曲边梯形面积教案
“曲边梯形的面积”教学设计说明
“曲边梯形的面积”教学设计说明山东省临沂市苍山一中杨祥明一、本课数学内容的本质、地位与作用本节课选自人教Ａ版选修2-2第一章第五节定积分概念的第一课时，是新课程增加内容之一，课程标准要求我们通过实例（如曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
作为定积分的前奏曲，它将为后面学习定积分概念及其几何意义奠定基础。
二、教学目标知识与技能：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想。
过程与方法：通过借助多媒体演示割圆术，激活学生的思维，使学生萌发“分割”，“近似”，“以直带曲”和“无限逼近”的想法。
通过观察动态的图像变化，让学生经历“刨光磨平”的逼近过程，直观感受极限思想。
经历探求曲边梯形的面积的过程，感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法；初步掌握求曲边梯形面积的四步曲。
情感与态度：培养学生辩证地看待问题，体验并认同“有限与无限对立统一”的辩证观点，享受数学学习的乐趣。
三、教学问题诊断本节课的核心是求曲边梯形的面积，而本节课的重点却不是求解曲边梯形面积的具体过程，而是解决该问题的思想方法，这也正是本节课的难点所在。
在教学过程中，以下几个方面可能会成为学习本节课的障碍以及处理方法：1．定义曲边梯形的图形与例题中的图形差别比较大，学生不易接受教材中的两个图形：教学中设计的图形：这样处理，可能更有利于学生接受，更能体现数学的和谐之美。
2．“以直代曲”和“无限逼近”思想的形成过程为了使学生重新感知这两种思想，教学中借助多媒体动态演示割圆术，激活学生的思维。
3．求和符号的使用在实际教学中发现，教材中是先出现了求和符号，然后又展开计算的，而易于学生接受的方法是先列出式子，然后利用求和符号简记。
教材中是这样的：易于学生接受的写法是：4．求和之后的化简过程教材中把最后的结果通过比较技巧的处理方式化成了()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n n n n S n 2111131612113， 这个式子的化简让多数学生感到比较困难，教学中可以这么处理：()()2323361213163261211n n n n n n n n n n S n +-=+-=--= 这样处理更有利于学生接受，而且不影响后面求极限。
(完整版)1.5.1曲边梯形的面积(优秀教案)
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够应用计算公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念。
2. 计算曲边梯形面积的公式。
教学难点：1. 理解曲边梯形的面积计算过程。
2. 应用公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材（曲边梯形图形、计算工具）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾梯形的面积计算方法。
2. 提问：如果梯形的边变成曲线，我们如何计算它的面积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍曲边梯形的概念。
2. 讲解曲边梯形面积的计算公式。
3. 举例说明曲边梯形面积的计算过程。
1. 学生独立完成练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评。
四、拓展应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用。
2. 各组汇报讨论成果，分享实际问题解决方案。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
教学评价：1. 课后作业完成情况。
2. 课堂练习的正确率。
3. 学生对实际问题解决方案的合理性。
六、案例分析（10分钟）1. 教师展示曲边梯形面积计算在实际工程、地理等领域的应用案例。
2. 学生分析案例，理解曲边梯形面积计算的重要性。
七、练习与巩固（15分钟）1. 学生完成课后练习题，巩固曲边梯形面积计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
八、小组讨论（15分钟）1. 学生分组讨论，思考如何优化曲边梯形面积计算方法。
2. 各组汇报讨论成果，分享优化方案。
1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
十、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用，选取一个实例进行分析。
曲边梯形的面积教案
1.5.1曲边梯形的面积教案一、学习目标1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、重点、难点重点：求曲边梯形的面积；难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．三、知识链接1、直边图形的面积公式：三角形，矩形，梯形；2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系．四、学法指导探求、讨论、体会以直代曲数学思想．五、自主探究1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的图形称为．2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．解：（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作（2）以直代曲（3）作和（4）逼近分割以曲代直作和逼近当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值。
变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．反思:例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位,求它在(单位:)这段时间内行使的路程(单位:)．反思:六、目标检测见学案七、作业布置P50 B组1．2（1）（2）八、小结。
高二数学学案：曲边梯形的面积汽车行驶的路程含解析
1．5。
1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程［目标］1.知道“以直代曲”的意义.2.学会求曲边梯形面积和汽车行驶路程的步骤。
3。
