2017届河南省十所名校高中毕业班阶段性测试理科数学试题及答案
河南省2017届普通高中高三4月教学年质量监测理科数学年试题
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BACCA 6~10．DDAAD 11~12．BC 二、填空题13．ππ3sin()36x -14．1315．2)y x =+ 16．1[,]2+∞三、解答题 17．（1）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，122(1)2n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故1(1)3(1)n n a a ++=+，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =-．（2）由（Ⅰ）可知，111232311(31)(31)3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------． 18．（1）依题意：1(1234567)47x =++++++=， 1(58810141517)117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx=-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）． 由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人．44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8 800元奖品．19．（1）因为AF AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ，所以(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =-，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,n CD n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)n =；同理可得平面DEF 的一个法向量(1,1,2)m =-， 故3cos ,||||2m n m n m n <>==，因为二面角F DE C --为钝角，故二面角F DE C --的大小为56x ． （2）设DP DE DF λμ=+，因为(2,2,2)DE =-，(2,0,1)DF =-， 又(2,2,0)BD =-，(2,2,2)(2,0,)(22,2,2)DP DE DFλμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+，所以(222,22,2)BP BD DP λμλλμ=+=---+，0,0,BP DF BP DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2(222)20,2(222)2(22)2(2)0,λμλμλμλλμ---++=⎧∴⎨---+-++=⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =．所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点． 20．（1）依题意，221112a b +=，c a =，222a b c =+，解得a =1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A，(1,M，(1,N -，故122AMN S =⨯△②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y kx =-，0k ≠，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x xk -=+，22222222422||(1)[()4]22212121k k k AM k k k k -==+-=+++，点O 到直线AM 的距离d ==，因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =222111||2(22)22211AMNk S AM d k k +∴====++△， 综上，AMN △面积的最大值为．21．（1）由()1xf x ax -≥，所以1ln a x x+≤， 设1()ln g x x x=+，22111()x g x x x x -'∴=-=．由()0g x '＞，1x ∴＞，()g x 在(1,)+∞上单调递增； ()0g x '＜，01x ∴＜＜，()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1g x g ==，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1．（2）设(,y)x 为函数()F x 图像上任意一点，则点(,)y x 为函数()f x 图像上的点，所以()e x F x =，所以001ln e x x =，当01x x ＜＜时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+＞，因而()m x 在0(1,)x 上单调递增； 当0x x ＞时，()e x x m x =，1()0e xxm x -'=＜，因而()m x 在0(,)x +∞上单调递减； 又12()()m x m x =，12x x ＜，则10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +＞． 要证：1202x x x +＞，即证20102x x x x -＞＞，而()m x 在0(,)x +∞上单调递减， 故可证201()(2)m x m x x -＜，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x -＜，即01011122ln e x x x x x x --＜，记0022()ln ex x x xh x x x --=-，01x x ＜＜，其中0()0h x =．000002221221()1ln 1ln e e e x x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++-．记()et t t ϕ=，1()e t tt ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'＞；(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'＜，故max 1()t eϕ=， 而()0t ϕ＞，故10()e t ϕ＜≤，而020x x -＞，从而002210e ex x x x ----≤＜，因此当0000022212211()1ln 1ln 10e e e ex x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++--＞＞，即()h x 单调递增． 从而当01x x ＜＜时，0()()0h x h x =＜即0101122ln e x x x x x x --＜，故1202x x x +＞得证． 22．（1）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --，cos 2sin 0p θθ--．（2）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 3()3()30sin sin θθθθ--=，则cos sin θθ=cos sin θθ=，即tan θ=或tan θ=， 又因为0p ≥，02πθ≤＜则π6θ=或5π3θ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为π)6和5(2,π)3．23．（1）依题意，()|3||1||31|4f x x x x x =++-+-+=≥，故m 的值为4； 当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[3,1]-．（2）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立； 因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故2222()()422p q q r pq qr +++=+≥，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷解 析一、选择题1．【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|3}2A x x x x x x x x =-+=--=＜＜＜＜，{|lg 1}{|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}B x x x x =∈=∈=Z Z ＜＜＜，阴影部分表示集合A B ，故{1,2}A B =．2．【解析】依题意，设i (,)z a b a b =+∈R ，则32i 22z z a b +=+，故2i 1a b +=+，故12a =，b 则在复平面内，复数z所对应的点为1(2，位于第一象限．3．【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤． 4．【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为3332246632(1)22(1)600C C ⨯--⨯-=-． 5．【解析】设(,0)F c -，依题意，联立,,a b y x a =-⎪⎩解得2(,)a ab M c c -，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±．6．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故(B，D ，(0,)(11)P m m -＜＜，故(3,m )BP =，(3,m)PD =-，故23BP PD m =-，故(2,3]BP PD ∈．7．【解析】依题意，11πsin cos cos )2sin cos 4ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=⇒+=，因为π(0,)2ϕ∈，所以π4ϕ=，故322211tan 12(2)(2)()|1133x x x dx x x dx x ϕ--=-=-=--⎰⎰． 8．【解析】起始阶段有23m a =-，i 1=，第一次循环后，2(23)349m a a =--=-，i 2=；第二次循环后，2(49)3821m a a =--=-，i 3=；第三次循环后，2(821)31645m a a =--=-，i 4=；接着计算2(1645)33293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-．令329335a -=，得4a =．9．【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥欲求目标函数300200100(32)z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)A ，(40,10)B ，50100(,)33C ，(0,40)D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点(40,10)B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）．故max 300402001014000z =⨯+⨯=．所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14 000元．10．【解析】因为5[()]1x f x -=，故1()5f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图像如图所示，观察可知，两个函数的图像在[2,2]-上有6个交点，故方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上有6个根．11．【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD -，作出该几何体的直观图如图所示，取AC 的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面A C D ，故三棱锥A BCD -的体积2112)1633A C DV B ES ==⨯=△．12．【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c abc ab +-+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC △的面积为S ，则42s i n S a b C =②，将①②平方相加可得2222222222(83)164()(82)c S a b a b c ++=+=-≤，故22226416(165)5S c c -≤≤，即245S ≤，S ，当且仅当285c =时等号成立．二、填空题13．【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故2ππ3T ω==，将点(2,3)A 代入可得ππ22π()32k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，故ππ()3sin()36f x x =-．14．【解析】设2AB =，则1BG =，AG =，故多边形AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∠=⨯=，故所求概率13P =．15．【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，264640m ∆=-＞，21m ＞，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，21221||||4222||||y y PF QF m AF BF y y +=+=-=，解得26m =，故m =l '的方程为2)y x =+． 16．【解析】2ln (1)ln (1)01x xx x x x x λλ-⇒--+≤≤；设函数2()ln (1)H x x x x λ=--，从而对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H =≤恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x xxλ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以max()(1)1r x r ==，即1122λλ⇒≤≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增．于是，不等式()(1)0H x H =≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ＜＜时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则11()2012q x x x λλ'=-=⇒=＞，当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=-＞，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12(1)120H x x x H λλ''=+->=-＞，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增．于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x ＞成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1[,)2+∞．三、解答题 17．【解析】略． 18．【解析】略． 19．【解析】略． 20．【解析】略． 21．【解析】略． 22．【解析】略． 23．【解析】略．。
河南省天一大联考(全国卷)2017届高三高中毕业班阶段性测试(二)数学(理)试题
第 钎卷
填 空 题 本 大 题 共 4 小 题 每 小题 5 分 丄 A -- y ( 13 ) 已 巩叫 W 2 ) 直线 l
E
1r .. . . ·
1
·
0
x
+
y s in
a
+
B
=
0
相 互 垂 直 财 傆的 值
为
荫
F
( 14 ) 已 知 抛 物 线
C y
2
=
4 •B
的焦 点 为 F 点
,
M
在抛 物线
( n ) 若 直线
y
-
k (x
·
3
值范 围 k ) 与 函数八 X ) 的 图象 的 交 点个 数 为 5 求 实数 的取
5 , 1 1 •z上 的图象
பைடு நூலகம்
+y
1
j
;
l l l i Ë a * i · · Ui
( 2 1 ) ( 本 小 题 满分
12
分)
在 平 面 直角 坐标 系 x o y 中 椭 圆 n
绝密
女
启用前
试 卷 类 型 全 国卷
天
2 0 16 2 0 17
大联考
.
