17.3-2一元二次方程根的判别式
17.3 一元二次方程根的判别式
17.3 一元二次方程根的判别式一、 预习目标1了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断一个一元二次方程根的情况。
2能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。
3在对求根公式讨论时能知道应用分类讨论。
重点：能用一元二次方程根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。
难点：理解为什么能根据根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。
二、 预习展示1、一元二次方程的一般形式为： 。
2、已知方程2x 2-3x+1=0,则b 2-4ac= 。
3、方程x 2+5x+5=0的根的判别式的值是： 。
4、已知关于x 的方程x 2-mx+2=0有两个相等的实数根，那么m 的值是： 。
5、当k 等于 时，方程2x 2-6x-(k-4)=0没有实数根。
6、不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）2y 2+5y+6=0；(2)2x 2=3x=1；(3)7t 2-5t+2=0三、 合作交流1、 完成下列推导过程：任何一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，移项，得ax 2+bx=-c,二次项系数化为1，得x 2+a b x=-ac , 配方：x 2+a b x+⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 22=-a c +⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 22,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x 22=2244a ac b -， 因为a ≠0，所以4a 2＞0. 所以（1）当 时，x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---； (2)当 时，x 1=x 2=ab 2-； （3）当 时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根。
2、运用根的判别式的意义，填出根的存在情况：（1）当a ≠0且△≥0时，方程ax 2+bx+c=0 ；(2) 当a ≠0且△＞0时，方程ax 2+bx+c=0 ；（3）当a ≠0且△=0时，方程ax 2+bx+c=0 ；（4）当a ≠0且△＜0时，方程ax 2+bx+c=0 。
17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 第3讲 一元二次方程根的判别式知识概要1.根的判别式在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们得到 22244)2(a ac b a b x -=+. 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于ac b 42-.因此，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，用符号“∆”表示，读作“/'/'∂delt ”(1)当042>-=∆ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，a ac b b x 2421-+-=， aac b b x 2422---=； (2)当042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立.2.根的判别式的应用判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.经典题型精析(一)根的判别式例1.不解方程，判断下列关于x (或y )的方程的根的情况：(1)03452=--x x ； (2)01232=++x x ； (3)01442=++x x ；(4)0)1(422=-+-m my y ； (5)0)52(2422=+-++n n mx x ； (6)02=+c ax .试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)03542=--x x ； (2)03422=++x x ； (3)x x 62322=+.例2.在关于x 的一元二次方程1)2(42=++-k x k x 中，k 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.试一试：当m 取何值时，关于x 的方程041)2(22=+-+m x m x (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根?例3.当m 为何值时，关于x 的方程m x mx mx -=-+2122有实数根?试一试：关于x 的方程01)1(2=+++x m mx (其中0≠m )一定有实数根吗?为什么?例4.当k 为何值时，关于x 的方程0)12(422=-+-k kx x 有实数根?并求出这时方程的根(用含k 的代数式表示).例5.若关于x 的一元二次方程0122=+-+k x x 无实数根.求证：一元二次方程1122=++k kx x 一定有两个不相等的实数根.例6.若c b a 、、为实数，关于x 的一元二次方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两个相等的实数根，求证：b c a 2=+.试一试：求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
17.3一元二次方程的根的判别式(第1课时)
2 3 2 x 3x 1 0
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。Fra bibliotek练一练
1、不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
例1、 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
1 5x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
3.求判别式时，应该先将方程化为 一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前 提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次 项系数不为0.