感受解决问题过程中渗透的思想方法．［重点] 求曲边梯形面积与计算汽车行驶的路程问题．［难点] 求曲边梯形面积的方法与步骤．知识点一曲边梯形的面积［填一填］1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1）曲边梯形:由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）所围成的图形称为曲边梯形(如图①）．（2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲",即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②）．（3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．[答一答]1．“曲边梯形”与“直边梯形”有什么联系与区别?提示：曲边梯形与直边梯形都有四条边，直边梯形的四条边都是线段，而曲边梯形有一条边是曲线段，其余三条边都是线段．2．“以直代曲”思想的本质是什么？提示：曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，因此，我们把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种重要的思想．3．分割步骤中，小区间的多少对最终结果有何影响?提示：对区间［a，b]划分的越细，估计值就越接近精确值，即小矩形面积的和越趋近曲边梯形的面积．4．近似代替步骤中，f（ξi)有何要求?提示：“近似代替”中每一个小区间上函数f(x)的值可用f（ξi）来代替，ξi∈[x i－1,x i］，不影响极限的值．为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点或中点等．知识点二 求变速直线运动的位移(路程）［填一填］如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t ）,那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s 。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积【教学目标】1、知识与技能目标：通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】多媒体电脑、课件等。
【教学过程】教学环节教学内容学生活动教师活动创设情景问题一：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。
此问题在学生九年级中已有涉及，在九年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。
回顾初中所学内容。
讲评：其中方法1、2蕴含积分的基本思想，方法3用随机模拟的方法，称为“蒙特卡罗方法”，方法4是伽利略测量摆线与直线围成的面积是所用的方法。
根据学生的程度选择性的讲方法 2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。
方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
评。
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，提出房屋面积的测量问题。
比较两种不规则图形的区别引导、揭示定义提出概念概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
《曲边梯形的面积》教案
《曲边梯形的面积》教案临漳县第一中学王玉巧一、教学目标（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点.二、教学重点、难点重点：探究求曲边梯形面积的方法.难点：1、求和步骤2、把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想方法.三、教具多媒体四、教学过程（-）问题引入，点出课题：1.展示图片，抽象概念曲边梯形的概念：如右图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形． 2.具体化问题：求2y x =与0y =轴及1x =所围成的平面图形面积S ？（二）实施方案1.分割学生活动：请讨论：如何分割？学生活动：请讨论：分割多少份合适？2.近似代替学生活动：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？展示学生的部分近似代替的方案3.求和：学生活动：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？展示学生部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)211)(11(311nn S --=（2）.以方案（2）计算)211)(11(312n n S ++= 4．取极限学生活动：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ 取极限：（1） 当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S（2）当+∞→n 时，31)211)(11(312→++=n n S （三）引申探究 学生活动：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[ni n i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？（四）练习(四)课堂总结学生活动：请同学交流，谈谈本节课的收获？1.求曲边梯形面积的步骤是：分割--近似代替--求和--取极限；2.学习到的基本数学方法是：以直代曲、无限逼近.五、课后作业设置1.请用数学式子表示1.5-1对应的曲边图形的面积？2．课本42P 练习题（作业本）；3 课时训练九——强化练4．阅读课本4849P -，并用电脑操作验证. 六、板书设计。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念及其在几何中的应用。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够运用曲边梯形的面积公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念及面积公式的理解。
2. 计算曲边梯形面积的方法。
教学难点：1. 理解曲边梯形面积公式的推导过程。
2. 应用面积公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何画图工具。
教学过程：第一章：曲边梯形的概念1.1 引入梯形的概念，让学生回顾梯形的特征。
1.2 引导学生思考梯形边界的变化，引入曲边梯形的概念。
1.3 通过PPT展示曲边梯形的图像，让学生观察其特征。
1.4 举例说明曲边梯形在现实生活中的应用。
第二章：曲边梯形的面积公式2.1 引导学生思考曲边梯形面积的计算方法。
2.2 利用几何画图工具，展示曲边梯形的面积计算过程。
2.3 推导出曲边梯形的面积公式。
2.4 通过PPT动画演示，让学生加深对面积公式的理解。
第三章：计算曲边梯形的面积3.1 给出一个曲边梯形，让学生应用面积公式进行计算。
3.2 引导学生思考如何确定曲边梯形的各个参数。
3.3 让学生自主计算曲边梯形的面积，并进行解答。
3.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。
第四章：曲边梯形面积公式的应用4.1 给出一个实际问题，让学生应用曲边梯形面积公式进行解决。
4.2 引导学生思考如何将实际问题转化为曲边梯形问题。
4.3 让学生自主解决实际问题，并进行解答。
4.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结本节课的主要内容，让学生回顾所学知识点。
5.2 引导学生思考曲边梯形面积公式的局限性。
5.3 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
5.4 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解、演示、练习等多种教学方法，让学生掌握曲边梯形的面积计算方法及其应用。
在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
通过实际例子，让学生感受曲边梯形在现实生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
