空间直角坐标系

z
D ' ( 0, 0, 2 ) A ( 3, 0, 2 )
'
C ( 0, 4, 0 ) B ( 3, 4, 2 )
'
D' A' O B'
C'
C y x A B
例2:在空间直角坐标系中标出下列各点: :在空间直角坐标系中标出下列各点:
A(0,2,4)B(1,0,5) ( , , ) ( , , ) C(0,2,0)D(1,3,4) ( , , ) ( , , )
zox 的对称点是
( c, 2, 3 , 4 )在 ________ ;
2,点 p ( 3 , 2 , 1 ) 关于平面 ________ ,关于平面 关于平面 的对称点是 xoy 的对称点是 ______, yoz 的对称点是
( b, 2 , 3 , 4 )在 ________ ;
________ ,关于 x 轴 _________ ;
z
z
P(x,y,z),三个数值叫做P点的x坐标,y P(x,y,z),三个数值叫做P点的x坐标,y P3 坐标,z坐标. 坐标,z坐标. ,z坐标
1
P
1
P点坐标为(x,y,z) y P 2
x 1 x P1
o
y
方法二:过 点作xy面的垂线,垂足为P 方法二 过P点作xy面的垂线,垂足为P0点.点 xy面的垂线 P0在坐标系xOy中的坐标x,y依次是P点的x坐标, 在坐标系xOy中的坐标x 依次是P点的x坐标, xOy中的坐标 y坐标.再过P点作z轴的垂线,垂足P1在z轴上 坐标.再过P点作z轴的垂线,垂足P 的坐标z就是P点的z坐标. 的坐标z就是P点的z坐标.
所以( x 4 ) = 25.
2
解得x = 9或x = 1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
例5 在xoy平面内的直线 平面内的直线x+y=1上确定一点 平面内的直线 上确定一点 M,使M到点 (6,5,1)的距离最小. 到点N( , , )的距离最小. , 到点
解 由已知,可设M(x,1-x,0),则
O ( 0 , 0, 0 )
d = OM = x + y + z
2 2
2
例 2 求证以 M 1 (4,3,1), M 2 (7,1,2), M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
例3
轴上, 设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3 ) 的距离为
的距离的两倍, 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标
解 因为 P 在 x 轴上, P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上, 点坐标为 设
PP1 = x + ( 2 ) + 3 = x + 11,
2 2 2
2
PP2 =
x + ( 1) + 1 =
2 2 2
x 2 + 2,
MN = ( x 6) 2 + (1 x 5) 2 + (0 1) 2
= 2( x 1) 2 + 51.
所以 MN min = 51.
练习题
一,填空题 1,下列各点所在卦限分别是: 下列各点所在卦限分别是:
( a, 1 , - 2 , 3)在 _________ ; ( d, 2 , 3 , 1)在 _______;
轴上, 2. 设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为到 的距离的两倍, 的坐标. 点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标
�
z M'
M'(- M'(-1,2,3)
3
M
o
1 2
y x
,-2, , 例1,在空间直角坐标系中,给定点 ,在空间直角坐标系中,给定点M(1,- ,3), ,- 求它分别关于坐标平面xoz ,z轴和原点的对称 轴和原点的对称 点的坐标. 点的坐标. (3)关于原点对称的点 关于原点对称的点
z
M'(-1,2,-3) - -
y 纵轴
空间直角坐标系
二,空间直角坐标系的划分
Ⅲ
z
zox面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
O
y
Ⅰ Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有三个坐标面, 空间直角坐标系共有三个坐标面,八个卦限 三个坐标面
回顾与复习 平面的点P 平面的点
y (x,y) x y
1 有序数对( , ) ← 1→ 有序数对(x,y)
x
三,空间中点的坐标
_________ ,关于 y 轴的对称点是
_________ ,关于 z 轴的对称点是
面上, 二,在 yoz 面上,求与三个已知点 A( 3 , 1 , 2 ) , B( 4 ,2 ,2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
的单位矢 三, 求平行于向量a = 6i + 7 j 6k 的单位矢量 的分解式. 的分解式
A1
点P的位置 坐标形式 点P的位置 坐标形式
原点
O
X轴上
A
Y轴上
B
Z轴上
C
(0,0,0)
X Y面内
(x,0,0)
Y Z面内
(0,y,0)
Z X面内
(0,0,z)
D
E
F
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
例1:如图 : OA = 3, 在长方体 OABC D ′A ′ B ′C ′中,
OC = 4, D ′ = 2 , 写出 D ′, C , A ′ , B ′ O 四点的坐标 .
