相交线与平行线一对一辅导讲义
七年级数学相交线与平行线讲义
相交线与平行线一、相交线同步知识梳理1．如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．2．如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．3．对顶角的重要性质是对顶角相等．4．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．5．垂线的性质性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．7．内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型。
二、同步题型分析题型1：对顶角以及邻补角例题1：图中是对顶角的是( )．例题2：如图，∠1的邻补角是( )．(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF题型2：垂线例题3：如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．题型3：同位角、内错角、同旁内角例题4：如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．三、课堂达标检测1、如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°2、判断正误（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( )（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( )（3）有一条公共边的两个角是邻补角．( )（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( )（5）对顶角的角平分线在同一直线上．( )（6）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )3、如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．图a 图b 图c4、如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．5、如图，下列结论正确的是( )．(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角6、如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )．(A)4对(B)8对(C)12对(D)16对一、平行线及其判定同步知识梳理1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作a∥b．2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行．3．平行公理是：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．4．平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：同位角相等，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．二、同步题型分析题型1：例题1：如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD＝∠ADB；⑵∠BCD＋∠ADC＝180°⑶∠ACD＝∠BACAB C DO例题2：已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．(____________，____________)(6)如果∠6＝∠3，那么____________．(____________，____________)例题3：已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．(1)∵∠B＝∠3(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(2)∵∠1＝∠D(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(3)∵∠2＝∠A(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，∴______∥______．(____________，____________)例题4：已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．三、课堂达标检测1、如图① 不能判定a ∥b 的一组条件是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠3=∠4D ．∠2=∠62、如图② 能够判定DE ∥BC 的条件是（ ）A ． ∠DCE+∠DEC= 180B ． ∠EDC=∠DCBC ． ∠BGF=∠DCBD ． CD ⊥AB ，GF ⊥AB3、已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB ∥CD ．(1)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠1＝______．证法1：∵∠1＝∠2，(已知)又∠3＝∠2，( ) ∴∠1＝_______．( )∴AB ∥CD ．(___________，___________)(2)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠3＝∠4．证法2：∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( ) 又∠1＝∠2，(已知)从而∠3＝_______．( )∴AB ∥CD ．(___________，___________)4、如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴ （ ）又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ）∴AB ∥DE （ ）5、已知：如图，CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2．试确定射线DF 与AE 的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：DF ______AE ．(2)证明思路分析：欲证DF ______AE ，只要证∠3＝______． (3)证明过程：证明：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，( )∴∠CDA ＝∠DAB ＝______°．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( )从而∠CDA －∠1＝______－______，(等式的性质)A B CD EF 1 2即∠3＝＿＿＿．∴DF ＿＿＿AE ．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)6、已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ．证明：∵∠ABC ＝∠ADC ，.2121ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，.212,211ADC ABC ∠=∠∠=∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( )∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) ∴______∥______．( )7、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a 与直线c 的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：a ______c ．(2)证明思路分析：欲证a ______c ，只要证______∥______且______∥______． (3)证明过程：证明：∵∠1＝∠2，( )∴a ∥______．(________，________)① ∵∠3＋∠4＝180°，( )∴c ∥______．(________，________)② 由①、②，因为a ∥______，c ∥______， ∴a ______c ．(________，________)8、如图，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．E BAFDC一、能力培养1、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.3、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．解析：考察角平分线的性质，对顶角的性质34l3l2l1124、当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.5、已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同的垂足?画图说明．6、已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．·M2、已知∠B＝∠C，∠1＝∠2。