《曲边梯形的面积》教学教案1
曲边梯形的面积学习目标：1、了解定积分的某些实际背景，了解定积分的概念，明确定积分的几何意义2、以分割、以直代曲，作和、逼近的具体操作过程来探求曲边梯形的面积。
学习重点：求曲边梯形的面积学习难点：分割、以直代曲，作和、逼近的思想学习过程一、引入新课1 曲边梯形的面积我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。
但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。
如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。
建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，的断面面积。
该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义 a b a b （四个小矩形） （九个小矩形）时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。
现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
假设抛物线方程为 1],[0x ,x 1y 2∈-=将]1,0[ 等分成n 等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形第i 个小曲边 梯形用宽为n 1，高为 2n i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 的矩形代替，它的面积 n )2n(1i ΔS ⋅-≈ 所求的总面积-+≈-⋅=-=-→∑∑==22n n i 112n 3n 122S (1)1i 1n 232n 3i 1i 1n n 6n由此可知，分割越细，越接近面积准确值 6666.0 。
再看一个变力做功的问题。
设 质点 m 受力)(x F 的作用，沿直线由A 点运动到B 点，求变力)(x F 作的功F 虽然是变力，但在很短一段间隔内x ∆，F 的变化不大，可近似看作是常力作功问题。
曲边梯形的面积(教案)
《曲边梯形的面积》教学设计
课题：曲边梯形的面积
教材：人教A版选修2-2第1章第5节第1课时
课程标准
通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．
教学目标
虽然函数的导数和积分可以用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学阶段新课标强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数和积分的描述，因而我们宁愿把两个概念看成是数形结合的产物．作为定积分概念的背景课，让学生在感受数学文化的同时获得数学思想方法．（1）认知目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念及几何意义奠定基础．（2）能力目标：通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力．（3）情感目标：让学生感受数学文化，体验认识数学本质的快乐，收获探究活动的乐趣．
教学重点、难点
重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤——“四步曲”．
难点：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑．
教学基本流程
教学过程
板书设计
教学后记
今天（2007年12月25日）上午的公开课有幸请到三水区数学特级教师卢肇荣点评．以下是卢老师的点评：
（1）本堂课充分体现了新课标的理念，以学生为主体；
（2）驾驭课堂的能力很强；
（3）计算机多媒体使用恰当，没有喧宾夺主；
（4）时间把握准确；
（5）以问题的形式小结，值得肯定；
（6）难点重点把握得当；
（7）可能没有布置学生预习，如果让学生预习，本节课的效果还会更好．。
曲边梯形的面积 精品教案
曲边梯形的面积【教学目标】1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力。
2．学习目标（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景。
（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景。
【教学重难点】“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法。
【教学过程】一、课前设计1．预习任务预习教材,完成相应练习题 2．预习自测1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于（ ）A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 答案：C2．求由抛物线y ＝2x2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为（ ）A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤t(i －1)n ，ti n D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤t(i －2)n ，t(i －1)n2．求由抛物线y ＝2x2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为（ ）A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n，i ＋1n C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤t(i －1)n ，ti n D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤t(i －2)n ，t(i －1)n 答案：D3．直线x ＝a ，x ＝b(a<b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)(f(x)>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝（ ） A ．∑i ＝1nf(ξi)·1nB ．lim n→∞∑i ＝1nf(ξ1)·1nC ．∑i ＝1nf(ξi)·b －anD ．lim n→∞∑i ＝1n b －an·f(ξi)答案：D 二、课堂设计1．知识回顾本节可能会用到的数学公式： （1）211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；（2）231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； （3）11101110lim k k k k k k k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.2．问题探究问题探究一：求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何求与及所围成的平面图形面积S ？活动1：请讨论：如何分割？ 以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割 （2）横向分割 （3）随意分割 分析发现，竖向分割更容易求面积. 活动2：请讨论：分割多少份合适？