高等数学工专讲义
自考高等数学工专教材
自考高等数学工专教材高等数学是大学专业课程中的一门重要学科，对于工专学生来说尤为重要。
自考高等数学工专教材是专门为工专学生编写的一本教材，旨在帮助他们系统学习和掌握高等数学的基本理论和应用方法。
本文将介绍该教材的内容概述、教学特点以及学习方法，希望能够为工专学生提供参考。
一、教材内容概述自考高等数学工专教材内容详实，涵盖了高等数学的基础知识和核心概念。
主要包括以下几个方面：1. 函数与极限：介绍了函数的概念、性质及其在数学和实际问题中的应用。
重点讲解了数列、极限以及极限的性质和计算方法。
2. 导数与微分：讲解了导数的概念、性质以及导数的运算法则。
阐述了导数的几何意义和物理意义，并应用导数解决相关问题。
3. 积分与定积分：介绍了积分的概念、性质和计算方法。
详细讲解了不定积分和定积分的概念和性质，以及应用积分解决问题的方法。
4. 一元函数的应用：以具体的实例和问题为背景，探讨了高等数学在工学领域的应用。
例如，最值问题、曲线的长度与曲面的面积、动力学中的应用等。
5. 二元函数与多元函数：介绍了二元函数和多元函数的概念、性质及其应用。
包括二元函数的极值与条件极值、多元复合函数的求导法则等内容。
二、教学特点自考高等数学工专教材具有一些独特的教学特点，以适应工专学生的学习需求：1. 理论联系实际：教材通过大量的实例和应用问题，将抽象的数学理论与实际工程问题相结合，增强学生的学习兴趣和理解力。
2. 实用性强：教材注重培养学生的计算和问题解决能力，通过丰富的例题和习题，引导学生掌握高等数学的实际应用。
3. 清晰易懂：教材语言通俗易懂，将抽象的数学概念和推导过程用简明的语言表达清晰，方便工专学生理解和掌握。
4. 系统性强：教材内容安排有序、层次清晰，从基础概念到高级应用逐步展开，帮助学生建立完整的高等数学知识体系。
三、学习方法为了更好地学习自考高等数学工专教材，学生可以采取以下学习方法：1. 注重基础知识的理解和掌握：高等数学的学习建立在扎实的数学基础上，学生应该重视基础知识的理解和记忆，做到理论联系实际。
《高等数学(工专)》导学讲义
《高等数学（工专）》导学讲义一、课程概要1. 课程性质及设置目的“高等数学（工专）”是工科各专业高等专科自学考试计划中的一门非常重要的基础理论课程，是为培养各种高等专科工程技术人才而设置的。
在当今科学技术飞速发展、特别是计算机科学及其应用日新月异的时代，数学已日益渗透到各个科技领域，学习任何一门科学或工程技术专业都会要用到许多数学知识，而其中最基本的则是高等数学中的微积分学与线性代数。
学习本课程不仅为自学考试计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是提高学生科学素养的一个重要途径。
2. 基本要点与重点（1）基本要求获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法；获得线性代数的初步知识。
（2）课程重点一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用。
3. 学习要求与培养目的在学习过程中，首先要切实理解基本概念和基本理论，了解其背景和意义。
在此基础上掌握基本的计算方法和技巧，注重培养熟练的运算能力和处理一些简单实际问题的能力；同时，使抽象思维和逻辑推理的能力得到一定的提高。
二、试卷分析1. 试卷结构及分值分布题号题型题量及分值第一题单项选择题（共5小题，每小题2分，共10分）第二题填空题（共10小题，每小题3分，共30分）第三题计算题（共8小题，每小题6分，共48分）第四题综合题（共2小题，每小题6分，共12分）2. 难度分析及命题思路试卷的难度可大致分为：易，中等偏易，中等偏难，难。
它们所占的分数依次约为：20分，45分，30分，10分。
现具体分析如下：（1）单项选择题本题型共5小题，每小题2分，考查的分数占到总分数的10%，考查知识点比较分散且细致，考查的都是基础知识和基本技能，难度为“易”或“中等偏易”。
考生在平时复习的过程中，要注意基本概念和基本公式的记忆。
下面看两道例题。
★真题链接：【例题1】.函数y =x31在（0，+∞）内是（ ）A.有界函数B.无界函数C.常量D.无穷大量【答案】A【解析】本题考查了有界函数、常量、无穷大量等概念。
(完整版)高等数学工专讲义
接下来我们就开始学习高等数学了，或许在学习的过程中我们会感觉乏味无味，可是我相信只需我们努力，我们必定能达到成功的此岸。
常量与变量变量的定义我们在察看某一现象的过程时，常常会碰到各样不一样的量，此中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是能够取不一样的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它固然是变化的，可是它的变化相对于所研究的对象是极其细小的，我们则把它看作常量。
变量的表示假如变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名区间的知足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b[a ， b]开区间a＜ x＜ b（a，b）半开区间a＜x≤b或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b）以上我们所述的都是有限区间，除此以外，还有无穷区间：[a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：- ∞＜ x＜ b；(- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为：- ∞＜ x＜+∞注：此中 - ∞和 +∞，分别读作" 负无量大 " 和 " 正无量大 ", 它们不是数 , 只是是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞ 0. 知足不等式│x - α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ 邻域，点α 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义假如当变量x 在其变化范围内随意取定一个数值时，量y 依据必定的法例总有确立的数值与它对应，则称y 是 x 的函数。