第二章 相交线与平行线培优讲义(含解析)
第二章 相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”4321DCB A（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.DCBA87654321FE D CBA FMNDB F M NCAMNDB EMNECA（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义知识点精讲：一、同一平面内两条直线的位置关系1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．3．对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．4．平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．二、平行公理1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．提问垂线的性质，并进行比较．3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．三、三线八角由前面的教具演示引出．如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中对顶角有______对．______邻补角有______对．______同位角有______对，______内错角有______对，______同旁内角有______ 对．______ 四、典例探究（一）、平行性质与判定的综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由．C2、如图，已知∠1=∠2，再添上什么条件可使AB ∥CD 成立？并就你添上的条件证明AB ∥CD ．3、如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，求∠2的度数。
第五章平行线与相交线讲义
第五章 相交线与平行线一、学习目标重点：垂直的概念，平行线的判定和性质； 难点：用定理或性质进行简单的推理 二、知识要点 第一节 相交线知识点1.相交线---对顶角、邻补角 1.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等 2.邻补角（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为 反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：邻补角互补例．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _．基础练习：1.直线AD 、BC 交于O 点，∠+∠=︒A O B C O D 110， 则∠C O D的度数为 ． 2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______拓展练习：AB O CD图1FE OD CB A123 4知识点2垂线及其性质1、定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2、表示方法：用“⊥”表示垂直，读作“垂直于”3、性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线的画法基础练习：1.过P 点，画出OA 、OB 的垂线．APO BAO P B知识点3 垂线段与点到直线的距离1、垂线段：P 为直线l 外一点，PC ⊥l ，垂足为C ，则线段PC 就是点P 到直线l 的垂线段。
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
平行线和相交线复习讲义
平行线和相交线复习讲义(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除学生：______________ 教师______________ 日期 _____________ 时段__________________ 教务签字：______________成达教育学科学案课 题 相交线与平行线的复习教学目标1、互余、互补的运用2、“三线八角”3、平行线的性质和判定的综合运用重点、难点“证明”的格式、思路，平行线的性质和判定的综合运用一、相交直线1、同一平面内，两条直线有几种位置关系：2、“两线四角”如下左图：直线AB 与直线CD 相交于点O ，∠1与∠2有一条公共边 ，它们的一边 与 互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ；∠1与∠3有公共顶点O ，并且这两个角的两边互为 ，具有这种关系的两个角，互为 。
ODC BA 12例1、下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个例2、.如上右图所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1－∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.3、垂直当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线 ，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫（1）如图2，经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条； （2）如图3，经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条；（图2） （图3）归纳总结：经过探索发现：在同一平面内．．．．．．，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 4、点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。
注意：定义中说的是“垂线段的长度．．”，而不是“垂线段”。
因为，距离是一个数量，而“垂线段”是指一个具体l A lBDCB A 的几何图形。
平行线与相交线 讲义
相 交 线 和 平 行 线一、知识结构：⑴直线公理 ⑵线段公理⑶相交线⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同旁内角内错角同位角所截两条直线被第三条直线点到直线的距离垂线的性质唯一性互相垂直对顶角邻补角一般情况两条直线相交 ⑷平行线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ 平移的特征平行线的性质及其推论平行线的判定平行公理及其推论重要考点：1、认识常用角的概念、性质、计算2、垂线、垂线的性质3、平行线的性质与判定4、平移的性质与应用 综合考点： 1、公理的应用2、平行线的性质与判定的综合3、平行线与角平分线的综合4、平面内直线交点的个数二、典型例题：例1.已知mm 26,mm 42,30===︒=∠BC BA MBN （如图所示），过点A 分别画AB 和BC 的垂线，画点C 到AB 的垂线段，画点B 到AC 的垂线段，并量出点A 到BC 的距离和点C 到AB 的距离及A ，C 两点间的距离．例2. 如图，直线DE 交射线BA 和BC 于点F 和G ，请找出CGD ∠的同位角与B ∠的同旁内角．例3 .如图 1－18，直线a ∥b ，直线 AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°.变式练习：如图 1－20，CA ，CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a 与直线b 是否一定平行？例4 .如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2．变式1. 如图1－24所示．∠A 1+∠A 2=∠B 1，问AA 1与BA 2是否平行？变式2. 如图1－25所示．若∠A1+∠A 2+…+∠A n =∠B 1+∠B 2+…+∠B n-1，问AA 1与BA n 是否平行？例5 .如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．例6. 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF ⊥CD ．