分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n 控制分割的份数，把[0,1]分割成n 等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？()y f x =,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =2y x =0y =1x=展示部分近似代替的方案：（1） （2） （3）矩形 矩形 梯形 不足 过剩 代替分割后，转化成n 个曲边梯形，利用直边图形代替，合作交流后确定方案，即以矩形不足或矩形过剩计算较为方便.活动4：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？ 展示学习小组部分计算结果：（1）以方案（1）计算：（2）以方案（2）计算：（3）以方案（3）计算：通过分割、近似代替两步以后，进行求和，根据不同的方案计算出不同的面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫.活动5：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ (1)几何画板演示，随变量n 变大，它们的变化趋势. （2）取极限：（1）当时，（2）当时，结论：以上三种方案得到的面积都是用n 表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，)211)(11(311n n S --=)211)(11(312n n S ++=)211(3123nS +=21,S S +∞→n 31)211)(11(311→--=n n S +∞→n 31)211)(11(312→++=n n S可以确定当n 趋近于无穷大时，趋近于一个常数，这个常数就是该图形面积的值，体现了无限逼近的思想方法，极限的含义.活动6：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取在区间上任意一点处的值作为小矩形的高，会有怎样的结果？例1：求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积 【知识点：曲边梯形面积】 解:令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2（n －1）n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和，取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑ni ＝1f (2in )·Δx ＝∑ni ＝1 (2in )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2 ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n （n ＋1）(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n2)． (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83.点拨：求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和S n ，S n 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）21,S S 2)(x x f =],1[nin i -i ξ)(i f ξ01111lim ()lim ()3nni i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑问题探究二、如何求汽车行驶的路程？活动一：汽车以速度作匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km /h ），那么它在0≤≤1(单位：h )这段时间内行驶的路程（单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km ）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km ）的精确值．解：（1）分割在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…， 记第个区间为，其长度为.把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：，，…，，显然， （2）近似代替当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①v t S vt =t ()22v t t =-+t S []0,1n ()v t S n S []0,11n -[]0,1n 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦i 1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11i i t n n n -∆=-=10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1S ∆2S ∆n S ∆1ni i S S ==∆∑n t ∆1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22v t t =-+1i n -2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1i n -2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭i S '∆i S ∆21112i i i i S S v t n n n⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭图1 图2（3）求和由①， == == 从而得到的近似值（4）取极限当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有点拨：本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．活动二：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？汽车行驶的路程在数值上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a t b ≤≤内所作的位移s .3．课堂总结 【知识梳理】求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值；21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑221111102n n n n n n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦()()3121126n n n n ---+11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭S 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n t ∆11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭S 1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑S 0,1,0t t v ===22v t =-+图1图2④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）.