≤由余弦定理得:
a c B a ac B a
cos(2cos)0,
由正弦定理得:.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、
正余弦定理以及推理论证能力,是难题.
9．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．
【答案】C
10．已知，则数列是 ( ）
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列
【答案】A
11．已知函数，则 ( ）
A．B．C．D．
【答案】A
12．为了考察两个变量x、y的线性相关关系，李明与李达分别独立做了30次、50次试验. 已知两人试验中x、y的平均值恰好相等，均为，两人分别
求得回归直线, 那么A．相交于点（m,n) B．重合
C．平行D．垂直
【答案】A
二、填空题
13．关于方程3x＋x2＋2x－1＝0，下列说法正确的是________．
①方程有两个不相等的负实根
②方程有两个不相等的正实根
③方程有一正实根，一零根
④方程有一负实根，一零根
【答案】④
14．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为________．
【答案】x2＋y2＋2x－4y＝0
15．第十一届全运会的篮球比赛中，已知甲、乙两名运动员每场比赛的得分统计茎叶图如图所示，则发挥较稳定的运动员是 .
【答案】甲
16．把函数y＝sin(2x＋π
4
)的图象向右平移
π
8
个单位长度，再把各点的纵坐标
扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．【答案】y＝2sin2x
三、解答题
17．若关于x 的方程a x ＝3m －2(a ＞0且a ≠1)有负根，求实数m 的取值范围．
【答案】若a ＞1，由x ＜0，则0＜a x ＜1，
即0＜3m －2＜1， ∴2
3
＜m ＜1；若0＜a ＜1，由x ＜0，则a x ＞1，
即3m －2＞1，
∴m ＞1.
综上可知，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． 18．求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
【答案】设是内的任意一条直线
αααα⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a // 19．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，
根据概率的统计定义解答下列问题：
(1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；
(2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3）要孵化5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？（精确到百位）
【答案】（1）这种鱼卵的孵化频率为=0.8513，它近似的为孵化的概率.
(2）设能孵化x 个，则，∴x=25539，
即30000个鱼卵大约能孵化25539尾鱼苗.
(3）设需备y 个鱼卵，则，∴y ≈5873，
即大概得准备5873个鱼卵.
20．已知函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin 32)(2
2x x x x x f ． (1）求函数的最大值并求出此时的值；
(2）若，求的值．
【答案】（1
）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226
x x x x f x x x x =--=-=- 当，即时，取得最大值为.
(2）令时，得.
sin cos()
sin cos tan 1 2.sin cos tan 1
sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++-
21．已知数列{}的前n 项和，求数列{}的通项公式.
【答案】当n ≥2时，
当n=1时，a 1=S 1=5,所以
22．已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f
(1）当时，恒成立，求实数的取值范围。

(2）当时，讨论函数的单调性。

【答案】（1）当时，恒成立x
x k kx x ln 1ln 1+≥⇔≤+⇔ 的定义域为（0，+∞）
令，则,
因为，由得，
且当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减.所以，
故
(2）的定义域为（0，+∞），()()()x p x p x p x p x f +-=-+=2'1212 当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当0＜＜1时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减.
20776 5128 儨c26050 65C2 旂32747 7FEB 翫35873 8C21 谡22200 56B8 嚸23817 5D09 崉26496 6780 枀!35788 8BCC 诌U。

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