求证：∠3=∠B ．例7．如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E=∠3 试说明：AD 平分∠BAC 答：因为AD ⊥BC ，EG ⊥BC所以AD ∥EG （ ） 所以∠1=∠E （ ）∠2=∠3（ ） 又因为∠3=∠E 所以∠1=∠2所以AD 平分∠BAC （ ） 例8． 用六根火柴摆三角形．（1）摆出三个三角形，（2）摆出六个三角形； （3）摆出八个三角形；（4）摆出四个三角形．三、练习题1．填空题（1）在同一平面内，经过直线上或直线外一点，有且只有________条直线与已知直线垂直． （2）如图（1），︒=∠⊥⊥28,,AOC BO AO DO CO ，那么.________=∠BOD （3）如图（2），BC AD AC AB ⊥⊥,，垂足分别为D A ,点，C 点到直线AB 的距离是垂线段______的长度，B 点到直线AD 的距离是垂线段_________的长度，A 点到直线BC 的距离是垂线段的__________的长度，A 点到B 点的距离是线段_________的长度． （4）如图（3），已知AB 和CD 相交于O 点，︒=∠︒=∠18,50AOE BOC ，那么._______=∠COE （5）如图（4），①1∠和2∠是_____和______被_______截得的_________________； ②_______和_______被_________所截，1∠和B ∠是_________角； ③_______和_______被_________所截，EFC ∠和C ∠是_______角．2．选择题（1）下列图中，1∠和2∠不是同位角的是（ ）（2）图中，3∠和4∠不是内错角的是（ ）图8（3）图中，5∠和6∠不是同旁内角的是（ ）（4）观察图知，在下列语句中，正确的是（ ）A ．若21∠=∠，则CD AB //． B ．若21∠=∠，则BC AD //． C ．若BCD B ∠=∠，则AD BC //． D ．若D B ∠=∠，则AD BC //． （5）如果1∠和2∠是同旁内角，且︒=∠751，那么=∠2（ ）A ．75°B ．105°C ．75°或105°D ．大小不定．（6）如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么，这两个角（ ） A ．相等． B ．互补． C ．相等或互补． D ．相等且互补． （7）有下列语句：①直线a 与b 相交，若c a //，则b 不与c 平行． ②直线a 、b 被直线c 所截，同位角相等．③如果直线AB 与直线CD 平行，则点A 、B 在直线CD 的同侧． ④如果直线AB 与直线CD 相交，则点A 、B 在直线CD 的异侧． 其中，正确的是（ ）A ．①②③④．B ．①③．C ．①③④．D ．①②④．(8)一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50(9). 如图4，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，若∠COE=55°，则∠BOD 的度数为（A. 40° B. 45° C. 30° D. 35°(10). 如图5，已知ON ⊥l ，OM ⊥l ，所以OM 与ON 重合，其理由是（ ）A. 过两点只有一条直线B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C. 垂线段最短D. 过一点只能作一条垂线(11).下列说法正确的有（ ） ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②互为邻补角的角平分线互相垂直；③过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；④直线外一点到这条直线的垂线的长叫做这点到这条直线的距离。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-本章总结本章主要讲述的知识点有相交线与平行线。
其中相交线当中，两线相交，共产生两对对顶角，还引入了邻补角的概念。
相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。
经过直线外一点，作直线的垂线，有且只有一条；点到直线上各点的距离中，垂线段最短。
两条直线的另外一种关系是平行，平行就是指两条直线永不相交。
平行线之间的距离处处相等。
过直线外一点，作已知直线的平行线，有且只有一条。
当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。
两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢答案是可以的。
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB∠∠∠∠∠∠︒∠∠︒∠∠︒∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。
初中数学相交线与平行线讲义
学科教师辅导讲义认识并堂握相交线、平行线的相关知识：运用两条直线平行的条件.证明两条直线平行: 平行线的性质进行简单•的推理及有条理的表达: 学握尺规作图的基木方法。
二-知识概念（一）相交线1、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点, 这样的两个角叫做对顶角。
性质：对顶角相等。
2、垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线/的垂线，垂足为点B,则线段AB的长度叫做点A到直线/授课日期及时段T (TeXtbOOk-BaSed) 同步课堂体系搭建一、知识框架相交线L->对顶角、垂直互为余角、补角相交线与平行线学员编号:学员姓名:年级：七年级辅导科目：数学课时数：3学科教师：授课主题授课类型第Ol讲-一相交线与平行线T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标的距离，此时线段AB叫垂线段。
4、互补与互余互补：如果两个角的和是180° ,那么称这两个角互为补角，也称互补。
互余：如果两个角的和是90° , 那么称这两个角互为余角，也称互余。
性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等。
（二）平行线1、两条直线平行的条件两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简称为：同位角相等，两直线平行。
两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简称为：内错角角相等，两直线平行。
两条宜线平行的条件3：两条直线被第三条宜线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简称为：同旁内角互补，两直线平行。
2、平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②平行于同一条直线的两条直线平行3、平行线的性质和判眾中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推岀两直线平行，这是平行线的判定：而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。
初一数学：相交线与平行线课程讲义
第一章相交线与平行线相交线与平行线（一）相交线1.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线.3.垂线：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质：（1）经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到这条直线的距离。
练习：一、判断题1.邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.（）[答疑编号500200010101] 『正确答案』正确2.邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角（）[答疑编号500200010102] 『正确答案』错误3.对顶角相等，相等的两个角是对顶角（）[答疑编号500200010103] 『正确答案』错误4.有公共顶点且相等的两个角是对顶角（）[答疑编号500200010104] 『正确答案』错误5.两条直线相交，有两组对顶角（）[答疑编号500200010105] 『正确答案』正确6.两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么其余的三个也是直角（）[答疑编号500200010106] 『正确答案』正确二、填空题1.如图，已知AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC =28°，则∠AOD=度.[答疑编号500200010107]答：62°；2.已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为度.[答疑编号500200010108] 『正确答案』130°3.如果∠α=55°，那么它的余角为______________.[答疑编号500200010109] 『正确答案』35°4.已知一个角的2倍恰好等于这个角的补角的，则这个角等于.[答疑编号500200010110]答：20°；5.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB +∠DOC =.[答疑编号500200010111]答：180°；6.两条直线相交，所成的所有小于平角的角中，有对对顶角，有对邻补角；三条直线交于一点，所成的所有小于平角的角中，有对对顶角，有对邻补角。