变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。
往常x叫做自变量， y 叫做因变量。
注：为了表示y 是 x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法例即函数关系,它们是能够随意采纳不一样的字母来表示的.注：假如自变量在定义域内任取一个确立的值时，函数只有一个确立的值和它对应，这类函数叫做单值函数，不然叫做多值函数。
高等数学讲义教材
高等数学讲义教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中最基本的概念之一，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数可以用公式、图表或者图形来表示。
在这一章中，我们将介绍函数的定义、分类以及常见的函数性质。
1.2 极限的概念与性质极限是数学分析的重要概念之一。
它描述了随着自变量趋近某个值时，函数的变化趋势。
在这一节中，我们将介绍极限的定义、性质以及常见的求解方法。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
它可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的图像特征。
在这一节中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及常见的导数计算方法。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种应用形式，它可以用于求解函数在某一点上的近似变化量。
在这一节中，我们将介绍微分的概念、微分的计算方法以及微分在实际问题中的应用。
第三章积分与定积分3.1 积分的定义与性质积分是导数的反向运算，它可以用于计算曲线下面的面积、求解定积分以及求解函数的原函数。
在这一章中，我们将介绍积分的定义、性质以及常见的积分计算方法。
3.2 定积分的定义与应用定积分是积分的一种特殊形式，它可以用于求解曲线下面的面积、计算曲线的长度以及求解函数的平均值。
在这一节中，我们将介绍定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念微分方程是描述自变量、函数及其导数之间关系的方程。
它在物理学、工程学以及经济学中有着广泛的应用。
在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念、分类以及常见的解法方法。
4.2 常微分方程的解法常微分方程是一类特殊形式的微分方程，它可以用一些常见的解法方法进行求解。
在这一节中，我们将介绍常微分方程的解法思路、常微分方程的解法技巧以及常微分方程在实际问题中的应用。
结语高等数学是大学数学学科中的重要课程之一。
通过学习这门课程，我们可以深入理解函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等概念与方法，为今后的学习与研究打下坚实的数学基础。
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc
第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
《高等数学经典讲义》课件
第二章：导数与微分
探讨导数和微分的概念及其应用，包括求导法则和 微分的几何和物理意义。
第四章：多元函数和一元多次函数积分
研究多元函数的极限、连续和可微性，以及二重积 分和三重积分的计算方法。
无穷级数
收敛级数
介绍收敛级数和其性质，讲解判别 级数收敛的各种方法。
发散级数
探索发散级数和其特性，详细讨论 级数的发散性质。
《高等数学经典讲义》 PPT课件
本课程旨在向学生介绍《高等数学经典讲义》的重要内容，帮助他们深入了 解该学科的关键概念和理论，并应用于实际问题中。
课件结构
第一章：函数与极限
介绍函数和极限的基本概念，讲解相应的定理和计 算方法。
第三章：积分与应用
介绍积分的概念和性质，解决定积分和定积的概念和性质，以及 级数求和的不同方法。
微分方程
1
常微分方程
介绍常微分方程的定义和求解方法，讨论
偏微分方程
2
一阶、二阶和高阶微分方程。
从物理问题出发，研究偏微分方程的定义
和解法，探索它们在不同领域的应用。
3
微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题，如生物学、 经济学等多个领域。
高等数学高职高专完整全套教学课件
高等数学高职高专完整全套教学课件一、教学内容1. 第一章：函数与极限函数的概念、性质与图像极限的定义、性质及运算无穷小与无穷大的概念及其关系2. 第二章：导数与微分导数的定义、运算法则及求导公式微分的概念及其运算法则高阶导数的概念及其求法二、教学目标1. 理解并掌握函数、极限、导数与微分的基本概念及性质。
2. 能够运用求导公式和法则进行导数的计算，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：函数与极限的概念，导数的求法，微分的应用。
2. 教学重点：函数的性质与图像，导数的计算，微分的基本概念。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：教材、笔记本、文具等。
五、教学过程1. 引入：通过实际问题，引导学生了解函数在现实生活中的应用。
2. 知识讲解：讲解函数的定义、性质与图像，配合实例进行分析。
介绍极限的概念、性质及运算，通过例题进行讲解。
阐述导数与微分的定义、运算法则，配合求导公式进行讲解。