【重难点突破】1.求曲边梯形面积 “近似代替”中，取任意一点1ξ代替求出的最终的曲边梯形面积均是同一个常数.2.求曲边梯形面积与求变速直线运动的物体的路程的本质是一样的，都采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解.4．随堂检测1．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积是_______． 答案：见解析解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为2(1)2[,]i in n-. 第i 个小区间的面积2(1)2i i S f n n -⎛⎫∆=⋅⎪⎝⎭， 所以2223321112(1)4(1)(1)(21)4(1)(21)2288(1)63nn n n i i i i i n n n n n S f i n n n n n n n ===------⎛⎫=⋅==-=⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑ 故24(1)(21)4118lim lim lim[(1)(2)]333n n n n n n S S n n n →∞→∞→∞--===--=∴所求曲边梯形面积为83.2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？答案：这段时间行驶的路程为133km.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)．第i 个时间区间的路程的近似值为2223111132(1)(1)(1)[(1)2]i i i i i v n n n n n n n ξ----∆=+⋅=++⋅=++ 于是222223231132(1)(1)321(0121)[12(1)]nn n i i i i i S n n n nn n n n n ξ==⎡⎤--=∆=++=⋅+++++-++++-⎢⎥⎣⎦∑∑232(1)1(1)(21)111133(1)(1)(1)2632n n n n n n n n n n---=+⋅+⋅=+-+-- 所以s ＝lim n→∞sn ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝133.所以，这段时间行驶的路程为133km.（三）课后作业 基础型 自主突破 1．函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上（ ） A ．()f x 的值变化很小 B ．()f x 的值变化很大 C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D解析：【知识点：定积分；】2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 答案：B解析：【知识点：定积分；】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )．3.若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分；】将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (i －1)n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2· a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n ＝a 3n3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 33⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9， ∴a 33＝9，解得a ＝3．4．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程；】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n(i －1)＋5. ∴s n ＝∑ni ＝1[3n (i －1)＋5]·1n ＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n )＋5.∴s ＝li m n →∞s n ＝32＋5＝6.5. 5．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S .答案：43解析：【知识点：求曲边梯形的面积；】(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝1＋13＝43.6．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m /s )，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移．答案：24m.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】(1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n.(2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4i n ·4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ·4n，其中i ＝1,2，…，n . (3)求和：所求的位移s ≈s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝4n ∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n ＝8＋16⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n .(4)取极限：当分割无限变细，即4n趋向于0(亦即n 趋向于＋∞)时，s n 趋向于所求位移s ，从而有s ＝li m n →＋∞s n ＝li m n →＋∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝8＋16＝24，即所求物体经过的位移是24m . 能力型 师生共研7．lim n →∞∑i ＝1n[(15in)·(5n)]的含义可以是（ ）A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积答案：C解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in，因此∑i ＝1n[(15in)·(5n)]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________．答案：43解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in.作和∑i ＝1n[(i 2n 2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n(i 2n 3＋2i n 2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋222(1)(1)(21)126n n n n n n n n ++++⋅=+8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 9．