学 年 高 中 毕 业 班阶 段 性 测 试 ( 兰 )
数学 (理 科 )
卷 ( 非 选 择题 ) 两 部分 考 生 作答 时 将答 案答 在 答 题 卡 上 ( 答 题 注 意 事项 见 答 题 卡 ) 在 本 试 题 卷 上 答 题 无 效 考 试 结束 后 将本 试 题 卷 和 答 题 卡 并交 回
O, 且
x
x
-
.
w
y
河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试(二)理数试题(B卷) 含解析
河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二)理数试题(B 卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1。
已知集合{}|1A x y x ==-，{}2,1,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}12，B ．()1,2C ．{}12--，D ．[1,)+∞ 【答案】A考点：1、集合的表示方法;2、集合的交集.2。
在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ )A ．3B ．6C ．27D ．9 【答案】D 【解析】试题分析:因为等比数列{}n a 中，若45627a a a =3527a ==，得53a =，所以19a a =259a =，故选D 。
考点:等比数列的性质.3。
已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<,则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，2460x x ++≥ B ．0x R ∃∈，200460x x ++> C ．x R ∀∈，200460x x ++> D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥【答案】A 【解析】试题分析：因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词,然后否定结论，所以特称命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<的否定是全称命题x R ∀∈，2460x x ++≥，故选A.考点:1、存在量词与全称量词；2、特称命题的否定形式。
4。
设函数3log ,09,()(4),9,x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩则1(13)2()3f f +的值为（ ）A ．1B ．0C ．2-D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为()()3(13)1349log 92f f f =-===,3112()2log 233f ==-，所以1(13)2()3f f +220=-=，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、对数的基本运算. 5.已知向量a ,b 的夹角为23π,且(3,4)a =-，||2b =，则|2|a b +=（ ) A ．23 B ．2 C ．221 D ．84 【答案】C考点:1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式。
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷-答案
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。
河南省八市重点高中2017届高三上学期10月质检数学试卷理科 含解析 精品
2016-2017学年河南省八市重点高中高三（上）10月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．2．i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．13．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50405．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．如果函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e30B．e C．e D．e408．已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B．C．D．9．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1510．已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．2 D．11．若S n=sin，则在S1，S2，…，S2017中，正数的个数是（）A．143 B．286 C．1731 D．200012．定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则=（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为120°，且，，则=．14．的展开式中常数项为．（用数字作答）15．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=﹣2017，=6，则S2017=．16．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（Ⅰ）当点D与点A不重合时（如图①），证明ED2=EB•EC；（Ⅱ）当点D与点A重合时（如图②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直径长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．六、[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中实数a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥4x+6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．2016-2017学年河南省八市重点高中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．2．i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501•i3=﹣i．故选：A．3．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第一次执行循环体后，p=1，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=2再次执行循环体后，p=2，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=3，执行循环体后，p=6，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=4，执行循环体后，p=24，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=5，执行循环体后，p=120，不满足继续循环的条件k＜N（k＜5），故输出结果为：120，故选：A．5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．故选D．6．如果函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，∴3•+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，故么|φ|的最小值为，故选：D．7．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e30B．e C．e D．e40【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用作差法求出lna n=，n≥2，进行求解即可【解答】解：∵•••…•=（n∈N*），∴•••…•=（n∈N*），∴lna n=，n≥2，∴a n=e，∴a10=e，故选B．8．已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．9．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113．共7组随机数，∴所求概率为=0.35．故选A．10．已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得﹣，∵点P（6，2）是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．11．若S n=sin，则在S1，S2，…，S2017中，正数的个数是（）A．143 B．286 C．1731 D．2000【考点】数列的求和．【分析】由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，∴S1，S2，…，S2017中，正数的个数是2017﹣144×2+2=1731．故选：C．12．定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则=（）A．B．C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】依题意，可得f（）=f（）=，再由当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），可得f（）=f（）=f（）=…=f（1）==，从而可得答案．【解答】∵定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1；f（）+f（1﹣）=1，∴f（）=；f（）=f（1），∴f（）=f（）=；∵＞＞，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），∴f（）＜f（）＜f（），又∵f（）=f（）=f==．f（）=f（）=f（）=…=f（1）==．∴f（）==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为120°，且，，则=﹣10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值．【解答】解：；又；∴=．故答案为：﹣10．14．的展开式中常数项为1820．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．==，令16﹣=0，解【分析】通项公式T r+1得r即可得出．==，【解答】解：通项公式T r+1令16﹣=0，解得r=12．∴的展开式中常数项==1820．故答案为：1820．15．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=﹣2017，=6，则S2017=﹣2017．【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n是等差数列{a n}的前n项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d，=﹣2017，利用=6，可得6d=6，解得d．即可得出．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d．=﹣2017，∵=6，∴6d=6，解得d=1，∴=﹣2017+×1=﹣1，解得S2017=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c ﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A ﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE 为矩形．又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【考点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P（A i）=，A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…∴X的分布列为…∴X的数学期望为E（X）=…（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…∴椭圆的方程为．…（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…综上得k1+k2为常数2..…．…21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）构造函数m（x）=+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2﹣1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=﹣+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，g（x）=e x﹣ex+1．g'（x）=e x﹣e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a﹣1，∴a≤2．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（Ⅰ）当点D与点A不重合时（如图①），证明ED2=EB•EC；（Ⅱ）当点D与点A重合时（如图②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直径长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB，在EA的延长线上取点F，证明∠ABC=∠DAE，∠DAE=∠ADE，可得EA=ED，利用EA2=EB•EC，即可证明结论；（Ⅱ）证明AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，由切割线定理知：EA2=BE•CE，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB，在EA的延长线上取点F．∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，．…∵∠FAC=∠DAE，∴∠ABC=∠DAE，∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，∴∠ABC=∠ADE，…∴∠DAE=∠ADE．…∴EA=ED，∵EA2=EB•EC，∴ED2=EB•EC．…（Ⅱ）解：当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，∴直线CA与⊙O2相切．…如图②所示，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∵∠PAC=∠MAE，∴∠ABC=∠ABE=90°∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径．…∴由切割线定理知：EA2=BE•CE，而CB=2，BE=6，CE=8∴EA2=6×8=48，AE=．故⊙O2的直径为．…五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y2=2x中，得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，得到根与系数的关系，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，即可求出点M的坐标；（2）利用弦长公式|AB|=|t2﹣t1|，即可得出．【解答】解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）（*）∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2﹣15t﹣50=0，且△=152+4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=﹣，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，因为中点M所对应的参数为，将此值代入直线l的参数方程的标准形式中，得M（，）．（2）|AB|=|t2﹣t1|==．六、[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中实数a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥4x+6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|2x﹣3|+5x，通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，再解不等式f（x）≥4x+6即可求得其解集；（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；法二：（从等价转化角度考虑），|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于5x≤2x﹣a≤﹣5x，易解得，不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，从而可求得a的值【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥4x+6可化为|2x﹣3|≥﹣x+6，2x﹣3≥﹣x+6或2x﹣3≤x﹣6．由此可得x≥3或x≤﹣3．故不等式f（x）≥4x+6的解集为{x|x≥3或x≤﹣3}．…（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于或解之得或因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．…法二：（从等价转化角度考虑）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于5x≤2x﹣a≤﹣5x，即为不等式组解得因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．…2017年4月15日。
