九年级数学下册 第27章 相似 27.2.1 平行线分线段成比例定理(第1课时)2 新人教版
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
初三九年级数学人教版 第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1 平行线分线段成比例习题课件
点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知
AB 1
，则
EF
＝________. 2
AC 3 DE
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知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段__成__比__例____．
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7．如图，DE∥BC，以下结论正确的是( C ) A．AE∶AC＝AD∶BD B．AE∶AC＝BD∶AB C．AE∶CE＝AD∶BD D．AC∶CE＝AD∶BD
∵S△ABD＝ AB·DE＝ BD·AH，
S△ACD＝ AC·DF＝1 CD·AH，1
2
2
∴
1 ，即 1 .
2
2
SVABD AB BD SVACD AC CD
AB BD AC CD
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8．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，则下列比例式 不成立的是( ) B A．OC∶OD＝OA∶OB B．OC∶OD＝OB∶OA C．OC∶AC＝OD∶DB D．BD∶AC＝OD∶OC
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9．(中考·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AD 2 ，
则 AE 等于( )
DB 3
C
求证
.
证明：A如B 图 B，D过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∴∠1A＝C∠ED，C∠2＝∠3.①
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.
∴AC＝AE.②
又∵AD∥CE，∴
.③
∴
. AB BD
(1)上AB述证B明D过程中A，E步骤D①C ②③处的理由是什么？(写出 A两C条即DC可)
(2)用三角形内角平分线定理解答：在△ABC中，AD是角平 分线，AB＝7 cm，AC＝4 cm，BC＝6 cm，求BD的长．
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容，本节课主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。
教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
紧接着，教材引导学生通过观察、思考、探索，发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
最后，教材提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线、线段等概念有一定的了解。
但是，对于平行线分线段成比例的定理及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立知识间的联系，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能运用定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及其应用。
2.教学难点：平行线分线段成比例定理的发现和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解平行线分线段成比例的定理。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：学生进行观察、思考、探索，引导学生发现平行线分线段成比例的规律，进而得出定理。
3.讲解与演示：对平行线分线段成比例的定理进行详细讲解，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生理解定理。
人教版九年级数学下册课件：27.2·1 相似三角形的判定--1 平行线分线段成比例
上节课我们学习了相似多边形：
学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角 和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方
法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相
似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 1
人教版九年级数学下册 第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
6
知识点一：相似三角形
典例讲评
如图所示，△ADB∽△ABC，下列式
A
子不成立的是( C )
D
A.
B.
B
C
C.
D. AB2＝AD·AC
7
知识点一：相似三角形
学以致用
1.如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比
例式成立的是( B )
A
A.
B.
D
C.
D.
E
B
C
8
知识点一：相似三角形
学以致用
BE＝12，那么CE的长等于( C )
C
A.2 B.4 C.
D.
E
A
E
C B
D F
20
知识点二：平行线分线段成比例
学以致用
A
5、已知，如图，EG∥BC,GF∥DC,AE=3， B E G
EB=2，AF=6，求AD的长。
F
6、如图，在∆ABC中，DE∥BC,EF∥CD, AF=4，AB=16，求AD的长。
新知探究
如图，任意画两条直线l1，l2，再画 三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5.分别
l1
A
度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC B
和在l2上我得的两线段DE，EF的长度， 与 相等吗?