平行线一对一辅导讲义
课 题 平行线 授课日期及时段教学目的1、进一步认识平行线的的概念。
2、用符号表示两条直线互相平行。
3、会用两种方法作过直线外一点画这条直线的平行线。
4、了解过直线外一点有且只有一条直线平行于直线。
重点难点重点：平行线的概念和性质。
难点：平行线的各种画法，及从画法中体会发现平行线的有关性质。
教学内容一、日校问题解决及上次课课后作业解决 二、 课前检测1. 如图，点A B C 、、在一条直线上，153237∠=∠=，，那么CD 与CE 的位置关系是______．2. 如图，PO OR OQ PR ⊥，⊥，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( ) A ．五条 B ．二条 C ．三条 D ．四条3. 甲、乙、丙、丁四人在判断时钟的分针与时针互垂直时的时刻，说法对的是( ) Ａ．甲说3时正和3时30分 Ｂ．丙说9时正和12时15分 Ｃ．乙说6时15分和6时45分 Ｄ．丁说3时正和9时正4. 在同一平面内如果两条直线互相垂直，那么这两条直线相交所成的角一定是( ) A ．平角 B ．直角 C ．钝角 D ．锐角5. 下面四个语句： 〔1〕只有铅垂线和水平线才是垂直的；〔2〕经过一点至少有一条直线与直线垂直；〔3〕垂直于同一条直线的垂线只有两条；〔4〕两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角是直角，那么其余三个角也一定相等．其中错误的选项是〔 〕A ．〔1〕〔2〕〔4〕B ．〔1〕〔3〕〔4〕C ．〔2〕〔3〕〔4〕D ．〔1〕〔2〕〔3〕6. 如图，90ADB ∠=，那么______AD BD ，用“<〞连接AB AC AD 、、，结果是______．ABCD E12RPQOAB C D7. 如以下图所示，要把水渠中的水引到水池中，水池在C 处，在渠岸AB 的何处开挖才能使所挖水沟最短？8. 点到直线的距离是指从这点到这条直线的〔 〕Ａ．垂线 Ｂ．垂线段 Ｃ．垂线的长 Ｄ．垂线段的长 9. 以下语句正确的选项是〔 〕Ａ．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直 Ｂ．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线垂直 Ｃ．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直Ｄ．两条直线相交成四个角，如果有两个角的和等于180°，那么这两条直线垂直10. 如以下图所示，直线AD BE CF ，，相交于O ，OG AD ⊥，且35BOC ∠=，30FOG ∠=．求DOE ∠的度数．参考答案：1.垂直2. A3. D4. B5. D6. ⊥，AD AC AB <<7.过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据垂线段最短，可知在D 处开挖可以使所挖水沟CD 最短 8.Ｄ 9.Ｃ 10. 25°三、知识梳理1、生活中的平行线ABC30°35°A BCDE FG2、平行线的概念平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
七年级数学相交线与平行线讲义
相交线与平行线知识点一（平行线的基本性质）1．平行线具有如下性质：(1)性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．这个性质可简述为两直线平行，同位角相等．(2)性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．这个性质可简述为两直线平行，内错角相等．(3)性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．这个性质可简述为两直线平行，同旁内角互补．2．同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离．【例题精讲】题型1：平行线的基本性质例题1：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________．(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________．(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．例题2：已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．(1)∵DE∥AB，( )∴∠2＝______．(_________________，_________________)(2)∵DE∥AB，( )∴∠3＝______．(_________________，_________________)(3)∵DE∥AB( )，∴∠1＋______＝180°．(____________________，____________________)例题3：如图所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( )A.78°B.90°C.88°D.92°例题4：如图所示,如果DE ∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.【课堂练习】一、选择题:1.如图1所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )A.5个B.4个C.3个D.2个(1)2.如图2所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( ) A.78° B.90° C.88° D.92°（2） （3）3.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④4.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交5.如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( ) A.35° B.30° C.25° D.20°DCBA 1FE DCBAE D C B A E D C B A OF E D C B A6.如图4所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( )A.180°B.360°C.540°D.720°(4) (5) (6)7.如图5所示,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )• A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 二、填空题:1.如图6所示,如果DE ∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.2.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.(7)3.如图8所示,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=•_______.（8） （9）三、训练平台:1. 如图9所示,AD ∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC 的度数.FE DCBA G FED C BA1FE DCBAD CBADCBA122. 如图所示,AB ∥CD,AD ∥BC,∠A 的2倍与∠C 的3倍互补,求∠A 和∠D 的度数.•知识点二（命题和平移） 【知识梳理】一、命题及平移1．判断一件事件的语句叫做命题．2．许多命题都是由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项3．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．4．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就一定成立的命题．相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题5.平移：由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。