河南省豫东、豫北十校2017届高中毕业班阶段测试(四)数学理试题(含答案)word版
河南省豫东、豫北十所名校2017届高中毕业班阶段性测试（四）理科数学本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.第I卷一、选择題(本大题共12小每小題5分,共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合U={ - 1, 1,2, 3}M={x|x2-5x + p = 0),若={-1,1}，则实数 p的值为A. -6B. -4C. 4D. 62. 已知复数z-1+i,则=A, B. C. D.3. 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(l,2),则a b =A.-8B. -6C. -1D. 54. 已知集合M，P，则“x或M ，或”是“"的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知递减的等差数列满足，则数列前n项和S n取最大值时n =A. 3B. 4C. 4 或 5D. 5 或 66. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A/ B.C. D.7.设函数,且其图象相邻的两条对称轴为x=O X=，则A.y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为增函数B y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为，且在（0，）上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数8. 某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为A. B.C. D.9. 在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A. B.C. D.10. 设x，y满足约束条件,若目标函数（其中b>a〉0)的最大值为5，则8a+b的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611. 已知，实数a、b、c满足，且0<a<b<c，若实数x0是函数f(x)的一个零点，那么下列不等式中,不可能等成立的是A. B. C. D,12. ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，向量在方向上的投影为A. B. C. 3 D. — 3第II卷本卷包括必考題和选考题两部分。
【全国省级联考】河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(一)理数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|log (31),}B n n k k A ==-∈，则AB =（ ）A ．{3}B ．{1}C ．{1,3}D ．{1,2，3} 【答案】C 【解析】试题分析：1,1;3,3k n k n ====，故A B ={}1,3.考点：集合交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：3221315,15iz i i i i z i i-=-+=---=--=-+在第二象限. 考点：复数概念及运算．3.以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++= C ．22(1)5x y -+= D ．22(1)5x y +-= 【答案】A考点：直线与圆的位置关系． 4.已知||10a =，530a b =-(-)()15a b a b +=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．56π D ．3π 【答案】C考点：向量运算．5.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．263π+B ．83π+C ．243π+D ．43π+ 【答案】C 【解析】试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为122221433ππ⋅+⋅⋅=+. 考点：三视图．6.已知函数())(0)3f x x πϖϖ=+>在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若90ABC ∠=，则ϖ=（ ）A ．4πB ．8πC ．6πD ．12π【答案】B考点：三角函数图象与性质．7.执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）A ．37B ．30C ．24D ．19 【答案】C 【解析】试题分析：12,1M N ==，循环，3,2,15,2P Q M N ====，循环，4,3,19,6P Q M N ====，循环，5,4,24,24P Q M N ====，退出循环，输出24M =. 考点：算法与程序框图．8.已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．13【答案】A 【解析】试题分析：22222222sin 2cos 22sin cos cos sin 2tan 1tan 1sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα++-+-===-+++，解得tan 3α=. 考点：三角恒等变换．9.如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料， 其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种 【答案】B 【解析】试题分析：先排1，有6种方法，再排2,3,4,5有45A 种方法，故一共有456720A ⋅=种.考点：排列组合．10.已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的 概率是（ ） A ．14π-B ．4πC ．32π- D ．12π-【答案】A考点：几何概型．11.如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2+B ．2 【答案】D考点：直线与圆锥曲线位置关系．【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查三角函数恒等变形.题目的关键词是四边形12PFQF 为矩形,由于y x =倾斜角为4π，所以128PF F π∠=，由此，在直角三角形中，找到2,2a c 的关系，结合双曲线的定理，然后利用三角函数恒等变形中的二倍角的正切公式，就可以求出双曲线的离心率.12.已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++=（ ） A ．2017 B ．2016 C ．4034 D ．4032 【答案】D考点：函数图象与性质．【思路点晴】先化简42412sin 4()22x x x f x x +++=+，得到4224412sin 4sin ()2222x x x x x f x x x +++==+++，注意到()24sin 2x xg x x =+为奇函数，故12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭关于()0,2对称，为中心对称图形，对称点的纵坐标和为4.函数的图象与性质包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的定义域、值域，图象的轴对称性、中心对称性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_______. 【答案】88 【解析】试题分析：球的体积为344364833r πππ=⋅=，长方体的高为48642÷÷=，故表面积为()264426288⋅+⋅+⋅=.考点：球与长方体．14.在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC ∆的面积为______.【答案】考点：解三角形．15.6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12 级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区. 已知下面四种说法都是正确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断：①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向. 其中判断正确的序号是__________. 【答案】③ 【解析】试题分析：由（1）知，甲选A 或B ；由（2）知，乙选C 或D ；由（3）知，丙选C 或D ；由（4）知，丁选C 或B ；由于：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，故丙所在方向是D 方向． 考点：合情推理与演绎推理．【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性. 16.函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数g()xx e =的图象也相切，则满足条件的切 点P 的个数有________个. 【答案】2考点：函数导数与切线．【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就可以这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的00ln 1x y x x =+-，得到斜率为01x ，利用这个斜率，可以求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为0000111ln x y x x x x =-+，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，可以得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图像就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的12{}nnS S +的前n 项和n T . 【答案】（I ）3nn a =；（II ）2241n n nn +T =+.（Ⅱ）由（Ⅰ），得3log n n b a n ==，所以(1)2n n n S +=.………………………………………………（7分） ∴1221122()2(1)1n n S S n n n n +=+=-+++，……………………………………………………………（8分）故数列12{}n nS S +的前n 项和为111112[(1)()()]22231n T n n n =-+-++-++ 21242(1)211n nn n n +=-+=++.……………………………………………………………………………（12分）考点：数列基本概念，数列求和．18.（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（I）0.05；（II）分布列见解析，95.…………………………………………………………………………………………………………………（11分） 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………（12分） 考点：频率分布直方图，超几何分布． 19.（本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点， 且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ； （Ⅱ）求二面角'E A F B --的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)F -，A，B，)FA =，FB =.…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,30,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则(3,3,1)n =-.…………………………………………（10分） 平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p =，所以313cos ,||||p n n p p n ==， 显然二面角'E AF B --是锐角. 所以二面角'E A F B --……………………………………………………………（12分） 考点：空间向量法证明面面垂直、求面面角的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的 面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点）【答案】（I ）22143x y +=；（II. （Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6分） 当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分）解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.…………………………………………………………………………………………………………………（6分）∴1226'3'4k y y k +=+，………………………………………………………………………………………（8分）∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+，当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠时，126||43|'||'|||'|S S k k k -==≤=+（当且仅当'k =.