3. 随堂练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，巩固所学内容。
六、板书设计1. 黑板左侧：列出本节课的主要知识点、公式及例题。
2. 黑板右侧：展示解题过程和答案，方便学生对照学习。
七、作业设计1. 作业题目：求下列函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x，lim(x→∞)(1+1/x)^x。
求函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1的导数。
求函数f(x) = e^x在x=1处的微分。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生了解极限、导数与微分在物理学、工程学等领域的应用。
推荐相关学习资料，帮助学生深入理解高等数学的知识体系。
重点和难点解析1. 教学内容的选取与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的区分4. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解5. 板书设计的信息布局6. 作业设计的题目选取与答案提供7. 课后反思与拓展延伸的实际操作一、教学内容的选取与组织教学内容应紧密结合高职高专学生的学习基础和实际需求。
高等数学高职高专完整全套教学课件
高等数学高职高专完整全套教学课件一、教学内容本节课将深入讲解高等数学中微积分部分的核心内容。
主要涉及教材第七章“导数与微分”的7.17.3节，包括导数的定义、计算法则、高阶导数，以及微分的基本概念和计算。
二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能够准确计算函数在某一点的导数。
2. 掌握导数的四则运算规则，并能应用于复合函数的导数计算。
3. 了解并应用微分的基本概念及其在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点重点：导数的定义及计算法则，微分的概念及其应用。
难点：复合函数的导数计算，隐函数求导，微分的应用。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、黑板、粉笔。
学具：学生笔记本、教材、计算器（可选）。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过现实生活中的变化率问题，如速度与时间的关系，引出导数的概念。
2. 理论讲解（15分钟）详细讲解导数的定义，通过图形演示导数的几何意义。
3. 例题讲解（20分钟）选取典型例题，演示导数的计算过程，包括基本函数的导数和四则运算规则的应用。
4. 随堂练习（15分钟）学生现场解答几道练习题，及时巩固导数的计算方法。
5. 微分概念导入（10分钟）介绍微分的基本概念，并举例说明其在误差估计中的应用。
6. 微分的计算与应用（15分钟）演示如何求函数的微分，并探讨微分在实际问题中的应用。
快速回顾本节课的重点内容，解答学生的疑问。
六、板书设计1. 导数的定义及几何意义。
2. 导数的计算法则。
3. 微分的定义及计算公式。
4. 典型例题与解题步骤。
5. 随堂练习题目。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1在x=2处的导数。
(2) 计算函数g(x) = e^(2x)的微分。
(3) 已知物体的位移s(t) = t^2 t + 1，求t=1时的速度和加速度。
2. 答案：(1) f'(x) = 3x^2 6x + 2，在x=2时，f'(2) = 2。
高等数学教材辅导讲义
高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。
微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
高等数学(高职高专)完整全套教学课件
高等数学(高职高专)完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自于高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
具体内容包括：多元函数的极限与连续性，偏导数，全微分，复合函数的偏导数，隐函数的偏导数，以及高阶偏导数。
二、教学目标1. 使学生掌握多元函数的极限与连续性的概念及其判断方法。
2. 使学生理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。
3. 使学生掌握全微分的概念及其计算方法，能够求解复合函数的偏导数。
4. 使学生掌握隐函数的偏导数求解方法，能够求解高阶偏导数。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数的偏导数求解方法，高阶偏导数的求解。
2. 教学重点：多元函数的极限与连续性，偏导数的计算，全微分的计算，复合函数的偏导数。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
2. 学具：笔记本，笔，高等数学教材。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际问题，引导学生思考多元函数的极限与连续性的重要性。
2. 知识讲解：讲解多元函数的极限与连续性的概念，并通过例题进行讲解。
3. 偏导数讲解：讲解偏导数的概念，并通过例题进行讲解。
4. 全微分讲解：讲解全微分的概念，并通过例题进行讲解。
5. 复合函数偏导数讲解：讲解复合函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。
6. 隐函数偏导数讲解：讲解隐函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。
7. 高阶偏导数讲解：讲解高阶偏导数的求解方法，并通过例题进行讲解。
