北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D）（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ． （10）图中阴影部分的面积等于 ．（11）已知圆C ：22680x y x +-+=，则圆心C 的坐标为 ；若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k = ． （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；方案乙：每次都提价%2p q+，若0p q >>，则提价多的方案是 . （14）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x a ++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．（16）（本小题共13分）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N . （Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .（17）（本小题共14分）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =，7AM =． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ； （Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.ABCDENM（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值．（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.（20）（本小题共14分）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件： ①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥， 求证：111()2ni in i a x a a =≤-∑.东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）45-（10）1 （11）(3,0)（12）75+ （13）乙（14）2 22n-注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）1cos 2()222xf x x a +=++ 1s i n (2)62x a π=+++.……………………………………………3分 所以T =π．……………………………………………………………4分 由3222262k x k πππ+π≤+≤+π， 得263k x k ππ+π≤≤+π． 故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．…………………7分（Ⅱ）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．…………………………………………………………10分因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=，所以0a =．…………………………………………………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分 当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =.1a =-.……………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅114(21)(21)2n n n -=+---⋅(23)23n n =--⋅-.…………………………………………………12分所以(23)23n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥. 由已知DN ⊥平面ABCD ， 因为DN DB D = ，所以AC ⊥平面NDB .……………………2分 又因为BN ⊂平面NDB ，所以AC BN ⊥.……………………4分 （Ⅱ）CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点. 因为E 是AB 的中点，所以//AN EF .…………………………7分 又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以//AN 平面MEC . ……………………………………………………………9分（Ⅲ）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，E , (0,2,0)C ，1,)7M -.2.0)CE =-，(0,1,7EM =- .…………………………………………10分错误！未找到引用源。

设平面MEC 的法向量为(,,)x y z =n .则0,0.CE EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 错误！未找到引用源。

所以20,0.y y z -=⎨=⎪⎩错误！未找到引用源。

令2x =.所以=n .……………………………………………………………12分错误！未找到引用源。

又平面ADE 的法向量(0,0,1)=m ，错误！未找到引用源。

所以1cos ,2⋅<>==m n m n m n .错误！未找到引用源。

所以二面角M EC D --的大小是60°. ………………………………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln 1f x x x=+-，),0(+∞∈x ， 所以22111()x f x x x x -'=-+=，),0(+∞∈x .………………………………2分因此1(2)4f '=．即曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14. …………………………4分又1(2)ln 22f =-，所以曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线方程为11(ln 2)(2)24y x --=-，即44ln 240x y -+-=．……………………………………………6分（Ⅱ）因为()ln 1a f x x x =+-，所以221()a x a f x x x x-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =． ……………………………………………8分①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],e x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],e a 上单调递增，所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．………………………………10分 ③若e a ≥，则当(]0,e x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当e x =时，函数()f x 取得最小值ea．…………………………………12分 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0e a <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当e a ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ea．……………13分 （19）（共13分）解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分故曲线C 的方程为2214x y +=． …………………………………………………5分 （Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=．…………………………………7分 由22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得1y =，2y =则21||y y -=． 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-21=． ………………………10分 设1()g t t t=+，t =t ≥ 则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()g t ≥．所以AOB S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即max ()AOB S ∆= 所以AOB S ∆13分 （20）（共14分）(Ⅰ)解：12120,(1)1.(2)x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.当10x >时，20x <.得121x =，所以121,21.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………2分当10x <时，同理得121,21.2x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………4分第11页 （Ⅱ）证明：当3n =时，由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++. 所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-13x x =-131x x ≤+≤.………………………………………………9分（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n = . 所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-, 即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n = .……………………………11分1n i i i a x =∑n 1i 1111122n n i i i n i i i a x a x a x ====--∑∑∑111(2)2n i n i i a a a x ==--∑111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)111()2nn i i a a x =≤-∑ 1112n n i i a a x ==-∑ 11()2n a a =-.……………………………………………………………14分。