一类拟线性椭圆型方程正对称解的先验界估计

,
亦 即
( f ( d ) ) p- 1 d
∫
θ
d
ds 1 ( f (s) )p- 1
≥
λ f ( d ) ) p - 1 p - 1 p /( p - 1) q λ , 从而有 1 p N p- 1 d λ f (d) p - 1 p- 1 p d q λ≥ 1 / 2, 故从 ( 10) 式可得 : ds 1 . θ ( f (s) )p- 1 故定理得证 . 下面证明 λ li mqλ = 1. 用 u′ 乘 ( 4) 式两边且从 t 到 1积分得 →∞ λ f (d) 2N f ( d ) p - 1 ≤ dp - 1 dp - 1 p
uK = 0 正对称解的先验界估计 . 关键词 先验界估计 ; 椭圆型 ; 拟线性 AM S( 1991)主题分类 35J65, 35B25 在本文中 ,我们考虑了问题
p- 2 - div (| Du| Du ) = λ f (u ) ,
( 1) ( 2)
u| K= 0 正解的先验界估计 . 这里 K表示 R 中圆心在原点的单位球及 λ > 0, f 满足
收稿日期 : 1999-01-18 河南省科委和教委资助项目
p- 1
∫
∫
λ tN f ( u ) . N ( 6)
≥λ t f ( u ) /N
2
应
用
数
学
1999
另外 ,对 ( 4)式两边同乘 u′ 且在 ( 0, 1) 上积分有 : ( p - 1) p | u′ ( 1)| + p
u 0
∫
0
1
p- 1 1 U p ≤- p p - 1λ + λ ( t1 - t ) f (_ ) , (p M)
这里用了 当 λ 充 分 大时 tn1 的下 界为 1 /p (参 见 ( 8) 式 ) . 因 此如 果 t ≥ t1 - t3 , 这里 t3 = p
p+ 1 1 U p- 1 λp , M f (_ ) p- 1 p- 1 p- 1
1 /p
∫
tp - 1 dt 0
.
p- 1
p- 1 p
p- 1
∫
p | u′ | dt ≤ 0 t 1
p - 1 p
λ F (d ) , ( N - 1)
( N - 1) . 最后 , 因 f ′ ≥ 0, 有
F(d) = 因此有 λ f (d ) ≥ d p- 1 p- 1 p
∫
d
f ( s ) ds = d f ( d ) 0
则 λ ( t1 -
t ) f (_ ) ≤
p- 1 U p p- 1λ , p M p+ 1 p- 1
p- 1
从 而 有: t
n- 1
h p (u ′ ) ≤
1- p U p pp Mp-
1
λ p , 即 ( - u′ ( t ) ) p - 1 ≥ ( p - 1)
p- 1 1 U p , 故 - u′ ( t ) = ( p - 1) p - 1 p - 1λ p M p+ 1 1
0 1
U 1 /p 有: | u′ (s )| ≥ pM1λ . 而又 u ( t0 ) - u ( t1 ) = pp
t t
0 1
t t
t t
0 1
1 /p
1 /p
1
1
( t0 - t1 ) ,
- 1 /p 即 t0 - t1 ≤ ( p - 1) M1λ ,从而
1 - t1 ≤ 1 - t0 + t0 - t1 ≤ pM1λ . ( 8) p ( p - 1) 1 /( p - 1) U > _ . 令 t2 ∈ ( 0, 1) 使得 u ( t2 ) = _ , 易见这样的 t2 是 令 _ ∈ (U,θ ) 使得 U+ p ( p+ 1) p p - 1 M p f (_ ) p- 1 U - 1 /p 存在的 . 现在证明当 λ 充分大时 t2 ≥ t1 - p+ 1 p - 1 λ . 用反证法 , 假设不成立 ,则对 t ∈ p M f (_ ) [t2 , t1 ] 在 [t , t1 ] 上积分有 :
应
用
数
学
M A T HEM A T ICA A PP LI CA T A 1999, 12( 4): 1～ 4
一类拟线性椭圆型方程正对称解的先验界估计
杨作东 武锡环 杨会生
(河南师范大学数学系 新乡 453002) 提要 本文讨论了问题
p- 2 - div (| Du| Du ) = λ f ( u ) , 在 K中 ,
t1 - t 2 ≤
p
p+ 1
p- 1 U - 1 /p p- 1 λ . M f (_ )
( 9)