8. 随堂练习：针对所学内容，进行随堂练习，巩固知识点。
六、板书设计板书设计如下：1. 多元函数的极限与连续性定义判断方法2. 偏导数定义计算方法3. 全微分定义计算方法4. 复合函数的偏导数求解方法例题5. 隐函数的偏导数求解方法例题6. 高阶偏导数求解方法例题七、作业设计1. 题目：判断下列函数在某一点的极限与连续性。
函数1：f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x^2 + y^2)函数2：g(x, y) = x^2 + y^22. 题目：求下列函数的偏导数。
高等数学(工专)
1第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。
它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。
本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。
重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。
1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x ∈D),其中x 是自变量，f 为对应法则，y 为因变量，D 是定义域。
∀（对任意）x ∈D,∃!(有唯一)y 与x 对应。
y 所对应的取值范围称为函数的值域。
当自变量x 取平面的点时，即x=(x 1,x 2)时，f(x)是二元函数；当x 取空间中的点x=(x 1,x 2,x 3)时，f(x)是三元函数。
函数的表示法主要有两种。
其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。
例如y=f(x)=e x,符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1)sgn(x x x x y ，其中后者是分段函数。
其二是图示法。
如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。
给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。
应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。
1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I （含于定义域内）单调增，若∀x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时f(x 1)≤f(x 2);称函数在区间I （含于定义域内）单调减，若∀x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时f(x 1)≥ f(x 2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I 称为单调区间。
判断一个函数f(x)在区间I 是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I 中的导数的符号。
2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D 关于原点对称。
如果∀x ∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x ∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。
00022高等数学工专教材
00022高等数学工专教材一、导论高等数学是一门重要的基础学科，对于工科专业来说尤为重要。
本教材旨在为高等数学工科专业的学习者提供系统、全面的知识框架，并通过清晰的讲解和大量的例题，帮助学生理解和掌握高等数学的关键概念和方法。
二、前言本教材根据课程要求，采用了模块化的教学设计，将高等数学知识分为多个单元，并对每个单元进行详细而全面的讲解。
重要的概念和定理都会得到强调，并通过例题来帮助学生巩固和应用所学内容。
三、基础知识单元3.1 实数与数列3.2 函数与极限3.3 导数与微分3.4 积分与不定积分3.5 微分方程本教材以这五个单元为基础，系统地介绍了高等数学的核心概念和方法。
每个单元都包含了必要的定义、定理和公式，并通过相关例题和习题来辅助学生巩固所学知识。
四、教学方法本教材采用了多种教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识。
例如，我们通过具体的图示和实例来说明抽象概念和定理，以便学生能够形象地理解。
此外，我们还鼓励学生进行实际问题的应用练习，以帮助他们将所学知识应用于实际工程问题中。
五、教学辅助资源为了进一步提高教学效果，本教材提供了一系列教学辅助资源。
这些资源包括教学视频、习题解析和练习册等，以供学生在课外进行深入学习和练习。
此外，我们还建议学生积极参与课堂讨论和小组活动，以促进合作学习和互动交流。
六、学习指导对于学生来说，高等数学可能是一门相对复杂和抽象的学科。
为了帮助学生更好地学习，本教材提供了学习指导，包括学习方法和技巧，以及常见问题的解答。
我们鼓励学生养成良好的学习习惯，积极主动地参与学习过程，并及时向教师和同学寻求帮助。
七、总结高等数学是一门关键的学科，对于工科专业的学生来说尤为重要。
本教材旨在为学生提供全面、系统的高等数学知识，帮助他们理解和掌握该学科的核心概念和方法。
通过合理的教学方法和辅助资源，我们相信学生能够在学习中取得良好的成绩，并为将来的工程实践奠定坚实的基础。
(完整word版)高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
自考高等数学工专 教材
自考高等数学工专教材高等数学是大学工科专业中的重要基础课程之一，涉及到多个学科领域的知识和理论。
