2017届高考数学一轮复习 题组层级快练6(含解析)

题组层级快练(六)1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数． 2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1答案 D3．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案 D解析 根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．4．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B解析 f (x )可由－1x沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a >1. 由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.7．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－3 B ．a ≤－3 C ．a >－3 D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A 解析 满足f x 2 －f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.9．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0. ∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________． 答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.12．若函数y ＝－|x |在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥0解析 y ＝－|x |在[0，＋∞)上单调递减，∴a ≥0.13．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图. 14．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈ －∞，0 ， ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈ 0，＋∞ ，③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈ －∞，0 ， ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈ 0，＋∞能使函数y ＝log a 1x2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确． 15．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．答案 12解析 当x ＝0时，y ＝0. 当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12.16．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．17．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案 －1解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x保值区间[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.18．试判断函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．答案 单调递增，证明略解析 方法一：函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上是单调增函数．设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 方法二：f ′(x )＝2x ＋1x2.当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．19．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a >1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x |x >0且x ≠1}；0<a <1时，{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a } (2)lg a2(3)(2，＋∞)解析 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2.而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. ∴a >2.1．若函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个单调递增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－3，－2) D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得－7<x <－2.2．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案 D解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0. 3．函数f (x )＝log 12(3－2x )的单调递增区间是________．答案 (－∞，32)4．函数y ＝x ＋x ＋4的最小值是________． 答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋4≥0，得x ≥0.又函数y ＝x ＋x ＋4在[0，＋∞)上是增函数， 所以函数的最小值为0＋4＝2.5．函数f (x )＝(13)x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝(13)x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x 2－3x ＋2|； (2)y ＝2－x x ＋3.解析 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2 x ≤1或x ≥2 ，－ x 2－3x ＋2 1＜x ＜2 .根据图像，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(2)y ＝2－x x ＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋3＝－1＋5x ＋3. 方法一：图像法：作出函数的图像，得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．方法二：利用已知函数的单调性：f (x )的图像是由y ＝5x的图像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，∵y ＝5x在(－∞，0)，及(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )＝2－xx ＋3在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．方法三：定义法(略)7．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x －32|； (2)y ＝2x ＋4x －2； (3)y ＝|x |(1－x )．答案 (1)减区间(－∞，32)，增区间(32，＋∞)(2)减区间(－∞，2)，(2，＋∞)(3)增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，减区间(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。