所以12||S S -.……………………………………………………………………………（12分） 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是2a ，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为6π，并且2ac =，第一问就可以求出来了.第二问要先讨论斜率是否存在. 21.（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）证明见解析；（II ）(,1)-∞.（Ⅱ）当2b =时，22()(2)ln 2f x x ax x x =-+，a R ∈． 所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->. 方法一：令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞， 则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时，'()0p x ≥，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1p x p a ==-， 所以根据题意，知有10a ->，∴1a <.当1a >时，由'()0p x <，知函数()p x 在[1,)a 上单调增减； 由'()0p x >，知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增. 所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲=.如图所示，PQ为O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM QN=；（Ⅰ）求证：PF QN PQ NF==，求PF的长.（Ⅱ）若QP QF【答案】（I ）证明见解析；（II ）3.（Ⅱ）因为QP QF ==，所以PFQ QPF ∠=∠.……………………………………………………（6分） 又180PFQ QPF PQE EQF ∠+∠+∠+∠=，90EQF ∠=，………………………………………（7分） 所以30PFQ QPF ∠=∠=，120PQF ∠=，……………………………………………………………（8分）由余弦定理，得3PF ==.………………………………………（10分） 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q .（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22(2)(1)5x y -++=；（II ）0k =或34k =.（Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存在，因此不妨设直线l 的方程为(5)y k x =-.………………………（7分）因为||4PQ =，所以254-=，解得0k =或34k =.………………………………………（10分） 考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|||10|f x x x =++.（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.【答案】（I ）55x -≤≤；（II ）证明见解析.（Ⅱ）当,a b M ∈，即55a -≤≤，55b -≤≤时，要证5|||25|a b ab +≤+，即证2225()(25)a b ab +≤+.…………………………………………………（6分） ∵22222225()(25)25(2)(50625)a b ab a ab b a b ab +-+=++-++2222222525625(25)(25)0a b a b a b =+--=--≤…………………………………………………（9分）∴2225()(25)a b ab +≤+，即5|||25|a b ab +≤+.…………………………………………………（10分） 考点：不等式选讲．：。
河南省2017届高三数学下学期质量检测试卷 理(含解析)
2017届河南省高三下学期质量检测理科数学一、选择题：共12题1．设集合，若，则的值可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式.,若，则，.故选D.2．已知复数，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义.,，解得.故选C.3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是【答案】D【解析】本题主要考查独立性检验.选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大.故选D.4．已知，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式.由得,,即,则.故选C.5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出(单位：升)，则输入的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图和数学史.模拟程序运行，可得：，满足循环条件,，满足循环条件,，满足循环条件,，不满足循环条件，则，解得.故选B.6．已知双曲线过点，过点的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离.点到渐近线的距离为,,,,解得,则双曲线的实轴长为.故选A.7．若为奇函数，且是函数的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质.是函数的一个零点，,即，又为奇函数，，当时，..故选B.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查三视图与体积.由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合.则该几何体的体积为.故选A.9．在中，是上一点，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模.设,,解得，则.故选C.10．已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由题知，在椭圆的短轴上.设椭圆的左焦点为，连结.，，即，，,,则椭圆的离心率为.故选D.11．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是A.与平面垂直的直线必与直线垂直B.异面直线与所成角是定值C.一定存在某个位置，使D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】本题主要考查空间线面的位置关系.取中点，连结，则，，，故A正确；取中点连结，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点，则，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为,故D正确.故选C.12．若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值.,函数在上单调递减，.设,由斜边的中点轴上可得，,,即，,设,则,,,即实数的取值范围是.故选B.二、填空题：共4题13．已知实数满足条件，则的最小值为.【答案】【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离.作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点距离的平方.则的最小值为点到直线距离的平方，.故答案为14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为.【答案】【解析】本题主要考查排列组合问题.把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为. 故答案为.15．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】本题主要考查的图象和性质.由图可得，，,，又，，则.若函数在区间上的值域为，则，.故答案为.16．在中，分别是角的对边，的面积为，且，则.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.由得,即.由得,即.,,.故答案为.三、解答题：共7题17．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.(1)求数列及的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求.【答案】(1)，，所以且，①所以，②因为数列是等差数列，所以，即，由①②得，所以，所以，则.(2)因为，所以，所以.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和.(1)令得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到； (2)前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得.18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】(1)由题意可知，所求概率, (2)设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：，. 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，，，则的分布列为：所以(或因为，所以)，，由可得，甲公司成功的可能性更大.【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差.(1)根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；(2)分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论.19．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且(1)已知点在，且，求证：平面平面；(2)当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？【答案】证明：因为，所以，因为底面是直角梯形，，所以，即，所以，因为，所以所以四边形是平行四边形，则,所以，因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)因为，所以平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成角为，则，即.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，，因为是平面的一个法向量，所以，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小.(1) 由平面几何知识易证是平行四边形，得,从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；(2)平面，则为直线与平面所成的角.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系.分别求出平面平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论.20．已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.(1)求线段的长；(2)若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程. 【答案】(1)设，圆的方程，令，得，所以，.(2)设直线的方程为，则由消去，得.，因为，所以，则，所以，解得或，当或时，点到直线的距离为，因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，又，消去得，求得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.【解析】本题主要考查直线抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离.(1)设，由、圆的方程，直线方程联立，得的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程.21．设函数.(1)若直线和函数的图象相切，求的值；(2)当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)设切点的坐标为，由，得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当且仅当时等号成立，所以.(2)①当时，有(1)结合函数的图象知：存在，使得对于任意，都有，则不等式等价，即，设，由得，由得，若，因为，所以在上单调递减，因为，所以任意，与题意不符，若，所以在上单调递增，因为，所以对任意符合题意，此时取，可得对任意，都有.②当时，有(1)结合函数的图象知，所以对任意都成立，所以等价于，设，则，由得得，，所以在上单调递减，注意到，所以对任意，不符合题设，总数所述，的取值范围为.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题.(1)求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值.(2)两种情况讨论.将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即(其中)恒成立，所以，又，解得，故的取值范围为.【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用.(1)及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；(2)问题转化为对，恒成立.利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论.23．已知函数.(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集为，求的值.【答案】(1)当时，取得最大值为，因为，当且仅当取最小值4，因为关于的不等式有解，所以，即实数的取值范围是.(2)当时，，则，解得，所以当时，，令，得，所以，则.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解.(1)利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值.(2)由题知，的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则21。
2017年河南省高考数学质检试卷(理科)
