第3章数据题

一、基本题1．填空：线性表、栈和队列都是_____结构，可以在线性表的_____位置插入和删除元素，对于栈只能在_______位置插入和删除元素，对于队只能在______位置插入和______位置删除元素。

2. 栈和队列数据结构的特点，什么情况下用到栈，什么情况下用到队列？3．设有编号为1，2，3，4的四辆车，顺序进入一个栈式结构的站台，试写出这四辆车开出车站的所有可能的顺序（每辆车可能入站，可能不入站，时间也可能不等）。

4．试证明：若借助栈由输入序列1，2，… ，n得到输出序列为p1p2…p n(它是输入序列的一个排列)，则在输出序列中不可能出现这样的情形：存在着i<j<k，使得p j<p k <p i。

二、设计算法题1．假设称正读和反读都相同的字符序列为“回文”，例如，“abcddcba”、“qwerewq”是回文，“ashgash”不是回文。

是写一个算法判断读入的一个以‘@’为结束符的字符序列是否为回文。

2．设以数组se[m]存放循环队列的元素，同时设变量rear 和front分别作为队头队尾指针，且队头指针指向队头前一个位置，写出这样设计的循环队列入队出队的算法。

3．假设以数组se[m]存放循环队列的元素，同时设变量rear 和num分别作为队尾指针和队中元素个数记录，试给出判别此循环队列的队满条件，并写出相应入队和出队的算法。

4．假设以带头结点的循环链表表示一个队列，并且只设一个队尾指针指向尾元素结点（注意不设头指针），试写出相应的置空队、入队、出队的算法。

5．设计一个算法判别一个算术表达式的圆括号是否正确配对。

6．写一个算法，借助于栈将一个单链表置逆。

7．两个栈共享向量空间v[m]，它们的栈底分别设在向量的两端，每个元素占一个分量，试写出两个栈公用的栈操作算法：push(i,x)、pop(i)和top(i)，i=0和1 ,用以指示栈号。

3.1 若按教科书3.1.1节中图3.1(b)所示铁道进行车厢调度（注意：两侧铁道均为单向行驶道），则请回答：(1) 如果进站的车厢序列为123，则可能得到的出站车厢序列是什么？(2) 如果进站的车厢序列为123456，则能否得到435612和135426的出站序列，并请说明为什么不能得到或者如何得到（即写出以‘S’表示进栈和以‘X’表示出栈的栈操作序列）。

解：(1) 123 231 321 213 132(2) 可以得到135426的出站序列，但不能得到435612的出站序列。

因为4356出站说明12已经在栈中，1不可能先于2出栈。

3.2 简述栈和线性表的差别。

解：线性表是具有相同特性的数据元素的一个有限序列。

栈是限定仅在表尾进行插入或删除操作的线性表。

3.3 写出下列程序段的输出结果（栈的元素类型SElemType为char）。

void main(){ Stack S;char x,y;InitStack(S);x= ‘c ’; y= ‘k ’;Push(S,x); Push(S, ‘a ’); Push(S,y);Pop(S,x); Push(S, ‘t ’); Push(S,x);Pop(S,x); Push(S, ‘s ’);while(!StackEmpty(S)) { Pop(S,y); printf(y); } printf(x);}解：stack3.4 简述以下算法的功能（栈的元素类型SElemType 为int ）。

(1) status algo1(Stack S){ int i,n,A[255];n=0;while(!StackEmpty(S)) { n++; Pop(S,A[n]); }for(i=1;i<=n;i++) Push(S,A[i]);}(2) status algo2(Stack S,int e){ Stack T; int d;InitStack(T);while(!StackEmpty(S)){Pop(S,d);if(d!=e) Push(T,d);}while(!StackEmpty(T)){Pop(T,d);Push(S,d);}}解：(1) 栈中的数据元素逆置 (2) 如果栈中存在元素e ，将其从栈中清除3.5 假设以S 和X 分别表示入栈和出栈的操作，则初态和终态均为空栈的入栈和出栈的操作序列可以表示为仅由S 和X 组成的序列。