相交线与平行线一对一辅导讲义【VIP专享】
辅导讲义学生姓名：年级： 七年级辅导科目： 数学学科教师：何香课题相交线与平行线专题总结授课时间：2016、5、7备课时间：教学目标重点、难点*课前小测*1、解为的方程组是（ ）12x y =⎧⎨=⎩A. B. C. D.135x y x y -=⎧⎨+=⎩135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩331x y x y -=⎧⎨-=⎩2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩2、长沙市某公园的门票价格如下表所示:购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元/人8元/人5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100 多人去该公园举行毕业联欢活动, 其中甲班有50多人,乙班不足50人,如果以班为单位分别买门票,两个班一共应付920元; 如果两个班联合起来作为一个团体购票,一共要付515元,问甲、乙两班分别有多少人?3、如图, AD∥BC , AD 平分∠EAC,你能确定∠B 与∠C 的数量关系吗?请说明理由。
1D2AECB*知识讲解*一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为；2.对顶角的性质可概括为：3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.4.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， 5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_______ ； ⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ； ⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.7.在同一平面内，不相交的两条直线互相______.同一平面内的两条直线的位置关系只有_______与______两种.8.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.9.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________.10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .11.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ .12.判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是 ，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二：典型题型训练15.如图，那么点A 到BC 的距离是,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．16.设、b 、c 为平面上三条不同直线，若，则a 与c 的位置关系是_________；若，则a //,//ab bc ,a b b c ⊥⊥a 与c 的位置关系是_________；若，，则a 与c 的位置关系是//a b b c ⊥________．17.如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．18.如图，与是邻补角，OD 、OE 分别是与的平分线，试判断OD 与OE 的位置关AOC ∠BOC ∠AOC ∠BOC ∠系，并说明理由．19.如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则____（ ）B ∠=∠又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ）∴∠E ＝∠____（ ）∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．20.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线，求证：//a b 12∠=∠．21.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ． 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠MEB ＝∠MFD （ ） 又∵∠1＝∠2， ∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， 即 ∠MEP ＝∠______∴EP ∥_____．（ ）22.已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.23.如图，已知，于D ，为上一点，于F ，交CA 于G .ABC ∆AD BC ⊥E AB EF BC ⊥//DG BA 求证12∠=∠24.已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB 平分∠ 2，求证：∠C=90°例2 如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1=∠B 1+∠A 2． 例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．例4求证：三角形内角之和等于180°．例5求证：四边形内角和等于360°．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．*课后思考题*1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数． 3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．学生签名：签字日期：。
相交线与平行线讲义 1
相交线与平行线讲义一、章节知识点总结和回顾(一)、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移（二）、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
（三）、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：平行线的判定：性质1：两直线平行，同位角相等。
判定1：同位角相等，两直线平行。
性质2：两直线平行，内错角相等。
判定2：内错角相等，两直线平行。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
（四）、经典例题例1 如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB，∠COB的度数。
EDC BA例2 如图AD 平分∠CAE ，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB 等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不 相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。
相交线和平行线讲义(1)
求实教育学科教师辅导讲义学员姓名：教师：课题相交线和平行线讲义授课时间：2014年月日教学目标1、理解对顶角的定义；掌握对顶角的性质，能进行简单的应用。
2、理解垂直的概念；掌握垂直的画法和性质。
3、了解两条直线的平行关系，掌握有关的符号表示；理解平行线的性质。
重点、难点重难点：利用对顶角和平行线的相关性质解决问题。
教学内容【知识点回顾】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
(完整版)相交线与平行线一对一辅导讲义
