新人教版-七年级下-第五章 相交线与平行线

峨桥博学状元辅导资料—新人教版
七年级下—数学
第五章相交线
班级：___________________
姓名：___________________
学校：___________________
注：此资料适合中等偏上的学生做，请拥有此书的同学认真做好每一道题.
5.1 相交线
考点1: 邻补角、对顶角
1. （1）邻补角的定义：____________________________________________________________； 对顶角的定义：____________________________________________________________. （2）性质：∠AOC+∠COB=180°，依据是________________________；
∠AOC=∠BOD ，依据是__________________________.
2. “互为邻补角”与“互为补角”有什么区别？
__________________________________________________________ __________________________________________________________ 3. 猜谜语（打几何名称）两牛相斗____________.
4. 如图是一种测量角的仪器，它依据的原理是____________.
5. 下列说法：①有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角；②两条直线相交，任意两个角都是对顶角；③两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角；④两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角.其中正确的有____________个.
6. 如图，直线AB CD EF 、、交于点O ，
（1）COE ∠的对顶角是____________； （2）AOF ∠的对顶角是____________； （3）BOF ∠的邻补角是____________； （4）_______=180BOE ︒∠+—
.
7. 如图，直线AB CD 、相于点O ，若1=38︒∠—，则2=∠____________，3=∠____________. 8. 如图，直线AB CD 、相于点O ，若=40B O D ︒∠—，OA 平分COE ∠，则A O E ∠=____________. 9. 如图，当剪刀口∠AOB 增大30°时，则COD ∠=____________.
10. 如图，直线AB CD 、相于点O ，54AOC ︒∠=—，1∠比2∠大10︒—1∠=____________，
2∠=____________.
11. 如图一根直尺EF
压在三角板30︒—的角BAC ∠上，与两边AC AB 、交于M N 、．那么
CME BNF ∠+∠=____________.
12. 如图，要把角钢（图1）变成140︒的钢架（图2），则需要在角钢（图1）上截去的缺口的角度α等于____________.
13. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，则∠BOC 的度数是____________.
14. （1）延长射线OM ；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．以上说法正确的有___________.个
15. 2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有___________个交点，…，n 条直线两两相交最多能有____________个交点（用含有n 的代数式表示）
16. （1）已知α∠和β∠互为邻补角，且αβ∠∠ ，在讨论怎样表示β∠的余角时，小华说：
90α∠-︒可以表示β∠的余角；小芳说：
()1
2
αβ∠-∠可以表示β∠的余角；你认为他们说的对吗？说明你判断的理由．
（2）小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？
如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义
17.如图所示，（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计
如何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由．注：（2），（3）图备用．
18.如图，已知直线AB和CD相交于点O（∠AOC为锐角）
（1）写出∠AOC和∠BOD的大小关系____________；判断的依据是____________．
（2）过点O作射线OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，画出图形并求∠AOF+∠COF 的度数，说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，若∠AOD=120°，请计算∠COF的度.
19.如图，O是直线AB上的一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）猜想∠MON是否等于90°；
（2）请用你所学的知识说明理由．
20.如图，AB与CD交于点O，OM为射线．
（1）写出∠BOD的对顶角．
（2）写出∠BOD与∠COM的邻补角．
（3）已知∠AOC=70°，∠BOM=80°，求∠DOM和∠AOM的度数．
21.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图a，图中共有____________对对顶角；
（2）如图b，图中共有____________对对顶角；
（3）如图c，图中共有____________对对顶角；
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角；
（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角．
22.已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8
字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：____________；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：____________个；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；
23.甲港和乙港间新开辟一条航线，每天正午分别从两港相对开出一艘船，若所有甲港和乙港间
新开辟一条航线，每天正午分别从两港相对开出一艘船，若所有船的船速相同，且从甲港到乙港要航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第一天）从甲港开出的那只船在航线上遇到乙港开来的船（不包括在港口的相遇的）共有多少只？
1. （1）垂线的定义：____________________________________，其中一条直线叫做另一条直线
的____________，它们的交点叫做____________；
（2）直线AB 、CD 互相垂直，记作____________，读作____________； （3）互相垂直的两条直线所构成的四个角都是____________. 2. 谈一谈你对垂直与垂线的认识？
___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3. 垂线的画法：_______________________________________________________________ __________________________________________________________________________. 4. 垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点____________一条直线与已知直线垂直；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，____________，简称____________. 5. 请写出两种检验平面与平面垂直的方法：
（1）________________________________________________. （2）________________________________________________.