课堂小结： 可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根 2 2 的情况由b -4ac来确定。我们把 b 4ac 叫做一元二次 方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△” 来表示，即△ =b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0), 当△ ＞0时，有两个不相等的实数根； 当△ = 0时，有两个相等的实数根；
b b 2 4ac , x2 2a
（2）当b2-4ac=0时
2 b 4ac 0 ，
，因此，方
程有两个相等的实数根：
b x1 x2 ; 2a
2
（3）b2-4ac＜0时，
b 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
17.3 一元二次方程根的判别式
17.3 一元二次方程的根的判别式教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的概念；2、会运用根的判别式，不解方程，判别一元二次方程根的情况；3、经历一元二次方程的根的判别式概念的形成过程，培养观察、归纳能力；4、通过了解知识之间的内在联系，认识事物普遍联系的观点，培养学生的探索精神。
重点：会用判别式判定根的情况.难点：正确理解当0∆<时，()200ax bx c a ++=≠无实数根.教学过程：一、创设情境、温故知新：通过求方程的根，探寻规律。
（1）280x -= （2）290x += （3）032x 2=++x （4）32-x 2=x（5）014-4x 2=+x （6）065-x 2=+x（7）()200ax bx c a ++=≠ 通过以上方程的求解你发现了什么？二、形成概念、归纳性质：在前面的学习中，你是否注意到：方程()200ax bx c a ++=≠有实数根的条件是什么？提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用符号“∆”来表示，即24b ac ∆=-。
一般地，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程没有实数根。
反之亦然。
三、强化概念、应用性质：1、判断题：（对的在括号内填“√”，错的填“×”）（1）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠（ ） （2）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，则0∆> （ ）2、不解方程，判断下列方程的情况。
（1）02-3-5x 2=x（2）y 20425y 2=+（3）1-32x 2=+x3、已知关于x 的一元二次方程0k 3-x 2=+x ，问k 取何值时，这个方程：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根. 4、关于x 的一元二次方程 0m m 2-x 1-m 2=+x ）（有实数根，求m 的取值范围。
17.3一元二次方程根的判别式--
17.3一元二次方程的解法 根的判别式
想一想
用配方法解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0
b 4ac和0是什么关系？
2
Δ = b2－4ac ＜ 0 4、当一元二次方程有两个实数根时 Δ = b2－4ac≥0
3、当方程没有实数根时
试一试：
关于x的一元二次方程x2－3x + k = 0， 问k取值时 （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?
（2）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ= 0
3x 1 0
原方程有两个相等的实数根。
2
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
例：不解方程，判别关于 x 的方程
2 的根的情况 x 2 2kx k 0 . 2
解： 2 2k 4 1 k
2
2
系数含有字 母的方程
8k 4k
当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
2
ax bx c 0(a 0)中
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根 2 b 4ac C.没有实数根 2 b 4acБайду номын сангаас 0 D.根的情况无法
17.3一元二次方程的根的判别式(第2课时))
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
作业设置：
1、巩固复习：课本P34－P35 2、预习新课：课本P37－P39 3、当堂作业：课本P35－P36练习1、2 4、课堂作业：课本P36习题17.3第3、5 两题 5、课下作业：基础训练等完成到17.3
7、
2 2 已知关于的方程k x +(2k-
1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个 实数根 互为相反数？如果存在， 求k的取值；如果不存在，请说明 理由
8、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（ Ａ）k<１ Ｂ）k≤１ ） D Ｃ）k<１且k≠0
一元二次方程根的判别式
3:学习难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定 方程中 待定系数的取值范围。
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是 （ D ） A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
2、不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ） A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
本节课我们将学到……
1:学习目标
1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计 新版沪科版
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.3节介绍了一元二次方程的根的判别式。
本节内容是在学生掌握了二次三项式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行的。
根的判别式是解决一元二次方程求根问题的关键，对于理解一元二次方程的根与系数的关系，以及解决实际问题具有重要意义。
教材通过引入判别式，引导学生探究一元二次方程的根的性质，从而加深对二次方程的理解。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法，以及二次三项式分解等知识。
但学生对于根的判别式的理解及运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，让学生在理解的基础上，熟练掌握根的判别式的计算及应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元二次方程根的判别式的定义，掌握计算方法，并能运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过探究活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的定义及计算方法。