2017年河南省高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．96．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+18．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．110．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年河南省高考数学质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围，可得结论．【解答】解：集合A={x|x（5﹣x）＞4}={x|1＜x＜4}，∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B={x|x≤a}，∴a≥4．∴a的值可以是4，故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意并集的性质的合理运用．2．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立求得实数a的取值范围．【解答】解：∵=在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜a＜4．∴实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．【点评】本题考查复数代数式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论．【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果．故选：D．【点评】本题考查了列联表中条形图的应用问题，是基础题．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，结合tanθ≠0，可得1+tan2θ=﹣3tanθ，利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．【分析】由双曲线的渐近线方程y=±x，利用点到直线的距离公式，即可求得a和c的关系，即可求得b=2a，将点代入椭圆方程，即可求得a的值，求得双曲线C的实轴长．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，则（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d===，则c=3a，即b=2a，由双曲线C过点，即，解得：a=1，则双曲线C的实轴长为2a=2，故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+1【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣e x0=0，∴f（x0）=e x0，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）e x0﹣1=e x0e x0﹣1≠0，故A错误；B、y=f（﹣x0）e x0+1=﹣（e x0）2+1≠0，故B错误；C、y=e x0f（﹣x0）﹣1=﹣e x0•e x0﹣1≠0，故C不正确；D、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e x0e﹣x0+1=0，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．【分析】由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．1【分析】依题意，作出图形，设=k，利用三角形法则可知=+=﹣+k，再由•=5可求得k，从而可求得||的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，作图如下：设=k，∵=+=﹣+k，∴•=•（﹣+k）=﹣||||cos60°+k=﹣5×4×+25k=5，解得：k=，∴||=5×=3，∴||=5﹣3=2．故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的加法运算（三角形法则）及平面向量共线基本定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．10．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒，由⇒即可求解．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【分析】对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）【分析】由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a 后构造函数h（x）=，利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．【解答】解：设A（x1，y1），y1=f（x1）=，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），则=0，x2=﹣x1，∴．，，由题意，，即=0，∴，∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，则．设h（x）=，则h′（x）=，∵e﹣1＜x＜e2﹣1，∴h′（x）＞0，即函数h（x）=在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，则，即e＜a＜．∴实数a的取值范围是（e，）．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为5．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，则将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；故答案为：16．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以选用间接法，避免分类讨论．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2，==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，对于函数y=g（x），当x∈（），2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，2sin （2θ﹣）=，则θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理化简可得：a2+b2=2c2，利用余弦定理，正弦定理化简sinAcosB=2cosAsinB可得：b2﹣a2=﹣，联立解得a2=c2，b2=c2，进而利用余弦定理即可解得cosA的值．【解答】解：∵（a2+b2）tanC=8S，可得：（a2+b2）•=4absinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴a2+b2=4abcosC=4ab•=2（a2+b2﹣c2），整理可得：a2+b2=2c2，①又∵sinAcosB=2cosAsinB，∴a•=2b•，整理可得：b2﹣a2=﹣，②∴联立①②解得：a2=c2，b2=c2，∴cosA===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【分析】（I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；（II）求出c n，根据裂项法计算T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，∴或b n=（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴=，∴T n==1+﹣﹣=．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．则X的分布列为：X123P∴．设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，则Y的分布列为：Y0123P∴．（或∵，∴）．（）由E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．【点评】本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？【分析】（Ⅰ）推导出∠ACB=45°，从而∠ACD=45°，进而四边形ABFE是平行四边形，推导出AC⊥EF，PA⊥EF，从而EF⊥平面PAC，由此能证明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB 所成的角，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，∴∠ACD=45°，即AD=CD，∴，∵AE=2ED，CF=2FB，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成夹角为45°，则，即，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，﹣1，0），C（1，1，0），，，∴，，设平面PBE的法向量，则即令y=3，则x=5，，∴，∵是平面PAB的一个法向量，∴，即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45°．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用=﹣3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，∴|MN|=|y1﹣y2|==2；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n∵=﹣3，∴x1x2+y1y2=+y1y2=﹣3，∴n2﹣4n+3=0，∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d=．由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴=．∵m=，∴=64，∴=8，∴m=0，∴直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．【点评】本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）=k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P 到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a的取值范围为．【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．【点评】本题考查绝对值不等式，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
河南省普通高中2017届高三数学毕业班适应性测试试题理
2017年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}(){}2|230|lg 20A x x x B x x =-->=-≤，则()R C A B =A. ()1,12-B. ()2,3C. (]2,3D.[]1,12-2.欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数i eπ-在复平面内位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.下列命题中，正确的是 A. 0003,sin cos 2x R x x ∃∈+=B. 0x ∀≥且x R ∈，22xx >C. 已知,a b 为实数，则2,2a b >>是4ab >的充分条件D. 已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- 4.已知圆22:4O x y +=（O 为坐标原点）经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为A. 22142x y +=B. 22184x y +=C.221164x y +=D. 2213216x y +=5.已知等差数列{}n a 满足121,6n n a a a +=-=，则11a 等于 A. 31 B. 32 C. 61 D.626.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 33 B.3 C.433 D. 5337.已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于A. 0B. 2C. 4D. 88.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 的值分别为21,28，则输出a 的值为 A. 14 B. 7 C. 1 D. 09.已知函数1ln y x x =++在点()1,2A 处的切线为l ，若l 与二次函数()221y ax a x =+++的图象也相切，则实数a 的取值范围为A. 12B. 8C. 0D.410.已知ABC ∆的三个顶点坐标为()()()0,1,1,0,0,2,A B C O -为坐标原点，动点M 满足1CM =，则OA OB OM ++的最大值是 A.21+ B. 71+ C. 21- D.71-11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=，则双曲线的离心率为A.223B. 7C. 3D.2 12.定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--，且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是A. []2,10B. 2,10⎡⎤⎣⎦C. ()2,10D.[)2,10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足条件2420x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，若目标函数2z x y =+的最小值为3，则其最大值为 .14.设二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ，则20cos 5ax dx π⎰的值为 . 15.已知A,B,C 是球O 的球面上三点，且3,33,AB AC BC D ===为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 . 16.已知函数()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11,.nn f n n N *-=-∈设函数(),,2n a n g n n g n ⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，若()24,n n b g n N *=+∈，则数列{}n b 的前()2n n ≥项和n S = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知向量()()2cos ,sin ,cos ,23cos a x x b x x ==，函数() 1.f x a b =⋅- （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为，3tan acB =对任意满足条件的A,求()f A 的取值范围.18.（本题满分12分）某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4,；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率();P A（2）按分层抽样的方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η.19.（本题满分12分）如图所示，已知长方体ABCD 中，222,AB AD M ==为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得.AD BM ⊥（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）是否存在满足()01BE tBD t =<<的点E ，使得二面角E AM D --为大小为4π，？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴上，过点F 的直线交抛物线于A,B 两点，线段AB 的长度为8，AB 的中点到x 轴的距离为3. （1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P,Q 两点，连结QF 并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()()ln 1.1axf x x a R x=+-∈- （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若11x -<<时，均有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷(含答案)