九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例的
相似三角形27．相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例的基本事实关键问答①两条直线被一组平行线所截，对应线段是什么？②两个三角形都和第三个三角形相似，这两个三角形相似吗？理由是什么？1．①如图27－2－1，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是()图27－2－1A.ACAE＝BDDFB.ACBD＝DFCEC.ACCE＝BDBFD.CEAE＝DFBF2．如图27－2－2，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF 分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G.若DE＝2，EG＝1，GF＝3，则下列结论正确的是()图27－2－2A.ABBC＝23B.AGGC＝23C.CGAC＝23D.BCAC＝233．②如图27－2－3，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形的对数是()图27－2－3A．1 B．2 C．3 D．44.如图27－2－4，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有()图27－2－4A．0对B．1对C．2对D．3对命题点 1 相似三角形的有关概念[热度：89%]5．③已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是()A．AB是A′B′的3倍 B．A′B′是AB的3倍C．∠A是∠A′的3倍 D．∠A′是∠A的3倍易错警示③相似比是有顺序的．方法点拨6．④如图27－2－5，△ABC与△ADE相似，∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是()图27－2－5A.AEBE＝ADDCB.AEAB＝ADACC.ADAC＝DEBCD.DEBC＝ADAB④相似三角形中，找对应边、对应角有以下规律：①公共角、对顶角是对应角；②最大(小)边与最大(小)边是对应边；③最大(小)角与最大(小)角是对应角；④对应角的对边是对应边，对应边的对角是对应角．7．如图27－2－6，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．图27－2－6命题点 2 利用平行线分线段成比例的基本事实计算 [热度：93%]8．2018·某某如图27－2－7，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F .已知AB AC ＝13，则EFDE等于()图27－2－7A ．3B ．2 C.12 D.139.⑤如图27－2－8，四条平行直线l 1，l 2，l 3，l 4被直线l 5，l 6所截，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，若FG ＝3，则线段EF 和线段GH 的长度之和是()图27－2－8A ．5B ．6C ．7D ．8 方法点拨⑤在成比例的四条线段中，若已知其中三条线段的长，则可求出第四条线段的长. 10．如图27－2－9，直线l 1∥l 2∥l 3，等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则AB BD的值为()图27－2－9A.4 25B.345C.5 28D.20 22311．如图27－2－10，在△ABC中，点M在边AB上，过点M作MN∥BC交AC于点N，过点N作DN∥MC交AB于点D.已知AB＝4，AM＝3，则AD的长为________．图27－2－1012.⑥如图27－2－11，已知AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点O，若AF＝9，BO＝2，OC＝1，CE＝4，求DF和OD的长．图27－2－11易错警示⑥本题易把对应线段弄混，从而产生错误.命题点 3 利用平行线判定两个三角形相似[热度：95%]13．如图27－2－12，DE∥BC，AD∶DB＝2∶1，那么△ADE与△ABC的相似比为()图27－2－12A.12B.23C.14D．214．如图27－2－13，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为()图27－2－13A.163B．8 C．10 D．1615.⑦2018·某某如图27－2－14，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．图27－2－14模型建立⑦过角平分线上一点作角一边的平行线，与角的另一边围成一个等腰三角形．16．⑧如图27－2－15，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且EO∥BC，若已知AD＝3，BC＝6，AB＝4，求AE的长．图27－2－15方法点拨⑧从图形“”或“”中可得到两个三角形相似.17．⑨如图27－2－16所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6，CD＝9，求EF的长．图27－2－16 模型建立⑨这个基本图形存在关系式：1AB＋1CD＝1EF.18.⑩如图27－2－17，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2＝OE·OF.图27－2－17解题突破⑩OA，OE是哪个“A”字形中的对应线段？OA，OF是哪个“A”字形中的对应线段？命题点 4 探究性问题[热度：89%]19.⑪已知MN∥EF∥BC，A，D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶BE＝m∶n.(1)当点A，D重合，即a＝0时(如图27－2－18(a))，试求EF的长(用含m，n，b的代数式表示)．(2)请直接应用(1)的结论解决下列问题：若点A，D不重合，即a≠0，①如图(b)这种情况时，试求EF的长(用含a，b，m，n的代数式表示)；②如图(c)这种情况时，试猜想EF与a，b，m，n之间有何种数量关系，并证明你的猜想．图27－2－18模型建立⑪本题第(1)问可以由平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似得到一个模型：EF ＝AEAB·BC .20.⑫如图27－2－19，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当AE AC ＝12＝11＋1时，有AO AD ＝23＝22＋1(如图①)；(2)当AE AC ＝13＝11＋2时，有AO AD ＝24＝22＋2(如图②)；(3)当AE AC ＝14＝11＋3时，有AO AD ＝25＝22＋3(如图③)．在图中，当AE AC ＝11＋n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)．图27－2－19解题突破⑫通过作平行线，构建图形“”或“”来解决.详解详析1．D5．A[解析] 由相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可得ABA ′B ′＝3，∠A ＝∠A ′，所以选A.6．D [解析] 此题中的DE 与BC 不平行，且已知∠ADE ＝∠B ，所以AE 与AC ，AD 与AB ，DE 与BC 分别是对应边，故可得比例式DE BC ＝ADAB.故选D .7．解：∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝∠CPD ＝60°，∴∠ACP ＝120°，∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB ，∴∠BPD ＝∠A ， ∴∠BPD ＋∠APC ＝60°，∴∠APB ＝∠BPD ＋∠APC ＋∠CPD ＝60°＋60°＝120°. 8．B [解析] ∵AB AC ＝13，∴BC AB ＝2.∵l 1∥l 2∥l 3，∴EF DE ＝BCAB＝2.9．B [解析] 由l 1∥l 2∥l 3∥l 4，得AB ∶BC ∶CD ＝EF ∶FG ∶GH ＝1∶2∶3.∵FG ＝3，∴EF ＝32，GH ＝92，∴EF ＋GH ＝6. 10．A [解析] 如图，过点B 作BF ⊥l 3，过点A 作AE ⊥l 3，垂足分别为F ，E ，AE 交l 2于点G.由题意知AG ＝1，BF ＝3.∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCF ＋∠ACE ＝90°.又∵∠BCF ＋∠CBF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBF.在△ACE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CEA ＝∠BFC ，∠ACE ＝∠CBF ，AC ＝BC ，∴△ACE ≌△CBF ，∴CE ＝BF ＝3，CF ＝AE ＝4， ∴BG ＝EF ＝CF ＋CE ＝7， ∴AB ＝BG 2＋AG 2＝5 2.∵l 2∥l 3，∴DG CE ＝AG AE ＝14，∴DG ＝14CE ＝34，∴BD ＝BG －DG ＝7－34＝254，∴AB BD ＝5 2254＝4 25.故选A . 11.94[解析] ∵MN ∥BC ，∴AM AB ＝AN AC . ∵DN ∥MC ，∴AD AM ＝AN AC，∴AM AB ＝AD AM ，即34＝AD 3，解得AD ＝94. 12．解：由AB ∥CD ∥EF 可得BE CE ＝AFDF. 又∵BE ＝BO ＋OC ＋CE ＝7，CE ＝4，AF ＝9， ∴DF ＝367.又CD ∥EF ，∴OD DF ＝OC CE ，∴OD ＝97.13．B [解析] ∵AD ∶DB ＝2∶1，∴AD AB ＝23.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC的相似比＝AD AB ＝23.14．C [解析] 由EF ∥AB 可得△DEF ∽△DAB ，∴DE DA ＝EFAB .∵DE ∶EA ＝2∶3，∴DE ∶DA ＝2∶5，∴AB ＝4×52＝10.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝10.15.23[解析] ∵DE ∥BC ，AD ＝1，BD ＝2，BC ＝4，∴AD AB ＝DE BC ，即13＝DE 4，解得DE ＝43.∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC.又∵DE ∥BC ，∴∠FBC ＝∠F ，∴∠ABF ＝∠F ，∴DF ＝BD ＝2.∵DF ＝DE ＋EF ，∴EF ＝2－43＝23.16．解：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ， ∴AO OC ＝AD BC. ∵AD ＝3，BC ＝6，∴AO OC ＝36＝12，∴AO AC ＝13.∵EO ∥BC ，∴△AEO ∽△ABC ， ∴AE AB ＝AO AC ，即AE 4＝13，∴AE ＝43. 17．解：∵AB ∥EF ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF AB ＝CF BC. ∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BDC ， ∴EF CD ＝BF BC ，∴EF AB ＋EF CD ＝CF BC ＋BFBC ＝1， ∴1AB ＋1CD ＝1EF . 又∵AB ＝6，CD ＝9， ∴EF ＝185.18．