6. 如图，直线AB 上有一点O ，且OC ⊥OD ，则∠1+∠2= ________________°.
7. 如图，CD ⊥AB ，垂足为C ，∠1=130°，则∠2=____________
8. 如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相等的锐角：____________.（只需写出一对即可） 9. 已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，如果∠AOC=50°，那么∠EPF=____________度．
10. 如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地面（水平面）垂直，可以用____________方法检验．
11. 如图：想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是____________，理由_______________________.
12. 如图，已知,ON a OM a ⊥⊥，可以推断出OM 与ON 重合的理由是________________________.
13. 过P 点，画出OA 、OB 的垂线或画出AB 、CD 的垂线
14. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 是∠COB 的平分线，FO ⊥OE ，已知∠AOD=70°． （1）求∠BOE 的度数；
（2）OF 平分∠AOC 吗？为什么？
15.已知：OA⊥OC于O，OB⊥OD于O，∠BOC=24°．
（1）求：∠AOD的度数．
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），其他条件不变．求：
∠AOD的度数．
（3）根据（1）（2）的计算结果，在（2）的条件下，推断
∠BOC与∠AOD的关系，并证明．
16.如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
17.如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面
上表示时间的四个数字．
（1）请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可．
（2）若这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字．
18.点P与∠A的位置关系如图所示．
（1）在图1，图2，图3中，以P为顶点作出∠P（0°＜∠P＜180°），使∠P得两边所在的直线分别和∠A的两边垂直；
（2）量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P与∠A的数量关系；
在图1中，∠P=_______________ ；在图2中，∠P= _______________；
在图3中，∠P= _______________；
19.如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．
（1）若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD的度数；
（2）若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD的度数；
（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．
1. ____________________________________________叫做点到直线的距离.如：点P 到直线AB 的距离就是垂线段____________的长度.
2. 两点间的距离与点到直线的距离：
区别：两点之间的距离是____________之间，点到直线的距离是____________之间； 联系：都是____________的长度；点到直线的距离是特殊的两点间的距离.
3. 如图，AC BC ⊥，C 为垂足，CD AB ⊥，D 为垂足，8BC =，
4.8CD =， 6.4BD =， 3.6AD =，
6AC =，
那么点C 到AB 的距离是____________，点A 到BC 的距离是____________，点B 到CD 的距离是____________，,A B 两点间的距离是____________.
4. 如图，CD OB ⊥于D ，EF OA ⊥于F ，则C 到OB 的距离是____________的长度，E 到OA 的距离是____________的长度，O 到CD 的距离是____________的长度，O 到EF 的距离是____________的长度．
5. 如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段____________的长度．
6. 如图，P 是AOB ∠平分线上一点，CD OP ⊥于P ，并分别交OA OB 、于CD ，则CD ____________P 点到AOB ∠两边距离之和．(填“大于”或“小于”)
7.
线段最短；③连接两点的线段，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．其中正确的是____________.