a2 2
1 1 2；
当 n≥2 时， 2 Sn a n 1 2 n 2 ， 2 Sn 1 an 2( n 1) 2 两式对减可得 an 1 3a n 2 ；
经检验，当 n 1时也满足 an 1 3a n 2 ；
故 (an 1 1) 3( an 1) ，故数列 { an 1} 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，故 a n 1 3 n ，
AF2 ，并延长与椭圆 C 的另一
（ 2 ） 设 f ( x) F ( x) 1在 (1, ) 内 的 实 根 为 x0 ， m( x)
xf ( x),1＜x≤ x0
x , x＞ x0
F ( x)
， 若 在 区 间 (1,
) 上存在
m( x1 ) m( x2 ) ( x1＜ x2 ) ，证明： x1 x2 ＞ x0 ． 2
440
140
8 800 （元）
7
所以估计该分店为此次抽奖活动应准备
8 800 元奖品．
19．（1）因为 AF AB，平面 ABCD 平面 ABEF，所以 AF 平面 ABCD ，所以 AF AD．因为四边
形 ABCD 为正方形， 所以 AB AD，所以 AD 、 AB 、 AF 两两垂直，以 A 为原点， AD 、 AB 、 AF 分
河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测理科数学试卷
答案
一、选择题
1~5． BACCA
6~10 ． DDAAD
11~12． BC
二、填空题
13． 3sin( πx π) 36
1 14．
3
15． y
6 ( x 2) 6
1 16． [ , ]
2
三、解答题
17．（ 1）因为 Sn
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷(含答案)
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科（数学）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2730}A x x x =-+＜，{|lg 1}B x x =∈Z ＜，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复z 的共轭复数为z ，若3()(122z z+-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:(1,)p x ∀∈+∞，2168x x +＞则命题p 的否定为（ ） A ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤ B ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +＜ C ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +＜4．26(32)(21)x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．600B ．360C ．600-D ．360-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且||OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±6．已知边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，若(01)A P A C =λλ＜＜，则BP P D 的取值范围是（ ）A ．[0,3]B ．[2,3]C ．(0,3]D ．(2,3]7．已知11sin cos +=ϕϕ，若π(0,)2ϕ∈，则2tan (2)1x x dx ϕ--⎰=（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-8．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．119．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ） A ．14 000元B ．16 000元C ．16 000元D ．20 000元10．已知函数22,20()(1),02x x x f x f x x ⎧+-=⎨-⎩≤≤＜≤，则方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上的根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．16C ．D ．3212．已知ABC △的外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．25B ．45C D ．125第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知函数()sin()f x M x =ω+ϕ（0M ＞，0ω＞，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，其中(2,3)A （点A 为图像的一个最高点）5(,0)2B -，则函数()f x =__________．14．折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．15．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 的交点为P ，Q 延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若||||22||||PF QF AF BF +=，则直线l 的方程为__________．16．若[1,)x ∈+∞时，关于x 的不等式ln (1)1x xx x λ-+≤恒成立，则实数λ的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，112n n a S n -=--． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列123{}nn n a a +⨯的前n 项和n T ． 18．国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系．（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为17，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为27，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为47，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx---=-∑∑，ˆˆay bx =- 19．如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD 为正方形，AF AB ⊥，AF BE ∥，平面ABEF ⊥平面ABCD，DF =CE =，2BC =．（1）求二面角F DE C --的大小；（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F，点(1,是椭圆C 上的点，离心率为e 2=．（1）求椭圆C 的方程；（2）点000(,)(0)A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN △面积的最大值． 21．已知函数()F x 与()ln f x x =的图象关于直线y x =对称．（1）不等式()1xf x ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值；（2）设()()1f x F x =在(1,)+∞内的实根为0x ，00(),1(),()xf x x x m x x x x F x ⎧⎪=⎨⎪⎩＜≤＞，若在区间(1,)+∞上存在1212()()()m x m x x x =＜，证明：1202x x x +＞． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．选修4-4：参数方程与极坐标系已知直线l的参数方程为12t x y +⎧⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θ-θ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（0p ≥，02πθ≤＜）． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m =． （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BACCA 6~10．DDAAD 11~12．BC 二、填空题13．ππ3sin()36x -14．1315．2)y x =+ 16．1[,]2+∞三、解答题 17．（1）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，122(1)2n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故1(1)3(1)n n a a ++=+，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =-．（2）由（Ⅰ）可知，111232311(31)(31)3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------．18．（1）依题意：1(1234567)47x =++++++=，1(58810141517)117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx=-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）．由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人．44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8 800元奖品．19．（1）因为AF AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ，所以(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =-，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，由0,0,n CD n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)n =；同理可得平面DEF 的一个法向量(1,1,2)m =-， 故3cos ,||||2m n m n m n <>==，因为二面角F DE C --为钝角，故二面角F DE C --的大小为56x ． （2）设DP DE DF λμ=+，因为(2,2,2)DE =-，(2,0,1)DF =-，又(2,2,0)BD =-，(2,2,2)(2,0,)(22,2,2)DP DE DFλμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+，所以(222,22,2)BP BD DP λμλλμ=+=---+，0,0,BP DF BP DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2(222)20,2(222)2(22)2(2)0,λμλμλμλλμ---++=⎧∴⎨---+-++=⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =．所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点． 20．（1）依题意，221112a b+=，ca =，222abc =+，解得a =，1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A，(1,M，(1,N -， 故122AMN S =⨯△②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y kx =-，0k ≠，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，2222222422||(1)[()4]2221212k k k AM k k k k -==+-=++， 点O 到直线AM 的距离d ==，因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =222111||2(22)22211AMNk S AM d k k +∴===++△，综上，AMN △面积的最大值为．21．（1）由()1xf x ax -≥，所以1ln a x x+≤， 设1()ln g x x x=+，22111()x g x x x x -'∴=-=．由()0g x '＞，1x ∴＞，()g x 在(1,)+∞上单调递增；()0g x '＜，01x ∴＜＜，()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1g x g ==，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1．（2）设(,y)x 为函数()F x 图像上任意一点，则点(,)y x 为函数()f x 图像上的点，所以()e x F x =，所以001ln e x x =， 当01x x ＜＜时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+＞，因而()m x 在0(1,)x 上单调递增； 当0x x ＞时，()e x x m x =，1()0e x xm x -'=＜，因而()m x 在0(,)x +∞上单调递减； 又12()()m x m x =，12x x ＜，则10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +＞． 要证：1202x x x +＞，即证20102x x x x -＞＞，而()m x 在0(,)x +∞上单调递减， 故可证201()(2)m x m x x -＜，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x -＜，即01011122ln e x x x x x x --＜，记0022()ln ex x x xh x x x --=-，01x x ＜＜，其中0()0h x =．000002221221()1ln 1ln e e e x x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++-．记()et tt ϕ=，1()e t t t ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'＞；(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'＜，故max 1()t eϕ=，而()0t ϕ＞，故10()e t ϕ＜≤，而020x x -＞，从而002210e e x x x x ----≤＜，因此当0000022212211()1ln 1ln 10e e e ex x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++--＞＞，即()h x 单调递增． 从而当01x x ＜＜时，0()()0h x h x =＜即0101122ln e x x x x x x --＜，故1202x x x +＞得证． 22．（1）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --=，cos 2sin 0p θθ--=．（2）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 3()3()30sin sin θθθθ--=，则cos sin θθcos sin θθ=，即tan θ=tan θ=， 又因为0p ≥，02πθ≤＜则π6θ=或5π3θ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为π)6和5(2,π)3．