2.难点：运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并理解一元二次方程根的判别式的性质。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示一元二次方程的根的判别式，引导学生观察、分析，发现判别式与方程根的情况之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出例题，让学生独立解决，然后集体讨论解题过程，引导学生掌握判别式的计算方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些判断题，让学生判断一元二次方程的根的情况，巩固所学知识。
《17.3一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业目标是帮助学生进一步理解和掌握一元二次方程根的判别式的计算和应用。
通过实际操作和思考，加强学生对一元二次方程的理解和掌握。
二、作业内容作业内容：1. 判别式的计算与运用- 要求学生根据给定的一元二次方程，正确计算出判别式的值，并理解其意义。
- 要求学生根据判别式的值，判断一元二次方程的根的情况（有实根、无实根或有两个相等的实根）。
2. 实际问题解决- 布置一些涉及一元二次方程的实际问题，如工程问题、利润问题等，要求学生运用判别式进行求解。
- 强调学生在解决问题时，要明确问题的数学模型，并正确应用判别式进行计算。
3. 拓展练习- 提供一些稍具难度的题目，如含有参数的一元二次方程的判别式计算和运用。
- 引导学生通过拓展练习，加深对判别式应用的理解和掌握。
三、作业要求作业要求：1. 准确性：学生在计算判别式时，应准确无误地得出结果，并正确判断一元二次方程的根的情况。
2. 完整性：学生应完整地写出解题步骤，思路清晰，便于教师了解学生的解题过程。
3. 独立思考：学生在解决问题时，应独立思考，不依赖他人，培养自主解决问题的能力。
4. 时间管理：学生应合理安排时间，保证在规定时间内完成作业。
5. 书写规范：学生应按照教师的要求，规范书写作业，字迹工整，易于阅读。
四、作业评价作业评价：1. 正确性评价：根据学生计算的判别式值和判断的根的情况，评价学生的正确性。
2. 过程评价：评价学生的解题过程是否清晰、完整，是否能够独立思考并解决问题。
3. 速度评价：评价学生完成作业的速度，以及时间管理的能力。
4. 书写评价：评价学生的书写规范程度，字迹是否工整，易于阅读。
五、作业反馈作业反馈：1. 教师批改作业后，应及时向学生反馈作业情况，指出学生的优点和不足。
2. 对于学生在作业中出现的错误，教师应及时进行纠正和指导，帮助学生掌握正确的解题方法。
3. 对于学生的疑问和困惑，教师应及时进行解答和指导，帮助学生解决问题。
17.3一元二次方程的根的判别式PPT课件
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 即看两端凑中间
张集中学 魏俊 廷
1.感悟一元二次方程的根的判别式 的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根 的情况和进行有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方 程中字母系数的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
解： （ 3） 4 1 k 9 4k
2
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 4k 0 解得 k 9 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞ 时，原方程没有实数根 4
时，原方程有两个不相等的实数根
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 例4:一元二次方程
m 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根。
2 2 mx (8m 1) x 8m 0 ， 提示： 先把方程变形：
再看△。 2 = b 4ac 16m 1 ，所以 解：因为
• 十字相乘法能把某些二次三项式 ax²+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健 是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数 c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是 一次项系数b，那么可以直接写成结果： ax² +bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种 方法分解因式时，要注意观察，尝试，并 体会它实质是二项式乘法的逆过程。当二 次项系数不是1时，往往需要多次试验，务 必注意各项系数的符号。
17.3一元二次方程根的判别式
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
1 5x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 32x2 3x 1 0
判别一元二次方程的根的情况的一般步骤 为：
• 一化（将一元二次方程化为一般形式）；
▪ 二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
▪ 三判断（根据上述结论判别方程根的情况）。
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△=0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根；
反过来，对于方程 ax2 bx c 0
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
无实根
作业: ☞
课本 P:36 习题17.3 T: 1、2、3
再见
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用迁移,发展能力
例：当k取什么值时，关 于x的一元二次方程 kx2 6x 1 0
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
ax2 bx c 0a 0
b2 4ac 0 0 0
0 两不相等实根
0
两相等实根
0
复习
x2 7x 18 0 9x2 6x 1 0 4x2 x 1 0
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的情况由b2-4ac来确定的.我们把b2-4ac叫做 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别 式用. 符号“△”来表示， 即△= b2-4ac
一般的，方程ax2+bx+c=0(a≠0)
17.3 一元二次方程根的判别式教学反思
17.3一元二次方程根的判别式教学反思甘通过本节课教学，主要是让学生理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判别根的情况。