8. 若点A 到直线L 的距离为7cm ，点B 到直线L 的距离为3cm ，则线段AB 的长度为（ ） A ．10cm B ．4cm C ．10cm 或4cm D ．至少4cm
9. 如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A B C 、、的距离分别为4PA cm =，
6PB cm =，3PC cm =，则点P 到直线m 的距离为（ ）
A ．3cm
B ．小于3cm
C ．不大于3cm
D ．以上结论都不对
10. （1）如图1，村庄A 到公路BC 的最短距离是AD ，根据是________________．
（2）如图2，建筑工人常在一根细绳上拴上一个重物，做成一个“铅锤”，挂铅锤的线总垂直
于地面内的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说明墙与地面垂直，请说出它的根据是________________________________．
11. 如图，在平面内，两条直线
1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若
,p q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(),p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是()2,1的点共有_____________个．
12. 如图，说明如何量出点C 到直线AB 的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段BC 的长度即可；
乙同学：过点C 无法向直线AB 作垂线，所以无法量出点C 到直线AB 的距离； 丙同学：过点C 作直线AB 的垂线，垂线和直线AB 不相交，
所以不能量出点C 到直线AB 的距离．
请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法．
13. 如图，AC BC ⊥，CD AB ⊥，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有多少条？分别写出来
14. 如图：在三角形ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于点D ，线段AB 、BC 、CD 的大小顺序如何，并说明理由．
15. 如图，AC ⊥BC ，AC=9，BC=12，AB=15．
（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离； （2）点C 到直线AB 的距离是多少？你是怎样求得的？
1.如图，两直线,a b被第三条直线所截构成了八个角（简称：“三线八角”）
2.如图所示，
（
1）B
∠和ECD
∠可看成是直线AB CE
、被直线____________所截得的____________角；（2）A
∠和ACE
∠可看成是直线____________、____________被直线____________所截得的_____________角．
3.如图填空．
（1）若,
ED BC被AB所截，则1
∠与____________是同位角．
（2）若,
ED BC被AF所截，则3
∠与____________是内错角．
（3）1
∠与3
∠是AB和AF被____________所截构成的____________角．
（4）2
∠与4
∠是____________和____________被BC所截构成的____________角
4.如图，直线DE与O
∠的两边相交，则O
∠的同位角是____________，8
∠的内错角是____________，1
∠的同旁内角是____________，1
∠的对顶角是____________．
5. 如图所示，能与∠1构成同位角的角有____________个
6.
____________. 7. 如图，在“A
”字型图中，AB AC 、被DE 所截，则ADE ∠与DEC ∠是____________. 8. 如图，下列说法：①∠1和∠3是对顶角；②∠1和∠4是内错角；③∠3和∠4是同位角；④∠1和∠2是同旁内角中.不正确有_________个.
9. 如图两条非平行的直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，交点为PQ ，那么这3条直线将所在平面分成________部分
10. 如图，BE 是AB 的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ （1）A ∠和D ∠； （2）A ∠和CBA ∠； （3）C ∠和CBE ∠
11. 如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？
1∠和2∠；2∠和6∠；6∠和∠A ；3∠和∠5；3∠和∠4；∠4和∠7．
5.2 平行线及其判定
1. （1）含义：____________________________________________叫做平行线； （2）表示：直线a 与直线b 互相平行，记作____________.
2. 两直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是___________.
3. 已知P 是直线a 为一点，写出用直尺和三角尺画平行线的方法：
（1）_______________________________；（2）_______________________________； （3）_______________________________；（4）_______________________________； 4. 你的家中也有平行线存在，例如_________________________________. 5. 在同一平面内，直线1l 与2l 满足下列条件： （1）1l 与2l 无公共点，则1l 与2l ___________；
（2）1l 与2l 有且只有一个公共点，则1l 与2l ___________； （3）1l 与2l 有两个公共点，则1l 与2l ___________.
6. 下列生活实例中；①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有___________个
7. 下列各种说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③两条直线没有交点，则这两条直线平行；④在同一平面内，若直线//AB CD ，直线AB 与EF 相交，则CD 与EF 相交．
8. 在同一平面内，直线a 和b 相交于点O ，又//b c ，则a 与c 的位置关系是___________. 9. 在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是___________个.
10. 平面内有三条直线a b c 、、，如果//a b ，b c ，那么a 与c 的位置关系是____________.
11. 如果线段AB 与线段CD 没有交点，则（ ）
A ．线段A
B 与线段CD 一定平行 B ．线段AB 与线段CD 一定不平行
C ．线段AB 与线段C
D 可能平行 D ．以上说法都不正确
12. 在下列说法：①射线AB 和射线BA 是同一条射线；②在同一平面内有三条直线，其中有两条直线平行，则第三条直线与这两条直线平行；③A B 、两点的距离就是过A B 、两点的直线；④垂直、平分已知线段的直线只有一条中，正确的有____________.个.
13. 观察如图所示的长方体后填空：
（1）用符号表示下列两棱的位置关系：11A B ________AB ，1A A _______AB ，
11A D ________11C D ，AD ________BC ；
（2）11A B 与BC 所在的直线是两条不相交的直线，它们__________平行线（填“是”或“不
是”），由此可知，在__________内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
14. 如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有__________对平行线．
15. 在同一平面内有2014条直线1a ，2a ，3a ，…，2014a ，如果12a a ⊥，23//a a ，34a a ⊥，45//a a ，…，那么1a 与2014a 的位置关系是______________.