辅导讲义*知识讲解* 一、知识点填空1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ；2. 对顶角的性质可概括为：3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.4. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， 5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 6. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_______ ； ⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ； ⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 7. 在同一平面内，不相交的两条直线互相______.同一平面内的两条直线的位置关系只有_______与______两种. 8. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 9. 平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________. ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________. 10. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 11. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________. ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ .12. 判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是 ，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题. 13. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的. 14. 平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________. 二：典型题型训练15. 如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．16. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；若//ab ，bc ⊥，则a 与c 的位置关系是________． 17. 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．18. 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．19. 如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ） 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ） ∴∠E ＝∠____（ ） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．20. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．21. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ． 证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （ ） 又∵∠1＝∠2，∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， 即 ∠MEP ＝∠______ ∴EP ∥_____．（ ）22. 已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.23. 如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠24. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a ∥b ，直线 AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB 平分∠ 2，求证：∠C=90°例2 如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1=∠B 1+∠A 2．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．例4求证：三角形内角之和等于180°．例5求证：四边形内角和等于360°．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．*课后思考题*1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．学生签名：签字日期：。
相交线平行线讲义
学海教育一对一个性化辅导讲义例1、（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）A 、一定有一个锐角B 、一定有一个钝角C 、一定有一个直角D 、一定有一个不是钝角 例2、（2003•绵阳）在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（ ） A 、4个 B 、6个 C 、7个 D 、8个例3、（2002•鄂州）在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个例4、（2004•宿迁）一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 块． 例5、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ） A 、7个 B 、6个 C 、5个 D 、4个例6、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（ ）A 、24条B 、21条C 、33条D 、36条例7、如右图，两条非平行的直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，交点为PQ ，那么这3条直线将所在平面分成（ ） A 、5个部分 B 、6个部分 C 、7个部分 D 、8个部分【知识点二】对顶角、邻补角：对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
邻补角定义：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的性质：邻补角互补。
例1、（2010•漳州）如右图，直线b a 、相交于点o ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ） A 、50° B 、60° C 、140° D 、160°例2、（2009•辽宁）如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=100°， 则∠BOD 的度数是（ ）A 、20°B 、40°C 、50°D 、80°例3、（2008•湘西州）如图，直线AB ，CD 相交于O 点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（ ） A 、120°，60° B 、130°，50° C 、140°，40° D 、150°，30°例7例1例2例3例4、如右图，图中有 对对顶角．例5、（1）延长射线OM ； （2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°； （7）相等的两个角是对顶角； （8）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．以上说法正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个例6、命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果22b a =，那么b a=；⑧如果∠A+∠B=90°，那么∠A 与∠B 互余．其中真命题有…（）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个【知识点三】垂线：垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
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辅导讲义
x 1
1、解为的方程组是（）
y 2
A. X y 1
B.x y 1
C.x y 3
D.x2y 3
3x y 53x y 53x y 13x y 5
2、长沙市某公园的门票价格如下表所示
某校九年级甲、乙两个班共100?多人去该公园举行毕业联欢活动,?其中甲班有50多人,乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元;？如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人？
3、如图，AD // BC , AD平分/ EAC,你能确定/ B与/ C的数量关系吗？请说明理由。
*知识讲解*
一、知识点填空
1. 两直线相交所成的四个角中， 有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为
2. 对顶角的性质可概括为：
3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互 ________ .