称可以操作的序列为合法序列（例如，SXSX 为合法序列，SXXS 为非法序列）。

试给出区分给定序列为合法序列或非法序列的一般准则，并证明：两个不同的合法（栈操作）序列（对同一输入序列）不可能得到相同的输出元素（注意：在此指的是元素实体，而不是值）序列。

解：任何前n 个序列中S 的个数一定大于X 的个数。

设两个合法序列为：T1=S ……X ……S ……T2=S ……X ……X ……假定前n 个操作都相同，从第n+1个操作开始，为序列不同的起始操作点。

由于前n 个操作相同，故此时两个栈（不妨为栈A 、B ）的存储情况完全相同，假设此时栈顶元素均为a 。

第n+1个操作不同，不妨T1的第n+1个操作为S ，T2的第n+1个操作为X 。

T1为入栈操作，假设将b 压栈，则T1的输出顺序一定是先b 后a ；而T2将a 退栈，则其输出顺序一定是先a 后b 。

由于T1的输出为……ba ……，而T2的输出顺序为……ab ……，说明两个不同的合法栈操作序列的输出元素的序列一定不同。

3.6 试证明：若借助栈由输入序列12…n 得到的输出序列为n p p p 21(它是输入序列的一个排列)，则在输出序列中不可能出现这样的情形：存在着i<j<k 使j p <k p <i p 。

解：这个问题和3.1题比较相似。

因为输入序列是从小到大排列的，所以若j p <k p <i p ，则可以理解为通过输入序列j p k p i p 可以得到输出序列i p j p k p ，显然通过序列123是无法得到312的，参见3.1题。

所以不可能存在着i<j<k 使j p <k p <i p 。

3.7 按照四则运算加、减、乘、除和幂运算(↑)优先关系的惯例，并仿照教科书 3.2节例3-2的格式，画出对下列算术表达式求值时操作数栈和运算符栈的变化过程：A-B ×C/D+E ↑F解：12n3.9 试将下列递推过程改写为递归过程。

void ditui(int n){ int i;i = n;while(i>1)cout<<i--;}解：void ditui(int j){ if(j>1){cout<<j;ditui(j-1);}return;}3.10 试将下列递归过程改写为非递归过程。

void test(int &sum){ int x;cin>>x;if(x==0) sum=0;else{ test(sum);sum+=x;}cout<<sum;}解：void test(int &sum){ Stack s;InitStack(s);int x;do{cin>>x;Push(s,x);}while(x>0);while(!StackEmpty(s)){Pop(s,x);sum+=x;cout<<sum<<endl;}DestoryStack(s);3.11 简述队列和堆栈这两种数据类型的相同点和差异处。

解：栈是一种运算受限的线性表，其限制是仅允许在表的一端进行插入和删除运算。

队列也是一种运算受限的线性表，其限制是仅允许在表的一端进行插入，而在表的另一端进行删除。

（2）取顺序栈的栈顶元素Status GetTop ( SqStack S, SElemType &e ) {// 如果栈S 空，返回ERROR；如果栈S 不空，用e返回栈S的栈顶元素，并返回OK 。

if ( S.top = = S.base ) return ERROR; // 如果栈S为空，则返回ERRORe = *( S.top - 1); // 将栈顶指针减1 后所指向的单元内的值赋给ereturn OK;} // GetTop（3）将元素压入顺序栈算法（进栈）Status Push ( SqStack &S, SElemType e ) {// 将元素e插入到栈S中，成为新的栈顶元素if ( S.top - S.base > S.stacksize ) { // 如果栈满，则追加存储空间S.base = ( SElemType * ) realloc ( S.base, ( S.stacksixe + STACKINCREMENT* sizeof ( SElemType ) );if ( ! S.base ) exit ( OVERFLOW ); // 追加存储空间失败S.top = S.base + S.stacksize; // 修改栈顶指针S.stacksize += STACKINCREMENT; // 修改当前栈的存储空间} // if 结束*S.top ++= e; // 先将e送入栈顶，然后将栈顶指针加1return OK;} // Push（4）将元素弹出顺序栈算法（退栈）Status Pop ( SqStack &S, SElemType &e ) {// 如果栈S 空，返回ERROR ；如果栈S 不空，删除S栈顶元素，用e返回其值，并返回OK 。