对于工科专业的学生来说，学好高等数学是非常重要的，因为它是进一步学习专业课程的基础。
在自考中，高等数学是必修课程，掌握好相关知识对于学生顺利完成学业具有重要意义。
一、高等数学的背景和意义高等数学作为一门基础课程，具有重要的理论和实际意义。
它不仅是工科专业的基础，也是理科专业的重要组成部分。
通过学习高等数学，学生能够培养抽象思维能力和逻辑推理能力，提高解决实际问题的能力。
二、高等数学教材的特点和组织结构高等数学教材的特点是系统性强、内容广泛，从基础概念到高级应用都有所覆盖。
教材的组织结构一般分为章节和小节，每个章节涵盖一个主题，包含相关的概念、定理和例题，便于学生全面理解和掌握知识。
三、高等数学教材的学习方法和技巧学习高等数学需要一定的方法和技巧。
首先，要有明确的学习目标，将教材内容分解成小块进行学习；其次，要注重理论与实践的结合，通过做题巩固所学知识；再次，要善于归纳总结，将各个概念、公式归纳为一个整体框架，便于记忆和应用。
四、高等数学教材的应用领域高等数学是一门实用性较强的学科，具有广泛的应用领域。
它在工程、物理、计算机科学等领域都有非常重要的应用，例如在电路设计、信号处理、优化问题等方面都需要运用高等数学的理论和方法。
五、高等数学教材的扩展阅读除了教材本身，学生还可以进行扩展阅读，深入了解高等数学在实际应用中的具体案例和研究成果。
可以阅读相关的专业书籍、论文和期刊，了解最新的研究动态和学术前沿。
六、高等数学教材的习题解析高等数学教材通常会提供习题以供学生练习。
在做习题时，学生可以参考教材中的解析，理解解题思路和方法，并进行反复演练，提高解题能力和运算速度。
总之，高等数学是工科专业学生必备的基础课程之一。
通过学习高等数学教材，可以掌握相关的基本概念、理论和方法，提高解决实际问题的能力。
在学习过程中，学生要注重理论与实践的结合，善于总结和归纳，不断提高自己的学习效果。
高等数学工专第一章函数.pptx
Max：maximum 最大值
Min ： minute最小值
第一章 函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
非初等 函数
y x2 1
y 2x 1
第一章 函数
例1
脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
第一章 函数
3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
自变量
) 因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
第一章 函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是 只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
例如 多值函数：x2 y2 a2．
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
第一章 函数
1.自然数（natural number）是指非负整数； 2.整数（Integer）包括正整数、零与负整数； 3.无理数（irrational number）即非有理数之实数，不能 写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后 的数字有无限多个，并且不会循环； 4.有理数（rational number）可以写成分数的形式，包 括正整数、0、负整数、正分数、负分数。
高等数学工专课本知识按章总结第一章函数
第一章函数
第一节常用知识准备
一、数集
通常，我们用R表示全体实数构成的数集，用Q表示全体有理数构成的数集，用z表示全
体整数构成的数集，用N表示正整数与零构成的数集，也称自然数集．
二、区间与邻域
三、绝对值
第二节函数的定义及表示二、函数的定义
三、常用的函数表示法
第三节函数的几种特性一、有界性
二、单调性
三、奇偶性
四、周期性
第四节反函数复合函数一、反函数
二、复合函数
第五节初等函数一、基本初等函数
3．指数函数
6、反三角函数
二、初等函数
在高等数学中，常见的非初等函数就是分段函数．例如
就是非初等函数，因为它在定义域的不同部分有不同的解析表达式；又例如
也是非初等函数，因为它在x=0和x≠0时的表达式不能统一用一个解析式表示．
四、初等函数定义域的求法
本章内容小结与学习指导
一、本章知识结构图
二、内容小结
3．常用函数的类型
三、常见题型
5．判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．6．求函数的反函数．
7．从实际问题中列函数关系式．。
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接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。
常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x 叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
函数的表示a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：函数的简单性态函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以π为周期的周期函数。
反函数反函数的定义设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
反函数的存在定理若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。
如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。
即是：函数在此要求下严格增(减).反函数的性质在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。