23．（1）依题意，()|3||1||31|4f x x x x x =++-+-+=≥，故m 的值为4； 当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[3,1]-． （2）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立；因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故2222()()422p q q r pq qr +++=+≥，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷解 析一、选择题1．【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|3}2A x x x x x x x x =-+=--=＜＜＜＜，{|lg 1}{|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}B x x x x =∈=∈=Z Z ＜＜＜，阴影部分表示集合A B ，故{1,2}A B =．2．【解析】依题意，设i (,)z a b a b =+∈R ，则32i 22z z a b +=+，故2i 1a b +==，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点为1(2，位于第一象限．3．【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤． 4．【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为3332246632(1)22(1)600C C ⨯--⨯-=-． 5．【解析】设(,0)F c -，依题意，联立,,a b y x a =-⎪⎩解得2(,)a ab M c c -，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±．6．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故(B，D ，(0,)(11)P m m -＜＜，故(3,m )BP =，(3,m)PD =-，故23BP PD m =-，故(2,3]BP PD ∈．7．【解析】依题意，11πsin cos cos )2sin cos 4ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+，因为π(0,)2ϕ∈，所以π4ϕ=，故322211tan 12(2)(2)()|1133x x x dx x x dx x ϕ--=-=-=--⎰⎰． 8．【解析】起始阶段有23m a =-，i 1=，第一次循环后，2(23)349m a a =--=-，i 2=；第二次循环后，2(49)3821m a a =--=-，i 3=；第三次循环后，2(821)31645m a a =--=-，i 4=；接着计算2(1645)33293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-．令329335a -=，得4a =．9．【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥欲求目标函数300200100(32)z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)A ，(40,10)B ，50100(,)33C ，(0,40)D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点(40,10)B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）．故max 300402001014000z =⨯+⨯=．所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14 000元．10．【解析】因为5[()]1x f x -=，故1()5f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图像如图所示，观察可知，两个函数的图像在[2,2]-上有6个交点，故方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上有6个根．11．【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD-，作出该几何体的直观图如图所示，取AC的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面A C D ，故三棱锥A B CD-的体积2111633ACD V BE S ==⨯=△．12．【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c ab c ab +-+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC △的面积为S ，则42s i n S a b C =②，将①②平方相加可得2222222222(83)164()(82)c S a b a b c ++=+=-≤，故22226416(165)5S c c -≤≤，即245S ≤，S ，当且仅当285c =时等号成立． 二、填空题13．【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故2ππ3T ω==，将点(2,3)A 代入可得ππ22π()32k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，故ππ()3sin()36f x x =-．14．【解析】设2AB =，则1BG =，AG =故多边形AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∠=⨯=，故所求概率13P =． 15．【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，264640m ∆=-＞，21m ＞，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，21221||||4222||||y y PF QF m AF BF y y +=+=-=，解得26m =，故m =，故直线l '的方程为2)y x =+． 16．【解析】2ln (1)ln (1)01x x x x x x x λλ-⇒--+≤≤；设函数2()ln (1)H x x x x λ=--，从而对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H =≤恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x x x λ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以m a x ()(1)1r x r ==，即1122λλ⇒≤≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增．于是，不等式()(1)0H x H =≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ＜＜时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则11()2012q x x x λλ'=-=⇒=＞，当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=-＞，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12(1)120H x x x H λλ''=+->=-＞，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增．于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x ＞成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1[,)2+∞．三、解答题17．【解析】略．18．【解析】略．19．【解析】略．20．【解析】略．21．【解析】略．22．【解析】略．23．【解析】略．。
河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题及答案
天一大联考2016——2017学年高中毕业班阶段性测试（四）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合|42830,|1A x x x B x y x ，则A BA. 1,12B. 1,12C. 31,2D.31,22. 已知复数2112ai z a R i ，则实数a 的值为A. 1B. 2C. 3D. 43.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是 A.该金锤中间一尺重3斤 B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C.该金锤的重量为15斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤4.运行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为 A. 134B. -19C. 132D. 215.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.916 B. 918 C. 1218 D. 1818A. B. C. D.6.若圆过点0,10,5，且被直线0x y 截得的弦长为27，则圆的方程为 A. 2229x y 或224225x yB.2229x y 或221210x y C.224225x y 或224217x y D. 224225x y 或224116x y 7. 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况：先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为A. 47125 B. 117125 C. 81125 D.358.已知函数2sin 0,2f xx 的图象如图所示，其中点315,0,,044A B ，为了得到函数2sin 3g x x 的图象，则应当把函数y f x 的图象A. 向左平移134个单位 B.向右平移134个单位 C.向左平移1312个单位 D. 向右平移1312个单位9. 已知双曲线2222:10,0xy C ab a b 的左、右焦点分别为12,0,,0Fc F c ，直线l 过不同的两点2,0,,22a b ab b a a，若坐标原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为 A. 2或43 B. 2或233C. 233D.2 10. 如图，长方体1111ABCDA B C D 中，18,4,DC CC CB AM MB ,点N 是平面1111A B C D 上的点，且满足15C N，当长方体1111ABCDA B C D 的体积最大时，线段MN 的最小值是 A. 62 B. 8 C. 21 D. 4311.已知函数31632,122,11,222xxf x f x x则函数24y xf x 在1,32上的零点之和为 A. 932 B. 47 C. 952D.48 12.已知关于x 的不等式322ln ax x x x x 在0,上恒成立，则实数a 的取值范围是A. ,0B. ,2C. ,1D.,1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知实数,x y 满足30644xy x y x y，则2zx y 的最小值为 . 14.7312x x 的展开式中1x的系数为 . 15.如图，在ABC 中，3,5,60,,ABAC BAC D E 分别,AB AC 是的中点，连接,CD BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接，则AF BG . 16.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且1115,22n n a a a n ，若对任意的n N ，143n p S n ，则实数p 的取值范围是为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知四边形MNPQ 如图所示，2,2 3.MN NP PQ MQ 其中（1）求3cos cos M P 的值；（2）记MNQ 与NPQ 的面积分别是1S 与2S ，求2212S S 与的最大值. 18.（本题满分12分）如图1，在ABC 中，MA 是BC 边上的高.如图（ 2），将MBC 沿MA 进行翻折，使得二面角B MA C 为90，在过点B 作//BD AC ，连接,,AD CD MD ，且23,,30.AD CAD （1）求证：CD平面MAD ；（2）在MD 上取一点E ，使13ME MD ，求直线AE 与平面MBD 所成角的正弦值.19.（本题满分12分）2016年天猫双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众张抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在55,65,65,75,75,85对应的小矩形的面积分别是123,,S S S ，且12324S S S .（1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在45,65的人数；（2）计算在双十一活动中消费超过3000元的消费者的平均年龄；（3）若按照分层抽样，从年龄在15,25,65,75的人群中共抽取8人，再从这8人中随机抽取4人作深入调查，记被调查者的年龄在25,35的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 20.（本题满分12分）已知椭圆2222:10xy C a b a b 过点331,,2,13，过点1,0且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若x 轴上存在一点M ，使得2531MA MB t k ，其中t 是与k 无关的常数，求点M 的坐标和t 的值.21.（本题满分12分）已知函数ln .f x x （1）若函数21g x mf x x ，求函数g x 的单调区间和极值；（2）若函数h x a x f x ，求通过计算说明函数h x 零点的个数.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为21222xt yt （t 为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是sin cos . （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求MN 的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲f x x a x b已知函数 4.a b，在下列网格中作出函数f x在5,5上的图象；（1）若2,0f x恒成立，求a b的取值范围.（2）若关于x的不等式0欢迎访问“高中试卷网”——。
河南省2017级普通高中学业水平考试数学(含答案)
机密☆2018年12月28日16：30前河南省2017级普通高中学生学业水平考试数学本试题卷共4页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟。
注意事项：1．考生答题时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后将本试题卷和答题卡一并交回。
2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号核对无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在答题卡相应位置。