16. 如图，D 为AB 的中点.
（1）过D 点作//DE BC ，交AC 于E ；
（2）测量AE 与CE 的长度，试问AE 与CE 有怎样的大小关系？ （3）运用（2）中的方法说明线段DE 与BC 有着怎样的大小关系？
17. 在梯形ABCD 中，//AD BC ，P 是AB 的中点，过点P 作AD 的平行线交DC 于Q 点. （1）PQ 与BC 平行吗？为什么？ （2）测量DQ 与CQ 的长度，相等吗？
（3）通过测量并判断()1
2
AD BC PQ +=是否成立？
18. 如图所示，在AOB ∠内有一点P ． （1）过P 画1//L OA ； （2）过P 画2//L OB ；
（3）用量角器量一量1L 与2L 相交的角与O ∠ 的大小有怎样关系？
19. 如图，在同一平面内，一组互相平行的直线共n 条（n 为大于1的正整数），它们和两条平行线,αβ相交，构成若干个“#”字形，设构成的“#”字形个数为m ,请填写下表：
β
αβ
αβ
α
C
B
- - -
20.两条平行直线上各有n个点，用这n个点按如下规则连接线段：
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出．
n=时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图（1）展示了当1
n=时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．试回答下列问题：图（2）展示了当2
（I）当n=3时，请在图（3）中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是_______________；
（II）试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有_______________个三角形；
n=时，按上述规则画出的图形中，最少有_______________个三角形．
（III）当2014
1. （1）平行公理：____________________________________________.
（2）平行公理的推论：____________________________________________.用数学语言表示为：
____________________________________________.
2. 如图：//PC AB ，//QC AB ，则点P C Q 、、在一条直线上．理由是______________________.
3. 如图，//AB CD ，过点E 画//EF AB ，则EF 与CD 的位置关系是____________，理由是___________________________.
4. 判断：
（1）两条不相交的直线叫做平行线_________
（2）和一条已知直线平行的直线有且只有一条_________ （3）经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行_________
（4）a b c 、、是三条直线，如果//a b ，且//b c ，那么//a c ．_________
（5）在同一平面内的两条线段，如果它们不相交，那么它们一定互相平行．_________ （6）如果a b c d 、、、是四条直线，且//a c ，//c d ，则//a d ．_________ 5. 如图，已知//OA CD ，//OB CD ，
那么AOB 是平角，为什么？
6. 将一张长方形的硬纸片ABCD 对折后打开，折痕为
EF ，
把长方形
ABEF
平摊在桌面上，另一面CDFE
无论怎样改变位置，总有//CD AB
存在，为什么？
1. 平行线的判定：
（1）________________________________________，简单说成：____________________. （2）________________________________________，简单说成：____________________. （3）________________________________________，简单说成：_________________ 2. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线____________，用数学语言表述为：________________________________________________.
3. （1）如图：已知：1=105︒∠，2=105︒∠，则__________//__________，理由是__________； （2）如图所示，1=2∠∠，则__________//__________，理由是_______________________； （3）
如图所示，
2
3=180︒∠+∠，
所以__________//__________，理由是___________________.
4. 我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方_______________________
5. 如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是______________________________.
6. 如图，若3A ∠=∠，则__________//__________；若2E ∠=∠，
则__________
//
__________；若__________+__________=180°，则//
AD BE ．
7. 如图，下列条件中：（1）180B BCD ︒∠+∠=；（2）12∠=∠；（3）34∠=∠；（4）5B ∠=∠；（5）5D ∠=∠，能推出AB ∥CD 的条件是_____________________．（填写序号）
8. 如图，已知BE 平分∠ABC ，E 点在线段AD 上，∠ABE=∠AEB ，AD 与BC 平行吗？为什么？ 解：因为BE 平分∠ABC _________________
所以∠ABE=∠EBC _________________ 因为∠ABE=∠AEB _________________ 所以∠AEB=∠EBC _________________
所以AD ∥BC__________________________________ ．
9. 如图，一个弯形管道ABCD 的拐角120ABC ︒∠=，要使管道中的水平行出去，则
B C D ∠=___________.