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式I n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么I n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 答案：D解析：【知识点：定积分】10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 答案：83解析：【知识点：曲边梯形的面积；数学思想：以不变代变】 令f (x )＝x 2.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n＝2.第i 个区间为[2i －2n，2in](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2in－2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和，取ξi ＝2i n (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑ni ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83.探究型 多维突破11．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所作的功．.答案：342.解析：【知识点：定积分；】将区间[1,10]n 等分，则各小区间的长度为9n ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋9n (i －1)，1＋9n i 上取ξi ＝1＋9n i .∴F i ＝ξ2i ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋1，∴W i ＝F i ·9n ＝9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n (i ＝1,2，…，n )．∴W ＝li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n ＝li m n →∞∑i ＝1n9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋18n i ＋81n 2i 2 ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＋162n 2i ＋729n 3i 2＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18＋162n 2·n (n ＋1)2＋729n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所作的功为342. 自助餐1.求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( )A ．分割B ．近似代替C ．求和D ．取极限 答案：B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】2.在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均正确 答案：C解析：【知识点：定积分】3.和式∑10i ＝1(x i －3)等于( ) A ．(x 1－3)＋(x 10－3) B ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－3 C ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－30D ．(x 1－3)(x 2－3)(x 3－3)·…·(x 10－3) 答案：C解析：【知识点：和式的概念】∑10i ＝1(x i －3)＝(x 1－3)＋(x 2－3)＋(x 3－3)＋…＋(x 10－3)＝(x 1＋x 2＋…＋x 10)－30. 4.对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130答案：A解析：【知识点：求曲边梯形的面积】S ＝0×13＋(13)3×13＋(23)3×13＝19.5.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为（ ） A ．13 B ．12C ．1D ．32答案：B解析：【知识点：变速直线运动的路程】6.在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )A ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·2n B ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(2i n )2·2n C ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·n 答案:B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(2i n )2·2n .7．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.8．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km /h )，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_____________________．答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案：55解析：【知识点：变速直线运动的路程】把区间[0,10]10等分，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________.答案：1.02解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.11．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.∴s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n (i －1)＋5·1n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5.∴s ＝li m n →∞s n ＝32＋5＝6.5.12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积．答案：16解析：【知识点：求曲边梯形的面积】解：(1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n]，…，[n －1n，1]． 每个小区间的长度为Δx ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替：在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n)2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n.(3)求和：曲边梯形的面积为S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n12(i －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝12n 3·(n －1)n (2n ＋1)6＝112(1－1n )(2＋1n)． (4)取极限：S ＝li mn →∞S n ＝112×1×2＝16.∴所围图形的面积为16.。