座位号同时填涂在答题卡背面上方。
将条形码粘贴在答题卡指定的位置，并将试题卷装订线内的项目填写清楚。
3．选择题答案必须使用2B铅笔规范填涂。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4．非选择题答题时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写：作图时，可用2B铅笔，笔迹要清晰。
5．严格在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。
6．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。
一、选择题(共16小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么A∩B=A．{2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{2}2．下列函数中是奇函数的是A．y=|x| B．y=C．y=log3x D．y=x33．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A．棱锥B．棱台C．棱柱D．圆锥4．sin120°=A．B．-C．D．-5．已知直线/经过坐标原点，且与直线x－2y－1=0平行，则直线的方程是A．2x+y=0 B．x+2y=0 C．2x－y=0 D．x－2y=06．如图，矩形ABCD中，点E为边BC的中点△ABE的三边所围成的区域记为S，若在矩形ABCD 内部随机取一点，则此点取自S的概率是A ．B ．C ．D ．7．函数f(x)=2x +x －7的零点所在区间是A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且→ AE =2→ ED ，则→AE =A ． → AB +→AC B ． → AB +→AC C ． → AB +→AC D ． → AB +→AC 9．为了得到函数y=sin(x+)的图象，只需把函数y=sinx 的图象A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向上平移个单位长度D ．向下平移个单位长度10．从某小学随机抽取200名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中学生身高的范围是[100：150]，样本数据分组为[100，110)，[110．120)，[120．130)，[130．140)，[140．150]根据频率分布直方图，这200名学生中身高不低于130cm 的学生人数为A ．30B ．60C ．70D ．14011．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A=135°，B=30°，a=2 ，则b=A ． 2B ．2C ．2D ．412．不等式x 2+2x －3<0的解集是A ．{x|x<－3，或x>1}B ．{x|x<－1，或x>3}C ．{x|－1<x<3}D ．{x|－3<x<1}13．设a=1，b=2ln2，c=ln3，则a ，b ，c 的大小关系是A ． a<b<cB ． a<<c<bC ． c<a<bD ．c<b<a14．已知实数a 满足a>1，则a+的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．715．已知向量a =(0，2)，b =(1，0)，那么向量2b －a 与b 的夹角为A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°16．关于函数f(x)=，的性质，有如下四个推断：①f(x)的定义域是(－∞，+∞)；②f(x)的最大值为； ③f(x)的图象关于直线x=1对称④f(x)在[1，+∞)上是增函数 其中正确推断的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(共7小题，每小题3分，共21分) 17．()-1+log 31的值是。
河南省2017届高三下学年期质量检测理科数学年试题
9
1
令 g(x) x 4 ，得 x (1,3) ，
2
2
1
所以 b ，则 a b 6
2
- 5 - / 10
河南省 2017 届高三下学期质量检测理科数学试卷
解析
1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式． = { | (5 − ) > 4} = { |1 < < 4}, = { | ≤ }，
2 ，得
2 (cos sin ) 2
2，
4
2
化成直角坐标方程，得
2 (x y) 2
2 ，即直线 的方程为 x y 4 0 ，
2
依题意，设 P(2cost, 2sint) ，则
π
| 2 2cos(t ) 4 |
到直线 的距离 d | 2cost 2sint 4 |
- 2 - / 10
则 B(1,1,0) ， C(1,1,0) ， E(0, 2 ,0) ， P(0,0, 2) ，
3
2
所以 EB (1,1,0) ， EP (0, , 2) ，
3
设平面
n EB 0 的法向量 n (x, y, z) ，则 ， n EP 0
河南省 2017 届高三下学期质量检测理科数学试卷
答案
一、选择题：共 12 题 1~5．DCDCB 6~10．ABACD 二、填空题：共 4 题
13．5
14．16
π 15．
4 30 16． 15 三、解答题：共 7 题
11~12．CB
17．解：（1） Sn an an1 ， a3 3 ，所以 a1 a1a2 且 a1 a2 a2a3 3a2 ，①
河南省天一大联考(全国卷)2017届高三高中毕业班阶段性测试(二)数学(理)试题 含答案
理科数学一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数xy 1=的定义域为（ ）A ．RB ．),0()0,(+∞-∞C ．),0[+∞D ．),0(+∞ 2。
在等差数列}{n a 中，若2,4==q pa a且q p +=4，则公差=d ( ）A ．1B ．21 C ．21- D ．1-3.已知01>>>>>c b a π,且πππ1log,log ,1cz b y a x ===，则（ ）A ．z y x >>B ．y z x >>C ．z x y >>D ．x z y >> 4。
将函数)32sin()(π-=x x f 的图象向左平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍后，所得函数为)(x g ，则=)(πg （ ） A ．21- B ．21 C ．23-D ．23 5.已知等比数列}{n a 的公比1≠q ，且853=+a a ，1662=a a ,则数列}{n a 的前2016项的和为（ )A ．8064B ．4C ．4-D ．0 6.已知ABC ∆中，AC AE 32=，BC BF 21-=，则=EF （ )A ．AC AB 6723- B ．AC AB 6121+ C ．AC AB 6523-D ．AC AB 6521-7.已知圆1C ：034422=--++y x y x，点P 为圆2C ：012422=--+x y x 上且不在直线21C C 上的任意一点，则21C PC ∆的面积的最大值为（ ）A ．52B ．54C ．58D ．20 8.数列}{n a 的前n 项和为nS ,若11-=a，n n S a 3=（1>n )，则=10S （）A ．5121-B ．5121C ．10241D ．204819。
已知向量))2sin(),2(cos(x x a +-=ππ，)sin ),2(sin(x x b +=π，若12π-=x ，则向量a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 10.已知函数x x x f 2sin sin2)(2-=，则函数)(x f 的对称中心可以是（）A ．)0,8(π- B ．)0,4(π- C ．)1,8(π- D ．)1,4(π-11。
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河南省十所名校2017学年高中毕业班阶段性测试
数 学（理科）
一、选择题：
1．已知全集U ＝R ，集合{}|02A x x ＝≤≤，{}2|0B x x x ->＝则图中的阴影部分表示的
集合为
A ．（－∞，1]∪（2，＋∞）
B ．（－∞，0）∪（1，2）
C ．[1，2）
D ．（1，2]
2．已知i 是虚数单位，则复数 2
1(1)
i -＋在复平面内所对应的点位于
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
3．已知数列 {}n a 的通项为 22n a n n λ=-，，则“ 0λ<”是“1,n n n N a a *+∀∈>”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知圆222:(1)C x y r ＋＋＝与抛物线 2:16D y x ＝的准线交于A ，B
两点，且
8AB =，则圆
C 的面积为
A ．5π
B ．9 π
C ．16π
D ．25 π 5．已知
()
f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0对，
2cos
,08,()6
log ,8,
x
x f x x x π⎧⎪⎨⎪⎩＜≤＝＞ ((16))f f -＝ A ．－12
B ．
－
C ．12
D
6．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上
一节课．如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为
A ．36
B ．24
C ．18
D ．12
7．设331sin(810),tan(),lg 8
5
a b c π＝－＝＝o ，则它们的大小关系为
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b 8．函数
33()x
x f x e
-=的大致图象是
9．如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部
分，其中3,AB AD cm ==1DD ＝1BB 2cm =，则该几何体的外接球的表面积为 A ．211cm π B ．222cm π
C ．
2
D ．2cm 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 为
A ．1 006
B ．1 007
C ．1 008
D ．1 009
11．双曲线 22
22:1(0,0)x y C a b a b
-＝＞＞的一条渐近线与直
线 x ＋2y ＋1 ＝0垂直， 12,F F 为C 的焦点．A 为双 曲线上一点，若 122F A F A ＝，则 21cos AF F ∠＝
A ．2
B ．
4
C ．
5
D ．14
12．设 ()ln f x x ＝，若函数 ()()g x f x ax ＝－在区间（0，4）上有
三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．
10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．
ln 2,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．
ln 21,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．ln 20,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．设
2
10sin n xdx π
=⎰，则 n
-展开式中的常数项为
_________（用数字作答）
14．某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，
当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片．于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B 就行； 小张说：B ，C ，D ，E 都行；
小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行； 小刘说：除了E 之外，其他的都可以
据此判断，他们四人可以共同看的影片为______________． 15．△ABC 中，
2,1,120AB AC BAC ∠＝＝＝o
uu u r uuu r ，若 2BD DC ＝uu u r uuu r ，则 ·
AD BC ＝uuu r uu u r ______________．
16．已知数列{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列 {}n x
满足 11233,39x x x x ＝＋＋＝，1
2
12n
n n a a a n n n x x x ++++＝＝，则n x ＝__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）
已知向量
2,1),(cos ,cos )444
x x x
m n ＝＝，记()f x m n ⋅＝
（Ⅰ）若 3()2f α＝，求 2cos()3
πα－的值；
（Ⅱ）将函数 ()y f x =的图象向右平移23
π个单位得到
()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零
点，求实数k 的取值范围
18．（本小题满分12分）
设等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ， 561124,143a a S ＋＝＝．数
列 {}n b 的前n 项和为n T ，满足112(1)()n
a n T a n N λ-*=--∈
（Ⅰ）求数列 {}n a 的通项公式及数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和；
（Ⅱ）是否存在非零实数 λ，使得数列 {}n b 为等比数列？并说明理由
19．（本小题满分12分）
已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：
该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：
（Ⅰ）某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇
到的游客拥挤等级均为良的概率；
（Ⅱ）从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中
随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥DB ，其中三棱锥P －
BCD 的三视图如图所示，且3sin 5
BDC ∠=．
（Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；
（Ⅱ）若PA 与平面PCD 所成角的正弦值为 65
，求AD
的长．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆 22
22:1(0)x y E a b a b ＋＝＞＞)过点 (1,Q ，且离心率
e =
l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分
别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程：
（Ⅱ）判断是否存在直线l ，满足
2OC OM OD
＝＋uuu r uuu r uuu r ，
2OD ON OC uuu r uuu r uuu r
＝＋？若存在，求出直线 l 的方程；若不
存在，说明理由
22．（本小题满分12分）
设函数()ln bx f x ax x
＝－，e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在点 22(,())e f e 处的切线方程为
2340x y e ＋－＝，求实数
a ，
b 的值；
（Ⅱ）当b ＝l 时，若存在 212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，
使 12()()f x f x a '≤＋成立，求实数a 的最小值．。