4. 垂线的性质：⑴过一点 __________________ 一条直线与已知直线垂直 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，
5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 ________________________________________________
6.
两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没 :
⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 _______ ；
⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 _____________ ； ⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做
________________ .
7. 在同一平面内，不相交的两条直线互相 ____________ .同一平面内的两条直线的位置关系只有 _______________ 与 _______ 两种. 8.
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 ________________ . 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 _______________________________ .
9. 平行线的判定：
⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .简单说成： ________________________ . ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 .简单说成： ______________________ .
⑶两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ______________________________ .
10. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 ________ .
11. 平行线的性质：
.简单说成： .简单说成： . .简单说成： .
和 两部分组成.题设是已知事项，结论是
_________________________ .命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分
是 _________________ , “那么”后接的部分是 ____________ .如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫
做 ____________ .如果题设成立时， 不能保证结论一定成立， 像这样的命题叫做 ____________________ .定理都是真命题.
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称
________ .图形
平移的方向不一定是水平的 .
14.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全 _ _ _. ⑵新图形中
的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段 :典型题型训练
15.如图，BC AC,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点 A 到 BC 的距离是 ___________________
点B 到AC 的距离是 _______ ，点A B 两点的距离是 ______ ,点C 到AB 的距离是 __________
16.设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若 a//b,b//c ，则a 与c 的位置关系是 ____________________
a 与c 的位置关系是 ___________ ；若a//
b ,b c,则a 与
c 的位置关系是 ________________
17.如图，已知 AB CD EF 相交于点 O ABLCD OG 平分/ AOE / FOD= 28°,求 / COE Z AOE Z AOG 勺度数.
12. ⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 判
断一件事情的语句，叫做 _______________ .命题由
13. 则
'D
18.如图，AOC与BOC是邻补角，OD OE分别是AOC与BOC的平分线，试判断OD与OE的位置关系,
并说明理由.
19.如图，AB// DE试问/ B、/ E、/ BCE有什么关系. 解：/ B+Z
E=/ BCE过点C作CF// AB, 则B —( )
又••• AB// DE AB// CF
•- ____________ ( )
•••/ E=Z ____ ( )
•••/ B+Z E=Z 1 + Z 2
即/ B+Z E=Z BCE
20•⑴如图，已知/ 1 = Z 2 求证：a// b.⑵直线a//b,求证：1
21•阅读理解并在括号内填注理由：
如图，已知AB// CD Z 1 = / 2，试说明EP// FQ 证明：
••• AB/ CD
•Z ME B=Z MFD( )
又•••/ 1 = Z 2,
•Z ME B-Z 1 = Z MFD-Z 2,
即Z ME P=Z _______
• E P// ___ .( )
22.已知DB// FG// EC A是FG上一点，/ ABD= 60 ° ,
PAG勺大小.
23.如图，已知 ABC , AD BC 于D, E 为AB 上一点，EF 求证 1
2
24.已知：如图/ 仁/2,Z C =Z D,问/ A 与/ F 相等吗？试说明理由.
三：兴趣拓展
平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形•练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上 的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段•正因为平行线在生活 中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识•正因为平行线在几何理论中的基础性， 平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象•历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何 （罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何 ），它们在使人们认识宇宙空间中起着非
常重要的作用•现行中学
中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且 只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说 明这些知识的应用.
例1如图1 — 18,直线a // b ，直线 AB 交a 与b 于A , B, CA 平分/ 1, CB 平分/ 2 ,
例 2 如图 1 — 21 所示，AA // BA 2求/ A = Z B 1+Z A.
BC 于 F , DG // BA 交 CA 于
G。