证明：(1)∵EC ∥AB ，∴∠C ＝∠ABF. 又∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠C ＝∠EDA ， ∴DA ∥CF.又∵EC ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (2)∵DA ∥CF ，∴△OBF ∽△ODA ， ∴OA OF ＝OD OB. ∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OE OA ＝OD OB ，∴OA OF ＝OE OA ，即OA 2＝OE·O F. 19．解：(1)∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AE AB .∵AE BE ＝m n ，∴AE AB ＝m m ＋n.又∵BC ＝b ，∴EF b ＝m m ＋n ，∴EF ＝mb m ＋n. (2)①如图①，连接BD ，与EF 交于点H.由(1)知HF ＝mb m ＋n ，EH ＝na m ＋n. ∵EF ＝EH ＋HF ，∴EF ＝mb ＋na m ＋n. ②猜想：EF ＝mb －na m ＋n. 证明：如图②，连接DE 并延长，交BC 于点G.由已知，得BG ＝na m ，EF ＝mGC m ＋n. ∵GC ＝BC －BG ，∴EF ＝m m ＋n (BC －BG)＝m m ＋n (b －na m )＝mb －na m ＋n. 20．解：猜想：AO AD ＝22＋n. 证明：如图，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ，∴AO AD ＝AE AF .∵D 为BC 边的中点，∴CF ＝EF ＝12EC. ∵AE AC ＝11＋n，∴AEAE＋2EF＝11＋n，∴AEEF＝2n，∴AEAF＝22＋n，∴AOAD＝22＋n.【关键问答】①一组平行线截一条直线所得到的线段与截另一条直线所得到的线段是对应线段．②相似．理由：由已知条件可以得到这两个三角形的对应边成比例，对应角相等．。
九年级数学下册 第二十七章 相似 . 相似三角形相似三角形的判定平行线分线段成比例
第 课时 1
(kèshí)
平行线分线段成比例
AB DE 解：∵l1∥l2∥l3，∴BC＝EF.
又∵AB＝2BC，∴DEEF＝2，
∴DF＝3EF，
∴EF＝13DF＝13×5＝53(cm)．
AB AG ∵l1∥l2∥l3，∴BC＝GF，
∴2＝AGGF，∴GF＝42＝2(cm)， ∴AF＝AG＋GF＝4＋2＝6(cm)．
AD 1 A.AB＝2
AE 1 B.EC＝2
C.AEDC＝12
D.DBEC＝12
图K－8－3
[解析] B ∵点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，
∴ABDD＝EACE.∵BD＝2AD，∴ABDD＝AEEC＝12.故选 B.
2021/12/11
第五页，共二十四页。
第1课时(kèshí) 平行线分线段成比例
图K－8－5
2021/12/11
第七页，共二十四页。
第1课时 平行线分线段(xiànduàn)成比例
6．如图 K－8－6，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，
DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是( A )
AD AE A.AB＝AC
DF AE B.CF＝EC
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又∵∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC. AB BD AB BD
又∵CE∥AD，12/11
第十六页，共二十四页。
1 第 课时(kèshí) 平行线分线段成比例
14．如图 K－8－14，△OCE 中，点 A，B 在 OC 边上，点 D 在 OE 边 上，BD∥CE，AD∥BE.
AD DE C.DB＝BC
DF EF D.BF＝CF
人教版九年级数学下册27.2 相似三角形2 1 第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线分线段成比例定理.学习过程：一.依标独学 1.相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果1k =，这两个三角形有怎样的关系？明确 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆∽'''A B C ∆;（3）相似比是带有顺序性和对应性的：当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k ． 二、围标群学（课堂导学）实验探究：(1) 如图,任意画两条直线1l ,2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别量度3l ,4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::AB AC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
相似三角形的判定课件九年级数学人教版下册
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
k
用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应 顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC∽△DEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应；如果仅 说“△ABC与△DEF 相似” ，没有用“∽”连接，则 需要分类讨论它们之间的对应关系.
