第五节 二次型及其标准型5-2

解 1）二次型的矩阵为 ）
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
−1 1 1 1 ~ 1 1 3 −1 1 1 1 −2 0 0 1 ~ 2 0 0 0 2 4 0 0 1 −1 3 1 1
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
都为二次型； 都为二次型； 二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 4 x3 为二次型的标准形. 为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f ( x 1 , x 2 ,L , x n ) = a 11 x 1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
+ L + x n ( a n1 x 1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = ( x 1 , x 2 ,L , x n ) M a n1 x 1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n
1 3 −1 1 1
1 −1 3 1 1 −1 0 4 4 0 0
1 1 1 3
1 0 ~ 0 0
1 1 1 −1 0 1 0 0
1 1 0 0 ~ 1 0 0 0
0 1 0 0
0 −1 0 1 , 1 1 0 0
得基础解系
1 1 −1 −1 , 单位化，得 p = 1 , ξ1 = 单位化， 1 −1 2 −1 1 1
当 2 = λ3 = λ4 =1 解 程 A− E x = 0. λ ， 方 （ ） 由
−1 1 A− E = 1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 0 0 ~ −1 −1 1 0 0 1 1 −1 0 0
称为二次型. 称为二次型.
当 a ij是复数时 , f称为 复 次 ; 二 型
当 a ij是实数时 , f称为 实 次 . 二 型
只含有平方项的二次型 2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn 称为二次型的标准形（或法式）． 称为二次型的标准形（或法式）． 例如
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3
第五节 二次型及其标准型
一、二次型及其标准形的概念
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 ,L , x n的二次齐次函数
2 2 2 f ( x1 , x 2 , L , x n ) = a11 x1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x 3 + L + 2a n − 1 , n x n − 1 x n
a11 a21 = ( x1 , x2 ,L, xn ) L a n1 a11 a12 L a21 a22 L 记 A= L L L a n1 an 2 L
a12 a22 L an 2 a1n a2 n , L ann
L L L L
经过上面的讨论， 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 一般步骤： 的一般步骤： 1、将二次型 f = ∑∑a xi xj 写成矩阵形式； 将二次型 写成矩阵形式； ij
i= j= 1 1 n n
2、由|A-λE|=0，求出 的全部特征值； 由 的全部特征值； ，求出A的全部特征值
3 由 A- λE x = 0 求 A 特 向 ： 、 （ ） ， 出的 征 量 对 求 的 同 特 值 对 的 征 量 正 ， 于 出 不 的 征 所 应 特 向 已 交 须 位 ； 只 单 化 对 k重 征 λk所 应 k个 性 关 特 向 ， 于 特 值 对 的 线 无 的 征 量 用 Schim 标 正 化 法 它 化 k个 两 交 单 idt 准 交 方 把 们 为 两 正 的 位 量 向 。 4．把求出的 个两两正交的单位向量，拼成正交矩 把求出的n个两两正交的单位向量 把求出的 个两两正交的单位向量， 作正交变换x=Py; 阵P,作正交变换 作正交变换
把下面的二次型写成矩阵形式： 例1.1 把下面的二次型写成矩阵形式：
(1 )
(2)
f (x1, x2) = x +4x1x2 +3x ;
2 1 2 2
f (x1, x2, x3) = x +4x1x2 +3x ;
2 1 2 2
解 (1 )
1 2 x 1 f (x , x2 ) = ( x , x2 ) 1 1 x ; 2 3 2
1.2 用正交变换化实二次型为标准形 定理1.1 对于任意的 元二次型 对于任意的n元二次型 元二次型f(x)= xTAx，必有正交 定理 ， 变换x=Py，使f化为标准形 变换 ， 化为标准形
2 2 2 f = λ y1 + λ2 y2 +L+ λn yn . 1
其中λ 的全部特征值. 其中 1,λ2, …，λn恰是 的全部特征值 ， 恰是A的全部特征值 证明 由于 为n阶对称矩阵 由第五章定理 知有 阶 由于A为 阶对称矩阵 由第五章定理5.3知有 阶对称矩阵.由第五章定理 知有n阶 正交矩阵P， 正交矩阵 ，使得 PTAP=P-1AP= ding(λ1,λ2, …，λn)， 其中λ1,λ2, …，λn恰是A的全部特征值 由定理2.1便知 其中 ， 恰是 的全部特征值.由定理 便知 的全部特征值 由定理 定理成立. 定理成立 应用定理2.2求实二次型 求实二次型f(x)= xTAx标准型问题，其实 标准型问题， 应用定理 求实二次型 标准型问题 质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题 为对角矩阵的问题. 质上就是用正交变换化实对称矩阵 为对角矩阵的问题.
x = x2 + x3 − x4, 1 x = x , 2 2 解 得 x3, x3 = x4 = x4. x 1 1 −1 1 x 1 0 0 2 = k + k + k ，2,k3,k4不同时为零. k 即 2 3 4 x3 0 1 0 0 0 1 x4
2) A−λE = 0,求 的 征 ： 由 A 特 值
−λ 1 1 −1
1 1 1 0 −λ −1 −2 = (1−λ) 0 −2 −λ −1
−1 2 2
0 0 0 −λ +1 1 1 1 2 = (1−λ) 0 −λ −1 −2 0 −2 −λ −1
= (1−λ)2(λ2 + 2λ −3) = (1−λ) (λ +3)(λ −1 = 0. ) 得A的特征值为λ1=-3，λ2=λ3= λ4=1， 的特征值为 ， 的全部特征向量， 由(A-λE)x =0,求A的全部特征向量，当λ1=-3时，解 - ) 求 的全部特征向量 - 时 方程(A方程 -3E)x =0.
T T T
f = x Ax = (cy) A cy) = y (c Ac) y. (
T
把 = xT A 化 标 型 是 f x 成 准 .于
这样， 令B=CTAC,这样，我们需要讨论如下问题： 这样 我们需要讨论如下问题： (1) B是否是对角矩阵？若B是对角矩阵，将f 化为标 是否是对角矩阵？ 是对角矩阵， 是否是对角矩阵 是对角矩阵 准形的问题就解决了. 准形的问题就解决了 (2) R(A)与R(B)是否相等？ 与 是否相等？ 是否相等
2 n n
= ( y1
y2
λ y1 1 y λ2 2 L yn ) O M λn yn
（3）
= yTΛy.
为二次型的标准型 法式）. 为二次型的标准型（或法式 标准型 法式 显然， 显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩 阵为对角矩阵. 为对角矩阵