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了学生自学教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对Δ=b2-4ac 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以课堂上通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
课堂上先让学生通过自学阅读课本内容解决相关的老师提出的问题，从而了解到了本节课的学习目标，通过模仿课本例题的解题格式进一步理解了根的判别式的意义，从而调动了学生学习的积极性，又很自然地进入本课所研究的重点内容。
在整个课堂学习中，学生口、脑、手并用，小组讨论交流，整体合作，解决问题，既提高了学生的自学能力，又提高了学生分析问题、解决问题的能力。
同时，学生通过自己自学、讨论、合作解决问题，体会到探索的乐趣和成功的欢乐，进一步培养了学生热爱数学的思想。
整节课的实施过程很顺利，部分学生对本课的知识掌握程度不错，能很好地达到本课的教学目的。
在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，在分层教学方面体现少，“让每位学生都有收获”达不到，所以在教学设计方面还有待改进。
在往后的教学中，课堂练习要设计不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。
对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是 ．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是 ．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。
《17.3一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固一元二次方程根的判别式的基本概念，理解判别式与方程根的关系，并能灵活运用判别式解决实际问题。
通过本课时的作业练习，期望学生能够熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，为后续学习一元二次方程的解法及应用打下坚实的基础。
二、作业内容作业内容主要包括以下方面：1. 理解一元二次方程的形式及判别式的定义，并能够根据给定的一元二次方程写出其判别式。
2. 掌握判别式与方程根的关系，理解当判别式大于零、等于零和小于零时，一元二次方程的根的情况。
3. 通过实例练习，学会运用判别式解决实际问题，如根据判别式的值判断方程的根的个数、类型等。
4. 完成一定量的习题练习，包括选择题、填空题和解答题，以检验学生对判别式知识的掌握情况。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解一元二次方程根的判别式的概念及计算方法。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人作业或网上答案。
3. 作业中的每个问题都要有明确的解题思路和步骤，字迹工整，答案准确。
4. 对于不懂的问题，学生应积极向老师或同学请教，直至理解掌握。
5. 按时提交作业，不迟到、不早退。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰程度、字迹工整度等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每个问题进行详细的评分，并给出针对性的改进意见。
同时，可采取小组互评的方式，让学生互相学习、互相促进。
3. 反馈形式：教师将批改后的作业发还给学生，并对其进行详细的讲解，指出学生在解题过程中的优点和不足。
同时，教师可通过课堂讲解、课后辅导等方式，为学生提供进一步的指导和帮助。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中普遍出现的问题，教师需在课堂上进行重点讲解，帮助学生理解掌握。
2. 对于表现优秀的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。
3. 教师需定期与学生进行沟通，了解学生的学习情况及对作业设计的意见和建议，以便及时调整教学策略，提高教学质量。
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运用判别式求出符合题意的字母的取值范围
培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能
应用根的判别式判解字母方程是学生学习的薄弱处，教师带领学生一起完成，归纳注意点
把k回代，求出原方程的根；两种情况分开写
完成练习
谈收获和注意点
板书设计：
课后反思：
（2） ，
两者不可缺一，但在实际应用时，学生往往会忽视 的情况，在教学时应引起注意
三、练习：
课本P42/1－2
四、小结：
本节课是上节课的延续和深化，通过本节课的内容的学习知道了不解方程，可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值范围。
五、作业：
练习册：习题17.3(2)
复习旧知，学生巩固练习
解得 或
①把 代入原方程，得 ，
即 ，
这时原方程的根是 .
②把 代入原方程，得 ，
即 ，
这时原方程的根是
例4、若 是非负整数，且关于 的方程
有两个实数根，求 的值.
解：
因为方程有两个实数根，所以
由 ，解得 ，
又因为 ，解得 ，
即 .
（联立 , )
实系数一元二次方程有实数根必须具备两个条件：
（1） ；
方程有两个相等的实数根 △=0；
方程没有实数根 △<0.
方程有两个实数根 △≥0；
二、新授：
（一）例题分析：
例1当 取何值时，关于 的方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：
(1)当 ,即 时，方程有两个不相等的实数根.
(2)当 ，即 时，方程有两个相等的实数根.
(3)当 ，即 时，方程没有实数根.
例2当 取何值时，关于 的方程 有实数根？并求出这时方程的根（用含 的代数式表示）.
解：
当 时，即 时，方程有实数根.
这时，方程的根是 ，
即
例3、已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值及这时方程的根.
解：把原方程化为
.
因为方程有两个相等的实数根，所以
由 ，得 ，
教具准备
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
一、复习：
1．一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项.
2．一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？
3．不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) ；(4)
(2) ；(3)
(5) ；(6)
4.一元二次方程 ，
方程有两个不相等的实数根 △>0；
_月__日星期__第__周
课题
17.3－2一元二次方程根的判别式Leabharlann 课型新授教时1
教学
目标
1．能说出根的判别式及其在根的判别中的作用。
2．能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
3．通过从具体到抽象的认识活动，锻炼观察、分析、归纳、概况能力。
重点
会用判别式判定一元二次方程根的情况。
难点
正确理解“当 时，方程 无实数根。