10．(2019·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上， DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N， 则( C ) A.AADN＝AANE B.MBDN＝MCEN
C.BDMN＝MNEC D.MDNC＝BNME
11．(2019·凉山州)如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2， O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( B) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
(1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质.
初中数学人教版九年级下册《27.2.1相似三角形的判定第一课时平行线成线段成比例及平行相似法》课件
基
方法、 本 规律 图
形
DE∥ BC
常见 证明 进程
∵
DE//BC,
AD AB
DE BC
∵ DE∥ BC，
∴△ADE∽△ABC.
AD AE DE
AB AC BC
易错点
上方基本图形中，不能由DE∥
BC直接得到
AD AB
DE BC
和
DE BC
AE AC
1. 如图，AD∥EF∥BC，下列比例式不成立的是（ C ）
证明：
过点E 作EF//AB，交BC 于点F
∵ DE //BC,DF //AB .
∴
AD AE
AB AC
，BF AE
BC AC
.
A
D
E
B
FC
∵ 四边形DEFB 是平行四边形，
∴ DE=EF .
∴
DE BC
AE AC
.
∴
AD AB
AE AC
DE BC
.
平行于三角形一边的直线 和其它两边所得的对应线段成比例.
在△ADE 与△ABC 中，∠A＝
∠∵ADE∥BC
∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
再证明两个三角形的对应边的比相等．
过点E 作EF∥AB，EF 交BC 于点
在F． BFED 中，DE＝BF，DB＝EF
A
D
2E
1
B
F
C
∵
AD＝BD＝
1
2AB
∴ AD＝EF
又 ∠A＝∠1，∠2＝∠C
∴ △ADE ≌ △EFC
小组讨论
过点D作与AC平行的直线与BC相交， 可否证明△ADE∽△ABC？ 如果在三角形中显现一边的平行线， 那么你应当联想到什么？
人教版初中数学九年级下册《27.2.1相似三角形的判定：平行线分线段成比例》
5. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴CD∥AB， ∴ △CDF ∽ △EAF CD DF . ∴ AE AF 设菱形的边长为 x cm，则CD E = AD = x cm，DF = (4－x) cm， A B C
A1 B1 B2 a b
A2 A3
m
B3 c n
图①
A1
B1
a
A2
A3 m
B2
b
B3 c n
A1 A2 B1B2 ， (1) 计算 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 几何语言： 若a∥b∥ c ，
A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3 则 ， ， A2 A3 B2 B3 A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3 A1 A2 B1B2 ， … A1 A3 B1B3 A1 A3 B1B3
A1 A2 A3
B1 B2
a b B3 c
练一练 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 (D)
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3：5：6， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 24 cm 那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
当堂检测
当堂练习
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( B)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D A B C E
第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 人教版数学九年级下册课件
解：∵
EF∥BC，∴
AE BE
AF FC
.
∴ 7 AF ， 74
A
E
F
解得 AF = 4.
B
C
(2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？
解：∵ EF∥BC，∴ AE AF .
AB AC
∴6 5，
10 AC
解得
AC =
25 3.
∴ FC = AC－AF = 25 5 10 .
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明
三角形相似，可以怎样做呢？
可以将 DE 平移 到 BC 边上去
A
D
E
B
C
如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？
问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，
A
它们的边长是否对应成比例？
D
E
B
C
问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平 行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要 DE∥BC，这个结论恒成立.
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例
复习引入
1. 相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，对 应边的比叫做 相似比 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
人教版九年级数学下册课件：27.2.1第1课时平行线分线段成比例
例1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，
下列结论中错误的是( C )
A. BH AH
HC HD
C.