10. 如图是一条管道的剖面图，如果要求管道经两次拐弯后的方向保持原来不变，那么管道的两个拐角,αβ∠∠之间的关系是___________.
11. 两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则这对同位角的平分线的位置关系是___________.
12. 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次左拐30°，第二次右拐30°
B. 第一次右拐50°，第二次左拐130
C. 第一次右拐50°，第二次右拐130°
D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐120.
13.如图所示，三块相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的平行线，并说明理由．
小颖：AC与DE是平行的，因为∠EDC与∠ACB是同位角且相等，你能看懂她的意思吗？
小明：我是这样想的，因为∠BCA=∠EAC，所以BD∥AE．你知道这一步的理由吗？
请你再找出一组平行线，说说你的理由．
14.到目前为止，写出你所知道的，判定两直线平行的方法.
15.如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．
16.（1）如图（1）所示，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF．判断AB与
CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2）所示在（1）的条件下，若小路OM平分∠EOB．通往加油站N的岔道O′N 平分∠CO′F，试判断OM与O′N位置关系．
17. 如图，已知AE 、CE 分别是∠BAC 、∠ACD 的平分线，且∠1+∠2=∠AEC ． （1）试确定直线AB 、CD 的位置关系；
（2）直线AE 、CE 互相垂直吗？若互相垂直，请给予证明；若不互相垂直，说明理由．
18. 如图，四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，则BE 与DF 有何位置关系？试说明理由．
19. 已知，在四边形ABCD 中．90A C ︒∠=∠=． （1）求证：180ABC ADC ︒∠+∠=；
（2）如图1，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明； （3）如图2，若DE BF 、分别平分ADC ∠、ABC ∠的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证
明．
20.如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度
假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．
（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；
（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；
（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．
5.3 平行线的性质
1. 平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，____________________，简单说成：____________________； （2）两条平行线被第三条直线所截，____________________，简单说成：____________________； （3）两条平行线被第三条直线所截，____________________，简单说成：____________________； 2. 如图，AB ∥CD ，则图中相等的角是____________________.
3. 如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥CD ，F 为垂足．如果∠GEF=20°，那么∠1等于_________1
4. 如图，已知直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α等于__________.
5. 如图，AB ∥CD ，CE 交AB 于F ，若∠C=60°，则∠A+∠E 等于__________.
6. 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则
A B C B C D ∠+∠=
__________度． 7. 一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B
是
150°，
第三次拐的角∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C
应为________度.
8. 如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2=50°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ．则∠3=__________.
9. 如图，A 、B 之间是一座山，要修一条铁路通过A 、B 两地，在A 地测得铁路走向是北偏东58°11′．如果A 、B 两地同时开工开隧道，那么在B 地按北偏西__________度施工，才能使铁路隧道在山腹中准确接通.
10. 如图一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置1OP 、2OP 与线绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的夹角12POP ∠=__________度.
11. 已知α∠和β∠的两边互相平行，且60α︒∠=，则β∠=__________. 12. 如图所示，∠AOB 的两边．OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是__________.
13. （1）探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照
灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB 、OC 经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC 的度数为__________.
（2）已知，如图，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为
____________________.
14.已知：如图所示，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，
则图中与∠ACB相等的角有__________个.