if ( S.top = = S.base ) return ERROR; // 如果栈S为空，则返回ERRORe = *--S.top; // 先令top减1，再将top所指单元值赋给ereturn OK;} // Pop（5）判栈空否Int Empty ( SqStack S) {// 如果栈S 空，返回1 ；如果栈S 不空，返回0 。

if ( S.top = = S.base ) return 1; // 如果栈S为空，则返回1else return 0; // 如果栈S为空，则返回0} // Empty end4.链栈（1）链栈结构及数据类型栈的链式存贮结构,也称为链栈，它是一种限制运算的链表，即规定链表中的插入和删除运算只能在链表开头进行。

链栈结构见图3-4。

为了表示迷宫,设置一个数组mg,其中每个元素表示一个方块的状态,为0时表示对应方块是通道,为1时表示对应方块为墙,如图3.3所示的迷宫,对应的迷宫数组mg如下: int mg[M+1][N+1]={ /*M=10,N=10*/{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{1,0,0,1,0,0,0,1,0,1},{1,0,0,1,0,0,0,1,0,1},{1,0,0,0,0,1,1,0,0,1},{1,0,1,1,1,0,0,0,0,1},{1,0,0,0,1,0,0,0,0,1},{1,0,1,0,0,0,1,0,0,1},{1,0,1,1,1,0,1,1,0,1},{1,1,0,0,0,0,0,0,0,1},{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}};while (栈不空){若当前位置可通，则{ 将当前位置插入栈顶；// 纳入路径若该位置是出口位置，则算法结束；// 此时栈中存放的是一条从入口位置到出口位置的路径否则切换当前位置的北邻方块为新的当前位置；}否则{ 若栈不空且栈顶位置尚有其他方向未被探索，则设定新的当前位置为沿顺时针方向旋转找到的栈顶位置的下一相邻块；若栈不空但栈顶位置的四周均不可通，则{ 删去栈顶位置；// 从路径中删去该通道块若栈不空，则重新测试新的栈顶位置，直至找到一个可通的相邻块或出栈至栈空；}}}void mgpath() /*路径为:(1,1)->(M-2,N-2)*/{ int i,j,di,find,k;top++; /*初始方块进栈*/Stack[top].i=1;Stack[top].j=1;Stack[top].di=-1;mg[1][1]=-1;while (top>-1) /*栈不空时循环*/{ i=Stack[top].i;j=Stack[top].j;di=Stack[top].di;if (i==M-2 && j==N-2) /*找到了出口,输出路径*/{ printf("迷宫路径如下:\n");for (k=0;k<=top;k++){ printf("\t(%d,%d)",Stack[k].i,Stack[k].j);if ((k+1)%5==0) printf("\n"); }printf("\n");return；}find=0;while (di<4 && find==0) /*找下一个可走方块*/{ di++;switch(di){case 0:i=Stack[top].i-1;j=Stack[top].j;break;case 1:i=Stack[top].i;j=Stack[top].j+1;break;case 2:i=Stack[top].i+1;j=Stack[top].j;break;case 3:i=Stack[top].i,j=Stack[top].j-1;break;}if (mg[i][j]==0) find=1;if (find==1) /*找到了下一个可走方块*/{ Stack[top].di=di; /*修改原栈顶元素的di值*/top++; /*下一个可走方块进栈*/Stack[top].i=i;Stack[top].j=j;Stack[top].di=-1;mg[i][j]=-1; /*避免重复走到该方块*/}else /*没有路径可走,则退栈*/{ mg[Stack[top].i][Stack[top].j]=0;/*让该位置变为其他路径可走方块*/top--;}}printf("没有可走路径!\n");}4、递归问题的优点通过上面的例子可看出，递归既是强有力的数学方法，也是程序设计中一个很有用的工具。