HC HE
HD DF
B. AD BC
DF CE
AF
D. DF
BE CE
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事
实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中 找出比例线段即可判断．
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比 例的基本事实可得解． ∵AB∥CD∥EF，
AD 2
过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作
DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝___1_30____．
E C
O F D
5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，
EF = 4，求 CD 的长．
解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D
C
E
F
∴ △DEF ∽ △DAB，
∴ DE EF ，即 2 4 ， A
B
AD AB 5 AB
解得 AB = 10.
又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ CD = AB = 10.
课堂小结
成平 比行 例线
分 线 段
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
AD = AE ，BF = AE . AB AC BC AC
∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF.
DE = AE . BC AC
∴ AD = AE DE . AB AC BC
人教版九年级数学下册27.2.1.1平行线分线段成比例(共20张PPT)
如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，
B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C1，
C2.图中有哪些成比例线段？
mn
A1
B1
a
A2
C1
B2
b
A3
C2
B3
c
（三）问题变式，引入新知 A1 A2 A1C1 A2 A3 C1C2 A1 A2 C1 A2 A2 A3 A2C2
结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的
对应线段成比例.
（三）问题变式，引入新知
例1.如图，在△ABC中， EF∥BC. （1）如果E、F分别是AB和AC上的点， AE = BE=7, FC
= 4 ，那么AF的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线法
（一）回顾旧知，引出课题
问题1：根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三
角形的定义吗？
对应角相等，对应边成比例的 两个三角形叫做相似三角形.
用符号语言怎么表示呢？
若 A A ', B B ', C C ',
（二）问题探究，铺垫新知
（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，
截得的对应线段成比例吗？ 归纳 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所截得
的对应线段成比例.
A1
符号语言：
A2
若a ∥b∥ c ，则
A1 A2 A2 A3
BB12BB23.
A3
B1 B2 b B3 c
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16.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交
边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F，已知AD=2 6 cm，
AB=8cm.求：（1）AE 的值；（2）AF 的值.
AC
AB
解:(1)∵DE∥BC,
∴ AEAD2 6 6; ACAB 8 4
（2）∵EF∥DC， ∴ AF AE 6,
11.如图，AB∥CD∥EF，直线BE与AF相交于点G，则图中共有
相似三角形( C)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则 AE∶EC为( C )
A.5∶2
B.4∶1
C.2∶1
D.3∶2
13.如图，在 ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F.若AE∶BE 14
DB EC ∵D为AB中点， ∴AD=DB，AE=EC，
∵CF∥AB， ∴ DE AE,
EF EC
∴DE=EF；
（2）如图②，连接CD，过 点D作DC的垂线交CF的延 长线于点G， 求证：∠B=∠A+∠DGC.
（2）∵CF∥AB，∴∠A=∠ACG， ∴∠A+∠DGC=∠ACG+∠DGC=∠DHC， ∵∠ACB=90°,∵D为AB中点， ∴AD=DC,∴∠A=∠ACD, ∵∠ACB=∠CDG=90°,∴∠B=∠DHC,
∴∠B=∠DHC=∠A+∠DGC.
18.如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE并延长
交AC于点F，求证：CF=2AF.
证明:过D作DH∥BF交AC于H，
则 AE AF , ED FH
H
BD FH , DC CH
∵D、E分别为BC，AD中点，
∴FH=AF=CH，
∴CF=2AF.
=4∶3，且BF=2，则DF= ___3___.
第13题图
第14题图
14.（恩施）如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的 中点，连接AE，并延长交DC于点F，则DF∶FC=__1_∶__2__.
15.△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上， AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于点E，则CE的 长为 6或12 .
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例定理
10.如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE 交AD于点F，下列各式中，错误的是( A )
A. AE AF AB BC
B. AE AF AB DF
C. AE EF AB FC
D. AE AF BE BC
AD AC 4 又∵AD=2 6 ，
∴AF=3， ∴ AF 3 .
AB 8
17.（上海）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D 为AB边的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于 点F. （1）求证：DE=EF； （2）如图②，连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G， 求证：∠B=∠A+∠DGC. 证明:（1）∵DE∥BC, AD AE ,