z
P (0,0, z )
3
C ( x , o, z )Βιβλιοθήκη oP(x,y,z)y
P
2
B ( 0, y , z )
(0, y,0)
x P1 ( x,0,0)
A( x , y ,0)
四,特殊位置的点的坐标
z
F
C
小提示:坐标轴
x
1
O
1
E
D
B y
上的点至少有两个 坐标等于0; 坐标等于 ;坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0. 坐标等于 .
3
M
o
1 2
y x M'
用前面的方法把M点关于其它坐标平面和 用前面的方法把 点关于其它坐标平面和 坐标轴对称的点的坐标求出来. 坐标轴对称的点的坐标求出来.
z M
3
o
1 2
y x
回顾与复习
平面中两点M 平面中两点 1(x1,y1),M2(x2,y2)的距离公式 的距离公式
M 1M 2 =
( x2 x1 ) + ( y2 y1 )
,-2, , 例1,在空间直角坐标系中,给定点 ,在空间直角坐标系中,给定点M(1,- ,3), ,- 求它分别关于坐标平面xoz ,z轴和原点的对称 轴和原点的对称 点的坐标. 点的坐标.
z
(1)关于坐标平 关于坐标平 面xoz对称的点 对称的点
M
3
M'
M'(1,2,3)
o
1 2
y x
,-2, , 例1,在空间直角坐标系中,给定点 ,在空间直角坐标系中,给定点M(1,- ,3), ,- 求它分别关于坐标平面xoz ,z轴和原点的对称 轴和原点的对称 点的坐标. 点的坐标. (2)关于 轴对称的点 关于z轴对称的点 关于
空间直角坐标系
思考:平面直角坐标系用于表示 思考: 平面一个点的确定位置, 平面一个点的确定位置,能否用于 表示生活中所有物体的确定位置呢? 表示生活中所有物体的确定位置呢?
一,空间直角坐标系的定义
从空间某一点O引三条互相垂直的射线 从空间某一点 引三条互相垂直的射线Ox,Oy,Oz. 引三条互相垂直的射线 并取定长度单位和方向, 并取定长度单位和方向,就建立了空间直角坐标系 .其 其 点称为坐标原点 数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴,每两 坐标原点, 称为坐标轴 中O 点称为坐标原点,数轴 称为坐标轴, 个坐标轴所在的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面 叫做坐标平面 个坐标轴所在的平面 叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系 右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系 z 竖轴 使右手拇指,食指, 使右手拇指,食指,中指 三个手指两两垂直 1.拇指指向 轴 拇指指向x轴 拇指指向 2.食指指向 轴 食指指向y轴 食指指向 3.中指指向 轴 中指指向z轴 中指指向 定点 o 横轴 x
∵ PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
例4 给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30.
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意,0 P = 30 , P
即 ( x 4) 2 + 12 + 2 2 = 30 ,
2
2
你能类比出空间中两点M1(x1,y1,z1), 你能类比出空间中两点 M2(x2,y2,z2)的距离公式吗? 的距离公式吗? 的距离公式吗
M1 M 2 =
( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 )
2 2
2
特殊地: 特殊地:若两点分别为M ( x , y , z ) ,
z
z P1 1 P P点坐标(x,y,z) y 1
x
1
o
y
x
P
0
注意:在建立了空间直角坐标系后, 注意:在建立了空间直角坐标系后,空间