由 ( 8) , ( 9)以及对 λ 充分大时 tN 2 > 1 /p , 因此对 t ∈ [t2 , 1 ] 有: tN - 1h p (u ′ ( t ) ) = - λ 0 sN - 1 f ( u ( s ) ) ds - λ t sN - 1 f ( u (s ) ) ds
第 4期
杨作东等 : 一类拟线性椭圆型方程正对称解的先验 界估计
p- 1 f ( _ ) + Kλ p , tN - 1h p (u ′ (t ) ) ≤ - λ Np
3
这推出 ( - u′ (t ) )
p- 1 1
≥
f (_ ) - 1 /p - Kλ λ ≥ M1λ ,即 np
p- 1 t ∈ [t2 , 1] 有 | u′ ( t )| ≥ Mλ ,特别
sf ′ ( s ) ds ≤ df ( d ) . ∫
0
d
p- 1
( N - 1) . 于是定理的左边得证 . 为了证明定理的不等式右边 , 我
1
λ t f (u ) p- 1 .令 q λ∈ ( 0, 1) 使得 u ( q λ) = θ , 则在 [ 0, q λ ]上有 u ( t ) N ≥ θ> U . 因此在 [ 0, qλ ] 上 , f ( u ( t ) ) ≥ f (θ ) > f (U ) = 0, 所以在 [ 0, q λ ] 上有 们利用 ( 6) 式可得: - u′ ( t)≥
∫
p- 1 t ∈ [qλ, 1]. 由引理可知: 当 λ 充分大时有 - u′ ( 1) ≥ Cλ , 于是 ( - u ) ( t ) ≥ ( - u′ ( 1) ) ≥
证 由 [ 8 ]类似方法可证存在与 λ 无关的常数 M1 > 0使得 1 - t0 ≤ M1λ
- 1 /p
t0 ∈ ( 0, 1) , u ( t 0 ) = U /p 且 s∈ [t1 = u- 1 (U ) , t* ]
由 ( 4) , ( 5) 的解是减函数和 f 在 [ 0, U) 上是负值 , 则对 ( s ) ds , 故有 ∫u′ 1 U U U= ∫ | u′ ( s )| ds ≥ ∫p M λ ds = pM λ
U 1 p , 由 _ 的 选 择 我们 有 λ p+ 1 pp - 1 M
1
∫
1
( p - 1) p- 1U 1 / p u′ ( t ) dt ≥ λ t3 , 则 u ( t1 - t3 ) ≥ U+ p+ 1 t - t 1 3 pp - 1 M
t
p ( p - 1) p- 1U > _ . 从而 u ( t2 ) ≥ u ( t1 - t3 ) > _ ,与 t2 的选取矛盾 . 从而当 λ 充分大时 p ( p+ 1) p p - 1 Mp f (_ )
p- 1 p- 1 λ≤ q p
N f (d ) p- 1 d
∫ ∫
d
ds 1 θ ( f ( s ) ) p- 1
d
p- 1
.
( 10)
于是要证明定理不等式成立只需证明 λ li mq λ = 1. 事实上 ,若 lim q λ = 1成立 , 则对 λ 充分大时有 →∞ λ →∞
p- 1
∫
t
1
u′ (h p (u ′ ) )′ +
2
∫
t2
∫
t
≤- λ f (_ )
t ( 1 - t2) + λ max {| f ( 0)| ,| f (_ )| } N N
n 2
n
f (_ ) - 1 ≤- λ + λ max {| f ( 0)| ,| f (_ )| } ( 1 - t2 ) ( 1+ t2 + … + tN 2 ) /N , Np p- 1 U - 1 /p - 1 /p 而 1 - t2 = 1 - t1 + t 1 - t2 ≤ pMλ + λ ,故有 p+ 1 p Mp - 1 f (_ )
1
p- 1. 有| u′ ( 1)| ≥ Mλ
定理的证明 首先注意 d = u ( 0) - u ( 1) = ≤ 由 ( 7)式可得 dp ≤ 因此 λ F (d ) ≥ dp p- 1 p
p- 1
∫
0 1
1
- u′ ( t ) dt =
1 p- 1 p
′ ∫- u t
1 0 p
p
t
∫
p | u′ | dt 0 t 1
( N - 1) p | u′ | dr = λ F (d ) . r
( 7)
这里 F ( u ) =
f ( s ) ds . 由 ( 7) 式可得 d > θ . 为了证明定理先证明下面引理 . ∫
1
p - 1 M. 引理 设 u 是 ( 4) , ( 5) 的正解 ,则当 λ 充分大时 ,存在 M > 0使得: | u′ ( 1)|> λ