江苏省扬州中学2015-2016学年高一(上)10月月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a=．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=．3．函数f（x）=的定义域为．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=．5．函数的值域为．6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）=．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a=．8．函数f（x）=的单调增区间为．9．函数f（x）=的最大值为．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a=4．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知中集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，可得：a∈A，再由集合元素的互异性，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，∴a∈A，即a=1，或a=4，由集合元素的互异性可得：a=1不满足条件，故a=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故答案为：{x|﹣1＜x＜1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．函数f（x）=的定义域为（﹣∞，）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义只要满足8﹣12x＞0即可．【解答】解：要使函数有意义，须满足8﹣12x＞0，解得x＜，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=0．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义，f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），代入解析式得到结果．【解答】解：由已知函数f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即：（﹣x）2+b（﹣x）+1=x2+bx+1，即：2bx=0，因为x∈R时，此等式恒成立，所以，b=0故答案为：0．【点评】本题考查函数奇偶性，以及代数恒等式成立的问题．本题在得到2bx=0时，是对于x∈R等式都成立．基本知识的考查．5．函数的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】令t=，则t≥0，则y=t﹣t2，结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令t=，则t≥0y=t﹣t2=∴函数的值域为（﹣]故答案为：（﹣]【点评】本题主要考查了换元法求解函数的值域，其中二次函数性质的应用是求解的关键6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）=﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】解法一：x+1=2，可得x=1，代入f（x+1）=2x2﹣4x，可得答案；解法二：利用配凑法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；解法三：利用换元法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；【解答】解法一：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x，令x+1=2，则x=1，f（2）=2×1﹣4×1=﹣2．解法二：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x=2x2+4x+2﹣8（x+1）+6=2（x+1）2﹣8（x+1）+6，∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．解法三：∵函数f（x）满足：f（x+1）=x2﹣2x仅t=x+1，则x=t﹣1则f（t）=2（t﹣1）2﹣4（t﹣1）=2t2﹣8t+6∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数的值，函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的各种方法是解答的关键．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a=3．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】由含绝对值符号函数对称性我们易得函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又由函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，我们易得a的值．【解答】解：∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，故a=3；故答案：3．【点评】本题考查的知识点是含绝对值符号函数的对称性，熟练掌握是绝对值符号函数的对称性是解答本题的关键．8．函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的单调性之间的关系求函数的单调区间．【解答】解：设t=g（x）=﹣x2+4x，则y=在定义域上单调递增，由t=g（x）=﹣x2+4x≥0，解得x2﹣4x≤0，即0≤x≤4，又函数由t=g（x）=﹣x2+4x的对称轴为x=2，抛物线开口向下，∴函数t=g（x）=﹣x2+4x的单调增区间为[0，2]，单调减区间为[2，4]．∴函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，注意要先求函数的定义域．9．函数f（x）=的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】把解析式的分母进行配方，得出分母的范围，从而得到整个式子的范围，最大值得出．【解答】解：f（x）===，∵≥∴0＜≤，∴f（x）的最大值为，故答案为．【点评】此题为求复合函数的最值，利用配方法，反比例函数或取倒数，用函数图象一目了然．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0可转化为或，根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将问题转化为一个整式不等式组后，即可求了答案．【解答】解：∵（|x|﹣1）（x﹣2）＞0∴或即或解得﹣1＜x＜1，或x＞2∴不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将原不等式转化为一个整式不等式，是解答本题的关键．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a＞}．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x），化简不等式得．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）=0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围．最后综合可得原不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），∴f（x）﹣f（﹣x）=f（x）+f（x）=2f（x），因此，不等式等价于，化简得或，①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）=0，∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；②当x＜0时，﹣x＞0，不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0=f（1），解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．综上所述，原不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]【点评】本题给出函数的单调性和奇偶性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意推出|a+1|=2，求出a的值，验证A∩B={2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B={2，3}可得，2∈A，∴|a+1|=2，a=1或a=﹣3…当a=1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a=﹣3时，此时B={﹣5，3，2}，A={2，3，5}，A∩B={3，2}符合题意，所以a=﹣3，A∪B={﹣5，2，3，5}．…【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】计算题；数形结合．【分析】（1）要求A∪B，就是求属于A或属于B的元素即可；要求（C R A）∩B，首先要求集合A的补集，然后再求与集合B的交集，因为A={x|3≤x＜7}，所以C R A={x|x＜3或x≥7}，找出C R A与集合B的公共解集即可；（2）由条件A∩C≠φ，在数轴上表示出集合C的解集，因为A∩C≠φ，所以a＞3即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵A={x|3≤x＜7}，∴C R A={x|x＜3或x≥7}∴（C R A）∩B={x|x＜3或x≥7}∩{x|2≤x＜10}={x|2＜x＜3或7≤x＜10}（2）如图，∴当a＞3时，A∩C≠φ【点评】此题考查集合交、并、补的基本概念及混合运算的能力，数形结合的数学思想．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．于是x＜0时f（x）=x2+2x．所以f（x）=．（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）结合二次函数的图象和性质，分析对称轴和区间[3，+∞）的关系，可得m的取值范围；（2）用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=（x﹣）2﹣+m﹣1，对称轴为x=．若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，则≤3，解得：m≤6；（2）①若＜﹣1，即m＜﹣2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若﹣1≤≤1，即﹣2≤m≤2，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=﹣+m﹣1．③若＞1，即m＞2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3∴﹣3≤ax2+x+1≤3∴≤a ≤，即﹣﹣≤a ≤﹣在[1，4]上恒成立，∴（﹣﹣）max ≤a ≤（﹣）min ，令t=，则t ∈[，1]设g （t ）=﹣4t 2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g （t ）的最大值为﹣再设h （t ）=2t 2﹣t=2（t ﹣）2﹣，则当t=时，h （t ）的最小值为﹣∴（﹣﹣）max =﹣，（﹣）min =﹣所以，实数a 的取值范围是[﹣，﹣]．【点评】本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．。