如右图所示：复合函数的定义若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。
初等函数基本初等函数我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下：初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数. 例题：是初等函数。
我们再来学习一下工程技术中常用的函数——双曲函数及反双曲函数双曲函数及反双曲函数双曲函数在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数也有和差公式：反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数. a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-∞,+∞)； b)：反双曲余弦函数其定义域为：[1,+∞)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
数列若按照一定的法则，有第一个数a 1，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数a n ，那末，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列. 数列中的每一个数叫做数列的项。
第n 项a n 叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列a n 看作自变量为正整数n 的函数，即：)(n f a n =，它的定义域是全体正整数 极限极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A 1； 再作圆的内接正十二边形，其面积记为A 2； 再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A 3；依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n )可得一系列内接正多边形的面积：A 1，A 2，A 3，…，An ，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An 也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A 1，A 2，A 3，…，An ，… 当n→∞(读作n 趋近于无穷大)的极限注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
数列的极限一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N ，使得对于n ＞N 时的一切不等式ε<-a x n 都成立，那末就称常数a 是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式ε<-a x n 才能表达出与a 无限接近的意思。
且定义中的正整数N 与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
数列极限为a 的一个几何解释：将常数a 及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：因不等式ε<-a x n 与不等式等价，故当n ＞N 时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
数列的有界性对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。
定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…是有界的，但它是发散的。
函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。
下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式的一切x，所对应的函数值都满足不等式那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：存在数列与常数的所有都满足＜则称数列当记：存在函数与常数对于适合的一切都满足函数当记：从上表我们发现了什么 ？？试思考之 b):自变量趋向有限值时函数的极限 我们先来看一个例子.例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x 与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足＜δ定义： 设函数在某点x 0的某个去心邻域内有定义，且存在数A ，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数当x→x 0时存在极限，且极限为A ，记：注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论x→x 0的过程，与x=x 0出的情况无关。
此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x 均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？a):先任取ε＞0；b):写出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜ε成立，因此下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准则函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。