理科课时12：《曲边梯形的面积》教案
§12 曲边梯形的面积【学习目标】1.了解曲边梯形的概念；学会用“分割、以直代曲、作和、逼近”四步法求一些求曲边梯形的面积；2.体会“以直代曲”、“逼近”的思想。
【学习重点】学会用“分割、以直代曲、作和、逼近”四步法求曲边梯形的面积；【学习难点】体会 “以直代曲”、“逼近”及“有限和”来推导“无限和”的思想。
【学习内容】一、预习提纲1．曲边梯形的概念2．四步法求一些求曲边梯形的面积步骤：3．曲边梯形的面积近似公式：*)()()(x x f x x f x x f n ∆∆∆ ++21二、典型例题例1：火箭发射后t s 的速度为v (t )(单位：m /s ),假定0≤t≤10,对函数v (t )按（*）式所作的和具有怎样的实际意义？例2：如图，有两个点电荷A 、B ，电量分别为q A 、q B ，固定电荷A 将电荷B 从距A 为a 处移到距A 为b 处，求库仑力对电荷B 所做的功。
b a ∙∙∙三．课堂练习1．把区间（1，3）n 等分，所得n 个小区间每个区间的长度应为 ；2．关于近似替代下列说法正确的有①在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代；②在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代；③在分割后的每个小区间上，只能用中间端点的函数值近似替代；④在分割后的每个小区间上，可以用区间内任意一点的函数值近似替代。
3．在区间(0，8)上插入9个等分点，则所分的小区间长度为 ；第5个小区间是 . 。
4．设质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A （,0a ）移动至点B （,0b ），并设F 平行于x 轴。
如果力F 是质点所在位置的函数)(x F F =，a x b ≤≤，求F 对质点M 所做的功。
∙ ⋅ ∙ ⋅BA AB MF x§12 曲边梯形的面积课外作业1．设汽车的速度为60km/h ，则该汽车在0.25h ，1h 及x h 内走过的路程分别为15km ，60km ，60x km 。
最新高中数学选修2-2《151曲边梯形的面积》说课稿教案及教案说明精编版
2020年高中数学选修2-2《151曲边梯形的面积》说课稿教案及教案说明精编版《1.5.1 曲边梯形的面积》教案课题：曲边梯形的面积教材：人教A版《数学》选修2-2第一章第五节第一课时一、【教学目标】1、知识目标：①初步了解、感受定积分的实际背景。
②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。
2、能力目标：①通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力，了解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。
②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。
以直代曲的过程中体会直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系。
③体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。
3、情感、态度与价值观目标：①认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；②感受数学的简单、简洁之美。
③通过历史题材培养学生的爱国情操。
二、【教学的重点、难点】重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，通过化整为零，积零为整求曲边梯形的面积这一过程，初步掌握求曲边梯形面积的步骤的“四步曲”，即“分割、近似代替、求和、取极限”，领会其微积分思想方法。
难点：“以直代曲”、“逼近”思想的形成过程。
（由于这种“以直代曲”、“逼近”思想学生比较陌生）三、【教学方法和手段】（1）在教学过程中我选用启发式、讨论探究式的教学方法，运用多媒体的直观的功能，让学生在观察过程中通过类比、分析、归纳等方法解决问题；在师生互动中启发学生，促进学生积极思维、主动学习，激发学生的学习兴趣 . （2）运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，为学生提供丰富、生动、直观的观察材料，激发学生学习的积极性和主动性。
四、【教学过程】创设情景引入新课问题一：我们在小学、初中主要学习求规则的平面图形面积的问题。
但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如这个湖面的面积？问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积(教案)第一章：引言1.1 课程背景本节课我们将学习一种新的几何形状——曲边梯形，并了解其面积的计算方法。
曲边梯形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、土木工程等领域。
通过学习本节课，学生将能够掌握曲边梯形面积的求解方法，提高解决实际问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解曲边梯形的定义及其特点；2. 掌握曲边梯形面积的计算方法；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：曲边梯形的定义及特点2.1 曲边梯形的定义曲边梯形是一种四边形，其中两边为直线，两边为曲线。
曲边梯形的特点是两边平行，而两边则不平行。
2.2 曲边梯形的特点1. 两边平行；2. 两边不平行；3. 对角线相交于一点。
第三章：曲边梯形面积的计算方法3.1 分割法将曲边梯形分割成无数个小的曲边三角形，近似认为这些小三角形都是直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到曲边梯形的面积。
3.2 积分法利用积分公式计算曲边梯形的面积。
将曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到曲边梯形的面积。
第四章：实例讲解4.1 实例一：直角曲边梯形已知直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用分割法，将直角曲边梯形分割成无数个小的直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到直角曲边梯形的面积。
4.2 实例二：非直角曲边梯形已知非直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用积分法，将非直角曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x 轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到非直角曲边梯形的面积。
第五章：课堂练习5.1 练习一已知直角曲边梯形的上底为2cm，下底为6cm，高为5cm，求其面积。
5.2 练习二已知非直角曲边梯形的上底为3cm，下底为9cm，高为8cm，求其面积。
第六章：巩固练习6.1 题目一给出一个曲边梯形，其上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm。
1.5.1曲边梯形的面积教案
跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
当堂检测拓展延伸
当堂检测：1在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于()
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
有什么区别？
思考2能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
思考3在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？
课题
1．5.1曲边梯形的面积
课型
新授课
时间
月日
制作
审核
【课前预习案】
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的
图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些__________，对每个____________“以直代曲”，即用______的面积近似代替____________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________
(3)求曲边梯形面积的步骤：①_______，②_________，③________，④__________.
【课内探究案】
检查反馈导入新课
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()
A.B.C.D.
《求曲边梯形的面积》教学设计方案
《求曲边梯形的面积》教学设计方案《《求曲边梯形的面积》教学设计方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习主题介绍学习主题名称：求曲边梯形的面积主题内容简介：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是，前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段. 是否也能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积? 本节主要介绍用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积。
学习目标分析1.知识与能力能根据小学课本里求出圆面积的过程，概括出求平面曲边梯形面积的基本思想：在每个局部小范围内“以直代曲”和逼近的思想.2.过程与方法(1)根据“以直代曲”和“逼近”的思想将求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限. (2)了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想.3.情感态度与价值观利用计算平面“曲边图形”的面积，从实际问题引发学生学习定积分知识的欲望.学情分析前需知识掌握情况：1.必须知道常见直边形面积公式。
包括三角形，平行四边形，矩形菱形，正方形，梯形，圆的面积计算公式。
2.必须知道小学里求圆的面积的方法。
3. 区间n等分后，能具体写出小每个区间，能算出每个小区间长度。
4.会求前n个正整数的和，前n 个正整数的平方和，会求简单数列{1/n}当n趋于无穷大时的极限.对微课的认识：微课作为一种新的教学形式，主要特点是“微”，就是教学时间不长，可以针对教学中某个重点，难点进行有效讲解，可以作为对课堂教学内容的补充，如果微课的设计可以生动些，趣味性多一些，多数学生是会喜欢的.学生特征分析学习态度：由于微课是视频，可以反复观看学习，只要时间足够，学生都可以学懂微课内容，由于播放次数的没有限制，只要想学随时可以看，所以学生还是比较喜欢的。
学习风格：平时有部分学习不得法，学生整天玩手机游戏，如果让学生用手机看微课，正好可以使学生更喜欢学习。
微课用于学生学习的教学策略分析微课用于学生学习的目的：主要是对一节课重点难点知识起辅助作用，作为对课堂教学内容的补充。
曲边梯形的面积教学设计
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
二、学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。
三、本节课的重点是：探究求曲边梯形面积的方法。
本节课的难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题。
这一阶段的教学任务是：1、让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。
为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。
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师：曾经有这样一首歌叫《黄土高坡》，想必大家大多数曾生活在这边土地上，当然如今，在西部大开发和退耕还林政策的大力实施下，昔日的高坡黄土早已翠林绿荫，原所住居民也都迁移到各吊庄开启着新的生活。
我们一起来看这样一个问题：
情景问题：由于退耕还林移民搬迁工作的需要，要对每个迁移农户家庭施行粮食补助，这与原来自家所拥有田地面积成正比。
你能帮助工作人员计算如图梯田的面积吗
问题分析：这是个由曲线组成封闭平面图形，不妨称为曲边形。
求其精确面积，目前束手无策，总不能和我们祖父辈一样用步量吧！
师：本节课，我们主要任务就是通过一个具体的实例来总结怎样求曲边形的面积？课题：曲边梯形的面积
师：想一想，迄今我们有学习过哪些曲边形的面积呢？
生：圆、扇形
师：想想圆的面积是怎么来的呢
生：老师教的，祖传的
师：祖传是没错的，早在一千七百年前，就有位智者，以无上智慧，给出了圆面积的求法：魏晋刘徽与他的“割圆术”
师：割圆术，是个什么东东呢？
Ppt：将圆切割为相等的扇形，每个扇形面积用等腰三角形代替，用所有等腰三角形面积之和来代替圆的面积。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
用现在的观点来看，就是其内接正多边形的面积近似代替圆的面积“几何画板演示”
师：刘徽是依靠对曲边形的“曲边”怎样的处理才求的其面积呢？这有误差，怎样消除误差呢
生：以曲代直，无限逼近
师：所以说刘徽，躯体虽然很古老，头脑却很前卫，
赞曰：世间男女，才华横溢，资质出众者，屡见不鲜；然间或有人，独蒙上天垂爱，风韵优雅，才华盖世，令众生望城莫及，其行为举止，处处著有灵性，而其所作所为，实则无不处于造物之手，非人力所能企及。
师：刘徽以身作则，告诉解决曲边梯形面积的无上心法，一言以蔽之，曰：以曲代直，用直边形面积逼近；以y=0，x=0，x=1为例
师：能否对整体以曲代直呢？
生：不，误差太大，应该分割，在每个小范围以直代曲，从而达到对整个大曲边梯形的以直代曲
师：如果做如图的分割，你认为对每个小曲边梯形做怎样的以直代曲，即用怎样的直边形代替呢？作出你的方案
师：我们应该选择哪个最合适的呢？
无法形成统一意见，先行为例
师：这样，对每个小曲边梯形以矩形代替，所有矩形面积之和可近似为曲边梯形的面积，且分割越细，误差越小
几何画板演示（猜常数是几？课本）
师：我们一起来将整个步骤完整走一边
师：请大家回味整个过程，理解个中曲直（叫一名学生简单复述）
师：如果用方案（3）来近似替代，整个过程有什么变化，能得到结果吗，结果也是1/3吗？
师：如果用方案（2）呢？你有什么体会？
师：1/3是一个精确值还是近似值？
我们积起庞大的数字，一山又一山，一万又一万；世界之上，我推起世界，时间之上，我加起时间；我从可怕的高峰，仰望着你，以眩晕的眼；所有的乘方，再乘以万千遍，距你的一部分还差的很远。