15.已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条
直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．
（1）在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有__________（填入序号即可）；
（2）根据在（1）中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．已知：如图，______________________________．
求证：__________．
证明：
16.如图，根据图形填空：
（1）已知：∠DAF=∠F，∠B=∠D，AB与DC平行吗？
解：∠DAF=∠F （____________________）
∴AD∥BF（____________________），
∴∠D=∠DCF（____________________）
∵∠B=∠D （____________________）
∴∠B=∠DCF （____________________）
∴AB∥DC（____________________）
（2）已知：AB∥DE，∠B=80°，∠D=140°，求∠BCD的度数．解：过C点作CF∥DE．（____________________）
∵AB∥DE．
∴AB∥__________．（____________________）
∴∠B=∠__________．（____________________）
∠D+__________=180°（____________________）
∵∠B=80°∠D=140°
∴∠__________=__________°，∠__________ = __________°．
∵∠BCD=∠__________ ∠__________．
∴∠BCD=__________．
（3）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB=∠EDO．求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA=∠BOA=90°（____________________）
∴DE∥BO （____________________）
∴∠EDO=∠DOF （____________________）
又∵∠CFB=∠EDO （____________________）
∴∠DOF=∠CFB （____________________）
∴CF∥DO ．（____________________）
17.如图，AB∥CD，在AB与CD之间任意找一点E，连接AE，CE（说明：AB，CD都为线段），
自己画出图形并探索下面问题：
（1）试问∠AEC与∠C有何种关系？请猜想并给出证明．
（2）当E点在平行线AB，CD的外部时，上一问的结论是否仍然成立？画图探索并予以证明．
18.如图，AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°．
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，用文字表述出来；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的度数．
19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点．PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，则∠ADC= ___________度，∠E= ___________度；
（2）若∠B=58°，∠ACB=102°，则∠ADC= ___________度，∠E= ___________度；
（3）若∠B=m°，∠ACB=n°，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC、∠E的度数．（写出结论即可，不需要证明）
20.（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据可得∠BCD=___________；
②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM=___________；
③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN=___________．
（2）尝试解决下面问题：已知如图4，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．
21.（1）如图，已知，AB∥CD，∠1=∠2，BE与CF平行吗？为什么？
（2）已知：如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，EF
分别交AB和CD于点P和Q，射线PR和QS分别平
分∠BPF和∠DQF，求证：∠BPR=∠DQS
（3）如图，如果AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N两点，∠BMN与∠DNM的平分线
交于点G，那么∠G等于多少度？请说明理由．
22. （1）如图1，已知：AB ∥CD ，OE 平分∠AOD ，OF ⊥OE 于O ，∠D=60°，求∠BOF 度数．
（2）如图2，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=50°，
∠C=70°，求∠DAC ，∠BOA ．
23. 如图1，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
分析：通过画平行线，将∠A 、∠B 、∠C 作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不
同而得多种证法．
证法1：如图1，延长BC 到D ，过C 画CE ∥BA ．
∵ BA ∥CE （作图2所知），
∴ ∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，同位角、内错角相等）．
又∵ ∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
如图3，过BC 上任一点F ，画FH ∥AC ，FG ∥AB ，这种添加辅助线的方法能证明：
∠A+∠B+∠C=180°吗？请你试一试
24. 如图所示，已知//AB CD ，分别探讨下面四个图形中，APC ∠，PAB ∠与PCD ∠的关
25. 如图1，//AB CD ，EOF 是直线AB CD 、间的一条折线．
（1）说明：=O BEO DFO ∠∠+∠．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则B E O O P P F C ∠∠∠∠、、、会满足怎样的关系，证明
你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n 次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论
26. 下列各图中的1MA 与n NA 平行．
（1）图①中的12A A ∠+∠=__________度；
图②中的123A A A ∠+∠+∠=__________度；
图③中的1234A A A A ∠+∠+∠+∠=__________度；
图④中的12345A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠=__________度…；
第⑩个图中的1234510A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠++∠= __________度
（2）第n 个图中的1234n A A A A A ∠+∠+∠+∠++∠= __________________．
27.探究规律：
如图，已知直线m∥n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形：______________________________．
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：________________________________________ ．
28.已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、
B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是__________；
②当∠BAD=∠ABD时，x=__________；当∠BAD=∠BDA时，x=__________．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
1. （1）定义：______________________________叫做命题；
（2）命题由__________和__________两部分组成. __________是已知的事项，__________是
由已知事项推出的事项.
（3）命题分为真命题和假命题，如果题设成立，那么结论一定__________，这样的命题叫
做真命题；如果题设成立，__________，这样的命题叫做真命题；
(4) 数学中的命题常可以写成“如果”---“那么”---的形式，这时“如果”后面接的部分是
__________，“那么”后面接的部分是__________.
2. 判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；（ ） （2）请画出两条互相平行的直线； （ ）
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（ ）
（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（ ）
3. 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；_______________________________________；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；__________________________________________；
（3）互为相反数的两个数相加得0；__________________________________________________；
（4）同旁内角互补；__________________________________________________；
（5）对顶角相等．__________________________________________________； 4. 请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果a b =，那么a b =；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
5. 命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（1）命题1是真命题还是假命题？ （2）你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？
（3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
（4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？。